Mémoire du MASTER 104 FINANCE · L’allocation basée sur l’équipondération de la ... est une problématique centrale de la gestion de ... ex-ante le moins risqué,

Master 104 Finance dirigé par Edith Ginglinger, Professeur http://www.Master104Finance.com

Mémoire du

MASTER 104 FINANCE

Les méthodes alternatives

d’allocation entre

matières premières Hubert Corpechot – Master 104 Finance

Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières

Hubert Corpechot – Master 104 Finance 2




Hubert Corpechot

Université Paris 9 Dauphine – Master 104 Finance

Septembre 2009

Mémoire de Recherche sous la direction de Jérôme Teiletche

Résumé

Certaines méthodes alternatives d’allocation permettent de mettre en place une stratégie

ne dépendant pas de l’estimation des rendements futurs et ne souffrant donc pas de cette

source d’erreurs. Parmi les méthodes d’allocation alternatives, nous étudions ici l’allocation

naïve ou "1/N", l’approche minimum-variance, le "most-diversified portfolio" introduit par

Choueifaty et Coignard [2008], et l’allocation "equally-weighted risk contribution",

développée dans Maillard, Roncalli et Teiletche [2009]. On souhaite évaluer la performance

relative des ces méthodes d’allocation en les appliquant à un panier de 22 matières

premières investissables via futures. On considère des portefeuilles "long-only", dans un

premier temps sans tenir compte de l’effet du P&L dû au renouvellement des contrats à

terme, puis en prenant en compte l’impact du roll, afin de connaître les performances réelles

de ces allocations appliquées aux contrats futures sur matières premières. Dans le cas où les

poids calculés sont appliqués aux données "spot", les allocations citées précédemment

présentent des performances proches. En appliquant ces méthodes d'allocation aux données

"Excess Return", on constate que le portefeuille présentant les meilleures performances est

le portefeuille équipondéré (1/N). L’allocation basée sur l’équipondération de la contribution

au risque présente des performances relativement proches de l’allocation naïve. Le

portefeuille "most-diversified" est celui présentant les performances les moins bonnes

comparativement aux autres méthodes. Nous remarquons aussi que le roll à un impact non

négligeable sur les portefeuilles considérés, ainsi il pourrait être intéressant de considérer

l’aspect de déport ou de report comme paramètre supplémentaire pour la construction de

méthodes d’allocation appliquées aux contrats futures sur matières premières.



Alternative allocation methods applied to commodities

Hubert Corpechot

Université Paris 9 Dauphine – Master 104 Finance

September 2009

Financial research dissertation under the supervision of Jérôme Teiletche

Abstract

Some alternative allocation methods allow to establish an alternative process, which does

not depend on the forecast of future returns, and which does not suffer from a possible

inherent error. Among the alternative allocation methods, we study: the naïve or “1/N”

allocation, the minimum-variance approach, the most-diversified portfolio, established by

Choueifaty and Coignard [2008] and the equally-weighted risk contribution allocation

developed in Maillard, Roncalli and Teiletche [2009]. We evaluate relative performance of

these allocation methods thanks to a basket of 22 commodities tradable by means of future

contracts. We consider long-only portfolios, firstly without taking into account the P&L

generated by contracts rolling, and secondly by looking at the impact of the roll on the

portfolios performances. The allocations listed above show close performances, when the

obtained weights are applied to spot data. By applying these allocation methods to Excess

Return data, we note that the portfolio showing the best performance is the equally-

weighted portfolio (1/N). The equally-weighted-risk-contribution allocation displays

performance close to that of the naïve portfolio. The most diversified portfolio is the one

showing the worst performance in comparison to the other methods. We observe that the

roll has a significant impact on the studied portfolios. Thereby, it can be interesting to

consider the backwardation or contango aspects as an additional parameter for the creation

of allocation methods applied to future contracts on commodities.



Remerciements Je remercie en premier lieu Jérôme Teiletche, mon responsable de mémoire, pour son aide

dans le choix de l’étude des méthodes alternatives d’allocation d’actifs et son encadrement.

Ma reconnaissance va aussi à l’ensemble de l’équipe de Recherche Matières Premières de la

Société Générale Corporate & Investment Banking, notamment à Emmanuel Jayet et Frédéric

Lasserre, mais plus particulièrement à Rémy Penin pour ses conseils, son aide et les

connaissances qu’il m’a permis d’acquérir.

Je remercie aussi l’ensemble de professeurs du Master 104 Finance, de l’Université Paris

Dauphine, pour leurs enseignements et leurs conseils, les professeurs de l’Ecole Centrale

Nantes qui m’ont orienté dans le choix de ce master et de mes spécialisations, ainsi que les

membres de l’équipe d’investissement et de l’équipe Risk du Crédit Agricole Asset

Management Hong Kong.



Sommaire

Remerciements ..................................................................................................................... 5

Sommaire .............................................................................................................................. 6

I / Introduction ...................................................................................................................... 7

II / Les méthodes alternatives dans la littérature ................................................................... 9

II.1. Le portefeuille minimum-variance .............................................................................. 9

II.2. L’allocation "naïve" .................................................................................................... 10

II.3. Ratio de diversification et Most-Diversified Portfolio ................................................. 12

II.4. Etude de la contribution au risque ............................................................................. 14

III / Les indices sur matières premières ................................................................................. 17

III.1. Standard & Poor Goldman Sachs Commodity Index .................................................. 17

III.2. Dow Jones-UBS Commodity Index ............................................................................. 20

IV / Description des données et de la méthodologie ............................................................. 22

IV.1. Les données .............................................................................................................. 22

IV.2. La méthodologie ....................................................................................................... 23

V / Application de quatre méthodes alternatives d’allocation à un panier de matières

premières ............................................................................................................................. 25

V.1. Performances des portefeuilles "spot"....................................................................... 25

V.2 Analyse de l’influence du roll ...................................................................................... 30

V.3. Allocations alternatives et indices sur matières premières ......................................... 31

VI / Conclusion ..................................................................................................................... 34

Table des figures .................................................................................................................. 36

Bibliographie ........................................................................................................................ 37



I / Introduction

La question de la diversification est une problématique centrale de la gestion de portefeuille.

L’approche moyenne-variance, mise en place par Markowitz, a depuis longtemps fait ses

preuves. Elle souffre cependant d’une source probable d’erreur : l’estimation des

rendements attendus. Pour palier à ce problème d’estimation, une vaste littérature

s’intéresse aux méthodes d’allocation non dépendantes du rendement espéré. L’objectif de

ces méthodes est de mettre en place un processus permettant d’obtenir une diversification

optimisant le couple rendement-risque. L’allocation dite naïve ou "1/N", consistant à

attribuer un même poids à l’ensemble des actifs considérés, et le portefeuille "minimum-

variance", représentant le portefeuille ex-ante le moins risqué, sont deux méthodes

d’allocation d’actifs non dépendantes du rendement estimé ayant fait l’objet de plusieurs

études. Le portefeuille "1/N" est assez représentatif des règles simples mises en place par de

nombreux investisseurs, et le portefeuille à variance minimum se base sur le risque comme

seule règle d’allocation et permet d’avoir une vue sur le rendement que donne le risque a

priori le plus faible. A l’instar de la méthode minimum-variance, un ensemble de processus

d’allocation ne prenant en compte que le risque des actifs a vu le jour. C’est le cas du "most-

diversified portfolio" maximisant un ratio de diversification mis en place dans l'article

Choueifaty et Coignard [2008] ou de la méthode "equally-weighted risk contribution"

développée dans Maillard, Roncalli et Teiletche [2009].

