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THÈSE

Pour l'obtention du grade deDOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS

Ecole nationale supérieure d'ingénieurs de Poitiers (Poitiers) Laboratoire d'informatique et d'automatique pour les systèmes - LIAS (Poitiers)

(Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)

École doctorale : Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques - S2IMSecteur de recherche : Automatique

Présentée par :Seif Eddine Chouaba

Contribution à l'estimation des modèles linéairesà paramètres variants à temps continu.

Application à la modélisation des échangeurs de chaleur

Directeur(s) de Thèse :Thierry Poinot, Afzal Chamroo

Soutenue le 17 septembre 2012 devant le jury

Jury :

Président Sylvain Lalot Professeur des Universités, Université de Valenciennes

Rapporteur Jean-Claude Carmona Professeur des Universités, ENSAM, Aix-en-Provence

Rapporteur Laurent Autrique Professeur des Universités, Université d'Angers

Membre Thierry Poinot Professeur des Universités, Université de Poitiers

Membre Afzal Chamroo Maître de conférences, Université de Poitiers

Membre Guillaume Mercère Maître de conférences, Université de Poitiers

Pour citer cette thèse :Seif Eddine Chouaba. Contribution à l'estimation des modèles linéaires à paramètres variants à temps continu.Application à la modélisation des échangeurs de chaleur [En ligne]. Thèse Automatique. Poitiers : Université dePoitiers, 2012. Disponible sur Internet <http://theses.univ-poitiers.fr>

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THESE

Presentee aL’UNIVERSITE DE POITIERS

Pour l’obtention du grade deDOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERS

ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D’INGENIEURS DE POITIERS

ECOLE DOCTORALE SCIENCES ET INGENIERIE POUR L’INFORMATION

Diplome National - Arrete du 30 mars 1992SPECIALITE : AUTOMATIQUE

Presentee par

Seif Eddine CHOUABA

Contribution a l’estimation des modeles Lineaires a

Parametres Variants a Temps Continu. Application a la

Modelisation des echangeurs de chaleur.

Directeur de These : Thierry POINOT

Co-encadrement : Afzal CHAMROO

Presentee et soutenue publiquement le Juin 2012

COMPOSITION DU JURY

Rapporteurs : Laurent Autrique Professeur des Universites, LISA, Universite d’AngersJean-Claude Carmona Professeur des Universites, ENSAM, Aix-en-Provence

Examinateurs : Sylvain Lalot Professeur des Universites, TEMPO, UVHCGuillaume Mercere Maıtre de Conferences, LIAS, Universite de PoitiersAfzal Chamroo Maıtre de Conferences, LIAS, Universite de PoitiersThierry Poinot Professeur des Universites, LIAS, Universite de Poitiers

These preparee au sein du Laboratoire d’Informatique et d’Automatique pour les Systemes de Poitiers

Mis en page avec la classe thloria.

Remerciements

i

ii

iii

iv

Table des matieres

Introduction generale 1

Chapitre 1 Introduction aux systemes LPV 5

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Identification des systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Systeme LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Structure des modeles LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1.1 Modeles entree-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1.2 Modeles dans l’espace d’etat . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Identification des modeles LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2.1 Approche d’estimation locale . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2.2 Approche d’estimation globale . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chapitre 2 Les echangeurs de chaleur 19

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Quelques notions sur les echangeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Le probleme commun des echangeurs de chaleur . . . . . . . . . . . 22

2.3 Presentation du banc d’essai experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Description generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1.1 Le fluide de rechauffement : huile . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1.2 Le fluide de refroidissement : l’eau . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Description detaillee de l’echangeur a contre-courants . . . . . . . . 27

2.4 Simulateur de l’echangeur de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.1 Modele mathematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.2 Calage du simulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

v

Table des matieres

Chapitre 3 Conception d’un modele quasi-LPV des echangeurs de cha-

leur 33

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Le modele quasi-LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.1 Analyse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2 Le choix des variables de sequencement . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.3 Representation quasi-LPV de l’echangeur de chaleur . . . . . . . . . 41

3.3 Methodologie d’identification du modele quasi-LPV . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Identification des representations LPV E/S . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.1.1 Identification des modeles locaux . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.1.2 Choix des points de fonctionnement . . . . . . . . . . . . 45

3.3.1.3 Methode a erreur de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.1.4 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1.5 Optimisation parametrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.2 Identification des fonctions transfert LTI Gij . . . . . . . . . . . . 49

3.4 Application sur l’echangeur a courants croises . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Interpolation affine des parametres des modeles locaux . . . . . . . . . . . 64

3.6 Detection de l’encrassement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6.2 Methodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.6.3 Test utilise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.6.4 Donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.6.5 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.7 Application sur un echangeur de chaleur a contre-courants . . . . . . . . . 78

3.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Chapitre 4 Identification globale de modeles LPV a temps continu 87

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2 Identification globale : formulation et hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3 Methode fondee sur les Moments Partiels Reinitialises (MPR) . . . . . . . 94

4.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3.2 Principe des MPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3.3 Modele LTI-RPM-CT d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3.4 Modele LPV-RPM-CT d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4 Algorithme a erreur de sortie pour les systemes LPV-OE . . . . . . . . . . 99

vi

4.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.5 Exemples de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.5.1 Systeme1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.5.1.1 Analyse des performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5.2 Systeme2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.5.2.1 Analyse des performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Conclusion generale 125

Bibliographie 129

vii

Table des matieres

viii

Table des figures

1.1 Procedure d’identification des systemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Representation schematique entree/sortie d’un systeme LPV. . . . . . . . . 11

1.3 Exemple de systeme LPV : masse variable reliee a un ressort, extrait de[Tot08]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 (a) Echangeur a co-courants. (b) Echangeur a contre-courants. . . . . . . . 21

2.2 Exemple d’un echangeur a contre-courants, la figure est de [HX3]. . . . . . 21

2.3 Exemple d’un echangeur a courants croises, la figure est de [HX3]. . . . . . 22

2.4 Vue du banc d’essai experimental (Laboratoire Tempo de Valenciennes). . . 24

2.5 Echauffement d’huile de 3◦C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6 Effet de la variation des temperatures sur le debit massique de l’huile. . . . 26

2.7 Exemple de jeu de donnees E/S issu de l’echangeur de chaleur a contre-courants pour une temperature d’entree en SBPA du cote chaud (continu),sorties du systeme (tiret), les debits massiques sont maintenus constants. . 27

2.8 Representation schematique de l’echangeur a contre-courants ou mc et mh

sont les debits massiques du cote froid et chaud, respectivement, dc, dh, etds sont les epaisseurs des portions du cote froid, chaud et d’acier, et W etH representent la largeur et la hauteur de l’echangeur. . . . . . . . . . . . 28

2.9 Temperatures de sortie reelles et simulees lors de la validation. . . . . . . . 31

3.1 Signal d’entree applique a l’echangeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Evolution statique du temps de reponse et du gain en fonction de mh. . . . 38

3.3 Reponses a des echelons pour differents debits mh de l’echangeur. . . . . . 39

3.4 Reponses indicielles de l’echangeur de chaleur pour un echelon de tempera-ture d’entree du cote chaud d’amplitude 4 C, et une temperature d’entreedu cote froid maintenue constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 La structure quasi-LPV de l’echangeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.6 Les valeurs constantes du couple (mh, mc), (•) : l = 1, ..., 49 points defonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Principe des methodes a erreur de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.8 Exemple de jeu de donnees issu du simulateur de l’echangeur de chaleurutilise pour mc = 0.8kg/s et mh = 1.3kg/s. Les temperatures d’entree sontdepourvues de bruit et les temperatures de sortie sont bruitees. . . . . . . . 51

3.9 Traitement des retards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ix

Table des figures

3.10 Sorties du systeme non bruitees (continu), sorties du modele estime parLM (tiret) pour mc = 0.8kg/s et mh = 1.1kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.11 Erreur entre les temperatures simulees et estimees. . . . . . . . . . . . . . 54

3.12 Repartition des parametres locaux de la fonction Hcc pour 49 points defonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.13 Les parametres b1cc, a1cc et a2cc interpoles de Hcc en fonction de (mc, mh). 56

3.14 Sorties du systeme non bruitees (continu), sorties du modele LPV estimepour mc = 0.7kg/s et mh = 1.3kg/s (test de validation croises). . . . . . . 56


3.16 Sorties du systeme non bruite (continu), sorties du modele LPV estimepour mc = 0.88kg/s et mh = 1.13kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


