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Cours de Mécanique des Systèmes de
Solides Indéformables
M. BOURICH (ENSAM)
Deuxième édition 2014
AVANT–PROPOS
Ce manuel est un cours de base de la mécanique des systèmes de solides indéformables,
particulièrement destiné aux étudiants de la deuxième année de l’École Nationale des Sciences Appliquées
de Marrakech. La première édition du présent manuel est constituée du cours que j’ai assuré, entre 2004
et 2010, en deuxième année SMP à la faculté poly-disciplinaire de Safi. Cette seconde édition respecte le
contenu du descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables de la filière EGT, de l’École
Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech, accréditée.
L'objectif de ce cours est d'apporter une contribution à l'acquisition d'une culture scientifique de
base permettant une meilleure compréhension des lois du mouvement et la maîtrise dans le maniement
des outils de la mécanique.
Chaque chapitre s’ouvre par la précision des objectifs et des compétences visées. L’introduction de
chaque concept est accompagnée par une brève évolution dans le temps, de la sorte que l’étudiant
pourra relater les événements marquants de l’histoire de la mécanique.
Conformément au descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables, le cours est
articulé en sept chapitres :
Calcul vectoriel-Torseurs,
Cinématique du solide,
Géométrie des masses,
Cinétique du solide,
Dynamique du solide,
Liaisons-Forces de liaison,
Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes.
Pour l’élaboration de ce cours polycopié, j’ai utilisé de nombreuses ressources pédagogiques
citées en bibliographie : ouvrages, sites Web et le polycopié de mon cher enseignant Monsieur M.
Hasnaoui.
Gageons que ce cours constituera un précieux outil pédagogique pour les étudiants, tant pour une
préparation efficace des examens que pour l’acquisition d’une solide culture scientifique.
M.Bourich
Illustration de couverture :
GALILÉE (Galileo Galilei, 1564-1642)
(Source : https://www.delcampe.net)
Mathématicien, philosophe et astronome italien. Il utilisa le premier, en 1610, un système optique
pour observer le ciel et révolutionna l'observation de l'Univers. Il découvrit l'inégalité de la surface de la
Lune, les 4 étoiles (satellites) autour de Jupiter, Saturne au triple corps (les anneaux), les phases de
Vénus, et résolut la Voie Lactée en étoiles.
Il fut un des précurseurs de la mécanique classique (celle de Newton), introduisant l'usage des
mathématiques pour l'explication des lois de la physique. Il établit la loi de la chute des corps dans le vide,
et donna une première formulation du principe de relativité. Il défendit ardemment les thèses
héliocentriques de Copernic. Contraire aux Saintes Ecritures, le livre écrit sur le sujet fut interdit et les
exemplaires saisis et brûlés.
A 70 ans (en 1634), jugé par l'église catholique, il fut accusé d'hérésie et dut prononcer un serment
d'abjuration pour ne pas être condamné à mort sur le bûcher. L'Église l'a réhabilité seulement en 1992.
Table des matières
AVANT–PROPOS ................................................................................................................................................................................................... 2
PLAN D’ÉTUDE D’UN SYSTÈME MÉCANIQUE ............................................................................................................................................................... 7
CALCUL VECTORIEL - TORSEURS...................................................................................................................................................................... 10
I– Approche historique ........................................................................................................................................................................... 10 II– Définitions ........................................................................................................................................................................................... 10
1 – Espace vectoriel ........................................................................................................................................................................... 10 2 - Espace vectoriel Euclidien .......................................................................................................................................................... 10
II- Espace Affine-Espace Métrique ....................................................................................................................................................... 10
1 – Espace affine ................................................................................................................................................................................. 10
2 - Espace métrique ............................................................................................................................................................................ 11
III– Vecteurs-Moment d’un vecteur ...................................................................................................................................................... 11
1- Introduction ...................................................................................................................................................................................... 11
2- Vecteur lié-Vecteur glissant ........................................................................................................................................................ 11
3 - Opérations sur les vecteurs ....................................................................................................................................................... 11
4- Moment d’un vecteur en un point............................................................................................................................................... 12
IV- Torseurs .............................................................................................................................................................................................. 13 1 - Introduction .................................................................................................................................................................................... 13
2- Application antisymétrique ......................................................................................................................................................... 13
3- Champ antisymétrique ................................................................................................................................................................. 14
4- Torseurs .......................................................................................................................................................................................... 15
CINÉMATIQUE DU SOLIDE ................................................................................................................................................................................. 20
I. Approche historique ........................................................................................................................................................................... 20
II. Espace Repère-Solide rigide ........................................................................................................................................................... 20
1- Espace repère ................................................................................................................................................................................ 20
2- Définition d’un solide rigide ........................................................................................................................................................ 20 III. Notion des Champs des Vitesse et des Accélérations ............................................................................................................... 21
1-Introduction ...................................................................................................................................................................................... 21 2-Champ des vitesses d’un solide .................................................................................................................................................. 21
3- Champ des accélérations d’un solide ....................................................................................................................................... 21 IV. Mouvements de translation-rotation-tangent ............................................................................................................................ 22
1- Mouvement de translation ........................................................................................................................................................... 22
2- Rotation d’un solide autour d’un axe fixe ................................................................................................................................ 22
3- Mouvement hélicoïdal .................................................................................................................................................................. 23
4- Mouvement général d’un solide : Mouvement tangent ......................................................................................................... 23
IV- Composition des Mouvements ....................................................................................................................................................... 24
1- Dérivation vectorielle ................................................................................................................................................................... 24
2- Composition des vitesses ........................................................................................................................................................... 25 3- Composition des vecteurs rotations ....................................................................................................................................... 25
4- Composition des accélérations ................................................................................................................................................. 26
V- Cinématique des solides en contact............................................................................................................................................. 26 1- Vitesse de glissement ................................................................................................................................................................... 27
2- Roulement et pivotement ............................................................................................................................................................ 28
VI- Mouvement plan d’un solide ............................................................................................................................................................ 28
1- Définition ......................................................................................................................................................................................... 28 2- Centre instantané de rotation (C.I.R.) ...................................................................................................................................... 29
3- Base et roulante-Étude analytique ........................................................................................................................................... 29
GÉOMÉTRIE DES MASSES ................................................................................................................................................................................. 35
I. Approche historique ...........................................................................................................................................................................35
II. Masse - Centre de Masse .................................................................................................................................................................35
1- Définition .........................................................................................................................................................................................35 2- Centre de masse ......................................................................................................................................................................... 36
3- Théorème de Guldin .................................................................................................................................................................... 36 Les méthodes pratiques de recherche de G dans le cas de corps homogènes : ............................................................... 36
4- Centre de masse de volume ou de surface homogènes présentant un axe de révolution ......................................... 38
III. Moment d’inertie - Opérateur d’inertie ....................................................................................................................................... 38 1- Définitions ...................................................................................................................................................................................... 38
2- Moment d’inertie .......................................................................................................................................................................... 39 Les relations entre ces grandeurs :On peut écrire .................................................................................................................. 39
3- Opérateur d’inertie en un point O ............................................................................................................................................. 40
IV- Matrice d’inertie-Matrice principal d’inertie............................................................................................................................... 41
1- Matrice d’inertie ............................................................................................................................................................................. 41
2- Matrice principale d’inertie: ....................................................................................................................................................... 42 V- Théorème de Huygens ...................................................................................................................................................................... 43
