https://play.google.com/store/search?q=turbofluidshttps://play.google.com/store/search?q=turbofluids

Si vous avez connu un, vous les avez connu tous.(TERENCE,Phormio )

Citation du livre Fluid Mechanics and Thermodynamics of Turbomachinery de S.L.Dixon

3

• Présenter les paramètres de similitude employés dans lesturbomachines

• Décrire des formes particulières de ces coefficients pour diverstypes machines

• Regarder les cartes utilisées pour étudier les compresseurs etles turbines

• Présenter le concept de vitesse spécifique

La spécification fondamentale d’une turbomachine concerne:

• le débit• la nature du fluide(gaz, liquide)• l’état à l’entrée• la quantité de travail à échanger

À partir de cette spécification on peut:

• sélectionner le type de machine (axiale, radiale, mixte) ;• estimer sa performance• effectuer un dimensionnement préliminaire

La mise à l’échelle d’une machine existante, en réponse à unenouvelle spécification, est une démarche utilisée en industrievisant ce dimensionnement préliminaire. Cette étape permettra laréduction de la durée des cycles de développement

L’analyse dimensionnelle fournit une support théorique à cettepremière étape de conception. Elle incorpore des nombresadimensionnels dont leur valeur peut être interprétée comme leADN de chaque appareilLa richesse du formalisme des nombres sans dimension permetla génération de familles de machines dites similaires, laprédiction de leur performance et un guide pour la construction deprototypesDans cette démarche on utilise des quantités telles que lescoefficients de charge Ψ et de débit Φ, parmi d’autres

7

Le théorème π de Vaschy-Buckingham affirme que toute loiphysique peut se réduire à un nombre minimal d’inconnues enintroduisant des variables sans dimension (notées πi )

Si un phénomène est décrit par N variables physiques, expriméesà l’aide de J dimensions fondamentales, il est alors possible dedéfinir un problème adimensionnel équivalent comme unefonction de N-J grandeurs sans dimension

8

Maquette de laboratoireModèle virtuel Prototype

Pour effectuer une conception agile, on vise le transport descaractéristiques connues d’une turbomachine vers une autre.Pour ce faire on a besoin que:

les dimensions respectives soient à l’échelleles rapports de vitesses soient égaux (les lignes ducourant soient similaires)les rapports des forces inertie/autres soient égaux

On doit alors satisfaire trois conditions de similitude différentes:géométriques, cinématiques et dynamiques

pm Dl

Dl

=

p

x

m

x

UC

UC

=

=φ

=

i i

x xm p

F FF F

=xF ?

modèle prototype

Rapport de longueurs

Rapport de vitesses

Rapport de forces

La similitude géométrique, en principe la plus simple, se voitconfrontée à des difficultés pour la satisfaire pleinement danscertains endroits d’une turbomachine, comme par exemple le jeude tête (séparation entre la pale en sortie et le carter) ou larugosité relative de la surface.Pour cette raison, des corrections empiriques (souventconfidentielles) sont appliquées par les manufacturiers, pourtransposer les données obtenus lors des essais sur le modèlevers le prototype

En mécanique des fluides, la similitude dynamique regardeprincipalement le rapport des forces d’inertie à d’autres forcesEn génie on s’intéresse fréquemment aux forces visqueuses,gravitationnelles et élastiquesAvec l’inertie, ces trois forces donnent lieu respectivement, auxnombres adimensionnels de Reynolds, Froude et MachOn peut déjà noter que l’écoulement dans turbomachine n’est pas à surface libre, de sorte la force gravitationnelle n’occupe pas un rôle prépondérant dans l’analyse

Reynoldsrapport des forces d’inertie aux forces visqueuses

Frouderapport des forces d’inertie aux forces gravitationnelles

Machrapport des forces d’inertie aux forces élastiques

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝜇𝜇

𝑉𝑉𝑐𝑐

𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔

,x mcU

φ =

3

mND

φ =ρ

𝑁𝑁: vitesse de rotation𝑉𝑉: diamètre du rotor

=⁄�̇�𝑚 𝑉𝑉 𝐴𝐴

𝑁𝑁 ⁄𝑉𝑉 2

2 2 =

ψ eW

N D

2ψ =eW

U

3

mND

φ =ρ

Pompes

Φ =𝑄𝑄𝑁𝑁𝑉𝑉3

mQ =ρ

2 2ψ =eW

N DgHWe = Ψ =𝑔𝑔𝑔𝑔𝑁𝑁2𝑉𝑉2

Lors de l’étude des machines centrifuges on a trouvé la relation:

Ce cas particulier indique que Ψ = 𝑓𝑓 (Φ,𝛽𝛽2) , Φ étant lecoefficient de charge, Ψ le coefficient de débit Φ et 𝛽𝛽2 l’angle ensortie (condition géométrique)Dans le développement de ce modèle le fluide était considérésans viscosité, mais dans un contexte plus large il faudra en tenircompte. On peut écrire alors:

Ψ = (1 −Φ𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝛽𝛽2)

2

3 , , ( )ilQ NDg design

ND D

=

ρηµ

2

3 , , ( )ilQ NDf design

ND D

=

ρµ

Ψ = f ( Φ Re Géo)

2 2

gHN D

Une formulation similaire peut être imaginée pour le rendement

À partir de quelle vitesse on ne peut plus considérer l’écoulementd’un fluide compressible comme étant incompressible?Le consensus établie indique qu’un écoulement dont le nombrede Mach satisfait 𝑴𝑴 < 𝟎𝟎.𝟑𝟑 , peur être traité comme étantincompressibleCe critère, peut être expliqué si l’on regarde la relation entre lapression statique et la pression totale (d’arrêt ou de stagnation):

22

…

𝑝𝑝0𝑝𝑝

= 1 +𝑘𝑘 − 1

2𝑀𝑀𝑡𝑡2

⁄𝑘𝑘 𝑘𝑘−1𝑘𝑘 = 𝛾𝛾

23

…

2 3( 1)(1 ) 1 ( )2!

n n nx nx x O x−+ = + + +

2 4 60 1 ( )2 8

= + + +p k kMa Ma O Map

Série

1kn

k=

−/ 120 11

2

k kp k Map

−− = +

2

2knx Ma=

212

kx Ma−=

Pression

24

22 4

01 1 ( )2 4

Map p pkMa O Ma

− = + +

22 2 2

2

1 1 1 12 2 2 2

V pkpkMa pk V Va kRT

= = = ρ

22 4

01 1 ( )2 4

Map p V O Ma

− = + +

ρPour Ma < 0.3

20

12

p p Vρ− ≈

…

Pression dynamique

L’écoulement dans un ventilateur est à faible nombre de Mach𝑉𝑉 ≈ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐.→ 𝑖𝑖𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑝𝑝. . Le coefficient de débit Φ sera ainsi basé

sur le débit volumique 𝑄𝑄, et le coefficient de charge Ψ sur lavariation de pression ∆𝑃𝑃 entre l’amont et l’aval du rotor

25

…

Φ =𝑄𝑄𝑁𝑁𝑉𝑉3 Ψ =

⁄𝛥𝛥𝑃𝑃 𝑉𝑉𝑁𝑁2𝑉𝑉2

2

3 , ,ilQ NDf

ND D

=

ρµ

2

3 , ,ilQ NDg

ND D

=

ρηµ

2 2

∆ρ

PN D

Ψ = f ( Φ Re Géo)

et pour le rendement

Le débit d’air circulant par un ventilateur qui opère à 800 rpm est de 425m3 /min. L’augmentation de la pression statique est de 7.6 cm d’H2O,tandis que et celle de la pression totale est de 10 cm d’H2O. Lerendement total-à-total est de 75%. Les conditions de stagnation (d’arrêt)à l’entré sont: T01= 200C et P01 =1bar

On dispose d’un deuxième ventilateur, géométriquement similaire, dontsa grandeur est ½ fois celle du premier. La vitesse de rotation de ceventilateur est de 1000 rpm et il opère sur un point de similitude dithomologue. Sachant que les conditions thermodynamiques à l’entréeson les mêmes pour les deux cas, on doit trouver:

Le débit d’air, l’augmentation de la pression statique et la variation depression totale dans le ventilateur à échelle réduite

3 31 2

QQN D N D

φ = =

3

2 22 1

1 1

D NQ QD N

=

02 2 2 2

1

0

2

ppN D N D

∆ψ = = ρ ρ

∆

2 2

2 2 202 01

1 1 1

D Np pD N

ρρ

∆ = ∆

➀

➁

2 2

2 2 2 22 1

( / 2) ( / 2)p V p VN D N D

∆ + ∆ +=

ρ ρρ ρ

2 2

2 2 2 2 2 2 2 22 12 1

( / 2) ( / 2)p V p VN D N D N D N D

∆ ∆ ∆ ∆+ = +

ρ ρ

2 2

2 2 2 22 1

( / 2) ( / 2)V VN D N D

∆ ∆=

2 2

2 2 22 1

1 1 1

D Np pD N

ρρ

∆ = ∆

0p QWη

∆=

Similitude cinématique

(faible nombre de Mach)

Dans un compresseur ou dans une turbine on est en présence del’écoulement d’un gaz à haute vitesse. On doit alors tenir comptede la compressibilité qui se manifeste dans le nombre de MachCe paramètre est ainsi partie intégrante des relations desimilitudeLa nature du gaz devra également être incluse. Ceci sera pris encompte par le rapport des chaleurs spécifiques 𝜸𝜸Le visage des paramètres adimensionnels peut être varié, maiscertaines formes sont plus pratiques que d’autres

3 501

= φψ =ρ

WPN D

301

φ =ρ

mN D

( )0

22,eW h

U ND∆

η ψ = =

( )

201

2 3 5 301 01 01

, , , , ,0h W m ND ND fN D ND RTND

∆ ρη = γ ρ ρ µ

( )0 01 01, , , , , , , ,s h W f m T N Dη ∆ = ρ γ µ

Φ Re M γ

charge débit puissance

η Ψ P

le débitle fluidel’état à l’entréela travail à échangerla grandeurla vitesse de rotation

3 501

WPN D

=ρ

Paramètre adimensionnel 1/Φ

~1/(Mach)2

À la place de W/(ρ01N3D5) on peut considérer ∆T0/T01 !