3.18 Sorties du systeme non bruite (continu), sorties du modele LPV estimepour mc = 0.4kg/s et mh = 1.6kg/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


3.20 Variation des entrees de debit massique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.21 Sorties du systeme non bruite (continu), sorties du modele LPV estimepour mc = 0.4kg/s et (mh = 0.8kg/s pour t ≺ 200s et mh = 1.3kg/s pourt ≻ 200s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


3.23 Entrees pour des temperatures Tcinet Thin

variables. . . . . . . . . . . . . . 62

3.24 Entrees pour des debits massiques mc et mh variables. . . . . . . . . . . . . 62

3.25 Sorties du systeme (continu), sorties du modele quasi-LPV (tiret) pour desentrees de debit massique et des entrees de temperature variables. . . . . . 63


3.27 Repartition des poles locaux du transfert Hch pour 49 points de fonction-nement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.28 Interpolation polynomiale de b1chen fonction de (mc, mh). . . . . . . . . . 67

3.29 Interpolation affine de b1chen fonction de (mc, mh). . . . . . . . . . . . . . 68

3.30 Partie reelle des poles interpoles de Hch en fonction de (mc, mh) : polesestimes (−), approches polynomiale (•) et affine (+). . . . . . . . . . . . . 68

3.31 Partie imaginaire des poles interpoles de Hch en fonction de (mc, mh) :poles estimes (•), approches polynomiale (−) et affine (+). . . . . . . . . . 69

3.32 Variation de la conductibilite thermique du cote chaud de la paroi sepa-ratrice a cause de l’encrassement, avec des temperatures d’entree variableset des debits massiques d’entree constants (gauche), avec des temperaturesd’entree variables et des debits massiques d’entree variables (droite). . . . . 71

3.33 Temperatures d’entree variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.34 Reponses en temperature en conditions propres et en conditions encras-santes avec des sorties sans bruit, pour mc = 0.7kg/s et mh = 1.3kg/s. . . 74

3.35 Reponses en temperature en conditions propres et en conditions encras-santes avec des sorties bruitees, pour mc = 0.7kg/s et mh = 1.3kg/s. . . . 74

3.36 Temperatures d’entree. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.37 Debits massiques d’entree variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

x

3.38 Reponses en temperature en conditions propres et en conditions encras-santes avec des sorties sans bruit, pour des debits massiques d’entree va-riables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.39 Reponses en temperature en conditions propres et en conditions encras-santes avec des sorties bruitees, pour des debits massiques d’entree variables. 76

3.40 Mise en place du test Cusum sur des donnees suivant les reponses en tempe-rature en conditions propre tp = 200s et en conditions encrassantes apres,avec des sorties bruitees, pour des debits massiques d’entree constants. Sile seuil vaut h = 150, la detection a lieu a l’instant te = 306.5s. . . . . . . . 77

3.41 Mise en place du test Cusum sur des donnees suivant les reponses en tempe-rature en conditions propre tp = 200s et en conditions encrassantes apres,avec des sorties bruitees, pour des debits massiques d’entree variables. Sile seuil vaut h = 150, la detection a lieu a l’instant te = 309s. . . . . . . . . 78

3.42 Concept de modelisation quasi-LPV des echangeurs thermiques. . . . . . . 79

3.43 Exemple de jeu de donnees issu du simulateur realiste de l’echangeur dechaleur a contre-courants utilise pour mc = 0.0249 kg/s et mh = 0.0948kg/s. Les temperatures d’entree sont depourvues de bruit et les tempera-tures de sortie sont bruitees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.44 Sortie du systeme non bruitee (continu), sortie du modele estime par LM(tiret) pour mc = 0.0249 kg/s et mh = 0.0948 kg/s (cote chaud). . . . . . . 80

3.45 Sortie du systeme non bruitee (continu), sorties du modele estime par LM(tiret) pour mc = 0.0249 kg/s et mh = 0.0948 kg/s (cote froid). . . . . . . 81

3.46 Variation des parametres LTI estimes ach, ahh, bhc et bhh (circle) et inter-poles ach, ahh, bhc et bhh (surface) en fonction de (mc, mh). . . . . . . . . . 82

3.47 Le jeu de donnees d’entree qui a servi a la validation pour des debits mas-sique mc et mh variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.48 Sorties du systeme (continu), sorties du modele quasi-LPV (tiret) pour desentrees de debit massique et des entrees de temperature variables du (cotefroid). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.49 Sorties du systeme (continu), sorties du modele quasi-LPV (tiret) pour desentrees de debit massique et des entrees de temperature variables (cotechaud). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.1 Schema detaille du systeme LPV a temps continu. . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 Jeu de donnees (variation lineaire de ρ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3 Diagramme de Bode pour 34 valeurs fixes de ρ ou ρ varie entre 0.1 et 2. . . 103

4.4 Poles du systeme LPV pour des valeurs fixes de ρ. . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5 Signal de sortie mesure pour une realisation du bruit. . . . . . . . . . . . . 105

4.6 Sorties : bruitee (-), non bruitee (...) et estimee (–), RSB = 20dB. . . . . . 107

4.7 Erreur entre la sortie non bruitee et les sorties estimees ympr et yoe. . . . . 108

4.8 Moyennes et ecarts-types des estimees en fonction du niveau de bruit (100dB,20dB et 10dB). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.9 Jeu de donnees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.10 Poles du systeme LPV pour ρ(t)=sin((2π/12)t). . . . . . . . . . . . . . . . 110

xi

Table des figures

4.11 Moyennes et ecarts-types des estimees en fonction du niveau de bruit (100dB,20dB et 10dB). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.12 Jeu de donnees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.13 Poles du systeme LPV pour ρ multi sinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.14 Moyennes et ecarts-types des estimees en fonction du niveau de bruit (100dB,

20dB et 10dB). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.15 Variation des parametres a0(ρ) et b0(ρ) en fonction de la variable de se-

quencement ρ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.16 Jeu de donnees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.17 Sorties simulee non bruitee (continu) et estimee (tiret). . . . . . . . . . . . 1194.18 Erreur entre les sorties non bruitees et estimees. . . . . . . . . . . . . . . . 1194.19 Signal de sortie bruitee en fonction du RSB. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.20 Comparaison entre les parametres a0(ρ) et b0(ρ), et les parametres obtenus

a partir des methodes LPV-RPM et LPV-OE, RSB = 100dB. . . . . . . . 1214.21 Comparaison entre les parametres a0(ρ) et b0(ρ), et les parametres obtenus

a partir des methodes MPR et OE, RSB = 20dB. . . . . . . . . . . . . . . 1214.22 Comparaison entre les parametres a0(ρ) et b0(ρ), et les parametres obtenus

a partir des methodes MPR et OE, RSB = 10dB. . . . . . . . . . . . . . . 122

xii

Liste des tableaux

2.1 Caracteristiques de l’echangeur de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Tableau de mesure statique des gains et des temps de reponse du systemepour differentes valeurs constantes de debit mh. . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Valeurs moyennes du Fit pour Tcoutet Thout

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1 Resultats de simulation de Monte Carlo (SNR = 100dB). . . . . . . . . . 1064.2 Resultats de simulation de Monte Carlo (SNR = 20dB). . . . . . . . . . . 1064.3 Resultats de simulation de Monte Carlo (SNR = 10dB). . . . . . . . . . . 1064.4 Valeurs du Fit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.5 Resultats de simulation de Monte Carlo (SNR = 100dB). . . . . . . . . . 1114.6 Resultats de simulation de Monte Carlo (SNR = 20dB). . . . . . . . . . . 1114.7 Resultats de simulation de Monte Carlo (SNR = 10dB). . . . . . . . . . . 1114.8 Valeurs du Fit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.9 Resultats de simulation de Monte Carlo (SNR = 100dB). . . . . . . . . . 1144.12 Valeurs du Fit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.10 Resultats de simulation de Monte Carlo (SNR = 20dB). . . . . . . . . . . 1154.11 Resultats de simulation de Monte Carlo (SNR = 10dB). . . . . . . . . . . 1154.13 Valeurs du Fit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.14 Valeurs du Fit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

xiii

Liste des tableaux

xiv

Introduction generale

Ce travail de these s’inscrit dans le cadre d’une collaboration franco-islandaise autravers du projet ”DESURENEIR - DEtection et SURveillance de l’ENcrassement dansles Echangeurs de chaleur Isoles ou en Reseau” du Programme Interdisciplinaire Energiedu CNRS. Ce projet est centre sur l’identification et la modelisation des echangeurs dechaleur pour la detection de l’encrassement a partir des donnees classiquement mesureeslors du fonctionnement. Il a ete porte par trois equipes de recherche qui poursuivent destravaux et developpent des savoir-faire complementaires :

– le laboratoire TEMPO - Thermique Ecoulement Mecanique Materiaux Mise enforme PrOduction de l’Universite de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis ;

– le laboratoire LIAS - Laboratoire d’Informatique et d’Automatique pour les Sys-temes de l’Universite de Poitiers ;

– le laboratoire ERI - Engineering Research Institute de l’Universite d’Iceland.