1- Relation entre les opérateurs d’inertie d’un système en deux points .............................................................................. 43 2- Théorème de Huygens .................................................................................................................................................................... 1
VI- Exemple de corps homogènes classiques ............................................................................................................................. 44
CINÉTIQUE DU SOLIDE ...................................................................................................................................................................................... 49
I. Introduction ........................................................................................................................................................................................... 49
II. Définitions des cinq quantités cinétiques ...................................................................................................................................... 49
III. Torseur Cinétique ............................................................................................................................................................................... 49
1- Quantité de Mouvement ................................................................................................................................................................ 49 2- Moment Cinétique ........................................................................................................................................................................ 50
IV. Torseur Dynamique [D] ..................................................................................................................................................................... 52 1. Quantité d'accélération (résultante dynamique) .................................................................................................................... 52
2- Moment dynamique ......................................................................................................................................................................53
3- Autres résultats ........................................................................................................................................................................... 54
V. Énergie Cinétique ................................................................................................................................................................................ 56
1- Introduction ................................................................................................................................................................................... 56
2- Deuxième théorème de Kœnig .................................................................................................................................................. 56
DYNAMIQUE DU SOLIDE .................................................................................................................................................................................... 60 I. Approche historique............................................................................................................................................................................ 60
II. Principe Fondamental de la Dynamique - Théorèmes Généraux .............................................................................................. 60
1- Introduction ................................................................................................................................................................................... 60
2- Torseur des forces appliquées à (S) ...................................................................................................................................... 60
3- Classification des forces ............................................................................................................................................................. 61
4- Principe fondamental de la dynamique (PFD) ou axiome de la dynamique ..................................................................... 61
5- Théorème des interactions ou théorème de l’action et de la réaction ............................................................................ 62 III- Changement de repère - Repère galiléen ................................................................................................................................... 63
1- Position du Problème ................................................................................................................................................................... 63
2- Torseur dynamique d’entraînement-Torseur dynamique de Coriolis .............................................................................. 63 IV. Travail et puissance ........................................................................................................................................................................... 64
1- Puissance d’un couple appliqué à un solide ............................................................................................................................. 64
2- Puissance d’un torseur de forces appliquées à un solide .................................................................................................. 64
3- Puissance du torseur des forces appliquées à un système matériel (S) ...................................................................... 65 4- Théorème de l’énergie cinétique .............................................................................................................................................. 66
LIAISONS - FORCES DE LIAISON ...................................................................................................................................................................... 70
I. Introduction ........................................................................................................................................................................................... 70
II. Liaisons-Actions de contact .............................................................................................................................................................. 70
1- Définition ......................................................................................................................................................................................... 70 2- Liaisons ........................................................................................................................................................................................... 70
3- Liaison holonome ........................................................................................................................................................................... 71
4- Action de contact ........................................................................................................................................................................... 71
III. Lois de Coulomb ................................................................................................................................................................................... 71
1- Approche historique ...................................................................................................................................................................... 71 2- Réaction normale ......................................................................................................................................................................... 72
3- Réaction tangentielle ................................................................................................................................................................... 72 4- Vitesse de rotation de pivotement-roulement ....................................................................................................................... 73
5- Puissance totale des actions de contact ................................................................................................................................ 73 IV. Exemple d’application: mouvement d’une sphère sur un plan incliné..................................................................................... 74
MOUVEMENT D’UN SOLIDE AUTOUR D’UN POINT OU D’UN AXE FIXES ................................................................................................................ 79
I- Approche historique ............................................................................................................................................................................ 79
II- Rotation d’un Solide autour d’un Point Fixe (Angles d’Euler) .................................................................................................... 79
1- Angles d’EULER ............................................................................................................................................................................... 79 2- Moment cinétique en O du solide : ........................................................................................................................................... 80
3- Moment dynamique en O: ........................................................................................................................................................... 80 4- Énergie cinétique: ........................................................................................................................................................................ 80
III- Exemple de la toupie symétrique sur sa pointe fixe O ............................................................................................................... 81
VI. Solide mobile autour d’un axe fixe ........................................................................................................................................... 84
1. Exemple ............................................................................................................................................................................................ 84
2. Énergie cinétique .......................................................................................................................................................................... 85
3. Mouvement du centre de gravité ............................................................................................................................................. 85
BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................................................................................................ 87
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 7
PLAN D’ÉTUDE D’UN SYSTÈME MÉCANIQUE
Définir le système mécanique étudié : (S)
Étude cinématique : vecteurs rotation
vecteurs vitesses
veteurs accélérations ….
Géométrie de masse : masse
centre de masse, d’inertie
matrice d’inertie ……
Étude cinétique : déterminer les torseurs des actions mécaniques
extérieures agissant sur (S) et les ramener
en des points judicieusement choisis
Étude dynamique : application des théorèmes généraux au système (S)
Résolution de système différentiel pour l’obtention des équations du mouvement de (S)
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 8
1 Chapitre
Calcul Vectoriel-Torseurs
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 9
Objectifs :
Définir un torseur (torsur symétrique et anti-symétrique, invariants scalaires) ;
Décomposer un torseur (couple et glisseur) ;
Comprendre la notion de torseur équiprojectif ;
Décrire les élements de réduction d’un torseur ;
Déterminer l’axe central.
Galilée : (1564-1642) La philosophie est écrite dans ce grand livre, l'univers,
qui ne cesse pas d'être ouvert devant nos yeux. Mais ce livre ne peut se lire si on ne comprends pas le langage et on ne connaît
pas les caractères avec lesquels il est écrit. Or, la langue est
celle des mathématiques, et les caractères sont triangles,
cercles et d'autres figures géométriques. Si on ne les connaît pas, c'est humainement impossible d'en comprendre même pas
un seul mot. Sans eux, on ne peut qu'aller à la dérive dans un
labyrinthe obscur et inextricable". G. Galilei, "Il Saggiatore",
Rome, 1623
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 10
CALCUL VECTORIEL - TORSEURS
I– Approche historique
Pour les problèmes de physique, l'Allemand Hermann Grassman (1809-1877) fut l’un des
premiers à utiliser la notation vectorielle. L'Américain Gibbs (1839-1903) et l'Anglais Heaviside
(1850-1925), disciples de Hamilton (l'un des premiers à utiliser la notion de vecteur), donnent au
calcul vectoriel sa forme quasi définitive. L’intérêt de la maitrise du calcul vectoriel est
fondamental pour la bonne application des lois de la mécanique.
II– Définitions
1 – Espace vectoriel
On appelle espace vectoriel E sur un corps commutatif K un ensemble d’éléments
(vecteurs) qui vérifient les propriétés suivantes:
- E est muni d’une structure de groupe commutatif pour une loi de composition interne,
l’addition vectorielle, notée (+).
- , K et Evu
, , on a : et
2 - Espace vectoriel Euclidien
Un espace vectoriel E est dit euclidien s’il est muni d’un produit scalaire f qui à ,
fait correspondre le nombre réel tel que:
=
( égalité si )
Notation:
II- Espace Affine-Espace Métrique
1 – Espace affine
On appelle espace affine , un ensemble d’éléments appelés points tels qu’à tout couple
ordonné de deux points A et B (bipoints), on fait correspondre un vecteur d’un espace
vectoriel E et si A, B et C , on a:
O et E, ! A défini par
u v u v
u u
Ev,u
f u v ,
f u v , f v u
,
f u v f u v , ,
f u v w f u v f u w , , ,
f u u , 0
u 0
f u v u v ,
AB
AB BA
AC AB BC
u
uOA
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 11
2 - Espace métrique
Un espace métrique est un espace affine auquel on a associe un espace vectoriel
euclidien.
Pour la suite du cours, on désignera par l’espace métrique associé à un espace vectoriel
euclidien E de dimension 3.
III– Vecteurs-Moment d’un vecteur
1- Introduction
En physique, la modélisation des grandeurs, qui ne peuvent être entièrement définies par
un scalaire ou une fonction numérique seuls, se fait par l’introduction de la notion de vecteur.
Par exemple, pour préciser un déplacement, une vitesse, ou une force, la direction et le sens sont
indispensables.
2- Vecteur lié-Vecteur glissant
On appelle vecteur lié, tout couple (A, ) formé de A appelé origine ou point
d’application et d’un vecteur de E appelé grandeur vectorielle.