𝛾𝛾𝑅𝑅𝛾𝛾 − 1

=𝑉𝑉01𝑁𝑁𝑉𝑉3

�̇�𝑚⋅�̇�𝑚𝑐𝑐𝑝𝑝𝛥𝛥𝑇𝑇0𝑉𝑉01𝑁𝑁3𝑉𝑉5

=𝑐𝑐𝑝𝑝𝛥𝛥𝑇𝑇0𝑁𝑁2𝑉𝑉2

𝑉𝑉01𝑁𝑁𝑉𝑉3

�̇�𝑚⋅

�̇�𝑊𝑉𝑉01𝑁𝑁3𝑉𝑉5

�̇�𝑾𝝆𝝆𝟎𝟎𝟎𝟎𝑵𝑵𝟑𝟑𝑫𝑫𝟓𝟓

⇒

=𝛾𝛾

𝛾𝛾 − 1⋅𝑅𝑅𝑇𝑇01𝑁𝑁𝑉𝑉 2

⋅𝛥𝛥𝑇𝑇0𝑇𝑇01

→𝜟𝜟𝑻𝑻𝟎𝟎𝑻𝑻𝟎𝟎𝟎𝟎

301

mNDρ

p01=ρ01RT01

Au lieu de�̇�𝒎

𝝆𝝆𝟎𝟎𝟎𝟎𝜨𝜨𝑫𝑫𝟑𝟑on peut considérer

Aussi, ∆𝒉𝒉 = 𝒇𝒇 ∆𝑻𝑻 = 𝒇𝒇( ⁄𝒑𝒑𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒑𝟎𝟎𝟎𝟎), alors

~(1/Mach)

301

φ =ρ

mN D

→�̇�𝑚 𝑅𝑅𝑇𝑇01𝑝𝑝01𝑉𝑉2

=�̇�𝑚𝑅𝑅𝑇𝑇01𝑝𝑝01𝑁𝑁𝑉𝑉3

=�̇�𝑚 𝑅𝑅𝑇𝑇01𝑝𝑝01𝑉𝑉2

⋅𝑅𝑅𝑇𝑇01𝑁𝑁𝑉𝑉 2

�̇�𝑾𝝆𝝆𝟎𝟎𝟎𝟎𝑵𝑵𝟑𝟑𝑫𝑫𝟓𝟓

→𝒑𝒑𝟎𝟎𝟎𝟎𝒑𝒑𝟎𝟎𝟎𝟎

�̇�𝒎 𝑹𝑹𝑻𝑻𝟎𝟎𝟎𝟎𝒑𝒑𝟎𝟎𝟎𝟎𝑫𝑫𝟎𝟎

201 01

201 01

, , , ,0201

m RTp ND ND fp P D RT

ρη = γ µ

η Ψ Φ Re M γ

P

Dans le contexte des turbomachines on identifie 7 paramètresadimensionnels

En fonction du type de machine, certains seront appropriés etd’autres pourront être négligés

Ψ = f( Φ, Re, M, γ, Géo)

η = g( Φ, Re, M, γ, Géo)

201 01

201 01

, , , ,0201

m RTp ND ND fp P D RT

ρη = γ µ

– Reynolds élévé (turbulent)

– Même fluide (γ=cnste.)

– Même machine D=cnste.

η, Ψ Φ Re M γ

Simplifications

201 012

01 01

, , , ,0201

m RTp ND ND fp p D RT

ρη = γ µ

– Reynolds élévé (turbulent): au-delà d’un nombre de Reynolds limite, la performance ne varie plus (similitude restreinte)

– Même fluide (γ=cnste)

– Même machine D=cnste

η, Ψ Φ Re M γ

01

01 01

, ,0201

m Tp N fp p T

η =

η Ψ Φ M

Même machine, même fluide, écoulement turbulent

( ), , , 0F MΦ Ψ =η( )( )

,,

= Ψ Φη = Ψ Φ

M fg

L’évaluation de la performance d’un compresseur est caractériséeau travers de l’ensemble de paramètres 𝜼𝜼,𝚿𝚿,𝚽𝚽,𝐌𝐌.Le champ d’opération du compresseur est représenté par descourbes de nombre de Mach 𝐌𝐌 constant dans le plan 𝚿𝚿,𝚽𝚽. Il estd’usage de superposer dans carte du compresseur, des contoursd’isorendement 𝜼𝜼Selon les simplifications présentées, en pratique on utilise le tauxde compression ⁄𝒑𝒑𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒑𝟎𝟎𝟎𝟎 au lieu d’une autre forme pour lecoefficient 𝚿𝚿 et le débit corrigé ��̇�𝒎 𝑻𝑻𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒑𝟎𝟎𝟎𝟎 à la place de 𝚽𝚽

Aussi, le nombre de Mach 𝑴𝑴 est substitué par la vitesse derotation corrigée ⁄𝑵𝑵 𝑻𝑻𝟎𝟎𝟎𝟎Dans cette carte on distingue deux limites qui contraignent laplage d’opération d’un compresseur: le pompage et le blocagesonique

Le pompage: il s’agit d’un phénomène qui a lieu des faiblesdébits. Il est associé à un chute soudaine du taux de compressionsuivie par des fortes oscillations de la pression, parfoisaccompagnée d’une inversion de l’écoulement. Sous cettecondition le compresseur est inopérable

Le blocage sonique: ce phénomène à lieu des forts débits. Ils’agit de la l’apparition d’une section sonique dans l’étage quilimite le débit massique maximal. Dans cette limite, laperformance du compresseur chute rapidement

Courbe de vitessecorrigéeconstante

Débit

Rap

port

de P

ress

ion

02

01

pp

0

0

m Tp

𝑵𝑵𝑻𝑻𝟎𝟎

Débit

Rap

port

de P

ress

ion

02

01

pp

0

0

m Tp

η Courbes de rendement

Courbes de vitesseangulaireconstante

Courbes de rendement

Debit

Rap

port

de P

ress

ion

02

01

pp

0

0

m Tp

𝑵𝑵𝑻𝑻𝟎𝟎

Sur la carte d’un compresseur on trace également la ligned’opération ou ligne de fonctionnement du compresseurElle correspond à la ligne reliant chacun des points de rendementmaximal sur chaque isovitesseChaque compresseur a un point d’opération optimal sur la ligned’opérationCette position dans la carte c’est le point de design où lecompresseur fonctionnera la plupart du temps

Point de design idéal

Debit

Rap

port

de P

ress

ion

02

01

pp

0

0

m Tp

Ligne d’opération

𝑵𝑵𝑻𝑻𝟎𝟎

𝛈𝛈

Le débit massique

La puissance requise

La vitesse angulaire

Un compresseur centrifuge opère au point nominal. Le rotor a un diamètrede 40 cm et le rapport de pression totale est p02/p01=2. Les conditions àl’entrée du compresseur sont T01 =200C P01=1 bar. Utilisez la carte ducompresseur et déterminez:

Un compresseur centrifuge opère au point nominal. Le rotor a un diamètre de 40 cm et le rapportde pression totale est p02/p01=2. Les conditions à l’entrée du compresseur sont T01 =200C p01=1bar. Utilisez la carte du compresseur et déterminez:

1.0

1.4

1.8

2.2

3.0

PP

20

10

m RTP D

10

102

0.02 0.04

3.4

2.6

0.06 0.08 0.10

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.20.81

0.80

0.78

0.76ηc= 0.72

0.70

0.60

0.50

uRTγ 10

02

01

pp

012

01

m Tp D

01

uRTγ

𝜼𝜼 = 𝟎𝟎.𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟎𝟎.𝟖𝟖𝟓𝟓

𝟎𝟎

𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎

D= 40 cm , p02/p01=2, T01 =200C, p01=1 bar

012

01 01

0.04, 0.81 .8, 0 5= η = =γ

m RT up D RT

5 210 (0.4) 2.21 /293 (8314 / 28.97)

