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Master Dynamique terrestre et risques naturels

Mathematiques pour geologues

Operateurs differentiels

On etudie en geosciences des fonctions scalaires des coordonnees d’espace, comme la temperature,ou bien des vecteurs dont les trois composantes sont des fonctions des coordonnees, comme lapesanteur ou le champ magnetique. Lorsque ces fonctions ont des derivees partielles, on peutdefinir d’autres scalaires ou vecteurs qui restent les memes pour tout referentiel, ce qu’on appelledes invariants de la fonction ou du champ de vecteurs. Ils en fournissent des proprietes intrinsequeset locales.Pour une fonction, les invariants qui nous seront utiles sont le gradient (un vecteur) et le laplacien

(un scalaire). Pour un champ de vecteurs ce sont le rotationnel (un vecteur), la divergence (unscalaire) et le laplacien vectoriel (un vecteur).

1 Produit scalaire et vectoriel

Soit deux vecteurs ~a et ~b ayant pour composantes dans un referentiel cartesien ax, ay, az et bx, by,bz respectivement. On definit :– le produit scalaire : ~a.~b = axbx + ayby + azbz

– le produit vectoriel : ~a ∧~b =

aybz − azby

azbx − axbz

axby − aybx

2 Notion de circulation d’un champ de vecteurs

On appelle travail de A a B du vecteur ~a le long d’une courbe (C), dont un segment infinitesimal

est le vecteur ~dl, la somme des produits scalaires infinitesimaux

∫ B

A

~a.~dl.

Lorsque (C) est une courbe fermee (A = B), la position de A sur (C) n’a pas d’importance,seulement le sens de parcours. Le travail est alors appele la circulation de ~a sur (C),

∮

~a.~dl.

3 Notion de flux d’un champ de vecteurs

Considerons une surface continue (S). Soit ~n sa normale unitaire, toujours issue du meme cote. Onappelle flux du vecteur ~a a travers (S) le scalaire :

φ =

∫ ∫

~a.~ndS

Cette notion sera utilisee pour introduire la divergence.

4 Le gradient

La forme differentielle totale d’une fonction f(x, y, z), ou x, y et z sont les trois variables de l’espace,est

df =∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz,

qui peut s’ecrire sous la forme d’un produit scalaire de deux vecteurs ~u et ~dl avec

~u =

∂f∂x∂f∂y∂f∂z

~dl =

dx

dy

dz

Le champ vectoriel ~u s’exprime par un operateur nomme gradient que l’on note :

~grad(f) = ~∇f =

∂f∂x∂f∂y∂f∂z

.

Ce vecteur n’est autre qu’une extension de la classique derivee d’une fonction a un espace dedimension superieure. Il indique donc la pente locale de la fonction, le vecteur obtenu etant dirigele long de la plus grande pente au champ f . ~∇f est orthogonal aux isosurfaces de f .

Expression en coordonnees cyclindriques

Sur la base (~er, ~eφ, ~ez) on a

~∇f =

∂f∂r

1r

∂f∂φ

∂f∂z

.

Expression en coordonnees spheriques

Sur la base (~er, ~eθ, ~eφ) on a

~∇f =

∂f∂r

1r

∂f∂θ

1r. sin θ

∂f∂φ

.

5 La divergence

La divergence d’un champ vectoriel ~u est un scalaire defini par :

div(~u) = ~∇.~u =∂ux

∂x+

∂uy

∂y+

∂uz

∂z.

Afin de definir le sens physique de la divergence considerons un volume rectangulaire de cotes dx,dy et dz.

z

y

x

dy

dx

dz

Ux

Le flux de ~u sortant de la face de droite dans la direction x est ux(x + dx, y, z)dydz. De meme leflux de ~u entrant par la face de gauche dans la direction x est −ux(x, y, z)dydz. Le bilan de fluxentre ces deux surfaces est donc

[ux(x + dx, y, z) − ux(x, y, z)]dydz =∂ux

∂xdxdydz =

∂ux

∂xdV

Le meme raisonnement peut etre fait dans la direction y et dans la direction z. Le bilan de flux autravers des faces du volume peut donc s’ecrire

dφ =

(

∂ux

∂x+

∂uy

∂y+

∂uz

∂z

)

dV = (~∇.~u)dV.

