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I L N U O V 0 C I M E N T O VoL. X X I , N. 5 1 o Se t tembre 1961
M6thodes &approximation pour la d6termination de potentiels semi-ph6nom6nologiques nucl6on-nuel6on.
H. COgN[LLE
fmbora t o r i c , lo l iot -r de P h y s i q u e .Vucldaire - Orsay
(ricewlto il 16 ~',iugno 1961)
Summary. We wish |o ~'m~struct a formal ism a l lowing to eonneel phenomenolo~' ical parameters of different pot ent iMs in nuc leon-nuc leon scattering with experimental results: plmse-shifts and coupl ing para- meters. We shm~ tha t phase-shifts are obtained by numerical eMcula- t ions of two imetzrals, the lwo integrants being solutions of Volterra's e,mpled integral equations whose kernels explicitly depend on potentiMs.
I n t r o d u c t i o n .
Les progr6s r6alis6s et h,s n o m b r e u s e s 6 tudes po r t : ro t sur l ' a n M y s e e n d6-
ph~rsage de la diffusion nuel ( 'on-nuel6on jusqu'/~ 400 MeV p e r m e t t e n t d ' e sp6 re r
d a n s un a v e n i r proehe l ine eonna i s sanee 11011 ambiguf i de ees d6pha.sages. On
p e u t done p rendre ees ddphasa~'es e x p d r i m e n t a u x e o m m e p o i n t de d 6 p a r t e t
e s s a y e r de ]es re l ier d ' u n e facon p r a t i q u e avee une f ami l l e de po t en t i e l s con-
s i s t a n t e avee les eons id6ra t ions th6or iques , i ' es eons id6r~ t ions auss i b ien que
les donn6es de l ' exp( ' r i enee nous astreiR'nent '~ ineht re I ' O . P . E . P . Nous t ien-
d r o n s e o m p t e aussi d ' un e w u r du r de Payoll rc ~ 0. Une m 6 t h o d e d ' i t 6 r a t i o n
pa r t i eu l i b r e o b t e n u e pa r A. MAtca'tx pore ' l 0 (~) e t qui fou rn i t des ~pprox i -
Im~tions c o m m o d e s s ' 6 t end de diw, rses man ib res p o u r l ~ 0 ('~-'~) et pore"
une b~rR'e elasse tie po l en t i e l s (~) ~ .ompremmt en t r e au t r e s ~ exp [ - - n / ~ r ] r v.
(1) A. MAwrlx: Xu<,co ( ' i m , , t o . 14, 4~3 ([.q59). (2) A. MMtT,\: N u , c , r 15, 59 (196f). (a) I)E ALFam~ e~ i*. R~ISSI:TT,: N m , ro ( ' im~nlo , 18, 780 (1960). (~) L. BEwr,~ccul. {'. i'l.:ollX el N. !I'~X'IX: N u o r o C i m r 18. 770 (1.q6{~). (s) l[. ('I}RNIL1].:: (%mFl . L ' ~ , d . . l e a d . ,';ci., 251, 2135. 23{8 (1960).
50 -. ll A'uoco ('imcnlo.
774 H. CORNILLE
1. - P o t e n t i e l s s e m i - p h ~ n o m ~ n o l o g i q u e s .
~ous considSrons (6) pour la diffusion proton-proton 1~ f~mille de poten- tiels (1) s 'aecordant avee les eonsidSrations habituelles d' inv~rianee; pour le syst~me neutron-proton un terme additionnel similaire s (1) dolt 8tre ajout6 correspondant s l'isospin I = 0,
(1) V = V~ § a~'a2V~ § V~sLS § VrS~ + �89162 + (L.a~)(L.a~)).
Les potentials semi-phSnom6nologiques auront les caraet~res habituels: e ~ u r dur, appartenanee ~ la famille (1) le terme dominant ~ grande distance ~tanV I 'O.P.E.P. (2)
~Tous supposons que les divers V~ appar t iennent ~ la famille (3) (Po ~tant r~eI 0 et fini)
(3) V~(r) = exp [~- #r] ] C~(~) exp [-- yr]dy, I C~(7) [< M~y ~o .
0
En Section 2 nous 6tudions le e~s des 6quations non eoupl6es (singulet, t r iplet L = J ) , en Section 3 eelui des 6quations coupl6es avee r 0 ~ 0 et nous montrons la consistence de notre formalisme pour r, ~-0.