0.04m kg s×= × =×

Le débit massiqueLa puissance requise La vitesse angulaire

201

01

0.04 p Dmm RT

=

1

0202 01

01s

pT Tp

γ− γ

=

( )0.4 1.402 293 2 357sT K= =

02 01

02 01

s

TT

TT

η−−

= 02 01T T− 02 01( )( 1)m RW T Tγ= −γ −

/ .=γ 01

2 0 85DNRT

DN N=DN/D

Opère au point nominal. D= 40 cm, p02/p01=2,T01 =200C, P01=1 bar.Le débit massiqueLa puissance requise La vitesse angulaire

Remarque:Pour un rapport de pression autre que celui du point nominal, le débit cherché seracelui correspondant à un point sur la ligne d’opération

Ouverture variable

On constate que dans les turbines hydrauliques on retrouve desparties mobiles pour ajuster le point d’opération.On devra alors prêter une attention particulière à la similitudegéométriqueD’autre part, on note que le nombre de Mach 𝐌𝐌 et le rapport deschaleurs spécifiques 𝜸𝜸 ne sont pas pertinents pour unécoulement d’eau

Le champ d’opération d’une turbine est représentée par descourbes d’isorendement dans le plan 𝚿𝚿, 𝚽𝚽 dont l’ensemble estappelé ‘‘la colline de rendement’’À cette représentation on superpose plusieurs courbescorrespondant à des positions d’organes mobilesEn pratique industrielle on utilise des formes particulièresassociées au système d’unités pour les coefficient 𝚿𝚿 et 𝚽𝚽

Ψ = f( Φ, Re, M, γ, Géo)

η = g( Φ, Re, M, γ, Géo)

Ψ = f( Φ, Re, Géo)

η = g( Φ, Re, Géo)

X X

X X

Ψ Φ Re Géo2

2 2 3 , ,

=

igH Q ND lfN D ND D

ρµ

2

3 , ,

=

iQ ND lgND D

ρµ

η

Dans l’univers des turbines hydrauliques l’intérêt est porté sur lapuissance produite �̇�𝑾 = 𝜼𝜼𝝆𝝆𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈Il est alors possible d’exprimer le débit 𝒈𝒈en fonction de lapuissance �̇�𝑾 et de trouver un coefficient de débit 𝚽𝚽 avec unvisage différentÀ ce stade, ce n’est pas indispensable de suivre de près lesétapes de ce développement qui est présenté par la suite

ηρ

=

WQgH

Ψ Φ Re Géo2

2 2 3 , ,

=

igH Q ND lfN D ND D

ρµ

2

3 , ,

=

iQ ND lgND D

ρµ

η

WQgHρ

=

2

2 2 3

1 , , ilgH W NDfN D gH ND D

ρψ = = ρ µ

2

2 2 3 , ,

= =

igH Q ND lfN D ND D

ρψ

µ

Q

Φ Re Géo

2

2 2 3

1 , , ilgH W NDfN D gH ND D

ρψ = = ρ µ

écoulement turbulent

1/2 2 2'( )ND gHest l inverse de

gH N D

1/2 2

2 2 2 3/2

( ) , ,( )

ilgH W gH NDfN D D gH ND D

ρψ = = ρ µ

1/2

2 2 2 3/2

( ) ,( )

ilgH W gHfN D D gH ND Dρ

=

Il existe déjà

𝑔𝑔𝑔𝑔𝑁𝑁2𝑉𝑉2

= 𝑓𝑓�̇�𝑊

𝑉𝑉𝑉𝑉2 𝑔𝑔𝑔𝑔 ⁄3 2,𝑔𝑔𝑖𝑖𝑉𝑉

𝜂𝜂 = 𝑔𝑔�̇�𝑊

𝑉𝑉𝑉𝑉2 𝑔𝑔𝑔𝑔 ⁄3 2,𝑔𝑔𝑖𝑖𝑉𝑉

Les paramètres adimensionnels qui caractérisent l’opérationd’une turbine hydraulique sont:

𝑔𝑔𝑔𝑔𝑁𝑁2𝑉𝑉2

= 𝑓𝑓�̇�𝑊

𝑉𝑉𝑉𝑉2 𝑔𝑔𝑔𝑔 ⁄3 2,𝑔𝑔𝑖𝑖𝑉𝑉

𝜂𝜂 = 𝑔𝑔�̇�𝑊

𝑉𝑉𝑉𝑉2 𝑔𝑔𝑔𝑔 ⁄3 2,𝑔𝑔𝑖𝑖𝑉𝑉

.

2 3/2 1/2, , ,( ) ( )iW ND l

D gH gH Dη

ρ

η , Φ, Ψ , Géo

( ), , , 0F Géoη Φ Ψ =Géo = f( Φ, Ψ)

η = g( Φ, Ψ )

Formulation impliciteFormulation explicite

Coeff .de débit

Coe

ff. d

e ch

arge

Ψ

Φ

Courbesd’ouvertureα

2 2 3,gH Qf

n D nD α=

α ψ Φ

Coeff .de débit

Coe

ff. d

e ch

arge

Φ

Courbes de rendement

η

2 2 3, η=

gH Qgn D nD

η ψ Φ

Ψ

Coeff .de débit

Coe

ff. d

e ch

arge

Ψ

Φ

Courbes de rendement

η

Courbesd’ouvertureα

En pratique industrielle, des variables réduites sont définies pourla construction de cartes destinées au passage des données dumodèle vers le prototype

Ces grandeurs, notées avec un double indice 1, correspondent àun fonctionnement en similitude sous une chute H de 1 m (1pi) etun rotor de diamètre D de 1 m (1pi)

Vitesse angulaire réduite𝑵𝑵𝟎𝟎𝟎𝟎

Débit réduit 𝒈𝒈𝟎𝟎𝟎𝟎

𝑁𝑁11 =𝑁𝑁𝑉𝑉𝑔𝑔 ⁄1 2

𝑄𝑄11 =𝑄𝑄

𝑉𝑉2𝑔𝑔 ⁄1 2

Ψ =𝑁𝑁2 × 𝑉𝑉2

𝑔𝑔 × 𝑔𝑔=𝑁𝑁112 × 𝟎𝟎𝟎𝟎

𝑔𝑔 × 𝟎𝟎

=𝑄𝑄11

𝑁𝑁11 × 𝟎𝟎𝟑𝟑Φ =

𝑄𝑄𝑁𝑁 × 𝑉𝑉3

Puissance réduite P11

On note que les quantités N11, Q11 et P11 ne sont pasadimensionnelles. Alors, leurs grandeurs dépendent du systèmed'unités utilisé!

𝑃𝑃11 =�̇�𝑊

𝑉𝑉2𝑔𝑔 ⁄3 2

La vitesse spécifique et le diamètre spécifique, sont deuxconcepts issues de l'étude des lois de similitude desturbomachines. Ils sont très utiles pour la conception demachines appartenant à des familles similaires (homothétiques)et constituent une base pour le classement de chaque appareil.Avec ces chiffres adimensionnels, on peut déterminer laturbomachine la plus adéquate pour une application donnée

Remarques:La vitesse spécifique fournit par le milieu industriel se réfère aupoint d'efficacité maximum.

Roue dite lente : Vitesse spécifique faibleRoue dite rapide Vitesse spécifique élevée

Cependant, les roues lentes tournent généralement vite tandis les roues rapides tournent généralement lentement

Les deux nouvelles quantités adimensionnelles, vitessespécifique et diamètre spécifique, associées à la vitesse et audiamètre de la machine, respectivement, peuvent être obtenuespar la combinaison des coefficients de débit et de charge

Bien qu’il s’agit de notions générales, elle seront présentéesdans le cadre de machines opérant avec des fluidesincompressibles

3

QNDφ

=

1/ 2

2eWN

D

= Ψ

( )2

1/ 2/

/e

QDW

φ=

Ψ

3

φ =

QN D

2 2

ψ =

eW

N D

( )

1/ 2 1/ 4

1/ 4 1/ 2e

QDW

Ψ=

Φ

Diamètre spécifique

𝑉𝑉𝑠𝑠 =𝑉𝑉 𝑊𝑊𝑒𝑒 ⁄1 4

𝑄𝑄 ⁄1 2=Ψ ⁄1 4

Φ ⁄1 2

( )3/ 4 1/ 21/ 2 3/ 4

eWNQ

Φ=

Ψ

3

φ =

QN D

2 2

ψ =

eW

N D

1/3QD

N Dφ

=

1/2

2eWD

N

= Ψ

Vitesse spécifique

𝑁𝑁𝑠𝑠 =𝑁𝑁𝑄𝑄 ⁄1 2

𝑊𝑊𝑒𝑒 ⁄3 4=Φ ⁄1 2

Ψ ⁄3 4

Les quantités adimensionnelles, vitesse et diamètre spécifique 𝑁𝑁𝑠𝑠et 𝑉𝑉𝑠𝑠 , respectivement, permettent de caractériser lesturbomachines par des variables dans lesquelles n’apparaissentque le travail (spécifique), le débit et vitesse de rotationOn retrouve des formes particulières pour les divers types deturbomachines. Certaines, même ayant des unités

