MECANIQUE GENERALE Chapitre I : Torseurs

MECANIQUE GENERALE

CHAPITRE I : TORSEURS

Cours

Auteur de la Ressource PédagogiqueJ-P. BROSSARD

3, 4 et 5 GMC

Année de création : 1994

© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

S O M M A I R E

CHAPITRE I - COURS

1.1 DIFFERENTS TYPES DE VECTEURS 1

1.1.1 Vecteur libre , 1

1.1.2 Vecteur glissant 1

1.1.3 Vecteur lié 1

1.1.4 Remarque 2

1.2 DEFINITION D'UN GLISSEUR 2

1.3 MOMENT D'UN GLISSEUR EN UN POINT 3

1.3.1 Définition 3

1.3.2 Remarques 3

1.3.3 Théorème 3

1.3.4 Remarques 4

1.3.5 Coordonnées du moment d'un glisseur 4

1.3.6 Changement d'origine des moments 5

1.3.7 Coordonnées d'un glisseur : théorème 5

1.3.8 Remarques 6

1.3.9 Exercice 7

1.4 MOMENT D'UN GLISSEUR PAR RAPPORT A UN AXE 8

1.4.1 Définition 8

1.4.2 Théorème 8

1.4.3 Exercice 8

1.5 TORSEURS (OU DYNAMES) 9

1.5.1 Définition 9

1.5.2 Définition concernant les torseurs 10

a) sommeb) moment en 0c) équivalence de deux torseursd) torseur nule) remarquef) exercice


1.5.3 Formule de changement de l'origine des moments 11

1.5.4 Condition nécessaire et suffisante de l'équivalence de

deux torseurs 11

1.5.5 Coordonnées d'un torseur • 12

1.5.6 Invariant scalaire d'un torseur - Automoment 12

1.5.7 Comoment de deux torseurs 12

a) définitionb) le comoment est un invariant

1.5.8 Moment par rapport à un axe 14

a) définitionb) théorèmec) exercice

1.5.9 Torseurs spéciaux J4

a) définitionb) théorèmec) coupled) remarque

1.5.10 Système de vecteurs glissants particulier 16

a) système de vecteurs glissants concourantsb) système de vecteurs glissants parallèles

1.5.11 Axe central d'un torseur - Répartition 18

a) théorème préliminaireb) axe central : théorème et définitionc) exercices d'applicationd) répartition des moments autour de l'axe central

1.5.12 Champ de moments 24

a) définitionb) équiprojectivité du champ de moments : théorème de

DELASSUS 25


La théorie des torseurs a acquis une grande importance en

mécanique par la grande clarté qu'elle procure dans des problèmes clas-

siques. Elle permet de modéliser de manière remarquable aussi bien les

actions mécaniques appliquées à un système que l'état des vitesses

d'un solide (*). Historiquement cette théorie est née de cette profonde

analogie (théorie de la vis de Bail). Elle donne une expression très

concise des théorèmes généraux à caractère vectoriel en dynamique. Par

ailleurs la mécanique analytique n'échappe pas au domaine de ses appli-

cations : la puissance virtuelle développée par les actions appliquées

à un solide s'exprime systématiquement en connaissant le torseur des

actions mécaniques et celui des vitesses virtuelles.

Cette importance justifie l'étude systématique qui est faite

en préambule au cours de mécanique générale.

(*) La couverture représente la formulation du torseur aérodynamique

et du torseur des vitesses pour un véhicule automobile.


-1 -I.I DIFFERENTS TYPES DE VECTEURS - ASPECT PHYSIQUE

Suivant la nature des grandeurs physiques qui peuvent êtrereprésentées par des vecteurs, ceux-ci peuvent être divises en troiscatégories :

- vecteurs libres- vecteurs glissants- vecteurs liés

1.1.1 Vecteur libre :

Supposons qu 'une grandeur physique puisse être

/

représentée par un vecteur lié; mais que tout vecteurlié équipollent représente la même grandeur. On dit

/ . » alors que cette grandeur est représentable mathémati-quement par un vecteur libre.

Exemple : en mécanique nous verrons qu'un système der force de somme nulle, encore appelé couple> est un

vecteur libre.

Remarque : on dit que les vecteurs ne sont pas loca-Fig 1.1 lises.

1.1.2 Vecteurs glissants :

Supposons qu'une grandeur physique puisse se représenter par unvecteur lié* mais qu'en outre tout vecteur lié ayant même support repré-sente la même grandeur. On dit que cette grandeur est représentable mathé-matiquement par un vecteur glissant.

Exemple : En mécanique du solide indéformable, les forces sont mathémati-quement des vecteurs glissants. Sur la Fig 2, l'équilibre du cadre est lemême que la force F soit appliquée en A ou en B à condition de supposerle cadre rigide.

Remarque : on dit encore que chacun des vecteurs considéré représentatifde cette grandeur est localisé sur une droite.

1.1.3. Vecteurs lies

Supposons qu'une grandeur soit représentable mathématiquementpar un vecteur lié mais que tout autre vecteur lié représente une grandeurdifférente. On dit que cette grandeur physique est reprêsentable mathéma-tiquement par un vecteur lié.


-2~

Exemple: forces appliquées à un solide dêformàble. Suivant que le pointd'application se trouve en A ou en B, la déformation du cadre est diffé-rente.

Fig 1.3

1.1.4 Remarque

a/ le nombre de paramètres nécessaires à la représentation de cestrois types de vecteurs est différent.

La description :

-d'un vecteur lié nécessite 6 scalaires- d'un vecteur glissant " 5 scalaires- d'un vecteur libre ff 3 scalaires

b/ en général, il est convenu de noter

- un vecteur lié : [ABj

- un vecteur glissant : (AB)

- un vecteur libre : AB

1.2 DEFINITION D'UN GLISSEUR

Soit [AB] un vecteur lié. Sur la droite (D) support de [AB] onpeut définir un ensemble de vecteurs liés équipollents à [ÂB]. (Voir Fig 4).C'est ce qu'on appelle un glissew?


•3-Si [ÀBJ est un représentant d'un glisseur, on désigne le vecteur glissantpar (5E). On pourra ainsi dire que ce vecteur glissant est constitué parl'association d'une droite (D) et d'un vecteur libre v = ÂÎB- On peut noter

(ÂB) - {<D), AB}

Remarque : II est clair que, de par sa définition, le glisseur est uneabstraction.

1.3 MOMENT D'UN GLISSEUR EN UN POINT

1.3.1 Définition :

On appelle moment en 0 d'un glisseur (AB) le vecteur lié £oS]d'origine 0 et représentant le produit vectoriel OA*AB

OG « ÔÎ ,. Â5 I (1.1)

On note aussi

M(0) - ÔA (1.2)

1.3.2 Remarques :

a/ le choix d'un vecteur lié pour la définition du moment témoignedu souci de particulariser le point de calcul. Ce choix à priori arbitrai]s'éclairera par la suite.

b/ de la définition (1.2) il vient immédiatement

M(0) . M = 0 (1.3)

1.3.3 Théorème :

Le moment en un point d'un glisseur est indépendant du représen-

tant \ÂD\ adopte pour caractériser && glisseur. - - •• --


- 4 -

Soit [A'B] un autre représentant du glisseur (Fig 5)

M(Q) « OAf A A7!' - (OA + AAf) A A7!'

« 5X A A7?1 + AA1 A A'B'

Mais ÂA1 A Â7^1 « 0 . (ÂA' et A7?1 colinéaires)

De plus AB » A'B1 (définition du glisseur)

II vient donc :

M(Q) = 5£' A A7?1 = ÔA A AB (1.4)

1*3.4 Remarques

a/ Par ce théorème, on voit que le moment en un point est bien unepropriété caractéristique d'un glisseur ; on peut prendre n'importe quelpoint A sur (D) pour calculer le moment.

b/ On aurait naturellement pu définir le moment d'un vecteur lié.D'ailleurs pour définir le vecteur moment d'un glisseur nous en avons prisun représentant qui est un vecteur lié. Cependant si on avait fait cettedéfinition on aurait pu énoncer immédiatement le théorème suivant :

Tous les vecteurs liés équipollents et ayant même support ontmême moment en un point.

1.3.5. Coordonnées du moment d'un glisseur

Soit un repère orthonormé direct R et un point P de ce repère.Considérons un glisseur (Â2)


- 5 -

ou encore^ Ryo - 7)Z - (z0 - z)YM,pv = (z0 - z)X - (*o - x)Z (1.5)W [(x0 - x)Y - (y0 - y)XJR

1.3.6 Changement de l'origine des moments

Soit un glisseur (AB) et deux points quelconques 0 et Of. Cher-chons la relation qui existe entre M/Q\ et M/0t\

Par définition

M(Q) m â£ A Â£ (1.7)

et aussiS(Q|) = 0*1 A AB (1.8)

L'équation (1.8) peut encore s'écrire

M ( Q f ) = «fô* 5Î)A AB

- Cfô A ÂB + OA A ÂB

En utilisant (1.7) on obtient finalement la formule du ohangement del'origine des moments

M(()f) ~ M(Q) -H O7^ A ÂB (1.9)

1.3.7 Coordonnées d'un glisseur ; Théorème :

a/ Enoncé :

Etant donné un vecteur libre U ? 0, un point 0 et un vecteur lié

d5 d'origine (7, tel que ÏÏ.OG - 0* il existe un glisseur et un seul dont

le vecteur libre soit U et dont le moment en 0 soit ÔG.

U et OG sont appelés "coordonnées vectorielles" du glisseur. Lescoordonnées de ces vecteurs sont appelées "coordonnées scalaires" du glisseï

b/ Démonstration :

Soit un point A appartenant au glisseur cherché. On a

ÔG * -QA A U (1.10)

Cette équation, appelée équation de la division vectorielle, n'est possibleque si OG.U - 0. Ceci justifie la restriction posée dans l'énoncé.

L'équation (10) ayant pour inconnue OA ne possède pas de solutionunique. En effet, supposons que QAi et 0 2 soient solutions de (1.10). Onpeut alors écrire

ÔG = ÔA! A U

5£ = OA2 A U

Ce qui par soustraction nous donne U A (ÔAx - ÔA2) « 0


-6-Ceci se comprend aisément, le moment étant perpendiculaire au vecteur libredu vecteur glissant, [OGJ ne peut représenter le moment que s'il est perpen-diculaire à U.

Multiplions vectoriellement les deux membres de la relation vectorielle parî _ + ^ ^ ^

(OG A U ) » (OA A U) A U .

= U . (Ôî . U)'- OA (U)2

Cherchons la solution particulière correspondant à A tel que OA .U » 0.A* est le pied de la perpendiculaire abaissée de 0 sur l'axe du glisseurcherché. On a

-ô? - i i (i.i2)/

(Un point A quelconque est déterminé par-> yff ->.

OA = OA + XU (1.13)

Le point A est unique. Tous les points répondant à la question sont sur uneparallèle menée par A* à U. C'est l'axe du glisseur (le produit vectorielU A OG détermine un vecteur et un seul).

1.3.8 Remarques

a/ Remarque 1

A un glisseur on peut faire correspondre deux vecteurs U et [pQf .Réciproquement à deux vecteurs U et [OG] on peut faire correspondre un glis-seur et un seul. C'est pourquoi on peut vraiment parler de coordonnées d'unglisseur.

b/ Remarque 2

Si l'on avait défini le moment d'un vecteur lié on aurait pu luiassocier deux vecteurs îj et [ÔGJ •

Mais réciproquement à deux vecteurs U et [ÔG] tels que U.ÔG » 0on peut faire correspondre une infinité de vecteurs liés qui seraient touséquipollents et de même support.

