mec.desfluides(resuméinteressantdejavu)

1

Mécanique des Fluides

Licence Physique-Chimie – Semestre 6

GREFFIER Olivier

2

Introduction

Licence Physique-Chimie – Semestre 6 – Mécanique des fluides

Introduction

3

Différence solide/fluide :

Solide : état condensé de la matière, structuré et ordonné.

Fluide : corps dont les molécules ne sont pas liées entreelles. Sa structure est désordonnée.

Différence liquide/gaz :

Liquide : état condensé de la matière, non compressible.

Gaz : compressibilité. Pratiquement pas d’interaction entremolécules.

Un liquide est un milieu continu et déformable(description macroscopique).


Introduction

4SOLIDE LIQUIDE GAZ


Introduction

5

Diagramme de phase :

caractérisation des différents états de la matière


Introduction

6

Définition d’un fluide: le modèle de milieu continu

Un fluide est un milieu matériel continu, déformable et qui peut s’écouler.

-1- -2- -3-

-1- Milieu continu:

On doit au préalable se donner une échelle de description.

L'échelle macroscopique, celle du monde qui nous entoure, n'est pas

adaptée notamment parce que le fluide n'a pas de cohérence spatiale à cette échelle

(au contraire d'un solide cristallin).

L'échelle microscopique ne convient pas non plus car il est techniquement

impossible de collecter positions, vitesses, accélérations... Pour toutes les molécules

de fluide ; de plus, cela n'aurait aucun intérêt.


Introduction

7

-1- Milieu continu:

Nous allons donc nous placer à une échelle intermédiaire, l'échelle

mésoscopique, échelle caractéristique des particules fluides. On considèrera

toujours des domaines fluides macroscopiques dont la dimension caractéristique L

est telle que L>> où est la distance moyenne intermoléculaire.

(gaz: ≈100nm ; liquide: ≈50Ǻ)

On considéra donc toujours un grand nombre de molécules que nous regrouperons

par paquets. Un paquet sera appelé particule fluide.


Introduction

8

-2- Milieu déformable:

Un milieu est déformable lorsque l’on peut considérer que les différents points matériels qui

le constituent sont à des distances mutuelles variables.

-3- Milieu qui peut s’écouler:

Les particules d’un fluide sont très mobiles les unes par rapport aux autres: elles se

déplacent facilement sous l’action de très faibles efforts. Cette propriété confère au fluide la

capacité de s’écouler et de prendre la forme du récipient qui le contient.

Les liquides n’ont pas de forme propre mais un volume propre. Les gaz n’ont ni l’un ni

l’autre, ils tendent à occuper tout l’espace offert.

SOLIDE LIQUIDE GAZ


Introduction

9

Compressibilité :

Les fluides sont compressibles!! Ils ont la capacité de changer de volume

sous l’action de forces extérieures.

10 1 5 1

liquide gazavec

1

et

5

1

.10 0

T

T

Pa

V

V P

Pa

La compressibilité d’un liquide est si faible que les liquides sont considérés

comme incompressibles.


Introduction

10

Masse volumique :

Densité :

rapport de masses volumiques (sans unité)

(c’est un indice de comparaison, souvent

par rapport à l’eau pour les liquides,

par rapport à l’air pour les gaz)

3

3 3

3 3

Eau: H1000 / ; :

, ,

uile

Air: Héliu

900 /

1,2 m:9 / ; 0,18 /

,

e hu

a he

kg

m

mx

kg m kg m

kg m kg

y z tV

m

/eau air

d


Introduction

11

Hydrostatique


Hydrostatique


Hydrostatique

12

Comment traiter un problème de mécanique des fluides?

Il faut étudier une particule fluide.

On peut lui appliquer les trois principes de conservation suivants:

Principe de conservation de la masse (principe de continuité)

Principe de la conservation de la quantité de mouvement (2éme loi de

Newton)

Principe de conservation de l’énergie (1er principe de la

thermodynamique)


Hydrostatique

div 0vt

( )ext

d mvF

dt

U W Q

13

On peut classer les forces qui agissent sur une particule fluide:

de deux types: forces de volume et de surface

Forces de volume: (forces de pesanteur, magnétiques, électriques, …)

elles sont proportionnelles aux éléments de volumes et qui exercent des

actions à distances sur les molécules de la particule fluide.

Forces de surface : (interactions moléculaires entre les molécules

proches de deux particules fluides) donc proportionnelles aux éléments

de surface (force de pression). Forces de Van der Waals


Hydrostatique

14

Notion de forces dans les liquides:

Soit une surface fermée S délimitant un volume V de fluide:

On définit le tenseur des contraintes par

avec la matrice ou tenseur T:

avec la composante selon de la contrainte appliquée

à la surface à .

a

. . . .

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

xx

T T T

T T T T

T T T

T Ox

Ox

dF T dS T dS T dS n

vec la composante selon de la contrainte appliquée

à la surface à .

xzT Oz

Ox

T

d F

dS

V

T

x

y

z

Txx

Txy

Txz


Hydrostatique

15

1 3 2

3 2 1

2 1 3

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

T T T N T T

T T T T T N T

T T T T T N

On démontre par isotropie et symétrie à l’équilibre que le tenseur est

symétrique.

Les éléments Ni représentent les contraintes normales et les éléments Ti les

contraintes tangentielles.

les composantes tangentielles sont appelées contraintes de cisaillement.

La composante normale est appelé pression (hydrostatique).


Hydrostatique

16

; unité SI: la pascal:NF

P PaS

0 0

0 0 .

