MECANIQUE GENERALE Chapitre III : Les torseurs cartésiens

MECANIQUE GENERALE

CHAPITRE III : LES TORSEURS CARTESIENS

Cours

Auteur de la Ressource PédagogiqueJ-P. BROSSARD

3, 4 et 5 GMC

Année de création : 1994

© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

SOMMAIRE

~ CHAPITRE 3 ; TENSEUR CARTESIENS D'ORDRE 2 pages 191

3-1 Rappel sur les changements de base 1923-2 Convention de l'indice muet ou convention d'Einstein 1953-3 Vecteur polaire ou tenseur du 1er ordre 1953-4 Remarque fondamentale 1973-5 Première définition d'un tenseur du second ordre 1973-6 Opérations sur les tenseurs 2023-7 Deuxième définition d'un tenseur du second ordre 2103-8 Tenseurs particuliers ~ 2133-9 Etude des tenseurs du 2e ordre symétriques dans R o 213

3-10 Etude des tenseurs du 2e ordre antisymétriques dans R 2163-11 Méthode d'étude d'un tenseur du 2e ordre quelconque 217

-CHAPITRE 4 : GEOMETRIE DES MASSES 220

4-1 Champ de masse spécifique d'un système matériel 2214-2 Grandeurs associées au champ scalaire 2214-3 Grandeur scalaire associée au champ de masse spécifique

d'un système. Masse d'un système 2224-4 Grandeur vectorielle associée au champ de masse spécifique :

centre d'inertie d'un système 2264-5 Grandeur tensorielle associée au champ de masse spécifique*

Tenseur d'inertie. _ 2344-5-1 Tenseur d'inertie nQ 2344-5-2 Le tenseur Z 2364-5-3 Le tenseur ï. Définition. Etude des éléments. 2374-5-4 Etude du tenseur ï. Propriétés. Méthode de calcul. 2394-5-5 Détermination expérimentale des moments d*1 inertie. 264

- CHAPITRE 5 : CINETIQUE 271

5-1 Torseur cinétique 2725-1-1 Définition concernant l'élément de masse entourant

le point P 2725-1-2 Torseur cinétique (abus de langage) 2725-1-3 Exemple 2725-1-4 Théorème du centre d'inertie concernant la somme

cinétique 2745-1-5 Théorème concernant le moment cinétique 274

5-2 Torseur dynamique 2875-2-1 Définition concernant l'élément de matière entourant

le point P 2875-2-2 Torseur des quantités d'accélération ou torseur

dynamique 287


5-3 Relation entre le torseur cinétique et le torseurdynamique. Calcul du jzorseur dynamique p- 2885-3-1 Relation entre I& et a8. Calcul de la

somme dynamique. 2885-3-2 Relation entre le moment cinétique et le moment

dynamique. Calcul du moment dynamique. 289

5-4 Energie cinétique 2955-4-1 Définition concernant l'énergie cinétique 2955-4-2 Théorème Koenig 2955-4-3 Energie cinétique dfun solide ayant un point fixe

0 dans R . 2965-4-4 TËëorème le Koenig pour le solide 2985-4-5 Exemple 298


INTRODUCTION

Dans ce fascicule, nous avons réunis les chapitres3, 4 et 5 du cours de Mécanique Générale.

Le chapitre 3 concerne la notion de tenseurs cartésiensdu second ordre dans un espace à trois dimensions* Le caractèrephysique de cette notion ainsi que la concision de son formalisme,nous ont conduit à la présenter dans un chapitre à part.

Les notions qui interviennent dans le chapitre 4 sontpurement géométriques. Il est montré que le comportement dynamiquede la matière peut se caractériser par trois grandeurs tensoriellesdfordre zéro, un et deux respectivement pour la masse, le centred'inertie et les moments d'inerties. L'étude détaillée de ces troisgrandeurs est faite dans ce chapitre intitulé "géométrie des masses".

Le chapitre 5 de cinétique n'aurait pas lieu d'existeren tant que tel. Cependant, les notions de torseur cinétique, torseuidynamique et de l'énergie cinétique ainsi présentées permettentd'exposer de façon claire et concise, les théorèmes généraux de lamécanique qui seront étudiés au chapitre 6.


CHAPITRE 3

TENSEURS CARTESIENS

d'ORDRE 2

-191 -


-192-

Chapitre III

CALCUL TENSORIEL

LES TENSEURS D'ORDRE 2 DANS R3 EN AXES ORTHONORMES

3.1 RAPPEL SUR LES CHANGEMENTS DE BASE

Soient deux bases orthonormales(R) et (R')

(R) : [0, x, y, î]

(R'): [0, îffy'fzf]

Pour la commodité des calculs posons-> -* -* ->X = Xi Xf = X 1i-+ -* -* -*y - x2 yf - x!2

•••* "* •*! ^tz = x3 zf = xf3

On a donc maintenant les deux bases(R) et (Rf)

j(R) —^ [0, xl5 x2, x3]Figure "3.1 1 /« t \ r "~T* " r • t- >i6 ((Rf)— [0, x1!, x'2, 3 3]

Le repérage de la base (R1) par rapport à la base (R) est effectuera l'aidedes cosinus directeurs des vecteurs unitaires des axes"x'i, xf2> 3e13 dans(R). On peut présenter ceci sous forme de tableau

xTt x7! x1^

xl all a!2 »13

x2 a21 a22 a23

x3 a31 a32 a33

x1! = an X! -H a21 x * + a31 x3

X!2 - «12 xl + «2-2*2 + «32^3

x7^ ...»: a13 xx + a23 x " + a33

ce qui peut s'écrire sous forme indicielle

^ 3 _^

xfi • I aki\ (3-11)i k=1 Ri k


-193-

ou sous forme matricielle

[x l, 3 2, X1 ] = [xt> X^> X ] P

en posant [P] = [a..] matrice des 9 cosinus directeurs

La base (Rf) est une base orthonormée directe. On a

x1. x1. = 0 si i £ j

xf. x' . = 1 si i = ji J J

*

soit encore

«7 7 = 6ij I (3-2)

6.. est le symbole de Kronecker dont il est fait grand usage en calcultensoriel.

<$ •• ' - 0 si i j3 ' (3.3)

ô.. = 1 si i = jij J

La formule (3.1) peut s'écrire sous forme développée

3I ou . o. . = 6. . (3.4)

k^j ki kj ij v '

ceci exprime aussi que la matrice [pj est une matrice orthogonale. Nousavons vu que cfétait une matrice orthogonale droite (déterminant égal à+ 1).

On peut avoir à faire le passage inverse. Partons de l'expressionmatricielle

iXt» x^-t x1 ] - [xî, x , x J I P J

transposons les deux membres de l'équation matricielle. On sait que la trans-posée d'un produit est le produit des transposées dans l'ordre inverse

i r* -i r - ^ ~ i i * nx'i Xi

Xf2 •» P X2

'.. xf3 J L JL X3 .


-194-Mais la transposée d'une matrice orthogonale est égale à son inverse

„ -1 __x<i i r ir**x7! = P "x£

X'o Xo3 J L J L . 3 .

Multiplions les deux membres par.£ pj à gauche, on a

xî ] f Ifx^"

X2 = P x!2

. "*3 J L J L *^ .

* ^

Soit x-i - an xf! + a12 xf2 + a13 x

7^

x2 = a2i xf! + a22 x

7^ +. a23 x't

X3 " a31 x7! + a32 x7 " + .0.33 x7^

ou sous forme indicielle

-~+ 3Xi = Jj aik X'k (3'5>

La base (R) étant orthononnale on a :

x^ x. » 6^. ou sous forme développée

soit

J, "ik'jk = ôij

En résumé on a

_^ 3 ^x. « Y eu. x1^1 ;kil lk k (3.6)

^t= £aki^

Les changements de base sont simples, ceci est une conséquence de l'emploide bases orthonormées caractérisées par

3J a., a., * 6. .

kr, ik Jk ij

3 (3.7)

I aki \± " «iik=j J 1J


-195-

3.2 CONVENTION DE L'INDICE MUET OU CONVENTION DyEINSTEIN

3.2.1 Convention

Dans le paragraphe précédent on a rencontré à tout instant dessommes dans lesquelles la sommation porte toujours sur un indice qui fi-gure deux fois. Einstein a proposé la convention suivante qui allège beau-coup l'écriture : "on supprimera le signe Z dans toutes les sommes de cettenature à condition de faire la somme de tous les monômes en donnant à l'in-dice répété les valeurs 1^ 23 3.

3.2.2 Exemple_^ 3 ^ __^ ^

a) x. = Y a., x1. s'écrira xT = a.r xf/i k£j ik k i ik k

cela signifie que nous entendons par là :

£T = ail P"t + a£2 "Fj + <*i3 "x7^

b) la relation caractéristique dfune base orthonormêe

3T a., a., = 6. .

k.j lk Jk !J

s'écrira tout simplement a., a., = ô..r rk jk ij

cela signifie

a. a. + a. a. •*• a. a. = 6..il Jl 12 J2 13 J3 ij

c) Remarque : on peut toujours remplacer un indice muet par un autre.

3.3 VECTEUR POLAIRE OU TENSEUR DU 1er ORDRE

3.3.1 Changement de base pour un vecteur

Soit V un vecteur dont les composantes sont [Xj, X2» X3^ dans(R) et [X1!, X'2, X'3J dans (R1). peut donc s'écrire

Xxi rx'ri f^ x _^ x sous formeV - X2 V = X'2 . . . . .^ ^ matricielle

WR LX'3JR,


-196 -

V » Xx KX + X2 x2 + X3 x3 sous forme

V - Xf! x" + X'2 x7! + X!3 x

7^ vectorielle

ou sous forme indicielle

î -* 3 _^V " :I X x $ - l x' P~

o=l ° a o=l ° °

En utilisant la convention de l'indice muet

$ = X x* V = X' F"*cr a a a

Nous avons vu que le changement de base s'écrit sous forme matricielle

'xll [all a!2 a13l rx'i"

X2 - a2i a22 «23 x '2

_X3J La31 «32 a33J LXf3.

et comme la matrice [ P J est orthogonale

Vil r " i fxi"- X f

2 - P X2

-X f3j l J LX3.

on a donc sous forme indicielle

3X. = Y a. X'

ail ia °

3X ' . - T a . X

1 a=l 01 a

soit en utilisant la convention de l'indice muet

X. = o. X'10 ' (3.8)

X'. - a . Xi ci a


-197-

3.3.2 Définition générale d'un vecteur polaire ou tenseur d'ordre 1

On appelle vecteur polaire ou tenseur d'ordre 1 un ensemble del nombres qui lors d'un changement de base orthogonale se transforme parla formule

Ti " aiaT>7] (3'9)

3.4 REMARQUE FONDAMENTALE Eddigton p. 28 (annexe)

"Cela n'a aucun sens de demander si une quantité définie seulement dansun système de coordonnées est un vecteur ; en mathématiques on est entiè-rement libre de décider si cet ensemble de 3 nombres est un vecteur ounon". Nous verrons qu'en physique au contraire cela nous permettra decaractériser des êtres.