Autrement dit, on n'aurait pas pu avoir une correspondance biuni-voque.

c/ Remarque S

On peut parfaitement caractériser une droite (D) quand on connaitun vecteur glissant porté par cette droite. Par conséquent les coordonnéespluckériennes de la droite (D) dans un repère orthonormé sont les composantesscalaires d'un glisseur quelconque ayant (D) pour support.


- 7 -

1.3*9 Remarque 2 :

On peut parfaitement caractériser une droite (D) quand on connaitun vecteur glissant porté par cette droite. Par conséquent les coordonnéespluckéviennes de la droite (D) dans un repère orthonormë sont les composantesscalaires dfun glisseur quelconque ayant (D) pour support.

Soit un repère orthonormë R d'origine 0.

+ • [2] i lSoit un glisseur (V) » 3 dont un représentant a pour origine A 0 .

f'IUp LQUConsidérons aussi Of 1 * R

LiJR1°/ Calculer son moment au point 0

_^ + pi M fû"VL' - OA A V = 0 * 3 - -1(0) WR L'JE bJR

2°/ Calculer son moment au point O'par la définition

-* * F1'1! F21 f2 "M, ,. - O'A A V - 0 - 1 * 3 = -2( Lo-ilRjJR NR

3°/ Retrouver le moment en Oy en utilisant la formule du changementdforigine

V) = "(o) + ™ * f

" ol F-il fi"= -1 + -1 A 3L3jR • L-iJR LdR

' •»• F °1 F 21 F 2 "v> - v :! " 1© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

-8-1.4 MOMENT D'UN GLISSEUR PAR RAPPORT A UN AXE

1.4.1 Définition :

Soient (AB) un glisseur ayant pourreprésentant le vecteur.glissant (À$),et un axe (X) de vecteur unitaire (a)

Soit 0 un point de l'axe (X) .

On appelle moment d'un glisseur parrapport à un axe la projection sur cetaxe du moment par rapport à un point delfaxe.

M, (A3) = (ÔA A ÂB).a (1.14)7(X)

1.4.2 Théorème :

Le moment par rapport à un axe est indépendant du point choisisur oet axe.

Soit O1 un autre point de l'axe (X).Calculons la quantité

(ÔT'A A ÂB).a (1.15)

- [((ÏÏO + OA) A ÂB] .a

» (C)T0 A ÂB) .a -H (OA A ÂB) .a

Or (O'O A AB).a « 0 (produit mixte de deux vecteurs colinéaires)

(Ô7! A ÂB).a = (OA A ÂB) .a - M/ (35) (1.16)• x

1.4.3. Exercice :

Reprenons l'exercice traité au paragraphe 1.3.10 et calculons

1°/ le moment par rapport à OX

M. (V) = (OA A V) .x6x H. *

= M(0)'x

roi fii"-.i . o • °NR W,© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

-9-

Résultat évident puisque V coupe l'axe OX.

2°/ le moment par rapport à OY

V^ = 5<°>*?r oi [o'= - 1 . 1 = -iNR WR

3°/ le moment par rapport à QZ

V^ = s<o)"r 6] fo"= - 1 . 0 = 3

L3jR L'JR°/ le moment par rapport à (D)

M/D^ - « ( o ) ^r oi ri/iî 2

= -1 . 1//3 = -4.3] b/^J ^

ou encore

M/D(^ = V)-s

[2] fl/>^[ 2= -2 . 1//3 = -à

.2jR [l//3J ^

1.5 TORSEURS ; (OU DYNAME)

1.5.1 Définition :

On appelle torseur ou dynome, un ensemble de vecteurs glissantsen nombre quelconque.

On le notera par exemple

[T] = {(Â B!) , (ÂTtp ( ?n)} d-17)


-.10-1,5.2 Définitions concernant les torseurs :

a) on appelle somme du torseur le vecteur libre somme des vecteurslibres des différents vecteurs glissants

3 = l ÂÎBi : 0-18>i-1

3 - Ui + . .. + 5. + ... + tï1 i n

b) on appelle moment en 0 du système [T] le vecteur lié d'origine 0somme des moments en 0 des divers glisseurs de (T)

*(0) - î O i A A75T (1.19)v i=l

- o) * %o) + •" %(o) + '•• +\<o)

c) Equivalence de deux torseurs

Deux torseurs sont dits équivalents s'ils ont même moment en toutpoint.

d) Torseur nul

On dit qu'un torseur est nul quand son moment par rapport à toutpoint de l'espace est nul

e) Remarque

S et M(0) sont dits les éléments de réduction en 0 du torseur [T]

f) Exercice

_^ Soit un repère orthonormé direct R, Un glisseur (F) de vecteurlibre F = (6,3,6)R passe par le point A tel que ÔA = (2,1,10)R

Déterminer les éléments de réduction du torseur en B tel queOÊ - (6,10,12)R

6a) la somme est S = F = 3

L 6J R

3) le moment en B est S,.,. = BÎ A î(B;

f 21 r 61 r -4 "BÎ = ÔX - oè = 1 10 = -9

. h°JR u2:JR L - 2JR

f -4 1 T 6 " -- -d'où M,_, -9 A 3

v15/ o c.L-2JR L 6 J R

r ~48 "*(M = + i2W L "JE


-11 -1.5.3 Formule de changement de 1'origine des moments

Soit un torseur [l]

^ n ^ ^M(0) - Y OA. A A.B.v ' .L , i 111=1

n __vM(O') - 'l Ô7!. A ÂjfT

1=1

n _ ' m .M(O') - l (ÏÏ'O + ÔAÎ) A ÀTlt

i=l

nY (0^0 A AJ*. >' OIT A A.B!)..f;. 11 i i i

M(0 f ) - M(0) -H ÏÏÔ A S (S = l A.B!) (1.20)i=l

1.5.4 Conditions nëcessaireet suffisante de lféquivalence de deux torseurs

a) condition nécessaire (analyse)

Soient deux torseurs [T] et [r1] équivalents. On a donc par hypothèse

S(P) - Sf(P) pour ¥ (P)

M(P) = S(0) + P<5 A ?

Mf(P) - Mf(0) t PÔ A "§!

dfoù0 •- PÔ A (§ - ?f)

Cette relation doit être vérifiée pour tout P et 0. D'où ?=?f (1.21)

Deux torseups équivalents ont même somme.

b) condition suffisante

Soient deux torseurs [l] et [rf] ayant même somme et même moment enun point. Nous allons montrer qu'ils ont même moment en tout point ; c'est àdire qu'ils sont équivalents.

Par hypothèse M(0) = M'(0) 3 = "§'

M(P) = S(0) + PÔ A ?

M'(P) = S'(0) + P$ A 3'

d'après l'hypothèse S'(P) = S(0) + PÔ A ?

S(P) = Sf(P) V (P) (1.22)



-13-b) Le comoment est un invariant

a) Préliminaire

Le torseur formé de l'ensemble des vecteurs glissants de [Tll et

[T£| est appelé torseur somme.

[TI] = {(AiBi), ..., (Ot), ..., (Â~TT)}

M' f(a i -3r ) , . . . » ( a j a j > > • • • > <ap

ap>}

La Vsomme (S) de ce torseur est par définition

^ n ^ p ^S - £ A.B. + l a. g. -- Sx + S 2

i-.l > * j = j J J

Le moment M(0) est par définition

^ n ^ ^ p ^M(0) - £ OA. A A.B. + £ Oa. A o-g.

1-1 X L j-1 J J J

- Mi(0) H- Mz(0)

: Le torseur somme a pour somme la somme des sommes des torseursconstitutifs et pour moment en un point la somme des momentsdes torseurs constitutifs.

^ 2l2-.Ê££-iî2-.i2Y£EÎ§B£L1automoment du torseur [T] = [il] + [iz] est un invariant

U(0) -';($! + t2) pi(0) +S2(0)J

= SiM!(0) -»• ?2Mi(0) + "S CO) + 2 (0)

- -$ (0) + "§2fi2(0) + .C12

S.M(O) est invariant (automoment de [YT )

SiMi(O) ( - " [Ti] )

?2S2(0) ( "' " [12] )

Ci2 différence de deux quantités invariantes est invariant.

c) Remarque. Comoment d'un torseur avec lui-même.

Le comoment est

CH - 2 1i . M!(O) (1.25)

c'est à dire deux fois 1!automoment


-14-1.5.8 Moment par rapport à un axe

a) Définition

On appelle moment du torseur [l] par rapport à un axe (X) la sommedes moments par rapport à cet axe des différents glisseurs qui cons-tituent le torseur.. On note

n _^ M(X) = l (OA. A.-A ). a (1.26)

i=l

a désignant un vecteur unitaire de l'axe

b) Théorème

Le moment par rapport à un axe est la projection sur cet axe dumoment par rapport à un point de l'axe.

nM(X) = l (OIT A ATIt) a

i=l

n ^ ^ _^( l OA. A A.BO ai=l l X L

M(X) = M(0) . a

c) Exercice

Montrer que le moment par rapport à un axe d'un torseur est égalau comoment du torseur et d'un vecteur unitaire porté par l'axe.

Soit [Y] un torseur d'éléments de réduction en un point 0, S etM(0). Soit (X) un axe quelconque mais passant par 0 et défini par un vecteurglissant (a), qui peut alors être considéré comme un torseur particulier [Tx]d'éléments de réduction a et S(0) = 0.

Le comoment de [f] et |jx[ est selon la définition (1.23) S(0).a ,ce qui nous donne bien la définition du moment du torseur [T] par rapport àl'axe (X).

Naturellement, on peut prendre ceci comme définition du moment parrapport à un axe.

1.5.9 Torseurs spéciaux

a) Définition

Un torseur est dit spécial si ^ . S(0) = 0 (1.27)

b) Théorème : condition nécessaire pour qu'un torseur soit équivalentà un vecteur glissant unique


-15 -Soit un torseur jjf] donné par ses coordonnées vectorielles S et

M(0) . Pour que le vecteur glissant (AB) soit équivalent à [T] on doit avoircondition nécessaire et suffisante

ÂB = "S—> —> -*- • ->OA A AB = M(0) ce qui implique S 0

S(0) .? = 0Le torseur est spécial.

S'il en est ainsi on aura

Ot = * A *<°> + xî . (K28)S2

D'où le théorème

Pour qu'un torseur soit équivalent à un vecteur glissant il fautet il suffit que

S ^ 0

"S.M(O) « 0

Le vecteur glissant est unique, on a AB « S et le support passe par le pointA tel que

OA* = S A <°>S2

On dit dans ces conditions que le vecteur glissant est le représentantcanonique du torseur.

c) couple

a) définition

On appelle couple tout torseur dont la somme est nulle £ = 0. C'estun torseur spécial car b Jï(0) =0.

3) théorème

Le moment d'un couple en un point quelconque est êquipollent à unvecteur fixe non nul ; le vecteur libre dont il est un représentant est appe-lé moment du couple

S(P) = (0) + PÔ A ?

&(P) = S(0) pour V (P) (1.29)

d'où le théorème

d) Remarque

Lorsqu'un torseur est spécial il est équivalent soit à un vecteurglissant unique soit à un couple.


