Algbre Cours 12

Extension de corps

18 dcembre 2009

Dfinition

Dfinition Extension de corps. Soit k un corps. Uneextension de k est une k-algbre (K , i) o K est un corpscest--dire un couple o K est un corps et i un morphismedanneaux unitaires.

Dfinition

Dfinition Extension de corps. Soit k un corps. Uneextension de k est une k-algbre (K , i) o K est un corpscest--dire un couple o K est un corps et i un morphismedanneaux unitaires.

Exemple C (ou plutt (C, i) avec i : x 7 x1C) est un extensionde corps de R.R(T ) est une extension de corps de R.

Dfinition

Dfinition Extension de corps. Soit k un corps. Uneextension de k est une k-algbre (K , i) o K est un corpscest--dire un couple o K est un corps et i un morphismedanneaux unitaires.

Exemple C (ou plutt (C, i) avec i : x 7 x1C) est un extensionde corps de R.R(T ) est une extension de corps de R.

Remarque Le morphisme i est injectif et permet didentifier k un sous-corps de K .On peut munir K dune structure de k-espace vectoriel. Comment ?La dimension de K sur k est not [K : k ]. Dune manire gnrale,dans ce cours, si E est un k-espace vectoriel, on note

[E : k ] = dimk E

.

Proposition Base tlescopique. Soient K une extension dek et E un K -espace vectoriel. On a alors

[E : k ] = [E : K ][K : k ]

Proposition Base tlescopique. Soient K une extension dek et E un K -espace vectoriel. On a alors

[E : k ] = [E : K ][K : k ]

Remarque Quelle est la dimension de Cn en tant que R-espacevectoriel ? En donner une R-base.

Proposition Base tlescopique. Soient K une extension dek et E un K -espace vectoriel. On a alors

[E : k ] = [E : K ][K : k ]

Remarque Quelle est la dimension de Cn en tant que R-espacevectoriel ? En donner une R-base.

Dfinition Morphisme dextensions. Soient (K , i) et (L, j)deux extensions de k . Un morphisme dextensions de k de (K , i)dans (L, j) est un morphisme danneaux (unitaires) f : K Lvrifiant f i = j (ce nest rien dautre quun morphisme dek-algbres).Un tel morphisme est ncessairement injectif et est aussi k-linaire.En particulier, pour quil existe un morphisme dextension de Kdans L, il faut que [L : k ] > [K : k ].

Sous-extension

Dfinition Sous-extension. Soit k un corps et (K , i) uneextension de k . Une sous-k-extension de (K , i) est un sous-corps Lde K contenant i(k). Le couple (L, i) est alors une extension de ket linclusion de L dans K est un morphisme dextension.

Sous-extension

Dfinition Sous-extension. Soit k un corps et (K , i) uneextension de k . Une sous-k-extension de (K , i) est un sous-corps Lde K contenant i(k). Le couple (L, i) est alors une extension de ket linclusion de L dans K est un morphisme dextension.

Remarque Une intersection de sous-extensions est unesous-extension = notion de sous-extension engendre.

Sous-extension

Dfinition Sous-extension. Soit k un corps et (K , i) uneextension de k . Une sous-k-extension de (K , i) est un sous-corps Lde K contenant i(k). Le couple (L, i) est alors une extension de ket linclusion de L dans K est un morphisme dextension.

Remarque Une intersection de sous-extensions est unesous-extension = notion de sous-extension engendre.

Notation Soit k un corps et (K , i) une extension de k . Soit Aune partie de K . La sous-extension engendr par A est note k(A)cest le plus petit sous-corps contenant k et A.

Sous-extension

Dfinition Sous-extension. Soit k un corps et (K , i) uneextension de k . Une sous-k-extension de (K , i) est un sous-corps Lde K contenant i(k). Le couple (L, i) est alors une extension de ket linclusion de L dans K est un morphisme dextension.

Remarque Une intersection de sous-extensions est unesous-extension = notion de sous-extension engendre.