Dans les societes industrielles, les echangeurs de chaleur sont des elements essen-tiels de toute politique de maıtrise de l’energie. Ce sont des dispositifs largement utilisesdans les applications industrielles et domestiques (chimie, petrochimie, siderurgie, agroa-limentaire, production d’energie, chauffage, climatisation, etc.). Il existe plusieurs typeset tailles d’echangeurs, mais le principe de base reste relativement simple : un echangeurde chaleur permet de transferer de l’energie thermique d’un fluide vers un autre, sans lesmelanger (le flux thermique traverse la surface d’echange qui separe les fluides) [Pad94].

Un des problemes majeurs lies aux echangeurs de chaleur en milieu industriel est leurencrassement. La detection de l’encrassement dans les echangeurs represente un enjeueconomique important. En effet, l’encrassement amene generalement a l’augmentationde la resistance thermique et decroit ainsi l’efficacite thermique de l’echangeur. Il peutegalement reduire le debit des fluides circulant dans l’echangeur et ainsi augmenter laconsommation electrique des pompes et ventilateurs. L’encrassement genere donc uneperte financiere qui peut etre tres importante. A titre d’exemple, prenons la societe Dal-kia qui, en 2005, gerait une puissance thermique de 81 500 MW. Si on considere uneperte de 0.1% due a l’encrassement, cela equivaut a 8 150 MW soit, en prenant un kWh a0.05 e, une perte financiere de 3.5 M e par an. Ainsi, la detection precoce de l’encrasse-ment permet aux entreprises de faire des economies mais egalement de rester competitivesen reduisant les couts de production des produits manufactures. Dans l’industrie alimen-taire, cette detection est une affaire de sante publique. En effet, la presence de depots

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d’encrassement est le point de depart pour le developpement d’agents pathogenes, indui-sant ainsi des risques sanitaires.

Le controle de l’efficacite des echangeurs de chaleur est une tache de routine pour laplupart des services de maintenance dans les usines. Dans la plupart des cas, les outilsdisponibles sont bases sur l’hypothese que le processus est dans un fonctionnement ther-mique stable, ce qui loin d’etre generalement le cas. Ainsi, les debits et temperatures desfluides entrant dans l’echangeur peuvent etre variables. Si pour de tres faibles variations,le comportement thermique des fluides traversant un echangeur peut etre facilement ap-proche par des modeles lineaires, ceci n’est plus possible lorsque les variations deviennentplus grandes. Les modeles permettant de caracteriser au mieux le comportement ther-mique des fluides dans l’echangeur sont alors non lineaires.

Une technique de modelisation qui permet de representer un systeme non lineaireet qui permet l’utilisation des techniques adaptees aux modeles lineaires est l’approcheLPV (Lineaire a Parametres Variants ou Linear Parameter Varying). La modelisationLPV constitue un outil tres etudie actuellement pour la modelisation des systemes nonlineaires [MPD08, LKWB11, DFS11, CCOP12, LNSR11]. Son principe est base sur la des-cription du fonctionnement du systeme non lineaire dans differentes parties de son espacede fonctionnement a l’aide de modeles simples souvent lineaires. La contribution relativede chaque modele lineaire dans la description du modele global est obtenue grace a la pro-jection des non linearites dans des variables exogenes dites variables de sequencement (ouscheduling parameter) supposees mesurables. Les parametres de chaque modele lineairesont par la suite associes dans des fonctions d’interpolation dependant des variables desequencement. Les modeles LPV possedent des proprietes particulieres (utilisant des tech-niques basees essentiellement sur celles developpees dans le cadre lineaire) qui en font leurinteret en identification, commande et diagnostic des systemes.

La difficulte liee a la modelisation LPV reside dans l’identification des parametres quisont fonctions des variables exogenes. Il est possible d’envisager deux approches en ce quiconcerne l’identification des modeles LPV : l’approche locale et l’approche globale. Dansl’approche locale, les variables de sequencement sont supposees constantes. Une proce-dure d’identification classique est alors appliquee, pour differentes valeurs constantes desvariables de sequencement (correspondant a differents points de fonctionnement du sys-teme) afin de determiner plusieurs modeles a temps invariants locaux. La nature LPVdu systeme est ensuite construite par interpolation des parametres des modeles locaux.On peut par exemple considerer l’interpolation polynomiale des parametres des modeleslocaux en fonction des variables exogenes ([SVV03, GVSB05, LM07, CSCP11, CCOP12]).L’approche globale consiste quant a elle a realiser une seule identification au cours de la-quelle toutes les variables (d’entrees et de sequencement) sont excitees de maniere persis-tante. L’algorithme d’identification employe conduit directement a un modele global LPVpresentant directement une dependance fonctionnelle des parametres du modeles relati-vement aux variables de sequencement ([BG02, VV05, WR06, Tot10, Lau10, CCOP11]).

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Ce travail de these s’inscrit donc dans le contexte de l’identification des modelesLineaires a Parametres Variants. Nous nous sommes particulierement interesses a lamodelisation continue LPV des echangeurs de chaleur. Si l’identification de modelesLPV a temps discret a fait l’objet de nombreux travaux au cours des dernieres annees[BG00, BMC05, GBFB06, TFHV07, LGTG10], l’identification de modeles a temps continun’a en revanche ete que tres peu etudiee. Le choix d’une representation a temps continuest motive par la volonte de lier le modele LPV ou, du moins, certains de ses parametresa la physique de l’echangeur. Il faut se rappeler que l’objectif final est de detecter l’en-crassement dans les echangeurs. Plusieurs auteurs se sont deja penches sur ce problemede detection de l’encrassement ([Wit96, CDL+04, JLPD07, LM08, MPP09]) en envisa-geant eventuellement la localisation de ce phenomene pour aboutir a une maintenanceciblee. Cette detection, rendue difficile par le caractere progressif de l’encrassement, peutse faire par des techniques basees sur des mesures locales ([Bot00, IECC04, Wit96]), maisil s’avere beaucoup plus judicieux d’utiliser un modele sain de l’echangeur pour y parvenir.L’idee que nous avons retenue est de construire un modele LPV de l’echangeur capabled’approcher le fonctionnement sain de l’echangeur. La detection de l’encrassement se faitalors en comparant les donnees en fonctionnement avec celles fournies par la simulationdu modele LPV.

Si les approches locales pour construire un modele LPV s’averent preferables lorsqu’iln’est pas possible d’exciter convenablement les variables de sequencement, dans certainessituations, les approches globales peuvent etre mise en œuvre. Dans ce travail, nous noussommes donc egalement interesse a definir une approche permettant d’identifier a partird’un seul essai les parametres d’un modele LPV a temps continu. La methode est baseesur l’utilisation d’un algorithme a erreur de sortie initialise par une approche a erreurd’equation, la methode des Moments Partiels Reinitialises.

Ce memoire est organise en quatre chapitres.

Le premier chapitre est une introduction a la modelisation LPV. On y presente lesprincipes generaux de la modelisation LPV, les principales structures LPV existantesainsi que les approches d’identification de ces modeles au travers d’un bref etat de l’art.

Le deuxieme chapitre est dedie aux echangeurs de chaleur etudies dans ce travail.Apres avoir introduit quelques notions sur les echangeurs de chaleur et le probleme deleur encrassement, on presente le banc experimental qui a ete developpe au laboratoireTEMPO de l’Universite de Valenciennes. Le modele physique de l’echangeur de chaleur estpresente ainsi que le simulateur developpe par le laboratoire ERI de l’Universite d’Islande.Ce simulateur, une fois cale sur les donnees fournis par le banc experimental, servira agenerer les jeux de donnees qui nous permettrons d’identifier et de valider le modele LPVde l’echangeur.

Le troisieme chapitre porte sur une des principales contributions de cette these, a savoirla conception d’un modele quasi-LPV des echangeurs de chaleur. On y presente et justi-fie les differents choix qui ont ete faits pour etablir le modele quasi-LPV de l’echangeur.