3.5 PREMIERE DEFINITION D'UN TENSEUR DU SECOND ORDRE

3.5.1 Dyade ou produit tensoriel de deux vecteurs

Soient deux vecteurs X et ? de R

X = [Xj, X2, X3] Y = [Y!, Y2, Y3]

on peut associer deux par deux les composantes de X et Y pour former leséléments T.. « X.Y.

ij i J

Tll - X1Y1 T12 * X1Y2 Ti3 - XiY3

T21 = X2Y} T22 = X2Y2 T23 = X2Y3

T31 " X3Y1 T32 = X3Y2 T33 = X3Y3

On appelle dyade ou produit tensoriel des deux vecteurs X et I l'ensembledes 9 nombres T . .. On note le produit tensoriel symboliquement

13

T = X a Y

L'ensemble de 69 nombres peut être représenté sous forme d'un tableau ap-pelé matrice du produit tensoriel

XIYI xxY2 X!YS[ T ] - X2Y! X2Y2 X2Y3

X3Y1 X3Y2 X3Y3


-198-

3.5.2 Changement de base pour le produit X e Y

Le produit tensoriel que nous avons effectué dans (R) peut êtreaussi effectué dans (R1)

X" = [X'lf X'2, X'3]R| Y = [Y'lf Y'2, Y'3]R,

Aux 9 scalaires T.. on peut associer les 9 scalaires T1.. = X'.Y'.ij iJ i J

Nous allons montrer que l'on peut facilement passer des T'.. au T.. et ré-ciproquement

T. . = X.Y. mais 31J x J X. = l a. X'

o=l 10 °

3Y. = Y a. X'

T=l JT T

3 3T.. = £ y a. a. X' X1U o£l T£i 10 JT a T

3 3T. . s Y y a. a. T'U c£j Tt, -1° JT "

Réciproquement on a

Tf.. - Xf. Yf.ij i J

3Xf. = 7 a... Xi L. ai aa=l

3Tf. - I a . Y

J T£, TJ T

3 3Tf.. = T y a . a . X Yij L. L. ai TJ a TJ a==l T=l J

3 3T\. = Y y a . a . T« o£, .T£, ~

Tl .«

on peut écrire les deux résultats en utilisant la convention de l'indicemuet

T.. = a. a. Tf

ij la JT 0T

Tf. . = a . a . Tij ai TJ aT


-199-

3.5.3 Définition d'un tenseur du second ordre

a) énoncé

On appelle tenseur du second ordre un ensemble de 9 quantitésscalaires T.. telles qu'un changement de coordonnées orthogonales dontles cosinus directeurs sont définis par la matrice [P] substitue à ces9 quantités 9 autres quantités Tf.. liées aux T. . par les 9 relations.

^ 1,3

T« " j, j,'*"*1'" (3-10)b) remarques :

\{ on peut donc interpréter un tenseur dfordre deux comme leproduit tensoriel de deux vecteurs ou tenseurs d'ordre 1.

2/ la relation de définition est encore appelée critère de ten-soriabilité.

3/ on a de même les formules de transformation inverse

3 3 - .T1.. « - 7 - 7 0 . 0 . 1 (3 i niJ a£j T£

:, a! TJ ai "'"J

Les formules indicielles permettent d'exprimer de façon commodeles expressions de changement de base :

c) exemple : développer T2~

T23 - j, j, «20 «3T T'ax

T23 = | (°21 a 3 T T l l T + a 2 2 a 3 T T ' 2 T + a 2 3 a 3 T T ' 3 T )

T23 = «21 «31 T'n + a2, a32 T',2 + o^ a32 T',3

+ a22 a31 T'2J * a22 a32 T'22 + «23 cx^ T'23

* a23 a31 T*31 + «23 032 T'32 + «23 a33 T'33

Ce long développement peut être remplacé par la simple formule

T23 = a2a Û3i Tfot


-200-

3.5.4. Forme matricielle des formules de transformation

Les 9 composantes de T dans (R) forment une matrice 3x3 [l] etles 9 composantes de f dans (Ri) forment une matrice 3X3 [TfJ.

m m m r n f m f r p f

11 12 13 11 12 13FT! - T T T FT'! = T1 T' T'Lij 121 i22 123 La. j i 2]| 22 23

m m m r n f m f m f

1-31 32 33J L 31 32 33J

La formule de transformation peut s écrire

3 3T1'. . = J a . I T a .U a£, ax CTT TJ

La matrice de passage est la matrice [?]

hl a!2 a!3~[P] = a21 a22 a23

•a31 a32 a33-

3La somme J T a . est le produit de la ligne d1 indice de

T=l ^ la matrice [l] par la colonne d'indice jde la matrice [P] . Cfest donc l'élément A . de la matrice produit[A] - [t][P], Donc aj

3T f . . = J a . A .ij 0^ ai aj

3La somme J a . A . est le produit de la colonne d'indice i

a=l L J de la matrice [p] et de la colonne d'in-dice j de la matrice [A]. C'est donc

aussi le produit de la ligne d'indice i de la matrice [p] et de la colonned'indice j de la matrice [A]. C'est donc lfélément b. . de^la matrice pro-duit [B] « [p] [A] . T . . est donc l'élément de la ma triée [p] [T] [p] . D'où

[Tf] - [P] [T] [P] ou encore

[T'] - [p]"1 [T][P] (3.12)


-201 -.

3.5.5 Généralisation de la notion de tenseur

On peut définir des tenseurs d'un ordre quelconque dans un espacece dimension quelconque. Considérons les exemples suivants :

â) Tenseur d'ordre 2 dans R

On appelle tenseur d'ordre (2) dans R un ensemble de 16 nombresT. . qui lors d'un changement de base orthonormée se transforme par la rela-tUn

4 4 . yT.. - - ? y a. a. T' i = ï '2»3 '4 (3 .13)U o£, T=l ia JT 0T j - 1 , 2 ,3 ,4

?b) Tenseur d'ordre S dans R

7On appelle tenseur d'ordre 3 dans R un ensemble de nombres qui

IQ&S d'un changement de base orthonormée se transforme suivant la relation

3 3 3T. ., - • J • J • £ a. a. CL T 1 (3 .14)ijk at} T£1 ^j ia JT ky aTT

un tenseur d'ordre 3 dans R a donc

x = (3)3

x = 27 composantes

c) Tenseur d'ordre r dans F?1 '

Plus généralement on peut définir de la même manière un tenseurd'ordre r dans R1 comme précédemment

- chaque élément a r indices- la sommation s'effectue de 1 à n

un tenseur d'ordre r dans R a donc

x = n composantes

d) Tenseur d'ordre zéro : on convient qu'un scalaire est un tenseurd'ordre zéro.

3.5.6 Premier exemple de tenseur du second ordre

Montrer que le symbole de Kronecker est un tenseur du secondordre. Pour cela nous allons montrer qu'il se transforme suivant le cri-tère général de tensorialité.


-202-

Calculons l'expression

a. a. ô f (ô ' = 1 si a = Tla JT CTT avec < CJT(6 ' = 0 si a ^ T

0T

% ttJT « ' O T = "il "jT Ô ' i T +aÎ2 V Ô '2T + «iS ÛJT Ô f ,3 T

= Oil Ojl + a.2 aj2. + a.3 Oj3

= aia ajx

Mais d'après les relations fondamentales qui lient les a des bases ortho-norme es

6.. • a. a. donc 6.. • a. a. 6'ij ia JT ij la JT CT

OPERATION SUR LES TENSEURS

3.6.1 Somme de deux tenseurs de même ordre

a) Somme de deux tenseurs d'ordre zéro

On appelle tenseur d'ordre zéro les scalaires.La somme de deux tenseurs d'ordre zéro est donc un tenseur d'or-

dre zéro.

b) Somme de deux tenseurs d'ordre 1 (ou somme de deux vecteurs polaires)

Soient A et B deux tenseurs du premier ordre

A. = a. A1

i xa a

B. « a. B'i la a

On peut former les éléments S. « (A. + B.)i i i

S'a -. (A'a+B'a>

Les éléments S. sont les composantes d'un tenseur du premier ordre. Eneffet x

S. » a. (Af -H B' )i 10 v a a'

S. - a. . S'i xa a

Donc : La somme de deux tenseurs du premier ordre est un tenseur du premierordre.


- 203 -

c) Somme de deux tenseurs du second ordre

Soient T et 0 deux tenseurs du second ordre

T. . = a. a. T1

ij xa JT ai

6. . » a. a. G1

ij la JT CTT

On peut former les éléments S.. = T . . + 0. .iJ iJ ij

S' - T f + 0 f

ai 0T CTT

On a S. . - a. a. (T f + 01 )ij la JT v (JT CT

S. . = a. a. S f

ij ic JT CJT

La somme de deux tenseurs du second ordre est un tenseur du second ordre.

d) Généralisation

La généralisation est immédiate : la somme de deux tenseursd'ordre r est un tenseur d'ordre r.

3.6.2 Produit de deux tenseurs

On appelle produit de deux tenseurs l'ensemble des éléments obte-nus en faisant les produits deux à deux des éléments des deux tenseurs. Nousallons montrer que le produit de deux tenseurs est toujours un tenseur.

a) Produit de deux tenseurs d 'ordre 1

Soient A et B deux tenseurs d'ordre 1, ou encore vecteurs polaires

Composante dans (R) Composante dans (R1)

S A. Af

i a

B B. Bf

J T

î B ? A.B, = T.. Af Bf « T1

i J ij a T CTT

Mais d'après les formules de transformation sur les vecteurs

A. - a. A'i la a

B. = a. A' 'J JT T

Donc A.B. = a. a. A' T.. = a. a. T'i i xa JT QT ij la JT QT


- 204 -

On peut donc énoncer le résultat suivant t le produit de deux tenseurs dupremier ordre est un tenseur du second ordre.

Ce résultat est évident d'après l'étude du produit dyadique quinous a servi à introduire la notion de tenseur qui aurait pu être faitetotalement arbitrairement.

b) Produit d'un tenseur d'ordre 2 par un tenseur d'ordre 1

Soient A et T des tenseurs respectivement du premier et du secondordre.

Composantes dans R Composantes dans R'* -*

A A. A1

K. yT T T '

ij OT

Produit T. .A. = P. ... T' A1 - Pf

ij K ijk CTT y aty

D'après les lois de transformation pour A et T

A. » a. A1 T. . « a. a. Tf

Te ky y ij 10 JT ai

T. .A. = a. a. a. A' TijTc ia JT ky y ai

P. ., - a. a. a, Pf D'oùijk ia JT ky cnry

Le produit d'un tenseur du second ordre par un tenseur du premier or areest un tenseur du troisième ordre.

c) Produit de deux tenseurs du second ordre


Composantes dans (R) Composantes dans (Rf)

I T.. TfIJ CT

? &! efkl py

Produit T..0.- = P. ., - T' 0' = P f

ij kl ijkl CFT py QTpy

D'après les lois de transformation sur les tenseurs d'ordre 2

Tij = aiaaJTT'aT 0kl = % %0'py

T. . 0. - = a. a. a, a.. T' 0'ij kl la JT kp ly CT py

P.M1 = a. a. a, an P' D'oùijkl la jt kp ly aTpy


-205-

Le produit de deux tenseurs du second ordre est un tenseur du quatrièmeordre

d) Généralisation

La généralisation est immédiate : Le produit d'un tenseur d'ordrem par un tenseur d'ordre n est un tenseur d1 ordre m + n.

3.6.3 Contraction ; produit contracté

a) Définition

Lorsqu'on fait le produit de deux tenseurs, on obtient un ensemblequi est un tenseur. On peut obtenir un nouvel ensemble en égalant deux indi-ces appartenant à chacun des éléments (et naturellement en sommant). On ditque l'on a effectué une contraction.