0 0

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

T T T p

T T T T p p I

T T T p

Dans un fluide dit « parfait », T1=T2=T3=0.

Dans une grande majorité des fluides, N1=N2=N3=-P.

Les forces de surfaces dans les liquides sont caractérisées par une grandeur:

la pression hydrostatique:


Hydrostatique

17

x

y

z

(surfaciques) : Forces de pression

(volumique) : Poids de l’élément de fluide

y

xz

Le fluide étant au repos, la 1ere loi de Newton donne :

0volumiques surfaciquesF F


Hydrostatique

Supposons une particule fluide élémentaire:

18

Selon Oy : ( , , ) ( , , ) 0

Selon Ox : ( , , ) ( , , ) 0

( , , ) ( , , ) donc

( , , ) ( , , )

la p

P x y z x z P x y y z x z

P x y z y z P x x y z y z

P x y z P x y y z

P x y z P x x y z

ression reste dans toute surface

sel

c

on Oz : ( , , ) ( , , ) 0

soit

onstante perpendiculaire au champ de pesant

( , , )

e r

u

g x y z P x y z x y P x y z z x y

P x y z z

( , , ) 0

( , , ) ( , , ) soit 0 ;

Pour un élèment de volume ment petit, 0, d'ou

0

dP

P x y z g z

P x y z z P x

gdz

y zg

z

z


Hydrostatique

19

Généralisation de la loi de la statique des fluides:

vv v

v

F de résultantes F , porportionnelles au volume de la particule fluide F =f .

on note , on peut alors écrire le bilan des fo

orces vol

rces appliquées dans la direction

umiques

f , ,x y zf f

V

xf O

( , , ) ( , , ) . 0

( , , ) ( , , ) soit 0 ;

Pour un élèment de volume ment petit, 0, d'ou 0

le meme raisonnement effect

x

x

x

P x y z y z P x x y z y z f x y z

P x y z z P x y zf

x

dPx f

dx

ué dans les directions et conduit à:

0 et 0

soit la forme généralisée de la loi fondamentale de l'hydrostatique

:

y z

Oy Oz

dP dPf f

dy dz

gra

d P

0

vf


Hydrostatique

20

La différence de pression entre deux points

quelconques d'un liquide en équilibre est égale au poids

d'un cylindre de liquide de section unité et ayant pour

hauteur la dénivellation entre les deux points.

P1

P2

h

Loi fondamentale de l’hydrostatique dans un champ de pesanteur uniforme

et constant :

2 2

1 1

2 2 2 11 1 21

soit ; en intégrant 0

d'ou (

) s it ( )o

P z

P z

dPg dP gdz dP gdz

dz

P P gP P g z z Pz z

1 2 . .P P P g h

Les plans horizontaux sont appelés isobares.


Hydrostatique

21

Conséquence: théorème de Pascal.

Dans un liquide incompressible, soient 2 points M(z) et M0(z0).

0 0

0 0

0 0 0 0 0

0

En M , on produit une variation de pression . Au point M,

soit en appliquant la loi de l'hydrostatique:

donc

p p g z z

p p p p

p p p p g z z p p

p

p

p

p

Dans un fluide incompressible à l’équilibre, toute variation de pression produite

en un point se transmet intégralement et instantanément en tous les points du

fluide.

Application: presse hydraulique.

'S

F Fs

FF’sS


Hydrostatique

22

Application: cas des fluides parfaits compressibles, soit (z):

cas d’une évolution isotherme (T=cste).

00 0

0

0

0

0

l'équation des gaz parfaits est: soit .

donc avec soit

d'ou = or la loi fondamentale de l'hydrostatique donne

donc

PV nRT PV cste

n z M P z PRT RT RTP z V z PV P z z cste

V z M M z M

P zz dP z z gdz

P

P zdP z

0

0

0

0 0

( )( )

0

0 0

0

0

0

soit

ainsi donc ln

soit ln ln ln

d'ou

P z z zP z z

PP

Mgz

RT

gdP Mggdz dz dz

P P P RT

dP Mg Mg Mgdz dz P z

P RT RT RT

P zMgP z P z

RT P

P z P e


Hydrostatique

23

Application: cas des fluides parfaits compressibles, soit (z):

cas d’une évolution à température variable.

1

00 0 0 0

0 00

l'évolution isentropique est caratérisée par l'équation de type adiabatique

donc soit

or la loi fondamentale de l'hydrostatique donne

PV cste

P z P z zPM cste V V P z V z PV

Pz

0

1

0

1

1( )

10 0

0 1 1 1

0 00 0

( )1 1

10 0

01 10

0 0

1

00

donc soit ainsi

donc soit 1 1

1d'ou

P z z

P

P z

z

P

dP z gdz

P z g gdPdP gdz dz P dP dz

P P P P

g gP z P P z

P P

gP P

P

11

00

1

0

1

00

0

0 0

0

1 soit 1

l'équation des gaz parfaits est: soit d'ou 1 1

gz P P z

P

MPV nRT

P RT

Mgz

RTP z P


Hydrostatique

24

Exercice : calculer PB et 2 ? h1= 27,6 cm ;

h2= 20 mm ; 1= 1 g.cm-3

Applications: capteurs de pression

Vases communicants : les surfaces libres différentes d’un

même fluide sont à la même côte.

Principe du tube piézométrique : la mesure de la hauteur du

fluide dans le tube permet de déterminer la pression effective.