On souhaite évaluer la performance relative des ces quatre méthodes d’allocation en les

appliquant à un panier de matières premières investissables via futures. Le marché des

matières premières, ou commodities, est un marché relativement volatile et dont

l’estimation des rendements futurs est un art difficile. L’allocation d’actifs au sein des

commodities soulève plusieurs questions, telles que : "sur quels critères se baser pour

effectuer l’allocation ?" ou "quels contrats doivent être pris en compte ?". Les indices sur

matières premières présentent diverses caractéristiques, à titre d’exemples, le S&P GSCI ou

encore le DJ UBS se basent sur le niveau de production des commodities pour le calcul des

pondérations.

Nous étudions donc les performances de ces méthodes d’allocation appliquées à vingt-deux

matières premières, en considérant pour chaque matière première un contrat à échéance en

fin d’année (généralement décembre) sur la période allant de décembre 1997 à septembre

2009. Pour chaque commodity, le renouvellement des contrats (roll) est effectué cinq jours

avant la maturité du contrat. Dans un premier temps le roll n’est pas considéré, on étudie

ensuite son impact afin de connaître les performances effectives de ces méthodes

d’allocation.



Dans le cas où on ne considère pas le roll, les portefeuilles constitués présentent des

performances proches. La simplicité étant l’habit de la perfection, le portefeuille présentant

les meilleures performances dans le cas des portefeuilles "Excess Return" est le portefeuille

équipondéré (1/N). Cependant on constate que l’allocation basée sur l’équipondération de

la contribution au risque présente des performances relativement proches de l’allocation

naïve. Le portefeuille "most-diversified" est celui présentant les performances les moins

bonnes.

Nous présentons dans un premier temps quelques résultats concernant ces méthodes

d’allocation déjà publiées, ainsi que le détail des méthodes d’allocation mises en place par

les articles Choueifaty et Coignard [2008] et Maillard, Roncalli et Teiletche [2009]. Dans un

deuxième temps, nous exposons quelques caractéristiques des indices de matières

premières auxquels seront comparées les allocations étudiées. Les données et la

méthodologie sont ensuite présentées avant que soient exposés et analysés les résultats

obtenus.



II / Les méthodes alternatives dans la littérature

Les méthodes d’allocation d’actifs non dépendantes de l’expected return font l’objet d’une

littérature de plus en plus importante. Nous décrivons ici les résultats et la méthodologie de

cinq articles :

• Clarke, de Silva et Thorley [2006]

• DeMiguel, Garlappi et Uppal [2007]

• Martellini [2008]

• Choueifaty et Coignard [2008]

• Maillard, Roncalli et Teiletche [2009]

II.1. Le portefeuille minimum-variance

Clarke, de Silva et Thorley mettent en avant le fait que, contrairement à l’approche

moyenne-variance, le portefeuille minimum-variance est obtenu indépendamment de

rendements estimés ou de prévisions effectuées sur les actifs considérés. A contrario des

autres portefeuilles constituant la frontière efficiente, qui sont obtenus en minimisant le

risque pour un rendement donné, le portefeuille minimum-variance (MVP : "Minimum-

Variance Portfolio") ne prend en compte que le risque des actifs.

On rappelle que le portefeuille présentant la variance la plus faible est celui dont le vecteur

de poids x* vérifie : �� argmin ��Σ ��

où Σ est la matrice de variances-covariances des rendements (de dimension N2, N étant le

nombre d’actifs considérés).

Le portefeuille minimum variance est étudié à travers un ensemble de titres américains

pendant une période allant de janvier 1968 à décembre 2005. Les auteurs utilisent l’analyse

en composantes principales et la méthode du "bayesian shrinkage" pour évaluer les matrices

de variances-covariances. Le nombre de titres sélectionnés (1000) permet d’obtenir des

résultats intéressants, bien que le traitement de cette quantité de données soit relativement

lourd.

En analysant la relation entre les rendements réalisés et le niveau de risque, ainsi que les

facteurs : size, value et momentum (taille, valeur et momentum) se basant respectivement

sur la market capitalisation, le book-to-market ratio et le rendement réalisé d’une année sur

l’autre ; Clarke, de Silva et Thorley tentent de démontrer qu’un risque bas n’implique pas

forcément un rendement faible.



Les poids du portefeuille constitué vérifient un ensemble de contraintes telles que la

"budget constraint" : la somme des poids ne dépasse pas 1, et que la contrainte "long-only" :

absence de ventes à découvert ; enfin le poids de chaque actif en portefeuille ne doit pas

dépasser 3%. Chaque mois, l’univers des 1000 titres est sélectionné, puis la matrice de

covariance est calculée et corrigée par le biais de l’analyse en composantes principales et du

bayesian shrinkage, enfin les poids sont calculés par optimisation.

Il apparait que le portefeuille à variance minimum est nettement plus performant que le

marché de référence pondéré en fonction de la capitalisation. En effet, le ratio de Sharpe du

portefeuille MV s’élève à 0,55 alors que celui du marché est de 0,36 non seulement à cause

d’un risque plus faible, mais aussi d’un meilleur rendement. On constate effectivement que

le MVP présente au terme de l’étude un rendement supérieur pour une volatilité plus basse

que celle du marché (volatilité inférieur tout au long de la période d’étude) cependant à la

vue de l’évolution du nombre de titres en portefeuille, on constate que le portefeuille MV

peut souffrir d’un manque de diversification.

Afin d’évaluer l’exposition aux facteurs size, value et momentum Clarke, de Silva et Thorley

analysent la répartition de la market capitalisation, du ratio book-to-market et du facteur

momentum, et les classe selon les Z-scores correspondant à la distribution centrée réduite

des ratios étudiés (moyenne nulle et variance unitaire). A travers l’étude de l’exposition des

portefeuilles en fonction du temps, on constate que le portefeuille MV est relativement

neutre à ces facteurs, contrairement au portefeuille de marché qui est (évidemment)

fortement exposé au facteur size et très peu au facteur value, et relativement neutre au

facteur momentum. Ainsi, une plus faible exposition au facteur size justifie, selon la

littérature relative à ce sujet, un rendement supérieur (en moyenne) ; de même la plus forte

exposition au facteur value du portefeuille MV peut expliquer un meilleur rendement.

II.2. L’allocation "naïve"

DeMiguel, Garlappi et Uppal tentent de comprendre sous quelles conditions le portefeuille

équipondéré peut donner de bonnes performances et testent ainsi 14 stratégies dont

l’allocation "1/N", ou allocation naïve. Cette dernière diffère par sa simplicité et reflète les

règles d’allocation basiques utilisées par de nombreux investisseurs. Parmi ces 14 modèles,

on constate qu’aucun n’est réellement plus performant que l’allocation "naïve" et ce sur les

8 jeux de données étudiées en termes de turnover, de ratio de Sharpe et de "certainty-

equivalent return" (rendement équivalent certain). Afin de comprendre mieux ce

phénomène, une analyse du temps critique au bout duquel une stratégie moyenne-variance

atteint le même niveau de rendement équivalent certain que le portefeuille 1/N est réalisée.

