Chap.1: OUTILS MATHEMATIQUES VECTEURS & TORSEURS

Mécanique Générale - Niveau 1

ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 1

Chap.1: OUTILS MATHEMATIQUES

VECTEURS & TORSEURS

L'objectif de ce chapitre est de donner brièvement les outils mathématiques nécessaires à

la compréhension de la suite de ce cours et donner des notions sur les glisseurs et les

torseurs.

1. VECTEURS :

Un vecteur est une grandeur mathématique défini par son sens, son module, sa direction et son point

d’application.

Si son point d’application est quelconque : vecteur libre.

Si son point d’application est fixe : vecteur lié et s’écrit (A, X ).

Si son point d’application est libre sur un support : vecteur glissant.

Géométrique Analytique

Caracteristiques

d’un vecteur

B * Direction.

A X * Sens.

* Point d’application.

* Module ou norme.

Adoption d’une base kjiB ,, liée au repère kjiOR ,,,

L’expression de X dans la base B est :

z

y

x

kzjyixX

B

zyx ,, : sont les composantes de X

2. OPERATIONS ALGEBRIQUES SUR LES VECTEURS :

L'objectif est de voir de façon élémentaire certaines opérations sur les vecteurs.

2.1 Module d’un vecteur :

X

= 2

1

2

1

2

1 zyx

2.2 Vecteur unitaire :

u

: X

Xu

X

= 1

2.3 Egalité de deux vecteurs :

Soient kzjyixX

1111 et kzjyixX

2222

21 XX

1x = 2x ; 1y = 2y ; 1z = 2z



2.4 Vecteurs opposés :

21 XX

1x =- 2x ; 1y =- 2y ; 1z =- 2z

2.5 Somme des vecteurs :

2121, XXXX

21 XX

= 12 XX

)( 321 XXX

= 321 )( XXX

a )( 21 XX

= a1X

+ a2X

; a R

(a+b) 1X

= a1X

+ b1X

; a, b R

2.6 Multiplication par un réel : XX ,

3. PRODUIT SCALAIRE :

Par définition, le produit scalaire de 2 vecteurs 1X et 2X est:

2121 XXXX

Cosθ tel que θ = (1X

^ 2X

)

Dans une base orthonormée directe kji ,, :

Si kzjyixX 1111 et kzjyixX 2222

Alors on aura : 21212121 .... zzyyxxXX

NB : Le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est un SCALAIRE.


1X

2X

2X

1X

1X 2X

1

1

1

1111

z

y

x

kzjyixX

B

2

2

2

2222;

z

y

x

kzjyixX

B

21

21

21

21212121 )()()(

zz

yy

xx

kzzjyyixxXX

B


* Même direction que X .

* Sens :- même si 0

X - opposé si 0

* XX

1

1

1

111

z

y

x

kzjyixX

B

1

1

1

111

z

y

x

kzjyixX

B



Propriétés:

Commutativité: 21 XX 12 XX

Distributivité à droite et à gauche: 3121321 ..)( XXXXXXX et

3231321 ..)( XXXXXXX

Multiplication par un réel: ).(.).().(. YXYXYX λR

Normes:2

32

22

1. xxxXXX

Calculs sur les vecteurs d’une base orthonormée directe

0... ikkjji ; 1... kkjjii

Cas de nullité :

o Un des vecteurs est nul.

o Les deux vecteurs sont orthogonaux.

Dérivée d’un produit scalaire : 122121 Xdt

dXX

dt

dXXX

dt

d

4. PRODUIT VECTORIEL :

Par définition, le produit vectoriel de 2 vecteurs X et Y noté YX est égale Z tel que :

Si on définit l’angle ),( YX , alors

kSinYXYX ..

Sa direction est perpendiculaire au plan formé par X et Y .

Son sens est celui de la rotation de X vers Y (sens de tire-bouchon).

Sa norme est l’aire du parallélogramme formé par X et Y :

YXSinYXYXZ ,

),,( ZYX forme un trièdre direct, quelque soit le point O.

Méthode de calcul :

Dans une base kji ,, , si kxjxixX 321 et kyjyiyY 321 , alors on aura :

Calcul à effectuer: 3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

Première composante : On barre la première ligne et on calcule le déterminant restant:

3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

233233

22yxyx

yxyx

3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

= ??

2332 yxyx



Deuxième composante : On barre la deuxième ligne et on calcule l'opposé du déterminant restant:

3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

)( 133133

11yxyx

yxyx

3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

=

?

3113

2332

yxyx

yxyx

Troisième composante : On barre la troisième ligne et on calcule le déterminant restant:

3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

122122

11yxyx

yxyx

3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

= 1221

3113

2332

yxyxyxyxyxyx

Propriétés:

Anti-commutativité: YX XY

Distributivité à droite et à gauche: ZXYXZYX )( et ZYZXZYX )(

Multiplication par un réel: ).().()(. YXYXYX ; λR

Cas de nullité :

o Un des vecteurs est nul.

o Les deux vecteurs ont même direction.

Dérivée d’un produit vectoriel : 212121 Xdt

dXXX

dt

dXX

dt

d

Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée directe:

kji , ikj , jik

ii jj 0 kk

Méthode pratique : on écrit 2 fois la base, le sens est donné par l’ordre d’écriture

kji ; kij

4.3 Produit Mixte :

Le résultat du produit mixte de trois vecteurs ),,( ZYX est un SCALAIRE égale au volume du

parallélépipède formé par ces vecteurs.

aZYX )(. .

Propriétés:

0)(. ZYX si l'un des vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres.

)()()(. YXZXZYZYX

kji kji



5. CHANGEMENT DE BASE :

5.1 Projection des vecteurs de bases :

Si on exprime les vecteurs de la base ),,( 1111 kjiB dans ),,( 0000 kjiB , on obtient:

001 jSiniCosi

001

jCosiSinj

01 kk

Inversement, si on exprime les vecteurs de la base ),,( 0000 kjiB dans ),,( 1111 kjiB , on obtient:

110 jSiniCosi

110 jCosiSinj

10 kk

5.2 Changements de bases d'un vecteur quelconque :

Soit 1),,( BcbaU un vecteur exprimé dans la base ),,( 1111 kjiB . L'expression de U dans la base

),,( 0000 kjiB sera : 111 kcjbiaU )(00 jSiniCosa )(

00 jCosiSinb 0kc

000 )()( kcjCosbSinaiSinbCosaU

D’où : 0

),,(B

cCosbSinaSinbCosaU

6. MOMENT D’UN VECTEUR PAR RAPPORT A UN POINT :

Le moment par rapport au point P d’un vecteur V

de point d’application A est par définition :

VPAVM P

Cas particuliers :

Le moment est nul :

- S’il est calculé au point d’application A du vecteur V

: 0

VAAVM A

- S’il est calculé à un point P au support du vecteur V

: 0

VPAVM P

Soient deux bases orthonormées directes

),,( 0000 kjiB et ),,( 1111 kjiB tel que 01 kk



Propriété :

On connaît le moment en P, comment l’obtient-on en Q ?