Notation: (A, ) = (A) : on lit vecteur lié au point A.
Exemples: - Force résultante appliquée à un point.
- Champ électrique créé par une charge électrique en un point.
On appelle vecteur glissant, un vecteur défini à un glissement près sur un axe () appelé
support.
Notation: (, ) : vecteur glissant
Exemple: - Résultante dans le cas d’un torseur.
Soit b = ( , , ) une base orthonormée directe de E.
E, sera défini par ses composantes ux, uy et uz dans cette base :
ou dans (b)
3 - Opérations sur les vecteurs
3-1 Produit scalaire
Le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux
vecteurs. À deux vecteurs, elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire, d'où son
nom). Elle permet d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs,
angles, orthogonalité.
Soient et deux vecteurs libres non nuls de E.
u
u
u
u
u
u
ijk
u
u
kujuiuu zyx
z
y
x
u
u
u
u
u
v
zzyyxx vuvuvuvu
0vu
u
v
u
()
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 12
3-2 Produit vectoriel
Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens
orientés de dimension 3. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel
d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique.
Aux deux vecteurs et de E, on peut associer un vecteur (unique) tel que:
On a , et ( , , ) forme un trièdre direct.
Conséquences
- Si et sont dans le plan de la feuille, est à ce plan.
-
- : le produit vectoriel est anti-commutatif.
3-3 Double produit vectoriel
Soient , et E.
3-4 Produit mixte
Considérons , et E.
Propriétés
: le produit mixte est invariant par permutation circulaire.
: le produit mixte change de signe dans le cas d’une permutation
non circulaire.
4- Moment d’un vecteur en un point
En physique, les moments des vecteurs sont grandement utilisés, ils permettent de
modéliser des grandeurs comme, moment d’une force, moment d’inertie et moment
cinétique…etc.
Soit (A, ) un vecteur lié et O .
Le moment en O du vecteur lié est le vecteur
Soit (, ) un glisseur et O .
est indépendant du point M .
u
v
w
xyyxz
zxxzy
yzzyx
z
y
x
z
y
x
vuvuw
vuvuw
vuvuw
v
v
v
u
u
u
vuw
w
u
w
v
u
v
w
u
v
w
0uu
uvvu
u
v
w
wvuvwuwvu
u
v
w
zzz
yyy
xxx
wvu
wvu
wvu
detw,v,uw∧vu
u,w,vv,u,ww,v,u
w,u,vv,w,uw,v,u
u
Au
u∧OA)A(u,O→→
M
u
( )u,O→ M
u
v
w
A
u
M(O,u(A))
O
u
u
M
O
M(O, u)
M'
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 13
Preuve:
IV- Torseurs
1 - Introduction
Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide
indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'ils subissent
de la part d'un environnement extérieur. Un certain nombre de vecteurs utilisés en mécanique
sont des moments : moment d'une force, moment cinétique, moment dynamique. Les champs
vectoriels utilisés en mécanique (moment d'une force, moment cinétique, moment dynamique..)
possèdent des propriétés communes, d’où l’intérêt d’être modélisés par un même objet
mathématique appelé « torseur
».
2- Application antisymétrique
Définition: : E E
( )
est antisymétrique , E; ( ) = - ( )
Exemple: a: E E
(où est un vecteur donné non nul).
Proposition : Si est antisymétrique, E tel que:
( ) = ( E)
Démonstration
Si [L] est la matrice associée à dans la base ( , , ), alors ( ) = [L]
avec
Considérons les produits scalaires suivants :
( ) = - ( ) = 0
( ) = 0
( ) = 0
( ) = - ( )
0
uM'Mu'OMuOM
u
u
u
v
u
v
v
u
u
a
u
a
R
u
R
u
u
ijk u
u
[ ]L
11 12 13
21 22 23
31 32 33
i
i
i
i 0
0
0
1
0
0
1
ii]L[
333231
232221
131211
11 0
j
j 22 0
k
k 33 0
i
j
ji
12
3231
2321
1312
21
3231
2321
1312
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 14
( ) = - ( )
( ) = - ( )
( ) = - ( )
Posons , et . Il en résulte :
( ) = [L]
avec
3- Champ antisymétrique
3-1 Définitions
Soit D un sous-ensemble de (D ). On appelle champ de vecteurs sur D, une application de
D dans E qui à M D E.
Notation: D E
M
Un champ de vecteurs est dit antisymétrique s’il existe une application antisymétrique
telle que M, N , on a la relation = + ( ).
Si est le vecteur associé à on aura = + , M, N .
Un champ de vecteurs est dit équiprojectif si M, N :
Propriété
Un champ de vecteurs est antisymétrique est équiprojectif.
Preuve
= +
Achever la démonstration dans l'autre sens.
i
j
ji 21 12
i
k
k
i 31 13
j
k
k
j 23 32
12 3 r 13 2 r 23 1 r
u
u
uR
urur
urur
urur
u
u
u
0rr
r0r
rr0
u]L[
y1x2
z1x3
z2y3
z
y
x
12
13
23
krjrirR 321
Mu
Mu
Mu
Nu
Mu
MN
R
Nu
Mu
MNR
Mu
MuMNNuMN
Mu
Mu
Nu
Mu
MNR
0
MNRMNMuMNNuMN
u(M)
u(N)
M
N
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 15
4- Torseurs
4-1 Définition
On appelle torseur [ ] un ensemble formé d’un champ de vecteurs antisymétrique et de
son vecteur .
Conséquence
Soit O et M quelconque, on a
Un torseur est donc caractérisé par la donnée de et de son champ en un point.
Notation: .
Les vecteurs et sont appelés les éléments de réduction du torseur [] en O ou ses
coordonnées en O.
Exemple: Le champ des moments d’un vecteur est un torseur.
Considérons un vecteur lié à un point A et M un point quelconque de . Le moment en
M de vérifie la relation :
= =
= + = +
Ainsi, le champ est antisymétrique. On peut donc lui associer un torseur avec
comme résultante.
4-2 Opération sur les torseurs
Addition des torseurs
Considérons les torseurs et .
Le champ possède la propriété suivante:
Il vérifie donc la propriété d’un torseur et caractérise la somme [ (O) ] = [1(O) ] + [2(O) ] .
Ses éléments de réduction en O sont :
Remarque:
- Cette loi d’addition est commutative et associative,
- Elle a un élément neutre: le torseur nul (résultante et moment nuls),
Mu
R
OMROuMu
R
R),O(u)O(
Ou
R
du torseurrésultante:R
Ointpoautorseurdumoment:Ou
F
F
FM
,M F∧MA
F∧AMMM
)''(
F∧→
A'M
F∧→
'MM
FM
,M F∧→
'MM
MM
F
111 R),O(u)O(
222 R),O(u)O(
MuMuMu 21
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) iqueantisymétrest champce:'MM∧RMu
'MM∧RMu'MM∧RMu'Mu'Mu'Mu
→
→
22
→
1121
+=
+++=+=
)O(u)O(u)O(u
RRR
21
21
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 16
- Tout torseur [ (O) ] a un torseur opposé .
Multiplication d’un torseur par un scalaire
[ (O) ] = [1(O) ] ;
Exercice : Vérifier que [1(O) ] est un torseur.
Comoment ou produit scalaire de deux torseurs
Considérons les deux torseurs:
considérons OO et examinons
Cette quantité, indépendante de O et par conséquent invariante, représente par définition le
produit scalaire (on utilise également la terminologie de comoment) des deux torseurs [1 ] et [2 ].
Définition du comoment:
Égalité de deux torseurs: [1 ] = [2 ] M ,
Conséquence: [1(O) ] = [2(O) ]
4-3 Invariant scalaire d’un torseur
Soit un torseur défini par ses coordonnées en O. La quantité ,
indépendante du point O, est appelée invariant scalaire ou automoment du torseur.