Ce temps critique s’avère être une fonction du nombre de titres et du ratio de Sharpe des



différentes stratégies. Il faut une période relativement importante pour que la stratégie

naïve soit dominée par les autres types d’allocation.

Cependant, on constate que la diversification des portefeuilles équipondérés n’est pas

toujours optimale, en effet, le nombre de titres influence les performances de ce

portefeuille, moins celui-ci est important, moins l’allocation naïve sera performante.

A titre comparatif, et pour pouvoir évaluer la performance des différentes stratégies

étudiées, DeMiguel, Garlappi et Uppal mettent en place une approche moyenne-variance où

l’on considère le vecteur de poids x* qui maximise une fonction d’utilité du type Markowitz :

�� argmax �� 2 ��Σ��

Où γ est le coefficient d’aversion au risque et µ le vecteur des rendements estimés. La

solution analytique est :

�� Σ��

Parmi les portefeuilles étudiés, on distingue plusieurs types d’allocation :

• La diversification naïve

• Le modèle moyenne-variance de Markowitz décrit ci-dessus

• Les approches bayésiennes dont l’objectif est de calculer Σ et µ sur la base de

prédiction de la distribution future des rendements (par le biais de la vraisemblance

conditionnelle).

• Les portefeuilles où les moments des rendements sont contraints (ce qui inclut le

portefeuille à variance minimum)

• Les portefeuilles soumis à la règle d’absence de ventes à découvert

• Les portefeuilles dits de "combinaison optimale" dont les poids sont obtenus par la

combinaison de règles régissant les portefeuilles décrits plus haut (par exemple, on

peut considérer un mélange de portefeuille moyenne-variance et minimum-variance)

Les indicateurs utilisés sont :

• Le ratio de Sharpe

• Le CEQ return : rendement équivalent certain qui mesure le niveau de rendement

sans risque équivalent à un couple rendement-risque pour un investisseur donné

• Une mesure du turnover des poids des actifs en portefeuille

• Le "return-loss" qui est un indicateur permettant de mesurer le rendement

additionnel nécessaire pour égaler le ratio de Sharpe du portefeuille 1/N pour une

stratégie donnée

L’utilisation de ces indicateurs sur les 14 stratégies appliquées aux différents ensembles de

données permet de confirmer le fait qu’aucune des allocations "optimales" n’est plus

performante que l’allocation naïve qui a en général le ratio de Sharpe et le CEQ return les

plus élevés. On remarque aussi que l’allocation minimum-variance présente des résultats



moyens en termes de CEQ, comparativement aux autres stratégies, mais montre des ratios

de Sharpe assez proches de ceux de l’allocation 1/N.

DeMiguel, Garlappi et Uppal, par l’étude des raisons qui font que les modèles "optimaux" ne

surperforment pas le portefeuille 1/N, montrent que les investisseurs attachent trop

d’importance aux moments des rendements et pas assez aux caractéristiques des actifs. Ces

modèles ne prennent pas suffisamment de paramètres en compte ; une analyse transversale

des caractéristiques comme le secteur ou la taille des actifs permettrait d’améliorer les

performances.

Martellini présente la recherche d’un schéma d’allocation d’actifs permettant d’obtenir le

ratio de Sharpe le plus haut. Malgré des résultats médiocres de la méthode mise en place,

les résultats obtenus concernant les portefeuilles 1/N et MV sont intéressants.

Martellini tente de montrer empiriquement qu’il existe un lien entre la volatilité et le

rendement grâce un ensemble de données présentant 682 actifs qui ont existé sur toute la

période allant de 1975 à 2004. Une répartition des rendements par quintiles de volatilité

démontre que plus la volatilité est élevée, plus le rendement est important (et inversement).

Martellini exploite cette relation afin de mettre en place un proxy pour le ratio de Sharpe

basé sur :

Σ��

��Σ��

où σ est le vecteur des volatilités (de dimension N) et � un vecteur de 1.

Le portefeuille obtenu par la maximisation de ce ratio est comparé au portefeuille

équipondéré, au portefeuille à variance minimum et au portefeuille basé sur la

capitalisation. Un résultat intéressant est le fait que le portefeuille dont les poids dépendent

de la capitalisation est dominé par le portefeuille "1/N" aussi bien en termes de rendement

qu’en termes de ratio de Sharpe. Le portefeuille à variance minimum malgré un plus faible

rendement domine les deux allocations précédentes en termes de ratio de Sharpe.

Une autre conclusion tirée de cette analyse est le fait que la volatilité n’est certainement pas

le meilleur proxy pour le rendement. En effet, le portefeuille basé sur la maximisation du

ratio présenté ci-dessus s’avère loin du portefeuille présentant le ratio de Sharpe maximum.

II.3. Ratio de diversification et Most-Diversified Portfolio

Choueifaty et Coignard mettent en avant le fait que contrairement à la volatilité, le

rendement est extrêmement difficile à évaluer, et s’intéresse, empiriquement et

théoriquement, aux propriétés de la diversification en tant que critère principal pour la

construction de portefeuilles. Il introduit une mesure de la diversification définie par :

�� √��Σ �



où Σ est la matrice de variances-covariances des actifs considérés, σ est le vecteur de leur

volatilité et x est le vecteur des poids attribués à chacun des N actifs constituant le

portefeuille :

� � �� ! � � �"��"

!

Les poids du portefeuille vérifient : ∑ "$ $%� � 1 et ' ( ) *1, ,-, �1 . "$ . 1

La contrainte additionnelle "long-only" se traduit par : ' ( ) *1, ,-, "$ / 0

D(x) est le ratio de diversification du portefeuille P. Il correspond au quotient de la moyenne

pondérée des volatilités des actifs considérés et de la volatilité du portefeuille. Le

portefeuille maximisant ce ratio en respectant les contraintes qui lui sont imposées est le

portefeuille le plus diversifié, noté MDP (Most-Diversified Portfolio).

L’allocation de type MD présente certaines propriétés théoriques, on constate notamment

que dans le cas où le rendement en excès est proportionnel à la volatilité alors maximiser le

ratio de diversification revient à maximiser le ratio de Sharpe.

En effet, si on considère l’excess return du portefeuille P tel que : 123 � 4. �3��

Alors :

�6�37 � 1238�3�Σ �3

Une autre propriété remarquable est le fait que dans un univers où chaque actif à la même

volatilité, le MDP est égal au portefeuille à variance minimum MVP (Minimum-Variance

Portfolio). En effet, dans ce cas maximiser D(x) revient à minimiser x’Σ x.

La réalité des marchés implique un ensemble de contraintes auxquelles sont soumis les

portefeuilles, comme par exemple la contrainte "long-only" qui n’autorise pas la vente à

découvert et se traduit mathématiquement par la positivité des poids associés à chaque actif

en portefeuille. Ces contraintes vont avoir de fortes implications sur le Most-Diversified

Portfolio ; dans le cas de la contrainte long-only :

• La contrainte de positivité va réduire l’impact potentiel des erreurs estimées

• Les portefeuilles seront exposés positivement aux primes de risque des actifs

Afin d’étudier le comportement du MDP, Choueifaty et Coignard réalisent une étude sur des

titres américains (Standard & Poor’s 500) et de la zone euro (Dow Jones Euro Stoxx),

comparant le Most-Diversified Portfolio au MVP, à l’Equally-Weighted Portfolio (EWP) ou

portefeuille "1/N" et à un indice Market Cap-Weighted Benchmark. Le calcul des poids du

MDP est effectué mensuellement entre décembre 1991 et février 2008, sous la contrainte

de ne pas vendre à découvert. La covariance est calculée en utilisant 250 jours de cotation.