VMVQPVPAVQPVPAQPVQAVM PQ

Nous appellerons loi de distribution ou loi du transfert de moment la relation:

VQPVMVMQP PQ

)()(),(

7. SOMME DE n VECTEURS :

Soit l’ensemble de vecteurs E = ),).......(,(),,( 2211 nn VAVAVA

La somme S

de l’ensemble E est : nVVVES

.......)( 21

)(ES

est un vecteur libre et est appelé aussi la résultante )(ER

tel que :

n

i

iVER1

)(

Si l’origine du premier vecteur est confondue avec l’extrémité du dernier vecteur on a )(ER

= 0

8. MOMENTS DE n VECTEURS PAR RAPPORT A UN POINT :

Le moment par rapport à P de E est nnnP VPAVPAVPAEM

........211

EM P est appelé moment résultant de (E) : i

n

i

iP VPAEM

1

EM P est un vecteur dépendant du point P tel que :

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

iiQ VPAVQPVPAQPVQAEM1111

)()()(),( ERQPEMEMQP PQ

9. NOTIONS SUR LES TORSEURS

Afin de simplifier la présentation des calculs sur les vecteurs ou ensemble de vecteurs (représentant

des forces, des vitesses...) et leurs moments (tels que les moments de force bien connus), nous allons

présenter un formalisme simple permettant de manipuler ces grandeurs : il s'agit de la notion de torseur,

que nous allons présenter à partir de l'exemple d'un ensemble de forces.



Bien que cette formulation ne soit pas indispensable pour présenter la mécanique générale, nous

l'utiliserons fréquemment dans la suite du cours. Nous pensons en effet que cette présentation permet

d'alléger la formulation des équations et de donner une certaine unité à la présentation des principaux

résultats.

9.1 Torseurs :

Un torseur noté ou ou …….définit en un point P A ou A ou ….. est un champ de vecteurs

antisymétrique.

Pour définir un torseur en un point A, il suffit de préciser :

Le vecteur R : Appelé résultante du torseur, constituant un champ uniforme.

Le vecteur AM : appelé moment du torseur en un point A, constituant un champ non uniforme.

N.B : R et AM sont les éléments de réduction du torseur.

9.2 Notation :

Un torseur se note au point A dans un repère (R) par : A

B =A

BAM

R

Si

BZ

Y

X

R

et

B

A

N

M

L

M

Le torseur s’écrit soit : A

B = A

BA zNyMxLM

zZyYxXR

ou A

B =

A

BNZ

MY

LX

NB : le moment d’un torseur doit vérifier la relation de transfert de moment tel que

)()()(),( TRQPTMTMQP PQ

9.3 Cas particuliers de torseurs :

9.3.1 Torseur nul :

0 =

BM

R

0

0

9.3.2 Torseur couple :

C =

BCM

R

0

o On dit qu’un couple n’a pas de point d’application.

o La somme de n couples est un couple.

Ce type de torseur est nul en tout point.



9.3.3 Torseur glisseur :

g =

BM

R

0

Les Coordonnées en A seront :

N

M

L

RAP

Z

Y

X

R

g

A

A

o Le moment d’un glisseur est nul sur l’axe et non nul ailleurs.

o Le moment d’un glisseur est perpendiculaire à l’axe et à la résultante.

o Le moment augmente si on s’éloigne de l’axe (en module).

Remarques:

1/ La notion de torseur de force permet donc de parler globalement d'une force et de son moment en

tout point de l'espace.

2/ Les deux vecteurs définis dans un torseur sont de natures différentes. Pour un torseur de force, le

vecteur résultant est une force ayant des composantes dont les unités sont en (N), alors que le moment

en un point est un moment dont les composantes ont des unités en (N.m).

3/ Attention quand l'on demande de définir un torseur, il est nécessaire de donner une réponse pour

la résultante et une réponse pour le moment.

9.4 Opérations usuelles sur les torseurs :

NB : Les torseurs doivent être calculés au même point et exprimés dans le même repère.

On pose : A

B1 =

A

BAM

R

)( 1

1

et A

B2 =

A

BAM

R

)( 2

2

o Somme de deux torseurs : A

B1 + A

B2 =

A

BAA MM

RR

)()( 21

21

o Multiplication par un réel : A

B = A

B =

A

BAM

R

)(

o Co-moment de 2 torseurs : A

B1 = )()( 1221 AA MRMR

A

B2



9.5 Torseurs équivalents :

Deux torseurs sont dits équivalents, s’ils ont les mêmes éléments de réductions, lorsqu’ils sont

calculés en même point.

A

B1 et sont équivalents A

B1 =

)()( 21

21

AA MM

RR

9.6 Invariants de torseur :

Invariant vectoriel : la résultante du torseur.

Invariant scalaire : le produit scalaire de la résultante par le moment d’un torseur

)()()()( TMTRTMTR PQ

9.7 Axe central d’un torseur :

L’axe central Δ est le lieu des points où la résultante et le moment du torseur sont colinéaires.

Partant d’un torseur connu au point P, soit u

le vecteur unitaire d’orientation de Δ et Q un point appartenant à

l’axe cherché tel que 0)()(

TMTR Q

Soit H la projection de P sur Δ, elle est obtenu par 2

)(

)()(

TR

TMTRHP P

et Q est tel que

HPTRHPQHQP )(

l’axe passant par H et Q constitue l’axe central du torseur PT .

L’axe central Δ ne peut exister que si la résultante est différente de zéro.

L’axe central Δ, sil existe doit être parallèle à la résultante )(TR

.

Si 0)(

TM P , l’axe central Δ est le lieu des points ayant un moment nul.

A

B2 A

B2

u

Q

P

H



Chap.2: STATIQUE

Après un rappel sur les expressions des torseurs associés aux différents types d'actions

mécaniques, nous introduirons le principe de la statique puis les méthodes de résolution

d'un problème de statique.

1. SOLIDES ET SYSTEMES MATERIELS :

1.1 Système matériel:

Ensemble de matière dont les atomes peuvent être de même nature ou non, déformable ou non,

compressible ou incompressible.

1.2 Solide:

Ensemble de matière dont les atomes sont de même nature, géométriquement parfait, indéformable

et homogène.

2. ACTION MECANIQUE :

2.1 Définition :

Action mécanique : Toute cause ayant pour effet de maintenir au repos, ou de modifier l’état de repos

ou de mouvement d’un mécanisme ou de certaines de ses parties.

2.2 Actions mécaniques

Une action mécanique fait intervenir deux corps, l’un exerçant l’action l’autre la subissant, elle peut

être:

Une action de contact (pression, Force appliquer par un opérateur, action d’une liaison, couple

appliquer par un moteur,………).

Une action à distance (poids, forces électriques et magnétiques,....).