M

h

0Mp p gh


Hydrostatique

25

Applications nombreuses et importantes de cette loi de l’hydrostatique:

Pression de l’eau dans les maisons:

exemple la ville de paris qui a construit ses réservoirs en hauteur par rapport

à la ville afin d’assurer la pression dans les étages.

Presse hydraulique:

freins, presse (exemple: les pinces de désincarcération des pompiers).

Capteurs de pression

Le calcul des forces de pression exercées par un liquide sur une paroi joue

un rôle capital dans la réalisation de nombreux ouvrages:

Barrages

Réservoirs

Sous-marins, capsule spatiale

….Licence Physique-Chimie – Semestre 6 – Mécanique des fluides

Hydrostatique

26

Différentes sortes de pression :

Pression absolue : pression réelle qu’un fluide exerce sur la paroi d’un récipient.

Pression relative ou effective : Peff=Pabs-Patm

Vide partiel : vide partiel= Patm - Pabs

Pression atmosphérique : poids exercé par une colonne d'air sur une surface donnée au sol.En France : La plus élevée : 1050 hPa à Paris le 6 Février 1821 .

La plus basse : 947 hPa à Boulogne-sur-Mer le 25 Décembre 1821 .

Dans le monde : La plus élevée : 1083 hPa à Agata ( Sibérie ) le 31 Décembre 1968 .

La plus basse : 870 hPa au centre du typhon Joan aux Philippines le 14 Octobre 1970 .

La pression atmosphérique est l'élément vital pour prévoir le temps ; même si la pression atmosphérique

"prévoit" le temps à 80 %, il reste 20 % consacrés aux autres éléments de la météorologie

Pression normale : P0 = 1013,25 hPa = 760 mmHg = 1 atm (latitude 45°)

Pression sanguine : pression artérielle moyenne= 90 mmHg.

La tension artérielle donne 2 chiffres, la maxima et la minima ou la systolique (contraction du

cœur) et la diastolique (décontraction du coeur).

Exemple : une tension « normale » de 12/7 signifie systolique à 120 mmHg et diastolique à 70

mmHg


Hydrostatique

27

Conversion des unités de pression

Pascal bar 1 kg.cm-2 atm (atmosphère)

1 Pascal 1 1.10-5 1,0197.10-5 9,8692.10-4

1 bar 1.105 1 1,0197 9,8692.10-1

1 kg cm-2 9,8067.104 9,8067.10-1 1 9,6784.10-1

1 atm(atmosphère)

1,0133.105 1,0133 1,0333 1

1 mm Hg 133,32 1,3332.10-3 1,3595.10-3 1,3158.10-3

1 mbar 1.102 1.10-3 1,0197.10-3 9,8692.10-4

1 inch Hg 3386 3,386.10-2 3,453.10-2 3,345.10-2

1 PSI 6894,8 6,8948.10-2 7,0306.10-2 6,8046.10-2

Unités S.I. : le Pascal Pa .


Hydrostatique

28

p2

Calcul des forces de pression sur des parois: poussée hydrostatique

1 2 1 2la force de pression sur un élément de surface est . : dF p dS 2

1

1 2 1 2

.

donc

F d F p dS

1 d F2 d F

3 d F

1 2 F

p1

1 2 2 1

1 2 2 11 2

1 2 2 11 2

1 21 2

. .

F F F

p d S p d S

p d S p d S

p p Sn

ainsi dans notre exemple, la force appliquée sur la paroi est

S

1 2d F


Hydrostatique

29

Application au cas d’un barrage:

Calculons la force totale appliquée sur le barrage par l’eau.

La pression de l’air vaut p0

eau: =csteh

L

air

air

béton

g


Hydrostatique

30

Application au cas d’un barrage:

1 pd F

2 pd F

7 pd F

3 pd F

5 pd F

4 pd F

6 pd F

8 pd F

Que vaut pi?

Il faut donc connaître la pression en chaque point de la surface


Hydrostatique

31

0

0

1 2 1 2 1 2

d'après la loi de l'hydrostatique, la pression dépend du poids de la colonne de fluide:

en effet est la position de la surface libre, soit

ainsi . . .

p p g h z

z h p p

F p z d S p z dSn p z d

1 2

1 2 1 2 1 20 0

2

1 2 1 2 1 20 0

2

0

1 2 0

0

0

or . donc . .

.

2

.

2

L h

h

L h

S n

dS dx dz F p z dx dz n p z dx dz n

zF dx p g h z dz n L p z g hz n

hF L p h g

1 2

2

2 1 2 1 1 2 1 2 1 20 0 0 0

0

1 2 2 1

de plus la pression sur la face 2 du barrag

2

e est constante et vaut

donc do

nc

n

hF p hLn p hLn L p h g n p hLn

p

F F F

2

1 2 2h

F gL n

h

L


Hydrostatique

32

Déterminons le point d’application C de cette force: le centre de poussée.

Il est déterminé par le calcul du moment global des forces de pression.

La force résultante exercée sur le barrage est donc:

0 0 0effP P P P g h z P

g h z

2

1 22

R

hF gL n

Cette force est liée à la pression effective :

R

S

OM d F OC FM


Hydrostatique

33

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

( )

( )

eff

S

L h h L L h

L h L h L h L h

S

xi y j zk p dS j

xi y j zk g h z dzdx j xi g h z dzdx j zk g h z dzdx j

x g h z dzdx k z g h z dzdx i g xdx h z dzk g dx z h z d

OM

z

d F

M

2 2 2 3 2 2 3

0

0 0

2

2

2

0

2

= 2 2 2 3 2 2 6

( ) = 2 2

2

2

2 3

L h h

L

c c c c cR c c

h L hg

i

x z z z L h

hO

hg hz k g x h i g k L i

h hx i y j z k gL j gL x i j z kC F gL x k

k

z

L i

ij

Par analogie, la position du centre de poussée est :

2

0 soit 2 3

3

c

c

c

Lx

L hy OC i k

hz

C

RF


Hydrostatique

34

Paradoxe hydrostatique :

La force exercée sur une paroi ne dépend que de la hauteur de fluide

et est indépendante du volume et de la forme du récipient.