𝑁𝑁𝑠𝑠 =Φ ⁄1 2

Ψ ⁄3 4𝑉𝑉𝑠𝑠 =

Ψ ⁄1 4

Φ ⁄1 2

4/3

2/1

)(gHNQNs =

2/1

4/1)(QgHDDs =

= 4/3

2/1

ψφ

sN

= 3DN

Qφ

22DNgH

=ψ

= 2/1

4/1

φψ

sD

Diamètre spécifique adimensionnel

Vitesse spécifique adimensionnelle Vitesse dimensionnelle

𝑡𝑡𝑞𝑞 =𝑁𝑁 𝑄𝑄

𝑔𝑔 ⁄3 4𝑔𝑔 ⁄3 4

4/3

2/1

)(gHNQNs = eq

WQgHρ

•

=

1/2

3/4( )s

WNgH

NgH

ρ

• =

, gρ

Vitesse spécifique adimensionnelle

Vitesse dimensionnelle

𝑡𝑡𝑠𝑠 =𝑁𝑁�̇�𝑊1/2

𝑔𝑔 ⁄5 4

Les deux formes de vitesse spécifique, 𝒏𝒏𝒔𝒔 et 𝒏𝒏𝒒𝒒 , peuventégalement être obtenues de manière pratique en comparant lamachine à caractériser avec un machine d’étalonnageCette idée sera présentée dans le cadre d’une pompe

0 0,H Q 0W

Pompe de référence

0N

1=H m

1W CV=

Pompe d’étalonnage

2 2

0 0 0

=

H N DH N D

3 5

0 0 0

W N DW N D

=

1/2 5/40

00

W HN NW H =

2 2

gHN D

ψ = 3 5WP

N D= φψ =

ρ

3

QND

φ =

ψ

�𝑃𝑃

𝒏𝒏𝒔𝒔 =𝑵𝑵𝟎𝟎 �̇�𝑾𝟎𝟎𝒈𝒈𝟎𝟎

⁄𝟓𝟓 𝟎𝟎

𝒈𝒈 = 𝟎𝟎𝒎𝒎, �̇�𝑾 = 𝟎𝟎𝑪𝑪𝑪𝑪, 𝑵𝑵 = 𝒏𝒏𝒔𝒔

0 0,H Q0W

Pompe de référence

0N

1=H m

1W CV=

Pompe d’étalonnage

3

0 0 0

=

Q D NQ D N

1/2 3/40

00

=

Q HN NQ H

Pompe de référence Pompe d’étalonnage

2 2

gHN D

ψ = 3 5WP

N D= φψ =

ρ

3

QND

φ =

ϕ

𝒏𝒏𝒒𝒒 =𝑵𝑵𝟎𝟎 𝒈𝒈𝟎𝟎𝒈𝒈𝟎𝟎

⁄𝟑𝟑 𝟎𝟎

ψ𝑔𝑔𝑔𝑔0

=𝑁𝑁𝑁𝑁0

2 𝑉𝑉𝑉𝑉0

2

𝒈𝒈 = 𝟎𝟎𝒎𝒎, 𝒈𝒈 = 𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒔𝒔 , 𝑵𝑵 = 𝒏𝒏𝒒𝒒

L’interprétation de la vitesse spécifique sur la base d’unemachine d’étalonnage, dont la chute, le débit ou la puissance sontunitaires, permet de simplifier virtuellement des unités etd’imaginer ainsi une vitesse spécifique en rpm.Cette approche est pratique en génie, mais pour des systèmesd’unités différents, la valeur numérique de la vitessespécifique sera différente. En d’autres mots, il y aura des rpmassociées au système anglais et des rpm jumelées au systèmeinternational

nq correspond à la vitesse spécifique d’une machine, en rpm, quiest géométriquement similaire à une machine d’étalonnageopérant avec une tête de H = 1 m (1pi) et par laquelle circule undébit Q = 1 m3/s (1 pi3/s)

𝑡𝑡𝑞𝑞 =𝑁𝑁 𝑄𝑄𝑔𝑔 ⁄3 4

ns correspond à la vitesse spécifique d’une machine, en rpm, quiest géométriquement similaire à une machine d’étalonnageopérant avec une tête de H = 1 m (1pi) et qui consomme (produit)une puissance de �̇�𝑾 = 𝟎𝟎𝑪𝑪𝑪𝑪(𝟎𝟎,𝒌𝒌𝑾𝑾,𝟎𝟎 𝒈𝒈𝑯𝑯)

𝑡𝑡𝑠𝑠 =𝑁𝑁�̇�𝑊1/2

𝑔𝑔 ⁄5 4

35.5=sn

100=sn

1200=sn130=sn

On remarque que la vitesse spécifique caractérise le type d’aubage:axial radial ou mixte, qu’une roue devra posséder en fonction de lacharge, le débit et la vitesse de rotation

11 11qn n Q=

1/2 3/4qn NQ H

−=

1/2 5/4sn NW H

−=

3.65s qn n= Le coefficient 3.65 n’est valable que pour des unitésmétriques avec la puissance mesurée en chevaux-vapeur.

Bâche spirale

Aspirateur

Aubes directrices

Rotor

N11

P 11

22.5

17.5

10

15

12.5

7.55

3

100 2750

0.5

93%

9290

8886

8482

8078/=11 1 2

NDNH

Francis

/=WP

D H11 2 3 2

• dd : diamètre de la buse• ds : diamètre du jet• D : diamètre de référence• za : nombre d’augets• zi : nombre d’injecteurs

za

zi

Pelton

/=WP

D H11 2 3 2

N11

P1189% 87 85 83 81

89 87 85 83 819192%

α=200

α=100

Remarque: on associe une colline à chaque position des aubes mobiles

/=WP

D H11 2 3 2

/=11 1 2NDNH

Kaplan

Les turbines hydrauliques, peuvent être classifiées selon la valeurde la vitesse spécifique:

𝑡𝑡𝑠𝑠 =𝑁𝑁�̇�𝑊1/2

𝑔𝑔 ⁄5 4

Turbine adéquate pour des grandes chutes H et des faibles débitsQ. Les valeurs de ns sont faibles

Turbine adéquate pour des grandes chutes et des débits moyensLes valeurs de ns sont moyens

Turbine adéquate pour des faibles chutes et des débits élévés. Elleopère à des ns élévées

• La géométrie des turbines varie en fonction de ns

• Au fur et à mesure que ns augmente la forme de ces machineschange de radiale vers axiale. Ceci se produit lorsque le débit Qaugmente et la chute H diminue.

ns

Pelton Francis Kaplan

L’évolution de la géométrie découverte pour les turbineshydrauliques en fonction de la vitesse spécifique, est aussivalable pour l’ensemble des turbomachines. Toutes lesturbomachines, peuvent alors être classifiées selon cette quantitéadimensionnelleEn particulier, on a trouvé que les machines se transforment deradiales à axiales au fur et mesure que la vitesse spécifiqueaugmente

Vitesse spécifique nqRotor radial Rotor Francis Rotor mixte Rotors axial

20 40 60 80 100 150 200 300

500

600

700

800

900

1000

1500

2000

3000

4000

5000

6000

1000

0

1500

0

2000

0

SI

US

La nature radiale-axiale d’un rotor dépende de la vitesse spécifique

34

qQ

n NH

=

34

qQ

n NH

=

nq (US gpm, pi) = 0.861 nq (m3/h, m)nq (Imp. gpm, pi) = 0.787 nq (m3/h, m)avec1 US gpm = 0.2271 m3/h1 Imp. gpm = 0.2728 m3/h1 pi = 0.3048 m

Rotor Pelton Rotor Pelton Turbine Francis Turbine à vapeur Pompe centrifuge Compresseur Centrifuge

ns

Turbine à vapeur Turbine à vapeur Pompe centrifuge Turbine à gaz Compresseur radial Compresseur axial

ns

Turbine à vapeur Turbine Francis Turbine Francis Pompe Mixte Turbine Kaplan Compresseur axial

ns

Compresseur axial Pompe hélice Soufflante axiale Pompe hélice Turbine Kaplan

ns

Considérez un seul injecteur et sur la base du point de design (le pointnominal), déterminez: la vitesse de rotation, le diamètre du jet del’injecteur et le diamètre de la roue.