Preuve: ( O)
4-4 Axe central d’un torseur
Définition : On appelle axe central () d’un torseur avec , le lieu des
points P
tel que
Équation de ()
Soit P ()
R),O(u
)O(u)O(u
RR
1
1
222
111
R),O(u)O(
R),O(u)O(
)'O(uR)'O(uR 1221
'OORR'OORR)O(uR)O(uR
'OOR)O(uR'OOR)O(uR)'O(uR)'O(uR
12211221
1122211221
)O(uR)O(uR)O()O( 122121
)M(u)M(u
et
RR
21
21
)O(u)O(u
RR
21
21
R),O(u)O(
)O(uRI
'OOR)O(u)'O(u
I
0
OORROuROuR
')()'(
R),O(u)O(
0R
0R)P(u
0R)P(u
0ROPR)O(u
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 17
Multiplions vectoriellement () par
Donc tel que
Ainsi, si P à l’axe central (avec ).
Remarque:
L’axe central d’un torseur est la droite () de vecteur directeur et passant par le
point P0 tel que:
4-5 Classification des torseurs
Glisseur
Le torseur est un glisseur, si son invariant scalaire est nul.
et .
Remarque :
Sur l’axe central d’un glisseur, P () car et avec .
Couple : est un couple si . Le champ devient alors indépendant de
M.
Remarque :
Il n’existe pas d’axe central pour un couple.
Proposition: Le torseur peut se décomposer en la somme d’un glisseur
et d’un couple.
Démonstration :
N.B.: Cette décomposition n’est pas unique; il y a une infinité de décompositions possibles
qui dépendent du choix de O.
0ROPROPRR)O(u 2
R ( ) 0
0
R∧R)OP.R(-OP∧RRR∧)O(u∧R→→
2
=
=
+
0OPRR)O(uR 2
ROPRR)O(u 2
22 R
R)O(u
R
ROP
2R
)O(uRROP
R),O(u
R
20 R
)O(uROP
R),O(u)O(
0)O(uRI
0R
0)P(u
)P(u//R
0)P(uR
0R
R),O(u)O(
0R
)M(u
R),O(u)O(
)]O(C[)]O(G[0),O(uR,0R),O(u)O(CoupleGlisseur
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 18
2 Chapitre
Cinématique du Solide
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 19
Objectifs :
Décrire et analyser la nature du mouvement d’un système;
Différencier entre les vitesse linéaire et angulaire ;
Recenser le nombre de paramètres indépendants intervenant dans l’étude cinématique ;
Savoir choisir une base dans laquelle expliciter simplement le mouvement ;
Savoir mettre en œuvre les formules de changement de référentiel pour les vitesses et les
accélérations;
Déterminer le centre instantané de rotation ;
Savoir mettre en œuvre la condition de roulement sans glissement ;
Savoir analyser le mouvement instantané d’un solide et déterminer la base et la roulante.
René Descartes : (1596-1650) René Descartes a écrit les principes de la philosophie en 1644, dont l’objectif est de « donner des fondements rigoureux à la
philosophie». La physique cartésienne est fondée sur
l’identification de la matière avec la quantité géométrique : la pesanteur et le mouvement sont ramenés à une explication
mécaniste. Sa description du monde est essentiellement
cinématique, le mouvement se transmettant de proche en
proche par contact. Dans les Principes de la Philosophie, Descartes distingue la cause première de tous les mouvements
(Dieu, auteur de la nature), des causes secondes appelées les lois De la nature, qui régissent le mouvement des parties de la
matière.
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 20
CINÉMATIQUE DU SOLIDE
I. Approche historique
En mécanique, la cinématique (tiré du nom grec : kinêma) est l'étude des mouvements des
corps sans tenir compte des causes qui les produisent. Au côté de la notion d'espace qui fut
l'objet de la géométrie, la cinématique introduit en outre la notion du temps. On peut dater la
naissance de la cinématique moderne à l'allocution de Pierre Varignon en 1700 qui a démontré
qu’il est possible de déduire l’accélération de la vitesse instantanée à l'aide d'une simple
procédure de calcul différentiel.
II. Espace Repère-Solide rigide
1- Espace repère
On considère que l’espace dans lequel évoluent les systèmes est homogène (indépendant
du lieu), isotrope (indépendant de la direction) et euclidien (muni d’un produit scalaire). Il est
défini par l’association de l’horloge H et d’un repère R0 (O, b0).
L’existence du temps absolu H est unique.
O : origine du repère
b0 est une base orthonormée directe.
Un point M est en mouvement par rapport à R0 si ses coordonnées varient en fonction du
temps, i.e. :
On définit aussi:
La vitesse de M par rapport à R0 :
L’accélération de M par rapport à R0 :
2- Définition d’un solide rigide
Un solide rigide ou indéformable est un ensemble de points matériels dont les distances
mutuelles restent constantes au cours du temps.
Soient A et B deux points d'un solide (S).
000 k,j,i
)t(z
)t(y
)t(x
OM
0R
0
→
dt
OMd)R/M(v =
0R
2
2
0R
00
dt
OMd
dt
)R/M(vd)R/M(
AB
(S)(R)
io
jo
ko
O
(R) lié à (S)
(Ro)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Physiquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9triehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Tempshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre_Varignonhttps://fr.wikipedia.org/wiki/1700https://fr.wikipedia.org/wiki/Vitessehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_diff%C3%A9rentiel
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 21
(c’est le carré de la distance entre les points A et B), alors que peut dépendre du
temps par sa direction.
En effet: (vecteur variable)
Or
III. Notion des Champs des Vitesse et des Accélérations
1-Introduction
En mécanique du point matériel (sans dimension), il est impossible de lui concevoir un
mouvement de rotation propre. Par contre, pour la mécanique du solide, ce dernier peut effectuer
une rotation sur lui-même, elle est définissable et mesurable. D’où l’intérêt de l’introduction de
la notion des champs des vitesses et des accélérations afin de décrire et de modéliser les rotations
de l'objet sur lui-même.
2-Champ des vitesses d’un solide
Pour un solide on a A, B (S)
Donc ou bien
On déduit que le champ des vitesses d’un solide est équiprojectif et par conséquent c’est un champ
antisymétrique. Ainsi, tel que
Soit R un repère lié au solide. En utilisant la relation
, on voit que n'est autre que le vecteur rotation instantané de
R par rapport à R0.
Le champ des vitesses d’un solide est donc un torseur, on l’appelle torseur cinématique. Ses
éléments de réduction (ou coordonnées) au point A sont:
On le note [ (A)] =
3- Champ des accélérations d’un solide
Pour A, B (S) on a
En dérivant cette relation par rapport au temps on obtient:
cteAB2
AB
)t(OA)t(OBAB
cteABABAB2
0dt
ABdAB
0dt
ABdAB
0)R/A(v)R/B(vAB 00
)R/A(vAB)R/B(vAB 00
AB)R/A(v)R/B(v 00
AB)R/R(dt
ABd
dt
ABd0R0R
R dans fixeest ABcar 0
dt
ABdR
momentvecteurson:)R/A(v
résultante sa:)R/S(
0
0
)R/S(),R/A(v 00
AB)R/A(v)R/B(v 00
)o
(A/Rv)o
(B/RvΩABdt
Ωd)
o(A/Rγ)
o(B/Rγ
0R
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 22
Finalement
En général, le terme n’est pas nul. Par conséquent, le champ des
accélérations d’un solide n’est pas un torseur.
IV. Mouvements de translation-rotation-tangent
1- Mouvement de translation
Le solide (S) est animé d’un mouvement de translation par rapport à R0 si , t.
Il en résulte que A, B (S),
De plus, dans un mouvement de translation on a:
et t (le vecteur reste équipollent à lui même)
Dans ce cas [ (A)] = : dans un mouvement de translation, le torseur
cinématique est un couple.
2- Rotation d’un solide autour d’un axe fixe
Supposons que (S) est en mouvement de rotation autour d’un axe (), fixe dans R0 (de
manière instantanée ou permanente).