1 1 1

2 2 2 1 0 2 3

3 3

1

3

2 3 31 2

or d'après la loi de l'hydrostatique

ainsi si alors

F p S z

F p S z p p gh p p

F p S z

S S S F F F

1F 2F 3F

h h h


Hydrostatique

3535

Le théorème d’Archimède ou poussée d’Archimède.

La résultante des forces de pression sur un corps immergé est verticale, dirigée vers le haut et égale au

poids du liquide déplacé. Cette force s’applique au centre de gravité du volume immergé.

fluide déplacé fluide déplacéA V g

Hydrostatique

Licence Biologie Environnement – Semestre 2 – Mécanique des fluides

2

1 1

2

VV

Vi

1A V g 1A iV g

3636

Hydrostatique

Applications nombreuses et fondamentales: Etude de la flottabilité et de la stabilité des navires.

•Flottabilité (inverse du poids apparent) positive: Poids corps<Poussée Archimède

•Stabilité: position du centre de poussée par rapport au centre de gravité

Notion de poids apparent : pour tout corps immergé dans un fluide et soumis au champ

de pesanteur, ce corps ressent alors la résultante du poids et de la poussée d’Archimède:

fluide déplacé fluide déplacé corps corps fluide déplacé fluide déplacé

corps fluide dépla corps fluide déplacécé

( )

si alors

a

app

pp AF P mg V g V V g

V V F V g

Licence Biologie Environnement – Semestre 2 – Mécanique des fluides

appF

2

1 1

2

VV

Vi

1

2 1 2 1

app AF P mg V g

V g V g V g

1

2 1

app A i

i

F P mg V g

V g V g

37

Notion de pression osmotique :

On appelle osmose le transfert de solvant (eau dans la plupart des cas) à travers une

membrane sous l'action d'un gradient de concentration.

Le phénomène d'osmose va se traduire par un flux du solvant dirigé de la solution diluée,

milieu hypotonique, vers la solution concentrée, milieu hypertonique.

Si l'on essaie d'empêcher ce flux en appliquant une pression sur la solution concentrée, la

quantité d'eau transférée par osmose va diminuer. Il arrivera un moment où la pression

appliquée sera telle que le flux d'eau va s'annuler.

cette pression d'équilibre est appelée pression osmotique.

Application: traitement des eaux usées par osmose inverse


Hydrostatique

38

A l'équilibre:

PC = PA+ solg(h+l)

PD = PF + eaugl

PF = PA = Po

= PC - PD~ solgh

La pression osmotique a pour valeur

= sol.g.h

Pression osmotique :

Loi de Van t'Hoff :

La pression osmotique d'une solution diluée est égale à la pression d'un gaz

composé de la substance dissoute qui occuperait le même volume, à la même

température : = c.R.T

avec n nombre de moles de soluté, .V = n.R.TLicence Physique-Chimie – Semestre 6 – Mécanique des fluides

Hydrostatique

39

Notion de tension superficielle :

La tension superficielle est la force qui se manifeste à la surface d’un liquide due à

la cohésion des molécules qui le constitue (forces de Van der Waals).

Un liquide avec une surface libre possède une énergie superficielle Es

proportionnelle à l’aire de cette surface S:

SES .

Pour minimiser cette énergie, la fluide va occuper le volume correspondant à la

plus petite surface (la sphère est une des solutions à ce problème d’ou la goutte).

Techniques de mesure : « arrachement » (balance) ou stalagmométrie

(technique de la goutte pendante)

est la tension interfaciale ou superficielle.

= 0.72 Nm-1 pour l’eau 22°c.

0.4 Nm-1 pour l’eau savonneuse (dépend de la concentration, CMC).

Le savon est appelé tensioactif.


Hydrostatique

40

R2

R1

.F P S

Loi de LAPLACE :

La pression augmente à la traversée

d’une surface de séparation entre fluides.

1 2

1 1P

R R

int int

1 1 1 1 4c A

ext ext

PR R R R R

Exemple d’une bulle :


Hydrostatique

41

Notion de mouillage :

Comportement d’étalement d’un liquide sur un substrat (solide ou liquide)

cos SV SLe

LV

2e

Si , le liquide est dit mouillant

2e

Si , le liquide est dit non mouillant

air air

liquide liquide

Condition d’équilibre :


Hydrostatique

42

Notion de capillarité :

Dans un tube fin (capillaire), sous l’effet de la tension

interfaciale, le liquide va s’élever ou descendre selon

ses propriétés de mouillage.

C’est la loi de JURIN : 2 cos

hgr


Hydrostatique

43

Hydrodynamique


Hydrodynamique

44

Notion de fluides parfaits et de fluides réels:

Dans le cas d’un fluide au repos, les contraintes s’exercent normalement à un

élément de surface quelconque.

Dans un fluide réel soumis à un écoulement, les composantes tangentielles de

la contrainte sont non nulles. Elles sont dues au frottement d’une particule fluide sur

ses voisines et leurs amplitudes sont liées à la viscosité de fluide (on peut les

assimiler à des forces de frottement internes!!).