Exemple : Soit T..A le tenseur du troisième ordre produit du ten-seur du second ordre T.. pai k le tenseur du premier ordre A, . C'est un en-semble de 27 nombres. 1J

Egalons les indices j et k. On obtient l'ensemble T..A. ; commel'indice j est un indice de sommation, ce nouvel ensemble a triii éléments

Vj = T11A1 + T12A2 + T13A3

T2jAj = T21A1 + T22A2 + T23A3

T3jAj = T31A1 * T32A2 + T33A3

Nous allons montrer que toute contraction diminue de deux l'ordredu tenseur de départ.

b) Méthode de contraction. Symbole de Kronecker

Pour égaler deux indices j et k par exemple, il suffit de multi^plier par le symbole de Kronecker

6jk = 0 si j y k

6.. = 1 si j « kJk

On sait que c'est un tenseur du second ordre.

c) Produits contractés remarquables1 • £E2î!ïï!£.£25£E§££ë_â_iÊE2i£ê^

£ëSSêlè£-âl£ïâEê-I

Soient T et A deux tenseurs d'ordre 2 et . 1. Leur produit est untenseur d'ordre 3.


-206-


T* T.. T'ij CFT

A A, A1

K . . yProduit T..A. = P.M Tf Af - Pf

ij Te ijk CTT y crry

Produit contracteà droite T..A. = P. Tf A1 - Pf

ij j i 0T T a

Le nouvel ensemble a trois éléments. C'est celui que nous avons envisagéprécédemment.

On peut écrire pour faire la contraction

T..A. « T..A. 6..ij J iJ * Jk

Soit encore d'après les lois de transformation

T. .A. = a. a. CL Tf Af 6..ij J ia JT ky ai y jk

T. .A. «• a. (a. a, &., ) Tf A1ij J la v JT ky jkx ai y

Mais le symbole de Kronecker est un tenseur du deuxième ordre :

ô' - a. CL 6..ty JT ky jk

T. .A. - a. T! A1 61

ij j 10 CTT y Ty

T..A. - a. T1 Af

ij j xa CT T

P. « a. Pf

i IQ a

Le produit contracté à droite d'un tenseur du second ordre par un tenseurdu premier ordre est un tenseur du premier ordre.

Nous allons voir qu'on peut exprimer facilement le produit con-tracté sous forme matricielle

Pl = T11A1 + T12A2 + T13A3

P2 = T21A1 + T22A2 + T23A3

P3 = T31A1 + T32A2 + T33A3

p "I F T T T 1 F A1 11 12 13 1

P « T T T A2 21 22 23 2

. P3 J L T31 T

32 T3sJ LA

3.

on note symboliquement P = F . A


- 207 -

2. ?£2S[li~~2S£Eâ£££~â-S§ïï£Îîê-.^llî2 te2seur du second ôrdre parH5_iÊSËêHE_ÉHJ2ïÊ5îêE«2Edre

Reprenons les mêmes éléments que dans l'ensemble précédent


rp , m m f

ij ai

î A. A'ne yProduit T..A, = P.., Tf A' » Pf

ij Te ijk ai y ary

Produit contracté T < > A < = p . T, A, . p,a gauche ij i j <JT a t

Effectuons la contraction à l'aide du symbole de Kronecker

T. . A. = T. . A. . 6Mij i ij Te ik

T. . A. - a. a. CL Tf A1 6Mij i la JT ky ai y ik

T. . A. » a. (a. CL 6.. ) Tf A1

ij i JT ' ia kr ik QT y

Mais6f •- a. GL 6..ay la ky ik

DoncT. . A. « a. Tf Af 6ij i JT ai y ay

P. « a. Pf

J JT T

Le produit contracté à gauche d'un tenseur du second ordre parun tenseur du premier ordre est un tenseur du premier ordre.

On peut également le mettre sous forme matricielle. D'après ladéfinition de P. » T..A.

J iJ i

Pl ^ T11A1 + T21A2 + T31A3

P2 = T12A1 + T22A2 + T32A3

P3 = T13A1 + T23A2 * T33A3

"!TH Ti2 Ti3\.[*,. *r Pj - - [A,. A2, Aj T21 T22 T23

T T TL 31 32 33 J

On note symboliquement

? - î . T.


-208-

3- Produit^contracte^de^deux^tenseurs dfordre_2



T T T 'ij CT

? a - e fkl py

Produit Tijekl - P.jkl T'aT9'py - P'OTpy

Pr°dui' T. .9-.. -P . . T' 0' - P 'contracte ij jl il CJT ty ay

j - k

T. .0.. • ; • « T. .a . 6.,ij jl ij kl jk

T. .0... = a. a. a, a ' T1 01 6.,ij jl ic JT kp ly ai . py jk

T. .0.- = a. a- (a. CL a., ) Tf 01ij jl la ly JT kp jkx at py

Mais6 ITP

= a J T a k P6 j k

T..9.. * a. a, Tf 0f .ôfij jl 10 ly ai py tp

T..0.- = a. an Tf * 0fij jl la ly ai ty

P.. = a. a, Pfil la ly ay

Le produit contracté de deux tenseurs du second ordre est untenseur du second ordre.

d) généralisation

- Soient deux tenseurs d'ordre p et r dont les éléments sont T..,et 0, i&^^-^

1m. ""j-• • p indicesr indices

-' Le tenseur produit est un tenseur d'ordre p + r

- Si on fait x contractions on obtient le tenseur x fois contracté. Sonordre est

n = p + r - 2x I


-209-

e) réciproque Théorème fondamental

Soient deux ensembles :

* T.., dont on ne connaît pas la natureijk ••••••

p indices

* 0, qui est un tenseur d'ordre r

r indices

on peut former l'ensemble produit P... . = T.., .0-ijk.... 1m.., ijk... 1m...

On peut faire sur cet ensemble x contractions et l'on obtient un nouvelensemble.

Théorème : Si l'ensemble x fois contracté est un tenseur d'ordre r alorsl'ensemble inconnu 0 est un tenseur d'ordre p tel que

j p = n + 2x - r \ (3.15)

5§S22S£E§SÎ25 : a°us ferons la démonstration en considérant un ensemble àtrois indices et un tenseur du second ordre et pour fixer les idées nousnous placerons dans R**

3T.., ensemble de (3) = 27 nombres1JK

0., tenseur du second ordre : 9 composantes

L'ensemble produit P..,n = T... 0- a (3) éléments. Contractons deux,. . iiklm il Je 1mfois. J J

Nous obtenons le nouvel ensemble dont les éléments sont

dans (R) T. ., 0., » P.1JR JK X (il a 3 éléments)

dans (R1) T' 0' - P'v x axp TP a

Supposons maintenant que les éléments -P. soient les composantes d'un ten-seur du premier ordre. On a donc :

P. = a. P'i la a

P. peut s'écrire de deux manières

P. = T. ., a. a, 0'i ijk JT kp TP

P. = a. T' 0'i la aip ip

0 = 0' (T. .. a. a. - a. T' )tp ijk JT kp IQ QTP

Le tenseur 0 est quelconque


-210-

T. .. a. a, « 'a. Tf

ijk JT kp 10 aTp

Multiplions les deux membres par a.

T.., a. CL a. = a. a. Tf

ijk JT kp ly la ly atp

16118 *0|i = aia %

T. ., a. a, a. = 6 T'ijk JT kp ly ay axp

Faisons maintenant y « a

T'aTp = aia °jt % Tijk

L'ensemble des T.., est un tenseur d'ordre 3.ijk

3.7 DEUXIEME DEFINITION D'UN TENSEUR DU SECOND ORDRE

3-7.1 Rappel sur les formes bilinëaires et quadratiques (expression dans RJ)

Soient deux vecteurs X et Y de R

M h"X = X2 Y = Y£

-XJ LY3-

a) forme bilïnéaire Définition

_ On appelle forme bilinéaire <f>(l, ^) toute application qui à X etY fait correspondre le scalaire $.Ç%3 y) tel que

>ll A12 A13~| [Yl"c|)(X, Y) = [Xi, X2, X3] A2i A22 A23 Y2

A3! A32 A33J LY3.soit en développant

|AiiYi + A12Y2 + A13Y3'

<(,(X, Y) = [Xi, X2, X3] A21Y! + A22Y2 + A23Y3

A3 iYi + A32Y2 + A3^3Y3_

<f,(X, Y) = AnXiYi + A i 2XiY2 + A!3X^3

+ A2iX2Yi + A22X2Y2 + A23X2Y3

A3lX3Yi + A32X3Y2 + A33X3Y3

soit encore+ + 3 3

«KX, Y) - I I A X.Y.. (3.16)

i=l j=l


-211 -

Et en adoptant la convention de l'indice muet

<f)(X, Y) - A. .X.Y.

Elle est linéaire en X et en Y.

b) forme bilinéaire symétrique

Si la matrice est symétrique, c'est à dire A.. = A.. la formebilinéaire est dite symétrique. 1<^ -*1

c) forme quadratique

On appelle forme quadratique $(X) la forme déduite d'une formebilinéaire symétrique en prenant y - j

A12 A12 A13 Xl

<|>(X) » [Xj, X2, X3~J A12 A22 A23 X2A! 3 A23 A33J [X3_

<f>(X) = AnXi2 + A12X22 +. Ai3X3

2

•*• 2 A12XXX2 + 2 A23X2X3 + 2 A31X3X1

soit sous forme indicielle3 34)(x) = y y A. . x. x.^ ^*-- 11 i ii=l j-1 1J X J

et en utilisant la convention de l'indice muet

4>(X) - A£j X. Xj (3.17)

Exemgle

<f) = Xx2 + 3 X2

2 - 3 X32 - 8 X2X3 - 2 X3Xi + 4 XXX2

" 1 2 -il [X

* = [X X2, X3] 2 3 -4 X2

j-1 -4 -3J [X3.

3.7.2 Tenseur du second ordre et formes bilinëaires ou quadratiques

a) Invariance d'une forme bilinéaire construite à partir de la matriced'un tenseur 'r du second ordre

Soient X et Y deux vecteurs de R

X •- [Xi, X2, X3]R Y = [Y l f Y2 , Y3]R

X - [x'i,X^2,X'3]Rt Y •- [Y'1 ,Y'2 ,Y'3]R?


-212-

Faisons le produit scalaire X . A (produit contracté de deux tenseurs dupremier ordre) avec A " 7 . Y

4> - X . A

<J> = X . 7 . Y

C'est un invariant. Donc la forme bilinéaire <)>(X, Y) construite avec T estinvariante ; donc

é = T.. X. Y. invariante3-J 1 J

b) Réciproque

Si la forme bilinéaire $ = T. . X. Y. est invariante quels quesoient J et J arbitraires* les neuf quantités T. . sont les coordonnéesd'un tenseur du second ordre.

Par hypothèse T.. X. Y. = T' Xf Y1** ij i J crr a T

mais X. = a. X1i la a

Y. = a. Y1

J JT T

T. . a. a. X1 Yf = Tf Xf Yf

ij ia JT a T . en a T

Xf Y1 (T.. a. a. - Tf ) « 0a T ij 10 JT ai

La forme bilinéaire doit être nulle quels que soient X et Y. Pour cela ilfaut et il suffit que ses coefficients soient nuls

T' * a. a. T. .ai icr JT ij

Les T. . sont donc d'après la première définition les composantes d'un ten-seur ' ••* du second ordre.

Comme nous venons de le voir, la propriété est caractéristiqueet peut donc servir de définition au tenseur du second ordre.

c) Remarque : on aurait directement pu établir cette propriété de lafaçon suivante en utilisant la réciproque du théorème sur la contraction.