Soit A un point appartenant à () (on retiendra comme remarque le fait
que tous les points fictifs ou géométriques appartenant à l’axe de rotation sont considérés
comme des points du solide et peuvent être utilisés dans les relations de transfert).
Soit M un point (S) alors:
, avec (si non le solide serait au repos).
L’invariant scalaire
Dans un mouvement de rotation autour d’un axe fixe (), le torseur cinématique est un glisseur
[ ].
Appelons () l’axe central du torseur cinématique et () l’axe de rotation du solide.
Proposition: Les axes () et () sont confondus.
)AB(ABdt
d)R/A()R/B(
0R
00
AB)AB(ABdt
d)R/A()R/B( 2
R
00
0
AB)AB( 2
0S/R 0
)R/A(v)R/B(v 00
BAAB BBAA AB
]0),R/A(v[ 0
0)R/A(v 0
AM)R/S(
0
)R/A(v)R/M(v 000
0)R/S( 0
0)R/S()R/M(vI 00
io
jo
ko
O
(Ro)
AB
(S)(R)
A"
B"
(S)(R)
B'
A'
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 23
Démonstration: A (), on a
A ()
() ()
Remarques
Lorsqu’il s’agit d’une rotation de (S) autour d’un axe () on retient que:
- le torseur cinématique est un glisseur;
- l’axe de rotation du solide est l’axe central du glisseur;
- [ (A)] = si A ();
- [ (B)] = si B ().
3- Mouvement hélicoïdal
Dans un mouvement hélicoïdal, tout point M (S) tourne autour d’un axe () et, en même
temps, se déplace suivant cet axe.
Soit A un point de (S) appartenant à (). On a:
Schématisation - Interprétation
D’après la figure, le point P représente la projection de M sur le plan (). Ainsi, on a:
L’invariant scalaire n’est pas nul dans un mouvement hélicoïdal.
4- Mouvement général d’un solide : Mouvement tangent
A, B (S), on a la relation de transfert suivante:
Si, à un instant t donné, , et on dira alors, qu’à cet instant,
le mouvement du solide est tangent à une translation.
0)R/A(v 0
0)R/S()R/A(v 00
)]R/S(,0[ 0
)]R/S(),R/B(v[ 00
rotation
AM)R/S(
ntranslatio
)R/A(v)R/M(v 000
OPOHHMOHOM
axel'deautourrotation
HM∧)R/S(
axel' de long lentranslatio
)R/H(v
OP∧)R/S()R/H(v
)R/P(v)R/H(v)R/M(v
00
00
000
+=
+=
+=
AB)R/S()R/A(v)R/B(v 000
0)R/S( 0
)R/A(v)R/B(v 00
A
V(A/Ro)
MH
P
O
V(H/Ro)
(S/Ro)
P est animé d'un mouvement
de rotation autour de ()
M reste à une
distance fixe de ()
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 24
Si, à un instant t donné , on dira alors, qu’à cet instant, le torseur cinématique
admet un axe central ().
Soit H () on a:
Si , on dira que le mouvement du solide est tangent à une rotation d'axe
().
Si le mouvement du solide est dit tangent à un mouvement hélicoïdal ayant
() comme axe instantané de rotation.
IV- Composition des Mouvements Il s’agit de déterminer le mouvement du solide par rapport à un repère R0, sachant que son
mouvement est connu par rapport à un repère R1.
Considérons: R0 (O, , , ) un repère absolu (repère fixe);
R1 (O1, , , ) un repère mobile (repère relatif);
R (G, , , ) un repère lié au solide.
1- Dérivation vectorielle
Soient A et B deux points , fixes dans R1 est un vecteur constant dans R1.
Puisque, par définition, un repère d’espace est un ensemble de points dont les distances
mutuelles sont invariables dans le temps, on appelle également ce repère un solide de référence.
Conséquences
, et
Considérons maintenant A, B , mobiles dans R1
On peut obtenir le vecteur dérivé de dans R0 en prenant en
considération le fait que les vecteurs varient dans ce repère.
0)R/S( 0
HA)R/S()R/S(
HA)R/S()R/H(v)R/A(v
00
000
0)R/H(v 0
0)R/H(v 0
0i
0j
0k
1i
1j
1k
i
j
k
AB
AB)R/R()R/A(v)R/B(vdt
ABd0100
R0
101
R
1 i)R/R(dt
id
0
101R
1 j)R/R(dt
jd
0
101R
1 k)R/R(dt
kd
0
111 k)t(j)t(i)t(AB
111
1R
k)t(j)t(i)t(dt
ABd
111 k)t(j)t(i)t(AB
111 k,j,i
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 25
: Ce résultat est général
2- Composition des vitesses
Soit M (S), on peut écrire
: vitesse absolue du point M
: vitesse relative du point M
: vitesse d’entraînement du point M.
Remarque :
La vitesse d’entraînement s’interprète comme étant la vitesse absolue d’un point Me fixe dans R1
et coïncidant avec M à l’instant t.
3- Composition des vecteurs rotations
On a : (1)
(2)
(3)
En éliminant entre les équations (1) et (2), on obtient:
(4)
En comparant (2) et (4) on déduit que :
On peut généraliser cette dernière relation à plusieurs repères:
0R1
0R1
0R1
1R0Rdt
kd)t(
dt
jd)t(
dt
id)t(
dt
ABd
dt
ABd
AB)R/R(dt
ABd
dt
ABd01
RR 10
MOOOOM 11
MO)R/R(dt
MOd)R/O(v
dt
MOd)R/O(v)R/M(v 101
R
101
R
1010
10
)M(v)M(vMO∧)R/R()R/O(v)R/M(v)R/M(v er1010110
)R/M(v)M(v 0a
)R/M(v)M(v 1r
MO)R/R()R/O(v)M(v 10101e
AB)R/R(dt
ABd
dt
ABd01RR 10
AB)R/R(dt
ABd
dt
ABd0RR1
AB)R/R(dt
ABd
dt
ABd0RR0
1Rdt
ABd
AB)R/R()R/R(dt
ABd
dt
ABd011RR0
)R/R()R/S()R/S( 0110
)R/R()R/R()R/R()R/R()R/S()R/S( 0nn1n322110
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 26
4- Composition des accélérations
Considérons M (S) et utilisons la loi de composition des vitesses:
En dérivant cette expression par rapport à t dans R0, on obtient:
En définitive on obtient:
V- Cinématique des solides en contact
Considérons deux solides (S1) et (S2) en mouvement par rapport à un référentiel R0 (O, ,
, ) de manière à ce que leurs surfaces restent en contact ponctuel.
A chaque instant, on doit distinguer 3 points confondus dont les vitesses et les
accélérations sont différentes en général :
- le point matériel I1 (I1 S1);
- le point matériel I2 (I2 S2);
- le point géométrique I ( non lié ).
era v
MO)R/R()R/O(v
v
)R/M(v
v
)R/M(v 1010110
000 R
1011
R
01
01
R
10
dt
MOd)R/R(MO
dt
)R/R(d)R/O(
dt
)R/M(vd)R/M(
MO)R/R()R/M(vdt
MOd1011
R
1
0
)R/M(v)R/R()R/M()R/M(v)R/R(dt
)R/M(vd
dt
)R/M(vd1011101
R
1
R
1
10
)MO∧(∧MO∧dt
d)R/O()R/M(v∧)R/R(2)R/M()R/M( 11
R
0110110
0
++++=
)M()M()M()M()R/M( ecra0
ntentraînemed'on accélérati :)MO(MOdt
d)R/O()M(
Coriolis deon accélérati :)R/M(v)R/R(2)M(
relativeon accélérati:)R/M()M(
11
0R
01e
101c
1r
0i
0j
0k
io
jo
ko
O
(Ro)
(R2)
(R1)
(S1)
(S2)
I1
I2I
O1
O2
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 27
Au cours du temps, le point I est confondu avec les différents points matériels de contact.
