MECANIQUE ET ELECTRODYNAMIQUE ET ELECTRODYNAMIQUE ... quadrivecteurs et tenseurs ... nombre de degres de liberte est n= 2 et les coordonnees generalisees de

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    06-Feb-2018

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<ul><li><p>MECANIQUE ETELECTRODYNAMIQUE</p><p>CLASSIQUES</p><p>Dionys Baeriswyl et Xavier Bagnoud</p><p>UNIVERSITE DE FRIBOURG</p><p>15 fevrier 2012</p></li><li><p>Table des matieres</p><p>1 Introduction 1</p><p>2 Mecanique de Lagrange 32.1 Contraintes et coordonnees generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Equation de dAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Principe de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Symetries et theoreme de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Mouvement du corps rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>2.6.1 Equations de Lagrange du corps rigide . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6.2 Equations dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>3 Mecanique de Hamilton 243.1 Fonction et equations de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Transformations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Fonctions generatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Theorie de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6 Espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37</p><p>4 Champ electromagnetique 404.1 Electrostatique et magnetostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Ondes electromagnetiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46</p><p>4.3.1 Ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.2 Rayon de lumiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.3 Paquet dondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49</p><p>4.4 Potentiel vecteur et potentiel scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4.1 Existence des potentiels et choix de la jauge . . . . . . . . . . . . . 514.4.2 Jauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4.3 Jauge de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4.4 Potentiels retardes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54</p><p>4.5 Champ electromagnetique dune particulechargee en mouvement rectiligne uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56</p><p>1</p></li><li><p>5 Particule chargee dans un champ electromagnetique 585.1 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2 Fonctions de Lagrange et de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.3 Energie totale du systeme particule et champ . . . . . . . . . . . . . . . . 60</p><p>6 Electrodynamique dans les milieux materiels 626.1 Polarisation de la matiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2 Aimantation de la matiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3 Electrodynamique macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.4 Relations constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.5 Ondes electromagnetiques dans la matiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.6 Reflexion et refraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74</p><p>6.6.1 Conditions de bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.6.2 La loi de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.6.3 Intensites et polarisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77</p><p>7 Rayonnement 797.1 Champ de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2 Modele simple dune antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.3 Rayonnement dune charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.4 Emission dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.5 Au-dela des approximations simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87</p><p>8 Electrodynamique et relativite 888.1 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.2 Scalaires, quadrivecteurs et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.3 Electrodynamique covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97</p><p>9 Mecanique relativiste 1029.1 Cone de lumiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.2 Cinematique et dynamique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.3 Probleme des deux corps en relativite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111</p><p>10 Appendices 11310.1 Calcul variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.2 Distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11610.3 Transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11710.4 Integration dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119</p><p>2</p></li><li><p>BIBLIOGRAPHIE : Mecanique et electrodynamique classiques</p><p>1. H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, 3d edition, Addison-Wesley2002.</p><p>2. L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics, Vol. 1, 3dedition, Elsevier 1976.</p><p>3. R.J. Jelitto, Theoretische Physik Bande 1 und 2 (Klassische Mechanik), Band 3(Elektrodynamik), zweite Auflage, Aula-Verlag 1987.</p><p>4. J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books 2005.</p><p>5. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3d edition, John Wiley 1999.</p><p>6. D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3d edition, Prentice Hall 1999.</p><p>7. J. Schwinger et al., Classical Electrodynamics, Perseus Book 1998.</p><p>3</p></li><li><p>Chapitre 1</p><p>Introduction</p><p>La fin du 19eme siecle a connu laboutissement de deux theories physiques : la mecani-que classique et lelectrodynamique. Certains physiciens de lepoque pensaient que laphysique avait atteint son couronnement. Toutefois, deux problemes restaient sans solu-tion :</p><p> lhypothese de lether, referentiel indispensable a la propagation de la lumiere, netaitpas verifiee,</p><p> le spectre du rayonnement du corps noir ne trouvait pas dexplication dans le cadrede lelectrodynamique et de la thermodynamique.</p><p>On connait aujourdhui les deux consequences importantes tirees des reponses a ces ques-tions. La premiere conduisit a la theorie de la relativite restreinte que lon developpera ala fin de ce cours et la seconde a la mecanique quantique qui sera abordee au semestre deprintemps de la deuxieme annee.</p><p>Lapproche commune de la mecanique et de lelectrodynamique classiques que nousproposons dans ce cours repose sur deux notions fondamentales de la physique : le mou-vement du point materiel et le champ electromagnetique. La logique qui reunit ces deuxelements sappuie dune part sur letude du mouvement dune particule chargee et sur ladetermination du champ quelle produit et dautre part sur lanalyse de linteraction duchamp avec les charges.</p><p>La mecanique et tout particulierement la mecanique celeste a ete au centre des preoccu-pations des scientifiques de toutes les civilisations. Elle connut un point culminant a lasuite des travaux de Newton (1642-1727) publies dans Philosophiae Naturalis PrincipiaMathematica et que lon considere comme la publication la plus influente de tous lestemps. Par la suite, la mecanique evolua vers des formulations plus raffinees telles que lamecanique de Lagrange (1736-1813) et la mecanique de Hamilton (1805-1865) que nouspresentons dans les chapitres 2 et 3 de ce cours.</p><p>Les phenomenes electriques et magnetiques sont connus depuis lantiquite, mais leurinterpretation complete dans une theorie unifiee ne date que du 19eme siecle. A la suitede la decouverte des lois fondamentales telles que la loi de Coulomb (1785), la loi deBiot-Savart (1820), la loi de Faraday (1831) et des travaux de Gauss et Weber, Maxwellelabora une theorie unifiee des phenomenes electriques et magnetiques et la publia en 1873dans Treatise on Electricity and Magnetism. Le champ electromagnetique qui constitue</p><p>1</p></li><li><p>la manifestation essentielle de cette theorie sera presente dans le chapitre 4. Ses liens avecla mecanique apparatront dabord dans letude du champ electromagnetique produitpar une charge en mouvement. Ils reviendront ensuite dans lapproche microscopique delelectrodynamique ou lon considere le champ en interaction avec les composants de lamatiere. Ces notions seront developpees dans les chapitres 5, 6 et 7 de ce cours.</p><p>Enfin, lelectrodynamique est une theorie relativiste. Cependant, son expression dansun formalisme covariant, i.e. son ecriture sous une forme directement transmissible danstout referentiel dinertie (referentiel de Lorentz) na abouti quen 1905 apres les travauxdEinstein. Dans les deux derniers chapitres du cours, on presentera les fondements de larelativite restreinte en degageant son impact sur la formulation de lelectrodynamique eten analysant ses implications sur le mouvement du point materiel.</p><p>La mecanique et lelectrodynamique classiques introduisent des notions et des metho-des generales qui sont utilisees en physique theorique. Dans ce sens, le cours est completepar plusieurs appendices mathematiques qui serviront de references pour la suite desetudes. Pour terminer cette introduction, rappelons que ce cours repose sur les connais-sances acquises en premiere annee, tout particulierement sur celles du cours Introductiona la physique theorique I,II auquel il sera fait constamment reference.</p><p>2</p></li><li><p>Chapitre 2</p><p>Mecanique de Lagrange</p><p>La theorie de Newton permet, en principe, de traiter tous les problemes de la mecaniqueclassique. Pour un point materiel m sur lequel agit la somme des forces F, la demarcheconsiste a determiner la trajectoire r(t) a partir de lequation de Newton</p><p>mr = F(r, r, t) (2.1)</p><p>soumise aux conditions initiales r(0) = r0, r(0) = v0. Cependant, cette theorie est souventmal adaptee aux systemes soumis a des contraintes que lon represente par des forces dontla forme nest pas connue. Dautre part, lexpression de lequation du mouvement (2.1)en coordonnees cartesiennes, nest pas invariante par transformations de coordonnees. Enconsequence, il faut pour chaque nouvelle situation reecrire lequation dans les coordonneeschoisies. Un exemple est donne par lequation du mouvement du pendule plan. Commenous allons le voir, la formulation lagrangienne de la mecanique classique permet, de parson expression scalaire, de contourner ces difficultes.