-16-1.5.10 Système de vecteurs glissants particuliers

a) Système, de vecteurs glissants concourants

Soit un système de vecteurs glissants(A.B.) passant tous par un point 0

— la somme est n» - j, (1.3Û)

n ^ _^- le moment est M(0) = £ OAÂA.B.

i=l

Prenons un vecteur glissant (AB) passant par 0 et tel que AB = S

S = AB par hypothèseon a M0(AB) = o - MO[T] (1.31)

Par suite le torseur [l] est équivalent à un vecteur glissant unique passantpar 0 et tel que AB = S. Ce vecteur glissant unique est appelé résultante dutorseur. C'est le théorème de Varignon pour les vecteurs flissants concourant^(la résultante est un vecteur glissant alors que la somme est un vecteur libre)

b) Système de vecteurs glissants parallèles

Les vecteurs glissants étant tous parallèles, on peutposer

A.B. A. u (1.32)

v +- la somme est S = £ X. ui-1 X

- ( I V ui-1

(cette somme naturellement peut être nulle mais cecas a déjà été envisagé - voir couple)

nNous prendrons donc £ X- ^ 0 par hypothèse

i=l

- le moment estn ^

M(0) = J! OAi A xi ui=l

r —^ -) X. OA. A u1=1 L L

^ n ^M(0) = ( £ X^ OA ) A ui=l


- 1 7-mais comme J, X. / 0 par hypothèse, on a

i=l - X 'n ^ n y

I Xi OA£ - ( I X£) OGi=l i=l .

G étant le barycentre des points A. affectés des coefficients X.. On peutdonc écrire

+ S • • —* +M(0) - ( l X.) OG A u

i=l X

- ONG A l Xi ui-1'

(0) - OG A S (1.33)

Soit maintenant un vecteur (AB) tel que AB = S et passant parG tel que

y n m ÔG = l X£ OAt

i=l

°na , = 1 , , ' (1-34)MO(AB) = OG s » M(O)

Le vecteur glissant (AB) est équivalent au torseur donné. Dfoù le théorèmepour les vecteurs glissants parallèles.

Un système de vecteurs glissants parallèles est équivalent à unvecteur glissant unique de vecteur libre Sdont l'axe passe par le barycentredes ^points A- affectés df un coefficient égal à la mesure algébrique du vecteurA.B. sur l'axe de direction commune.

t- ls

Conclusion :

Le théorème de Varignon s'applique donc lorsque le point de concoursdes vecteurs glissants est rejeté à l'infini.


-18-

1.5.11 AXE CENTRAL D!UN TORSEUR ; REPARTITION

a) Théorème préliminaire :

If Enoncé : *

Pour que le moment d'un torseur \T] soit constant le long d'unedroite (à)* il faut et il suffit que cette droite soit parallèle à lasomme 5 de [r]^ (supposée différente de zéro)

2/ Condition nécessaire

Soit (A) une droite et soient M et Ndeux points distincts sur cette droite. Ona donc

M(M) " M(N) par hypothèse

On peut toujours écrire $LM\ « M. v + MNA £

On doit donc avoir ïS A ? = 0

Par hypothèse îS ^ 0

£ * 0

Donc, pour que le produit vectoriel soitnul, la seule condition possible est d'avoirMN colinéaire à £ et donc (A) parallèle à (Fig 1.13)

3/ condition suffisante

Soit (A) une droite parallèle à S et__^ _^ soient M et N deux points distincts sur cette

droite. On a MN = x S . O n peut aussi écrire

S(M) * Ô(N) + ™ * *

et donc on a bien

V) = S(N)

b) Axe central. Théorème et définition

Nous avons vu que tout le long d'une parallèle à. "S le moment d'untorseur est constant.

Nous allons chercher maintenant le lieu des points I tel queMx Tx = AS, c'est à dire le lieu des points tel que le moment soit colinéaire

à la somme.

l/ Théorème

Si la somme S d'un torseur [T\ n'est pas nulle3 le lieu des pointsI où le moment de \T\ est colinéaire à S est une droite (à) parallèle à ~Èappelée axe central.


1.10 AXE CENTRAL DyUN TORSEUR ; REPARTITION

1.10.1 Théorème préliminaire :

a/ Enoncé :

Pour que le moment d'un torseur [r] soit constant le long d'unedroite (à)* il faut et il suffit que cette droite soit parallèle à lasommet de \T\* (supposée différente de zéro)

k/ Condition nécessaire

Soit (A) une droite et soient M et Ndeux points distincts sur cette droite. Ona donc

*V) * *V) par hyp°thëse

On peut toujours écrire M,.,,. = M / M N + MNjt £(M; (N;

On doit donc avoir Mîï A ? = 0

Par hypothèse MN ^ 0

I + 0

Donc, pour que le produit vectoriel soitnul, la seule condition possible est d'avoirMN colinéaire à "s et donc (A) parallèle à £(Fig 1.13)

c/ condition suffisante

Soit (A) une droite parallèle à S et_^ ^ soient M et M deux points distincts sur cette

droite. On a MN = x S . On peut aussi écrire

S(M) = 5(N) + ™ * S

et donc on a bien

V) ~ 2(N)

1.10.2 Axe central. Théorème et définition

Nous avons vu que tout le long d'une parallèle à 3 le moment d'untorseur est constant.

Nous allons chercher maintenant le lieu des points I tel queMyjy = XS, c'est à dire le lieu des points tel que le moment soit colinéaire

à la somme.

a/ Théorème

Si la somme 5 d'un torseur [î7] n'est pas nulle> le lieu des pointsI où le moment de [T\ est colinéaire à S est une droite (à) parallèle à 3appelée axe central.


- 20 -

* •** S * M. vII passe par le point I tel que 01 « *—*- (1.35)

S2

b/ démonstration vectorielle :

D'après le théorème préliminaire 1.9%1 le lieu, s'il existe, estune droite parallèle à $f car s'il existe un point I, tous les points répon-dant à la question sont sur une droite menée par I, parallèlement à "$.

Cherchons donc un point I qui répondrait à la question c'est à dire5d) = x*

On sait que le torseur considéré £r] peut être caractérisé par ses élémentsde réduction s et 5/0\ supposés non nuls. On peut donc écrire

S(I) - g(0) + *•*

A S * 5(Q) + î$ à £

Mettons cette expression sous la forme [x£ "" /QV] = ï$ A *> (1.36)

ce qui revient à résoudre cette équation vectorielle par TÔ.

Il n'y aura existence de la solution que pour [x? - /0\J •• $ • 0c'est à dire pour .

3 tf9 (Q)X i2i (K37)S2

5.M. v automoment du torseur, invariant, \ est aussi invariant puisque S2

est aussi invariant. On l'appelle le "pas" du torseur Pi]. Nous avons déjàrésolu une équation telle que 1.3.6 au paragraphe 1.3./,*pour un point I*particulier tel que oî* . 3 - 0 c'est à dire étant la projection de 0sur la droite cherchée. Selon le résultat 1.13 on a donc

.. ..•IjLïffil (LU)S*

Ce point est unique.Et donc la droite (A) lieu des points I sera telle que

5Î = 6Î* + x ? (1.39)

selon (1.11)

En conclusion, tous les points I répondant à la question sontsitués sur une parallèle à ? menée par I*. Cette droite est l'axe centraldu torseur [T], ayant A pour pas.

o-r - ll >S2

5l = ÔI* + x S (1.40)

x . Lia.S2


- 21 -

c/ Détermination analytique

Considérons un repère orthonormë direct R et soit [l] un torseurdont les éléments de réduction en 0 sont 'g et &/o\ supposés non nuls telsque

è - <X,Y,Z)R

(0) = (L'M'N)R

Soit un point P quelconque défini par ÔP « (x,y,z)_

On a S(p) = Ô(Q) + PÔ~ A 3

M M fx"Mm = M + -y « Y

^ ' N -? 7LNJR L ZJR LZJR

[L - yZ + zYM. . M - zX •*• xZ

1 ; N - xY •+ yX •_u J K

Si le point P appartient à lfaxe central on doit avoir M(-r\ = X S

Soit analytiquement

L - yZ + zY] fXx"M - zX + xZ « XY ou encoreN - xY + yXjR [XZJR

L - yZ + zY M - zX -<• xZ N - xY + yX . (. ...X '" Y * Z *' A U.Û

Remarque : Pour résoudre (1.41) on tiendra compte des considérations par-ticulières d'un problème donné.

1.10,3 Exercices d'application :

a/ Exercice n° 1>u y

L'axe central d'un torseur passe par le point I tel que Oi =(6,3,2) dans un repère R. La somme du torseur est «g = (10,4,-3), le pasest positif et le module de M(I*) est de 50.

Déterminer le moment en 0 du torseur.

Le moment M, m^ a la direction de la somme géométrique M. « X?

Le pas X étant positif, le vecteur unitaire U de l'axe central peut êtredéfini par <5


- 22 -

"iol fio"4 4

î L-3J _ L-3JR

|S| /io2 + 42 + (-3)2 5/T

Par conséquent

S(I*) = ^(I*)1^

.4

- 5 0 . -M*5/5

FlOO] F 44,84"S(I*} - -7=1 40 -, 17,7

U ; «^ -30 -13,3 '*- •* *- JR

Le moment en 0 sera donné par

S(0) = V) + oî** ?

Calculons OÎ* A ?

[6] f i o i r-i7~01* A S 3 » 4 - +38WR NR L - 6 j R

et donc on a

I" 44,84] f-17*M } •- 17,7 + ^38

> * —i i i — AL-i3,3 JR L- 6JR

f 27,84"5(0) = 55'7

(0) L-»9.3 j R

b/ Exercice n° 2Les coordonnées (éléments de réduction) d'un torseur sont

~S = (10,6,4) ^/O^ * (6,3,-6) dans un repère brthonormë'R [0,X,^,1]

Déterminer le point I où l'axe central (A) rencontre le plan (0 ,Z,X).


-23-

_3 1 IL - ILyl ~ 76 ~ 6 x 38 • " ~ 76

"il"~ 38

Le point I a donc pour coordonnées dans R : 01 * 0

ILL"76 j R

•dl Répartition des moments autour de l'axe central

Soit un point P quelconquequi se projette en I sur l'axecentral.

On a d'une manière générale

s(p) •

s(i)

+ ** * *Mais I appartient à l'axe cen-tral A et donc

"CD = x*donc

S(p) •- A 1 -H PI A S

Posons AS = PH

PI A S « PK

On écrit donc :

M(p) « PH -H PK (1.42)

On voit immédiatement que PK est perpendiculaire à PH et donc. fS . PÊ - 0 . (1-43)

On voit aussi que PI perpendiculaire à S d'où PI . S = 0 (1.44)

Calculons maintenant le module de M._, noté \M(p\\• On a

Mfp^ = (PH)2 + (PK)2 en considérant 1.43

PH = AS -> (PH)2 = A2S2" "i - ""•"1 •

PK = PI A S

JPK| = |PÎ| . || en considérant (1.44)

= d . |s| si d désigne la distance de P à l'axe central

donc (PK)2 = d2 S2


-24-

Finalement . M (2 - (A2 + d2) S2

et |M(p)l - |S| . /d* + A* (1.45)

De (1.42) et (1.45) on peut donc tirer les propositions suivantes quant àla répartition des moments autour de lfaxe central

\l Remarque 1

Le moment en un point quelconque est la somme de deux vecteurs,l'un constant AS parallèle à la somme géométrique, l'autre variable PÎ * £perpendiculaire à la somme géométrique et dont le module varie proportion-nellement à la distance du point à l'axe central, ce qui revient aussi àdire que tous les points situés à une même distance de l'axe central, c'està dire sur un cylindre d'axe A, de rayon d, ont des moments qui ont mêmemodule.