2 . - E q u a t i o n s n o n c o u p l 6 e s .
L'4quat ion de Schr6dinger s'~crit en posant la variable radiale 5gale ~,
rc%r off r > 0
(a, (4) ~ § K2-- (re § r) 3] uz(r, + r) =V(rc § r)u~(ro§
V ~tant une combinaison lin~aire de potentiels de la famille (3) off nous avons
omis la d~pendance en 1. Pour d~finir la matriee S nous utilisons une m~thode donn~e (3) dans le cas off r~ = O.
Soient 2 solutions de (4)
c o
R~(r,,~- ~' , i K)=th~((4- K ~i~)(rc+ r))(~• ~ h~(• K(r~+r))~ g.
(5) 2 r ---~ r
o
(s) S. OKU~O et R. E. ~r Anat. Phys., 4, 166 (1958).
METHOI)ES I) 'APPI{(iXIMATION P O U R l . t D,I{iTERMINATION E T C . 775
off
(6) �9 A ( ' ) D,(x) (- i) ~' exp[~K,r]
(1 + p)!
soit une solution u~(r~+r) telle que
uz(rc + r) -- R,(--K,r~ -~- r) -- (-- I)~S~(K)R~(K,r~ 4- r)
]a condition u,(r~)= 0 nous donne 8z(K)
15(-- K, r,,) (7) , ', ' ,(~) = ( - 1), z~,(K,<; h .
La d6termination de x • exp [--ar<.]o~x(a) se fait par la rbsolution d'une 6quation de Volterra,,
(8) x~(~.) 5(~.) d B(~, K)f(l~(~, fi, K)x~(fl)dfl, 0
avec B(a, K ) = (a (a - -2 iK)) ~ et G z ~ 0 pour f l > a--# est donn6 par:
(9)
x -- fi I ~
(;,(~,fl, K ) : : e x p [ - (~ j" t~),',1 .~",(~<,ts, ~+ff, soc(~)a~, 0
co
exp I-- (Y +,u)(r< q r)]h,((K t- ifl)(r,,+ r))=fh,((K+-7~)(r<,+ r)). 0
�9 .Uz(., fl, Y + if, K)(1~
3r est -~ 0 pour ~ < fl+Y+ff,~ son expression et sa d4termination sont donndes en Appendice A.
En Appendice B nous montrons que pour K r6el lxa(~)I< ]B(~, K) I l'exis- ~ c o
tence de Rt(K, r~) en r(;sulte. Soit ]~((K+&)r,) = (i) ~-~ exp [~r(] exp [-- iKr~]hz((K+ioOr~) d'ofi:
off
(11)
~'z(K) --- (-- 1)%~t(K)exp f2iKr<.]-- ~ ( K , r < ) '
T
~, (K, rJ = ]~(_K, r~)-LJi~((K-? iz)rc)x~(a) d~,
It
776 I I . C O R N I L L ] g
comme
~ ( ~ , fi, 7 + #, K) = (~~(~, fi, y § # , - - K*))* on d4duit
~*(K) = ~ ( - - K * ) .
On a doric d 'une part les propri4tbs habituelles
S,(K) -- (~',(--K)) -~ , &(K*) = (S:(K))- ' , S , (--K*) = s ~ ( g ) ,
d'autre part si K est rSel ~ a pour phase - - (~+Kr~§ On dSduit de (8) une 4quation int6grale semblable pour ]~((K+i~)r~)x~(a)=
= a~(o~)- ib~(~). Pour K rOd, les fonctions a~ et b K v4rifient le syst(,me rSel coupl5 (12)
\b~(~) / \b0,~ - - Im.q l:e g/V'~(t~)/ 0
off %x-- ibo~= ]~(Kr) et Re g, I m g sont les parties r('elles et imaginaires de
g(~, fi, K) = B(~, K)G,(~, fi; K)t~((K + i~)rc)(l,((K + ifi)r~)) -~ .