Une action mécanique peut s’exercer :

Sur un point (action ponctuelle).



Sur une surface (action d’un solide sur un autre au point de contact, pression d’un liquide, d’un

gaz,....)

Sur un volume (poids par exemple).

Une action mécanique peut être :

Intérieure au système considéré (action d’une partie du système sur une autre).

Extérieure au système considéré (action exercée par l’environnement sur le système).

Quel que soit son type, une action mécanique fait intervenir un ensemble de force (élémentaires ou

non)d’où on la représente par un torseur

12

12

12)(F

M C

FF

N.B :

L'ensemble des actions mécaniques qui s'exercent à l'intérieur d'une liaison parfaite peut

être représenté par un torseur résultant exprimé au centre de la liaison. (voir tableau des liaisons)

Somme géométrique des forces

exercées par « 1 » sur « 2 ». Elle est

appelée force.

Somme des moments des forces

exercées par « 1 » sur « 2 » (au point M) appelée couple



Nom de la

liaison

Symbole

Torseur des actions

du solide 2 sur le

solide 1

Nom de la

liaison

Symbole

Torseur des actions du

solide 2 sur le

solide1

Encastrement

O

NZ

MY

LX

En tout point

Appui plan de normale

),( zO

O

Z

M

L

0

0

0

En tout point

Pivot d’axe

),( xO

O

NZ

MY

X

0

Points de

),( xO

Linéaire

rectiligne

d’axe ),( xO

de

normale ),( zO

O

Z

M

0

0

00

Point du

plan (O,

z , x )

Glissière

d’axe ),( xO

O

NZ

MY

L

0

En tout point

Linéaire

annulaire

d’axe ),( xO

O

Z

Y

0

0

00

Au point O

Pivot glissant

d’axe ),( xO

O

NZ

MY

00

Points de

),( xO

Ponctuelle de normale

),( zO

O

Z

0

00

00

Points de

),( zO

Sphérique ou Rotule

de centre O

O

Z

Y

X

0

0

0

Au point O

Glissière

hélicoïdale

d’axe ),( xO

O

NZ

MY

pXLX

Points de

),( xO

3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE :

3.1 Enoncé :

Pour qu’un mécanisme composé d’un ou plusieurs solides soit en équilibre dans un repère galiléen

sous l’effet de n actions extérieures, il faut que les conditions suivantes soient satisfaites :

Etat d’équilibre du mécanisme avant l’étude.

Egalisation du torseur statique des actions mécanique extérieures s’exerçant sur (S) au

torseur nul.

0)(

0)(0)(

SSM

SSRSST

A

S

A

S

avec

statique.moment du théorème: 0S)S(M

statique.résultanteladethéoreme:0S)S(RA

S



La projection de ces deux théorèmes sur les axes du repère fourni au maximum six

équations analytiques permettant de déterminer les inconnues statiques et/ou géométriques.

Remarques :

a) Le principe fondamental de la statique n’est en fait qu’un cas particulier du principe

fondamental de la dynamique.

b) Pour un ensemble de solides si le torseur des actions mécaniques extérieures est nul par

rapport au repère galiléen, les différents solides constituant l’ensemble ne sont pas

forcément en équilibre, seul l’ensemble est en équilibre.

c) Dans le cas d’un problème plan (par exemple X et Y), la projection fournit trois équations :

Deux équations liées à la résultante statique suivant x et y.

Une équation pour le moment statique portée par l’axe z

3.2 Principe des actions mutuelles (action et réaction) :

Si un système matériel E1 exerce une action mécanique )21( F

sur un système matériel E2 alors le

système matériel E2 exerce sur le système matériel E1 une action mécanique )12( F

telle que :

)1(2F - )21(

F

Ces deux actions mécaniques sont dites réciproques et les torseurs représentant ces deux actions

mécaniques réciproques sont opposés :

MM

SSFSSF ))(( - ))(( 1221



4. DEMARCHE DE RESOLUTION D’UN PROBLEME STATIQUE:

Isoler le système ......is et

déterminer son extérieure .....is ,

Etablir le bilan et identifier les actions

mécaniques extérieures à is ,

Construire au centre de liaison, le torseur

statique associé à chaque action

mécanique,

Effectuer le transfert de tous les torseurs

en un point bien déterminé,

Appliquer le principe fondamental de la

statique PFS sur .....is

Nombre d’inconnues est

supérieur au nombre

d’équations

Déterminer les inconnues statiques et/ou

géométriques du système

Finir l’étude.

Oui

Non

Isoler un autre sous système en liaison

avec le premier système et déterminer

son extérieure



Chap.3: CINEMATIQUE

La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie les mouvements des corps par

rapport au temps, indépendamment de leurs causes.

1. Paramétrage de la position d’un point :

1.1 Système des coordonnées :

En mécanique on définit la position d’un point M par rapport à un repère de référence choisi ( R ) à

l’aide du vecteur position de M par rapport à RO : MOR

Les paramétrages qui définissent la position d’un point M dans un repère ( R ) sont habituellement :

Les coordonnées cartésiennes,

Les coordonnées cylindriques ou polaires,

Les coordonnées sphériques.

Le type de coordonnées est choisi en fonction du problème que l’on a à traiter (problème à symétrie

de révolution autour d’un axe, problème à symétrie sphérique …).

1.1.1 Les coordonnées cartésiennes :

x, y, z sont les coordonnées de M dans un repère

),,,( zyxOR , tel que O origine de repère et

),,( zyx

les vecteurs unitaires orthogonaux de R

définissant une base B.

La donnée des 3 variables zyx ,, définit 1 point

et un seul de l’espace.

Le vecteur de position de M par rapport à R

(origine) :

Bz

y

x

zzyyxxOM

z z

M

O

y y

x

x



1.1.2 Les coordonnées cylindriques ou polaires :

, z sont les coordonnées de M dans un repère

),,,(1

zvuOR tel que O origine de repère et ),,( zvu

les vecteurs unitaires orthogonaux de R1 définissant une

base B1.

La donnée des 3 variables z,, définit 1 point et

un seul de l’espace.

Le vecteur de position de M par rapport à R1

(origine) :

1

0.

Bz

zzuOM

z z

M

v

O y y

x

x u

Ce même vecteur peut être exprimé dans R

Bz

Sin

Cos

zzySinxCosOM

Cosx

Siny

1.1.3 Les coordonnées sphériques :

sont les coordonnées de M dans un repère ),,,(2 vjiOR

tel que O origine de repère et ),,( vji

les vecteurs unitaires

orthogonaux de R2 définissant une base B2.

La donnée des 3 variables ,, définit 1 point et

un seul de l’espace.