1- Vitesse de glissement
Le glissement décrit un mouvement relatif entre deux solides en contact.
.
Définition
On appelle vitesse de glissement de (S1) sur (S2), la vitesse de I1 par rapport à (S2).
Notation: (I1 S1 et R2 lié à S2)
Autres expressions de cette vitesse ?
Considérons R0 absolu et R2 relatif et cherchons
Or:
En définitive:
De manière plus générale:
( le repère R)
C’est une vitesse indépendante du repère par rapport auquel (S1) et (S2) sont en mouvement, et
elle est contenue dans le plan tangent () commun à (S1) et (S2).
Démonstration
La loi de composition des vitesses nous permet d’écrire :
(R1 relatif)
(R2 relatif)
Or :
Cas particulier
Lorsque la vitesse de glissement est nulle, on dit qu’il y a absence de glissement.
)R/I(v)S/I(v)S/S(v 212121g
==
)I(v)I(v)R/I(v 1e1r01
)S/S(v)R/I(v)I(v 21g211r
21020202
021202021e
OI)R/R()R/I(v)R/O(v
)R/I(vIO)R/R()R/O(v)I(v
)R/I(v)I(v 021e
)R/I(v)R/I(v)R/I(v 022101
)S/S(v)R/I(v)R/I(v)R/I(v 21g020121
)R/I(v)R/I(vdt
IId)S/S(v 21
R
1221g
)R/I()I(
IO∧)R/R()R/O(v)R/I(v)R/I(v
01vev
1010110
)R/I(v)R/I(v)R/I(v 0110
)R/I(v)R/I(v)R/I(v 0220
∈
)R/I(v
π∈
)R/I(v)R/I(v)R/I(v)S/S(v 12020121g ==
O
(Ro)(S1)
(S2)
I1
I2I
jo
ko
io
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 28
( R0)
Si l’on choisit R1 ou R2 comme repères de travail on aura:
2- Roulement et pivotement
Soit M S1, la relation de transfert du torseur cinématique
Le vecteur peut être décomposé comme suit:
Le vecteur exprime une rotation instantanée autour d’un axe du plan tangent; il caractérise le
roulement de (S1) / (S2).
Le vecteur exprime une rotation instantanée autour d’un axe au plan tangent; il caractérise
le pivotement de (S1)/(S2). Ainsi, /( ) est la vitesse angulaire de roulement/(pivotement).
Finalement: .
Remarque
Lorsque la vitesse de glissement est nulle, on dit qu’il y a roulement et pivotement.
VI- Mouvement plan d’un solide
1- Définition
On appelle mouvement plan d’un solide (S), un mouvement tel que chaque point de (S) se
déplace dans un plan parallèle à un plan fixe (0) dans le référentiel considéré R0.
Exemple:
- Cas d’un disque vertical évoluant sur un axe.
Les vecteurs de base restent constamment
dans le plan x0Oy0.
Considérons deux points M et M de (S) évoluant dans un même plan () parallèle à (0) .
()
L’invariant scalaire et le torseur cinématique est un glisseur dans ce
cas.
)R/I(v)R/I(v0)S/S(v 020121g
)R/I(v)R/I(v 0201
0)R/I(v)R/I(v)R/I(v)R/I(v 22211211
MI)S/S()S/I(v)S/M(v 121212
MI)S/S()S/S(v)S/M(v 12121g2
)S/S( 21
nt21 )S/S(
)(plan au normale )S/S( de composante :
)(plan le danscontenu )S/S( de composante :
21n
21t
t
n
t
n
pivotementdevitesse
MI∧
roulementdevitesse
MI∧
glissementdevitesse
)S/S(v)S/M(v 1n1t21g2 ++=
)j,i(
MM)R/S()R/M(v)R/M(v 000 )R/S( 0
0)R/S()R/M(vI 00
(S1)
(S2)
( / )S S1 2
t
n
GO
j
0
i
0
j
i
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 29
(I point commun à () et ()).
Le mouvement plan peut s’interpréter comme étant une rotation (instantanée) pure autour
de l’axe () à () en I avec I appartenant à l’axe central () du glisseur (l'axe () peut changer
avec le temps).
2- Centre instantané de rotation (C.I.R.)
L'axe instantané de rotation est un terme utilisé en mécanique classique et plus
particulièrement en cinématique pour désigner l'axe autour duquel tourne un solide à un instant
donné par rapport à un référentiel. Si l'on peut utiliser la simplification des problèmes plans, on
parle alors du centre instantané de rotation (CIR).
C’est un point lié à (S) par nature et admettant une vitesse nulle dans R0 à l’instant
considéré.
Le point I () () est le centre instantané de rotation.
Preuve
car I est lié à S
car I (), axe fixe dans R0
Exemple
Cas d’une roue en rotation autour d’un axe fixe au plan de la roue et passant par son centre de
masse G. Le point G est de nature lié à (S) et G C.I.R.
Remarques :
- I est donc un point central du torseur cinématique de S par rapport à R0. Le C.I.R
correspond donc à l'intersection de l'axe central du torseur cinématique de S/R avec le
plan d'évolution du solide S.
- Le CIR est "instantané", c'est à dire que, dans le cas général, sa position est attachée à un
instant donnée et à une position particulière du mécanisme.
- Le CIR peut être un point défini en dehors de la limite matérielle du solide S.
3- Base et roulante-Étude analytique
Par définition, la base est le lieu des C.I.R. dans R0 lorsque t varie et la roulante est le lieu
des C.I.R. dans R (lié à S) lorsque t varie.
IM)R/S(
0
)R/I(v)R/M(v 000
MI)R/S(
0
)R/I(v)R/M(v 000
0)S/I(v
0)R/I(v 0
0)R/G(v 0
G
j
0
i
0
v M R
( / )0
v M R
( / )0
(S1)
I
( / )S R0v M R
( / )0
M
M'v M R
( / )0
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 30
Soit M (S)
(x et y sont des constantes)
O1 (S)
(1)
et
On retrouve :
Le C.I.R. est tel que et
Considérons I qui présente ces caractéristiques au lieu de M.
Dans le repère R0 :
avec
(2)
Ce sont les équations paramétriques de la roulante.
Équations paramétriques de la base :
Compte tenu des équations (1) et (2) on a:
: Ce sont les équations paramétriques de la base.
Remarque: Ces équations sont utiles quand la détermination graphique du C.I.R. n’est pas
évidente.
Exemple
Cas d’une barre glissant sur les axes de R0.
La base?
OI = AB = cte la base est le cercle de centre O et de rayon AB.
Mx
ydansR
Mx
ydansR
0
0
0
jyixjijyixMOOOOM 00000011
00
00
jcosisinj
jsinicosi
cosysinxy
sinycosxx
0
0
)sinycosx(dt
d
dt
dy
)cosysinx(dt
d
dt
dx
0
0
00 k)R/S(
)M(vMO)R/S()R/O(v)R/M(v e10010
0)R/I(v 0
0)R/I(v
0)sinycosx(dt
d
dt
dy
0)cosysinx(dt
d
dt
dx
0
0
d
dt
0
0)sinycosx(dt
d
0)cosysinx(dt
d
x x
y y
( )
( )
xd
d
yd
d
0
0
Oxo
yo
O1
dans R0
x
yM
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 31
La roulante?
GI = AB/2 = cte la roulante est le cercle de centre G et de rayon AB/2.
Méthode analytique
D’après la figure, on a : + = /2 = /2 -
Composantes de G dans R0 de base
Équation paramétrique de la roulante:
: équation d’un cercle de centre G et de rayon r = /2.
Équation paramétrique de la base:
: équation d’un cercle de centre O et de
rayon
Autre exemple
Détermination graphique de la position du CIR, I, dans le cas d’un disque se déplaçant dans un
plan vertical.