</p><p>2.1 Contraintes et coordonnees generalisees</p><p>Les contraintes, comme par exemple une surface sur laquelle se meut lobjet, le fil tendudun pendule, , peuvent etre representees par des forces que lon denomme force de sou-tien S, force de traction T, . Ces forces que lon designe par Ri sappellent reactionsdes contraintes. Elles sajoutent aux forces dinteractions et aux forces exterieures glo-balement notees Fi, mais leur forme est a priori inconnue. Pour un systeme de N pointsmateriels mi, on peut ecrire les equations de Newton</p><p>miri = Fi + Ri i = 1, ..., N . (2.2)</p><p>Dans la plupart des cas, les contraintes sont fixees par des equations qui reduisent lesdegres de liberte du systeme. En outre, elles imposent de maniere naturelle un choix decoordonnees specifiques appelees coordonnees generalisees. Pour N point materiels soumisa k contraintes dans lespace IRd, on definit le nombre de degres de liberte</p><p>n = Nd k . (2.3)</p><p>Toutes ces notions sont illustrees dans les exemples qui suivent.</p><p>3</p></li><li><p>Exemples : Contraintes, degres de liberte, coordonnees generalisees</p><p>1. Point materiel en mouvement sur une surface plane : N = 1, IR3, k = 1</p><p>Pour une force F donnee, le systeme est decrit par lequation de Newton</p><p>mr = F + S .</p><p>.m</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>O</p><p>Figure 2.1 Mouvement dans le plan xy</p><p>La contrainte qui oblige le point materiel a rester dans le plan xy se traduit parlequation z = const. La reaction de la contrainte est la force de soutien S. Alors, lenombre de degres de liberte est n = 2 et les coordonnees generalisees de ce problemesont (x, y).</p><p>2. Pendule double plan : N = 2, IR2, k = 2</p><p>x</p><p>y</p><p>l1</p><p>1</p><p>O</p><p>m2</p><p>m1 l2</p><p>2</p><p>Figure 2.2 Pendule double, plan</p><p>Le systeme est decrit par les deux equations de Newton</p><p>m1r1 = m1g + T1 + T2</p><p>m2r2 = m2g + T3 .</p><p>Les contraintes imposees par les fils tendus se traduisent par les deux equations</p><p>x21 + y21 = </p><p>21 , (x2 x1)2 + (y2 y1)2 = 22 .</p><p>Les reactions de ces contraintes sont les forces de traction Ti , i = 1, 2, 3, des filstendus. Alors, le nombre de degres de liberte est n = 2 et les coordonnees generaliseesde ce probleme sont (1, 2). Leur relation avec les coordonnees cartesiennes se</p><p>4</p></li><li><p>deduit de FIG. 2.2 et est donnee par la transformation ri = ri(1, 2) , i = 1, 2, quisecrit explicitement</p><p>x1 = 1 sin1y1 = 1 cos1x2 = 1 sin1 + 2 sin2y2 = 1 cos1 + 2 cos2 .</p><p>(2.4)</p><p>3. Machine de Atwood : N = 4, IR, k = 2</p><p>Les contraintes imposees par les fils tendus se traduisent par les deux equations</p><p>x1 + x2 = 1 x3 + x4 2x2 = 2 .Les reactions des contraintes sont les forces de traction des fils tendus. Alors, lenombre de degres de liberte est n = 2 et les coordonnees generalisees sont parexemple (x1, x3). Leur relation avec les coordonnees cartesiennes est donnee par latransformation notee xi = xi(x1, x3) i = 1, 2, 3, 4 et qui secrit explicitement</p><p>x1 = x1 x3 = x3</p><p>x2 = 1 x1 x4 = 2 + 2(1 x1) x3 .</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>x</p><p>12</p><p>34</p><p>l</p><p>l2</p><p>1</p><p>Figure 2.3 Machine de Atwood</p><p>4. Double pente : N = 2, IR2, k = 3</p><p>Les contraintes imposees par les pentes (forces de soutien) et le fil tendu (forces detraction) fournissent les trois equations</p><p>y1 = (a+ x1) tan y2 = (b x2) tanx2</p><p>cos x1</p><p>cos= .</p><p>Alors le nombre de degres de liberte est n = 1 et la coordonnee generalisee de ceprobleme est par exemple (x1).</p><p>5. Pendule spherique : N = 1, IR3, k = 1</p><p>La contrainte imposee par le fil tendu est fixee par lequation</p><p> = |r| =</p><p>x2 + y2 + z2</p><p>Alors le nombre de degre de liberte est n = 2 et les coordonnees generalisees sontles angles spheriques (, ). Le passage de (x, y, z) a (, ) est donne par la trans-formation r = r(, ) qui definit les coordonnees spheriques</p><p>x = sin cosy = sin sinz = cos .</p><p>(2.5)</p><p>5</p></li><li><p>a b</p><p>m m</p><p>x</p><p>y</p><p>l</p><p>Figure 2.4 Double pente</p><p>6. Disque tournant : N = 1, IR3, k = 1</p><p>Pour une masse m se deplacant sur un disque tournant avec une vitesse angulaire constante, la contrainte est fournie par la condition z = const. Les coordonneesgeneralisees sont (, ) et le passage des coordonnees cartesiennes a ces coordonneesest donne par la transformation r = r(, , t) qui en composantes secrit</p><p>x = cos(+ t)y = sin(+ t) .</p><p>(2.6)</p><p>Dans ce cas, on a une dependance explicite de t.</p><p>De maniere generale, la position de N points materiels mi dans IRd est fixee par Nd</p><p>degres de liberte qui peuvent etre representes par les coordonnees cartesiennes ri. Lapresence de k contraintes reduit le nombre de degres de liberte a n = Nd k. On ditquune contrainte est holonome si elle est fixee par une equation du type</p><p>fj(r1, ..., rN , t) = 0 j = 1, ..., k . (2.7)</p><p>Les contraintes qui ne sont pas de la forme (2.7) sont appelees non holonomes. Ellespeuvent par exemple dependre de la vitesse. Les contraintes sont aussi classee...</p></li></ul>