Le vecteur de position de M par rapport à R2

(origine) :

20

0

B

iOM

Ce même vecteur peut être exprimé dans R1

1

0

BCos

Sin

zCosuSinOM

z

z i M

v

O

y

x j u

SinCosx

SinSiny

Cosz



Ce même vecteur peut être exprimé dans R

BCos

SinSin

SinCos

zCosySinSinxCosSinOM

1.2 Changement de système de coordonnées :

On peut facilement passer d’un système à un autre en remarquant qu’on doit exprimer le même vecteur

position dans les systèmes de coordonnées.

Exemple : Passer de polaires en cartésiennes ou réciproquement :

zzuOM 1 et zzyyxxOM en identifiant : Cosx ; Siny

1zz

Pour le passage inverse : yx22

; x

ytgarc et zz 1 .

1.3 Angles d’Euler :

1ère Rotation

zvuzyxzRot

,,,,),(

v

z y

x u

2ème Rotation

1),(

,,,, zwuzvuuRot

1z z

w

u v

z

1z

1

y w

v

O y

x u 1x

Les 3 angles d’Euler sont les suivants :

ux, : angle orienté par z

1,zz : angle orienté par u

1,xu : angle orienté par 1z

Ces 3 angles qui sont utilisés dans l’étude du mouvement gyroscopique

portant les noms suivants :



3ème Rotation

111

),(

1 ,,,,1

zyxzwuzRot

1y

1z w

u 1x

: angle de précession.

: angle de mutation.

: angle de rotation propre.

2. Cinématique d’un point :

2.1 Dérivation d’un vecteur :

2.1.1 Définition :

La dérivée du vecteur tV par rapport à la variable t dans l’espace vectoriel E est le vecteur suivant :

h

tVhtVV

dtd

hE

0

lim

2.1.2 Remarque :

La variable t est quelconque, qui sera bientôt associée au temps.

La variable d’un vecteur, que la dérivée représente dépend de l’espace vectoriel de référence, c’est à

dire en pratique de la position de l’observateur qui étudie la variation du vecteur, d’ou la nécessité de

notations précises. E

dtVd

ou

BdtVd

ou encore

RdtVd

qui se lit : dérivée du vecteur V par rapport à

la variable t dans R.

2.2 Propriétés :

o Dérivée de la somme de vecteurs :

RR

R dtVd

dtVdVV

dtd

21

21

o Dérivée du produit d’une fonction scalaire par un vecteur :

RR

dtVdV

dtVd

avec R

dtd

o Dérivée d’un produit scalaire :

RR

R dtVdVV

dtVdVV

dtd

2

121

21

o Dérivée d’un produit vectoriel :



RR

R dtVdVV

dtVdVV

dtd

2

121

21

o Dérivée d’une fonction de fonction :

Supposons que le vecteur V est fonction de t et par l’intermédiaire de la fonction .

Alors :

RR d

VdtVdtd

avec Rdt

d

2.3 Dérivée d’un vecteur exprimée dans la base de dérivation :

Dérivée d’un vecteur V exprimée dans la base du repère zyxOR ,,, : soit zcybxaV Avec

):,,( tdefonctionsontcba

RRRRdt

zdczc

dt

ydbyb

dt

xdaxa

dt

Vd

Comme les vecteurs unitaires sont constants dans la base de R , 0

Rdtxd ; 0

Rdt

yd ; 0

Rdtzd

alors : zcybxadt

Vd

R

2.4 Changement de base de dérivation :

Soient zyxOR ,,, et 1111 ,,, zyxOR deux repères orthonormés directes. Considérons un vecteur V exprimé

dans la base du repère 1R : 111 zcybxaV où ):,,( tdefonctionsontcba .

Cherchons la dérivée du vecteur V par rapport à la variable t dans la base du repère R .

Cas ou : zz 1

Posons : 1,xx ou est fonction de ( t ).

La dérivée de V par rapport à la variable t dans R :

RRR

RR

dt

zdc

dt

ydb

dt

xdazcybxa

dt

d

dt

Vd

111111

RRRdt

zdczc

dt

ydbyb

dt

xdaxa

1

1

11

11



Or la somme 111 zcybxa =

1Rdt

Vd

RRRRRdtzdc

dt

ydb

dtxda

dtVd

dtVd

111

1

comme 01

1

Rdt

zdzz

Pour calculer

Rdtxd

1 on considère que le vecteur 1x est fonction de t par l’intermédiaire de : tx 1 .

Alors

RRRR

dtdavec

dxd

dtd

dxd

dtxd 111

Par projection on obtient : yxx sincos1 ;

R

R

yxdt

d

d

xd)]sin(cos[

1

1cossin yyx

Rd

xd

= 1y

N.B : La dérivée d’un vecteur unitaire par rapport à son angle polaire est le vecteur directeur perpendicularité

(déduite par une rotation d’angle + 90°).

De même façon 11)( x

dt

ydR par suite 11

1

xbyadtVd

dtVd

RR

Ou encore pour mettre en évidence le vecteur V : )( 111

1

zcybxazdtVd

dtVd

RR

On pose : zRR 1 où RR1 : le vecteur de rotation de 1R par rapport à R .

VRRdtVd

dtVd

RR

1

1

(E)

2.5 Propriétés du vecteur rotation :

2.5.1 Composition des vecteurs rotations :

On note iiii zyxB ,, la base du repère orthonormé directe iiii zyxOR ,,, . Etant donné un vecteurV ,

on peut écrire successivement : VRRdt

Vd

dt

Vd

RR

12

21

VRRdt

Vd

dt

Vdnn

RR nn

1

1

Faisons la somme et après simplification on obtient : VRRdt

Vd

dt

Vd n

i

ii

RnR

1

1

1



Or d’après (E) on a VRRdt

Vd

dt

Vdn

RR n

1

1

Par équivalence entre ces deux dernières équations en obtient :

1RRn 1 nn RR + ………………….. + 12 RR

1RRn 1

1

ii

n

i

RR

Exemple : Expression du vecteur rotation en fonction des angles d’Euler

En reprenant les notations du paragraphe étudier précédemment 13 zuzRR

2.6 Inversion des bases de dérivation :

VRRdt

Vd

dt

Vd

RR

12

21

VRRdt

Vd

dt

Vd

RR

21

12

2.7 Vecteur vitesse d’un point par rapport à un repère :

Le vecteur vitesse d’un point P par rapport à un repère (R), est la dérivée du vecteur position OP par

rapport au temps (t), dans un repère (R) :

R

OPdt

dRPV

Si sOP alors tvtdtdsV P avec t le vecteur unitaire tangent à la trajectoire ( s )

2.8 Vecteur accélération d’un point par rapport à un repère :

Le vecteur accélération d’un point P par rapport à un repère ( R ), est la dérivée du vecteur vitesse

RPV par rapport au temps ( t ), dans un repère ( R ) :

R

RPVdt

dRP

12 RR = 21 RR



3. Cinématique du solide :

Dans ce cours, nous nous intéresserons uniquement au solide indéformable. Si M1, M2, M3 et M4 sont

quatre points quelconque du solide, la définition du solide indéformable se traduit mathématiquement par

l’une des deux relations suivantes : 21MM est indépendante du temps, ou bien cteMMMM 4321