Donc supposons <J> = T. . X. Y. invariant. <j> est la forme doublement con-tractée des éléments 1J 1 J

P. .. - = T. , X. Y_ijkl ij Te 1

L'ensemble des éléments K Y est un tenseur du deuxième ordre (produit dedeux tenseurs du premier ordre). Par contraction on obtient par hypothèseun invariant ou tenseur d'ordre zéro ; par suite T.. est un tenseur d'ordre

p = n + 2 x - r

p * 0 + 4 - 2

P - 2

T.. est donc un tenseur du deuxième ordre,ij


-213-

3.8 TENSEURS PARTICULIERS

Certains tenseurs jouent un rôle particulier. Entre autre

3.8.1 Tenseur symétrique

T.. = T.. La matrice représentative d'un tenseur d'ordreJ1 2 dans R^ est donc symétrique.

3.8.2 Tenseur antisymëtrique

T.. = - T.. La matrice représentative d'un tenseur dusecond ordre est antisymétrique

3.8.3 Tenseur diagonal

T = 0 si i + j

3«8.4 Tenseur sphërique

T. . « 0 si i = j

Tll = T22 = T33 •*'

Nous trouverons de nombreux exemples de ces tenseurs en mécanique.

3.9 ETUDE DES TENSEURS DU 2° ORDRE SYMETRIQUES

3.9.1 Représentation géométrique

Soit D un tenseur du 2° ordre symétrique D. . = D... Soit U (04,a>29 013) un vecteur unitaire. On peut former la forme quadratique

-> al4>(U) = [ai, a2, a3]' [D-] a2

La3.

(j)(U) » D. . a. a.^ !j ! j

-»•A partir de 0 portons un vecteur ÔP = •

/|*(U)|

-H- l"Xl]ÔP = X2 ^ aL = Xf /|*(TJ)|

.xsj

<(.(U) = D.J /[i|,(U)|2 x£ Xj

soit encore en posant e - ± 1


-214-

e = D . . X. X. ou encore (3.18)

fx-i"e = [Xlf X2, X3] [DLj] X2

Us.ou encore

e - D'n.Xi2 + D22 X22 + D33 X3

2 + 2 D12 Xi X2 + 2 D23 X2 X3

+ 2 D31 X3 Xx

Soit avec les notations usuelles

e - Dn X2 + D22 Y

2 + D33 Z2 + 2 D12 XY + 2 D23 YZ + 2 D31 ZX

G1est l'équation d'une quadrique.

On dit qu'un tenseur du second ordre symétrique peut être repré-senté par une quadrique.

3-.9.2 Représentation de D dans sa base propre

Rappelions un théorème important de l'algèbre matricielle

- Toute matrice hermitienne est diagonalisable- Les valeurs propres dfune matrice hermitienne sont réelles- Les vecteurs propres correspondant à deux valeurs propres distinctes

sont orthogonaux

Or une matrice symétrique réelle est une matrice hermitienne.C'est à dire que l'on pourra toujours représenter le tenseur du secondordre par la matrice diagonale

~D! 0 0

[_ D ] •- 0 D2 0

'_° ° D3 -

Dans la base de direction propre on écrira

"D! o oÏÏ = 0 D2 0

.° 0 D 3 -

On appliquera les méthodes usuelles de diagonalisation apprises en calculmatriciel.


-215-

3.9.3 Invariants d'un tenseur du 2° ordre symétrique

Soit D un tenseur du 2° ordre symétrique

_ "Dn Di2 D 1 3~

D = Di2 D22 D23

_D13 D23 D33_

L'équation caractéristique qui détermine les valeurs propres s'écrit

DU _ \ Di2 DIS

Di2 D22 -, X D23 = 0

DJ3 D2s D33 - X

<D11 - A} E(D22 _ X)(D33 _ x) - D232] - D12 [D12 (D33 _ J - Dj 3 D23]

+ D13 ED12 D23 - D13 <D22 - X^ *° °

C!est une équation du Sème degré en X

~ A3+ [Dn + D22 + 33] + CD122+ D13

2+ D232- DnD22 - 22^33 - I>33 DI£|X

+ [DuD22D33 - DnD232 - D12

2D33 + 2 D12D23D13 - Di32D22] = 0

C^st une équation de la forme AgX3 + AI A2 + A2X H- A3 » 0

Désignons les racines par AI, X2, X3. Alors

Xi +.X2 + X3 = -^ = oj

X^X2 "** X2X3 "** X3X^ s T* ^ 02

ASXxX2X3 = ' - j* - 03

Les quantités au second membre sont donc invariantes, c'est à dire qufenexplicitant les trois quantités aj, a2, a3 sont invariantes

ai = DU + D22 + D33 (3.19) fier invariant :^ c'est la trace du tenseur

CT2 = D-nD22 + D22D33 "*" D33D11 " D122 " Dl 32 " D232 (3.20)

Ï2ème invariant appelé parfois\ anisotropie

03 - - DnD232 - D22D13

2 — D33D122 + DnD22D33 + 2 D12D23D31 (3.21)

^3ème invariant

Ce dernier invariant n'est autre que le déterminant (A), A étant le détermi-nant de la matrice


-216-

DII Dl2 &13

A = Dj2 D22 ^23D13 D23 D33

A - Dn (D22D33 - D232) - D12 (Di2D33. - D13D23)

+ D13 (Dl2D23 - D13D22)

A - - B12D232 - D22D13

2 - D33D122 + DnD22D33 + 2 Di2D23D31

Ces invariants jouent un grand rôle dans les théories physiques

3.10 ETUDE DES TENSEURS DU 2° ORDRE ANTISYMETRIQUES DANS R3

[ o. Gi2 (GIJ)~Soit (ï « fG19 ° G23

. ~G13 \^2^ 0

3«10'. 1 Représentation du produit contracte G . X

-G23 G32

Posons % •»• G13 soit G - G13 (3.22)

. "G12 J LG21 .

__• G12X2 '* G13X3

G . X — ""G12X1 "*" G23X3

. ""G13X1 " G23X2...

G32 Xl G13X3 " G21X2-> -> -G A'X = G13 A X2 - -G32X3 + G21Xx

. G21 J LX3 J L G32X2 - 613*1 .

comme G. . « - G..iJ Ji

G . X = G A X (3.23)

Le produit contracté peut se représenter par un produit vectoriel.

3'10*2 Représentation du produit contracte X . ¥

0 G12 G13

î . G - £xlf X2, X3] -G12 0 G23

. ""Gl 3 ""G2 3 0


-217-

X . G = [(7612X2 - 613X3), (G12Xi -623X3) , (6X 3X1 +623X2)]

on constate que'l 'on a

X . G = - G A X

soit X . G" - X A G . (3.24)

3.11 METHODE D'ETUDE D'UN TENSEUR DU 2° ORDRE QUELCONQUE

3.11.1 Décomposition d'un tenseur du second ordre en la somme de deuxtenseurs, l'un symétrique» l'autre antisvmëtrique

Soit T un tenseur du second ordre dont les éléments sont T...Associons lui le tenseur " de coordonnées 6.. • T.... Le tenseur ê~ 1J

est dit transposé de T. On peut par addition*'et soustraction créer deuxnouveaux tenseurs î) et G définis de la manière suivante

Dij • l< T i j + eij>(3.25)

G. . i (T.. - e. .)ij = •£ ij °ir

- le tenseur D est symétrique

Dij ' 7 <Tij + Tji^Dji • i(Tji*VD.. = D..iJ Ji

- le tenseur G

G. . = 4 " (T- • ~ T..)ij 2 ij ^

G.. = 4 " (T-- - T..)Ji 2 ji ij'

donc G.. = - G..ij Ji

Tout tenseur du second ordre est la somme d'un tenseur symétriqueet d'un tenseur antisymétrique.


-218-

3.11.2 Expression de D et G

On a immédiatement

TU i (T12 + T21) } (T13 + T31)

D = J -(Ti2 •+ T2i.) T22 y (T23 + T32)

J (lia + T3i) j (T23 + T32) T33

0 I (T12 - T21) I (T13 - T31)

G = -j(Ti2-T21) 0 }(T23-T32)

- -J (Ï13 - T3i) - y (T23- T32) 0

3.11.3 Formules fondamentales pour l'étude du produit contracte d!untenseur du second ordre par un vecteur

a) Produit à droite par un vecteur

T" . X - (F + G) .X

- D . X + . X

soit f . X « F . X + G A X (3.26)

h) Produit contracté à gauche

X . 7 = X . (F + G)

. « î . D + X . G

î . T" - D" . î + î A (3.27)

3.11.4 Vecteur axial et tenseur du 2° ordre antisymëtrique

3Soient X et Y deux vecteurs de R . Effectuons leur produit vec-toriel et leur produit tensoriel

a) Produit vectoriel

r xr 1 r YÎ "P = X2 A Y2

« X3j LY3.

X2Y3 "- X3Y2

? = X3YL - XlY3

. XaY2 - X2YX


-219-

b) Produit tensoriel

I - X s Y

Les éléments de T sont T.. « X. Y.13 i J .

Mais on peut écrire

7 = F + F

D.. - I (X. Y. H- X. Y£)

G.. = 1 (X. Y. - X. Y.)

G! 2 = Y (XiY2 - X2Yi)

^23 = 2" ( 2 3 "" X3Y2)

G31 = { (X3¥l - Xi-T3)

Lés coordonnées du produit vectoriel apparaissent donc comme les compo-santes donc comme les coordonnées d'un tenseur du second ordre antisymê-trique. Un vecteur axial est donc un tenseur antisymétrique du secondordre.

c) Remarque : II ne faut pas croire qu'un produit vectoriel donnetoujours un vecteur axial. Voici un contre exemple tiré de la cinématiquedu solide.

Soit un solide (S) ayant unpoint fixe 0 dans (R ).

'^m- ~ A5?

:TÔ * «_ n , . .,. , OP • - QP1*V ,pv est la limite de ——W> t . tt

quand tf -»• t

Le numérateur différence de deuxtenseurs du premier ordre est untenseur du premier ordre.

———, est un scalaire ou tenseurd'ordre zéro.

Par suite V .pv est un tenseur d'ordre 1 ou vecteur polaire. Il doit doncen être de même du second membre et nous allons voir qu'il n'y a pas con-tradiction.

En effet, nous savons que l'on avait en fait Œ Q A 0? = :[ft] .0?

La matrice £fl] étant une matrice antisymétrique [fi] .ÔP est donc nécessai-rement le produit contracté à droite d'un tenseur antisymétrique Q" par levecteur OP.


INTRODUCTION

Nous avons réuni dans ce fascicule, un certain nombrede problèmes concernant les chapitres 3, 4 et 5.

Dans le chapitre 3, sur les tenseurs cartésiens dfordre 2,à la suite d'exercices simples de manipulation de la notationindicielle, des problèmes concrets de mécanique ont été choisispour bien montrer le caractère physique de la notion de tenseur.

Dans le chapitre 4, les problèmes de géométrie des masses,au lieu d'être de simples exercices de calculs de moment d'inertie,permettent de se familiariser avec les propriétés importantes dutenseur d'inertie.

Les problèmes du chapitre 5 concernent le calcul deséléments de cinétique qui seront nécessaires à l'étude ultérieuredu mouvement de mécanismes réels.