Ces quantit("s se d~terminent 'ds4meut si on remarque que p o u r K rSel
1,(~,/~, K) = l, (~, [~, - K ) , g(~, fl, K) = g*(~, fl, - - K ) ;
finalement: oa
Ib(~) (1~
(13) t g ( b - - K r ~ + l "n) ~- . '~ - ;a(~) d~
0
Le cas ro = 0 a (';t5 (,tudi5 (2); pour une transformation du type (5), il est clair que 1~ m6thode et les r6sultats donnSs pour exp [ - - i , rJr -~ par ALFARO et ROSSETTI (a) s 'appliquent pour I C(y)]< C"~, ~-~ (0 < v < 2).
3. - Equat ions couplbes.
,r'-u, \ dr" )
(14) d~ !
MI{VFIIOl)ES I)'API'R(iXI'~IATION I'(}UR I.A I)I{,TERMINATI()N ET('. 777
Nous avons omis la (16I)endan(~e en J des d ivers l~ a p p a r t e n a n t g la famil le (3). Nous d6sirons relier s i m p l e m e n t ]es po ten t ie l s et lea donn6es exp6- r imen ta l e s ; les d6phasages prop| 'ea ~ , (}~ e t le p a r a m 6 t r e de m61anffe e de BLATT et BIEDENHARN (7) sont auppos6s connua, nous ne faisons nos raison- n e m e n t que sur un seul 6t~t pvopre (~) de la ma t r i ce S.
Nous aupposons la condi t ion a a y m p t o t i q u e (*)
(us) (('oae[hs I (-- K(~" ~ r , ) ) - - (1 )S 'exp[2i(}]hs ,(K(r +rc))]) "~
% ,sine[l,.,+, ( - h'(," ~ , 'o))--( l)'~'exp['-'i,}lh,~,(lC(,'+r..))] (15)
(17)
Nous d6finissons 2 couples de solut ions de (14)
,, , ( ( • K + i~)(~',.+ r)) t)eK(U.)d~ ('I~(• ~(, r, + i ) _
T( ~ K, r,, -- ~hs~l( (q I(+io~)(r,.+r))r•
Soit une solut ion
~('.a ~'& ,(~ tO(r, + ~'))' ~r176 (sin ~'ha+,(~./f(r," ")))"
(is) (us( r , F r ) ) ( R ( K , r , § l)S 'expl2ih]R(K,G+~.)) \ t l ' g ( F , q ?')/ \ . T ( K , t'. + )') -- ( - - | ) s - 1 (~.xl.) 2i517 ' (K, r , .~ ~')
la condi t ion %(r,) = w j(r~) - 0 d(mne
(19) e• [2i()[( I)s , = R(- - K, r,) _ 7'(-- K, r,) h ' (K, r,,) l ' ( / f , ~',)
q• ex]) [-- ~r,] -- x~(~ . ) , r : ~(~) ext)[ ~r, I -- Y_~:~(~) sa t i s fon t 'a une 6qua- t ion int6grale coupL6e de Vo l t e r r a qui se d6dui t a i s6men t en p o r t a n t lea solu-
(7) ,[. M. BLATT et L. C. BII)FNIIARM: Phys. Ree., 86, 399 (1.(}52). (') On pourrait aussi imposer
\ J / w + --\sin~:[exl) l - - i ( K ( G + r (,/ ~ 1)~/2)1 exp[i(2~+K(rc+r ) (J ~ 1)~/2)J]]=/
on obtiendrait des rdsultats semblables; i l faudvait trio(liiier les e(mditions (17) et (23).
778 H. CORNILLE
tions (16) dans (14) ~vec 1~ condition (17)
(2o) ~-~1~-~ ~ K)](x~(fl)] dfi ~ \.y~(~)/ \y,.~(a)] J \G'~-+I(a, t~,K),G~+~t(s~,fl, K)/ \yx(f l ) /
~)
~ + , , (~----~:1) nul pour a < f l § est donn4 p~r
(2~) / .
a , + , (~, fl, K) exp [-- ( ~ - fl)r~ K) = C+~(y)~j+n(o~ , fi, ~ + t ~, dy , J
(22) exp [-- (~ + #)(r,, + r) ]hj~,( (K 4- ifl)(r~ 4- r) ) =
~s=~n'c~ K)hs+~((K r ) )d~ = J ~ J+n~ ,fl, Y + l ~, + is~)(r~-b , o
( J - - - - l~2 , . . . ) .