L’approximation ou hypothèse de fluide parfait revient à négliger ces forces de

frottement, donc négliger les effets de la viscosité. En d’autres termes les actions

des diverses parties du fluide les unes sur les autres se réduisent à des forces de

pression normales aux surfaces.


Hydrodynamique

45

Une ligne de courant est une courbe de

l'espace décrivant un fluide en

mouvement.

En chaque point M(x,y,z) du tube,

l'écoulement a une certaine orientation

illustrée par la direction de son vecteur

vitesse V(x,y,z,t), de coordonnées

Vx(x,y,z,t), Vy(x,y,z,t), Vz(x,y,z,t).

Une ligne de courant à un instant t est la

courbe tangente en chacun de ses points

M (x,y,z) au vecteur V(x,y,z,t).

On appelle tube de courant tout volume

formé uniquement de lignes de courant qui

s’appuient sur un contour fermé.

Lignes de courant. Tubes de courant.

( , )V tA'( , )AV t

. ( , )

( , , ) ( , , ) ( , , )x y z

d k r t

V x y z V

dx dy dz

x y z V x y zk

r V


Hydrodynamique

46

Loi fondamentale de la Conservation du débit :

Nous nous placerons dans le cadre d’un fluide parfait, c’est-à-dire pour un fluide sans viscosité.

div 0vt

Dans le cas d’un écoulement permanent ou d’un fluide incompressible: div 0v

1 1 2 2. . .S V S V S V


Hydrodynamique

47

Bilan énergétique : (théorème de l’énergie cinétique)

2 2

energie des particules qui sont venues occuper le volum

1 - energi

1er principe de la thermodynam

e et

celles qui ont abandonné le

e cinétiq

ique

volume

1

2

ue

-

:

:

2

B B

A A

c

c

B Ac

E

E

S v t

dU E

m v v

S

W

t

d

Q

v

pour un f1

. . luide incompressib le0U T ds p d

AF


Hydrodynamique

BF

Fluide parfait incompressible en régime stationnaire, adiabatique

48

AF


Hydrodynamique

BF

2 2

2 2

3 -

4 - . . . .

1soit 0+

2

1

2

poids B A A B

pression A A B B A A A B B B

A B A B

A B A B

A B A B

B A

B A

W m g h h mg h h

W F l F l p S v t p S v t

p

m v

V p V p p V

mg h h p p V

mg h h p

V

v

mv v

Vp

2 2

1 1

2 2B B B A A Av gh p v gh p

49

21

2v gh p cste C

Pression hydrostatiquePression hydrodynamique

Équation de Bernoulli :

Dans un fluide parfait, incompressible en écoulement permanent, alors en tout

point d’une ligne de courant :

2 2

ou encore 2 2

v p v ph cste gh cste

g g

Forme « énergie »:Forme « hauteur »:

Forme « pression »:

ou C est appelé la charge hydraulique.

Remarque: pour un fluide au repos

0 Bernoulli: relation fondamentale de l'hydrostatiquev gh p cste Licence Physique-Chimie – Semestre 6 – Mécanique des fluides

Hydrodynamique

50Daniel Bernoulli 1700-1782


Hydrodynamique

51

Application du théorème de BERNOUILLI :

Phénomène de VENTURI:

D’après le théorème de BERNOUILLI :

2

2 2

2 2

0 1 0 2 1 2

2 2

1 1. .

2 2

or d'aprés la conservation du débit . . ; et

1donc

2

et et d

1 1 1

2

'ou

A A A B B B

A A B B V A B

V

B A

B AB

AB

A

BA

p v g

p p

p p

h p v gh

S v S v q h h

v v

p p gh p p gh g

qS

ghh

S

h

h

BA

. .

Application: portance des avions,

pulvérisateur, les pompes, ….

L’accélération génère une dépression.


Hydrodynamique

52


Tube de PITOT:h

BA

. .Le point A est appelé point d’arrêt, soit :

VA=0


2 21 1. soit .

2 2

soit 2 2

B

B

A

A

p v p v gh

v gh g p p


Hydrodynamique

53


Théorème de TORRICELLI :

Il caractérise l’écoulement d’un liquide

dans un réservoir à travers un petit orifice :


2 2

1 1 1 2 2 2

1

2 1

1 2 0

2

2

1 1. .

2 2

or et

o t 2s i

p v gh p v gh

v v

v g h h

p p p

h1

h2

v1

v2

Coefficient correctif dépendant de la géométrie de l’orifice : v c c v théoriqueq C Sv C q

Cc=0,6 pour un orifice circulaire simple!!!!


Hydrodynamique

54

2

2 2

1

2

1

2

B

A v

B A B A B A

v

Pv gh p p

q

Pv v g h h p p p

q

Équation de Bernoulli généralisé:

Dans un fluide parfait, incompressible en écoulement permanent, alors en tout point

d’une ligne de courant :

avec , les pertes de charges (dues au frottement sur les canalisations)

et , la somme des puissances échangées entre le fluide et le milieu extérieur

ou P>0, si le fluide reçoit de l

p

P

'énergie (ex: pompe)

et P<0, si le fluide fournit de l'énergie (ex: turbine)

, le débit volumiquevq


Hydrodynamique

55

Les pertes de charges singulières (ou accidentelles) sont des pertes de pression

provoquées par le passage du fluide dans des obstacles comme des vannes,

raccords,élargissement, sortie de réservoir etc. .

Les pertes de charges régulières (ou systématiques)représentent les pertes

d'énergies dues aux frottements du fluide dans une conduite de section constante.