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La methodologie d’identification du modele quasi-LPV est basee sur l’approche locale,c’est-a-dire sur l’identification de modeles lineaires locaux qui permettent de construirele modele LPV. La methode est detaillee et illustree sur un echangeur a courants croises,echangeur sur lequel est testee la technique de detection d’encrassement. Finalement, afinde montrer la genericite de l’approche, la meme methodologie d’identification est appli-quee sur un echangeur a contre-courants.

Le quatrieme et dernier chapitre presente une autre contribution de ce travail. Ons’interesse ici a l’identification globale d’un modele LPV a temps continu. L’objectif estd’estimer les parametres du modele LPV a partir d’un seul essai. Ici, cette approche estvue d’une maniere plus generale et sort du contexte des echangeurs de chaleur. L’algo-rithme d’identification propose se base sur une approche a erreur de sortie. Toutefois,pour assurer une convergence vers l’optimum global, les algorithmes a erreur de sortierequierent une bonne initialisation. Dans le cas des systemes lineaires, une technique per-formante a ete developpee au LIAS, la technique des Moments Partiels Reinitialises. Uneextension de cette approche au cas des systemes LPV est proposee. Differents exemplesde simulation permettent d’illustrer les capacites des algorithmes proposes.

Finalement, ce memoire presente une conclusion sur les differents travaux qui y sontexposes et etablit quelques perspectives de recherche sur les problemes qui restent ouverts.

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Chapitre 1

Introduction aux systemes LPV

Ce chapitre presente une introduction a la problematique de la modelisation des sys-temes dynamiques non lineaires par une modelisation Lineaire a Parametres Variants(LPV). Quelques types de structures LPV existantes sont presentees et les applications desmodeles LPV dans differents domaines sont egalement abordees, en presentant quelquesexemples permettant de comprendre le concept de modelisation LPV. Une breve introduc-tion a l’identification des systemes LPV, et une classification des differentes techniquesd’estimation existantes en deux approches d’estimation principales (locale et globale),permettent de faire un rapide tour d’horizon de l’etat de l’art.

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Chapitre 1. Introduction aux systemes LPV

1.1 Introduction

Les besoins croissants pour un controle industriel precis et de haute performanceexigent de trouver de meilleures modelisations dynamiques des systemes et des pheno-menes physiques. C’est le defi auquel doivent faire face les automaticiens. Les systemesrencontres en pratique ont souvent un comportement non lineaire ou variant dans le temps.Malheureusement, traiter ces systemes dans differents contextes (identification, commandeet diagnostic) en utilisant un modele non lineaire est plus difficile et plus delicat que dansle cas lineaire. De plus, representer ces processus et approcher leur comportement auvoisinage d’un point de fonctionnement par un modele lineaire restreint le domaine devalidite du modele a de faibles variations. En effet, l’hypothese de linearite du systemen’est verifiee que tres localement autour d’un point de fonctionnement donne. Des lors quel’on souhaite avoir une modelisation correcte du comportement global de ces systemes, ondoit avoir recours a des modeles de representation qui tiennent compte de la nature desnon linearites du systeme.

La recherche en identification a ete largement developpee dans le cadre lineaire et denombreux outils et algorithmes performants ont ete mis au point. Il apparait judicieuxd’avoir une description des systemes a mi-chemin entre les systemes lineaires a tempsinvariants (LTI) et les systemes non lineaires ou variants dans le temps permettant demettre a contribution ces travaux.

Une technique de modelisation interessante qui permet de representer un systeme nonlineaire et qui permet l’utilisation des techniques adaptees aux modeles lineaires est l’ap-proche des systemes Lineaire a Parametres Variants (LPV). Son principe est base sur unerepresentation lineaire dont les parametres varient dans le temps en fonction d’une ou deplusieurs variables externes ou internes, appelees variables de sequencement (schedulingparameters en anglais).

A titre d’exemple, le modele non lineaire decrivant la dynamique d’un avion a unealtitude constante, peut etre approxime par un systeme LTI [SL03]. Ensuite, en conside-rant le comportement de l’avion comme une collection de modeles LTI correspondant ades niveaux d’altitude differents et en utilisant la variable de l’altitude comme variablede sequencement, nous pouvons arriver a une approximation globale du comportement del’avion grace a une interpolation des parametres en fonction de l’altitude.

Dans ce contexte de modelisation, pleinement reconnu aujourd’hui, les systemes li-neaires a parametres variants connaissent un interet grandissant car ils permettent derepresenter et d’etudier les systemes non lineaires en utilisant les outils lineaires, maisaussi de synthetiser des correcteurs robustes et adaptatifs adaptes a ce type de problema-tique [AA98, RS00].

Les travaux de these expose dans le present memoire concernent en grande partiel’identification des systemes LPV et leur application a la modelisation des echangeursthermiques. Il est donc utile de presenter un survol de l’etat de l’art dans le domaine de la

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1.2. Identification des systemes

modelisation et l’application des systemes LPV. Avant de nous pencher sur le problemepose par la modelisation des echangeurs de chaleur, nous allons presenter au cours de cepremier chapitre les principaux travaux realises concernant l’approche LPV et les deuxgrandes techniques d’identification utilisees. Cela peut constituer un bon point de departpour motiver notre strategie de recherche et justifier notre choix d’utiliser la structureLPV dans la suite de ce document.

1.2 Identification des systemes

L’identification des systemes est la procedure qui consiste a rechercher un modele ma-thematique a partir d’un ensemble de mesures experimentales d’entrees-sorties issues d’unsysteme dynamique. Ce modele doit fournir une approximation fidele du comportementdu systeme physique dans le but d’estimer des parametres physiques (par exemple pourl’identification de systemes electromecaniques) ou de concevoir des algorithmes de simu-lation (etudier les sorties du systeme pour des entrees donnees), de prevision (previsionmeteo, prevision de crue, etc.), de surveillance (detection de defaut) ou de commande(conception de controleur pour le suivi et le rejet de perturbation). Un historique del’identification des systemes peut etre trouve par exemple dans [Lju99]. Il existe deuxapproches de modelisation :

– En appliquant les lois de la physiques du domaine etudie (physiques, chimie, ther-mique, etc.), on obtient un modele dit de ”connaissance” ou ”boıte blanche” et ne-cessite une expertise sur le domaine d’application.

– En se bornant a expliquer un comportement d’entree-sortie a partir des donneesexperimentales, on determine un modele dit de ”comportement” ou ”boıte noire”.

La modelisation s’effectue au cas par cas et les outils classiques d’estimation parametriquepeuvent etre utilises pour estimer les parametres inconnus. Des modeles ”boıte grise” per-mettent d’introduire de la connaissance dans un modele de comportement. Les modelesde types boıte noire ou boıte grise peuvent etre etudies dans un cadre plus general disso-cie de l’application. Dans cette these nous nous interessons aux modeles de comportement.

La modelisation a partir de donnees experimentales est une etape preliminaire de l’ana-lyse d’un systeme quelconque, independamment de sa nature physique et de son degre decomplexite. Elle comporte essentiellement les etapes suivantes (demarche d’identificationproposee par [Lju99]) :

– la premiere etape consiste a formaliser les connaissances disponibles a priori et arecueillir les donnees experimentales (en general, on dispose des mesures de la sortieet eventuellement des excitations de l’entree) ;

– ensuite, vient l’etape d’estimation de la structure de la loi mathematique parametreebasee sur l’optimisation ou sur les techniques d’apprentissage pour obtenir les valeursnumeriques des parametres (souvent, on se contente d’estimer les parametres ensupposant une loi connue, mais en realite cette loi est inconnue ou tres complexe,on se contente donc d’une approximation (modele reduit), il en resulte des erreursde modelisation) ;

– une troisieme etape pourrait etre la validation du modele, puis, l’evaluation de l’in-

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certitude sur les parametres estimes. Comme les mesures sont bruitees il est impos-sible d’obtenir les parametres exacts, on ne peut que les estimer. Pour cela, on doitdonc tester la capacite du modele a predire le comportement du systeme jusqu’aune certaine precision acceptable ;

– enfin, on donne une analyse critique des resultats du comportement du systeme enfonction de ses entrees et sorties.

La demarche d’identification est presentee dans la figure 1.1 [Lju99].

Figure 1.1 – Procedure d’identification des systemes.