2/ Remarque 2

L'axe central est le Heu des points dont le moment est minimumen module.

Ce qu'on vient de dire estévident si on représente en unpoint quelconque A la gerbe desommet 0 des différents vecteursmoments.

Pour un torseur donné, rappe-lons que 1'automoment est inva-riant, c'est à dire

-> ->• ^YO\ = constante

Par suite les vecteurs de la gerbede sommet A représentatifs des mo-ments en tous points du torseur ontleur sommet dans un plan perpendi-culaire à s •

Donc le moment est minimum s'il a la direction de S, c'est à dire sile point correspondant appartient bien à l'axe central.

1.5.12 CHAMP DE MOMENTS

a) Définition

Si on se donne le moyen de faire correspondre à tout point P d'unecertaine région de l'espace un vecteur lié [f(p)] d'origine P on dit qu'ondéfinit un champ de vecteurs.

En particulier, étant donné un torseur [T], à tout point P del'espace correspond le moment S/px du torseur en P. Le champ constitué parles vecteurs H/p\ est appelé champ de moments.


-25-

II est caractérisé par la formule liant le moment en deux points F et Q

V) = S(Q) + ** * *

S étant la somme du torseur considéré ;

b) Equiprojectivité du champ de moments : Théorème de Delassus

\l Propriété du champ de moments : un champ de moments est.êquipro-jectif

Soient M et N deux points quelconques. On a

5(M) • *<H) + ™ * *

Multiplions scalairement les deux membres decette relation par MJ|

M(M)- ™ = M(N). MN (1.46)

Si l'on pose î • xî, (1.46) s'écrit encore

3(M) '" = 3(N) ' "

autrement dit, la projection des moments enM et N sur le support de MN est constante.C'est ce qu'on appelle la propriété d'équi-projectivité.

2/ Réciproque de l rénoncé : Théorème deDelassus

Tout champ équiprojectif est un champde moments.

Démonstration

Considérons, par hypothèse, trois points quelconques 0,P,Q nonalignés et un cliamp de moments équiprojectif. On peut donc écrire

^D5* = ^cor5* —* P(P)-%)] -^ = ° <•)!-(Q)-5 = !(o)'3 —* ï^">3 '* ~~ ° (b)V(P) = (Q) * P<P) -*W)J ' = ° (C)

la dernière relation peut s'écrire encore

P(P) -^(0)>."^(Q).-W (5$-0t) - °

ou en développant on obtient l'expression suivante

<VrV)>°~3 - (P) (o))5? - (Q) (o)> + (Q) (o)> • °


-26-

qui devient, compte tenu de (a) et (b)

(Vr V») °Q + (*(Qr V>> = °

Nous avons finalement les trois relations suivantes :

?<p)- >)J «* • ° <a>[V(Q)- V(Q)] ÔQ - 0 (b) (1.47)

[V)-*«J + P(Q>-*«»1^ = ° (c)

Considérons maintenant une base orthonormée R d'origine 0 et devecteurs unitaires x^ X£ X3 qui ont pour extrémité KI, K£, K3.

Appliquons les relations (1.47) aux extrémités des vecteurs uni-taires. L'expression (1.47 a) ou bien (K47 b) donne

P(Kl)- (o)] * - °

(K2rV)] = ° —• (KD- V)l- = ° (1-48)

p(K3r (o)J 3 = °

L'expression (1.47 c) donne également

[V)" %)]• - (K2)- (0)].Si = o[V2r V)i-

3 + [V3r *«»] • = °

.P(K3>- Q)l- + tv(Kl)-v(0)]. 0 3 = o

qui sous forme indicielle deviennent

F(KÏ)- *«»] °*j ' [Vj)->) r= ° (K49)

Posons r.. = (V(Ri)- V(Q)) ôl. (1.50)

Les relations (1.48) et (1.49) s'écrivent alors

r - 0 i = j )1J > (1.5-1)

r.. + r.. - 0 i*j )

(1.51) nous permettent de dire que les r.. sont antisymétriques par rapportaux indices.


-27-

Considérons maintenant un point P quelconque. Ses coordonnéesdans la base R seront

-+ 3 3 -*OP = 7 x. x. = y x. OK. (1.52)i=l x x i=l 1 .-1

Pour ce point P la formule (1.47 c) peut s'écrire

P(P>-V'^ - - P(Q)- (0)]. 6*

= - P(Q)- *<o>l j, xi «i

= - j,xi (Q)-V>)]-oti

Mais la formule (1.47 c) donne toujours

P(Q)- *<o)J °*i = - tVr v(0)J 55

D'où

I?(P)- (0)] • °"Q ' j, Xi (Ki)- \0P « 55

On peut donc écrire en divisant par OQ f 0

-> -»• v r" " iV(P)" V(0) = .£, Xi LV(Ki)" V(0)J

\P)- (0) - Xl P(Kir \0)1 + X4V(K2)- %)1

+ X3 (K3)- V(Q)]

Multiplions scalairement par x'i = OKi, X£ - OK£ et KS = OKa successivement.On obtient, en utilisant (1.50)

(P)" (0) ' *! = Xl'ri1 + X2r21 + X3r31

[V(p)- V(Q)] . x2 - xr.r12 -f x2r22 + x3r32

[V(p)- V(Q)] . x3 = Xl r13 + x2r23 + x3r33

Compte tenu de (1.51) on peut écrire ces dernières relations sous formematricielle

•* •*• r ° ri2 ri3 fxiV(P)"" V(0) = "r!2 ° '23.1 X2

" L r13 ""r23 ° J LX3.

Vxpv- V, v est le produit d'une matrice antisymétrique par un vecteur. Onpeut donc le représenter par un produit vectoriel

-* .> -± - -* * r r 2 sV(P)" V(0) = " A Ô? avec ft = -r13

L ri2JR


-28-

et on a donc

*<p> = V) * ™ * " (K53)

qui est bien l'expression qui caractérise un champ de vecteurs et donc unchamp de moments en particulier.


énoncés


Une série de dix neuf exercices ou petits problèmes sont pré-

sentes dans ce fascicule. Ils ont été choisis de manière a refléter

directement l'objet du cours sur les torseurs sans toutefois rester

uniquement de simples exercices de manipulation mathématique. Certains

d'entre eux, par leur caractère fondamental, préparent le lecteu:

l'étude des autres chapitres de ce cours de mécanique.


- 1 -

EXERCICE Kl

Formule du double produit vectoriel.

Démontrer qu'étant donné trois; vecteurs u, v, w, on a :

•*• /•*• ~*\ /** **\ "** /"*" "*"\ "*U A (V A W) = (U . W) . V - (U . V) W

(u A v) A w. = (u . w) . v - (u . w) u (formule de Gibbs)

EXERCICE 1.2

Démontrer que :

(a A S) A (c A cl) = £ (a, c, 3) - a (t, c, 3)

EXERCICE 1.3

Démontrer que :

(a A S) . (c A et) = (a . c) . (S . 3) - (a . 3) (î . c)

EXERCICE 1.4f*. -*• •>

Soient A et B deux vecteurs donnés et un vecteur X défini parla relation : ^ + +

A A X = B_> _^

a/ Quelles relations doivent vérifier A et B pour que l'opérationsoit possible ?

~>b/ Calculer alors la solution générale pour X.

EXERCICE 1.5-V -> -*•

Soient A et B deux vecteurs donnés et X un vecteur inconnu.Montrer que l'équation vectorielle

- * - > . - * . ->X + B A X - A

admet une solution et une seule.

EXERCICE 1.6

Soit L^J une matrice antisymétrique à 3 lignes et 3 colonnesdont on désigne les éléments par a— et soit [x] une matrice unicolonneà 3 lignes dont les éléments sont designés par X£. Montrer que les élé-ments de la matrice produits sont les composantes d'un produit vectorielV = fi A X


- .2 -

Déterminer le vecteur Q, le vecteur X ayant pour composantesxj, x2, x3. Donner une règle pratique pour former u.

EXERCICE 1.7

Déterminer le nombre de paramètres nécessaires pour caractériser :

1°/ un vecteur lié

2°/ un vecteur glissant

3°/ une droite

4°/ un vecteur libre

EXERCICE 1.8

Un vecteur glissant étant parfaitement caractérisé par la connais-sance de ses coordonnées, montrer qu'on peut les utiliser pour caractériserle support du vecteur glissant. Formuler aussi l'équation de cette droite(coordonnées pluckeriennes).

EXERCICE 1.9

Soit un axe (A) de vecteur unitaire uet un point M quelconque. On fait subirau point M une rotation d'angle 0 autourde (A). Le point M vient en M' .

1°/ Déterminer le point M' de manièreintrinsèque pour une rotation quelconque.

2°/ Envisager le cas d'une rotationinfinitésimale.


- 3 -

EXERCICE 1.10

->• " -vSoient ui et u2 deux axes quelconques concourants. On fait une

rotation d'angle Oj autour de ui, suivie d'une rotation d'angle 02 autourde U2* '

Montrer que ces deux rotations sont équivalentes à une rotationunique et passent par le point de concours 0.


- 4 -

EXERCICE 1.11

Un point M de l'espace est attiré par n centres fixes Aj, A2, ...A., ... A proportionnellement aux distances MAj, MA2, ... MA., ... MA ,les coefficients de proportionnalité étant m-^, m2, . • • m., .,. m .L'action de A. sur M est F. « m. MA.. 1 n

i 1 1 1

1°/ Dans le cas où £m. 0, calculer la résultante R (on préciserala signification de ce terme).

->2°/ Dans le cas où £m. = 0, que devient R«

EXERCICE 1.12

Soit un cube ABCD A'B'C'D', d'arête a.

f a/ Déterminer l'axe central du torseur constitué des vecteurs : AB,B'C', D'D.

->•b/ Calculer M au centre du cube.

c/ Calculer 1'automoment du torseur.

EXERCICE 1.13

Etant dqijné jm tétragdreÂBCD, on considère le torseur [T] formépar les vecteurs AB, AC, AD, BC, CD, DB.

l/ Calculer la somme géométrique R de [T].

2/ Calculer le moment de [T] en chaque sommet du tétraèdre.

3/ Calculer les moments de [TJ par rapport aux six arêtes.

EXERCICE 1.14

_^ Soit uT3^Daralléléçî.pède rectangle construit sur 3 arêtes OA, OB,OC, telles que [OA! = 3a, [OBJ = 4a, [ÔCJ = 5a.

-*. - . .->.Soit (0, X, Y, Z) un repère tel que :

X - Ô A y - ^ £ - ÔCX ~ 3 a Y " 4 l Z " 5 l

1°/ On désigne par [T] le torseur de deux vecteurs glissants AB et CD.

a) Calculer la somme S et le moment M(0) du torseur [l] .

b) Déterminer lfaxe central de [TJ . Préciser géométriquement sa position.


- 5 -

— » . — * .2°/ Soient H et K appartenant respectivement à AB et CD. Soit |jrfj.

le torseur formé de lfensemble des vecteurs glissants dF = HK ds avecs - [CKJ •- [ÂH] (0 « s « 5a).

a) Calculer les composantes dX, dY, dZ de dF.

b) Calculer les domposantes dL, dM, dN de dM(0) = OH A dF.

c) gar intégration des expressions obtenues en (a) et (b), calculer la sommeF et le moment M(0) du torseur [îf].

EXERCICE 1.15

-> ->Un torseur est défini par ses coordonnées R et M( ,.

1°/ Comment varie le module M,_v quand P décrit une droite (D) ?