Notation Soit k un corps et (K , i) une extension de k . Soit Aune partie de K . La sous-extension engendr par A est note k(A)cest le plus petit sous-corps contenant k et A.

Exemple Dans C, le sous-corps engendr par i est Q(i), lasous-R-algbre de C engendr par i est C : C = R(i).

Sous-extension

Dfinition Sous-extension. Soit k un corps et (K , i) uneextension de k . Une sous-k-extension de (K , i) est un sous-corps Lde K contenant i(k). Le couple (L, i) est alors une extension de ket linclusion de L dans K est un morphisme dextension.

Remarque Une intersection de sous-extensions est unesous-extension = notion de sous-extension engendre.

Notation Soit k un corps et (K , i) une extension de k . Soit Aune partie de K . La sous-extension engendr par A est note k(A)cest le plus petit sous-corps contenant k et A.

Exemple Dans C, le sous-corps engendr par i est Q(i), lasous-R-algbre de C engendr par i est C : C = R(i).

Exemple Ne pas confondre la sous-algbre de K engendre par Anote k [A] et la sous-extension de K engendre par A note k(A).Dans R[T ], si A =

{

T 2}

, on distingue R[T 2] et R(T 2).

Exercice Soit k un corps et (K , i) une extension de k . Soit A unepartie de K . Montrer que

k [A] = {P(a1, . . . , an), n N, a1, . . . , an A, P k [X1, . . . ,Xn]}

k(A) = {P(a1, . . . , an)/Q(a1, . . . , an), n N, a1, . . . , an A,P ,Q k [X1, . . . ,Xn], Q(a1, . . . , an) 6= 0}

Exercice Comparer

(i) R[i ] et R(i)(ii) Q[i ] et Q(i)(iii) R[T 2] et R(T 2)(iv) Q[] et Q()(v) Q[

2] et Q(

2)

(vi) Q[e] et Q(e)

lment algbriqueSoit (K , i) une extension de k . Pour x K , on dsigne parx : k [X ]K lunique morphisme de k-algbres tel quex(P) = P(x). Son image est k [x] K .Proposition Soit (K , i) une extension de k et x K . Lesproprits suivantes sont quivalentes

(i) La famille (xk , k N) est lie sur k .(ii) Il existe P k [X ] r {0} tel que P(x) = 0(iii) x nest pas injectif(iv) k [x] = k(x)(v) [k [x] : k ] < +(vi) Il existe une sous-algbre L de K contenant x telle que

[L : k ] < +(vii) Il existe une sous-extension L de K contenant x telle que

[L : k ] < +Un tel x est dit algbrique sur k .

lment transcendant

Dfinition lment transcendant. Soit (K , i) une extensionde k et x K . Les proprits suivantes sont quivalentes(i) La famille (xk , k N) est libre sur k .(ii) x est injectif

(iii) k [X ]k-alg. k [x]

(iv) k(X )k-alg. k(x)

(v) [k [X ] : k ] = +(vi) [k(X ) : k ] = +Un tel x est dit transcendant sur k .

lment algbrique : le retour

Proposition lment algbrique (suite). Soit (K , i) uneextension de k et x K un lment algbrique.Il existe un unique polynme unitaire Px tel que Kerx = (Px). Lepolynme Px est appel polynme minimal de x . Le polynme Pxest irrductible. Les lments de Kerx sont appels polynmesannulateurs de x .

Inversement, soit P k [X ] un polynme irrductible qui est unpolynme annulateur de x . Alors, il existe k tel que P = Px .On a [k [x] : k ] = degPx . Cet entier est not degk(x) et appeldegr de x sur k .

lment algbrique : le retour

Proposition lment algbrique (suite). Soit (K , i) uneextension de k et x K un lment algbrique.Il existe un unique polynme unitaire Px tel que Kerx = (Px). Lepolynme Px est appel polynme minimal de x . Le polynme Pxest irrductible. Les lments de Kerx sont appels polynmesannulateurs de x .

Inversement, soit P k [X ] un polynme irrductible qui est unpolynme annulateur de x . Alors, il existe k tel que P = Px .On a [k [x] : k ] = degPx . Cet entier est not degk(x) et appeldegr de x sur k .