3.1 Distribution des vitesses dans un solide :

*A B*

1R

R

O

Soient les deux points A et B d’un solide (1), sont en mouvement par rapport

à un repère R (voir figure ci-contre). Appliquons la relation de changement

de base de dérivation au vecteur AB , entre le repère R et le repère lié au

solide (1) R1 on trouve :

ABRdt

ABd

dt

ABd

RR

1

1

or 0

1

Rdt

ABd car le vecteur

AB étant constant dans 1R

RAVRBVdt

OAd

dt

OBd

dt

OBAOd

dt

ABd

RRRR

11)(

Par suite, la relation entre les vecteurs vitesse des points A et B du solide (1) s’écrit :

ABRRAVRBV 111

3.2 Mouvements plans d’un solide :

3.2.1 Définition :

Par définition, le mouvement d’un solide est dit mouvement plan si tous les points qui le

constituent ont des trajectoires planes et contenues dans des plans parallèles. L’étude d’un tel mouvement

peut donc se restreindre à l’étude d’une « tranche » de solide contenue dans le plan du mouvement. La

section choisie est généralement celle qui passe par le centre de masse.

Remarque : le choix du référentiel fixe d’étude est immédiat (deux vecteurs de base définissant le plan du

mouvement, par exemple i et j ). Ainsi, dans un tel référentiel, le vecteur rotation instantanée ne peut être

que perpendiculaire au plan du mouvement, donc porté par l’axe kO, .



3.2.2 Exemples de mouvements plans :

Translation rectiligne :

y

1y

0R 1R

(S) 1x

O A B

z x

Le solide (S) glisse le long de (O, x ) avec xVRSV AA 0

Calculons ?0 RSVB

000 RSBARSVRSV AB

or 00 RS car la position angulaire de 1R par

rapport à 0R est constante, donc pour un mouvement de

translation rectiligne : 0RSVB xVRSV AA 0

Remarque :

Si un solide est en translation 00 RS alors tous ses points ont la même vitesse (à l’instant t ).

Mouvement de rotation autour d’un axe fixe :

000 RSMARSVRSV AM vMAzuMA

vMARSVM 0

Remarque :

La vitesse est proportionnelle au rayon AM (en mouvement de rotation).

y

1y

u

v

1x

z

x

Le solide (S) tourne autour de l’axe zA, à la vitesse

angulaire : 0RS z 00 RSVA

110 yABzxABRSVB

1

0 yABRSVB

α

θ

(S)

M

A

B

o



4. Champ des vecteurs accélération des points d’un solide :

Soient deux points A et B d’un solide (S) en mouvement par rapport à un repère R0.

000 RSBARSVRSV AB 0R dans (t) % dériveon

000

))(( 000

RR

A

R

B

dt

RSBAd

dt

RSVd

dt

RSVd

00

0

000

RR

AB

dt

RSdBARS

dt

BAdRSRS

0

0000 )(

R

A

dt

RSdBARSBARSRS

or BARSdt

BAd

dt

BAd

RR

0

10

avec 01

RdtBAd

On note que le repère R1 est lié au solide (S).

D’ou la relation :

ABRSRSdt

RSdBARS

dt

BAdRSRS

RR

AB

00

0

0

000

1

ABRSRSdt

RSdBARSRS

R

AB

00

0

0

00

Remarque :

Le champ des vecteurs d’accélération des points d’un solide ne vérifie pas la relation du changement de

point du moment d’un torseur, à cause de l’existence du terme

ABRSRS 00.

Par suite, il n’est pas représentable par un torseur.



5. Composition des vecteurs vitesses :

y

1z 1y

. P

1x

0R 1R

O1 O

z x

Soit un point P mobile par rapport à zyxOR ,,,0 et 11111 ,,, zyxOR :

Cherchons la relation entre 0RPV et 1RPV .

0

0

)( 110

RRdt

POOOd

dtOPdRPV

or

0

101

Rdt

OOdROV

et PORRRPVPORRdt

POd

dt

POd

RR

1011101

11

10

par suite :

PORRRROVRPVRPV 10101110

Si on considère à l’instant (t) quelconque, le point P lié au repère 1R : 01 RPV et on aura

PORRRROVRRPV 10101101 d’ou la relation :

0110 RRPVRPVRPV

Avec :

Généralisation :

Soit n points, P mobile par rapport à n repères Ri (i = 1,2…..n)

1221 RRPVRPVRPV

2332 RRPVRPVRPV

11 nnnn RRPVRPVRPV

Après simplification :

n

i

iin RRPVRPVRPV1

11 )/(

Or 11 RRPVRPVRPV nn

n

i

iin RRPVRRPV1

11 )/(

Par définition on a :

1221 RRPVRPVRPV

2112 RRPVRPVRPV

Faisons la somme et après simplification on obtient : )/( 2112 RRPVRRPV

0RPV : Vecteur vitesse absolue.

1RPV : Vecteur vitesse relative.

01 RRPV : Vecteur vitesse d’entraînement.



6. Composition des vecteurs accélérations :

y

1z 1y . P

1x

0R 1R

O1 O

z x

Soit un point P mobile par rapport à zyxOR ,,,0 et

11111 ,,, zyxOR .

Cherchons la relation entre 0RP et 1RP ? On sait que :

0110 RRPVRPVRPV

PORRRROVRPVRPV 10101110

dérivons chaque terme par rapport au temps ( t ) dans R0 :

00000

10110101110

RRRRR

POdt

dRRPORR

dt

dRROV

dt

dRPV

dt

dRPV

dt

d

En appliquant la relation de changement de base de dérivation, on trouve alors :

1010110 2 RPVRRRRPRPRP

0RP : Vecteur accélération absolue.

1RP : Vecteur accélération relative.

01 RRP : Vecteur accélération d’entraînement.

1012 RPVRR : Vecteur accélération de Coriolis.

7. Vitesse de glissement - Condition de roulement sans glissement :

y

1

1I

0R I 2I

2 z O x

Deux roues de friction :

Considérons deux solides (S1) et (S2) en contact à un instant donné.

Appelons I le point de (S1) et (S2) en contact à cet instant.

On définit la vitesse de glissement 21gV du solide (S1) par rapport

le solide (S2) par:

0/20/121 IVIVV g



Si la condition de roulement sans glissement est réalisée, cette vitesse est nulle soit :

021 gV donc 0/20/1 IVIV

Remarques :

Les points I 1 et I 2 ne coïncident qu'à un instant t , aussi l'égalité de leurs vitesses ne

conduit en aucun cas à l'égalité de leurs accélérations: 202101 IVIV

Les points I 1 et I 2 ne sont pas fixes par rapport à (S1) et (S2)

8. Torseurs cinématiques :

Le torseur cinématique du mouvement du solide (2) par rapport au solide (1) s’écrit au point O :

origine du repère locale associé à la liaison :

O

B

O

B

O

BOV

OV

)1/2()1/2(

12

12

12

On pose : zyx zyx 12 et zVyVxVOV zyx 12

O

Bzz

yy

xx

O

O

Bzyx

zyx

O

O

B

V

V

V

zVyVxVOV

zyx

12

12

1/2

Changement de point de calcul du torseur cinématique :

Connaissant le torseur cinématique au point (O), cherchons ce torseur au point (P) ?