Montrer que M. . passe par un minimum.•*• ~± ->> •>

2°/ Au point P où M._v est minimum, montrer que Mfp^, u, R sontcoplanaires. (u désigne un vecteur unitaire de (D) ).

3°/ Existe-t-il un point p sur (D) tel que M. . soit colinéaire a u ?

EXERCICE 1.16

Soient deux torseurs [l.J et j_T ] dont les éléments de réductionen 0 sont :

- -»•'\ Ri ( R

pour [T ] : ^ pour [T j .:' _2

1 Ml « M2

A quelles conditions doivent satisfaire les deux torseurs [T ]et [T J pour qufils aient même axe central ?

EXERCICE 1.17

Soient deux torseurs [T ] et [T J dont les éléments de réductionen 0 sont ceux de l'exercice 1.17. On appelle comoment des deux torseurs[T ] et [T ] le scalaire C 2 = $. . ï&2 + S . S . Montrer que si :

C12 = 0 Rj . R2 = 0

les axes centraux se coupent à angle droit.


- 6 -

EXERCICE 1.18

Déterminer l'axe central dfun torseur formé de deux vecteursglissants V, et Vo dont la somme n'est pas nulle.

1°/ Détermination analytique :

On utilisera un repère 0, x, y, z tel que :

0=0. point appartenant au support (A ) de V..x porté par v,£ porté par la perpendiculaire commune aux supports de V et V«•y = Z A x

On désignera par 0~ l'intersection de (0, z) avec le support (A )de V^ et l'on posera :

Vr = V.j x (5, u) = 6

V2 = V2 u OJ"02 = dz

2°/ Construire géométriquement (géométrie descriptive) l'axe central.On démontrera au préalable que toute droite qui rencontre (A.) et (A9) etqui est orthogonale à la somme du torseur rencontre aussi l'axe central.

EXERCICE 1.19

Déterminer l'axe central (A) du torseur somme [îl de deux torseursP - p - ^ jLîj et LÔJ sécants et orthogonaux. On utilisera un repère orthonormé direct(0, x, y, z) :

0 : origine, point de concours de (A ) et (A9) axes centraux de [T.]et [Tj.

x : porté par l'axe central de LT.].

y : porté par l'axe central de LT?].

On posera en outre pour les sommes de [T.] et [l9] :

S, = S, x S2 = S2 y

Enfin, on désignera par A et A les pas de [T ] et [l/j .


solutions


- 7 -

EXERCICE 1.1

1.1.1. Montrer qu'étant donne 3 vecteurs libres fi, , î? on a

5 A ( A fi) - (5 . ft) . $ - (ft . $) . fr

Sachant que pour représente? un vecteur libre on peut prendre toutvecteur lié, on peut donc sans perdre la généralité du problème choisir troisreprésentants de Û, et W ayant la même origine 0.

A ce moment V et W défi-nissent un plan que nous appel-lerons n.

Désignons par :

a) U' projection de U sur II

b) p = V A W (p normal à H)

c) P = U A p' * U A (V A W)

Supposons

a) V et W non colinéaires(s'ils l'étaient on auraitP - 0)

b) Uf ï 0 (sinon Ûf = 0 -» Unormal à II -> IÎ parallèleà p + f = 0)

Démonstration :

_. . . Le vecteur P appartient au" " plan n et on peut donc le dé-

+ _+ finir comme une combinaisonlinéaire de V et W. Soit

P = a V + 3 W (1)

Les scalaires a et 8 sont donc à déterminer. Dans ce but, définissons unrepère R [b,.X, Y, Zj , les vecteurs unitaires X, Y, Z étant définis commesuit :

X perpendiculaire à U'(X . U'= 0)_^ _^Y porté par Uf

-> -*. -> ->Z = X A Y (porté par p)

Dans ce repère on peut écrire :

r° i . M ^ r x 3 ~U = Y! V = Y 2 W = Y 3 (2)

LziJR , 1 P J R L O J R

On a donc-, ^ ^ \*2\ f x s i r op = V A W = Y 2 A Y 3 = 0

L 0 J R L o J R Lx2y3-Y2X3 jR


- 8 -

et donc

* * + f ° 1 I" ° 1 FYl(X2Y3 - Y2X3)~P = U A p = Y 1 A o = 0

KJR L*2Ï3-*2XJR L: 0 JR

ou encore

? « Y! (X2Y3 - Y2X3) . X (3)

II nous reste maintenant à exprimer le vecteur unitaire X en fonction deV et y.

On a V = X2 . X + Y2 . Y

W = X3 . X + Y3 . Y

On peut encore écrire Y3 V « Y3X2 . X + Y3Y2 . Y

Y2 W « Y2X3 . X + Y2Y3 . Y

Par soustraction on obtient

Y3 V - Y2 W = (X2Y3 - X3Y2) . X (4)

En comparant (4) et (3) on obtient

P - Y}Y3 . $ - Y}Y2 W (5)

Par identification avec l'équation (1.1) on a

a = YiY3 = U . W n /ON1 6 selon (2)6 = ~Y!Y2 = -U . V

On a donc finalement

P = U A (V A W) = (U . fi) . V . - (U . V) . W

1.1.2. Démontrer la formule de Gibbs ;

(U A V) A W = (U W) . V - (V . W) . U

La démonstration est rigoureusement identique à la précédente,quand on définit cette fois le plan II par u et y» 1e vecteur y jouant lerôle précédent de u-


- 9 -

EXERCICE 1.2

Démontrer que :

(a A ï>) A (c A dT ~ *> (à9 c, cl) - a (b; c, d)

La démonstration est immédiate par l'application de la formuledu double produit vectoriel.

„ > . - > - >Posons p = c A d

P « (a A b) A (c A 3)

Démonstration

P = (a A b) A p

Selon la formule de Gibbs P = (a . p) . b - (b . p) . a-»•

Remplaçons p par sa valeur

P = b . [a . (c Ad)} - a [b . (cAd)j (1)

Nous savons qu'un produit mixte est défini par la quantité

(v,, v2, v3) = (Vj A v2) . v3et que ce produit est invariant dans une permutation circulaire de sescomposants.

—V _>. _> _* . -v •—>- —^ —f, —^

L'équation (1) peut donc s'écrire P = b (c, d, a) - a (c, d, b)

et donc

P = (a A b) A (c A d) = b (a, c, d) - a (b, c, d)

EXERCICE 1.3

Démontrer que : (a A S).(c A3) - (a.c).(b.â) - (â.3).(B.c)

Même genre d'exercice que le précédent.

Posons : ÇA 3 * p (a A t). (c A 3) = è

Démonstration :-»• -y -*• ->• • > - > - * .

S = (a A b).p = (a, b, p).-> -> _v

= (b, p, a) (permutation circulaire)-> -*• ->

= (b A p).a (définition)~> -> ->

= a (b A p) (commutativité du produit scalaire)-*• -> -*• ->

= a. [b A (c A d)J (définition de p)-> p —> -> -> -> -V ->n

= a L(b.d).c - (b.c).dj (formule du.double produit)Finalement

-*• -> ->• ->->• -»•-> •>->••S = (a.c) (b.d) - (a.d).(b.c)


- 10 -

EXERCICE 1.4

Soient deux vecteurs 1 et 1 donnés et un vecteur défini parla relation ' - * - » • ->

A A X - B

A, B ^ 0

~* ~*'•4«1 Quelle relation doivent vérifier A et B pour que l'opération soit

possible ?->

Pour que l'égalité soit vérifiée, il faut que B soit perpendi-culaire et à x et à A«

La condition est donc la suivante :

A• . B = 0 (1)

->1.4.2 Solution générale pour X ;

a) Non unicité de la solution de l'équation :-*• ->

1ère méthode : Supposons c[ue X et X2 soient des solutions de l'équationA A X = B

On a alors : A A X = B et A A ïL = B

A - > - * • - > •ce qui entraîne par soustraction A A (X - ÏL) = 0 (2)

Pour que (2) soit vérifiée il faut-V ^ -±

A = 0 impossible : par hypothèse A 0

X, -X2 = 0 => î, =%

Xj - X2 parallèle à A, c'est à dire X} - X£ = ÀA

A étant un scalaire arbitraire

ou encore X = X + XA (3)

->- ->X : solution générale X : solution particulière

2ème méthode : On définit un repère R dans lequel on pose

- M '-> M - fxi"A A2 B B2 X X2

LA3JR WR Lx3JR

A ce moment[A]] ("Xjl [Bj"

A A X = B ==> A2 A x2 = B2

.A3j LX3j LB3.

soit A2X3 - A3X2 = B!

A3X! - ÀiX 3 « B2

A1X2 " A2X1 = B3

qui est un système de Cramer dont la solution n'est pas unique si le déter-minant D du système est égal à zéro.


- 11 -

0 -A3 A2"D = +A3 o -A!

rA2 A! 0 _

D - A3(-AxA2) + A2(A3Ar)

D = -AiA2A3 + AjA2A3

D = 0

et donc l'équation vectorielle considérée a une infinité de solutions.

b) recherche de la solution particulière ~î :

Si l'on multiplie vectoriellement à droite les deux membres del'équation donnée par A °n obtient :

,->• -K -> - * • - * •(A A X) A A = B A A

Le membre de gauche est un double produit vectoriel qui se transformeselon l'exercice 1.1. On obtient

(A2).X - (X.Â) A •«• B A A (4)

Puisque X est arbitraire (X 0) choisissons X = Xp de telle manière queXp.A = 0 (xp perpendiculaire à X). Dans ce cas l'équation (4) devient

(A2).Xp « B A A

d'où Xp - If! (5)A

Q) solution générale :

Elle est donnée par (2) et (5)

x = IfA + x AA


- 12 -

EXERCICE 1.5-* • -* ->A et B sont deux vecteurs donnés et X un vecteur inconnu. On

considère 1'équation vectorielle suivante :- > - - > • - > - > .X + B A X = A (1)

1.5.1 Unicité de la solution

->• •*•.* ->. ^Supposons que X et X? soient solutions de (1) et appelons7 = y _ y 1 Zz x, xz

On a donc X. + B A X = A->* ->• ->' ->X2 + B A X£ = A

Par soustraction on obtient

Z + B A Z = 0 (2)

Multiplions scalairement l'équation (2) par B 0

B.Z H- î. (B A Z) = 0

Mais B.(B A Z) = 0 car B A Z est perpendiculaire à B

'->• -> ->- ->donc B.Z = 0 =SB> Z = 0 puisque B ^ 0

et donc Xj = X2-v ->

Comme X- et X sont arbitraires, on conclut que la solution de (1) estunique.

1.5.2 Recherche de la solution

Le but est de mettre X en facteur. Pour ce faire nous avons ànotre disposition les opérations vectorielles.

Multiplions scalairement (1) par B 0

B . X + B . (B A X) = B . A

d'où B . X = B . A (3)

-4-

Multiplions vectoriellement (1) à gauche par B 0

1 A X + B A ( B A X) = B A A

En développant le double produit vectoriel

î A X + (B . X) . !* - B2. X = 1 A A (4)

En utilisant l'équation (3) et l'équation (1) mise sous la formeî A^ = A - 1î , (4) peut s'écrire


- 13 -

->• - .-*->-*• ->?"*• •*• -*A - X + (B.A).B - B X = B A A

ou A + (B.A)B - B A A = X(l + B2)

->• ->-»•—»• -> ->Jf - v A + (B«A)B - B A Adfou X = —5

1 + BZ

Ti/ote : On retrouve bien aussi sur le résultat que la solution est uniquepour A et B donnés.