SOMMAIRE

- PROBLEMES SUR LE CHAPITRE 3 p. 1

3-1 Calcul indiciel 23-2 Tenseurs 73-3 Tenseurs 113-4 Intégrale vectorielle 153-5 Cinématique des milieux continus 203-6 Le symbole "Densité de Levi-Cavita" ou l'Alternateur 34


4-1 Exercices sur le tenseur d'inertie 384-2 Tenseur dfinertie d'un solide de révolution 434-3 Tenseur d'inertie d'un cylindre à base quelconque 46-:4-4 Tenseur d'inertie d'un disque en rotation 494-5 Changement de base pour le tenseur d'inertie 534.6 Parallélépipède rectangle - Changement de base pour le

tenseur d'inertie 554-7 Directions principales pour le tenseur d'inertie 604-8 Tenseur d'inertie d'une plaque semi-circulaire 724-9 Tenseur d'inertie I et IG d'un cône 754-10 Tenseur d'inertie dûn cône creux 79


5-1 Dispositif expérimental pour mesurer les effets gyros-copiques 85

5-2 Eléments de cinétique du pendule gyroscopique de Sire 925-3 Eléments de cinétique de la balance gyroscopique de Kelvin 1005-4 Elément de cinétique d'une sphère sur un plan 1065-5 Energie cinétique d'un volant excentré 1135-6 Energie cinétique d'un pendule à deux barres 117


-1 -

PROBLEMES

sur le

CHAPITRE 3


-2-

Problëme 3.1

CALCUL INDICIEL

ENONCES

Résoudre les cinq exercices suivants, en faisant bien attentionà respecter les trois règles de calcul indiciel données à la fin du texte.

Exercice 3.1.1

Soit T£J - I ai(J aJT T T a - 1, 2, 3

T - 1, 2, 3

Calculer T32*

Exercice 3.1.2

Ecrire le système suivant sous forme indicielle

ri = b + Ui

r£ = b + U2

r3 = b + U'3

Exercice 3.1.3

Ecrire le système d'équations suivant sous forme indicielle

E €11 = an - v (Q22 + cr3-3)

E 622 = a22 - v (a33 + an)

E 633 = cj33 - v (an + a22)

E €12 = (1 + v) a12 E €21 = (1 + v) a21

E €23 = (l + V) Q23 E 632 = (1 + V) <J32

E 631 = (1 + v) Q3i E €13 = (1 + V) a13

Résoudre ce système (sous la forme indicielle) de manière à obtenirles Qî en fonction des €••


-3-

Exercice 3.1.4

Ecrire sous une forme indicielle plus simple :

6kk UT 6Ta

«ij 6ij % V6 6aB

*ii &ij Ue Va ôag

ôii ôpq ôag Up VA *çp Wy 6ay

îj ^P^ rs "ipr

6 est le symbole de Kronecker,

Exercice 3.1.5= .> ->.

^ Ecrire les composantes des produits tensoriels T = X 9 Y et0 = Y «s 1 de deux vecteurs X et ? € R3 tels que :

X = (10,8)

Y = (-8, 10)

Conclusion.

REGLE DU CALCUL INDICIEL

Si un indice apparaît deux fois dans un des termes d'une expres-sion ou d'une équation, il peut, mais il nfest pas oblige» d'apparaîtredeux fois dans chaque terme. Cet indice doit être sommé sur toutes lesvaleurs qui lui sont assignées. C'est l'indice muet.

MOYENS DE VERIFICATION

1°/ Si un indice apparaît seulement une fois dans un des termes d'uneexpression ou d'une équation, il doit apparaître exactement une foisdans chaque terme. Cet indice prendra successivement les valeurs quilui sont assignées : c'est l'indice libre.

2°/ Si un indice apparaît plus de deux fois dans un terme d'une expres-sion ou équation, il y a une erreur.


- 4 -

SQLUTIONS

Exercice 3 .1 .1

Ti^ = a?T a i a a J T T ^ T a - 1. 2, 3T = 1, 2, 3

Calculons T32

Too = 7 aQ a0 Tf

3 Q>T 3a 2l ai

T32 - a31 a21 Tii + a31 a22 Ti2 + a31 a23 I{3

+ a32 a21 T21 + a32 a22 T£2 + a32 a23 T23

+ a33 a21 T31 + a33 a22 T32 + a33 a23 T33

Exercice 3.1.2

Soit le système (S)

rj « b + Ui

(S) r2 « b + U2

r3 = b -H U3

Sous forme indicielle on ne peut pas écrire r£ = b + U^ car f!ift est unindice libre qui doit apparaître au moins une fois dans chaque terme del1équation.

On peut cependant écrire :

r! = b x l + D!

r2 = b x 1 + U2

r3 = b x l + U3

On a ainsi introduit le vecteur V (1,1,1). On obtient alors aisément laforme indicielle suivante

r£ = b Vj 6ij -H Uj

qui respecte les règles de calcul indiciel.

Exercice 3.1.3

a) EGn, E€22 et E€33 peuvent s'écrire sous la forme

E€n = (1 + v) GH - v (aii + a22 + a33)

E622 = (1 + v) cr22 - v (GH + Q22 + 033)

E633 = (1 •«• v) a33 - v (GU + a22 + a33)


-5-

De cette manière, la première partie du membre de droite des trois premièreséquations est de la forme des équations restantes.

La deuxième partie du membre de droite peut encore s'écrire

011 + a22 + Q33 * akk ** e

Supposons i « j = A E6AA * ^ * V^ QAA " v e

Supposons i = A i ,j - B E€AB - (1 + v) aM

et A î B I

qui peut encore s'écrire E6A « (1 + v) aÂlî - v 6ATl 0rvD rVJD AJj

car A B et ÔAB toujours = 0

donc pour toutes valeurs de A et B A = 1, 2, 3B = 1,2,3

Ee^ = (1 + v) oij - 6ij v akk

b) On veut maintenant obtenir les a^ en fonction des 6- « . On peutécrire

eij - -4-* °ij - I °kk 6ij c>

On obtient

aij - TTT [eij + I °kk 6ij] (2)

desquelles on peut écrire

\k = «TT^ &kk + 3 I 0kJ ^ 6kk = Ô^ + 622 + 633= 3

qui permet de calculer aK.K-

„ n - 3 vi = E Pkk L 1 + \>J 1 + v kk

E 1 £°kk ~ 1 + v kk X 3 v = 1 - 2v €kk

1 ~TTT

•pakk = r^n^k (3)

en remplaçant (3)dans(2) on obtient finalement

0.. - —S— Te.. + —^— e,, ô..1ij 1 + v L ij 1 - 2v kk ijJ


/

-6-

Exercice 3.1.4

• ôkk = ôl1 + Ô22 + Ô33 * 3

• 6. . 6. . = 6. . = 3ij iJ 1]L

ô'£ Ô - . = erreur (i répété trois fois)

• ô. . 6 = 3 611 pq pq

• U 6 = Ui Ta a

Ug Vg fi « = erreur (£ répété trois fois)

' U3 Va 6aB = U3 VB car P«duit contracté Va S^ = Vg

• f i U V 6 W 6 = W V T Ia g Vp V A % |u V Wg VX Uç

Ç iaI we 1

• ô.. ô 6 A. - A .ij pq |rs ipr jqs

A.I | ipsA.,iqs

A.jqs

Exercice 3.1.5

1°/ T = X EL Y

^ fXxYx XiY2 1 f-80 100~dfoù T =

_ X2Yi X2Y2 J L -64 80

2°/ ? = Y H X

= fYxXi Y!X2"j F-80 -64*"dfoù G =

^Y2Xx Y2X2 J LIOO 80 _

dfoù [l] = [0] f (T = transposition)

[T] et [Ô^ étant les matrices représentatives de T et 0


-7-

Problème 3.2

TENSEURS

3.2.1 ENONCE

Dans un système dfaxes (0, x^, x2, x3), on considère les troisvecteurs :

U = (0, 1, 1)

^ - (-1, 0, 1)

^ - (0, -1, 1)

1°/ Déterminer un tenseur T de façon que l'on ait :=B= -> -»• = -». -*• = -> -*•

T.U = A T.V « B T.W = C

- > - » • - >où A, B, C sont les vecteurs de composantes

~ 2 b 1 F b + c - a 1 f ~ 2 c- > - * • - » -A= a + b - c B = -2c C = b - c - a

a + b + c c + a ~ b _ a - b - c

2°/ Déterminer le tenseur symétrique D et le tenseur G composants du ten-seur T obtenu.

3°/ Comment faut-il choisir les données a, b, c

a) pour que T soit symétriques=

b) pour que D soit sphérique

c) pour que T soit sphérique

d) pour que l'invariant contracté EI soit nul. (Zi = TU -H T22 + Tas)

3.2.2 SOLUTION

a/ Détermination de T

•T.U = A ; T~.V = B ^ ; T~.W = C

~ 2 b "| Fb + c - al f 2c

A = a + b - c B = -2c C = b - c - a

_ a •*• b + cj [__ c + a - b _ _ a - b - c


- 8 -

1°/ Produit T\tj

"TU T12 T131 I" ol rTi2 + T13l pb 1 ( i )T21 T22 T23 1 = T22 + T23 * a + b - c (2)

_T 3 i T32 T33J L ï J LT32 + T33J La + b + cj (3)

2°/ Produit 7.V

On obtient

~- Tll + T13~] f b + c - a~| (4)

- T2i + T23 « - 2c (5)

_ - T31 + T3 3J LC + a - bj (6)

3°/ Produit T.W

On obtient

"- T12 + T131 f2c "1 (7)

- T22 + T23 b - c - a (8)

_" T32 + T33J L a " b " CJ (9)

On obtient 9 équations à 9 inconnues dont la résolution donne

(1) + (7)=^> lia - b + c (1) =£>Ti2 - b - c

(2) -H (8) =£> T23 = b - c (2) =£>T22 » a

(3) i- (9) =->T33 = a (3) =>T32 = b -H c

(4) Tn - a

(5) T21 - b + c

(6) T31 - b - c

On a donc finalement

a b - c b H- c

[T]] « b + c a b - c

_ b - c b + c a _

[ T 3 matrice représentative de T


- 9 -

b/ Déterminer le tenseur symétrique D et le tenseur G composants dutenseur T obtenu

Tij = {(Tij + Tji) + 1 ( T . . -T j i)

T^ = D£j + Gij

T). . = JL (T. . J . T - Ouij 2 UiJ Ji'

Dji = j (Tji + T ) = Dij tenseur symétrique

Gu • i (Tu - Tji>Gji = 1 (Tji -T^ ) = -1 (Tij -T j i) = - G j i

tenseur antis3nnétriqueF 0 G! 2 Gi31

J r j _ r n r seulement trois composantes.| _ i j j " 12 23 Expression sous forme vecto-

__~Gi3 -G23 0 _J rielle possible.

G! 2 X2 + G! 3 Xs

G . X = -Gi2 Xi + G23 Xs

.-G13 Xl - G23 X2.

Posons alors

"G!"| Fxi"] F G2 x3 - G3 x2"G A X G2 A X2 » -Ci Xs 4- G3 Xi

_ G 3 j LX3j L Gl X2 " G2 X i_

Identifions F o l- G23

G Gi3

-." G12^

Revenons au problème

a b-c b+c a b+c b-c

[D] = -r- b+c a b-c + b-c a b+c

L b-c b+c a J Lb*0 t>-c a J

a b b c

JJD] = b a b et 5 = c

__b b a _ c _


- 10-

c/ Comment choisir a, b, c

1°/ Pour que T soit symétrique

T. . » T. . Ê = 0 c = 0ij J1

2°/ Pour gug D s it sphérique

D. . = a 6. . b « 0ij iJ

3°/ Pour que T sgit sphérique

T. . « a 6. • b = c = 0iJ ij

4°/ PoiO' g oir x = 0

3a = 0 a = 0


-11 -

Problème 3.3

TENSEURS

3.3.1 ENONCE

Dans un système d'axes (0, xj, x2, x3) on considère les deuxvecteurs : _^

U - (0, 0, 1)

X = (X}, X2 9 X3)

1°/ Soit T un tenseur du second ordre et Y le vecteur Y = T.X.Déterminer le tenseur du second ordre le plus général T, tel que U, X, Ysoient coplanaires.