lqous ~vons pour conditions initi~les en a suivunt la condition (17)
(xo,~(~)] (Xo~(~) 1 (23) ---- Xo cos e , Yo sin s
\Yo,~(:r \yoS(~)]' : = "
Les expressions et d~terminations des noyaux JVj~+%' sont donn6es en Appen- dice A. E n Appendice B nous montrons que pour les conditions initiules (23) e t K r~el
l 'existenee de R(K, re) et T(K, re) en r6sulte. Comme dans le cas des 6quations non coupl6es si on pose
('os~]j l(Krc) j - I ( (K + io~)r,,)x.(o~)d~ ('24) (~(K, re)) =
\ ~ ( K , re)] \ s i n ~]j+i(.~r,.)~-f]j+l((K ~-i~)r,.)yx(~)d~
#
I Y'g] ~ ( - - K, rc) ~--(-- K, rc) (25) exp l2 i (5 + K r ~ + ( J - - 1 ) ~ ] - - ~(K, r , . ) -- 3 - (K , r , ) ' (K r~el).
E tun t donn6 que
a+. , = , = (gYj+,~ ( K )) et que ]j((K + isc)r~) = (Is(I-- K * + is~)r~))*
),II~ITH(H)ES I ) ' A P P R ( ~ X I M A T I O N P O I ; R LA I ) E T E R M I N A T I ( } N E T C . 779
on volt Ms6ment que pour K r6el ~(K, r,) et ~-(K, r~) - - (8 mr Kr~+ (J--1)~12).
On d6duit de (20) un systbme int6gra,1 sembl~ble pour
ont pour phase
(/z ~((K V i~)r<)x~(~) astir) -- ib~(~) /
/.~,((K " i:~)r<)y~(~) ('~(:r id~(~)]"
{a, b, c, d) v6rifiant I l i i syst6me ('oup]6 r6el de Volterru
"a(a) k b(~) i = c(~)/ 4(~)I
' ( t o ~
\ d o ~
~- " I m .q_~
Re g+~
I m g+~
]mRc g-~-l-1 ]~e (]+-I1 Im g+-~\~/ [/" (/7 )\ g_~ -- Img+_~ Reg+_ b(fl)
.q+l Re .q+l I m g c(/7) ( 1 +1
,l/7,
off ao--ibo = cos e ]j_dKr~), co-- ido = sin s ]j+~(Kr,.); Re g+~ et I m g+,~ sont les part ies r6elles et imaginaires de
g~+~;'(~,/7, K) B(~, ~ ' , = K)Gj+~ (~, fi, K)]~+,((K +i~)r~)(]j• +ifl)rc))-'
Iei encore ees quanti tbs se d6terminent Ms6ment ea, r pour K r6el
.q+-+'~K~ = ( . qLT( -K) )* . Ihq ~ / *
Enfin:
(27)
co co
o o
Le syst6me (26) se r6soud par it6r~tion, les n premi6res it6rutions donnant
la solution exaete pour ~ e [0, ny] pour ~ e [0, y] on peu t imposer aux Cd~)
de s ' identifier avec I 'O.P .E.P . et utiliser des p~ram6tres ajust~bles pour les te rmes correspondent s l '6ehange de plus d 'un pion.
Remarque: Si nous voulions d6finir un form~lisme d6termin~nt 8 e t ~ ou .si nous ne eonsid6rions que 8 comme donn6e exp6rimentMe, il f~udrait comme
7 8 0 11. CORNILLE
R. VIS~It-MAU et A. MARTIN (s) prendre une b~se (~omplbte de l'6q. (14) p a r exemple
(R~(• rc+r)) ~ ( h ,_~(~K(r~• ). 1,2, D~ 1, D~ ) 1. T~( • K, r, 4- r) "-~ ~ • K, (r~4-r) /
Une solution quelconque, combimfison lind, a ire des 4 solutions de la baser
soumise ~ux conditions usymptot iques (15) ne d@end plus que de 2 paru- mStres li4s ~ ~ et s que l 'on peut d4terminer en impos~nt u(r~)=-w(r~)= O.
L'exis tence des [ R~(~K'r~) t \T~(~K,r~)!~ sous forme de transform(,s du type (16) est as-
sur4e pour K rSel (Appendiee B :Xo = 1 , Yo= • L '4 tude de ees fonctions pour K complexe pe rmet t r a i t d 'ob ten i r les pro-
pri4t~s d 'unulytici t5 de lu mutrice S d~ns le eas d 'un c(eur dur et de potentiels. du type (3).