On propose la construction d’une turbine de type Pelton ayant les mêmescaractéristiques que celles d’un design existant. Les paramètres de vitesseet de puissance sont données par une carte de rendement. Sur l’axe desabscisses on trouve les paramètres 𝑵𝑵𝟎𝟎𝟎𝟎 = ⁄𝑵𝑵𝑫𝑫 𝒈𝒈𝟎𝟎/𝟎𝟎 , tandis que sur l’axedes ordonnées on trouve le coefficient 𝑯𝑯𝟎𝟎𝟎𝟎= ⁄�̇�𝑾 (𝒈𝒈𝟑𝟑/𝟎𝟎𝑫𝑫𝟎𝟎) Le rendement ηet la vitesse spécifique dimensionnelle dans le système métrique sontreprésentés par des isocontours. La charge ou chute nette pourl’aménagement hydroélectrique est de 𝒈𝒈 = 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎 et la puissance produiteest �̇�𝑾 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝒌𝒌𝑾𝑾.

patm

H2jV gH≈

z=0

réservoir

1 1= −W C U1C

1C

2 1W W=U

• C1 : vitesse absolue du jet à l’entrée• U : vitesse tangentielle de la roue• (C1-U): vitesse relative à l’entrée• (C1-U): vitesse relative à la sortie (pas des pertes)

U

1C

U

40

𝒏𝒏𝒔𝒔=30

η =0.9

Remarque: ns a été calculée avecla puissance en CV, la vitesse enrpm et la hauteur en mètres

H=300m�̇�𝑾= 20 000 kW

/,,. 1 20 9 30 40= = =sNDnH

η

…sur la base du point de design (le point nominal), déterminez…

1/2

5/4sNWnH

=

1/2

5/4

(30 )s sW en CVn

HN ×

= =

N=227 rpm

Remarque: ns a été calculée avecla puissance en CV, la vitesse enrpm et la hauteur en mètres

H=300m�̇�𝑾= 20 000 kW

Facteur de conversion

/,,. 1 20 9 30 40= = =sNDnH

η

Q2 2 9.81 300V gH≈ = × × W gHQ= ηρ

d: diamètre du jet ? Aire du jet ? Q VA=

Un seul injecteur et sur la base du point de design (le point nominal), déterminez:la vitesse de rotation, le diamètre du jet de l’injecteur et le diamètre de la roue.

1/2

5/4sNWnH

=

=�𝑵𝑵 × 20000 × 1.359 ⁄1 2

300 ⁄5 4

Remarque: �𝑵𝑵𝒔𝒔=ns a été calculéeavec la puissance en CV, lavitesse en rpm et la hauteur enmètres

H=300m�̇�𝑾= 20 000 kW

d

D

Q VA= 2 / 4A d= π

/1 2 40=NDH

d: diamètre du jet

1C

Un seul injecteur et sur la base du point de design (le point nominal), déterminez:la vitesse de rotation, le diamètre du jet de l’injecteur et le diamètre de la roue.

diamètre de la roue

Q

N

/,,. 1 20 9 30 40= = =sNDnH

η

Une turbine Francis (simple), opère avec une charge H de 60 m et undébit Q de 30 m3/s. Le rendement est η=88%.Utilisez la carte et estimezles rpm et le diamètre D de la roue.

Remarque: Pour le calcul de ns la puissance est en HPSupposez Hs=+3m

ns

300

200

400

500

600700800900

1000

100

8090

7060

50

40

30

20

10 16001000800600200 400100604020108642

FRANCISDOUBLES

6 jets

4 jets

3 jets

2 jetsPELTON

KAPLAN

FRANCISSIMPLES

Hs =+5 m

Hs =+3 m

Hs =+ 1m

Hs = -0.5m

Hs = -2 mHs = -4 m

1 jet

Hs =5 m

Hs =3 m

H60

260

1/2

5/4sNWnH

=

3

60 ,30 / ,0.88

H mQ m s

=

==η

D

1/2

5/4=sWn

HN

5/4

1/2 ( )s HN

Wn

Hp=

745.7gQHW ηρ=

360 , 30 / , 0.8 2608, sH m Q m s nη= = ==

Approximation grossière, mais..

1 HP=745.7 Watts

Estimez les rpm etle diamètre D de la roue.

2𝑔𝑔𝑔𝑔 ≈𝜋𝜋𝑫𝑫𝑁𝑁

60

Le diagramme de Cordier est une représentation dans leplan𝑵𝑵𝒔𝒔 − 𝑫𝑫𝒔𝒔 (diamètre spécifique, vitesse spécifique) qui aide àchoisir le type de machine et fournit une première estimation durendementCe graphique est très avantageux puisqu’il a été construit àpartir de données expérimentales (machines existantes). Cettereprésentation donne de plus une première estimation dudiamètre du rotor

.

1/2

3/4

1/4

1/2

s

s

N

D

Φ=Ψ

Ψ=Φ

108

6

43

2

1.00.8

0.6

0.40.3

0.2

0.1

5040

30

20

0.3 0.5 1.0 2 3 4 5 10 20 30

= 3DN

Qφ

22DNgH

=ψ

= 4/3

2/1

ψφ

sN

= 2/1

4/1

φψ

sD

2.103

1.126

0.476

0.888

9.00 2.83.25 2.8

2.84 1.02.84 1.0

s s s

s s s

s s s

s s s

N D DN D D

D N ND N N

−

−

−

−

= ≤

= ≥

= ≥

= ≤

Pour sélectionner une machine pour une tâche donnée, onconsidère le débit, la charge et la vitesse de rotation

Ces trois variables permettent de calculer la vitesse spécifique 𝑵𝑵𝒔𝒔

Avec 𝑵𝑵𝒔𝒔 et l’utilisation du diagramme de Cordier, on détermine lediamètre spécifique𝑫𝑫𝒔𝒔

Finalement, à partir du 𝑉𝑉𝑠𝑠, on trouve une valeur du diamètre 𝑫𝑫 dela machine

N, Q, ΔP, H ( )

1/2

34

SNQNgH

=

( )

1/2

34

0 /S

NQNP ρ

=∆

pompe

ventilateur

Ds

Ns

( )

( )

14

01/2

14

1/2

/S

S

D PD

Q

D gHD

Q

ρ∆=

=

Ds D

Ns

Le facteur de forme n’est que le concept nord-américain pour lavitesse spécifique adimensionnelle, Il est défini pour le pointnominal ηmax , et l’on note par le symbole S

C’est la vitesse spécifiqueadimensionnelle

𝑆𝑆 =𝜔𝜔 𝑄𝑄𝑔𝑔𝑔𝑔 ⁄3 4

0.18

0.37

1.25

2.33

3.67axial:

mixte

radial

mixte

S500

1000

3400

6400

10000

nq

*N en rpm, Q en gpm, H en pi

D

nq = 2732S

radial: pression élevée faible débit

débit élevé faible pression

Ns basse Ns haute

D2 D1

D2

D1

𝑆𝑆 = 𝑁𝑁𝑠𝑠 =𝑁𝑁 𝑄𝑄𝑔𝑔𝑔𝑔 ⁄3 4

𝑁𝑁𝑟𝑟𝑡𝑡𝑟𝑟𝑐𝑐

Pompes

• La plage de fonctionnement est confortable• La courbe de H-Q est toujours (presque)

décroissante.

• La puissance P augmente avec le débit.H

P

η

Q

nq faible

Pompes

• Le rendement maximal peut être plus élevéque celui des pompes centrifuges, mais laplage de fonctionnement est plus étroite

• La courbe de H-Q est toujours décroissante.• La puissance P décroît avec le débit. P

H

η

Q

nq élevée

= 0.95

0.85

0.90

0.80

0.75

0.70

0.60

0.65

3002502001501007060504030252010 15

pompeaxialepompe mixtepompe centrífuge

Pompes

Centrifuges: nq = 10 -100(ηmax pour nq≈ 50) Mixtes: nq = 75 - 200 (ηmax pour nq≈ 130)Axiales nq = 200 - 320(ηmax pour nq ≈ 250)

nq

Pompes2d

1d

1d

2U

2U

2U

2C

2C

2C

2W

2W

2W

2uC

2uC

2uC

2 1/ 2 3.5d d = −

2 1/ 1.5 2d d = −

2 1/ 1d d =

, ,H P η

Q

, ,H P η

Q

Q

, ,H P η

34

qQ

n NH

=

2d

2d

1d

PROBLÈMES

Exemple: H = 70 pi Q = 5.35 pi3/s g=32.2 pi2/sn = 870 rpm β2 = 22.5 o

Calculer la valeur de la vitesse spécifique (en fonction de Q)adimensionnelle Ns et dimensionnelle nq (débit Q en gpm)

𝑵𝑵𝒔𝒔 = 𝑛𝑛2𝜋𝜋60

𝑄𝑄𝑔𝑔𝑔𝑔 ⁄3 4

= 870𝜋𝜋

305.35

32.2 × 70 ⁄3 4= 0.6442

𝒏𝒏𝒒𝒒 = 𝑛𝑛𝑄𝑄

𝑔𝑔 ⁄3 4= 870 ×

240170 ⁄3 4

1 pi3/s=448.8 gpm

= 1.7612103𝒓𝒓𝒓𝒓𝟏𝟏− ⁄𝑝𝑝𝑝𝑝3 𝑠𝑠 1/2

𝑝𝑝𝑝𝑝 ⁄3 4

Dans cette expression

Les caractères en gris pâle ne sont qu’un aide-mémoire pour rappelerque la valeur numérique de la vitesse spécifique 𝒏𝒏𝒒𝒒, en 𝒓𝒓𝒓𝒓𝟏𝟏, a étéobtenue avec un débit en ⁄𝒓𝒓𝒑𝒑𝟑𝟑 𝒔𝒔 (initialement en 𝒈𝒈𝒓𝒓𝟏𝟏) et unehauteur en 𝒓𝒓𝒑𝒑