EXERCICE 1.6

[fi] est une matrice antisymétrique dans R

[ ° a!2 313M - -a]2 0 a23 Rappel •: • a.. = - a..

L-a13 -a23 0 \

O

[x] matrice unicolonne dans R

VM = X

2IxJ

Faisons le produit T^j . [x]

[a!2X2 +a!3X3[fi] . [X] = -a12X, +a23X3 (1)

-~a!3Xl ~a23X2-

Considérons maintenant le vecteur £2 de composantes Ci , fi9, fl_ dans R_,et effectuons le produit vectoriel v = n A X

""il |"Xll ["2X3 ~ n3X2*V = ^2 A X2 = fl Xj - fijX3 (2)

.fi3J LX3J b2] ~ n2Xl-

Si l'on identifie (1) et (2) on obtient

-a23"n = +a]3 (3)

-a!2-


- 14 -

Règle pratique de formation

Dans la matrice antisymétrique [ft] il y a seulement trois élémentsindépendants et il est logique de considérer ceux qui sont positifs, cfest àdire

a!2 ' a!3 ' a23

La formation du vecteur Û est telle que

- la composante Œ. sera lrélément ci-dessus qui ne contient pas de 1

S 2

Û3 3

Quant au signe, ces éléments seront affectés de signes que l'on utilisequand on calcule le déterminant de la matrice |ft|, c'est à dire

+ • - • + :

- +

+ - +

Suivant cette règle de formation

ft sera a~o précédé du signe -

^2 sera a précédé du signe +

Œ sera a.« précédé du signe -


- 15 -

EXERCICE 1.7

1.7.1 Un vecteur lié [ÂB]

II -'faut définir lforigine de ce vec-teur et le vecteur libre v qui le repré-sente.

xl .> [vilOA = Y V = V2

WR LV3-R

II faut donc 6 scalaires indépendants.

1.7.2 Un vecteur glissant (AB)

Un vecteur glissant peut être considéré comme l'association d'unedroite et d'un vecteur libre

(ÂB) = {ÂB, D]

II est donc caractérisé par ce vecteur libre AB et par son moment en unpoint 0 quelconque

~* ^ -, FLlAB « Y Mn « iMl

Z ° !NÎcZJR LNJR

On a donc 6 scalaires, mais qui ne sont pas indépendants. En effet on saitque

MO . ÂB = 0 —» XL + YM + ZN = 0

Ces six scalaires sont donc liés par une relation.

En conclusion 5 scalaires indépendants seront suffisants pourcaractériser (AB)

1.7.3 Une droite D : a) Repérage géométrique

Considérons le repère R orthonormédirect.

La droite (D) quelconque coupe leplan XOY en A et s'y projette en (Df).

Alors la droite (D) sera complète-ment définie si on se donne

- HOA = Y et les angles a et 6

WROn a alors 4 paramètres indépendants© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- l ô -

tO Repérage analytique

La droite D peut être définie par le vecteur glissant (AB) quiest caractérisé par r •j\. •

- son vecteur libre AB - Y

WR

F- son moment en 0 : Mn = M

WR

Nous avons donc 6 paramètres.

Mais tout vecteur glissant parallèle à (AB) caractérise aussila direction de (D). Par conséquent le vecteur (AÂÈ) est aussi caracté-ristique de (D).

(AAB) a pour composants

-» FXX1 + I~XL"A AB = A Y et M = AM

MR MRA est un scalaire arbitraire. Il peut donc être choisi de manière à réduirele nombre de paramètres nécessaires.

Une manière possible est de choisir A - •— . A ce moment on a- • LJ

"xl \L"z z

-*• Y ->• MAAB = j. etM0 = |

1 I'U* WR

II nous reste donc 5 paramètres. Mais de plus nous savons que ces cinqparamètres restent liés par la relation

MQ . ÂB - 0

. . ,. XL YM Nc'est a dire —~- + — 4- — = 0

Z Z Z

II nous reste donc 4 scalaires indépendants pour caractériser une droite.

1.7.4 Vecteur libre :

Dans un espace à trois dimensions il nous faut les trois coor-données de ce vecteur libre. ._

Donc 3 paramètres indépendants


- 17 -

EXERCICE 1.8

Les coordonnées du vecteur glissant (AB) sont

- M - MAB = Y et M = M 0 arbitraire

WR WR^ Choisissons un repère R centré en 0.

OA est quelconque.

xÔA = y

WR

M = ÔA A ÂB

L] fxl fxl [yZ - zY"M = y A Y = zX - xZ

NJR W LZJ LxY - yxJR

On a donc un système de trois équations en x, y, z, duquel on tire

» - -f-i'-{?*•!Z = Z

On a donc .4 paramètres pour déterminer la droite support du vecteur glissant

••! --! p--l - Itels que

coordonnées pluckêriennes d'une droitey = bz + q

z = z


- 18 -

EXERCICE 1.9

1.9.1 Déterminer le point M' de manière intrinsèque.pour une rotationquelconque :

- Soit N la projection de M sur A»Après rotation Mf se projette aussien N.

- Soit 0 un point quelconque de A ori-gine de notre espace

- Soit H la projection de N sur MM1

On a MMf -L ANH ± AHMf J. OH

Par manière intrinsèque on veut direqu'on cherche à exprimer le vecteur QM'après rotation en fonction du vecteur0$ avant rotation d'une manière qui estindépendante d'un système de coordonnéesqueIconque.

Nous pouvons écrire :

ÔM1 = ÔM + MMf | (1)

ÔM1 « ÔM + 2HM' )

Nous chercherons donc à exprimer HM1

Puisque M1 est perpendiculaire à NH et donc au plan contenant A et NE, onpeut considérer HÉ' comme parallèle au produit vectoriel de U et de HN etdonc écrire

HÔ1 = À (M A Û) (2)

La détermination de X se fait en remarquant que le module de ce produitvectoriel doit être égal au module de HM1

]HM' | « lîS| tg |

On a donc

A |HN A t ï j ' - JSS tg |

A |M| . j t f | . sin ij, = j îSj tg |-

1*1 « »

^ = ~ sin * « 1

x jïS| •- I H N J tg | > x = tg !


- 19 -

donc (2) s'écrit

ÎDÏ' - tg | (HN A U)

m' = HN A u tg | . (A)y _V /J y

Appelons V * U tg '•=• (V est un vecteur porte par A) (5)

(4) _* m' « HN A V I (6)

Dans (6) HN s'exprime alors facilement en fonction de OM et OM'

NH « NO + OH

m* = HN A V = V A NH

= V A (NO + OH)

ÏÏM1 = V A ÔH car NO colinéaire à V

Mis a , a*a-d'où

m' = y [v A (ÔM 4. OM')] (?)

On peut donc exprimer OM' de l'équation (1)

OM' = OM + V A (SS -f ÔM')

OM' = ÔM + A ÔM -f A ÔM1

ÔM' - A ÔM' = ÔM -»• " A ÔM (8)

On remarque que (8) est de la forme de l'équation X + B A X = A dont lasolution a été obtenue dans l'exercice n° 1,5 avec

X = Ôfl'

' î = -* •

A = ÔM ' + V A ÔM

On a donc la solution pour OM'

-St ÔM -H V A ÔM - [-V. (ÔM + V A ÔM)] . V + A (ÔM + V A ÔM)UM = ' '

1 H- V^

Après transformation, en utilisant la formule du double produit vectoriel,on obtient

OM' = ÔM + 2 V A ÔM ' -+ 2 V. (V - ÔM) - V2QM

1 4- V2


- 20 -

1.9.2 Cas d'une rotation infinitésimale :

Soit la rotation 6 « <ty telle que

tg 1 ~ .É| et QH « ÔM •" V devient :

v = 5 |

ainsi que M1 HMf = | U A OM

ce qui entraine MMf = 2 HMf « U d i p A Ô M

et donc ÔM' = ÔM + U d ij; A ÔM

ou encore i ^ n > > ^ _ ? """"*dM - (OM1 - OM) = (U A OM) d $

Si on définit V(M) = -77- on obtient

-> ->• dii j —>• -> —>•V(M) = U ^ - A O M = fiAOM

-*• -* d\ben posant Q = U -rr

EXERCICE 1 . l 0-v - -

Soient U et U9 deux axes quelconques concourants.~**

Rotation 0] autour de U. et ensuite

rotation 62 autour de U^

Montrer que ces deux rotationssont équivalentes à une rotationunique et passant par le point deconcours 0.

M 9ift , M. e2/u2 t M,.

Nous avons vu dans l'exercice(1.9) qu'une rotation finie autourd'un axe pouvait se caractériserpar

OMf - ÔM = tg -| U A (OM H- OMT ) ( 1 ;


- 21 - '

Principe : .

Pour montrer que les deux rotations sont équivalentes à unerotation unique il faut montrer que cette rotation peut se faire autourd'un axe D passant par 0 tel que l'angle formé par OM" et D soit lemême que l'angle formé par ÔM et D.

Si À est un vecteur porté par D ceci revient à trouver une rela-tion de la forme

5 3 " •..£•'« '00 . î ' • '

où (53" - SE) À - A (2)

On a donc à prouver que (63" - 53) À = 0 le vecteur 1 étant à déterminer.

Démonstration :

D'après (1) on a

53' - Ô8 = tg £i Uj A (OM + ÔM') (3)

53" - 58f - tg J U2 A (OM" + OM') (4)

Sommons (3) et (4)

ŒM" - ÔM = tg & U2 A (OM" 4- CM'-) + tg -2i u' A (55 -i- ÔM')

(5)

ÔM" - - tg - Uj A OM -H tg - 2. u2 A fl + (tg U H- tg - D2) A ÔM

f

Nous cherchons à éliminer OM'. Pour cela multiplions scalairement par W

*- tgû, + tg^fu2

(ÔM" - ÔM) W = (tg - Uj A ÔM). W + (tg U2 A ÔM") . W

En utilisant les propriétés remarquables du produit mixte, on obtient

(ÔM" - ÔM)(tg6-i-U1 + tg6-|U2) = tg - tg | [(Uj.ÔM, ) + (U ÔM-.iï,)]

= tg - tg | [(Uj, U2, ÔM") - (Uj, U2,ÔM)]

= tg^- tg | [(Uj A U2) ÔM" - (U, A U2) ÔM]

= tg -2l tg -2| (Uj A U2)(ÔM" - ÔM)

ou encore (OS" - OS) [tg9- îïj + tg - $2 - tg6- - tg9-|. (Û] A $ )] - 0


~ 22 -

Si on définit 2 = tg Si 5i + tg £| . tg L tg 6| ( A }

On obtient (CM11 - ÔM) A - 0 qui est bien une relation de la

forme qu'on voulait trouver.

•*• ->• ->•De plus, puisque U et U^ sont des vecteurs concourants en 0, le vecteur Asera aussi un vecteur dont le support passera par 0


- 23 -

EXERCICE 1•11

1 . 1 1 . 1 Dans le cas où L m. 0 calculer la résultante IL (on préciserala signification de ce terme).

-*• •La résultante R^ est définie comme

--B H. ? -»

RM - F. - .^«iî

Considérons un point 0 comme origine de l'espace MA. = MO + OA.

Donc _^ ^ n n >RM - MO I IÎK + [ ffli OA (1)

i=l i=l

• VSi ' 2 , m. ^ 0 la résultante R^ varie avec la position du point M.i=l n

II existe alors une position G de M telle que R = 0, et qui est définiepar la relation

—V n n —vGO l m. -H l m. OA. = 0i-1 x i-1". x x

_ E OA..m.d'où OG = ï—

n

J,BIG est le barycentre des points A. affectés des coefficients m..