De plus les allocations réalisées sont en accord avec les règles UCITS III impliquant que le

poids de chaque titre en portefeuille ne dépasse pas 10 % et que la somme des poids

supérieurs à 5 % ne dépasse pas 40 %.

On constate que pour les deux ensembles de titres considérés, le portefeuille le plus

diversifié domine les autres portefeuilles en terme de rendements, de ratios de Sharpe c'est-

à-dire de couple rendement-risque.

II.4. Etude de la contribution au risque

Maillard, Roncalli et Teiletche confrontent les portefeuilles à variance minimum et EWP

("1/N") au portefeuille ERC : Equally-weigthed Risk Contributions portfolios, afin d’éprouver

les performances de cette dernière méthode. Celle-ci permet de construire un portefeuille

où chaque actif contribue de façon identique au risque total et repose sur l’idée qu’une

bonne diversification du risque peut accroître les performances d’un portefeuille.

On définit mathématiquement les portefeuilles ERC de la manière suivante :

on note σ(x) le risque total du portefeuille définit par le vecteur de poids x tel que :

�� √��Σ �

Σ est la matrice de variance-covariance des actifs considérés dont les éléments diagonaux

(les variances) sont notées : �$9 ; et les éléments non diagonaux (les covariances) sont notés �$: pour (, ; ) *1, ,-.

On définit ensuite la contribution marginale au risque de l’actif i par :

<=�� <��<�$ � �$�$9 > ∑ �:�$::?$��

D’un point de vue matriciel on obtient : <��<� � Σ �√��Σ �

De la relation :

�� √��Σ � � � � Σ �√��Σ �

on déduit que la volatilité du portefeuille correspond à la somme pondérée des

contributions marginales au risque de chaque actif. Si on note la contribution totale au

risque : �$�� $ . <=��

Il découle alors de la dernière relation le fait que le risque du portefeuille est la somme des

contributions totales au risque :

�� @ �$��

$%�



L’objectif du portefeuille ERC est de trouver le vecteur de poids (x) tel que toutes les

contributions totales au risque soient égales. En se limitant au portefeuille long-only

seulement, Maillard, Roncalli et Teiletche présentent le problème mathématiquement par

le fait que le vecteur de poids correspondant au portefeuille ERC est : �� ) A0,1BC D �� 1 , '(, ; ) *1, ,- �$�� :��

où � est un vecteur de taille N dont chaque composante vaut 1. On peut aussi le traduire

par : �� ) A0,1BC D �� 1 , �� E Σ�� F. � où E représente le produit d’Hadamard, et c est une constante.

Dans un second temps Maillard, Roncalli et Teiletche présentent un ensemble de résultats

théoriques relatifs aux portefeuilles ERC.

Dans le cas général, si on note ri le rendement de l’actif i par définition de la covariance

entre l’actif i et le portefeuille global on a :

�$ � FGH IJ$, @ �:J:: K � @ �:�$::

et :

�$�� $�$��

On introduit alors le beta de la composante i :

L$ � �$�9��

M �$�� L$�$�� '( ) *1, ,-

Or '( ) *1, ,-, �$�� F où c est une constante. Il en découle :

�$ � L$�� F��

De ∑ �: � 1: , on déduit la relation : ��F � @ L:��:

Ainsi, on obtient la relation suivante :

'( ) *1, ,-, �$ � L$��∑ L:�� :%�

Ceci implique que plus le beta du titre est grand, plus son poids dans le portefeuille est

faible, et réciproquement ; en d’autres termes, les actifs ayant une forte volatilité ou une

forte corrélation avec les autres actifs en présence ont une pondération plus faible.

Le portefeuille ERC semble être une bonne alternative se trouvant entre le portefeuille 1/N

et le portefeuille minimum-variance. Maillard, Roncalli et Teiletche montrent que les

volatilités de ces portefeuilles vérifient : �NOP . �QRS . �QTP



En comparant l’approche ERC à la MD, on constate que le que les portefeuilles mis en place

par ces deux méthodes sont bien distincts. L’approche MDP peut se voir comme la solution

au problème suivant :

max �8��Σ� � � √��Σ ��

où Σ* est la matrice de variances-covariances contrainte correspondant à des corrélations

unitaires.

Le portefeuille ERC et le MDP ne sont équivalents qu’à condition que le coefficient de

corrélation soit unique. Le MDP a pour but de diversifier le portefeuille en minimisant le

risque total du portefeuille et en maximisant la somme pondérée des volatilités, ce qui

conduit généralement à des contributions au risque différentes.

Les trois approches MVP, ERC et EWP sont comparées à travers l’étude de trois jeux de

données : un portefeuille de titres américains (Equity US sectors potfolio), un portefeuille de

matières premières agricoles (Agricultural commodity portfolio), et un portefeuille de titres

mondiaux (Global diversified portfolio). Chacun des portefeuilles est révisé mensuellement,

et les matrices de variances-covariances sont calculées sur la base de rendements quotidiens

sur une période d’un an.

L’étude des données effectuée sur les titres du marché américain montre que le portefeuille

ERC est plus performant que le "1/N" : pour des rendements proches, la volatilité est plus

faible, mais le MVP domine légèrement le portefeuille ERC : bien que ce dernier ait un

meilleur rendement, la variance du MVP est nettement plus basse. L’application à des

matières premières agricoles donne des résultats analogues ; bien que le portefeuille MV

présente les problèmes déjà mentionnés de diversification, celui-ci domine l’ERC en termes

de couple rendement-risque. Cependant dans le cadre du portefeuille de titres mondiaux, le

portefeuille ERC domine nettement les deux autres.



III / Les indices sur matières premières

Avant 2003, les indices sur matières premières se limitaient au Goldman Sachs Commodity

Index, au Dow Jones-AIGCI et au Rogers International Commodity Index. Dès lors, leur

nombre a très fortement augmenté, mettant en jeu différentes caractéristiques.

La construction d’indices sur matières premières a donné lieu à de nombreuses recherches

et ce malgré la difficulté que représente leur construction. La création de tels indices

entraîne un certain nombre de questions :

• Combien de matières premières doivent être prises en compte et en quelle

proportion ?

• Sur quel critère se baser pour déterminer le panier de matières premières ?

• Quels types de contrats doivent être considérés ?

• A quelle fréquence doit-on roller les contrats futures ?

• Les poids attribués doivent-ils être changés périodiquement et à quelle fréquence ?

Le nombre de matières premières comprises dans les indices est très variable : de 6 pour

Deutsche Bank Commodity Index à 45 pour Diapason Commodity Index. Les facteurs

déterminant leur pondération sont généralement fonctions de la production et de la

consommation mondiale, du niveau de stocks, de l’open interest et du market turnover.

Concernant le renouvellement des contrats proches de l’échéance (roll), l’approche

traditionnelle consiste à considérer le prochain contrat arrivant à terme (prochain contrat

nearby). Cependant on remarque que la mise en place de procédure de roll dynamique est

de plus en plus fréquente dans le but de maximiser le rendement du roll.