𝒏𝒏𝒒𝒒 = 𝑛𝑛𝑄𝑄

𝑔𝑔 ⁄3 4= 1.7612103

𝒓𝒓𝒓𝒓𝟏𝟏− ⁄𝑝𝑝𝑝𝑝3 𝑠𝑠 1/2

𝑝𝑝𝑝𝑝 ⁄3 4

Pour une pompe centrifuge, on a les données suivantes:𝒏𝒏 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒓𝒓𝒓𝒓𝟏𝟏 , 𝐙𝐙 = 𝟔𝟔 pales, 𝜼𝜼𝑯𝑯 = 𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟐𝟐(rendement hydraulique)𝐐𝐐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐠𝐠𝐠𝐠𝐠𝐠 (gallons/ minute), 𝑫𝑫𝟐𝟐= 𝟑𝟑𝟖𝟖 𝒓𝒓𝒑𝒑, (le diamètre ensortie) 𝛃𝛃𝟐𝟐𝒂𝒂 = 𝟔𝟔𝟖𝟖.𝟒𝟒𝟎𝟎, (l’angle à la sortie)Pour cette pompe, on a trouvé une relation industrielle empirique𝚽𝚽𝟐𝟐 = 𝒏𝒏𝒒𝒒/𝟏𝟏𝟖𝟖𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 et on peut supposer que 𝒄𝒄𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎On vous demande de calculer: 𝐔𝐔𝟐𝟐 , 𝒘𝒘𝟐𝟐𝟏𝟏, 𝒄𝒄𝟐𝟐𝟏𝟏 , 𝐇𝐇𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒑𝒑,𝐇𝐇. Tenezcompte du glissement !

5

…

/

/=qNQnH

1 2

3 4

On vous suggère d’estimer, dans un premier temps, la vitessespécifique, 𝒏𝒏𝒒𝒒= 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎Cette hypothèse doit être vérifiée à l’aide de vos résultats

147

…

/

/=qNQnH

1 2

3 4

22 146.7 /60

D nU pi s= =π

21000 0.082

15900 15900qn Φ = = =

2 2

22 2

m mc wU U

Φ = =

2 ?uc =

U2 ,W2m ,C2u ,Hth, H ?

Z = 6 D2 = 38 poQ = 10 000 gpm n = 885 rpmβ2 = 68.4 o ηH=0.92

Relation industrielle empirique pour Φ2

1 pi =12 po

nq = 1000

𝑼𝑼𝟎𝟎

𝒄𝒄𝟎𝟎𝒎𝒎 = 𝒘𝒘𝟎𝟎𝒎𝒎 = 146.7 × 0.082 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒑𝒑 ⁄𝒑𝒑 𝒔𝒔

2U

2W2C

2U

2C2W

2β

2uW2uC2mC

2mW

Z = 6 D2 = 38 poQ = 10 000 gpm n = 885 rpmβ2 = 68.4 o ηH=0.92

𝒄𝒄𝟎𝟎𝐮𝐮

𝒘𝒘𝟎𝟎𝒎𝒎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒑𝒑 ⁄𝒑𝒑 𝒔𝒔

𝑼𝑼𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟔.𝟕𝟕𝒑𝒑 ⁄𝒑𝒑 𝒔𝒔

𝒄𝒄𝟎𝟎𝟏𝟏𝒂𝒂 = 𝑈𝑈2 −𝑊𝑊2𝑢𝑢 = 𝑈𝑈2 −𝑊𝑊2𝑚𝑚 × tan𝛽𝛽2a = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟔.𝟎𝟎𝒑𝒑 ⁄𝒑𝒑 𝒔𝒔

20.7

cos1 0.8269as Z

βσ = − =

2 2uf s uac cσ= 2 0.8269 116.4 96.25 /ufc pi s= × =

𝛽𝛽2 = 68.40,2

2

ufs

ua

cc

σ =

U2 ,W2m ,C2u ,Hth, H ?

Tenez compte du glissement

𝒄𝒄𝟎𝟎𝟏𝟏𝒇𝒇

𝒄𝒄𝟎𝟎𝟏𝟏 𝑼𝑼𝟎𝟎

𝒈𝒈( ⁄𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒔𝒔𝟎𝟎)

= 531𝑝𝑝𝑖𝑖

𝒄𝒄𝟎𝟎𝟏𝟏 = 𝟎𝟎

𝑔𝑔𝑡𝑡𝑡 =𝑐𝑐2𝑢𝑢𝑈𝑈2𝑔𝑔 =

116.4 × 146.732.2

2 2 96.25 146.70.9232.2

ufH

c UH

g×

= = ×η

1/2 0.5

3/4 0.75

885 (10000) 983.14 rpm(403.43)q

NQnH

×= = =

Pas trop loin de la valeur proposée nq= 1000

U2, W2m, C2u, Hth, H?

Vérification de la valeur estimée de 𝑡𝑡𝑞𝑞

𝒄𝒄𝟎𝟎𝟏𝟏𝒇𝒇 𝑼𝑼𝟎𝟎

g

= 403.43𝑝𝑝𝑖𝑖

Estimez le diamètre, le type et le rendement d’une pompesatisfaisant les conditions suivantesH = 18 pi, Q = 250 gpm, n = 1500 rpm

Un graphique 𝜼𝜼 vs. 𝑫𝑫𝒔𝒔 est disponible

[ ]3 0.00223 = × Q pi s Q gpm

( )3 4260s

QN n

gH = × π

adimensionnelleg

= 1500𝜋𝜋

30×

250 × 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑32.2 × 18 ⁄3 4

= 𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎

.= 3 1SD

.= 0 992sN

108

6

43

2

1.00.8

0.6

0.40.3

0.2

0.1

5040

30

20

0.3 0.5 1.0 2 3 4 5 10 20 30

( )1 41 2 3.1= =s

gHD

QD

90%≈η

Diamètre et rendement

H = 18 pi, Q = 250 gpm, n = 1500 rpm

Q = 0.5575 p3/s

Diagramme disponible

𝑉𝑉 =3.1 × 0.5575 ⁄1 2

32.2 × 18 ⁄1 4= 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟕𝟕𝟎𝟎𝒑𝒑𝒑𝒑

= 𝟎𝟎𝟕𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎𝒓𝒓𝒑𝒑𝒎𝒎− 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑚𝑚 ⁄1 2

𝑝𝑝𝑖𝑖 ⁄3 4𝑡𝑡𝑞𝑞 =

𝑁𝑁 𝑄𝑄

𝑔𝑔 �3 4=

1500 250

18 �3 4

34

qQn N

H=

Vitesse spécifique nqRotors radiales Rotors Francis Rotors mixtes Rotors axiales

20 40 60 80 100 150 200 300

500

600

700

800

900

1000

1500

2000

3000

4000

5000

6000

1000

0

1500

0

2000

0

SI

US

Type de pompe

Pour un compresseur centrifuge on a les données suivantes:

n = 60 000 rpm D2 = 5.92 po, D1r =1.35 poD1s =3.84 po T01 = 60 F p01 = 14.7 psiap02 = 61,74 psia Z =33 pales radiales (β2 = 90 o ) ,m = 2.2 lb/s Tenez compte du glissement

-Calculez le travail spécifique We en utilisant des conditions cinématiques et géométriques (ne passez pas par la thermodynamique).

-Calculez le travail spécifique Ws idéal. Par la suite, trouvez le rendement η=Ws/ We.

D2

D1r

D1S

Pour un compresseur centrifuge on a les données suivantes:

n = 60 000 rpm D2 = 5.92 po, D1r =1.35 poD1s =3.84 po T01 = 60 F p01 = 14.7 psiap02 = 61,74 psia Z =33 pales radiales (β2 = 90 o ) ,m = 2.2 lb/s Tenez compte du glissement

-MATLAB.Obtenez le nombre de Mach M1, la température statique T1 ainsique la masse volumique ρ1 à l’entrée (1). L’aire correspond à l’anneau limitépar D1r et D1s-Calculez le débit volumique Q1 , la ‘hauteur’ idéale H=W s/g, la vitesse et lediamètre spécifique nqet Ds (dimensionnels) et le rendement η. Vérifiez lescalculs à l’aide du tableau suivant. Supposez Q2= Q1