La determination de la structure, lineaire ou non lineaire, du modele est un pointessentiel de l’identification. En general, les modeles issus de la physique ne doivent pasetre trop simplistes afin de representer la realite mais il doivent aussi etre suffisammentsimple pour ne pas rendre inutilement complexes les etapes d’analyse des proprietes dusysteme et de synthese des regulateurs. Il est donc tres important d’etablir un bon com-

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1.3. Systeme LPV

promis entre la precision du modele et sa complexite. Ainsi, l’identification des systemesphysiques est un probleme stimulant tant au niveau du choix de la structure de modeleque du developpement de la methode d’estimation de ses parametres.

Dans le domaine de l’automatique, la prevision, la commande ou la surveillance consti-tuent des themes de recherche qui necessitent l’elaboration de modeles ayant des struc-tures particulieres. En generale, la quasi totalite des systemes sont non lineaires. Onparle d’identification non lineaire lorsqu’on represente les systemes par des modeles nonlineaires. Un modele est non lineaire si au moins une non linearite apparait dans sa struc-ture. Notons qu’un modele non lineaire peut etre lineaire ou non lineaire par rapport auxparametres comme un modele lineaire. Differentes structures de modeles non lineairessont souvent utilisees, comme par exemple, les modeles a blocs structures (Hammerstein,Wiener et Volterra), les reseaux de neurones, les modeles flous, les series temporelles, etc.Chacune de ces structures de modele presente des avantages et des inconvenients. La ca-pacite d’adapter des outils theoriques d’analyse et de synthese afin d’obtenir une theorieunique, generale et exhaustive s’avere limitee pour chacune des structures. Cependant, lesoutils existants pour l’etude pratique des modeles non lineaires complexes sont eux aussilimites. En consequence, le compromis entre l’exactitude d’un modele utilise et sa sim-plicite de manipulation dans la pratique a toujours ete une tache assez difficile a accomplir.

Le concept ayant le nom generique de modeles Lineaires a Parametres Variants (LPV)permet de repondre en large partie a cette demande. En effet, ces modeles peuvent etre vuscomme une etape intermediaire entre le cadre des systemes Lineaires a Temps Invariant(LTI) bien connus et le vaste univers des systemes non lineaires et variant dans le tempsafin de pouvoir les utiliser et les interpreter plus facilement. Ainsi, cette approche permetd’etendre considerablement les methodologies lineaires aux domaines non lineaires. Dansle domaine de l’identification, l’approche LPV constitue une alternative tres interessanteet un outil tres utilise actuellement pour la modelisation des systemes non lineaires. Dansla suite on va preciser les caracteristiques de cette approche en presentant les differentesstructures et approches d’identification qui font reference au concept LPV.

1.3 Systeme LPV

A l’origine, l’etude des systemes Lineaires a Parametres Variants (LPV) a ete motiveepar l’etude des techniques de commande dite a sequencement de gain (gain schedulingen anglais) [RS00]. En automatique, le sequencement de gain est une technique de com-mande des systemes non lineaires qui grace a la determination d’une famille de systemeslineaires qui approchent de facon satisfaisante le systeme non lineaire en un nombre depoints de fonctionnement donnes, propose des lois de commandes dans chacune des re-gions de l’espace d’etat associees, pour realiser finalement une loi de commande globale.Une ou plusieurs variables observables, appelees variables de sequencement, servent a de-terminer la region de l’espace d’etat dans laquelle se trouve le systeme pour faire basculerla bonne commande. Le sequencement de gain constitue l’une des syntheses de loi de com-

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mande les plus intuitives [Wik11].

Par la suite, la notion de modele LPV a ete introduite en theorie des systemes parSchamma et Athans [SA91] pour prendre en compte toutes les variations parametriquesdu systeme dynamique, en utilisant des techniques initialement developpees dans le casLTI. Elle represente une classe assez large de systemes non lineaires constituant une formeintermediaire entre une forme non lineaire generale et la forme lineaire. Les systemes LPVpeuvent etre consideres comme un type particulier des systemes variant dans le temps,dont la variation depend explicitement de la variable de sequencement. Parmi les pre-mieres publications offrant une presentation complete et generale des approches LPV onpeut citer le livre de Toth [Tot10].

Actuellement, la modelisation, l’identification et la conception de controleurs des sys-temes LPV sont des domaines de recherche actifs qui contribuent au developpement decontroleurs ’gain scheduling’ capables de gerer la variation rapide des points de fonction-nement avec performance. De plus, les modeles LPV sont reconnus pour leurs capacites aapprocher les comportements dynamiques, aussi complexes soient-ils, d’une large gammede systemes. Ils se revelent tout a fait adaptes a la modelisation de systemes a partir dedonnees experimentales. Leur structure possede en outre des proprietes mathematiquestres interessantes d’un point de vue de l’automatique. L’avantage de ces modeles est lacapacite de representation qu’ils offrent. En effet, les modeles LPV facilitent l’extensionde certains outils d’analyse developpes dans le cadre des systemes lineaires aux systemesnon lineaires et ce, sans avoir a effectuer d’analyse specifique sur la non linearite du sys-teme. Ils sont de par leur structure beaucoup moins limites que les modeles non lineaires[SPN+12]. Du point de vue des applications, la structure de type LPV presente un inte-ret croissant pour le cadre de l’identification dans differents domaines. Ils ont d’ailleursete recemment utilises pour l’identification de nombreux systemes reels, par exemple, enaerospatiale [DCB08, MPD08, GBFB06], pour la modelisation des echangeurs de chaleur[CCMP11, CSCP11, MPP11, CCOP12], en mecatronique [PSBS06, DFS11], pour la ges-tion du trafic routier [LKWB11], les reseaux de transport de gaz [SPR+11], la robotique[VSLV04], etc. En outre, un numero special sur les progres de la modelisation et l’identi-fication LPV, methodes et applications a ete recemment publie dans IEEE Transactionson Control Systems Technology [LNSR11].

Bases initialement sur le principe de ’gain scheduling’, les systemes LPV peuvent etredefinis comme une relation lineaire entre les entrees et les sorties du modele, comme dansle cas LTI, ou les parametres du modele varient dans le temps selon une ou plusieursvariables externes ou internes. Ces variables supposees mesurables et variants dans un en-semble compact de bornes connues sont appelees variables de sequencement (schedulingparameter en anglais, representees par ρ dans la suite de ce document). Il est possiblede modeliser un systeme presentant des non linearites par une formulation proche desmodeles LTI dont les caracteristiques dynamiques evoluent en fonction des conditions defonctionnement (une vue schematique est presentee dans la figure 1.2). Dans le cas del’application aux echangeurs de chaleur, il permet de prendre en compte la variation dela dynamique (la variation parametrique) en fonction des entrees de debits massiques. A

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1.3. Systeme LPV

noter que dans la litterature, il existe de nombreuses definitions formelles des systemesLPV, generalement basees sur la particularite de la structure du modele (representationdans l’espace d’etat, representation entree-sortie, etc.) et de la parametrisation (polyno-miale, rationnelle, etc.)[Tot08].

Système LPV

Variationparamétrique

u yLinéarité

ρ

Figure 1.2 – Representation schematique entree/sortie d’un systeme LPV.

Les etudes realisees sur les systemes LPV pour la synthese des correcteurs ont faitl’objet de nombreux travaux ces dernieres annees, par exemple, pour le controle des eo-liennes [Win08, BMC05], la commande de pompage [GBFB06] et des vehicules [GS02],pour n’en citer que quelques-uns. En raison de leur relation etroite avec la conception decontroleurs LPV, le probleme d’identification de cette classe particuliere des systemes nonlineaires a attire une considerable attention ces dernieres annees. Malgre le developpe-ment de la commande des systemes LPV, un large ecart est observe entre les besoins dudomaine d’analyse et de synthese et les solutions d’identification actuelles. Ce qui fait quel’identification et la modelisation de ces systemes reste toujours un domaine de rechercheactif, en raison de ses nombreux problemes ouverts [Tot10].

Dans ce qui suit, nous donnons un apercu general sur les travaux realises jusqu’apresent en identification des systemes LPV. Toutefois, avant d’aller dans les details, leprobleme d’identification LPV est discute, la definition des notions de systemes LPV etla formulation des structures de modeles LPV qui sont actuellement utilisees dans la lit-terature sont presentees.