1.11.2 Cas où £ m. = 0 , que devient R ?

îî , "S _Si 2. m. = 0, la relation (1) devient R^ = L m. OA.

et cette résultante est indépendante du point M considéré.


Soit un cube ABCDA'B'C'D' d'arête a

1.12.1 Déterminer l!axe central dutorseur constitué par les vec-teurs Â§, B7!:' , D D

Choisissons un repère R : [c, x y z]Les caractéristiques du torseur fil sont

+ ' t = ÂÊ + Ft' + FD[T] = ^

Sc « -cÂAÂS + cSf A B f c f -»- CD'A D7?

^ _ _ I f- a]S s . - ax - ay - az =* " § • « ! - a

I MR

(§ = - cÂ1) ( i )

[al F- al [0l [ 0 1 [al [ O l [a2]M = a A 0 + a A - a + 0 A 0 = a2

[aj [ 0 J [aj [ 0 J [aj [- aj [a2J

[a2]S = a2 (2)

1-1.1

Selon (1) et (2) on voit que M esj: colinéaire à ? —^C G Adonc l'axe central est porté par ÇA'

1.12.2 Calculer MQ 0 centre du cube

MQ = MC + OC A S

= 0 car C et 0 Ç A

MQ = M = a2 (3)

HR

1 .12 .3 Automoment du torseur

[- al [a2]S.M_ = - a . a2 = - a3 - a3 - a3 = - 3 a3

L- aJ L a .

S . MC = - 3 a3 (4)


Etant donné un tétraèdre ABCDon considère le torseur [l] formé parÂÎ,'Â?, A3", B£, Cî>, DE

1.13.1 Calculer la somme géométriqueR de [l]

' S t - Â t + SÊ + Âft + B Ê + c î + Dt ,Mais §£ + C$ + DE « 0

Soit G le barycentre des quatre pointsA, B, C, D affectés de poids égaux 1,1, 1, 1

5g . Q£ + 0$ + 05 +-Qfr4

O S A _> ÂÔ - a * f + ** = fr 4 4

R = 4 AS (1)

Le vecteur AG est facile à construire. Pour cela on sait qu'onpeut remplacer plusieurs points pondérés par leur barycentre affecté de lamasse totale. Nous allons donc chercher le barycentre Gj des points B, C, D.

B -*On s-ait que 2, m- GA- " 0 définit aussi le barycentre des points

-i=l 1 1

A. affectés des poids m. (voir aussi exercice 1.11).

B, C, D sont affectés de poids 1, donc

(fj~B + G C -f G^D = 0 (2)

Considérons par exemple le point M,milieu de BC —* M§ - - îîC

G^ê = G S -f Ht

G 5 = G ï + M^

Donc

G\î + GÎ$ = 2 Gpï '+ M' + M?

Mais MB + MC = 0 (ME et îïS opposés)

(2) devient 2 GjS + GjB = 0 (3)

Mais dans le cas le plus général Gjé = Gjlà -H îS

(3) devient 3 G^M + ME = 0 (4)

ME, - i ïS (5)

(5) signifie que MGj et MD sont colinéaires et aussi que MD est médiane deBC et que Gj est situé au J. de MD à partir de M

3© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 26 -

Un raisonnement analogue pourrait être fait avec N et P, milieuxrespectivement de CD et DB. Donc le barycentre Gj se trouve au point deconcours des médianes du triangle. C'est le centre de gravité.

Connaissant Gj nous lui affectons* maintenant le poids 3.

Il nous reste donc à trouver le barycentre G des points A et Gj.

On a la relation : GA + 3 GÊj « 0d'où G C droite.AGj

et on a Â£ B 3 G£J

Donc AÊ « j A^j (6)

Donc, d'après (1)

R = 3 AÊ, (7)

1.13.2 Calculer le moment de [T] en chaque sommet du tétraèdre

a) S. = Â t A B t + Â Ô A C î S + Â Ï Î A D S

» AS A BÊ + (ÂÊ + BÔ) A cS + A$ A DÏÏ

= A § A B C + Â B A C D + B C A C 5 ^ Â D A ^ S

* AB A (BC + CD) - * - l C A C D + Â D A ^ 2

= A B A B D - f ^ C A C D - Â D A ^ D

• (AB - AD) A ID + "BC A "cS= ~ B D A B D + B £ A " C D

MA = le A CD. - - - cl A CD ( (8)

Rappelons que l'aire d!un triangle BCD est donnée par

aire BCD « ~ | CB A CD|

La relation (8) nous montre donc que le moment du couple formé des vecteursBC, CD, DB a pour module le double de la surface du triangle BCD et qu'ilest perpendiculaire au plan de ce triangle.

b) ML * BC A CD + BA A AÈ + BÂ A AD

= BC A CD •»• BA A (ÂC -H ÂB)

Mg = MA + BA A (AÏB -H AC' + AD)

car B! A " = 0

MB = MA +'BA A R

Nous vérifions bien ici la formule de changement d'origine pour les moments

Mg = MA + BA A (ÂC + AD) (9)


- 27 -

similairement on obtient

c) Mp = M + ÇA A (ÂB + AD) : (10)L« A

d) M. = M. + DA A (ÂB + ÂC) (11)(j A

1.13.3 Calculer les moments de [l] par rapport aux six arêtes

Rappel : le moment d'un torseur par rapport à un axe est égal à la projec-tion sur cet axe du moment par rapport à un point de l'axe. Soit

M/(D) ' %CD' °

a) M M ^ = (BC A CD). AC = (BC, CD, AC)AC A ' IACI JÂC| 1 !ÂCi

mais (BC, CD, AC) = 6 V (V étant le volume du tétraèdre)

A Vf 6 Vdonc MAn =

AC |Âc|

De même M „ = 6 V M „ = 6 V

AB jÂBl I ^ AD]

b) De plus M = îî .-ig-BC B |BCI

= IM + BA A (ÂC + S) . .-5£-" A !BC!

. (JC A^CD) JC + |BA A (ÂG + AD) ! . -g-!BCJ ;BC!

et donc i

M (BA, ÂC + AD, BC)

|gi

et similairement

M C CD (ÇA, AB + AD, CD)% " Mc'!sT isi •™ w PB __ (DA, AB -f AC, DB)

^B " ' TsT " H


1.14.1 Le torseur [l] est formé des deux vecteurs AÉ et CD

a) Calculer les caractéristiques de ÎY]

_> -+ [- 3ai [3ai r o"S = AB + CD = 4a + 4a = 8a

0 J L° J L OJ | 1

f ° lS = 8aL OJ

M Q = Ô A A Â B + O C A C D

(Sa] F- 3al [ 6] [Sa"= 0 A 4a + 0 A 4a

[G J L ° J L5aJ L 0.

'" 0 1 F- 20 a2] [- 20 a2] ^ ["- 2o|= 0 + 15 a^ = 15 a2 M = a2 15

12a2J L 0 J L 12 a2 L 12J


- 29 -

b) axe central de \T\-+* S A M0

L'axe central est défini par 01 = —S2

-+• a* r °i i"" 2°i i r 96ai i i"301* = -2— 8a A 1.5 - -— ° = 7 a °

64a2 L °J L 12J r J60aJ L5._ . _

01 = y a 0 Voir figure pour position géométrique[5J

1-14.2 Soient H et K Ç à AB et CD> Le torseur [Tfj est formé par

dF « î ds s = • |CK.| = |ÂH|

a) Composantes dx^ dy3 dz de dF

HK = OK - OH = (OC + CK) - ÔA - AH

= oc + s - i - s MICD! ÎABJ

_ . " 0] [3a] [3a "- 3a"

HK = o + ~ 4a "- : 0 - I- *a

L5aJ L 0, L 0, L ° .

I s - 3a

HK = 05a

d'où dx = (j s - 3a) ds

dy = 0

dz = Sad.s

b) Composantes dL, âM3 dN de dMQ = OH A dF

ÔH A cïF = (ÔÂ + Âïï) A dF

"3a - 3/5s] f(6/5s - 3a)ds"0 4/5s A o

_0 0 J L 5ads

On obtient

dL = 4 a s d s

dM = (- 15 a2 + 3 as) ds

dL = -(|| s2 + -1| as) ds


- 30 -

c) Intégration : calcul de F et MQ

,5a

/ X = / (| s - 3a) ds = 0

0

/•5aF = y = I O d s = 0

0

/

5a

5ads = 25 a2

0

/

5a

4asds = 50 a3

0

r5aMO = M = / - (15 a2 + 3 as) ds «= - | a3

0

-5a

N - . / ( | as - % s2) ds = - 10 a3

0

d) Axe central de [f]

&Déterminé par la position de I tel que

*. -* F n " F s O f l ^ "-. = H^MO = _^__ °0 A _ 57°5/

a2 a3

F2 625 au L25a2J L~ 10 a3

* [3/2a"01 = 2a voir figure

_ 0


- 31 -

EXERCICE 1.15 _».— , B

Soit un torseur [T] j ->'M *

o

1.15.1 Comment varie le module ML quand P décrit une droite (D) ?Montrer que ML passe par un minimum.

a) Démonstration analytique

Soient donnés la droite (D) devecteur unitaire îf et le point 0

Fixons nous un point de départA sur (D). P sera le point courantsur (D), défini par son abscisse|AP| = x. MA est parfaitement connuI I XV

MA = M + AO A RA o

-*•Pour étudier la variation de |M jnous calculons [Mp]

2

Sp - 8A + ~Pl A S PA = x U

Sp = MA + x U A R ( 1 )

[Mp]2 = [Mj2 -H x2 (U A R)2 + 2 x(U A R) MA

La variation de M_ est donnée par l'étude d'un trinôme du seconddegré en x

Le coefficient du terme du second degré étant > 0, Mp passe parun minimum pour une valeur x* de x annulant la dérivée du trinôme

soit 2 x* (U A R)2 H- 2 (U A R) MA - 0

et donc (K A P^ MAx* = - ÇU A R; MA £2)(ÏJ AÏ)2

Notons que le minimum de [Mpj2 est aussi le minimum de JMpj

b) démonstration géométrique

Une démonstration à caractère plus géométrique peut être faiteen utilisant la notion d'axe central A défini comme le lieu des pointsI tels que

MI = A R

On sait que I est la projection de 0 sur A


oi* = ^ A MO"*9R )

Abaissons de P la perpendiculairesut A (point I)

&p = g]. + PÎ A S.

Mp = A & + P Î A R

[%]2 = (X R + PI A R)2

« A2R2 + (PIAR)2+ 2XR.(PÎAR)

(Mp)2 = X2R2 + PI2.R2

(car l'angle entre PI et R est -r-)

!Mpi = |R| A2 H- dz (d = |PI )

X est le pas du torseur [Tj

R est la somme du torseur Pr!

iMB! . . d . .P mini 'ii i > mini

' ' P;mini si P C à la per-pendiculaire commune de D etA soit P*

1,15.2 Au point où M_ est minimum, montrer que Mp*, Û et 1 sont coplanaires

a) démonstration analytique-v _>. -*

Si (M_*, U, R) = 0 ^ > les 3 vecteurs sont coplanaires

, Mp*. (U A R) = 0

Avec (1) et (2) nous avons

.g. = M - oL iiA . û A gP A ( U A R ) 2

donc- • > • - > - » -

?L* . (U A R) = M (U A R) - (U A R^MA . (D A R) • (U A R)(U A R)2

•(Mp» , U, R) = MA (U A R) - MA (U A R) = 0


- 33 -

h) démonstration à caractère géométrique

Mp* ' = A R + P*I A R• • - $ » ' &

Considérons A1 parallèle à la résultante R, passant par P . Elle est paral-lèle à l'axe A de par la définition de celui-ci.