2°/ Montrer que T est alors la somme d'un tenseur sphérique S (onposera S = a, A = 1, 2, 3) et du produit tensoriel U H bV, b étant unscalaire et V un vecteur unitaire :

T" = "S(a) + b(U H V)

3°/ Exprimer en fonction de X, U, , a et b les vecteurs T X et X ï

4°/ Montrer que les vecteurs X et X.T sont coplanaires avec un certainvecteur fixe que l'on déterminera.

3.3.2 SOLUTION

1°/ Détermination de T

Pour que trois vecteurs U, î, ? soient coplanaires, il faut et ilsuffit que det (U, X, Y) = 0, soit

0 0 1

Xi X2 X3 = 0 XjY2 ~ X2YX = 0

YI Y2 Y3

On sait que Y2 = T21xi + T22X2 + T23X3

Yl " Tllxl "*" T12X2 + T13X3

d'où2T21xi + T22XiX2 + T23XjX3

2- TuX!X2 - Ti2X2 - Ti3X2X3 = 0

On obtient une forme bilinéaire qui doit être nulle ¥ X. Il faut et il suffitque ses coefficients soient nuls. On a donc


- 1 2 -

T21 = 0 T22 - Tn = 0 T23 = 0

T12 = 0 T13 = 0

d'où

""TU o o ~[T] o Tn o

_T31 T32 T33_

2°/ Montrer que T est alors)la somme d'un tenseur s^hérique S et duproduit tensoriel U EL bV, b étant un scalaire, V un vecteur uni-taire.

T = S"(a) + b(U Et V)

On peut écrire

"TU o o 1 [~ o o o " "[ T ] ] = o TU o + o o o

. 0 o TU J LTSI T32 T33 - T H _

Nous poserons TU = a. Donc

0 0 0 ~

LTn^C5!]"*" ° ° °., T31 T32 T33 " Tll „

Al-»- -> ->

Considérons le produit tensoriel U H A , A = A2 étant un vecteur à déter-miner

AS

0 0 0~

U EL A 0 0 0

_AX A2 A3 _

Par identification avec la matrice on a A^ = T31

A2 = T32

A3 - T3 3 - Tn

Maintenant nous voudrions mettre le produit tensoriel ÏJ H A sous la formeU H b , étant unitaire. On a donc

+ ° ° ° 1 Vl> V2» V3 tels °lue

U H bV = 0 0 0 Itl = 1

_bVi bV2 bV3

Par identification


- 1 3 -

b Vj = T31b V2 = T32 donc b V = A

b V3 - T33 - Tn V = lî

W - £ IA!

Puisque |V| = 1 |A| = b

doncb = [T|I + T§2 + (T33 - Tu)2]1/2

Donc finalement

? - î(a) + b(U B V)

avec a = TJJ fol [T

b - [T31 + T|2 + (T33 - Tu)2]!/2 î - 0 et V = 1

J 1

~T v yr~~* y y y_

3°/ Exprimer les vecteurs TX et XT en fonction de X, U, V, a et b

On a immédiatement

|~TII o o 1 f x i 1 f T n X jï.x = o TU o . x2 = Tnx2

_T 3 1 T32 T3 3J L x 2 J L T 3lXl f T32X2 + T 3 3 X 3 _

["TU o o 1 finxi + T31x3~X.T = [Xi, X2, X3J 0 TU 0 = TnX2 + T32X3

_T 3 i T32 T 3 3 J LT33X3

On peut cependant procéder différemment

a) 7.X = Î.X + b(U H V ) . X

~ 0

= al + 0

_T31X1 + T32X2 + (T33 - T n )X 3 _

Comme a = Tji on a bien

[~Tl lXi

?.X = TnX2

_T3 1Xi + T32X2 + T 3 3 X 3 _


- 1 4 -

b) X.7 = Î.ÏÏ + î . b ( U s ^ )

p31*3= al + T32X3

_ (T33 " T l l ) X 3_

comme a = TU on a bien

Tllxl + T31X3

X.T = TnX2 -H T32X3

_T33X3

4°/ Détermination de Z coplanaire avec X et X.T

Si 1, 5.Ï, 1: sont coplanaires, on a det(ï, ,T", ?) = 0soit

~Xi TnXi + T31X3 zr

X2 TnX2 + T32X3 Z2 = 0

_X3 T33X3 Z3_

Cette méthode peut être longue. On lui préfère une méthode plus rapide,

-» . - * • - > • SBB

On peut exprimer Z comme une fonction de X et de X.T car si ces vecteurssont dans un même plan il existe entre eux une combinaison linéaire. On saitque*i ->• = -> - > - » - - * •

X.T = a X + b X (U H V)

II faut donc transformer le terme b X . (U H V)


- 1 5 -

Pro.blëme 3.4

INTEGRALE VECTORIELLE

3.4.1 ENONCE

On considère lfintégrale vectorielle

V = f OP A (u A OP)dm

P€S

•*•u = (ex, 3, y) étant un vecteur unitaire quelconque.

Montrer que l'on peut écrire ^ = T.u, Tétant un tenseur dusecond ordre dans RS que l'on déterminera.

3.4.2 SOLUTION

a/ expression du double produit vectoriel

1°/ Première méthode

'"al HXj 1 PB X3 - yX2~

u A OP = g A X2 = -aX3 + yXr

.TJR LX3JR ;L«x 2-px 1J R

Xl 6 X3 ~ YX2

0? A Ou A Ô?) = X2 A -aX3 + yXj

^X3 JR [_a X2 - 3X1 JR

""x2(aX2 - .gXi).. - X3(-aX3 4- yX.x)"

-- -Xr(aX2 - BXi) + X3(gX3 - yX2)

^X^-aXs -+ yXi) - X2(6X3 - yX2) JR

d!où en arrangeant par rapport à -a, g, y

a(X2 + X3) - g X^ - y XXX 3

0? A (u A OP) = ~aX1X2 + "g(xf + x|) - yX2X3

^~aX!X3 ~ 6 X2X3 -H y (Xf + X§) JR


-16 -

d'où a / (X2 + X3)dm - /3/ XiX2 dm — y J XjXs dm

V = - a J Xi X2 dm + 6 J(xf + X3) dm - y / X2 X3 dm

- a | X1X3 dm - g / X2 X3 dm + y / (xf + x|.) dm R

que l'on peut encore écrire

— r\ o

/ (X2 + X3)dm -/ Xi X2dm -/ Xi X3 dm, "] f a "

^ - - J Xi X2 dm / (X2 + Xpdm -/ X2 X3 dm g

- / Xx X3 dm -/ X2 X3 dm /(X^ + X|)dm _ y

ou encore

* = [I] . u

2°/ Deuxième méthode

On peut utiliser la formule du double produit vectoriel établieau chapitre I exercices. Soit

OP A (u A ÔP) = OP2 . u - (OP . u) ÔP

En projection sur le repère considéré, on obtient

"al fXi "

0? A (u A OP) = (X2 -H X| + X2) B - (Xia + X2$ + X3Y) X2

W R LX3 .

soit

"al [xfa •*- X!X23 + XiX3y "

OP A (u A OP) = (X2 •»• X| -H x|) 3 - XiX2a H- x£g + X2X3y

ïj Lxlx3a + x2Xs6 + x|y

A ce moment l'intégrale vectorielle peut se mettre sous la forme matriciellesuivante

a a

V = QA] @ - B 3

. . J . L'Y -

avec


-17-

/(Xf + x| + X3)dm 0 0

A 0 /(x2+x|+X§)dm 0

0 0 J{xf+X|+X§)dm

"/ Xj dm / XXX2 dm / XjX3. dm"

B = / X2Xi dm / xf dm / X2X3 dm

_/'X3Xi dm / X3X2 dm / X3 dm

b/ Expression tensorielle

Montrons maintenant eyue la matrice Fil trouvée par la premièreméthode représente un tenseur I du second degré dans R3«

La matrice [_ I J peut encore s'écrire [f] = \AJ - [B] avec

~/(x£ + X| + x|)dm 0 0

[A] = 0 /(xf + X2 + X3)dm 0

„ 0 0 /(Xf + X| + X§)dm_

"+/X^ dm + /Xi-X2 dm +• /X s dm"

[B] = ^/X2Xi dm + /x| dm H- /XzXs dm

_ +/X3X! dm + /X3X2 dm + Jx| dm

-* r a i raet donc V « [À] 6 - [B] 6

L Y J L Y „

qui est la forme trouvée, par la deuxième méthode, pour l'expression del'intégrale vectorielle*

Posons /.Aij = Q ôij aV6C ° * (X1 + X2 * X§)dm

B,. - j X. .X. dm

pes

II faut donc montrer que A., et B.. sont des tenseurs du second ordre dans•R3-

LJ 1J


- 1 8 -

1°/ A., est-il un tenseur ?^Ja) IàE2-SÉ£!î2â£ :

Si A. . est un tenseur du second ordre dans Rs, A.. doit avoir 9composantes et vérifier la relation

Af 0 = a. a.D A..aB ia jB ij

A1 0 - a* 6'f 0 (par définition)ap ap

A f = a <$' ft (a scalaire a1 = a)

A1 = a a. a. ^ ô . . ( 6 . . est un tenseur d'ordre 2 dans RQ)aB ia j 6 ij ij d

A 'aB = a i a a j B A i j (définition de A . . )

donc A . , est un tenseur d'ordre 2 dans Rq.ij J

g) 2ème.,methode :

f a 0 0~ F Ui ""Calculons la forme bilinéaire <()(u) = ( U ^ , U2, 1^3) 0 a 0 U2

LU 0 a J _U 3 ..

A. .•ij

4>(u) = a (Uf + U| + U|) = a u^ = a

Comme a invariant, (scalaire), <j>(u) est aussi un invariant.

Théorème de cours :

Si une forme bilinéaire est invariante> construite avec des élé-ments de A..* alors les A .. sont les éléments dfun tenseur du second ordre.1*3 jdonc ici A., est un tenseur du second ordre dans Rq.

ij

2°/ B - • est-il un tenseur d'ordre 2 dans #3 ?

Si B.. est un tenseur d'ordre 2 dans R3, B.. doit vérifierle critère de tensorlalité

B' = a. a.0 B..ag la jB ij

On a B' = / X X." dm (définition de B)Qp J a B

B! = / a. a.g X^-'X. dm [x et X« vecteurs (tenseur d 'ordrei)]


-19-

B! 0 « a. a.0 / X. X. dm Les cosinus directeurs sontag la jg J i iJ J des constantes

Bf .„. = a. CL.' B.. définition de Bag la j g ij

Conclusion : B . . est un tenseur d'ordre 2 dans R%

c/ conclusion

On peut écrire en résumé

f —*- ' a a = ->V = OP A ( u A ÔP) dm = [A] 3 - [fi] 3 « l u

J Y Ypes L Y J L J

W -===tenseur A « A. .

1J

[B] tenseur B" = B ^ -

I « A - ¥


-20-

Problème 3.5

CINEMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

3,Soi ENONCE

Considérons un milieu continu déformable solide ou fluide (continuau sens microscopique). .

Soit D la position d'une partie de ce milieu à lfinstant t et sup-posons qu'à l'instant t ce domaine occupe la position D (Fig 1). Au passagede D à D on suppose qu'il y a eu déformation.