Hydrodynamique

56

Les pertes de charges singulières (ou accidentelles) sont des pertes de pression

provoquées par le passage du fluide dans des obstacles comme des vannes,

raccords, pompes, élargissement, sortie de réservoir etc. .

2

2

UP

R/d 0,5 0,75 1 1,5 2

z 1 0,45 0,30 0,20 0,20

Mesures empiriques: Voir les abaques


Hydrodynamique

57


Hydrodynamique

58

Conséquence loi de POISEUILLE

idée de perte de charge:

h

BA

. .

2 2

0 1 0 2

1 1. .

2 2

et soit

empiriquement, il a été constaté et montré que les pertes de charges régulières v

arient comme

:

A A A B B B

A B

p v gh p v gh

p p gh p p gh

p

p gh

2

ou L: longueur de la conduite, d :diamètre de la conduite, f dépend de de l

a rugosité relative

et du nombre de Reyno

ld

s Re

. 4

2

L vp f

d


Hydrodynamique

59

Diagramme de MOODY


Hydrodynamique

60

Théorème d’EULER :

Le flux de quantité de mouvement à travers une surface de contrôle fixe d’un

écoulement permanent est égale à la résultante des forces extérieures appliquées au

fluide inclus dans le domaine limité par cette surface.

Bilan de quantité de mouvement

. volume surfacev

d Pv v n d F d Td F

dt

1

3

2


Hydrodynamique

61

Application: action d’un jet sur une plaque fixe – pression du fluide sur la plaque

v

d PF d Td

dt

A

B

D

C

1V

2V

E

2 1 2 1m m m

d Pq V q V q V V mg Td

dt

Surface libre EABCDF: à la pression p0 ; Surface plaque EF: à la pression p0+p

0 0 0or . . . . .

donc l'action du jet sur la plaque est:

EABCDF FE EABCDFE FE FE

Td p nd p p nd p nd p nd p nd R

R

R q

2 1 m V V mg

F


Hydrodynamique

62

Équation de Navier-Stokes: 2éme loi de Newton appliquée à un fluide

.3

v

v

Dv

Dt

vv gra

div T

grad p v gr

f

f ad div vd vt

0div v

Dérivée particulaireForces de volumes

Forces de surfaces

Fluide incompressible :

. v

vv grad v f grad p v

t


Hydrodynamique

63

La résolution de l'équation de Navier-Stokes est extrêmement difficile.

À la complexité inhérente aux équations aux dérivées partielles s'ajoutent celle

de la non-linéarité introduite par le terme convectif (advectif) de l'accélération.

La plupart du temps, on essaie de résoudre une version simplifiée de l'équation

en éliminant l'un de ces termes.

Par exemple: à faible nombre de Reynolds,

on peut négliger le terme convectif (équation de Stokes)

et

à fort nombre de Reynolds,

on s'affranchit de la viscosité (équation d’Euler).

v

vf grad p v

t

. v

vv grad v f grad p

t


Hydrodynamique

64

Équation de Navier-Stokes pour un fluide parfait

2

2

:

on peut montrer que:

pour un fluide incompres

.

1.

2

sibl

1

2

v

v

vv grad v f grad p

t

v grad v rot v v grad v

vrot v v f grad p grad

EU

vt

LER

2

2

e et des forces conservatives:

dans le cas d'un fluide soumis uniquement

1

2

à la for

2

e

1

c

p

p

vrot v v grad e grad p grad v

t

vrot v v grad e p v

t

2

de pesanteur:

1

2

pe gz

vrot v v grad gz p v

t


Hydrodynamique

65

Équation de Navier-Stokes pour un fluide parfait

2

2

dans le cas d'un écoulement permanent:

or le long d'une ligne de courant :

1

2

d

0

1

2

onc

vrot v v grad gz p v

t

v

t

grad gz p v rot v v

rot v v rot

2

ainsi nous avons démontré que le long d'une ligne de courant en écoulement

permanent pour un fluide pa

0

10

2

1

rf

ait:

2

v v

grad gz p v

p gz v

2

(Bernouilli)cste


Hydrodynamique

66


Hydrodynamique

67


Hydrodynamique

68


Hydrodynamique

69

Particularité de la mécanique des fluides:

la dérivée particulaire


Hydrodynamique

70

la dérivée particulaire:

. .

.

. .

. .

. .

.

y y y y

x y

x x x

z z z

xx y

zx y

z

z

z

v v v

v v v vv v v

t x y z

v v v vv v v

t x y

v grad

vv v v

t x y z

D v

t

v

Dt

z

v

Ce terme représente l’accélération de la particule de fluide.

Ce terme correspond à la variation de la vitesse de la particule de fluide associée à

l’exploration du champ de vitesse par la particule de fluide. Terme convectif

en mécanique du point: Dv dv

Dt dt

L'approche lagrangienne consiste à suivre les particules de fluides


Hydrodynamique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange

71

2 2

0

, ' ,

lim

.z

t

yx zyx

vy

y

v y

y t

dv v

dt t

dv

vv v r t v r t t

t

v

t

v v

dt

vx

x

v x

x t

v vv v v grad

v

t

vz

z

v z

z t

v vv v

z tv

v v

y txv

yxv

z

1 1M r

2 2M r


Hydrodynamique

1 1,v r t

2 2 , 'v r t

72

Particularité des fluides:

la viscosité

La pression P: composante normale des forces de surface sur une particule fluide

éléments diagonaux du tenseur des contraintes.