1.3.1 Structure des modeles LPV

La representation LPV d’un systeme non lineaire peut etre obtenue a partir de dif-ferentes structures. Dans ce paragraphe, on presente quelques structures permettant derepresenter des systemes LPV ayant des entrees (deterministes et stochastiques), des va-riables de sequencement qui peuvent etre accessibles a la mesure en temps reel et dessorties. On se limite a la presentation de deux structures particulieres, la representationdans l’espace d’etat (State Space (SS) model) et la representation sous forme d’une equa-tion de regression entree-sortie (Input-Output (IO) model). Pour un traitement detaillesur les structures des modeles LPV, le lecteur interesse trouvera une description exhaus-tive et comparative des differentes structures dans le livre de Toth [Tot10]. Ces structures

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ont pour caracteristique remarquable de modeliser, avec une dynamique appropriee, l’in-fluence des variables de sequencement/des perturbations agissant sur le systeme.

1.3.1.1 Modeles entree-sortie

La plupart des systemes reels regis par les lois de la physique (systemes electroniques,mecaniques, thermiques, hydrauliques, ...) evoluent par nature continument dans le temps.Un avantage important des modeles entree/sortie, c’est qu’ils peuvent etre directementcalcules a partir des lois de la physique ou de la chimie dans leur representation continue.Cette classe de modeles, initialement developpee dans le cadre de l’identification LTI,est depuis quelques annees etendue au cas des systemes LPV [LTGG11, CCOP11]. Cesmodeles LPV-IO sont definis sous la forme d’un filtre a temps continu 1 :

y = −na∑

i=1

ai(ρ)siy +

nb∑

j=0

bj(ρ)sju+ e (1.1)

ou s represente l’operateur differentiel tel que sx(t) = dx(t)dt

, e correspond a un bruit blancde moyenne nulle agissant sur la sortie, na ≥ 0 et nb ≥ 0. Bien que la notation soit relati-vement similaire aux modeles lineaires a temps invariant, les parametres variables bj(ρ) etai(ρ) sont des fonctions qui dependent d’un ensemble de parametres de sequencement ρmesurables et variants dans le temps. Ils peuvent etre decrits, par exemple, par l’equationsuivante sous forme polynomiale :

bj(ρ) =

nβ∑

l=0

bljfl(ρ)

ai(ρ) =nα∑

l=0

aligl(ρ) (1.2)

blj et ali sont des coefficients constants. fl(ρ) et gl(ρ) sont fonction de la variable mesurable

ρ. Dans le cas general, de nombreux choix sont possibles pour ces fonctions, les valeursde cette fonction peuvent etre calculees directement a partir de ρ.

A titre d’exemple, prenons le modele caracteristique du mouvement d’une masse va-riable reliee a un ressort [Tot08]. Ce probleme est l’un des phenomenes typiques qui seproduisent dans des systemes avec des masses variables dans le temps comme dans le casde controle des mouvements (robotique, aeronautique, spatial, biomecanique, etc.). Il serarepris dans ce qui suit afin d’illustrer au mieux les notions des systemes LPV. On notewx la position de la masse variable m. Soit la constante du ressort ks > 0, on introduitwF comme la force agissant sur la masse et supposons qu’il n’y ait aucun amortissement(voir figure 1.3).

1. Une description detaillee de ce type de structure est donnee au chapitre 4.

12

1.3. Systeme LPV

b

wx(t)

ks

m(t)

wF (t)

Figure 1.3 – Exemple de systeme LPV : masse variable reliee a un ressort, extrait de[Tot08].

D’apres la seconde loi du mouvement de Newton, l’equation mathematique liant laposition de la masse de sortie a la force d’entree est la suivante :

d

dt(m

d

dtwx) = wF − kswx, (1.3)

ou de maniere equivalente :

kswx + (d

dtm)

d

dtwx +m

d2

dt2wx = wF . (1.4)

Selon la facon dont varie le parametrem (on prendm comme variable de sequencement,c-a-d, ρ=m), on peut distinguer trois familles de modeles lineaires entree/sortie :

1. si le parametre m est constant autour d’un point de fonctionnement, le modelecorrespondant est lineaire invariant dans le temps (LTI).

2. si l’evolution de la variable de sequencement m au cours du temps est connue (fixeedans le temps), le modele obtenu est lineaire variant dans le temps (LTV).

3. et finalement dans le cas des variations supposees a priori inconnues et bornees, lemodele obtenu est lineaire a parametres variables (LPV).

1.3.1.2 Modeles dans l’espace d’etat

Dans l’approche LPV, les conditions de fonctionnement du systeme sont decrites direc-tement par les variables de sequencement. Ainsi, en representation d’etat cela s’exprimedans les matrices des parametres du systeme comme une fonction connue et bornee decette variable de sequencement supposee a priori inconnue. Ceci est parfois interpretecomme une interpolation entre les differents modeles locaux lineaires [MSJ97]. De plus, ladescription sous forme d’etat se releve etre une forme bien adaptee pour la constructionde lois de commande.La structure du modele LPV dans la representation d’etat est donnee sous la forme sui-vante (a temps continu) :

x = A(ρ)x+B(ρ)u, (1.5a)

y = C(ρ)x+D(ρ)u+ w, (1.5b)

13


ou x et x sont respectivement le vecteur d’etat et sa derivee par rapport au temps. A, B, C,D sont les matrices des parametres du systeme. u, y et w sont les vecteurs des entrees, dessorties, et des signaux de bruit de mesure, respectivement. Enfin, le parametre ρ representela variable de sequencement associee aux variations de certains parametres fondamentaux.

On peut avoir par exemple :

x =

[sin(ρ)

ρ1

0 ρ

]

x+ u (1.6)

ou l’evolution parametrique est completement dependante de l’evolution de la variable desequencement ρ.

Un cas particulier tres important est celui ou la trajectoire des parametres est connue(comme dans le cas ou la variation parametrique est periodique) et que les matrices de larepresentation d’etat sont figees dans le temps, la realisation d’etat (1.5a) peut se mettresous la forme d’un systeme LTV :

x = A(t)x+B(t)u, (1.7a)

y = C(t)x+D(t)u+ w, (1.7b)

Dans la forme classique LPV, le vecteur des parametres depend des variables de sequen-cement ρ. Ainsi, la difference entre la representation LTV d’un systeme non lineaire etla forme classique LPV est que l’evolution du vecteur des parametres est connue et variedans le temps.On peut avoir par exemple :

x =

[−1 + a ∗ cos(t)2 1 − a ∗ cos(t)sin(t)

1 − a ∗ cos(t)sin(t) −1 + a ∗ sin(t)2

]

x+ u (1.8)

1.3.2 Identification des modeles LPV

Les travaux de recherche dedies a l’identification des systemes non lineaires par uneapproche LPV sont nombreux. En effet, il n’y a pas de methodologie specifique capable deconduire a une representation LPV unique d’un systeme. Dans tous les cas, l’elaborationd’un modele LPV souleve deux problemes majeurs, a savoir :

– le choix de l’ensemble des variables de sequencement permettant la determinationde la dependance fonctionnelle des parametres ;

– la determination de la structure du modele LPV et l’identification parametrique decette derniere globalement ou localement.

Il convient de souligner que ces deux problemes presentent un degre de complexite im-portant defavorisant leur resolution simultanee. Toutefois, deux discussions preliminairessont importantes dans ce cadre. La premiere concerne le choix des ordres du systeme. Laseconde concerne le choix des parametres de sequencement dont depend le systeme. Cesdeux problemes d’optimisation joints rendent le probleme quasiment insoluble considerant

14

1.3. Systeme LPV

l’infinite de parametres dont peut dependre le systeme. Ainsi, l’hypothese generalementemise concernant les ordres de systeme est qu’ils sont identiques a ceux du modele li-neaire autour d’un point de fonctionnement. D’autre part, la dependance du systeme auxvariables de sequencement est, dans la plupart des cas, consideree comme polynomiale.Les raisons de ce choix sont diverses. L’interet principal d’utiliser des formes de structurepolynomiale est que ces modeles sont lineaires par rapport aux parametres. L’objectif estd’obtenir un modele LPV parcimonieux, c’est-a-dire un modele LPV capable de fournirune bonne caracterisation du systeme (faible erreur) avec un nombre minimal de para-metres [Lau10].