Cas de r~= O. - Si on suppose ~( r )~oV~or -~, (Vro--C "~) et les autres po- tentiels de l~ forme V~(r)~-o C'~r-~ on t rouve comme systbme fondumentul de solutions de l'4q. (14) uu voisinage de l 'or igine pour v ~ 2 et ~ 2
(u) ( racf~(r) l (r:+'-~qx~(r)' • ( r - ( ' - ~ ) ~ a ( r ) ' / ~_ (r (a-~+~)cf'(r) 1 ~O\r'+~-~(r)] \r :+~ ~(r)] \r ~a( )] w -~:-~+~) r \ r-(~+')~f,(r) /
~(0) et F~(0) 4t~nt des Ct~'; ~ o ~ ( 0 ) ~ ( 0 ) , ) , ne d~pendant que des coeffi- cients de (14) et de Vr, ; s i v = 0 le dernier t e rme en u devient r-(:-~)Lq~(r).
On ~tudie le eus 0 ~ v ~ 2. b~ous d6finissons toujours 2 solutions du t y p e (16) ~streintes ~ux conditions (17), le syst~me integral (20) est valable p o u r ~ ( a ) , ~ ( ~ ) 1~ condition de r6gularit~ (18) est m~in temmt remplac~e par
(29) l im r J-~+, R(-- K, r) lim r J+~ T(-- 1(, r)
exp [2i~](-- 1) J-1 = r---~o ~ ~-~-o lira ra-~+'R(K, r) l im r:~' T(K, r - - ~ O . r - - > O
Nous justifions l 'existenee de ces limites en Appendiee B pour la f~mille
(30) l c~(r)I< M~r ~-' et I C,(r) l< M~r ~'-~ (0 < ~ ,< 2)
�9 J - - 1 ~ ~--I en mont r~n t que xK(~ ) = ~(ot)(K/(K§ ~=_ ot
(3i)
(s) R. VI]~H-.~.[AU et A. MARTI~ NUOVO Cimento, 20, 390 (1961), ind6pendamment ont. 6tudi~ les ~quations coupl6es pour obtenir les propri6t(~s d'analyticit6 de la matrice S.
M I " 3 T I I O D E S ] ) ' A P I ' R O X I M A T I ~ N t ' ( ) U I 4 L A I ) f 'YI 'ER' ,dlNATION E T C . 7 8 1
('rK(:~)t vdrifiant UU systbme int6gral du (~ est le plus petit de 2 - - v , '2--~i)U/K(a) !
type (20) off
(32) G s§ (K i ifl) .~ , ] (~,7,~ .... -s~:~l, "a74(7~fi'/z~K) (It" io:).1~. 'nP/)"e'l+'7(7"'fi'gJ q /t, K) d9'.
o
g * . $
Je remereie ~onsieur le Professeur R. NATAF et ]e Dr. A. MARTIN qui sont g l'origine de cette 6tude et re 'out encourag6 's publier ce travail.
~ P P E N I ) I ( ' E m
Determination et ealeul des noyaux ~J~'~ ,,'t jq.~!.
a) I1 a 6t6 proI)os6 '2 m6thodes t)our d6terminer ,~t (3-5). Nous I.al~- pelons (5) qu~6tant (lonn6(, la propri6t6
~r [ (re+ r)th,(AT,',. ~ ,'))] = h'(,'c--§ , ') 'h, dh'(,',. 4-, ')) ,
la t ransformation pour /(r, .+ r) qu(qconque
m o
](r,.q r) j , z ) (~ , K)h,( (J( q i~)(r,,q- r ) )d~ ,
0
se ram6ne g
i exp [-- iK(r~ + r) i (r, + r) ?r ((r, I r)'f(r,. + r)) =
co
o
(A-i)
off
D'apr6s la propri6t6 de translation des images de Laplace J 4 ind6pendant de r~ est donn6 par
q- ico + l'~
(K q- i~)z Yd~(~'[K) 2i=1 f, xp 7r]A, f (r )dr , --ioa+VO
::Id(r)=iexpl i h - r l ( r T ( r ) ) .