La viscosité : « composante »tangentielle des forces de surface sur une particule fluide

éléments non diagonaux du tenseur des contraintes.

la composante tangentielle de la contrainte est:


Hydrodynamique

73

Notion de viscosité :

L’eau, l’huile, le miel ou encore un dentifrice coulent. Ils ont pourtant des

comportements différents.

L’eau coule vite, le miel lentement et le dentifrice sous l’effet d’une contrainte.

Ces différentes propriétés sont liées aux forces de frottements internes du fluide:

Les forces visqueuses.

Elles ne se manifestent que lors de l’écoulement du fluide.

Elles sont caractérisées par la viscosité, propriété d’un fluide.

qd T° augmente, pour un gaz : augmente ; pour un liquide : diminue.

Quelques viscosités courantes

Air : 1,7.10-5 Pa.s eau : 10-3 Pa.s

Hydrogène : 0,8.10-5 Pa.s miel : 50 Pa.s

sang : 4…25.10-3 Pa.s


Hydrodynamique

74

. .v

Sz

F

. .v

z

F

S

Force visqueuse :

ou F/S est la composante tangentielle

de la contrainte:

1

avec

en et = en

en . appelée viscosité dynamique (1 . 1 10 )

avec = viscosité cinématique exprimé en Stokes

F

S

vPa s

z

Pa s Pa s Pl Poise

St


Hydrodynamique

75

Profil de POISEUILLE – variation de la vitesse dans un tube étroit :

Cas d’un écoulement permanent laminaire unidirectionnel.

permanent: 0

unidirectionnel (2D): . 0 N-S: 0 (équation de Stokes)

forces de volumes négligeables: 0v

v

t

v grad v grad p v v gra

f

d p

Navier-Stokes: . v

vv grad v f grad p v

t

Équation de Stokes : Le terme convectif est négligeable: - écoulement unidirectionnel

- bas Reynolds (faibles vitesses)

PA PB

A Bl

V ?


Hydrodynamique

76

le moteur de l'écoulement est la différence de pression dans le tube

1

1

2

x x

A B A B

A BA B

x x x

v vgrad p v r K

x r r r

v v vK Kr K r r r

r r r r r

pp p

l l

r

l

2

2

2 2

2 2

0 0

44

, 2 4

or ( ) 0 soit ( )4

donc ( )4

débit volumique: ( ) ( )2

8 128

A

xx

x

a

A

a

v

vB

B

A

B

A

B

r cste

v K Kr v r cste

r

Kv r a v a r

v r a r

q v r dS v r rd

l

l

KRq d

p

p

r

Profil de POISEUILLE – variation de la vitesse dans un tube étroit :

Cas d’un écoulement permanent laminaire.


Hydrodynamique

77

Comment mesurer une viscosité?

Viscosimètre

capillaire

à chute de bille

capillaire à chute de bille

Viscosimètre d'Oswald Viscosimètre de Höppler


Hydrodynamique

78

Comment mesurer une viscosité?

Rhéomètre

À contrainte imposée

À cisaillement imposé

Cône/plateau

Couette


Hydrodynamique

79

Notion de fluides complexes :

À T,P fixées les fluides qui ont une viscosité constante sont appelés

« fluides simples » ou encore « fluides newtoniens ».

Les fluides qui présentent une viscosité dépendante de la contrainte et du

temps sont appelés « fluides complexes » ou « non-newtoniens ».

Contr

ain

te (

Pa)

Cisaillement (s-1)

Exemple : le sang, le dentifrice, la

mayonnaise (si elle est bien prise!!),

les sables mouvants, le verre.

Les fluides sont caractérisés par

leur rhéogramme.

Rhéo-fluidifiant

Rhéo-épaississant

Newtonien

Fluide à seuil

De Bingham


Hydrodynamique

80

Coulée de boue: fluide casson: fluide à seuil rhéo-fluidifiant


Hydrodynamique

81


Hydrodynamique

82

Similitude et nombres adimensionnels.

Cette théorie est très importante pour choisir les conditions d'expérience effectuées

sur des modèles réduits (bassin de carène, soufflerie,…), et pour estimer

l'importance relative des différents termes des équations de Navier-Stokes.

Elle fait appel à la mise sous forme adimensionnelle des équations de même que la

recherche de grandeurs caractéristiques.

écoulement incompressible: nombres sans dimensions importants :

Strouhal, Reynolds, Froude, Prandtl, Brickman ou Euler.

écoulement compressible: nouveaux nombres sans dimensions apparaissent :

nombre de Mach et rapport des chaleurs spécifiques.

une théorie de la similitude est développée pour les écoulements potentiels

incompressibles et compressibles.


Hydrodynamique

83

Exemple: calcul de la vitesse de décollage d’un avion

échelle entre la maquette et l’avion 1/10éme ; la maquette décolle à 50 km/h


Hydrodynamique

2

1 2

2

121

1 1 1

2 2

22 2 22

1 2

décollage portance = poids :

soit la portance de la maquette et la portance de l'avion

soit le poids de la maquette et le poids de l'a

2

' '

' 2

'

vio

2

n

x

x

x

VP C S

P P

VC S

P S V

VP S VC S

P P

3 3

1 1 1

3 3

2 2 2

2 3 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1donc soit d'ou

10

soit une

vitesse de décollage de l'avion de 50* 10 160 km/h

P L L

P L L

S V L L V L V V L

S V L L V L V V L

84

temps

fluides

de diff

incompressibl

usion de la qt

es:

nombre de Reynolds

te de mvt

temps de convection de la qtte de m

:

nombre

vt

de Péclet :