D’un point de vue de l’identification, on cherche a estimer les parametres du modeleLPV a partir des donnees mesurees. L’identification du modele LPV est formalisee selon lastructure choisie, la dependance fonctionnelle du systeme aux variables de sequencementutilisee, et le critere d’optimisation definit.Du point de vue methodologique, plusieurs methodes d’identification LPV ont ete propo-sees. On trouve ainsi, les approches basees sur la methode des moindres carres pour lesmodeles decrits par des regressions lineaires entrees-sorties [BG99, BG00, BG02, GBFB06,WR06, AKL08], celles basees sur les techniques des sous-espaces sous la forme d’etat[NRB95, VV02, FWV07, LRM08, VV09], les modeles a base de fonctions orthonormales(OBF) [Tot08], d’optimisation non lineaire [LP99, VLV02, CCOP11], et d’interpolation[LM07, DFS11, CCOP12]. La plupart de ces travaux sont dedies a l’identification desparametres avec des variables de sequencement mesurables. Les methodes utilisees dansla litterature sont, jusqu’a recemment, quasiment toutes formulees en temps discret, ensupposant une dependance statique de la variable de sequencement, c’est-a-dire que, ladependance des parametres est seulement sur la valeur instantanee de la variable de se-quencement, bien que quelques methodes existent pour les modeles LPV a temps continu[Lau10, CCOP11]. Bien que plusieurs methodes soient deja disponibles, la definition d’ap-proches systematiques capables de faire face a la complexite et aux exigences strictes desapplications avancees est un challenge important. D’une maniere generale, il est possiblede classifier ces methodes developpees au cours des deux dernieres decennies pour l’iden-tification des modeles LPV a partir des donnees mesurees en deux approches d’estimationprincipales : l’approche d’estimation locale et l’approche d’estimation globale.

1.3.2.1 Approche d’estimation locale

L’approche locale introduit une certaine flexibilite dans l’etape d’identification. Elleconsiste a appliquer une procedure d’identification classique en differents points de fonc-tionnement du systeme definis par des valeurs constantes des variables de sequence-ment et permet de determiner les modeles LTI locaux. Ces modeles locaux peuventetre de differentes structures. On utilise en general des modeles locaux de structuresimple et identique en chaque point de fonctionnement. L’amplitude des signaux d’ex-citation est maintenue petite pour assurer la linearite des donnees d’entree-sortie. Unefois les jeux de parametres des modeles locaux obtenus pour toute la zone de fonction-nement, le modele LPV du systeme est construit par l’interpolation de chaque jeu de

15


parametres. On peut considerer differentes techniques d’interpolation des parametres lo-caux en fonction des variables de sequencement. On se referera par exemple a ces articles([SVV03, GVSB05, LM07, PSVS08, DCS09, CCMP11, CSCP11, CCOP12]) qui font unebonne revue de l’etat de la question. En general, toutes les techniques d’interpolationpeuvent etre utilisees pour calculer les coefficients des fonctions de la variation parame-trique (d’interpolation). Cependant, et le plus souvent, les interpolations polynomiale,affine ou rationnelle fournissent des resultats satisfaisants. Le choix specifique des fonc-tions d’interpolation (polynomes, splines,etc.) donne des estimations differentes des para-metres et la validation du modele global estime est necessaire pour verifier la qualite deces choix. L’avantage principal de realiser l’approche locale en utilisant ce type de mo-deles est que les methodes d’identification lineaires sont bien developpees et ”aisement”applicables. De plus, des proprietes importantes comme la stabilite, la commandabilite,l’observabilite largement etudiees dans le cadre des systemes lineaires a temps invariants,peuvent etre utilisees, au moins partiellement, sur les modeles LPV car les modeles locauxqui les constituent sont de type lineaire. Cependant, ces methodes ne sont applicables quesi l’application permet de maintenir les variables de sequencement constantes pendantun certain temps. Bien qu’elle soit tres utile en pratique, l’approche locale a egalementquelques inconvenients. La principale restriction reside dans le fait que le temps de pro-pagation des variables de sequencement n’est pas utilise [DFS11]. Par consequent, cesmethode sont plus appropriees pour les systemes avec des variables de sequencement quivarient lentement dans le temps (comme c’est le cas pour les echangeurs de chaleur). Deplus, il n’y a aucune garantie que l’interpolation des parametres identifies localement cap-tera le comportement global (dynamique) du systeme reel.

1.3.2.2 Approche d’estimation globale

A l’oppose de l’approche locale, l’approche globale utilise un seul ensemble de don-nees qui est recueilli pour differentes valeurs de la variables de sequencement, c’est-a-direune experience globale. Elle favorise une bonne caracterisation du comportement global(entrees-sorties) du systeme par le modele LPV, sans chercher d’adequation locale entreles comportements des modeles locaux et les comportements du systeme dans chaque zonede fonctionnement. On obtient ainsi un modele LPV comportemental et/ou de prediction.Toutefois, d’un point de vue identification, cette approche necessite l’attribution de la de-pendance fonctionnelle du systeme aux variables de sequencement a priori. Une fois que lemodele et les structures de parametres sont choisis, l’approche globale consiste a realiserune seule identification au cours de laquelle toutes les variables d’entrees et de sequence-ment sont excitees de maniere persistante (les donnees devraient refleter le fonctionnementglobal du systeme). Une fois les donnees mesurees, les methodes d’identification globaledediees aux modeles LPV sont utilisees selon la structure choisie, donnant une estimationdirecte des parametres sans la necessite d’une interpolation. Parmi les travaux faits dansce domaine notons ([LP99, BG02, VV05, WR06, FWV07, AKL08, VV09, Tot10, Lau10,CCOP11]). Les principales difficultes de cette approche sont les suivantes :

– premierement, on doit estimer la bonne structure pour un modele en mesure dedonner une bonne caracterisation globale du comportement dynamique du systeme.

16

1.4. Conclusion

– deuxiemement, on doit definir l’experience la plus appropriee pour collecter desdonnees d’identification suffisamment riches.

Ces deux problemes necessitent une bonne connaissance du processus a identifier, alorsque la plupart des methodes identification locales peuvent etre appliquees meme sansdefinir a priori la structure de modele. Dans le cas ou il est impossible d’effectuer uneexperience globale, il est approprie d’utiliser l’approche d’identification locale.

Tout au long de ce travail de these, les performances d’estimations des modeles LPVpar une approche locale a travers l’application aux echangeurs de chaleur et par uneapproche globale a travers quelques exemples de simulation seront etudiees.

1.4 Conclusion

A travers ce chapitre, nous avons presente les concepts de modelisation LPV et abordele probleme d’identification des systemes non lineaires en utilisant une technique de mode-lisation LPV. Cette classe de modeles vient repondre aux difficultes que pose la complexitedes modeles non lineaires, en utilisant des techniques de modelisation et d’identificationbasees essentiellement sur celles developpees dans le cadre lineaire. Cette technique demodelisation est d’usage general et bien adaptee pour approximer une large classe desystemes non lineaires. De plus, la representation LPV reunit les avantages suivants :

– utilisation de modeles lineaires du point de vue de la structure, modeles qui sontbien developpes et aises a identifier ;

– obtention de modeles qui permettent d’avoir une bonne representation des processusreels qui sont generalement plus complexes que la caracterisation utilisee et qui, enoutre, sont non lineaires.

Meme si avec une modelisation LPV il est possible de representer les systemes dyna-miques non lineaires, un point delicat pour cette modelisation reside dans le choix desvariables de sequencement qui servent a decrire les conditions de fonctionnement du sys-teme non lineaire. De plus, la facilite d’utilisation des modeles LPV depend du choix de lastructure, cette derniere etant caracterisee par ces variables. Il convient de noter que cesdeux problemes presentent un degre de complexite important et leur resolution dependde la comprehension du fonctionnement du systeme et des decisions a prendre concernantces variables.

Les deux approches principales d’estimation, locale et globale, ont ete introduites etseront etudiees dans la suite de ce memoire.

17


18

Chapitre 2

Les echangeurs de chaleur

Le debut de ce chapitre est consacre a la presentation de quelques notions sur lesechangeurs de chaleur et le probleme de leur encrassement. Par la suite, le banc d’essaidisponible a l’Universite de Valenciennes et les echangeurs de chaleur etudies dans cetravail sont decrits. Finalement, pour simuler le comportement thermique des echangeurs,un simulateur est presente, et une validation experimentale est ensuite effectuee afin deverifier la bonne adequation entre les sorties mesurees et simulees. Ce simulateur realisteest par la suite repris (troisieme chapitre) pour generer et simuler les donnees en conditionspropres et en conditions encrassantes.