L’equation ci-dessus permet d’exprimer ce qu’est la divergence : la divergence est donc le bilan deflux d’un champ de vecteurs par unite de volume. Sous forme integrale on obtient le theoreme dela divergence (Green-Ostrogradsky) :

∮ ∮

~u.d~S =

∫ ∫ ∫

int

div(~u)dV

Le flux a travers une surface fermee S d’un champ ~u est egale a l’integrale sur tout le volumedelimite par S de la divergence de ~u.Si ~u est un champ de vitesse, alors la divergende de ~u mesure l’accroissement total de volume parunite de temps et par unite de volume. Si en un point A la divergence est positive (negative) alorsA est un point d’expension (de compression). Si la divergence de ~u est nulle en tout point d’uneregion D alors le corps ayant le champ de vitesse ~u est incompressible dans cette region.


~∇.~u =1

r

∂(r ur)

∂r+

1

r

∂uφ

∂φ+

∂uz

∂z.


~∇.~u =1

r2

∂(r2 ur)

∂r+

1

r sin θ

∂(sin θ uθ)

∂θ+

1

r sin θ

∂uφ

∂φ

6 Le rotationnel

Le rotationnel d’un champ vectoriel ~u est un vecteur defini par

~rot~u = ~∇∧ ~u =

∂uz

∂y−

∂uy

∂z∂ux

∂z−

∂uz

∂x∂uy

∂x−

∂ux

∂y

.

On interprete le rotationnel ~∇∧ ~u comme l’axe d’un tourbillon en mecanique des fluides, le champ~u representant la vitesse du liquide.Le rotationnel d’un gradient est nul :

~rot( ~grad(f) = ~∇ ∧ ~∇f = ~0

Soit ~u un champ vectoriel et (C) un contour ferme. On peut montrer que le flux du rotationnel de~u a travers une surface s’appuyant sur (C) est egale a la circulation le long de (C) du champ ~u. Cetheoreme est appele theoreme du rotationnel (Stokes)

∮

~u.~dl =

∫ ∫

~∇ ∧ ~u.d~S


~∇∧ ~u =

1r

∂uz

∂φ−

∂uφ

∂z∂ur

∂z−

∂uz

∂r1r

(

∂(r uφ)∂r

−∂(r ur)

∂φ

)

.


~∇ ∧ ~u =

1r sin θ

(

∂(sin θ uφ)∂θ

−∂uθ

∂φ

)

1r sin θ

(

∂ur

∂φ−

∂(r sin θ uφ

∂r

)

1r

(

∂(r uθ)∂r

−∂ur

∂θ

)

.

7 Le laplacien

Le dernier operateur que nous utiliserons est le laplacien. Le laplacien est defini comme la divergencedu gradient. On distingue le laplacien scalaire

laplacien(f) = div( ~grad(f)) = ∆f = ∇2f =

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2.

De meme on definit le laplacien vectoriel comme

~∆~u = ~∇2~u =

∂2ux

∂x2 + ∂2ux

∂y2 + ∂2ux

∂z2

∂2uy

∂x2 +∂2uy

∂y2 +∂2uy

∂z2

∂2uz

∂x2 + ∂2uz

∂y2 + ∂2uz

∂z2

.

Le laplacien d’une fonction mesure la difference entre la valeur de la fonction en un point et samoyenne autour de ce point. Ainsi le laplacien est nul ou tres petit lorsque la fonction varie sansa coups.


∇2f =

1

r

∂

∂r

(

r∂f

∂r

)

+1

r2

∂2f

∂φ2+

∂2f

∂z2.


∇2f =

1

r2

∂

∂r

(

r2 ∂f

∂r

)

+1

r2 sin θ

∂

∂θ

(

sin θ∂f

∂θ

)

+1

r2 sin2 θ

∂2f

∂φ2.

8 Relations fondamentales

div( ~grad) = laplacien

div( ~rot) = 0

~rot( ~rot) = ~grad(div) − laplacien

~rot( ~grad) = ~0

9 Exercices

1. On considere un champ ~v purement divergent en 2D

(a) Determiner le systeme d’equations differentielles verifie par les composantes du champ~v

(b) Donner un exemple simple de vecteur ~v

(c) Tracer le champ ~v

2. Idem mais pour un champ purement rotationnel.

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