Proposition Ensemble des lments algbriques. Soit(K , i) une extension de k . Lensemble des lments de K algbriquesur k est une sous-extension de k appele fermeture algbrique de kdans K .

Extension algbrique

Dfinition Soit (K , i) une extension de k . On dit que K est uneextension finie de k si [K : k ] < +. On dit que K est uneextension algbrique de k si tout lment de K est algbrique sur k(ou encore si K est la fermeture algbrique de k dans K ).Une extension finie est toujours algbrique. La rciproque estfausse.

Extension algbrique

Dfinition Soit (K , i) une extension de k . On dit que K est uneextension finie de k si [K : k ] < +. On dit que K est uneextension algbrique de k si tout lment de K est algbrique sur k(ou encore si K est la fermeture algbrique de k dans K ).Une extension finie est toujours algbrique. La rciproque estfausse.

Exercice Montrer que la fermeture algbrique de Q dans C estune extension algbrique de Q qui nest pas une extension finie.Dterminer la fermeture algbrique de R dans R(T ).

Extension algbrique

Dfinition Soit (K , i) une extension de k . On dit que K est uneextension finie de k si [K : k ] < +. On dit que K est uneextension algbrique de k si tout lment de K est algbrique sur k(ou encore si K est la fermeture algbrique de k dans K ).Une extension finie est toujours algbrique. La rciproque estfausse.

Exercice Montrer que la fermeture algbrique de Q dans C estune extension algbrique de Q qui nest pas une extension finie.Dterminer la fermeture algbrique de R dans R(T ).

Proposition Transitivit de lalgbricit. Soit (K , i) uneextension algbrique de k et (L, j) une extension de k . Un lmentx L de L est algbrique sur k si et seulement si x est algbriquesur K .L est une extension algbrique de k si et seulement si L est uneextension algbrique de K .

Exercice Soit (K , i) une extension de k et x1, . . . , xn K . Lespropositions suivantes sont quivalentes :

(i) xi+1 algbrique sur k(x1, . . . , xi ) pour tout i {0, . . . , n 1}(ii) xi algbrique sur k pour tout i {1, . . . , n}(iii) [k(x1, . . . , xn) : k ] < +(iv) k(x1, . . . , xn) algbrique sur k .

Exercice Endomorphisme et automorphisme. Soit k uncorps et (K , i) une extension algbrique de k et unendomorphisme de (K , i). Montrer que est un automorphisme de(K , i).

Caractristique

Proposition La caractristique dun corps (comme dailleurs celledun anneau intgre) est zro ou un nombre premier.Tout corps de caractristique nul est extension de faon unique deQ. Tout corps de caractristique p (avec p premier) est extensionde faon unique de Fp := Z/pZ.Soit k un corps. Lintersection des sous-corps de k est le plus petitsous-corps de k . Il est appel sous-corps premier de k . Cest limagede lunique morphisme de Q ou Fp dans k .

Caractristique

Proposition La caractristique dun corps (comme dailleurs celledun anneau intgre) est zro ou un nombre premier.Tout corps de caractristique nul est extension de faon unique deQ. Tout corps de caractristique p (avec p premier) est extensionde faon unique de Fp := Z/pZ.Soit k un corps. Lintersection des sous-corps de k est le plus petitsous-corps de k . Il est appel sous-corps premier de k . Cest limagede lunique morphisme de Q ou Fp dans k .

Exercice Soit K et K deux corps de caractristique diffrente.Montrer quil nexiste pas de morphismes danneaux unitaires de Kdans K .

Corps de rupture : problmatique

Le polynme X 2 + 1 R[X ] na pas de racines dans R. Pourremdier ce problme, on cre le corps C := R[X ]/(X 2 + 1).Dans C, le polynme T 2 + 1 a une racine qui est la classe de X .