O

B

O

B

OV

12

12

12 et

P

B

P

B

PV

12

12

12

Si on connaît la vitesse au point (O), alors la vitesse au point (P) est :

121212 POVV OP

Tableau des torseurs cinématiques des liaisons normalisées :

L'ensemble des mouvements qui s'exercent à l'intérieur d'une liaison peut être représenté par un

torseur cinématique exprimé au centre de la liaison. (Voir tableau des liaisons usuelles)



Nom de la

liaison

Symbole

Torseur

cinématique du

solide 2 sur le

solide 1

Nom de la

liaison

Symbole

Torseur

cinématique du

solide 2 sur le

solide1

Encastrement

000

000

O

En tout

point

Appui plane de

normale ),( zO

000

vu

O

En tout

point

Pivot d’axe

),( xO

000

00

O

Points

de

),( xO

Linéaire

rectiligne

d’axe ),( xO

de normale

),( zO

00 v

u

O

Points du plan

(O, z , x )

Glissière

d’axe ),( xO

00

000 u

O

En tout

point

Linéaire

annulaire

d’axe ),( xO

00u

O

Au point O

Pivot glissant

d’axe ),( xO

00

00

u

O

Points

de

),( xO

Ponctuelle de normale

),( zO

0vu

O

Points

de ),( zO

Rotule ou Sphérique

de centre O

000

O

Au point O

Glissière

hélicoïdale

d’axe ),( xO

00

00

pu

O

Points

de ),( xO

Si on compare le torseur statique d’une liaison sans frottement avec son torseur cinématique on constate

que la somme : 21212121 / SSSSMSSOVSSRO

est toujours

nulle.

Composition des torseurs cinématiques :

Considérons n repères R1 , R2 , …, Rn en mouvement les uns par rapport aux autres. Le torseur

cinématique du mouvement Ri par rapport à Ri-1 au point P s’écrit :

1

1

1

ii

ii

P

RR

RRPV

RR

ii et

1RRn

1

2

ii RR

n

i



Travaux dirigés:

MECANIQUE GENERALE

Niveau 1



TD

Mécanique Générale

Niveau 1

CHAPITRE 1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

OUTILS MATHEMATIQUES

VECTEURS & TORSEURS

Réalisé par

Wiem CHAANBANE

Exercice 1 :

Si zyx ,, sont les vecteurs unitaires d’une base orthonormée directe.

On donne : 1111 ,, zyxV , 2222 ,, zyxV et 3333 ,, zyxV .

1 - Calculer 21 VV puis 12 VV .

2 - Calculer 11 VV

3 - Calculer 21 .3.2 VV

4 - Calculer )( 321 VVV puis 3121 VVVV . Comparer les résultats.

Exercice 2 :

Soit un espace vectoriel muni d'un repère orthonormé kjiO ,,,

A/ Soit un repère fixe ),,,( 0000 zyxOR , Soient des repères mobiles ),,,( 1111 zyxOR , ),,,( 2222 zyxOR .

On note: 10,xx 10,yy , 21,xx 21,zz .

1- Faire des représentations planes permettant de visualiser chaque changement de base.

2- Déterminer les expressions des vecteurs de la base 2b exprimés dans 1b .

3- Déterminer les expressions des vecteurs de la base 0b exprimés dans 1b .

4- Déterminer directement les produits scalaires: 21 xx , 21 zx , 21 xz .

5- Déterminer directement les produits vectoriels: 21 zz , 21 zy ,21 yz

B/ Soit les vecteurs 1,4,3A , 3,6,2 B , 2,1,5 C , 5,4,1 D

1- Calculez les produits scalaires : .A B

, .A C

, .A D

, .C B

, .B D

et .C D

2- Calculez les produits vectoriels: A B

, A C

, A D

, C B

, B D

et C D

C/ Soit deux vecteurs u

et v

tels que:



2u

et ,4

i u

; 4v

et 5

,4

i v

; 3w

et 3

,4

i w

1- Représentez les vecteurs dans le plan , ,O i j

2- Calculez les coordonnées cartésiennes de u

, v

et w

dans la base , ,i j k

3- Calculez directement (en utilisant la formule de calcul pratique): .u v

, .u w

et .v w

4- Calculez directement (en utilisant la formule de calcul pratique): u v

,u w

et v w

Exercice 3 :

A/ Soit les vecteurs forces 0,,0 AA YF ; BBB ZYF ,,0 et CCCC ZYXF ,, appliqués à

un solide aux points 0,0,aA , 0,,0 bB et cC ,0,0 dans un repère zyxOR ,,, .

1/ Ecrivez le torseur de chaque force à son point d’application.

2/ En déduire le torseur de chaque force en O.

3/ Donner le torseur équivalent à la somme.

B/ Soit les vecteurs forces AAAA ZYXF ,, et 0,, BBB YXF appliqués à un solide aux points

0,,baA et dbcB 4,, dans un repère zyxOR ,,, .

1- Ecrivez le torseur A et B on leurs points puis en O ?

2- Calculer la somme de deux torseurs ?

3- Déterminer le torseur équivalent aux torseurs A et B

?

4- Calculer le comoment de deux torseurs A et B



Exercice 4 :

A/ Soit un torseur de résultante: 4,1,3 R et de moment au point O: 0,3,2)( OM

Calculer le torseur au point A(2,-1,4) et B(6,-3,-2).

B/ On considère une poigné de serrage d’un mécanisme, à l’extrémité

de la quelle s’exerce une action mécanique représentée par le glisseur

FA, , tel que dans un repère orthonormé directe zyxOR ,,, :

zFxFF zx et

ydOA . La vis de serrage a pour axe zO, .

1 – Déterminer le moment au point O du glisseur FA, .

z

F

o y

x

2 – En déduire le moment du glisseur FA, par rapport à l‘axe zO, (moment de serrage) et par rapport à

l’axe xO, (moment de basculement).

C/ On pose que la poutre ci-dessous est soumise à l’effort yFxFF yx

y

F

O l

A x

Ecrivez le torseur de F en A puis en O.

D/ Soient deux vecteurs glissants : en A(1,0,0)

aaU 1

1et en B(0,1,0)

12

aV

a) Ecrivez le torseur A et B on leurs points puis en O.

b) Pour quelle valeur de a sont-ils équivalent à un Couple ? à un Glisseur ?

c) Calculer le moment du couple et déterminer le support de glisseur.