A D on lie un repère orthonormë direct R : (0, Xi, X2, X3).

0 6 D->Xi arbitraire•*• •+X2 orthogonal à Xi

13 - Xx A X2

A l'instant t on considère un point PQ (Xi> X2, X3) 6 D, et qui,à l'instant t se trouve en P0 (X° , X2*, X3 ) 6 D .

On appelle PoPo * VQ (V01^ V02> V03)R le vecteur de la trans-

formation L qui fait passer de PQ à PQ.

Soit P (Xa, X2, X3) € D et voisin de P0 tel que 0? = C$Q + P"

avec POP = (AXi, AX2, AX3)pK.

**• ^ -i' St1

Sous la transformation L, le point P vient en P (Xj, X2* 3) te^ ue

PP* - (Vi, V2, V3)R

Les composantes V. (i = 1, 2, 3) de P? sont fonction du point P.

1°/ Montrer, en utilisant un développement de Taylor limité au 1er ordre,que la transformation L peut se définir par la relation indiciellesuivante :

3 V..X* = X? -H AX. + V? + —^ AX. (1)i i i i a x. j

i - 1, 2, 3

2°/ Considérons le repère R (P0, ?x, t2, ?3) tel que

*! = îl?2 = Î2t3 = $3


-21 -

Dans R, pour simplifier l'écriture, posons :

(AXi)R = (Yi)R i = 1, 2, 3

<VOi>R ' <DOi>R

Montrer que l'on peut écrire les équations (1) sous la nouvelle forme indi-cielle suivante :

i - uoi + <4-^*v*j (2)

6.» = symbole de Kronecker

3°/ Posons u i ^ Ti

9 U0inr • *On notera symboliquement la transformation L par L (T , A£J). A quelle jcon-dition L établit une correspondance biunivoque entre les vecteurs Y et Y ?

4°/ Montrer que les T^ et A.. associés à la transformation L sont les composantesd'un vecteur T et d'un tenseur A du second ordre dans Rs.

5°/ Soient LI T^, A^P et L2 T-f2\ A^?T ' deux transformations du typeprécédent. Ll 1J J Ll ljj

Montrer que la transformation produit L(T., A£-) = LzLi est définie par

T. = T^0 -H T^2) + T^° A^2)1 i ' i J ij

A.. = A?!5 +A^+A(Î> A )ij ij ij ki kj

6°/ On définit g. . = — (A-* •*• A. . -f A, . A, .) comme les composantes lagrangiennesij z ij j i &j- KJ

de la déformation du^milieu considéré. Montrer que les 6^4 sont les compo-santes d'un tenseur € du second ordre dans RS.

7°/ Montrer que la transformation L(T£, A£J) peut se décomposer en un produitde deux transformations Ll (T., 0) et Lf (0, A j).

8 / Montrer que L1 (0, A^.) est dëcomposable en un produit de deux transformationsL2.CO, G^.) et L,3(0,Ju..) où G£- et D— sont respectivement les composantes desdeux tenseurs "G" et D antisymétrique et S3miétrique. Conclure sur la décomposi-tion de L.


-22-

9°/ Considérons un point M (Y , YOM, Y3M^R e D et <lu^»- sous la transfor-

mation L, passe à l'état déforme

M* <YÏM» Y*M» Y3M> eD*On pose : j:>

dS » PM

d&*- P*T

On vient de voir qu'en général on pouvait passer de M à M par un pro-duit de 3 transformations L, , L^, L~.

a) Montrer que la transformation L est une translation de vecteur" = pp*

b) Montrer que L~ définit une rotation d'axe porté j>ar un vecteur6 que lfon définira en fonction des éléments de G défini à laquestion 8.

c) La transformation L caractérise ce qu'on appelle la déformationpure du milieu considéré,

- calculer d? - <T§ ^- écrire la quadrique (centrée en P) du tenseur symé-trique D.- soient 04, 0,2* a3 IGS cosinus directeurs de PM = dS et X leparamètre caractérisant le support de PM. Calculer X = Xpquand le support de PM coupera la quadrique. Soit m ce point.

- calculer la normale à la quadrique en m.- conclure quant à la position du vecteur dS - dS par rapportà cette quadrique.

- calculer dS*2 - dS2. Pourquoi ce scalaire caractérise-t-il ladéformation du milieu 1 __ _

- calculer dS 2 en fonction de dS2, 6 et I.

" 1 0 0 "

î = 0 1 o_° ° 1-

Caractériser cette quadrique

3.5.2 SOLUTION

a/ 1ère question (voir figure)

Nous avons Ô?* = Ô? + P?*

et Ôl •* o!0 + P î

donc OP* = ÔP0 + P P + PP* (1)

Selon l'énoncé, l'équation (1) s'écrit encore sous forme indicielle

X* = X? + AX. + V. (Xi, X2, X3) (2)

ou encore

X* = X? + AX£ + Vi (Xf + AXi, X| + AX2, X^ + AX3) (3)



-24-

Considérons pour clarifier le cas où "i" = 1

xt = X? + AXX + Vi (Xî + AXlt X2 + AX2, X^ + AX3) (4)

Dans (4) développons Vj en série de Taylor à 3 variables en ne retenant queles termes du 1er ordre en AX

3V0i 3V0iVi(Xf + AXl5 Xl + AX2, X§ + AX3) = V01 + .5— AX: + —-- AX2

3V0i+ rx3-AX3et donc (4) s'écrit

3Voi 8V01 9V01Xi - Xf + AXi + Voi + j^ AXl + -^-j- AX2 + ^ AX3

ou encore3V01

Xj = Xi + AX-L + V01 +-JY" Xj avec J " - 1 » 2' 3 (5)

. sommation sur j sousentendue

Nous avons obtenu (5) dans le cas où i = 1 pour (3). Deux autreséquations similaires à (5) peuvent être obtenues dans les cas où i = 2 et 3.On obtient donc sous forme indicielle

a v0.X* * X? * AX. + V0. + , v

X AX. (6)i 1 1 ui 3 X . j

b/ 2ëme question

Le repère R tel que défini est en translation par rapport auxrepères R et est centré en PQ. On conclut que

X? = 0i

X.-^Y.

Y* „ y*z\, . r X .1 1

et on pose AX. —•*• Y.1 1 « • 3 V0i

L'équation (6) s'écrit donc YI = Yi + V0i + & Y<L Y.

On peut écrire Y. = ô.. Y. et donc on obtienti ij j

Y* - V0. + (^ + fi..) Y. (7)


- 25 -

c/ Sème question

V0. = T.

9 VQJ . A3 Xj - Aij

L (T., A..) est défini par

Yi - Ti + <Aij + «ij> Yj (8)

Sous forme normale (8) s'écrit

yj = T! + (An + I)Y! + A12Y2 + A13Y3

Y* - T2 + A21Yx -+ (A22 + 1)Y2 + A23Y3

Y* - T3 + A31Y! + A32Y2 + (A33 + 1)Y3

Nous avons ici un système de Cramer qui n'aura de solution définie etunique que si

All + l AI2 AI 3

Aai A22 + 1 A23 î 0

A3i A32 A33 + 1

ou encore | A.. +:6.. | 0 (9)

d/ 4ëme question

Montrer que T. et A.. sont des tenseurs.H i ij

On a *J - T. * (A.. + «..) T.

Y est un vecteur, donc Y. - a.Q Y^ | Les a

pq êtant ici

^ ^ jt 1 les cosinus directeursY est aussi un vecteur donc Y. « a. Yf l

i ia a / notes a dans lepqDans le système primé on obtient cours

a. Y1* = T. + (A.. + 6..) a. Y1

ia a i v ij ij ja a

Multiplions les deux membres de cette équation par a.

a. a. Y1* = a. T. + (A., a. a. + 6.. a. a. ) Y1

IT ia a n i ij IT ja ij :.IT ja a

Y = a. T. -f (a. a. A. . + 6 ) Yfi IT i IT ja ij ia a

Si on pose

* - " I uo,*ia = "iT ajo Aij


-26-

on obtient Y' = T' + (A1 + ô ) Y'T T ta TO a

qui est l'expression générale de L dans le système primé. On voit aussique les équations (10) sont les critères de tensorialité pour T et À.

e/ Sème question

soit LI (T<°, A^P)

L 2(T<2>.A<f>. ;''

**L! P(Y) —e-* P(Y )

x* * L P<Y> -*-*• p(Y*)L2 P(Y**) -«—* P(Y*)

L! donne Y** - T<'> + (AJ + «jk) Yfc (11)

L2 donne Y* = T^2) + (A ?) + 6..) Y?* (12)

En remplaçant (11) dans (12) on obtient

Y« - ,«>* <A<f * ,tj, [Tœ+ uj»* «Jk) ij

Y' - iP CAg . ti". ^ )!,

- P W* Vi"* Xi' 'j 'lJ* Si3V s

Y« , T(D + TU) t T(1)A(2) . (I) + (2) + (I) (2)i i i J ij ik ik jk ij ik7 k

La forme générale de L étant Yi = Ti "*" <Aik * 6ik^ Yk

on pose donc ____^__________-

T. - T^° + T^2) + TP} A^2)i i i j ij

A, - A<i> + A<2> * A<»> A<2> (13)

ik ik ik jk ij

qui sont la formule demandée.


-27-

f/ 6ëme question

eij = T (Au + Aji+ *ki V- symétrie évidente de par la définition

- nous avons montré que A., était un tenseur. Donc si 6 . est un tenseur,la quantité A, . A., doièêtre un tenseur.

Appelons P.. = A^ A^

A.. étant un tenseur on peut écrire

Pij - -*ii *kj

Pij " actk agi AaB x aak ayj Aay

= a , a n . a 1 a . A . Aak Bi ak yj a3 ayî 6 ((propriété des a..)

= ô an. a . A n Aaa 61 yj a3 ay

P!. - a0. a . A 0 A..ij 31 yj _gâ_°v•'•—p ~— par définition

By F

P! . = a0. a . Pb I (14)ij gi yj gyqui est le critère de tensorialité pour P... Donc finalement €.. est untenseur.

g/ 7ëme question

Montrer que L = L . L1 avec L (T , 0)

L!(0, A£j)

Selon la question 5

T. - T! % + TP^ +• T! A^ î ^î 1 1 j ij

A . . = A ! . + A < i > + A - . A < » >ij ij ij kj ik

Si on a Tï = 0 et A . . = 0 ces relations deviennent1 ij

T - T^°i i

A = À-1 (15)ri. o ri . .

1J 1J

et l'on a donc bien la décomposition voulue


-28-

h/ Sème question

L' (0, A...)

A., est un tenseur du second ordre dans R3- Nous savons qu'onpeut toujours le décomposer en un tenseur symétrique D.. et un tenseurantisymétrique G.. ^

A. . = i (A-• + A-•) + 4- (A. . - A..)13 2 13 31 2 13 _ 31

D. . G...ij iJ

A. . = D.. + G..13 ij 13

Maintenant on veut L1 - L2L3 avec L2 = (0, G..)