Soit P k [X ] un polynme. Peut-on trouver un corps (uneextension de K ) dans lequel P a une racine ? Dans quelle mesure,une telle extension est-elle unique ?Si P nest pas irrductible, on crit P = P1P2 avec P1,P2 noninversible. Il suffit de trouver une racine de P1 ou de P2. Ainsi, encontinuant la factorisation, il suffit de trouver des racines auxpolynmes irrductibles sur k . Cette mme factorisation enirrductible montre que si P nest pas irrductible, il ny a aucunechance dobtenir une quelconque proprit dunicit du corps danslequel P a une racine. Par exemple, sur R, avec P = X (X 2 + 1), Ret C sont deux corps dans lesquels P admet une racine.

Corps de rupture : solution

Dfinition Corps de rupture. Soit P k [X ] un polynmeirrductible. Un corps de rupture sur k pour P est un triplet(K , i , a) o (K , i) une extension de k et a K vrifiant P(a) = 0et K = k(a).

Proposition Existence, unicit et proprit universelle.Soit P k [X ] un polynme irrductible. Il existe un corps derupture pour P : k [X ]/P en est un.Par ailleurs, soit (K , i , a) un corps de rupture pour P et considrons(L, j) une extension de k et b L vrifiant P(b) = 0. Il existe ununique morphisme dextensions de (K , i) dans (L, j) vrifiant(a) = b.Soit (K , i , a) et (L, j , b) deux corps de rupture pour P . Il existe ununique isomorphisme dextensions de (K , i) dans (L, j) vrifiant(a) = b.Le degr dun corps de rupture est donc bien dfini et cest le degrdu polynme. Un corps de rupture de P est isomorphe k [X ]/P .

Corps de rupture : exercices

Exercice Soit k un corps et K une extension de k de la formeK = k(a) avec a algbrique sur K .

Montrer que K est un corps de rupture pour le polynme minimalde a.

Soit L une extension de k . Montrer que lapplication{

Homkalg.(K , L) {x L, P(x) = 0} 7 (a)

est une bijection.

Exercice Quel est le corps de rupture de X 2 + 1 sur R, Q, C,Q(i), Q(

2) ? Les questions poses ont-elles un sens ?

Montrer que le polynme P = X 3 2 est irrductible sur Q.Montrer quil existe trois sous-corps de C qui sont des corps derupture pour P sur Q.

Corps de dcomposition :problmatique

tant donn un polynme P coefficients dans k , on saitconstruire une extension de k dans lequel P a une racine.

On cherche maintenant agrandir encore le corps pour scinder lepolynme P : existe-t-il une extension de k dans laquelle P estscinde. Dans quelle mesure une telle extension est-elle unique ?

Bien entendu, une extension dune extension dans laquelle P estscind est encore une extension dans laquelle P est scind. Ainsi, onne peut esprer de rsultats dunicit quen demandant desproprits de minimalit sur lextension dans laquelle P est scind.

Corps de dcomposition : solution

Dfinition Corps de dcomposition. Soit P k [X ] unpolynme. Un corps de dcomposition de P sur k est une extension(K , i) dans laquelle P est scind (P est produit de polynmes dedegr 1) et K = k(x1, . . . , xn) o x1, . . . , xn sont les racines de Pdans K .

Proposition Existence et unicit. Pour tout P k [X ], ilexiste un corps de dcomposition de P sur k .Si (K , i) et (K , j) sont deux corps de dcomposition de P sur k , ilexiste : K K un isomorphisme dextension de (K , i) dans(K , j).

Il ny a pas de proprit universelle du corps de dcomposition,sinon il ny aurait pas de thorie de Galois !

Corps de dcomposition : exercices

Exercice Dterminer dans C un corps de dcomposition deX 3 2 sur Q. Le comparer son corps de rupture.Soit P k [X ] un polynme irrductible de degr 2. Montrer quuncorps de rupture de P est un corps de dcomposition de P .

Exercice Une autre proprit dunicit pour les corps dedcomposition. Soit P k [X ] et K une extension de k danslaquelle P est scind. Montrer quil existe un unique sous-corps deK qui est un corps de dcomposition de P sur k .A-t-on un rsultat analogue pour les corps de rupture ?

