Universit de PoitiersMathmatiques

L1 SPIC, Module 2L022010/2011

Feuille 4 : Exercices sur les matrices

Exercice 1 : Dans chacun des cas suivants, les produits AB et BA existent-ils ? Si oui, lescalculer.

a) A =

(1 2 13 4 1

)et B =

1 02 1

0 1

b) A =

(1 23 4

)et B =

1 02 1

0 1

c) A =

(0 10 1

)et B =

(0 01 1

)d) A =

1 0 11 2 1

3 1 0

et B =

1 1 10 1 21 2 0

.

Exercice 2 : On considre les matrices

A =

(1 23 4

)et B =

(1 11 2

)

Calculer AB, BA, (AB)2 et A2 2AB + B2. Que remarque-t-on ?

Exercice 3 : Soit A = 13

1 2 22 1 22 2 1

. Calculer tAA. La matrice A est-elle inversible ? Si

oui, quel est son inverse ?

Exercice 4 : On considre les matrices suivantes :

A =

1 1 01 0 1

0 1 1

, B =

1 1 12 0 1

1 3 2

et C =

1 2 1 22 3 0 54 9 6 71 1 5 5

.

1. Calculer le rang des matrices A, B et C.

2. Les matrices A, B et C sont-elles inversibles ? Si oui, calculer leur inverse.

Exercice 5 :

1. Soit f : R5 R2 lapplication linaire de lexercice 2 de la feuille 3 dfinie par

f(x1, x2, x3, x4, x5) = (x1 + x2 + x3, x1 x4 x5).

a) Ecrire la matrice M de f dans les bases canoniques de R5 et R2.

b) A partir de M , dterminer une base de ker(f) ainsi quune base de Im(f).

2. Mmes questions quau 1. avec lapplication linaire f de lexercice 4 de la feuille 3, dfiniepar

f : R[X]3 R[X]3, f(P ) = 2P (X 1)P (P R[X]3).

Exercice 6 : Soit f : R3 R3 lapplication linaire dfinie par

f(x, y, z) = (x + y, 2x y + z, x + z).

1. Ecrire la matrice M de cette application linaire dans la base canonique B de R3.

2. Calculer f(1, 2, 3) de deux manires diffrentes : en utilisant la dfinition de f dune part,et en utilisant la matrice M dautre part.

3. A partir de M , dterminer une base de ker(f) ainsi quune base de Im(f).

4. Soient v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 2, 1), et v3 = (1, 3, 1). Montrer que la famille E = (v1, v2, v3)est une base de R3.

5. Calculer f(v1) et calculer ses coordonnes dans la base E .

On admettra que, de mme, f(v2) = v1 + 6v2 4v3 et f(v3) = 2v1 + 8v2 6v3.

6. Ecrire la matrice N de f dans la base E .

7. Retrouver cette matrice partir de M , en utilisant la formule de changement de bases.

Exercice 7 : Soient B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3 et f LR(R

3) dont la matrice dansB est

A =

3 1 40 2 02 1 3

.

1. On pose u1 = (1, 0, 1), u2 = (1, 1, 1) et u3 = (2, 0, 1). Montrer que la famille U = (u1, u2, u3)est une base de R3, et dterminer B = MatU (f) (la matrice de f dans U).

2. Dterminer, pour tout entier naturel n, Bn. En dduire les vecteurs fn(e1), fn(e2) et

fn(e3).

3. En utilisant les rsultats prcdents, calculer An pour tout entier naturel n.

Exercice 8 : Soit f LR(R3) dont la marice dans la base canonique B de R3 est

A =

3 4 24 7 45 10 6

.

1. Montrer que f est un projecteur (cest dire que f2 = f f = f).

2. Montrer que Im(f) et ker(f) sont supplmentaires.

3. Prciser une base E de R3 dans laquelle la matrice de f est

B =

0 0 00 1 0

0 0 1

.

Exercice 9 : Et si on sortait de Rn ?

Soient A =

(0 11 0

)et B =

(1 01 0

).

1. Montrer que lapplication f : M2(R) M2(R) dfinie par f(M) = AMB est linaire.

2. Ecrire la matrice M de f dans la base canonique de M2(R).

3. Dterminer ker(f) et Im(f).

4. Montrer que M2(R) = ker(f) Im(f).

Exercice 10 : Soit M =

3 1 00 3 2

0 0 3

.

1. Vrifier quon peut crire M = 3I + N o N est une matrice dterminer.

2. Calculer N2, N3 puis Np pour p 3.

3. En dduire Mp pour tout entier p 1.

4. Application. Soient (xn)n, (yn)n et (zn)n trois suites relles telles que

x0 = 1, y0 = 2, z0 = 7

et vrifiant les relations de rcurrence

xn+1 = 3xn + ynyn+1 = 3yn + 2znzn+1 = 3zn

On considre le vecteur Xn =

xnyn

zn

.

(a) Trouver une matrice A telle que Xn+1 = AXn. En dduire que Xn = AnX0.

(b) Calculer An.

(c) En dduire les expressions de xn, yn et zn en fonction de n.

Exercice 11 : On considre la matrice A =

(1 23 4

).

1. Calculer A2 3A + 2I. En dduire que A est inversible et calculer son inverse.

2. Pour n 2, dterminer le reste de la division euclidienne de Xn par X2 3X + 2.

3. Calculer An pour tout n N.

Exercice 12 : Soit A = (ai,j)1i,jn Mn(K). Calculer le coefficient (tAA)i,j et le comparer

avec le coefficient ((tAA)j,i. Quel rsultat du cours pouvait laisser prvoir cette galit ?

Exercice 13 :

1. Soit A Mn(K). Montrer que A commute avec toutes les matrices diagonales si et seule-ment si A est elle-mme diagonale.

2. Montrer quune matrice A Mn(K) commute avec toutes les matrices de Mn(K) si etseulement si A est un multiple de la matrice identit In.