~ 8 2 1[. C O R N I L L E
P o u r l ' ex i s t enee de ~ nous sommes done p r i n e i p a l e m e n t r amen6s ~ l 'exi- s t ence de l 'o r ig ina le dans 1~ t r a n s f o r m a t i o n de Lap lace , l ' 6 tude de l ' ex i s tenee de n o y a u x co r r e spondan t s /~ des po ten t i e l s que leonques a 6t6 expos6e en (a).
b) l ) ' a p r b s ee qui pr6ebde
(A-~) hs+_,((K ~- ifl)r) exp [-- (tt § y)r] = oo
= j + , l ( ~ , ~ ,
o
y + re, K)hs+~((K ~- i ~ ) r ) d ~ .
Nous r appe lons aussi que si nous prenons l 'o r ig ina le de (A-2) apr6s mul- ~r177 d '6 t r e ~ 0 pour ~ < f l + y § t i p l i ca t ion pa r exp [-- iKr] la propr i6 t6 pou r r s+~
r6sul te de (.e que ~ ' (2 , fl, t t § est - 0 pour 2 < f i § 2 4 7 (~" & a n t l 'or ig inale en 2 e o r r e s p o n d a n t e du 1 ~ m e m b r e en r). On peu t vo i r sur (9) et (21) que e e t t e propri6t(~ sur./(V en t r a ine que ~++,n+~'-== =o pou r ~ < fi+/x. Enf in ee t te dernibre
p ropr i6 t6 en t r a ine pour les 6qua t ions in t6grales (8) et (20) que ~ "(x~(~)] 0 \y,(~)/=: (x~(~)' /
pour ~ < tt et pa r r6eur renee 0 pour ~ < ntt. \.~,(~)/ c) Caleul des n o y a u x )F s-+'. �9 J+~ "
�9 J + ~1 " + f J • ]Y~pr6s (A-I) et (A-2); ( K § ~++~ est For ig ina le de
As,,~(tt+• ~ ifl)r) exp [-- (/~ § y ) r ] ) .
P o u r F que leonque on ~
{A-5) 1 ~ t J+~ l [ J + ~ ]
r ~ r ] P ( r ) . . . . r2(+ § ,) [ ~ b + + ,. ,r~F'" ] �9
Pi .enant F = exp [ir] on ob t i en t b++n.~= (-- ~ + + ' - ~ a 2") J4 ~/-1,J +~/- ~ �9 I1 suffit done d ' a p p l i q u e r (A-3)
F = r++,hs+,((K + ifl)r) exp [-- (/~ + y ) r ] ,
o n ob t i en t pou r image de Lapl~w~e des t e r m e s de la fo rme exp [--(fl+tt § e n p r e m m t les or igin~ux on a:
(A.4) $g'+*"
(-k + i~) s +~ -- y - - tt - - fl) n b++n'~" n=0
'• ( i I,• .,•177 F~+,:~(p + q -- s) ! ,
),II~TII()I)ES I)'API'ROXIMATION POUR I.A I)]~T]~IRMINATION ETC. 783
off '~o 2 J ~ q -k q -- '2 sa.uf I)l)ur J+~ 2 J -
s = 2 J ~ ' ~ ] • l - - n , 0 , .~ s - -q , p <: J + ~ ] ,
+n:Fn,I + q =(q~ , ,~ /~-~ l ) (q@,q~-~/ - - l ) . . . ( , s '&q~ 'q- -p~r l ) : 1 si ,',' p + q ,
=(q+~/~-~l) si ,s' p - - q - - ] ----...,
a~,~,:b~.~, mils si v ' > v : si q = 0 on p r e n d ] -5 (z ( - -~ , - - /~ - - /~ ) . Pour,,~rz~ on p e u t u t i l i se r ce t t e f o rmu le ou ?expres s ion l~g~rement diff6rente
donn(~e en (s).
r(~)/ (B-o) \q(~) /
off (IA(z(, K) [ ) born( '~.
A P P E N I ) I C E B
(~omportement des solutions des 6quations (8) et (20).
