Fiche méthodologie N°2 : Méthode de l’écart

Dans les tests de logique, nombreuses sont les questions relatives aux écarts entre deux

mobiles qui roulent avec des vitesses différentes :

l’un en direction de l’autre : Croisement

dans la même direction : Rattrapage

La question porte, la majorité du temps, sur le moment où le croisement (ou le rattrapage)

aura lieu.

Dans la plupart des cas, l’un des deux mobiles part avant l’autre. Nous prendrons soin à

appliquer cette méthode uniquement dès le moment où les deux mobiles sont en mouvement.

Pour ces problèmes, la méthode de l’écart permet de résoudre en une seule équation le

problème car elle est basée sur un raisonnement simple :

dans le cas du croisement : l’écart entre les deux mobiles se réduit à une vitesse

égale à la somme des deux vitesses (à condition que les deux mobiles soient en

mouvement !)

dans le cas du rattrapage : l’écart de distance entre les deux mobiles se réduit à une

vitesse égale à la différence (positive !) entre les deux vitesses (à condition que les

deux mobiles soient en mouvement !)

Résoudre un problème d’écart revient essentiellement à trouver la durée nécessaire

pour qu’il y ait rattrapage ou croisement. Ceci se fait en trois étapes.

La première étape : Déterminer l’écart entre les deux mobiles selon les configurations:

configuration 1 :

o si les deux mobiles effectuent un départ simultané, la distance les séparant

initialement est l’écart qu’il faut considérer. On rencontre cette configuration

uniquement dans les problèmes de croisement.

configuration 2 :

o départ tardif de l’un des mobiles : il faut calculer l’écart au moment où le

mobile retardataire se met en mouvement. On rencontre cette configuration

aussi bien pour les rattrapages que pour les croisements.

Exemple 1: Cas d’un rattrapage

Un vélo part à 8h00 de la ville A à une vitesse de 18km/h. Le motard quitte lui la même ville

à 11h00 à une vitesse moyenne de 90 km/h.

Dans cet exemple, au moment où ce dernier s’élance. Dans l’exemple proposé ci-dessus, il

faut déterminer le nombre de kilomètres que le cycliste aura parcouru entre 8h00 et 11h00.

Afin de trouver cette distance parcourue, il suffit de multiplier la vitesse du véhicule par le

temps durant lequel il a roulé.

Dans l’exemple, le cycliste roule entre 8h00 et 11h00 avant le départ du motard, soit un temps

de 3h00 (11h00 – 8h00 = 3h00). Puisque nous savons que le cycliste roule à une vitesse de

18km/h, il aura effectué 54 kilomètres (3 heures × 18 kilomètres = 54 kilomètres) entre 8h00

et 11h00. 54 kilomètres est donc l’écart entre les deux mobiles.

Attention toutefois aux problèmes de conversion ! L’exemple ne pose pas de soucis ici

puisque nous tombons sur un chiffre rond, mais il est parfois plus utile de repasser par le

temps en unité de minutes pour obtenir la distance. Si le cycliste avait roulé 3h30, nous

aurions noté dans nos calculs (au moment de multiplier par la vitesse par exemple) 3,5 et non

pas par 3,3 ! Car 3h30 correspond à (3 × 60) + (1× 30) = 210 minutes. Sachant qu’il y a 60

minutes dans une heure, il faut diviser ensuite le chiffre obtenu par 60 et donc obtenir le

nombre par lequel multiplier la vitesse (en heures) pour trouver la distance totale parcourue.

Donc ici : 210 / 60 = 3,5.

La deuxième étape : Déterminer la vitesse à laquelle s’effectue la réduction de l’écart :

Dans le cas d’un croisement, il s’agit de la somme des deux vitesses

Dans le cas d’un rattrapage, il s’agit de la différence (positive !) entre les vitesses.

Dans l’exemple précédant, il s’agit d’un problème de rattrapage. La vitesse de réduction de

l’écart est donc la différence entre les deux vitesses, soit 90 – 18 = 72km/h. Cela s’interprète

simplement par le fait que l’écart entre les deux mobiles se réduit de 72 kilomètres toutes les

heures.