TD de MG

Niveau 1

CHAPITRE 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

STATIQUE

Réalisé par

Wiem CHAANBANE

Exercice 1 : Système de serrage simultané

Le mécanisme représenté sur la figure 1 et schématisé sur la figure 2 permet de serrer simultanément

deux pièces (1) et (2), de masse négligeable, sur le bâti (0) à l’aide des brides (3) et (4).

Pour l’étude statique, les liaisons des pièces (1) et (2) avec le bâti peuvent être considérée comme des

liaisons encastrement.

yHBDyHACyhxLBJyhxLAI

,,, (L, H et h constantes positives)

.4/),(),(),(),( 4433 yyxxyyxx

Le plan ),,( yxO

de normal z

est un plan se symétrie pour notre mécanisme.

Entre la pièce (5) et le bâti (0) on a une liaison appui plan, l’action de l’écrou (8) sur (6) en E (effort de

serrage) est donnée .yFF

L’action du ressort (7) est négligée.



Questions :

On se propose de déterminer les efforts de serrage 2/41/3 FetF

appliqués respectivement en I et en J. Pour

cela :

1- Isoler (3) + (4) + (5) + (6) et appliquer le théorème de la résultante générale en projection sur .x

2- Isoler (3) et appliquer le théorème du moment statique par rapport au point A.

3- Isoler (4) et appliquer le théorème du moment statique par rapport au point B.

4- Isoler (6) et appliquer le théorème de la résultante générale en projection sur y

.

5- Déduire les efforts de serrage en I et J.

Exercice 2 :

La figure ci dessus représente une potence de maintien d'un palan. Le système du palan exerce sur la

potence au point M un effort P=2000 daN susceptible de se déplacer le long de la poutre (3)

Les liaisons en A, B et D sont des liaisons pivots d'axe horizontal.

On traitera le problème dans le plan de la figure.

1. Isoler l'ensemble de la potence et faire un bilan des inconnues ?

2. Isoler la tige 2 et déterminer les actions 2/1A et 2/3A ?

3. Isoler la poutre 3 et déterminer l’action 3/1A ?



Exercice 3 :

On se propose de déterminer les actions exercées sur les liaisons en A et C. on suppose que les liaisons sont

symétriques par rapport au plan ).,,( yxE

Sont donnés :

).0,,(),0,,(),0,,(),0,,(,5000,2000 22 baGfeChgBdcANFFNP

1. Isoler et transférer en E les torseurs correspondants aux actions mécaniques qui s’exercent sur la lame

(2).

2. Appliquer le PFS sur (2) et résoudre le système d’équation correspondant.

3. Choisir un autre sous ensemble l’étudier statiquement pour réduire le nombre d’inconnues.

Une lame (2) de compacteur (schéma(1)) de poids

yPP

22 , utilisée sur les chantiers pour tasser et

égaliser les sols, est articulés en C sur un châssis (1) et est

manœuvrée en A par un vérin hydraulique, composé d’un

corps (3) et d’une tige (4), articulé en B sur (1). Les

liaisons en A, B et C sont des liaisons pivots dont les

centres portent le même nom.

On se place dans le plan de symétrie de l’appareil, la

lame est en équilibre.

Schématise le poids de la lame et désigne l’action du sol

(0) sur la lame (2) par F

.



4. Déterminer les actions mécaniques en A et en B.

CORRECTION TD N° 2

Il s’agit d’un problème plan suivant ).,,( yxO

1. On isole (3) + (4) + (5) + (6)

Inventaire des actions/

Action de (1) sur (3) en I (appui ponctuel)

0

0

0

0

03/1

I

I

X

Action de l’écrou (8) en E

0

0

0

0

0

FF E

Action de (0) sur (5) en O (appui plan)

O

OO

N

Y 0

0

0

0

5/0

Action de (2) sur (4) en J

0

0

0

0

04/2

J

J

X

Théorème de la résultante générale : 0

s

Par projection sur :x

0. JI XXxs

(1)

2. On isole (3)

Inventaire des actions

Action de (1) sur (3) en I

0

0

0

0

03/1

I

I

X

Action de (6) sur (3) en C :

0

4/sin4/(cos3

3/6

c

Cc

C

yxXxXs

),,(

3/6

0

0

0

02

22

2

zyx

C

C

CX

X

Action de (5) sur (3) en A (liaison pivot)

0

0

0

0

3/5 A

A

AY

X

Théorème du moment statique au point A : 0

A

sACCA

3/63/6



C

C

C

XH

X

X

H

2

2

0

0

02

22

2

0

0

0

C

C

C

A

XH

X

X

2

2

0

0

02

22

2

3/6

3/13/13/1 sAIIA

I

I

hX

X

h

L

0

0

0

0

0

0

I

I

A

hX

X

0

0

0

03/1

Par projection sur z

02

2. ICA hXXHz

(2)

3. on isole (4)


action de (2) sur (4) en J

0

0

0

0

04/2

J

J

X

action de (5) sur (4) en B

0

0

0

0

4/5 B

B

Y

X

action de (6) sur (4) en D

02

2

2

24

4/6

D

DDD yYxYyYs

),,(

4/6

0

0

0

02

22

2

zyx

D

D

DY

Y

Théorème du moment résultant au point B

0

B

J

J

JB

hX

X

h

L

sBJ 0

0

0

0

0

4/24/24/2

J

J

B

hX

X

0

0

0

04/2

D

D

D

DB

HY

Y

Y

HsBD

2

2

0

0

02

22

2

0

0

4/64/64/6



D

D

D

B

HY

Y

Y

2

2

0

0

02

22

2

4/6 D’où : 02

2. DJB HYhXz

(3)

4. on isole (6) :


Action de l’écrou (8) en E

0

0

0

0

0

FF E

Action de (3) sur (6) en C

0

0

0

02

22

2

6/3 C

C

CX

X

Action de (4) sur (6) en D

0

0

0

02

22

2

6/4 D

D

DY

Y

Action de (5) sur (6) en K liaison pivot glissant

K

K

K

N

X

0

0

0

06/5

Théorème de la résultante générale : 0

s

Par projection sur y

02

2

2

2. DC YXFys

(4)

5. on a un système de 4 équations à 4 inconnues ),,,( DCFI XXXX

Notre système admet une solution unique

(1) JI XX ; (3) devient 0

2

2 DI HYhX ; (3) + (2) DC YX

Donc (4) 02 CXF 2/FXC

(2) àhXFH

I

2

.2

2

h

HFX I

2 Et

h

HFX F

2

D’où

0

02

1/3

h

HF

F

et

0

02

1/4

h

HF

F



TD

Mécanique Générale

Niveau 1

CHAPITRE 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

CINEMATIQUE

Réalisé par

Wiem CHAANBANE

Exercice 1 :

On considère les repères kjiOR ,,,0 , kvuOR ,,,1 et tnuOR ,,,2 tels que ),(),( vjui

et ),(),( tknv . Un point M est tel que nROM , avec R = constante.

a) Donnez les expressions de n et t dans 1B

b) Donnez les expressions de nvu ,, et t dans 0B

c) Donnez les coordonnées cartésiennes du point M dans 0B

d) Donnez les expressions de la vitesse 0/ RMV et de l'accélération 0/ RM du point M par

rapport au repère de référence 0R .

e) Donnez les expressions de la vitesse 1/ RMV et de l'accélération 1/ RM du point M par

rapport au repère de référence 1R .