On peut répertorier trois catégories d’indices sur matières premières :

• Poids fixes et rolls fixes

• Poids fixes et rolls dynamiques

• Poids dynamiques et rolls fixes

III.1. Standard & Poor Goldman Sachs Commodity Index

L’indice S&P GSCI1 (anciennement GSCI, avant 2007) est tradé depuis 1991, mais les données

historiques remontent à 1970. Il constitue l’indice le plus important des matières premières.

Le S&P GSCI est formé de 24 matières premières représentant les secteurs de l’énergie, des

métaux précieux, des métaux de base, de l’agriculture et de l’élevage (livestocks). Le secteur

1 Source : S&P GSCI Index Methodology



prédominant est celui de l’énergie. Les matières premières sont sélectionnées pour la

liquidité des contrats ; l’indice GSCI se veut représentatif de l’économie par sa composition

et sa méthode de calcul de pondérations.

Le poids attribué à chaque matière première est déterminé grâce à son niveau de production

durant les 5 dernières années. Chaque contrat à terme est rollé mensuellement.

Le calcul des pondérations s’effectue en quatre étapes :

• Evaluation de la quantité totale de production mondiale : WPQ (World Production

Quantity). WPQ est calculé sur la base des 5 dernières années pendant lesquelles

l’ensemble des données de la production mondiale est disponible pour chacune des

matières premières composant l’indice

• Evaluation de la production mondiale moyenne : WPA (World Production Average)

• Calcul du ratio CPW (Contract Production Weight) basé sur le pourcentage de la

quantité échangée totale : %TQT (Total Quantity Traded)

• Ajustement des poids CPW

La première étape est donc le calcul des WPQdc correspondant au contrat c pour le jour d. Il

vient alors :

'F, U ; WXYZ[ � WX\Z[ 5�

^XWZ[ � %`\ Z̀[ . WXYZ[ 10a�

On calcule le poids total en $, en notant DCRP le prix de référence du contrat :

`�WZ � @ ^XWZ[. �^2XZ[[

On évalue ensuite un ratio TDWR permettant d’établir une constante de normalisation :

`�W2Z � ∑ ^XWZ[ . �^2XZ[[∑ ^XWZ��[ . �^2XZ[[

,^Z � ,^Z��. `�W2Z

La valeur de l’indice S&P GSCI est finalement :

b&X db^eZ � `�WZ,^Z

Ce qui équivaut à dire que le poids du contrat c dans l’indice est :

"Z[ � ^XWZ[,^Z



SP GSCI2

Energy 70,18% Crude Oil 39,09%

Brent Crude Oil 13,50%

RBOB Gas 4,62%

Heating Oil 4,30%

GasOil 4,69%

Natural Gas 3,98%

Industrial Metals 8,00% Aluminium 2,42%

Copper 3,60%

Lead 0,53%

Nickel 0,77%

Zinc 0,68%

Precious Metals 3,34% Gold 2,96%

Silver 0,38%

Agriculture 14,00% Wheat 3,11%

Red Wheat 0,63%

Corn 3,03%

Soybeans 2,35%

Cotton 1,04%

Sugar 2,68%

Coffee 0,76%

Cocoa 0,40%

Livestock 4,48% Live Cattle 2,78%

Feeder Cattle 0,53%

Lean Hogs 1,17%

Figure 1 - Répartition des poids du S&P GSCI

2 Source : S&P GSCI Components and Weight – 11 septembre 2009



III.2. Dow Jones-UBS Commodity Index

L’indice DJ-AIGCI lancé en juillet 1998 est devenu le 7 mai 2009 l’indice DJ-UBSCI. Cet indice

comprend 19 commodities des secteurs : énergie, métaux précieux, métaux de base,

agriculture et livestocks.

Il répond à deux contraintes de diversification :

• Le poids de chaque matière première ne doit pas être en dessous de 2 % et ne doit

pas excéder 15 %

• Le cumul des poids des commodities de chaque secteur ne doit pas dépasser 33 %

Le DJ-UBSCI est repondéré tous les mois de janvier ; et la fréquence des rolls dépend des

contrats.

La pondération de l’indice repose sur la liquidité et sur la production des commodities. Les

règles auxquelles est soumise la pondération permettent d’avoir une allocation diversifiée.

En effet, Dow Jones indique qu’un poids disproportionné attribué à une matière première ou

à un secteur est susceptible d’augmenter trop fortement la volatilité et accroîtrait le risque

de l’indice.

DJ UBS3

Energy 32,97% Natural Gas 11,89%

Crude Oil 13,79%

Gasoline 3,70%

Heatoil 3,60%

Industrial Metals 20,28% Aluminium 6,99%

Copper 7,29%

Zinc 3,10%

Nickel 2,90%

Agriculture 29,27% Wheat 4,80%

Corn 5,69%

Soybean 7,59%

Soybean Oil 2,90%

Sugar 3,00%

Cotton 2,30%

Coffee 3,00%

Livestock 6,69% Live Cattle 4,30%

Lean Hogs 2,40%

Precious Metals 10,79% Gold 7,89%

Silver 2,90%

3 Source : Dow Jones UBS – Janvier 2009



Figure 2 - Répartition des poids du DJ UBS



IV / Description des données et de la méthodologie

IV.1. Les données

L’étude porte sur un ensemble de 22 matières premières représentatives du marché des

commodities, disponibles via contrats futures, et relativement liquides. Elles représentent

les secteurs de l’énergie, des métaux de base, des métaux précieux, de l’agriculture et de

l’élevage. Chaque contrat future a pour échéance décembre à l’exception des contrats Sucre

et Soja qui arrivent respectivement à échéance en octobre et en novembre. Le contrat

Gazoline considéré est celui du RBOB Gasoline à partir de décembre 2006, mais avant cela,

on considère le HU Gasoline qui a été retiré du marché pour être remplacé par le RBOB.

Secteur Matière Première Maturité

Energy WTI Décembre

Brent Décembre

Heating Oil Décembre

Gasoil Décembre

RBOB (/HU) Gasoline Décembre

US Natural Gas Décembre

Precious Metals Gold Décembre

Silver Décembre

Base Metals Aluminium Décembre

Zinc Décembre

Lead Décembre

Nickel Décembre

Copper Décembre

Agriculture Corn Décembre

Wheat Décembre

Sugar 11 Octobre

Soybean Novembre

Cocoa Décembre

Coffee C Décembre

Cotton 2 Décembre

Live Stocks Live Cattle Décembre

Lean Hogs Décembre

Le roll est effectué cinq jours avant l’échéance du contrat afin d’obtenir des données

continues. On analyse les données, téléchargées sur Bloomberg, à partir du 31 décembre

1997 (pour le contrat à échéance en décembre, octobre ou novembre 1998) et jusqu’au 31



juillet 2009 (contrat à échéance en fin 2009), ce qui revient à considérer 12 contrats pour

chacune des 22 commodities.

Les données relatives au S&P GSCI et au DJ UBS sont aussi téléchargées sur Bloomberg sur la

même période.

IV.2. La méthodologie

On compare quatre méthodologies d’allocation d’actifs :

• 1/N, stratégie naïve ou équipondérée (EWP)

• Variance Minimum (MVP)

• Equally-weigthed Risk Contribution (ERC)

• Most-Diversified Portfolio (MDP)

N représente le nombre de matières premières considérées ; ici N = 22. On reste tout au long

de l’étude sous la contrainte budgétaire ; en notant wi le poids associé à la matière première

i, cette contrainte se traduit par :

@ "$ � 1

$%�

On se place dans sous la contrainte d’absence de ventes à découvert : '( ) *1, ,-, 0 . "$ . 1

Compte-tenu du nombre limité de contrats on n’impose pas de valeur minimum ni

maximum, à l’instar des règle UCITS III, aux poids des commodities en portefeuille.

