Méthodes de prévision (STT-3220)

Sections 2 et 3

Hétéroskédasticité et

corrélation sérielle

Version: 11 décembre 2008

STT-3220; Méthodes de prévision2

Problème des variances inégales (hétéroskédasticité) et de la corrélation sérielle

On rappelle les conditions de Gauss-Markov:

Sous ces conditions, le Théorème de Gauss-Markov dit que la méthode des moindres carrés est une bonne procédure.

.,0)(

,)(

,,0)(2

stE

V

tE

st

t

t

STT-3220; Méthodes de prévision3

Une première situations où les conditions de Gauss-Markov ne sont pas satisfaites (Section 2)

Hétéroskédasticité– Problème des variances inégales. Essentiellement c’est la

seconde condition qui ne tient plus.– Exemple: Relation de l’épargne en fonction du revenu. Plus

le revenu est élevé, alors en moyenne, il est attendu que le revenu discrétionnaire, en moyenne, sera plus grand. Cependant, la façon de disposer du revenu discrétionnaire varie grandement. On parle de la variance dans le comportement des individus qui augmente avec le revenu (les gens ont plus de choix concernant la gestion de l’épargne).

STT-3220; Méthodes de prévision4

Détection de l’hétéroskédasticité

Méthodes graphiques:– On effectue une régression ordinaire.– On détermine les résidus.– On fait des graphiques des résidus2 versus les

valeurs prédites.– Toute forme de motif est un signe

d’hétéroskédasticité.

STT-3220; Méthodes de prévision5

Mesures pour contrer les effets de l’hétéroskédasticité

– Il existe des tests statistiques qui permettent de détecter si les variances semblent inégales

Test de Goldfeld-Quandt; Test de Breush-Pagan-Godfrey; Test de White.

– Il est possible de considérer la technique des moindres carrés généralisés afin de tenir compte des variances inégales.

– Note: d’autres tests existent que l’on n’abordera pas ici:

Test de Park; Test de Glejser.

STT-3220; Méthodes de prévision6

Une seconde situation où les conditions de Gauss-Markov ne sont pas satisfaites (Section 3)

Problème de corrélation sérielle– Ceci représente une introduction aux données

dépendantes.– Dans ce cas-ci, c’est la troisième condition de Gauss-

Markov qui ne tient plus.– Il existe des tests pour mesurer la dépendance dans les

résidus: Test (simple) de bruit blanc; Test de Durbin-Watson.

– Possible de considérer également les moindres carrés généralisés comme technique d’estimation.

STT-3220; Méthodes de prévision7

Hétéroskédasticité

On rappelle que le modèle est:

La méthode des moindres carrés (OLS):

On remarque que même si les variances sont inégales, c’est-à-dire , alors l’estimateur OLS est sans biais:

nty tTtt ,,1, βx

yXXXb TT 1)(

2ttV

STT-3220; Méthodes de prévision8

Même en présence d’erreurs hétéroskédastiques, OLS est sans biais

Le modèle est: L’espérance de l’estimateur OLS est:

εXβy

.

,

,

,

1

1

1

β

XβXXX

εXβXXX

yXXXb

TT

TT

TT

E

EE

STT-3220; Méthodes de prévision9

Le problème se situe au niveau de la variance

La variance de l’estimateur OLS n’est plus donnée par

Les estimateurs donnés dans les logiciels sont des estimateurs biaisés. Il n’est pas clair si le biais sera positif (sur-estimation) ou négatif (sous-estimation).

Le coefficient de détermination R2, l’estimateur usuel s2 et les tests statistiques risquent d’être affectés.

12 XXT

STT-3220; Méthodes de prévision10

Test de l’hypothèse linéaire générale

À titre d’exemple, considérons le modèle de régression linéaire multiple:

Parmi les tests d’hypothèses fondamentaux, on retrouve le test:

Ce test est un cas particulier du test de l’hypothèse linéaire générale:

tttt xxy 22110

0: 210 H

STT-3220; Méthodes de prévision11

Test de l’hypothèse linéaire générale (suite)

Le test de l’hypothèse linéaire générale est:

Or Le test est basé sur:

.:

,:

1

0

γCβ

γCβ

H

H

TTN CXXCγCγCb12,:

1,2

11/

pmm

LTTT FmsγCbCXXCγCb

11:

1:

p

pm

γ

C

STT-3220; Méthodes de prévision12

Tests de l’hypothèse linéaire générale et hétéroskédasticité

On constate qu’à travers l’estimateur OLS, n’est pas forcément un estimateur

sans biais de la variance de b. Ainsi, les tests d’hypothèses entourant les

coefficients, tels risquent d’être affectés. Sous Gauss-Markov, un intervalle de confiance

pour est donné par . En présence d’hétéroskédasticité est biaisé.

12 XXTs

0:0 iH

1 11,21ˆˆ set pn

1̂se

STT-3220; Méthodes de prévision13

En résumé

L’utilisation des logiciels standards risque de fournir des résultats faussés en présence d’un problème d’hétéroskédasticité.

Essentiellement, les logiciels utilisent les formules présumant que les variances sont constantes. En présence d’hétéroskédasticité, ce ne sont pas les bonnes formules qui sont implantées.