D2

D1r

D1S

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

50 2.42 2.65 2.91

60 1.94 2.15 2.26

65 1.77 1.92 2.02 2.14

70 1.66 1.82 1.89 1.96

80 1.44 1.55 1.63 1.68

85 1.36 1.48 1.53 1.57 1.70

90 1.30 1.39 1.43 1.46 1.59

100 1.16 1.25 1.29 1.32 1.41

110 1.07 1.14 1.17 1.21 1.29

120 1.00 1.06 1.10 1.15 1.22

130 0.91 1.00 1.03 1.08 1.18

140 0.87 0.96 1.00 1.06

150 0.83 0.94 1.00 1.07

160 0.80 0.91 1.00 1.04

170 0.80 0.91 1.00 1.11

180 0.80 0.91 1.00

190 0.79. 0.91 1.01

200 0.79 0.91

Vite

sse

spéc

ifiqu

edi

men

sion

nelle

η

sN

sD

Rendement

22

5.92 0.0254 60000 472.39 /60 60D NU m s× × ×= = =π π

021 (90 )z

= −σ 21 0.93933

= − =σ

02 2 472.39 / (90 )uac U m s= =

2 2 443.76 /uf uac c m s= × =σ

5 2 22 2 2.0983 10 /e ufW c U m s= = ×

Facteur de conversion

( )1 0uc =

Calculez le travail spécifique We 1po = 0.0254m

02

01

4.2pprp

= =

01 460 60 520T R= + = 01 015( ) ( ) 288.899

T K T R K= =

( )( 1 )01 5 2 21.471 10 /11s pRW T r m s−= − ×=−

γ γγγ

0.7016se

WW

= =η

plus tard

Calculez le travail spécifique Ws idéal. Par la suite, trouvez le rendement η= Ws / We

plus tard

Conversion degrés R K

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

p A

γγγγ+

−−− = +

2 21 1( )4s rD DA π −=

2 2 22(3.84 1.35 ) 0.0254 0.0065

4A mπ − ×= =

MATLAB.Obtenez le nombre de Mach M1, à l’entrée, la température statique T1 ainsi que la masse volumique ρ1 à l’entrée (1). L’aire correspond à l’anneau limité par D1r et D1s

1 po = 0.0254m

12( 1)2287 288.89 11 1 0

101320 0.0065 2M M

γγγγ+

−−× − × − + = ×

2.2 / 1 /m lb s kg s= =01 14.7p psia=

01 288.89T K=

MATLAB.Obtenez le nombre de Mach M1, à l’entrée, la température statique T1 ainsi que la masse volumique ρ1 à l’entrée (1). L’aire correspond à l’anneau limité par D1r et D1s

12( 1)0 2

0

11 02

+−

−− − + =

RTm M M

P A

γγγγ

f =@(M)m*sqrt(R*T01)/(P01*A) - M*sqrt(gama)*(1+0.5*gama1*M*M)^expop

gama1 = gama-1;expop = -0.5*(gama+1)/(gama1);

0.4039M =

Le nombre de Mach M1, à l’entrée

201

1

112

T MT

γ −= + 1 279.76T K=

1 1 1c M RTγ= 1 135.41 /=c m s

( 1) /

1 1

01 01

p Tp T

γ− γ

=

41 9.055 10= ×p Pa

11

1

pRT

ρ =

3

1 1.1278 /ρ = kg m

Calculez le débit volumique Q1, la ‘hauteur’ idéale Hs=W s/g, 𝑇𝑇01 (𝐾𝐾) = 288.89𝐾𝐾𝑝𝑝01= 101.3 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑡𝑡

( )331 31

( / )( / ) 0.3048( / )

m kg sQ pi skg m

= ρ

( )2 2

2( / )( ) 0.3048

9.8( / )s

sW m sH pi

m s

=

( )33 31 31( / )( / ) 0.3048 31.31 /

1.1278( / )kg sQ pi s pi s

kg m

= =

1 pi = 0.3048 m

Calculez le débit volumique Q1, la ‘hauteur’ idéale Hs=W s/g,

𝒈𝒈𝟎𝟎 = 𝟑𝟑𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟎𝟎𝒑𝒑 ⁄𝒑𝒑𝟑𝟑 𝒔𝒔ρair

( )5 2 2

42

1.471 10 ( / )( ) 0.3048 4.92 109.8( / )

×= = ×

sm sH pi pi

m s

5 2 21.471 10 /sW m s= ×plus tard

Calculez le débit volumique Q1 , la ‘hauteur’ idéale H=W s/g, la vitesse etle diamètre spécifique nqet Ds (dimensionnels) et le rendement η. Vérifiezles calculs à l’aide du tableau suivant. Supposez Q2= Q1

𝒈𝒈𝒔𝒔 = 𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟎𝟎 × 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝒑𝒑𝒑𝒑

1/ 2 0.5

3/ 4 4 0.75

60000 (31.31) 101.57(4.924 10 )s

NQNH

×= = =

×

1/4 4 0.252

1/2 0.5

5.92 /12 (4.92 10 ) 1.31(31.31)s

D HDQ

× ×= = =

31 31.31( / )=Q pi s

44.92 10= ×H pi

Calculez le débit volumique Q1 , la ‘hauteur’ idéale H=W s/g, la vitesse etle diamètre spécifique nqet Ds (dimensionnels) et le rendement η. Vérifiezles calculs à l’aide du tableau suivant. Supposez Q2= Q1

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

50 2.42 2.65 2.91

60 1.94 2.15 2.26

65 1.77 1.92 2.02 2.14

70 1.66 1.82 1.89 1.96

80 1.44 1.55 1.63 1.68

85 1.36 1.48 1.53 1.57 1.70

90 1.30 1.39 1.43 1.46 1.59

100 1.16 1.25 1.29 1.32 1.41

110 1.07 1.14 1.17 1.21 1.29

120 1.00 1.06 1.10 1.15 1.22

130 0.91 1.00 1.03 1.08 1.18

140 0.87 0.96 1.00 1.06

150 0.83 0.94 1.00 1.07

160 0.80 0.91 1.00 1.04

170 0.80 0.91 1.00 1.11

180 0.80 0.91 1.00

190 0.79. 0.91 1.01

200 0.79 0.91

Vite

sse

spéc

ifiqu

edi

men

sion

nelle

η

sN

sD

Rendement

.=sN 101 57

0.7016=ηplus tard

1.32

..= ≈s 1 32D 1 31

H= 2 2

gHn D

Ψ

QnD

=Φ 3Q

n1 n2 n3

Si on compare une pompe avec elle même pour différentesvitesses de rotation N0 et N, on a

2 2

0 0 0

=

H N DH N D

3

0 0 0

=

Q D NQ D N

1 12 2

0 0 0

= =

H N QH N Q

2020

HH QQ

=

𝑔𝑔 = 𝑘𝑘0𝑄𝑄2

Pour une pompe qui tourne à une vitesse N0 et qui opère au point(Q0,H0), il existe un ensemble de points ayant le même rendementsur la parabole H=k0Q2. Ces points correspondent à vitesses derotation différentes et reçoivent le nom de points homologues

𝑔𝑔 = 𝑘𝑘0𝑄𝑄2 𝑘𝑘0 =𝑔𝑔0𝑄𝑄02

( )0 0,H Q0H

0Q

20=H k Q

1H

2H

1Q2Q

H

Q

Point d’opération Points homologues

Les points sur la courbe H=k0Q2ont le même rendement

0N

Si on compare différentes pompes similaires qui tournent à la même vitesse de rotation N= N0

2 2

0 0 0

=

H N DH N D

3

0 0 0

=

Q D NQ D N

1 12 2/3

0 0 0

= =

H D QH D Q

2/302/30

=

HH QQ

𝑔𝑔 = 𝐾𝐾0𝑄𝑄 ⁄2 3

Pour une pompe opérant sur un point (Q0,H0) à une vitesse derotation N0 , il existe un ensemble de points sur la courbe H=K0Q2/3qui ont le même rendement. Ces points homologues correspondentà des pompes similaires avec des diamètres différents, mais quitournent à la même vitesse de rotation N0

𝑔𝑔 = 𝐾𝐾0𝑄𝑄 ⁄2 3 𝐾𝐾0 =𝑔𝑔0𝑄𝑄0

⁄2 3

Les points sur la courbe H=K0Q2/3ont le même rendement

( )0 0,H Q

0H

2/30=H K Q

1H

1Q

H

Q

Point d’opération Points homologues

0N

0H

/= 2 30H K Q

H

Q

0N

= 20H k Q

0Q

Même N, différents diamètres D

Même D, différentes vitesses N

AC

B

Lorsque le diamètreainsi que la vitessede rotation changent,on passe du pointd’opération A aunouveau point Csuivant les parcours:

AB, BC

Les points sur la courbe H=K0Q2/3 ont le même rendementLes points sur la courbe H=k0Q2 ont le même rendement

La hauteur de charge H, le rendement η et la caractéristique dusystème hydraulique Hs associé à une pompe sont donnés par leséquations:

La vitesse de rotation de la pompe est de N=1800 rpm, la chargeH est donnée en mètres, le débit Q est exprimé en lt/s et lerendement η en %.

2

2

2

20 0.8333 0.166729.643 3.2143

10 2.1164s

H Q QQ Q

H Qη

= + −= −= +

Si la vitesse du rotor du même système est augmentée à 3600rpm, quel sera le débit et quelle sera la puissance au pointd’opération?

Quelle est la vitesse de rotation (en rpm) nécessaire pouraugmenter le débit 1.7 fois la valeur obtenue à 1800 rpm?

. .= + − 220 0 8333 0 1667H Q Q

.= + 210 2 116sH Q

21.034 ,2.283 /

H mQ l s

==

3 3a b

Q QD N D N

Φ = =

3600 2.2831800

4.566( / )b aa

bN QN

Q lt s = = =

Si la vitesse du rotor du mêmesystème est augmentée à 3600 rpm,quel sera le débit et quelle sera lapuissance au point d’opération?