VL VLRe

VLPe

D

temps de diffusion de la masse

temps de convection de la masse


Hydrodynamique

85

vitesse caractéristique

fluides compressibles:

nombre de

vit

Mac

esse du son

h : V

MaC


Hydrodynamique

vitesse de l'écoulement

vitesse associée à la force pesante

nombre de Froude :

nombre de Prandtl, Lewis,

u

Schmid

r

t

VSr

gh

86


Hydrodynamique

2en posant : ; ; ;

alors

' ' ' '1

2

'

N-S devient :

soit :

'. ' ' ' ' ' '

'

'.

r v t pr v t p

VL V VL

vv grad v grad p v

t VL

vv grad

t

1' ' ' ' ' 'v grad p v

Re

87


Hydrodynamique

Ressaut hydraulique

Vitesse de l’eau > vitesse du son

Vitesse de l’eau < vitesse du son

88

Notion de Turbulence :

La turbulence désigne l'état d'un fluide dans lequel la vitesse présente en

tout point un caractère tourbillonnaire : tourbillons dont la taille, la localisation et

l'orientation varient constamment.

Les écoulements turbulents se caractérisent donc par une apparence très

désordonnée, un comportement non prévisible.

À l'inverse, on appelle laminaire le caractère d'un écoulement régulier et prévisible.


Hydrodynamique

89


Hydrodynamique

90


Hydrodynamique

91


Hydrodynamique

92


Hydrodynamique

93

La transition Laminaire/Turbulent est caractérisé par le nombre de REYNOLDS:

ReVL VL

R<1000: laminaire ; R> 3000 : turbulence

Il caractérise l’importance relative du terme convectif par rapport au terme diffusif:

2

22

terme diffusif :

terme convectif : .

. Re

v

v grad v

v vv vv grad v vLx L

vvvLx

Il n’y a pas de description simple de la turbulence. Pour l’instant seule une approche

statistique permet d’aborder les fortes non linéarités de N-S.

Prévision météo difficile et peu précise.Licence Physique-Chimie – Semestre 6 – Mécanique des fluides

Hydrodynamique

94


Hydrodynamique

95

L'intérêt fondamental de ce principe est qu'il est peu coûteux, ne possède aucune

pièce d'usure et qu'il ne nécessite aucun étalonnage s'il est réalisé en respectant la norme. Il

est utilisable aussi bien pour les liquides que les gaz et vapeurs.

Il n'est pas recommandé pour les fluides chargés en particules solides qui peuvent

s'accumuler auprès du diaphragme et finir par réduire l'ouverture et donc fausser la mesure.

1 22

4

2

41

p pCQ d

dD

Norme ISO 5167-1

C est le coefficient empirique d'écoulement et le facteur d'expansion.

Débitmètre à diaphragme


Hydrodynamique

96

rotamètre


Hydrodynamique

97

Les pompes:

Il existe 2 catégories principales de pompes:

les pompes volumétriques : (auto-amorçantes)Il existe différent type de pompes volumétriques :

- alternatives (à piston, à diaphragme, à piston plongeur),

- rotatives (à engrenages, à lobes, circonférentielle, à vis, à rotor hélicoïdal excentré, à

palettes, péristaltique).

les pompes hydrodynamiques (turbopompes): (à amorcer)Elles sont constituées d’une pièce en rotation (rotor, roue, hélice), munie d’aubes ou de pales,

qui tourne dans un carter (corps de pompe) et communique une certaine vitesse au fluide.

s

mPaqpWP v

3

..:pompe uned' puissance


Hydrodynamique

98

Les pompes:


Hydrodynamique

99

Les pompes: Les pompes hydrodynamiques:


Hydrodynamique

100

Les pompes: Les pompes hydrodynamiques:


Hydrodynamique

101

Les pompes:Les pompes volumétriques:


Hydrodynamique

102

Les pompes:Les pompes volumétriques:


Hydrodynamique

103

Les pompes: Les pompes volumétriques rotatives:

A lobes

A engrenages

péristaltiques

A vis excentriques


Hydrodynamique

104

Les pompes: Les pompes volumétriques rotatives:


Hydrodynamique

105

ou p


Hydrodynamique

2

2

1

2 2 pompe

2 1 2 1 2 1 pertes de charges

2 1 c p

p

2 2

2 1

2 2

2 1

2 1

1p 22

avec la différence de pression engendrée

1

2

1

2

par la

1

2

pom

2

pe ?

1

v

v

Pv gz p p

q

Pv v g z z p p p

q

p p p p

p

p

v v

v p

g z z

g z zv

2 2

2 1

2

1 c

p 2 1 c

2 1 c

2

2

2 1

hauteur manométrique de la pompe (capacité de la pompe) ?

on en déduit la caractéristique d'une install

1

2

1

a

2

i n .t o :

p

g

p

g

p

p p

p pH

g g g g

Hg g g

p p

p p p

v v

H

H Cste v

v

k

v

H

106

H

qv

H

qv

+

Caractéristique de la pompe Caractéristique du circuitou p

H

qv

=Point de fonctionnement

ou p

ou p


Hydrodynamique

107

Critère de fonctionnement: N.P.S.H. : Net Positive Suction Head

définit la pression nécessaire à l’entrée de la pompe pour obtenir son

bon fonctionnement (ie maintenir en tout point de la pompe une

pression supérieure à la pression de vapeur saturante:cavitation )

NPSHrequis <NPSHdisponible

NPSHrequis < P entrée – P vapeur saturante


Hydrodynamique

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mec.desfluides(resuméinteressantdejavu)