La matrice de variances-covariances Σ est calculée mensuellement, sur une période d’un an,

à l’exception de la première année où Σ est calculée sur le plus large ensemble de données

disponibles. On considère qu’un mois est constitué de 21 jours ouvrés ; les 12 contrats

considérés permettent donc de travailler sur 3008 cotations quotidiennes, ce qui représente

143 mois.

Les poids des différentes allocations sont obtenus de la manière suivante :

• EWP : '( ) *1, ,-, "$ � 1/,

• MVP : Le vecteur x* des poids du portefeuille minimum-variance est obtenu par

minimisation dans la fonction qui à un vecteur de poids de dimension N associe sa

variance : �� argmin ��Σ ��



• ERC : Le vecteur x* des poids du portefeuille ERC est obtenu en minimisant l’écart-

type des contributions au risque : �� argmin 6�� E Σ. ��7

En effet, la solution analytique x* n'étant pas nécessairement évidente à mettre en

place, on a recours à une optimisation pour cette allocation aussi. On aurait pu tenter

d’optimiser la fonction qui va de ℝN x ℝ dans ℝ :

��, F� g @�F. � � � E Σ��$9

$%�

Mais on constate que cette optimisation, réalisée sur R est sensiblement similaire à la

minimisation de l’écart-type de la contribution au risque, cependant la présence d’un

paramètre supplémentaire à optimiser (c) implique des résultats moins précis.

• MDP : On optimise la fonction qui à un vecteur de poids associe le ratio de

diversification D(x) :

�� argmax I ��√��Σ �K

Le calcul des pondérations est effectué chaque mois, on construit ainsi dans un premier

temps 4 portefeuilles. On introduit dans un second temps le P&L dû au roll. Cinq jours avant

la maturité de chaque contrat, le roll introduit un gain ou une perte dû au changement de

contrat : si le nouveau contrat est plus élevé que le contrat arrivant à maturité (situation de

contango ou report), alors le roll induit une perte (dans le cas inverse on est en situation de

backwardation ou déport). L’introduction du P&L dû au roll permet la construction de 4

autres portefeuilles que l’on notera ER (pour "Excess-Return"). Les poids appliqués sont ceux

calculés à partir des données spot.

On se trouve donc en présence de 8 portefeuilles :

Sans prise en compte du roll Prise en comte du roll

EWP EWP.ER

MVP.LO MVP.LO.ER

ERC.LO ERC.LO.ER

MDP.LO MDP.LO.ER



V / Application de quatre méthodes alternatives

d’allocation à un panier de matières premières

V.1. Performances des portefeuilles "spot"

Au regard des performances des portefeuilles constitués sur les données spot, on constate

que l’allocation naïve domine nettement toutes les autres en termes de rendement, mais

elle est aussi l'allocation présentant le plus de risque que ce soit au niveau de la volatilité ou

des draw-downs4. L’allocation "MD" est devancée par les trois autres, malgré sa volatilité

peu élevée, son rendement bas (7.26% de rendement annualisé) implique le ratio de Sharpe

le plus faible même s'il reste du même ordre de grandeur que ceux des autres portefeuilles.

Le MVP domine effectivement en termes de risque : il présente les draw-downs et la

volatilité les plus faibles. Au regard des ratios de Sharpe, le portefeuille optimal est ici l'ERC.

On constate ici que le MDP se rapproche du portefeuille à minimum variance et que

l'allocation ERC se situe bien entre ce dernier et l'allocation naïve. Malgré un rendement

annualisé plus faible, l'ERC présente une volatilité de deux points inférieure à celle de l'EWP

ce qui lui vaut un meilleur ratio de Sharpe. Il domine le MVP par un meilleur rendement,

même si sa volatilité est sensiblement plus élevée.

Figure 3 - Performances des portefeuilles spot

4 Les Draw-Downs (DD) sont présentés ici en valeur absolue



MVP.LO ERC.LO MDP.LO EWP

Rendement annualisé 6.39% 8.16% 7.26% 9.46%

Volatilité 9.50% 12.09% 11.09% 14.34%

Ratio de Sharpe 0.67 0.68 0.66 0.65

MDD 1 jour 4.66% 4.96% 4.91% 5.98%

MDD 1 semaine 6.95% 8.60% 8.13% 9.67%

MDD 1 mois 16.64% 25.65% 21.43% 28.53%

DD Maximum 32.49% 43.62% 36.71% 47.20%

Performances des portefeuilles long-only

En termes de ratio de diversification, on remarque que le MDP domine évidemment les

autres. Cependant, bien que les niveaux de diversification soient assez différents pour les

quelques premiers mois, avec un ratio de diversification faible pour le portefeuille 1/N, ces

ratios se retrouvent rapidement à un niveau proche autour de 3 pour le 30ème mois et

terminent autour de 1.6.

Figure 4 - Evolution des ratios de diversification des portefeuilles spot (/mois)


Moyenne 2.49 2.64 2.87 2.37

Minimum 1.44 1.58 1.75 1.50

Maximum 4.21 3.81 5.08 3.11

Ratios de diversification

On remarque que le ratio de diversification du portefeuille ERC est entre celui du MDP et de

l’EWP, contrairement à celui du MVP qui est plus volatile.

1.2

1.7

2.2

2.7

3.2

3.7

4.2

4.7

5.2

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120 127 134 141




Malgré leur plus faible ratio de diversification, les portefeuilles ERC et EWP sont les seuls

comprenant en permanence les 22 matières premières. Le portefeuille ERC met en place une

allocation où l’ensemble des actifs sont représentés, et où les poids attribués sont proches

(faible écart type), à l’inverse des MVP et MDP dont les valeurs des poids sont beaucoup plus

dispersées. Ceci explique les performances proches des portefeuilles ERC et EWP.

Figure 5 - Evolution des poids des portefeuilles MVP.LO, ERC.LO et MDP.LO (/mois)


Moyenne 4.55% 4.55% 4.55% 4.55%

Ecart type moyen 8.41% 2.49% 4.99% 0.00%

Minimum 0.00% 1.21% 0.00% 4.55%

Maximum 67.16% 20.87% 35.09% 4.55%

Nb titres moyen 14.27 22.00 16.50 22.00

Poids des actifs

On vérifie que la contribution au risque est bien la même pour chaque titre au sein de

l’allocation ERC en constatant que la contribution au risque moyenne est confondue avec la

minimum et la maximum. Bien que la contribution au risque devienne plus importante sur

les derniers mois, du fait des prix des matières premières plus volatiles, celle de l’allocation

ERC reste faible devant celle des autres allocations. Ce qui importe ici est le fait que chaque

-5.0%

5.0%

15.0%

25.0%

35.0%

45.0%

55.0%

65.0%

75.0%

1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141

Min MVP.LO Max MVP.LO

-5.0%

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141

Min ERC.LO Max ERC.LO

-5.0%

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

35.0%

1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141

Min MDP.LO Max MDP.LO



actif contribue également au risque du portefeuille, ce qui se traduit par un écart type (de la

contribution au risque) nul.