Considérons le plan ïï formé par D et A1

* RC II évident de par les définitions-> t t -> -*•

* U C II puisque vecteur unitaire de D M* U

* ARC n~!T* + ->P I A R G n et R sont

puisque P*I, D = ^ JBBBB» M^ C 11

P*I, A f= - coplanaires

: ' ' -> • . ->1.15.3 Existe-t-il un point P sur (D) tel que Mp soit colinéaire à U

"* . •* • ~ •+ ->Mp colinéaire à U entraîne M^ = k U

Mp . » M + x U A R

k U - MA + x U A R (3)

a) Condition de possibilité

De (3) k U - MÂ = x U A RA.

" * " " * " . , • ->le vecteur (k U - M ) doit être perpendiculaire à chacun des vecteurs U et"|(, soit analytiquement

(k U - MA) . D = 0 > k = M. e Utr -*

-*• ••+ -> MA D

(k U - M ) . R - 0 > k = ^ ' U . R

On doit donc avoir la conditionM"*• " WA R

M U = A ' RA - > • - > •

U . R

Soit (M . U) (U . R) - M . R = 0A A


- 34 -

Mais cette condition peut se transformer en utilisant la formule démontréeen exercice 1.3

(M A U) (U A R) = (M . U) (U . R) - (M. . R) x 1A, A &

La condition de possibilité est donc la suivante

(M. * u) (u A R) = 0 (4)XV

->• ->Pour que M soit colinéaire à U il faut que (4) soit vérifiée pour letorseur donné [l]

b) Recherche du point P

Si la condition (4) est remplie, lféquation (3) peut s'écrire

k ÏT = & + x (5 A $)A.

k Û . (9 A $) = S. . (U A I) -i- x (U A R)2A

M . (U A R),, ^ A *d fOU X = —-r = X

(0AR)2

Donc si le point existe c'est le point P où Mp est minimum en module.


- 35 -

EXERCICE 1•16

Soient les torseurs

f -> * / ->•(Rl ' (R9[*,] ' L et W ' L•<MI<0) < tM2(0)

Les axes centraux (A|) et (A2) sont définis par leur direction (celle dela somme géométrique) et par un point quelconque.

axe central (Aj)

- direction Ûj telle que R = Rj Uj (a)

- Mj C (AO tel que

ÔMj = 01* + ï*55 (1)

R, A M-. -J7- + W (b)Ri

axe central (A2)

- direction Ù_ telle que R = S Û (a)

- M2 £ (A2) tel que

ÔS2 = Ôî* + Ï M2 (2)

R2 A M ^- -^ + 2u2 (b)

R2

Maintenant, les droites (Aj) et (A2) doivent être confondues, ce quiimplique

a) IJj = Û2 = U

b) il existe » et '•._ tels que ÔM = ÔM

(a) Rj A iR2 = 0 (3)

R U A M -»• • R U A M(b) avec (a) -—• + X.ff = — + XJ

Rl2 R22

Û A M U A M—= + , g . £ + x fj (4)

R R ZKl R2

En multipliant scalairement les deux membres de (4) par U on obtient

', = A2 = >- (5)


- 36 -

et l'expression (4) devient finalement

-> -*•-> Mt MOU A ( _L - -2. ) = o . (6)

Rl R2

(6) entraîne

51 % ,. *2 51 S "— »• — ou bien = a URl R2 R2 Rl


- 37 -

EXERCICE 1.17

Soient deux torseurs [Tj] et [T2]

( *, . '• (S,

M'U M'KLeur comoment est défini par

C12 = R, . M2 + Ït2 . M,

Les axes centraux sont définis comme précédemment dans l1exercice (1.17).Le fait que les axes centraux se coupent à angle droit implique

a) U- est perpendiculaire à îL

b) La longueur d de la perpendiculaire commune aux deux droites (AJ)e.t (A2) est nulle.

La condition (a) entraine

: • tfj . ft2 - 0 Rj î . R2&2 = 0

R! . R2 = 0 (1)

Examinons la condition (b)

Soient (Aa) et (A2)orthogonaux (selon a)tels que représentéssur la figure.

Soit P~ G A2 quelconque

Soit A! parallèle à AIpassant par P^

(A1) et (A2) détermi-nent le plan n

Soit un référentiel Rarbitraire R (0,X Y Z)

Soit M un point courantde n

XM c n M Y

Z

L'équation du plan nest

(2)A X + B Y + C Z + D = 0


- 38 -

V?2 G n avec P2 Yp donc

.HAX_ + BY_ + CZ- + D = * 0 (3)T2 P2 P2

Faisons (2) - (3). On obtient

A (X - JL, ) + B (Y - Yp ) + C (Z - Zp ) = 0 (4)P2 F2 2

(4) signifie qu'on a

V . P^M = 0

+ .Aavec V B

C

Ztonc? F est perpendiculaire au plan II at donc? la perpendiculaire communeà '(ai) et (^2) a a direction de y.

Maintenant on sait exprimer la distance d'un point à un plan.Soit P! un point de (Aj). La distance de Pj au plan II sera égale à la lon-gueur de la perpendiculaire commune à (A ) et (A2).

On a

d = IQ? = L^L (5)!vi

Soient les points IjC (A^) et I2 C (A2), deux points quelconques. Onpeut écrire

Q?J - Q?2 + ?pt2 -H rTîr + I i

V.QPi = V.QP2 •*• ?.PJÎ2 -f V.ÎJÎ! + ^.Î7?i

ou encore

V.QPi » ^-ÎJÎi

, , V.IÎl , ,vdonc d = * ^ (6)|v|

mais V est perpendiculaire au plan ïï et peut s'exprimer par un produitvectoriel, soit

V = (Ri A RL) A (7)

!vj = A ]R![ |R2| sin en . -*•-»•

0 = -=• de par la condition (a) R^ ,R2 = 0

|V| - A |Ri| |R2| (8)


- 39 -

Avec (7) et (8), (6) devient

I2ij . (RÎ A SJ)d = J-l i _. (9)

Kl • |5?| '

Calculons maintenant le numérateur de (9).

Il et I2 étant des points arbitraires, on peut les choisir detelle manière qu'ils soient les projections de l'origine 0 respectivementsur les axes centraux (AI) et (A2). Ces points sont communément appelésII* et I2* et définis en exercice (1.17)

Ot* = *1 A Ml 0-| * . R2 AM 2

1 Rt2 R?

I2ÎJ = OÎ! - OÎ2

(9) devient donc

, 1 r,2 £ v (Ri A MI ) (Ri A R2 ) (Ra A M2 ) Td " > . L(Rl A R2) | +,2 ["57 J

|Ril|R2| |Ril IR2T

En utilisant la formule démontrée en exercice (1.3)

(a Ab).(c A d) = (a.c).(b d) - (a.d) (b.c)

on obtient

d " .+ ' , f —• [(Ri.RiXRa.Mj) - (RiMiXRz'.Ri)] -. L.[(.RtR2) (R2M2) - (R ) (R:7R;.)]}|RiI|R2l RI R2

2

Transformons cette expression en sachant que Ri.R2 = 0

d = ! [(R22Ri2)(R2-Mi) + (Ri2R22)(Ri.M2)l|Ril3|R2J

3

1 r-*- -*• ->•-*•-!d - — ~ [R2-Mi + Ri.M2J

I RI|[R2l

Donc si [RIJ J 0 et JR 2j ï 0, ce qui est sous entendu dans l'énoncé, lacondition -> -> ->

C = R2-Si - î.M2 = 0

entraine que d = 0 et les deux axes centraux (AJ) et (A2) sont concourants.

En résumé les conditions Rj.R2 = 0c12 = o

entrainent des axes centraux concourants et perpendiculaires.


- 40 -

EXERCICE 1.18

1.18.1 Détermination analytique

On utilisera un repère 0, x, y, z tel que

0=0. point appartenant au support (A^) de V.

x porté par V.

z porté par la perpendiculaire commune aux supports de V et V2• * • £ * •y = 2 A x

^ On désignera par 0~ l'intersection de (0, z) avec le support (A2)de V et l'on posera

Vj = V, x (x, u) = 0

V2 - V2 u OJÔ^ = d z

On a- > - > - >u = cos 6 x + sin 6 y

a) détermination des éléments de réduction du torseur

- La somme est S = V + M

£ • (Vj + V2 cos 6) x + V2 sin 6 y

~ Le moment M, . est

>,) - V2 2

= dz A (V cos 6 x + V sin 6 y)

M, ' = - d V2 sin 6 x + d V2 cos 6 y

b) détermination de l'axe central

II a la direction de à, c'est à dire qu'il est parallèle au plan(0, x, y) et il passe par le point I* tel que

-% _ *Aa((?1)1 " i2


- 4i -

Vl * V2 cos e " d V9 sin e

V2 sin 0 A d V2 cos 8

0 007* . —- -±-L -Vj2 + V2

2 cos2 6 + 2 V,V2 cos 6 + V2 sin2 6

0

0

—+* LV02 + V1V9 COS 6J +0,1* - S !-£- d zn

Vj2 -+ V22 -H 2 VjV2 cos 0

L'axe central rencontre donc la perpendiculaire commune à angle droit.

1.18.2 Détermination géométrique et construction :(pour ceux qui ont des notions de géométrie descriptive)

a) Remarque préliminaire : une droite qui rencontre (ai)' et (A2J etest orthogonale à s rencontre l'axe central.

Considérons une droite quelconque (D) rencontrant (A|) et (A2) etcherchons à quelle condition cette droite rencontre l'axe central. Désignonspar J et K les points de rencontre de (D) avec (A}) et (A2)•

Soit un point A quelconquede cette droite (D). Cherchonsdonc à quelle condition ellerencontre l'axe central (A).

D'après la formule généraleon a

V) =3(j)

+ Â3 A?

Mais on peut poser AJ = pJKy étant un scalaire quelconque.D'autre part

V) • A *2

M(A) = J K A V 2 + y J K A S

formule valable pour toutpoint A G (D.).

Pour que A appartienne à l'axe central il faut et il suffit que :

5(A) - A 3 X ? - Jlt A $2 +• y j£ A £

X S = j£ A (V + y I)


- 42 -




- 45 - '

EXERCICE 1.19

1.19.1 Détermination des éléments de réduction de [l]

-»• -> -> .- la somme est S = Si + 89 •

- > - » • - » •S = Sj x H- S2 y

- le moment en 0 est

"(0) = A1§1 + A2^

= AjSj x + A2S2 y

C'est un veotewe du plan 03 Xj y

1.19.2 Détermination de l'axe central de ïll«MBHBlIMMlMIHMMIMHMMIiMMMIMMMWMIiHBMiMMMMBBaH^MMMIMHMMMMMIiiM ilHiMiMMBnHMHI» L J

Le point I pied de la perpendiculaire abaissée de 0 sur l'axecentral est défini par

ôî* . ^ A *ft»S2

[s.j| (rÀlSl]

S2, A:^2S2

ôT = - --!—i- °-Sl2 + S22

0 'QÎ. = U2 - A°) SlS2J

c 2 + c 2bl S2

I est un point de l'axe (0, z)

L'axe central de [_T; passe par I et il a la direction de S.C'est donc une droite papallèle au plan (03 x3 y) et rencontrant l'axe(0, z)


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MECANIQUE GENERALE Chapitre I : Torseurs