La troisième étape : Déterminer la durée

Il s’agit de trouver, par une simple division, la durée nécessaire pour l’écart soit réduit en

entier. On retiendra alors la formule :

Ceci s’applique facilement à l’exemple 1 :

La durée nécessaire pour effectuer le rattrapage est égale à soit 0,75.

Le résultat trouvé est donné en unité de temps, soit 0,75 heure. Donc, ici, pour convertir ce

chiffre en minutes, il faut multiplier par 60 : 60 × 0,75 = 45. Le motard mettra donc 45

minutes pour rattraper le cycliste.

Vérification. Il est simple de vérifier ce résultat. Il faut pour cela calculer la distance qu’a

parcourue le cycliste en 3h45 (3h00 entre 8h00 et 11h00 et 45 minutes entre le moment où le

motard s’est élancé et celui où il l’a rattrapé). En 3h45 il aura parcouru : 3,75 × 18 = 67,5

kilomètres. La moto aura elle roule 45 minutes à une vitesse de 90 km/h soit : 0,75 × 90 =

67,5 kilomètres. Les deux véhicules auront bien parcouru la même distance (par rapport à la

ville de départ A) à 11h45 !

Le piège des unités !

- Il faut prêter une grande attention aux différentes unités spatio-temporelles intervenant

dans un problème (ne pas mélanger les minutes et les heures d'un côté, les mètres et

les kilomètres de l'autre). Du coup, il vaut mieux garder une seule unité pour les temps

et une seule unité pour les distances tout au long de la résolution d’une question. Le

choix de cette unité dépend de la question mais, en général, lorsqu’on est confronté à

un mélange indigeste (des heures et des secondes, des kilomètres et des mètres par

exemple) on ramène tout à la plus petite unité (mètres et secondes).

- ATTENTION ! Il faut être attentif lors des conversions. Par exemple, si l’on veut

convertir 1095 minutes en heures, il est faux de poser la division puis de

conclure que 1095 minutes sont égales à 18 heures et 25 minutes. La méthode correcte

est de poser : ou de considérer que 18h25, c’est 18h + un quart

d’une heure soit 15 minutes, ce qui donne 18 heures et 15 minutes. Rappelez-vous

toujours que 5,5 heures ne sont pas égales à 5h50 mais à 5h30.

Exemple 2 : Autre cas de rattrapage

Une voiture quitte une ville à 17h à la vitesse de 75 km/h. A quelle heure va-t-elle rattraper un

cycliste parti de la même ville à 14h à une vitesse de 15 km/h ?

Le plus rapide et le plus simple est de raisonner en fonction de l’écart entre les deux

« éléments » mobiles comme nous l’avons montré dans la méthode de l’écart. La voiture

(quand elle roule) rattrape 75 – 15 = 60 kilomètres de son retard sur le cycliste en une heure ;

c’est à dire que l’écart se réduit de 60 kilomètres en une heure. A 17 h (au départ de la

voiture), le cycliste se sera éloigné de 3 x 15 = 45 kilomètres : c’est notre écart. Cet écart sera

donc comblé en d’heure, c’est-à-dire 45 minutes. La voiture va donc rattraper le

cycliste à 17h 45 mn.

Exemple 3 : Méthode de l’écart (problème de croisement) : On s’était dit rendez-vous dans…

Une voiture part d’une ville A à 17h à la vitesse de 75 km/h. A quelle heure va-t-elle

rencontrer un cycliste parti à 14h d’une ville B à la vitesse de 15 km/h, sachant que les deux

villes sont distantes de 180 kilomètres ?

Comme c’était le cas dans l’exemple précédent, raisonnons en nous appuyant sur l’écart entre

la voiture et le cycliste. La voiture (quand elle roule) et le cycliste se rapprochent de 75 + 15 =

90 kilomètres en une heure, de sorte que l’écart se réduit de 90 kilomètres en une heure. A 17

h (au départ de la voiture), le cycliste est éloigné de 135 kilomètres. A 17h,

l’écart vaut donc 135 km. Cet écart sera donc comblé en h, soit 1 heure et 30

minutes. La voiture va alors rencontrer le cycliste à 18 heures 30.

15 km/h 75 km/h

15 km/h 75 km/h

Départ : 17h00

Ville A

Départ : 14h00

Ville A

Départ : 17h00 Départ : 14h00

Ville B