Exercice 2

Considérons une centrifugeuse de laboratoire composée d’un bâti (S0), d’un bras (S1) et d’une

éprouvette (S2) contenant deux liquides de masses volumiques différentes.

Sous l’effet centrifuge due à la rotation du bras (S1), l’éprouvette (S2) s’incline pour se mettre

pratiquement dans l’axe du bras et le liquide dont la masse volumique est la plus grande est rejeté vers le fond

de l’éprouvette, ce qui réalise la séparation des deux liquides (voir figure ci-contre).

Soient : zyxOR ,,, un repère lié à (S0).

11,,,1

zyxOR un repère lié à (S1).

1z G

β

β

1y

2x

2y

x x

S1

S0

A O

S2

1zz

1y

y

x



1222 ,,, zyxOR un repère lié à (S2).

Les solides (S0) et (S1) ont une liaison pivot d’axe (O, x ).

Les solides (S1) et (S2) ont une liaison pivot d’axe (A, 1z ) telle que 1yaOA (a constante positive

exprimée en mètres)

Posons : ),( 1yy avec t (ω constante positive exprimée en radians par seconde).

),( 2xx ; étant une fonction du temps inconnue.

Soit G le centre d’inertie de (S2) tel que : 2xbAG ; (b=cste>0 ; [m])

1. Déterminer le vecteur rotation de la base du repère 1R , lié au solide (S1), par rapport à la base du

repère R : RRRS 11 ?

2. Déterminer le vecteur rotation de la base du repère 2R , lié au solide (S2), par rapport à la base du

repère R : RRRS 22 ?

3. Déterminer le vecteur vitesse du point G par rapport au repère R : RGV ?

4. Déterminer le vecteur accélération du point G par rapport au repère R : RG ?

Exercice 3 :

Soit zyxOR ,,, repère lié au bâti (0) d’un régulateur à boules schématisé comme l’indique la

figure suivante :

1y

3y

1

y 2y 2x

B

2 3

z 1 C

A 3x

1z O O D x

0 4

x 1z

Soient : 111 ,,, zyxOR Repère lié au bâti (1)

1222 ,,, zyxAR Repère lié au bâti (2).

1333 ,,, zyxBR Repère lié au bâti (3).



114 ,,, zyxDR Repère lié au bâti (4).

Le corps (1) a une liaison pivot d’axe xO, avec (0).

Le levier (2) a une liaison pivot d’axe

1, zA avec (1).

Le levier (3) a une liaison pivot d’axe

1, zB avec (2).

La pièce (4) a une liaison pivot glissant d’axe xO, avec (0).

La pièce (4) a une liaison pivot d’axe

1,zC avec (3).

On pose :

1

, yyt ;

2, xxt .

1yrOA 0r ; 2xlAB 0l ;

1yrDC et 3xlBC .

Le point D est située sur l’axe xO, .

QUESTIONS :

Déterminer :

1. les vecteurs rotations: 01 , 02 , 03 , 23 .

2. les vecteurs vitesse du point B : 1BV , 01BV , 0BV .

3. les vecteurs vitesse du point C : 2CV , 02CV , 0CV .

4. les vecteurs accélération du point B : 1B , 01 B , 0B .



CORRECTION TD N° 3

Exercice 3 : Régulateur à boules

1. xzx

)0/1()1/2()0/2( ; )0/1( 1

xz

)0/1()1/3()0/3( 1

xzxzz

)2/0()0/3( 2)2/3( 111

2. 1111 21 )1/(

RRRR xdt

dly

dt

drABOA

dt

dOB

dt

dBV

2212 )( )1/2( ylxzlxl

2 )1/( ylBV

)0/1()0/1()0/1(

BAAVBV

xxlAVAV

)1/()0/( 2

xyxlOAdt

dOA

dt

dRR

) sin (cos 110

1111 sin )( sin 0

zlyxrzlydt

dr

R

1 )sin()0/1( zlrBV

)0/1()1/()0/( BVBVBV

12 )sin( zlryl

11 )sin( sin cos)0/( zlrxlylBV

0000

)0/( 1 RRRR ABdt

dly

dt

drABOA

dt

dOB

dt

dBV

21121 )()())0/2(())0/1(( xxzlyxrxlyr

)sin(cos)( 111 yxxzlzr

xlylzlrBV

sin cos )sin()0/( 11

3. 2222

)2/( RRRR BCdt

dlAB

dt

dBCAB

dt

dAC

dt

dCV

22

32 l RR

xdt

dlx

dt

d

3)2/3( xl

31 2 xzl

3 2)2/( yLCV

BCBVCV )0/2()0/2()0/2(

BCBVOBV )0/2()2/()/(



BCABdt

dOB

dt

dRR )0/2(

20

BCxdt

dly

dt

dr

R )0/2(21

0

BCxxzlyxr )0/2() ( 211

321 )0/2( ylylzrCV

) sin (cos )0/2()2/()0/( 11 xylzrCVCVCV

213 ylzryl

xlzrCV

sin2 )0/( 1

00000 321)0/(

RRRRR xdt

dlx

dt

dly

dt

drBCABOA

dt

dOC

dt

dCV

321 )0/3()0/2()0/1( xlxlyr

111111 sin (cos) ( sin (cos) ( yxxzlyxxzlyxr

321 )0/2( ylylzrCV

4. 1

11 222)1/()1/(R

RRy

dt

dlylyl

dt

dBV

dt

dB

21222 )1/2( yzlylylyl

22 )1/( xlylB

0

)0/1()0/1(R

BVdt

dB

)1/()0/1(2)0/1()1/()0/( BVBBB



Références bibliographiques

[1] : Jean Luis Fanchon, <Guide de mécanique sciences et technologies industrielles> ; NATHAN ;

2003.

[2] : Claude Chéze-Eléne Lange, <Mécanique générale> ; ELLIPSES, 1995.

[3] : Bernard Gendreau, <L’essentiel de la mécanique du point matériel> ; ELLIPSES, 1993.

[4] : Yves Bremont – Paul Reocreux, <Mécanique1 : mécanique du solide

indéformable> ;ELLIPSE, 2003.

[5] : Abdelmajid FATNASI ; <mécanique générale des solides> ; EDITON un plus 1999.

Documents

Chap.1: OUTILS MATHEMATIQUES VECTEURS & TORSEURS