= 1800aN rpm

Q

H

2

2

229.620 0

10 2.14

.8333 0.13 3.2

61164

6743

== −

+=

+ −

s

HQ QQ Q

H Qη

1800aN rpm=

. .= + − 220 0 8333 0 1667H Q Q

Si la vitesse du rotor du mêmesystème est augmentée à 3600 rpm,quel sera le débit et quelle sera lapuissance au point d’opération?

2 2 2 2a b

gH gHN D N D

Ψ = =

= = =

abb

a

N H mN

H2 23600 21.034

18084.136

0

= 1800aN rpm

21.034 ,2.283 /

H mQ l s

==

Q

H

.= + 210 2 116sH Q

2

2

229.620 0

10 2.14

.8333 0.13 3.2

61164

6743

== −

+=

+ −

s

HQ QQ Q

H Qη

1800aN rpm=

. .= + − 220 0 8333 0 1667H Q Q

.= + 210 2 116H Q

Si la vitesse du rotor du mêmesystème est augmentée à 3600 rpm,quel sera le débit et quelle sera lapuissance au point d’opération?

b b bH m Q l s N rpm84.136 , 4.566( / ), 3600= = =

= 1800aN rpm

21.034 ,2.283 /

H mQ l s

==

W gHQ 3/ 1000 9.8 84.136 4.566 10 /−= = × × × ×ρ η η

Q

H

2

2

2

20 0.8333 0.166729.643 3.2143

10 2.1164s

H Q QQ Q

H Q

= + −= −= +

η

1800aN rpm=

𝜼𝜼 = 𝟎𝟎𝟗𝟗.𝟔𝟔𝟎𝟎𝟑𝟑𝒈𝒈 − 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝒈𝒈𝟎𝟎

𝜼𝜼 = 𝟓𝟓𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎%

= 1800aN rpm

210 2.116 41.88b bH Q= + =

1.7 2.283 3.882bQ = × =Le point d’opérationH=41.88m,Q=3.882 l/sn’est pas un point similaire

Pour une pompe opérant àdifférentes vitesses derotation, il y a un ensemblede points avec le mêmerendement sur la paraboleH=k0Q2.

Quelle est la vitesse de rotation (en rpm) nécessaire pour augmenter le débit 1.7 fois la valeurobtenue à 1800 rpm?

. .= + − 220 0 8333 0 1667H Q Q

.= + 210 2 116b bH Q

21.034 ,2.283 /

H mQ l s

==

Quelle est la vitesse de rotation (en rpm) nécessaire pour augmenter le débit 1.7 fois la valeurobtenue à 1800 rpm?

20=H k Q

00 2

0

HkQ

=

2

41.88 2.779(3.882) b

= =

22.279H Q=Courbe de points similaires

210 2.116 41.88= + =b bH Q

1.7 2.283 3.882= × =bQ

. .= + − 220 0 8333 0 1666H Q Q

.= + 210 2 116b bH Q

21.034 ,2.283 /

H mQ l s

==

= 1800aN rpm

. ,. /

==

21 0342 283

H mQ l s

.. /

==

21 0312 7507

a

a

H mQ l s

210 2.116 41.88= + =b bH Q m

1.7 2.283 3.882 /= × =bQ l s

a b

Q QN N

=

2 20 2.279H k Q Q= =

Courbe de points similaires

Le point a décrit par Ha =21.031m, Qa =2.7507 l/s, pour une vitesse de rotation Na =1800 rpm, estsimilaire par rapport au point b avec Hb =41.88m ,Qb =3.882 l/s et Nb=2540.29 rpm

bN

. .= + − 220 0 8333 0 1666H Q Q

.= + 210 2 116b bH Q

= 1800aN rpm

Diapositive numéro 1Diapositive numéro 2��OBJECTIFS����Introduction� ���Introduction� ���Introduction� ��Rappel :le Théorème π�Du modèle au prototype��Similitude� ����Similitude� �� Remarque��Similitude dynamique� ��Similitude dynamique��Le coefficient de débit Φ�����Le coefficient de charge ψ�����Formes particulières ��Les pompes� ��Coefficients Φ et Ψ���Relations pour les pompes � �����Relations pour les pompes��� ���Ventilateurs��Faible nombre de MachRappelRappelVentilateurs�Ventilateurs:coefficients�Problème La pression totale Pression statique �Compresseurs et turbines à gaz� Nombre de Mach�Compresseurs: forme pratique� Forme équivalente pourForme équivalente pourCompresseurCas général�Compresseur: simplifications��Simplifications��Alors…�La carte du compresseurLa carte du compresseurLa carte du compresseurDiapositive numéro 43Diapositive numéro 44Diapositive numéro 45La ligne d’opération Diapositive numéro 47Diapositive numéro 48Diapositive numéro 49Diapositive numéro 50Lecture et calculsuiteDiapositive numéro 53�Turbines hydrauliques� Diapositive numéro 55�Turbine Pelton� �Turbine Pelton� �Contrôle du débit� �Turbine Francis� �Turbine Francis� �Turbine Kaplan� Diapositive numéro 62La géométrieLa colline de rendementCas particulier�Turbines hydrauliques� Coefficient de débit modifié�Turbines hydrauliques� �Turbines hydrauliques� �Turbines hydrauliques� �Turbines hydrauliques� �Carte d’une turbine I� �Carte d’une turbine II� Diapositive numéro 74Diapositive numéro 75Diapositive numéro 76Diapositive numéro 77�Variables réduites � �Le système n11 Q11 � �Variables réduites � �Vitesse-Diamètre spécifique� �Vitesse-Diamètre spécifique� �Vitesse-Diamètre spécifique� �Diamètre spécifique� �Vitesse spécifique� �Vitesse-Diamètre spécifique� �Pompes� �Turbines hydrauliques� �Interprétation en industrie� �ns et nq� �ns et nq� �Remarque:ns et nq� �Résumé� �Résumé� �Pompes: rotor et ns � �Pompes: rotor et ns � �Turbines: rotor et ns � �Turbines: rotor et ns � �Équivalences � �Turbine Francis� ��Colline de rendement �� �Turbine Pelton� �Turbine Pelton� �Colline de rendement� �Turbine Kaplan� �Collines de rendement� �Turbines: classification et ns � Turbine PeltonTurbine FrancisTurbine KaqplanRésuméDiapositive numéro 112�Classification générale� Forme et nsÉchelle radiale-axiale de nq��Facteurs de conversion� ��Évolution des rotors� �Évolution des rotors� �Évolution des rotors� �Évolution des rotors� ProblèmeDiapositive numéro 122Diapositive numéro 123Diapositive numéro 124�Problème� �Problème� �Problème� �Problème� Diapositive numéro 129Diapositive numéro 130�Diagramme de Cordier� Diapositive numéro 132�Diagramme de Cordier� �Sélection� �Sélection� ��Facteur de forme S��Diapositive numéro 137��S=Ns: Haute et basse� ��Pompe radiale��Pompe axiale�Plage d’utilisation �������� R� É� S� U� M� ÉProblèmesDiapositive numéro 144��Remarque��������Exemple���� ��������Exemple���� �������������������Problème: diagramme de Cordier� Diapositive numéro 153�Problème� �Problème� Diapositive numéro 156Diapositive numéro 157Diapositive numéro 158Diapositive numéro 159Diapositive numéro 160Diapositive numéro 161Diapositive numéro 162Diapositive numéro 163Diapositive numéro 164Diapositive numéro 165Diapositive numéro 166Diapositive numéro 167Diapositive numéro 168Similitude dans les pompes�Tous pour un �Vitesses de rotation différentes�Vitesses de rotation différentesVitesses de rotation différentes Pompes différentes, même rpm Pompes différentes, même rpm Pompes différentes, même rpm �Diamètres et vitesses différents��Problème� �Problème� �Problème� �Problème� �Problème� �Problème� �Problème� �Problème� Diapositive numéro 186Diapositive numéro 187�Turbine Francis� �Rendement� Plage d’utilisation Plage d’utilisation Diapositive numéro 192�Diagramme de Cordier� Diapositive numéro 194�Turbine Kaplan� Diapositive numéro 196Relation entre ns et nq�Vitesse-Diamètre spécifique� Relation entre ns et nq��Introduction� ���Introduction� ���Introduction� ��Le coefficient de débit Φ�Forme équivalente pour�Carte d’une turbine� �Turbines� �Point d’opération des turbomachines � �Point d’opération des turbomachines� �Variables réduites � �Variables réduites � �Le système n11 Q11 � �Variables réduites � ��Turbine Pelton�� Diapositive numéro 214Diapositive numéro 215Diapositive numéro 216Figures_CP_2019.pdfDiapositive numéro 1Diapositive numéro 2Diapositive numéro 3Diapositive numéro 4Diapositive numéro 5Diapositive numéro 6��Remarque��

Figures_CP_2019.pdfDiapositive numéro 1Diapositive numéro 2Diapositive numéro 3Diapositive numéro 4������Exemple���� ��������Rapport de pression Ι� ���� �������Rapport de pression ΙΙ� ���� �Diapositive numéro 8��Remarque���Problème