A l’opposé de l’ERC, le portefeuille MV montre un écart type le plus important et une valeur

maximale de la contribution au risque très élevée devant la moyenne. Ce phénomène

montre une forte concentration du risque sur un ou sur un petit nombre d’actifs, ce qui met

en relief le problème de faible diversification du risque du portefeuille MV. Les portefeuilles

MDP et EWP présentent des contributions au risque assez proches avec une moyenne plus

importante pour l’EWP et un écart type plus grand pour le MDP, essentiellement en fin de

période.

Figure 6 - Evolution de la contribution au risque des portefeuilles spot (/mois)

(*1e7) MVP.LO ERC.LO MDP.LO EWP

Moyenne 11.84 21.78 16.73 33.41

Ecart Type 24.47 0.00 17.25 16.52

Minimum 0.00 2.36 0.00 - 5.63

Maximum 524.00 102.00 286.00 266.00

Contributions au risque

Le dernier graphique présente le niveau de volatilité conditionnelle en fonction du temps

obtenu par un modèle GARCH(1,1). On rappelle que le modèle GARCH permet une

-5.00E-06

5.00E-06

1.50E-05

2.50E-05

3.50E-05

4.50E-05

5.50E-05

1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141

Min MVP.LO

Max MVP.LO

Average MVP.LO

0.00E+00

2.00E-06

4.00E-06

6.00E-06

8.00E-06

1.00E-05

1.20E-05

1 14 27 40 53 66 79 92 105 118 131

Min ERC.LO

Max ERC.LO

Average ERC.LO

-5.00E-06

0.00E+00

5.00E-06

1.00E-05

1.50E-05

2.00E-05

2.50E-05

3.00E-05

1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141

Min MDP.LO

Max MDP.LO

Average MDP.LO

-5.00E-06

0.00E+00

5.00E-06

1.00E-05

1.50E-05

2.00E-05

2.50E-05

3.00E-05

1 14 27 40 53 66 79 92 105 118 131

Min EWP

Max EWP

Average EWP



représentation autorégressive de la variance conditionnelle d’un processus. En effet, un

processus (rt)t (ici les rendements) satisfait un GARCH(p,q) s’il s’écrit sous la forme : Jh � F > ih

ih � jh8kh

kh � l > @ m$ih�$9n

$%�> @ L$kh�$

3

$%�

où zt désigne un bruit blanc faible homoscédastique de moyenne nulle et de variance σ2, ht

désigne la variance conditionnelle du processus (conditionnelle à l’ensemble des

observations passées) et les coefficients : ω, αi, βi sont supposés tels que : l o 0, m$ / 0, L$ / 0

L’objectif ici n’est pas de savoir si les rendements des portefeuilles suivent précisément des

processus GARCH(1,1), mais d’avoir une estimation du niveau de risque des portefeuilles.

Figure 7 - Evolution de la volatilité conditionnelle des portefeuilles spot

On constate ici, conformément aux attentes, que le portefeuille MV présente une volatilité

conditionnelle faible (par rapport aux autres portefeuilles) sur toute la période. La volatilité

la plus forte est globalement celle du portefeuille 1/N ce qui est cohérent avec l’idée qu’il est

celui qui présente le risque le plus important. Le portefeuille ERC présente une volatilité

comprise entre celle de l'EWP et du MVP. Le MDP présente globalement un risque faible,

mais montre des pics de volatilité, ce qui implique qu'il peut localement être plus risqué que

les trois autres portefeuilles, ce qui est aussi le cas du MVP même si cela n'arrive que

rarement.



V.2 Analyse de l’influence du roll

L’approche traditionnelle pour le traitement des rolls (renouvellement des contrats arrivant

à échéance) consiste à considérer le prochain "nearby" (prochain contrat arrivant à

échéance), comme le fait le S&P GSCI par exemple. L’aspect théorique vu précédemment ne

permet pas de mettre en place des indices pouvant être réellement échangé. En effet, pour

qu’un indice soit tradé il doit prendre en compte le P&L dû au roll, c’est ce qui différencie

l’indice S&P GSCI (spot) et l’indice S&P GSCI ER (Excess Return) qui est effectivement tradé.

Récemment, les indices sur matières premières ont vu apparaître des procédures de

traitement du roll dynamique. Le roll a un impact non négligeable sur les portefeuilles de

commodities, comme le montre l’étude ci-après, leur prise en compte est très importante.

Figure 8 - Performances des portefeuilles ER

MVP.LO.ER ERC.LO.ER MDP.LO.ER EWP.ER

Rendement annualisé 3.48% 4.51% 3.58% 5.98%

Volatilité 8.88% 11.83% 10.58% 14.12%

Ratio de Sharpe 0.39 0.38 0.34 0.42

MDD 1 jour 3.11% 4.96% 3.62% 5.98%

MDD 1 semaine 5.94% 8.60% 8.13% 9.67%

MDD 1 mois 16.64% 25.65% 21.48% 28.53%

DD Maximum 33.25% 46.32% 38.66% 50.40%

Performances des portefeuilles ER



On remarque que les performances obtenues sont plus faibles lors de la prise en compte du

roll. Les ratios de Sharpe baissent fortement passant de 0.68 pour l’ERC à 0.38 et de 0.65

pour le MDP à 0.34, non pas à cause d’une plus forte volatilité, celle-ci étant même très

légèrement plus basse (globalement), mais à cause de rendements beaucoup plus faibles

(5.98 % contre 9.46 % de rendement moyen pour l’EWP et 3.48 % contre 6.39 % pour le

MVP).

Les draw-downs maximums restent proches de ceux obtenus en l’absence de roll.

L’introduction du roll impacte donc très négativement l’ensemble des portefeuilles en

termes de rendements.

Cet impact s’explique par un nombre important de contrats en contango lors de la période

d’étude. En effet, pour les 12 contrats des 22 matières premières considérées, on remarque

un nombre moyen de contrats en contango de 6.86 alors que le nombre de contrat en

backwardation sur la même période atteint en moyenne 3.68. Les contrats étudiés perdent

en moyenne 3.94 % lors des rolls. Ainsi, sur la période considérée, l’ensemble des

commodities étudiés souffre des nombreux contrats en contango ce qui impacte fortement

les portefeuilles mis en place.

DeMiguel, Garlappi et Uppal [2007] préconise d’étendre les paramètres pris en compte par

les modèles aux caractéristiques des actifs ; ces caractéristiques peuvent ici comprendre les

rolls des contrats. En effet, la prise en compte des rolls des contrats dans la pondération des

matières premières permettrait d’améliorer les performances des portefeuilles "ER".

Les niveaux de volatilités conditionnelles obtenues pour les portefeuilles ER sont similaires

aux portefeuilles ne tenant pas compte du roll.

V.3. Allocations alternatives et indices sur matières premières

Parmi les indices de matières premières, le S&P GSCI est une référence, mais celui-ci est

fortement pondéré en énergie et particulièrement en crude oil. Un autre indice de référence

est le DJ UBS, qui est plus représentatif de l’ensemble des matières premières. La

pondération de ces deux indices s’appuie sur le niveau de production des matières

premières.