L3 - (0, D.j)

Selon la -question (5)

T - T<3) + T<2) + T<3) A<2)i i i j ij

A. . = A<3> + A^2) + A«>^-J IJ IJ ^J 1^

La première équation est toujours vérifiée. Pour la deuxième, on a

D. . + G. . = D. . + G., + D. . G..13 -13 13 13 kJ lk

Pour qufil y ait égalité, il faut que

Dkj G.k = 0 V i, j

or ceci est toujours vrai car le produit d'une quantité symétrique par unequantité antisymétrique est toujours nul, donc finalement on peut toujoursdécomposer LT en L£ et L3 tels que

L2 - L2(0, G£j)

L3 = L3(0, D£j)

En conclusion, on peut donc toujours écrire L = LI . L2 . L3

LI (T£, 0)avec f fn r \ (17)

L2 (°* G£j)

L3 (0, D..)

i/ 9ëme question : étude des transformations L}, L2, L3

Nous avons vu que le passage de l'état non déformé D, à l'étatdéformé D , pouvait se faire par transformation L décomposable en troistransformations LI, L2 et L3. P se transforme en P ,

£ -yVjf

Soit M € D qui se transforme sous L en M . Il s'agit de trouver MM


-29 -

58* = MP + PP* + P*M*

m* * PP* + P*M* - PM

Posons T v " ! _ *1P FYÎpP Y2P P* Yjp

LY3I>J* LY*3P-**

T Y 1 TY* 1 '1M 1M

M Y M Y*2M 2M

Y Y* *L^M-I^ L^wJ^*

Nous appellerons

s -_a . ï i M- ï i PdP-îV - Y»M-Ï*P

)* —>•* —»|> —>-donc MM = PP + dS - dS

MM* = V + d^* - dl (18)

1°/ La transformation Li

L! (T£, 0) donne Y^ = Ti + 6ij Yj

Y* « T. + Y. Y* = T + t

Pour le point P

Y* * T. + Y . _iP i iP

Pour le point M*

Y = T + YiM i iM"*" •* —±*On a donc une translation de vecteur T défini comme V = PF

2°/ Transformation L2

L2 (0, G . . ) s'écrit Y? = ( G . . + ô . . ) Y.z iJ i iJ iJ J

Y* = Y. + G . . Y. avec G . . = -G..1 i ij j ij ji

0 Gi2 GIJ"

G£J « "G12 0 G23

^ -G! 3 -62 3 o


- 30 -

On a vu que les éléments du produit G.Y (G..Y.) pouvaient être considéréscomme les éléments dfun produit vectoriel G A Y avec

-G2s

£ - G13

_~G12 _

donc YiP = (Gij + 6u ) VY!M - <Gij + V VY!M-Y^ - <Gij + v ( YJM"V< = ( G i j + 6ij) dsj

dS*-d S i = G . . d S .

(dr - a^> = -èhdè I (J9)Représentation

En P traçons le vecteur Get le plan II perpendiculaireà G et passant par M

Le vecteur G A dS est perpen-diculaire à P0P et à £. Latransformation L£ seule feraitdonc passer de M à M* par unerotation ft autour de G (M •> M1)et par une dilatation de révo-lution (M1 •* MÎ)


- 31 -

3°/ Transformation L3

L3 (0, D . . ) donne Y* = (D. . * 6 . . ) Y. D. . -D. .

~Dn D12 D 1 3 "

Dij -/ D12 D22 D23

LD13 D23 D33_YiP = < D i j + « i j > T J P

Y!M - <Dij + «i j> YJMY L- Y L - . < ° i j * V ( TJM- V

dsi - < D i j + V dsjdS? - dS. = D . . dS.

i i ' • IJ J

dS* - dl - D . dS (20)

°0 £2SËM§E2ïî2-I§-aH§âEi21î§-EêEïlËëS£§£iYë-^ê-2-i2 • • l«.SYë£-.£-£2SSîÊ-£ê2£lêElle s1écrit sous la forme indicielle suivante

2* = D. . Y. Y. = ± 1 r nv - .ij i J »i

Soient ai, a£, a3 les cosinus directeurs de dS dS = dS 0,2

* La3.L'équation de la droite support de dS peut s'écrire sous forme paramétrique

Y. = AdS a- X paramètre

En remplaçant dans l'équation de la quadrique, on a :

A2(dS)2 Dij Oi ttj - ± 1

Dij aiaj = "P

d'où x2 -•' 5——• = A,, (21)(dS)2 p£j ai aj P

Ap définit la valeur de A coupant la surface représentative de la quadrique.

Calculons maintenant la normale au point où la quadrique coupe ladroite support de dS (valeur de Ap)

"i • !v" Dij YJ YJ - , x p d s ° irii = A p d S D . . a.

mais nous savons que dS a. = dS.1 J


-32-

ni = AP Dij dSj_. = — (22)

n = xp D , ds

En comparant (20) et (22) on arrive à la conclusion suivante

-HK •+ i ->dS « dS - -—. n (23)

PAu poinôù la droite support de dS coupe la quadrique (point m), la diffé-rence dS — dS est parallèle à la normale à la quadrique à ce point.

M£ serait le pointdéformé sous l'effetde La seule évidem-ment

MMi est appelé dila-tation pure" >j^2^2 est appeléglissement pur

•3) £âl£Hl.Éê-Iâ-Ë§£2ESâ£î2SOn peut calculer la déformation en calculant dS*2 - dS2

Nous savons que

dS* - dS. = D.. dS.1 i ij j

dS*.dS* - dSi dSj^ - (dSj- +'DijdSj)(d'Si + DikdSk) - dSi dSi

'- dSî dS,. + D.k dS. dSk + D.. dS. dS. + D.. D.k dS. dSk

- dS. dS.donc 1 x

dS*2 - dS2 = dS. dS. (D.. + D.. + D . D .)i J ij Ji mi my

Dans le cas de 1.3, nous avons D. . = A. .

Si l'on se rappelle la définition de €. . 6.. =4 (A.. + A.. + A . A, .)on a donc finalement 1J 1J 2 1J J1

dS*2 - dS2 = 2 6.. dS. dS. avec 6.. =6..ij i J ij ji


- 33 -

dS*2 - dS2 = 2 [efi dsf + €22 dS2 + 633 ds| + 2 €12 dSi dS2

+ 2 623 dS2 dS3 + 2 631 dS3 dS^j

avec

en = j (An + An + A?! + Afj + A|X)

6ll - AU + 1 (Ah + A§! + A§i)

1 2 2 2€22 = A22 + J (Al2 + A22 + A32)

€33 - A33 +1 (A?3 -H A|3 -H A§3)

Cl2 " J Âl2 + A21 "*" AU'A12 + A£! A22. + .-A31 As2)

€23 = J A23 + A32 + Al2 A13 + A22 A23 + A32 A33)

631 - y (A31 + Ax 3 + A13 An -H A23 A21 + A33 A31)

L1expression dS 2 - dS2 est une forme quadratique en dSj dS2,dSs, D'après sa signification, indépendante du système d'axes elle est in-variante. On retrouve donc bien que les 6.. sont ici les composantes d'untenseur symétrique € (théorème de cours)

dS*2 -• dS2 » 2 d"! . ? . dl

ï^ ?IiîE£2iÉê-ËêË_lîIâ£â£î2SËSoit 2 ¥ + ï ^ 1 0 0

( 2 - e . . + 6 . . ) ï = o i o1J 1J LO o i _

dS? dS? - dS± dS.^ - 2 dS,, dS, e£j

dS. dS? = S... dS. dS. +28.. dS. dS.i i ij i j ij i j

dS. dS. = (2 6.. + 6.;) dS. dS.

ou bien ^ =

dS2 = dS . (2 € + I) . dS

Cette quadrique est un ellipsoïde car dS2 > 0. On l'appelleellipsoïde des dilatations.


-34-

Problème 3.6

LE SYMBOLE "DENSITE DE LEVI CAVITA" OU LfALTERNATEUR

3.6.1 ENONCE

Considérons le symbole à 3 indices €.., tel que :ijk ^

€.., = 1 si les 3 indices se succèdent dans l'ordre des bases orthonormées1J directes

€.., = -1 si les 3 indices se succèdent dans l'ordre inverseijk

€.., = 0 si deux quelconques des 3 indices sont égaux

IV Calculer e.jk ajk

e.., €.Mijk ijk

2°/ Considérons le système suivant complètement antisymétrique

a... = — a...ijk ikj

akij = " akji

a., . = - a. .,jki jik

Quelles sont, dans un tel système, les quantités qui diffèrent de zéro ?Montrer que l'on peut écrire :

a • •, — a-i o q €..,ijk x" ijk

3°/ Considérons le déterminant

all a!2 a13

a « ja^l = a21 a22 a23

a31 a32 a33

Montrer que "a" peut se mettre sous la forme a = €.., a ^ a^. a

4°/ Montrer que l'expression b =•€.., a . a . a , est une expression. ^ • rs.t i j K, ri si L.K,

complètement antisymétrique.Montrer alors que l'on peut écrire la relation a 6rst = 6 . a a§. aet finalement .

a = 6" €ijk €rst ari asj atk


- 35 -

3.6.2 SOLUTION

a/ 1ère question

'6/ eijk ajk = (6!jk ajk ; 62jk ajk ; 63jk ajk>

i est un indice libre

Selon les propriétés de €.., on ai J &

6ijk ajk * ^23 ~ &32 ; asl " ai3 ; ai2 ~ a21^

2°7 €ijk' eijk = -Ijk 6Ijk + €2jk €2jk * €3jk 63jk

2 + 2 + 2

d'où ._

€.. , €. . , = 6ijk ijk

b/ 2ëme question

Soit le système (5)

a. .. = - a., .ijk ikj(5) akij = -akji

a., . - - a. .,jki jik

que l'on définit comme complètement antisymétrique, c'est à dire antisymé-trique sur chaque paire d'indice. Dans un tel système, seules les quantitésà indices différents sont différentes de zéro. Toutes les autres sont nulles.

On peut donc écrire pour un système complètement antisymétrique

a.., = al23 si ijk se succèdent dans l'ordre direct!J

a.., = - 8ii23 s^ ijk se succèdent dans l'ordre inverse

On peut donc toujours écrire

a. •, = ai o Q €. .,ijk 1Zd ijk

c/ 3ème question

all a!2 a!3

a = \a^\ = a21 a22 a23a31 a32 a33

Développons ce déterminant

a = an (a22a33 - a23a32) + a12(a23a31 - a33a21) + a13 (a21a32 - a22a31;

Considérons la quantité €.., a . a?. a . On a


- 36 -

€ijk ali E2g a3k = ai1 U22a33 " a23a32)

+ ai2 (a23a31 " a21a33)

+ a13 (a21a32 - a22a31)

On voit donc que «a = €.., a. . a0. a01ijk li 2j 3k

d/ 4ëme question

Considérons l'expression b = ^'*u a. . -a . a.,1T S L lj Jx 171 Sj UJx

r, s, t sont des indices libres

Considérons la permutation des indices r et t

b = 6. ., a . a . a ,tsr ijk ti sj rk

= 6, . . a . a . a .kji tk sj ri

* -6. ., a . a . a..ijk ri sj tkd'où

btsr = " brst

On peut faire exactement la même chose par rapport aux indices s et t etr et s. On a donc :

b = - brst rts

b = - btrs tsr

str " " srt

quantité complètement- antisymétrique , Selon la question 2 on peut doncécrire

b . =: b v o o € .rst -1" rst

brst est défini C0mme brst = 6ijk ari asj atk

donc bizs = e.jk aj. a2j a3k

Selon la troisième question on a donc b._ = a d'où b = a erstou encore ( ___________^^^___^__^_1

a 6rst = eijk ari asj atk|

Multiplions par €rst

a erst'erst = 6ijk 6rst ari asj atk

Selon la première question 6 .G, = 6,L SL. rsn

d'où

a = T €. ., 6 ^ a . a . a^,6 ijk rst ri sj tk


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MECANIQUE GENERALE Chapitre III : Les torseurs cartésiens