()n ~ v u (Appendi( ,e Ab) que (.es solut ions sont de lu fo rme
,, (x,,O(x)' / (x,,,(~)
NOUS u m o n t r e r que
A-) 0 ) K/), , . ~ o / , , (~,K)
P o u r ee f~fire, nous 5(,rivons (,es 6qua t ions sous la for in t
\:/(~)/ x,1,,,~(~)/ \:,/(/~1/ 0
]~,(O~, .[l~) (]x(~, fil" O ) __ ['J•
0 [~(~, K) B(~) = (F )0~ ) ;
les s ignif icat ions de /~, ]~ et ,~f se ron t precis6es ci dessous. Supposons qu ' i l exis tc mo tel que
= (F(~,e)) o ( ~ - mo~) ou I,,.,.(~,K) I< x .... . \y.,.(~, K ) \r Y,..(~, K ) [ < r.,,.
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pur iteration on d6duit
~. \ l~. , (~) i / (IF
H . C ( ) R N I L L E
(~,K) I ) ~ me - ,). )',(, "
Pour ~voir le comportement (B-0) d6sir6, on peut montrer
(B-l) 1) m,)= I ([~(t?(~, 0, )K]) ~ N ( K ) ,
et lim (l.;4f. (~, 0, K)I) •0 si on veut lim (JA(~, K)]) r 0 .
r162 f *
2) l[,z'(~,/~, K) l IF(~, I t )Ldf l<M(R) , (B-2) /
tt
a) Equitations non couplSes r,.r les matrices sont des 51bments ] x l
F = B(~ ,K) et ~f=G,(~ . , f l , K ) .
On peut montrer d'a.prbs (9) et (A-4) I Gt(~,fl, K) I< N(K),
) r G~(~, 0, K) l< N ( K ) ,
# #
b) Equntions eoupl~es (20) r, :/: 0; on prend ]~= ]~---- B(~, K)
~J+v GJ•
On peut montrer d'~pr~,s (21) et (A-4)
1,~+,, ,/~, K ) t < :, ++,~-J,
IGj+,(~, O, K)]< Nj+,(K) ,
v ~ - u x - #
~,~+,,~, fl, K) ] dfl < ~"• ;
I~ t t
c) (~as r , ,= 0 on obt ient a is(,ment
/ 7:_~ 1 i.:+ ~ 1 \
off ~'~• est donn5 par (32)
M~]TII()I)I,',S D ' A I ' I q { ( ) X I M A T I ( ~ N I ' ( ) [ ' R I ,A I ) ~ 7 1 ' E ] { M I N A T I ( ) N F T C . 7~ . ' ~
()n 6 tabl i t d ' a b o r d 2 r(qations intermddiar( ,s par exanwn des exIwessions r pour (les potent ic ls (h, la fo rme (30) des IlOy~llX .1. j+n
(B-3)
(B-4)
If i fi
A 2 ( K ) K : i~ (ave(. ~==~, o u v ) ,
r p , K ) ' " A a ( K ) I f ifi! s-'~ (, (~ __ /; _ i f) i + '-.r+n~zG ' ' K io~ !a+'~
: A 4 ( h ' ) (o~ - - t / - - ~ ) v I f - ' i~. =l+ l "
Les nmjora t ions (B-3) et (B-q) nous p e r n w t t c n t de sat isfaire aux (.on(li- t ious (B- l ) et (B-2) si 0 < ~ : '2 off ~ est le plus pet i t de ' 2 - - v cr 2 - - ~ , . ~[ont rons enlin (tu(' ce (,oml)ort(,ment (3!) ('n ~ m]lraine l'(,xisten(.(~ des [imites (2(.t) qua.nd r --~-0
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l i m r S ~ l T ( K ' r ) ~ - , o l im 'q"rs+ '" ' s+ ' (Kr) , . ,o ~ , ~ l imjs , ,. +,) ' eXl) [-- ):r r(~)"
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vha,vnn des t,m'mes de la s . n m w poss6de uv.e l imite 6 tan t donn6 Iv c m n p o f t e m c n t de, 9(~).
I { I A S S I : N T ( t (*)
lntendiamo costruire un fm'malismo vim lmrmelta di c(dlcgal'e i Imramelri fenomeno- logiei dei diversi polenziali hello scal lering nuch~one-nueleone ai risullati sperimentali: spostamenti di fase e paramelri di avcoppiamenl~). Mostro elm gli spostamenli di fase si ottengono ealc(dando numeJicamente due inlegrali, i cui integrandi sono soluzimd delle equazioni integrali avcoppiate di Volterra, i cui noecioli dipendono esplieitamenle dai potenziali.
(*) "]'radtcziolte a clcrr (It:l!tt l~tt l t lz io.~.