Pour les 3 cas de figures, si on utilise le CIR, I, dans les relations de transfert, on obtient :
est proportionnel à IM i.e. .
cos2
sin2
sin2
cos2
OG
)j,i( 00
d
dx y x y
d
dx y x y
( sin cos ) cos ( sin cos )
( cos sin ) sin ( cos sin )
20
20
x y
x y
sin cos cos
cos sin sin
2
2
x y2 22
4
xd
d
yd
d
0
0
2 2
2 2
sin sin sin
cos cos cos
x y02
0
2 2
IM)R/R()R/M(v 00
)R/M(v 0
IM)R/M(v 0
Oxo
yo
j
0
i
0
j
i
G
IA
B
v A R
( / )0
v R
( / )B 0
u
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 32
RSG : I1 ≡ I RAG : I au disque RAG : I au disque
(grande vitesse de rotation) (faible vitesse de rotation)
0)R/I(v)R/I(v 001
0)R/I(v 01
≠ 0)R/I(v 01
≠
Iv I R
( / )1 0
G
v M R
( / )0
yo
xo
I1
IG
v M R
( / )0
yo
xo
I1
G
v M R
( / )0
yo
xo
I1
v G R
( / )0v G R
( / )0 v G R
( / )0
v I R
( / )1 0
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 33
3 Chapitre
Géométrie des Masses
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 34
Objectifs : Savoir calculer et commenter la matrice d’inertie ;
Savoir déterminer le repère et l’axe principal d’inertie ;
Déterminer et différencier entre centre de masse et centre d’inertie ;
Comprendre la notion de moment d’inertie ;
Savoir appliquer le théorème de Guldin .
Roger Josef Boscovich : (1711-1787) Pour R.J. Boscovich, les corps ne sont continus qu’en
apparence, en réalité, ils sont formés de points matériels isolés ; « un corps continus soit un concept intuitif, primitif, on peut toujours le penser comme un ensemble de points matériels, liés
entre eux par des liens sans masse, de telle sorte que la masse totale soit la somme de la masse des tous les points, et que la
forme, donc la disposition des ces points, soit garantie par le
"squelette" des liens imaginaires ».
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 35
GÉOMÉTRIE DES MASSES
I. Approche historique
La notion de barycentre est utilisée en physique, et en particulier en mécanique et en
astronomie, pour simplifier l'étude du mouvement d’un système. Le premier à avoir étudié le
barycentre en tant que centre des poids (ce qu'on appelle de nos jours le centre de gravité) est le
mathématicien et physicien Archimède. Il est un des premiers à comprendre et expliciter le
principe des moments, le principe des leviers et le principe du barycentre. Il écrit dans son traité
sur le centre de gravité de surface plane : « Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en
lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré ».
Il est le premier à avoir
cherché des centres de gravité de surface comme des demi-disques, des paraboles. Il procède par
approximations successives et a pu prouver que la recherche d'un centre de gravité utilise des
méthodes analogues à celle du calcul d'aire. Par la suite, sur la base de ses travaux, Guldin à
développé les deux théorèmes portant son nom.
II. Masse - Centre de Masse
1- Définition
La mécanique classique associe à tout corps matériel une grandeur qui représente sa masse notée
m. La masse vérifie les trois axiomes suivants:
Positivité: le système matériel (S), m(S) 0;
Additivité: la fragmentation de (S) en sous-systèmes (Si), m(S) = im(Si);
Invariabilité: La masse de tout système est invariante dans tout mouvement de ce système
(vitesses très faibles devant la célérité de la lumière).
Si (S) est un corps continu, sa masse est l’une des intégrales suivantes:
: intégrale de volume (distribution volumique de la masse)
: intégrale de surface ( une dimension négligeable devant les deux autres)
: intégrale de ligne (deux dimensions négligeables devant la troisième)
Pour toutes ces intégrales, l’élément de masse dm contient le point P. Les quantités (P), (P) et
(P) sont appelées respectivement masse volumique locale, masse surfacique locale et masse
linéique locale.
S’il s’agit de corps homogènes alors (P) = cte, (P) = cte et (P) = cte.
Point matériel: c’est un point géométrique affecté d’une masse m. La masse spécifique ne peut
être définie dans ce cas.
VS
dv)P(dmm
ds)P(dmm
S
d)P(dmm
S
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 36
2- Centre de masse
On l’appelle également centre d’inertie ou centre de gravité et on le note G en général.
Définitions
Système discret: Dans le cas de n point matériels Pi de masse mi on a:
: O est un point quelconque de l’espace
Si O G on aura:
Système continu:
, avec dm désignant un élément de masse autour du point P et
.
Si O G on aura :
Remarque
Si (S) = (S1) + (S2) + …+ (Sn) alors
avec mi = mi(Si), i = 1, 2, …., n et
3- Théorème de Guldin
Les méthodes pratiques de recherche de G dans le cas de corps homogènes :
a- Quand c’est possible, on décompose le système en éléments plus simples dont on
connaît les centres de masse, puis on détermine le barycentre de ceux-ci (exemple : centre de
masse du système sphère - cylindre).
b- Utiliser les symétries du système lorsqu’elles existent : le centre de masse appartient
aux éléments de symétrie.
c- Lorsqu’il s’agit de déterminer les centres de masse d’arcs, de courbes planes ou de
surfaces planes on regarde s’il y a une possibilité d’utiliser un des deux théorèmes de Guldin.
3-1 Théorème 1
AB est une courbe homogène située dans le plan xOy.
Une rotation de AB autour de Oy/(Ox) engendre une surface Sy/(Sx). La rotation autour de Oy du
petit élément , construit autour de P, engendre une surface
m S OG m OPi ii
n
( )
1
i
i
i
i )S(mm)S(m
m GPi ii
n
01
mOG OP dmS
( )
m dmS
( )
0dmGP)S(
mOG m OGi ii
n
1
∑n
1i
imm
d dS xdy 2
AB
y xd2S
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 37
La rotation du même élément autour de Ox engendre la surface
Le centre de masse G de (AB) est tel que .
Par projection dans le plan xOy:
et
Exemple d’application
Détermination du centre de masse G d’un quart de cercle de rayon R.
Sy = 2R2, Sx = 2R
2 (surface d’une demi-sphère)
d’où et
3-2 Théorème II
Soit (S) une surface plane située dans le plan xOy.
Une rotation de l’élément dS autour de Oy engendre le volume élémentaire dVy = 2xdS
De même, une rotation de dS autour de Ox engendre le volume élémentaire dVx = 2ydS
Comme
Par projection on aura :
dS ydx 2 S ydxAB
2
mOG OP dmAB
L OG OP dAB
xL
xdS
LG
AB
y
1
2
y
Lyd
S
LG
AB
x 1
2
2
R
4
R2L)AB(
xS
L
RG
y
2
2
y
S
L
RG
x 2
2
SS yy xdS2dVV
SS xx ydS2dVV
mOG OP dmS
)S(
dSOPS
1OG
xS
xdSV
SG
S
y
1
2y
SydS
V
SG
S
x 1
2
x
y
O B
A
G
y
x
dS
Py
xO
x
O
y
y
B
A
P( )x
y
x
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 38
Exemple: Détermination du centre de masse d’un quart de disque homogène de rayon R
et
4- Centre de masse de volume ou de surface homogènes présentant un axe de révolution
Exemple: Cas d’un demi-disque homogène de rayon R.