Jusqu'en juillet 2008, les indices S&P GSCI et DJ UBS (spot) montrent de bonnes

performances en termes de rendement, ce qui peut d'expliquer par leur forte pondération

en matières premières énergétiques notamment pour le GSCI. Cependant le rendement

annualisé des deux indices sur toute la période d'étude est au final relativement faible suite



à la chute de ces mêmes matières premières, ce qui leur vaut aussi un draw-down maximum

assez important. En terme de ratio de Sharpe, les deux indices spot se retrouvent dominés

par toutes les allocation vue précédemment (MVP.LO, ERC.LO, MDP.LO et EWP), ce à cause

d'une trop forte volatilité. Le GSCI a le ratio de Sharpe de loin le plus faible, on constate que

c'est ici l'allocation la plus risquée que ce soit en termes de volatilité (24.75%) ou en termes

de draw-downs (65.54%).

Le DJ UBS montre un risque bien plus bas avec une volatilité de 17.23 % ce qui lui permet

d’avoir un ratio de Sharpe de 0.54 contre 0.68 pour l'ERC et 0.33 pour le GSCI. Même si les

draw-downs du DJ UBS spot sont moins élevés que ceux du GSCI, ils restent plus important

que ceux des allocations étudiées.

Figure 9 - Performances ne tenant pas compte du P&L du roll

S&P GSCI DJ UBS S&P GSCI ER DJ UBS ER

Moyenne 8.11% 9.22% -0.63% 0.79%

Volatilité 24.75% 17.23% 24.78% 17.16%

Ratio de Sharpe 0.33 0.54 -0.03 0.05

MDD 1 Jour 7.48% 5.81% 7.48% 5.81%

MDD 1 Semaine 14.46% 10.25% 14.46% 10.24%

MDD 1 Mois 34.86% 27.42% 35.30% 28.62%

DD Maximum 65.54% 53.18% 71.56% 57.13%

Performances des indices de matières premières

Les indices S&P GSCI ER et DJ UBS ER présentent des rendements annualisés nettement

inférieurs pour un volatilité identique aux indices spot, ce qui leur vaut des ratios de Sharpe



très inférieurs. On constate ici que les deux indices sont nettement plus sensibles l'impact du

roll. Les draw-downs maximums sont aussi impactés. Cette très nette différence entre les

deux indices ER et les portefeuilles ER provient d'une part du choix de la pondération plus

équilibrée des allocation MV, MD, ERC et EW, mais aussi du choix des contrats décembre

pour la constitution des portefeuilles.

D'un part, on constante que l'allocation naïve donne le portefeuille le moins sensible à

l'introduction du roll, la bonne diversification de ce portefeuille lui permet d'équilibré les

effets du report et du déport. L'ERC, par ces caractéristiques assez proches du portefeuille

"1/N" et en mettant en place un portefeuille à la fois diversifié et équilibré en termes de

risque, est aussi moins impacté par le roll. Les allocation minimum-variance et most-

diversified, bien que moins diversifiées que les deux précédentes, sont plus équilibrées que

les indices S&P GSCI et DJ UBS.

D'autre part, le choix des contrats à échéance en fin d'année permet de diminuer l'impact du

roll par rapport à l'utilisation de contrats nearby.

Figure 10 - Performances des indices et portefeuilles ER

On s’intéresse aux indices Excess Returns, car ce sont ces indices qui sont échangés. Dans ce

cadre, on constate que les allocations EWP et ERC dominent nettement les autres allocations

et indices. Ces deux allocations présentent effectivement de meilleures performances du fait

de leur meilleure diversification. On confirme ici que pour obtenir de bonnes performances

les indices de matières premières doivent prendre en compte l’effet du roll.



VI / Conclusion

Les résultats obtenus sont dans la lignée de ceux présentés dans les articles DeMiguel,

Garlappi et Uppal [2007] et Maillard, Roncalli et Teiletche [2009]. Nous avons montré que,

bien que naïve, l’allocation 1/N ne semble pas être aussi inefficiente qu’on peut le penser.

Cette méthode d’allocation surperforme les allocations de type minimum-variance, most-

diversified ou equally-weighted risk contribution, dans le cas des portefeuilles "Excess

Return".

L’allocation ERC présente des résultats assez proches du portefeuille équipondéré. Ceci est

dû au fait que cette allocation permet une bonne diversification, mettant en jeu l’ensemble

des actifs considérés. C'est également la méthode d'allocation la plus performante en

termes de ratio de Sharpe dans le cas "spot", bien que toutes les allocations présentent alors

des résultats proches. Le fait de minimiser l’écart type de la contribution au risque pour

obtenir la pondération du portefeuille ERC permet une approche simple de cette allocation ;

en effet les poids attribués à chaque actif sont proches (faible écart type), ce qui la rend

comparable à la méthode 1/N.

Le portefeuille minimum-variance, malgré un risque ex-post faible présente des rendements

faibles. Cette allocation souffre d’un manque de diversification : elle concentre le

portefeuille autour de quelques actifs présentant une variance et une covariance faible.

Enfin, le MDP souffre d’un risque trop important pour le niveau de rendement obtenu, ceci

est dû à la définition même du ratio de diversification.

L’introduction du roll dans les portefeuilles considérés permet de se rapprocher de la réalité

du marché des matières premières. En effet, les indices sur commodities effectivement

tradés prennent en compte le P&L dû au renouvellement des contrats. On constate que les

performances obtenues sont inférieures lorsque le roll est pris en compte. Ceci est dû au

nombre important de cours de matières premières en contango sur la période d’étude parmi

les contrats considérés.

Une amélioration des méthodes d’allocation appliquées à des contrats à terme consisterait à

prendre en compte le roll des contrats. En effet, DeMiguel, Garlappi et Uppal préconisent de

considérer plus de caractéristiques des actifs pour la mise en place de méthodes

d’allocation ; le roll étant une problématique concrète et réelle de l’allocation de contrats de

matières premières, la prise en compte de celui-ci permettrait d’améliorer les performances

des portefeuilles "ER".



Une autre amélioration relative à la mise en place des méthodes d’allocation d’actifs

étudiées concerne l’estimation des matrices de variance-covariance. En effet, le choix de la

méthodologie de calcul de ces matrices est généralement assez arbitraire ; en l’occurrence la

mise en place de fenêtres d’estimation d’un an ne permet pas de prendre en compte

l’ensemble de l’information disponible et est ainsi source d’erreurs. On pourrait par exemple

mettre en œuvre une méthodologie du type DCC (Dynamic Conditional Correlation)

développée dans Engle [2002], permettant d’évaluer des matrices de corrélations sur

l’ensemble de la période d’estimation par un modèle GARCH multivarié.



Table des figures

Figure 1 - Répartition des poids du S&P GSCI ........................................................................ 19

Figure 2 - Répartition des poids du DJ UBS ............................................................................ 21

Figure 3 - Performances des portefeuilles spot ..................................................................... 25

Figure 4 - Evolution des ratios de diversification des portefeuilles spot (/mois) .................... 26

Figure 5 - Evolution des poids des portefeuilles MVP.LO, ERC.LO et MDP.LO (/mois) ............ 27

Figure 6 - Evolution de la contribution au risque des portefeuilles spot (/mois) .................... 28

Figure 7 - Evolution de la volatilité conditionnelle des portefeuilles spot .............................. 29

Figure 8 - Performances des portefeuilles ER ........................................................................ 30

Figure 9 - Performances ne tenant pas compte du P&L du roll .............................................. 32

Figure 10 - Performances des indices et portefeuilles ER ...................................................... 33



Bibliographie

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Engle [1999] (première version) [2002] (seconde version) – Journal of Business and Economic

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