Corps algbriquement clos

Proposition Soit k un corps. Les propositions suivantes sontquivalentes

(i) Tout polynme non constant coefficients dans k admet uneracine dans k

(ii) Les lments irrductibles de k [X ] sont les polynmes dedegr 1

(iii) Tout polynme est produit de polynmes de degr 1(iv) Si (K , i) est une extension algbrique de k alors i est un

isomorphisme.

Un corps vrifiant ces proprits est dit algbriquement clos. Parexemple, C est algbriquement clos.

Dfinition Soit k un corps. Une clture algbrique de k est uneextension (K , i) de k o K est algbriquement clos et (K , i) estalgbrique sur k . C est une clture algbrique de R mais pas de Q.

Clture algbrique

Proposition Soit K un corps algbriquement clos et k unsous-corps de K . La fermeture algbrique de k dans K est uneclture algbrique de k .Par exemple, Q = {x C, x algbrique sur Q} est une clturealgbrique de Q et C nest pas une clture algbrique de Q.

Proposition Thorme de Steinitz. Tout corps admet uneclture algbrique. Soit (K , i) et (K , j) deux cltures algbriquesde k . Alors les extensions (K , i) et (K , j) sont isomorphes.

Lemme Thorme de prolongement. Soit (K , i) uneextension algbrique de k et (K , j) une extension algbriquementclose. Alors il existe un morphisme de (K , i) dans (K , j).

Exercice Soit k un corps et (K , i) une extension algbrique de k .Montrer que k et K ont mme clture algbrique.

Applications : Corps finis

Soit k un corps fini (cest--dire de cardinal fini). Sa caractristiqueest ncessaire un nombre premier p. Ainsi k est une extension deFp. Comme les lments de k forment une famille gnratrice de ksur Fp, 1 6 n = [k : Fp] < +. On en dduit que k est un espacevectoriel de dimension finie sur Fp. Ainsi |k | = pn.Pour tout p et tout n N, existe-t-il un corps de cardinal pn ?peut-on dcrire isomorphisme prs tous les corps de cardinal pn ?

Proposition Existence et unicit des corps finis. Soit p unnombre premier et n N.Il existe un corps de cardinal pn, cest un corps de dcomposition deX p

n X sur Fp. Deux corps de cardinal pn sont isomorphes.Pour dsigner le corps pn lments, on utilise la notation Fpn .

Attention, Fpn 6= Z/pnZ.

Cyclicit Carr

Lemme Soit k un corps (commutatif) et G un sous-groupe finide k alors G est cyclique.

Corollaire Si k est un corps fini alors k est cyclique.

Proposition Carr dans un corps fini. Soit k un corps pn

lments (avec p premier et n N). On note

k2

={

x k, y k , x = y2}

Si p = 2 alors k2 = k.Si p 6= 2 alors k2 est un sous-groupe dindice 2 de k et x k2si et seulement si x(p

n1)/2 = 1.

Exercices

Exercice Soient p un nombre premier impair et n N etk = Fpn . On considre a, b k. Montrer que, pour tout c k ,lquation ax2 + by2 = c dinconnues (x , y) admet au moins unesolution.

Exercice Soient p un nombre premier et n N et k = Fpn .Montrer la factorisation

X pn X =

d|n

Pd (p)

P

o d(p) dsigne lensemble des polynmes unitaires de degr dirrductibles sur Fp.

Exercice Montrer que F2[X ]/X 3 + X + 1 etF2[X ]/X 3 + X 2 + 1 sont des corps, quils sont isomorphes etdonner un isomorphisme explicite entre ces deux corps.

Sous-corps dun corps fini

Proposition Sous-corps dun corps fini. Soient p unnombre premier et n N et k = Fpn .Soit k un sous-corps de k alors |k | = pm avec m | n. Inversement,pour tout m | n, k admet un unique sous-corps de cardinal Fpm .De faon prcise, le corps pm lments contenu dans k estk =

{

x k , xpm = x}

.

Exemple F4 nest pas un sous-corps de F8 mais cest unsous-corps de F16.