Ce demi-disque est l’union de deux quarts de disque. Le centre de masse G est tel que :
xG = 0 et yG = 4R/3
Calcul direct de G
Par raison de symétrie, l’élément de surface de côte y et d’épaisseur dy, admet P comme
centre de masse tel que:
avec dm = 2rdy et m = S
r = Rcos
y = Rsin dy = Rcosd
III. Moment d’inertie - Opérateur d’inertie
1- Définitions
La notion de moment d'inertie présente un grand intérêt sur le plan de la véritable histoire
de la mécanique et sur celui de la philosophie et de ses principes. C'est en 1673 que Huygens,
dans la solution du problème du centre d'oscillation du pendule composé (livre : Traité du
Pendule), fit apparaître pour la première fois une quantité de la forme 𝑚𝑟2 . C'est en 1810-1811
que cette quantité intervint pour la première fois sous le nom de moment d'inertie, et d'une
3
R4
4
R2
R3
2
S2
Vx
2
3
y
G
3
R4
4
R2
R3
2
S2
Vy
2
3
xG
OG)mm(OGmOGm 212211
mOG OP dmS
my ydmGS
3
R4dsincosR
S
2rydy
S
2y
2
0
23
S
G
x
y
O
G2 G1
x
O
yx=
y=
4R
4R
x=-
y=
4R
4R
G1G2
x
y
O
P
R
r
z
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 39
manière officielle et systématique, dans l'enseignement de la Mécanique des solides
indéformables
Concernant la signification physique, le moment d'inertie est une grandeur qui caractérise
la géométrie des masses d'un solide, c'est-à-dire la répartition de la matière en son sein. Il
quantifie également la résistance à une mise en rotation de ce solide (ou plus généralement à une
accélération angulaire).
2- Moment d’inertie
On peut définir la distance de M par rapport à un point O, une droite () ou un plan (). Il leur
correspond respectivement des moments d’inertie par rapport à un point, un axe ou un plan. Ils
sont définis par r2dm, avec r désignant la distance du point M, de masse dm, par rapport au point
O, à l’axe () ou au plan ().
Pour le solide c’est
Notations: I(O, S), I(, S) et I(, S) ou simplement Io, I et I.
Considérons le cas de la figure ci-contre:
Soit un élément de masse dm autour de M (S).
La distance entre M et le plan xOy est z.
Le moment d’inertie de M par rapport à ce plan est z2dm
Le moment d’inertie de S par rapport à xOy est
Par simple permutation, on aura
et
Le carré de la distance de M par rapport à Oz est (Om)2 = x
2 + y
2
De même : et
Le carré de la distance entre les points M et O est (OM)2 = x
2 + y
2 + z
2
: c’est le moment d’inertie de S par rapport au point O.
Les relations entre ces grandeurs :On peut écrire
x2 + y
2 + z
2 = ( x
2 ) + ( y
2 ) + ( z
2 ) I(O,S) = I(yOz, S) + I(xOz, S) + I(xOy, S)
x2 + y
2 + z
2 = 1/2[(x
2 + y
2) + (x
2 + z
2) + (y
2 + z
2)]
I(O,S) = 1/2[I(Oz, S) + I(Oy, S) + I(Ox, S)]
r dmS
2
( )
I xOy S z dmS
( , ) 2
I xOz S y dmS
( , ) 2 I yOz S x dm
S
( , ) 2
S
22 dm)yx()S,Oz(I
I Ox S y z dmS
( , ) ( ) 2 2 I Oy S x z dm
S
( , ) ( ) 2 2
S
222 dm)zyx()S,O(I
z
x
z y
y
x
M
m
O
(S)
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 40
x2 + y
2 + z
2 = (x
2 + y
2) + z
2 = (x
2 + z
2) + y
2 = x
2 + (y
2 + z
2)
I(O,S) = I(Oz, S) + I(xOy, S) = I(Oy, S) + I(xOz, S) = I(yOz, S) + I(Ox, S)]
3- Opérateur d’inertie en un point O
Considérons l’axe () passant par O et de vecteur unitaire : I(, M) = r2dm et
D’après la figure on a:
Donc :
Par permutation circulaire on obtient:
I(, S) = multiplié scalairement par une certaine opération faite sur le vecteur .
On symbolise cette opération par un opérateur appelé opérateur d’inertie en O et noté J(O,S).
Cet opérateur a les dimensions d’un moment d'inertie (kgm2).
On pose
Finalement on a:
L’opérateur J(O, S) dépend du point O puisque les distances sont mesurées par .
Considérons l’application de E E
J(O,S)( )
J(O,S) est une application linéaire
J(O,S) est une application symétrique i.e.
u
I S r dmS
( , ) 2
OMusinuOMsinOMr
)3
OM
2
u()
1
OMu(OMur2
2
)]OMu(OM[uu)]OMu(OM[r2
SS
2 dm)]OMu(OM[udmr)S,(I
u
u
S
dm)]OMu(OM[)u)(S,O(J
I S u J O S u( , ) ( , )( )
OM
u
u
vS,OJuuS,OJv?
z
x
O y
M
(S)
u
r
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 41
Démonstration
J(O,S)( ) =
=
= J(O,S)( )
IV- Matrice d’inertie-Matrice principal d’inertie
1- Matrice d’inertie
Soit b = ( , , ) une base orthonormée directe de E.
A l’opérateur J(O,S), on peut associer une matrice dans cette base.
= x + y + z , avec M (S).
Finalement:
Habituellement, les moments d’inertie du solide par rapport aux 3 axes sont notés A, B et C, les
autres termes, notés D, E et F, sont appelés les produits d’inertie.
Les termes A, B, C 0 alors que D, E, F ou 0.
Considérons = + + ( vecteur unitaire: alors on a :
I(,S) = J(O,S)( ) = ( + + )[J(O,S) ( )+J(O,S)( )+ J(O,S)( )]
= ( + + )[(A -F -E )+ (-F +B -D )+(-E -D +C )]
Soit: I(,S) = 2A +
2B +
2C - 2D - 2E - 2F
De la relation de J(O,S)( ), on peut déduire que l’on passe de à J(O,S)( ) par une
application linéaire représentée, dans la base b, par la matrice symétrique (33) suivante:
v
u
SSS
dm)OMv()OMu(dm)]OMu(OM[vdm)]OMu(OM[v
SS
dm)]OMv(OM[udmu)]OMv(OM[
u
v
i
j
k
OM
i
j
k
SS
dm)]jzky()kzjyix[(dm)]OMi(OM[)i)(S,O(J
SSS
22
S
22 dmkxzdmjxydmi)zy(dm)iziykxzjxy()i)(S,O(J
kIjIiI)k)(S,O(J
kIjIiI)j)(S,O(J
kIjIiI)i)(S,O(J
Ozyzxz
yzOyxy
xzxyOx
A I y z dmOxS
( )2 2 B I x z dmOy
S
( )2 2 C I x y dmOz
S
( )2 2
S
yzdmD S
xzdmE S
xydmF
u
i
j
k
u
)1222
u
u
i
j
k
i
j
k
i
j
k
i
j
k
i
j
k
i
j
k
u
u
u
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 42
: matrice d’inertie ou tenseur d’inertie en O dans la base b.
C’est la représentation de l’opérateur d’inertie dans la base de projection.
La connaissance de la matrice d’inertie en O permet de déduire facilement les composantes du
vecteur J(O,S)( ):
I(,S) = I = J(O,S)( ) = =
2A+
2B+
2C-2D-2E-2F
Remarque
Dans la représentation matricielle, l’écriture de I est une écriture symbolique qui présente
l’avantage de la simplicité et de la commodité.
2- Matrice principale d’inertie:
Lorsque les produits d’inertie de la matrice II(O,S) sont nuls dans la base b, le repère R(O, , ,
) sera appelé repère principal d’inertie, ses axes sont les axes principaux d’inertie et la matrice
II(O,S) est la matrice principale d’inertie.
dans une base principale d’inertie b ( , , )
Examinons les trois cas suivants:
Lorsque les trois éléments de la diagonale sont distincts (A B C), il existe un seul
repère principal d’inertie.
Lorsque deux parmi les trois éléments de la diagonale sont identiques et différents du
troisième (exemple A = B C), il existe une infinité de repères principaux d’inertie ayant l’axe
Oz en commun (symétri