19

Chapitre 2. Les echangeurs de chaleur

2.1 Introduction

Un des objectifs de la these etant de modeliser un echangeur de chaleur, nous allonsau cours de ce chapitre, faire une rapide presentation de ce systeme. Nous y verrons ladescription du type d’echangeur considere ainsi que le simulateur utilise pour l’etude.Ce chapitre est structure comme suit. En section 2.2 sont presentes quelques notionssur les echangeurs thermiques et leurs problemes communs, la section 2.3 propose unedescription generale de l’echangeur de chaleur a contre-courants a plaques utilise et unedescription de l’ensemble des composants principaux du banc d’essai experimental. Ensection 2.4 est illustree le modele mathematique des echangeurs de chaleur et le calage dusimulateur. Quelques conclusions sont presentees en section 2.5.

2.2 Quelques notions sur les echangeurs

Le processus d’echange de chaleur entre deux fluides sans contact direct a des tempe-ratures differentes et separes par une paroi ou cloison a faible inertie thermique se produitdans de nombreuses applications d’ingenierie. Le dispositif utilise pour mettre en œuvrecet echange est appele echangeur thermique. L’echangeur de chaleur est un organe tresrepandu dans l’industrie et particulierement dans l’industrie chimique, petrochimique, si-derurgique, la production d’energie, le chauffage, la climatisation, etc. Il existe plusieurstypes et tailles d’echangeurs (une classification est proposee dans [Tem, IDBL07]), mais leprincipe de base reste relativement simple. Essentiellement, un fluide chaud circule depuisune entree de l’echangeur jusqu’a sa sortie en transferant une partie de son enthalpie aun fluide froid qui lui aussi circule entre une entree et une sortie distinctes de celles dufluide chaud, sans les melanger [Pad94]. Le flux thermique traverse la surface d’echangequi separe les fluides au travers de laquelle les echanges se font par conduction. En effet, lachaleur que l’un des fluides cede a la paroi par convection le long de la surface de contactest transferee par conduction et est cedee a l’autre fluide par convection le long de l’autreface 2. Les echangeurs de chaleur sont generalement classes en fonction de la configurationd’ecoulement des fluides et le type de construction. Il existe 3 genres de geometrie possiblepour les echangeurs :

– Courants parallelesDans l’arrangement a ecoulements paralleles donne sur la figure 2.1.a, les deux fluideschaud et froid entrent dans la meme extremite et vont dans le meme sens. On parleegalement d’echangeur a co-courants.

– Contre-courantsDans l’arrangement a contre-courants figure 2.1.b et 2.2, les deux fluides sont dis-poses parallelement mais les courants vont dans des sens contraires.

– Courants croisesLes ecoulements des deux fluides se croisent ici perpendiculairement (voir figure 2.3).Cette configuration est un peu plus complexe que les precedentes puisque l’un des

2. Le rayonnement n’intervient de maniere significative que s’il existe des differences de temperaturetres importantes entre le fluide et la paroi.

20

2.2. Quelques notions sur les echangeurs

fluides s’ecoule suivant l’axe x et l’autre suivant l’axe y. Les echangeurs a courantscroises offrent l’avantage d’etre plus compacts et plus efficace pour un meme volumedonne [IDBL07].

Figure 2.1 – (a) Echangeur a co-courants. (b) Echangeur a contre-courants.

Figure 2.2 – Exemple d’un echangeur a contre-courants, la figure est de [HX3].

21


Figure 2.3 – Exemple d’un echangeur a courants croises, la figure est de [HX3].

Les trois ecoulements precedemment decrits, a co-courants, a contre-courants et acourants croises sont rarement utilises dans toute leur simplicite. En effet, il existe denombreux echangeurs dans le domaine de l’industrie : les echangeurs a tubes, a plaqueset joints, a plaques secondaires, a spirales. Il existe aussi ceux de type circuit imprime quisont utilises pour la nanotechnologie. Par ailleurs, la conception des echangeurs de chaleurintroduit le choix entre deux geometries elementaires principales [PER03] :

– les tubes qui fixent l’espace devolu seulement a l’un des deux fluides.– les plaques choisies pour un fluide qui imposent la meme geometrie pour l’autre.

Generalement, le choix des combinaisons entre differents types d’echangeurs dans les ins-tallations industrielles resulte de contingences technologiques et economiques. Pour plusde details sur la conception et les types des echangeurs, le lecteur est invite a consulter[IDBL07, Lal11].

2.2.1 Le probleme commun des echangeurs de chaleur

Un des problemes majeurs que l’on rencontre dans l’utilisation des echangeurs de cha-leur est l’encrassement qui sous sa forme la plus generale, peut etre defini comme l’accu-mulation d’elements solides indesirables sur les surfaces solides [PER03]. Ce phenomeneprovoque, entre autres, une surconsommation d’energie due a un ecart de temperaturesuperieur a celui necessaire avec eventuellement la surcharge des pompes et/ou des venti-lateurs associes au processus. Selon l’etude etablie par [Gud08], il existe trois grands typesd’encrassement :

22

2.3. Presentation du banc d’essai experimental

– la corrosion,– l’encrassement biologique,– l’encrassement par reaction chimique.

Quelque soit le phenomene d’encrassement considere, les methodes classiques pour ladetection d’encrassement [JLPD07] sont :

– l’examen du coefficient de transfert thermique (ou efficacite),– l’observation simultanee des chutes de pression et des debits massiques,– les mesures de temperature,– les mesures par ultrasons ou electriques,– la pesee des plaques de l’echangeur de chaleur.

2.3 Presentation du banc d’essai experimental

Au cours du projet DESURENEIR (DEtection et SURveillance de l’ENcrassementdans les Echangeurs de chaleur Isoles ou en Reseau) fait en collaboration avec, entreautres, l’Universite de Valenciennes, nous avons eu la possibilite de faire des campagnesd’essais sur un banc d’essai situe a Valenciennes.

2.3.1 Description generale

Cette description comprend une vue generale de l’echangeur de chaleur a contre-courants a plaques utilise et une description de l’ensemble des composants principauxdu banc d’essai experimental. Le dispositif experimental est represente sur la figure 2.4.Dans le cadre du projet international DESURENEIR dedie a la detection d’encrasse-ment dans les echangeurs de chaleur, un banc d’essai GEA VT04 CD-16 a ete construita l’Universite de Valenciennes en France. Il est constitue essentiellement d’un rechauffeurelectrique et de trois echangeurs de chaleur a plusieurs fluides (huile, eau, air) 3 :

1. echangeur a courants croises huile/air,

2. echangeur a courants croises eau/air,

3. echangeur a contre-courants a plaques huile/eau.

3. Les deux fluides huile et eau fonctionnent en circuit ferme tandis que l’air provient directement dela salle de travail.

23


Figure 2.4 – Vue du banc d’essai experimental (Laboratoire Tempo de Valenciennes).

2.3.1.1 Le fluide de rechauffement : huile

Le rechauffeur electrique dans le banc d’essai est utilise pour controler la temperaturede l’huile qui circule en boucle fermee. Le liquide retenu est une huile a faible viscositeaux basses temperatures et qui sera le fluide chaud dans l’echangeur de chaleur a contre-courants a plaques. Ensuite, il passe par l’echangeur a courants croises huile/air pour unrefroidissement supplementaire avant son retour au rechauffeur electrique. Dans le circuitde chauffage, l’huile est distribuee afin d’assurer une temperature uniforme. Ce circuit estcompose des parties suivantes :

– un regulateur industriel destine a reguler la temperature d’entree de l’huile,– une pompe d’alimentation destinee a faire varier le debit de circulation d’huile dans

la gamme 570kg/h (0.158kg/s),– des resistances d’une puissance de 4 kW plongees dans le circuit et destinees a

l’excitation du systeme,– une vanne electropneumatique destinee a la commande du debit,– un debitmetre destine a la mesure instantanee du debit d’huile,

24


– un regulateur permettant la regulation du debit en utilisant les organes precites.

A titre d’exemple, on peut voir sur la figure 2.6 la reponse de la temperature d’huilelorsque’une entree en creneau est appliquee a l’entree du rechauffeur electrique.Toutesles autres entrees sont maintenues constantes. On peut voir que l’echauffement de l’huileest plus rapide que son refroidissement. A partir de la figure 2.5, on peut constater quel’echauffement depasse la valeur de consigne de temperature fixee a 49◦C. Le depassementest d’environ 0.3◦C et depend de la valeur de l’echelon appliquee a l’entree. Le debit del’huile est controle par une vanne electropneumatique. C’est une vanne a deux voies, avecun positionneur electropneumatique qui permet d’asservir la position du clapet de la vannea un signal electrique continu. Mais il est bien connu que si la temperature change, lesproprietes des fluides changent. Ce n’est pas vraiment un probleme pour l’eau mais c’en estun pour l’huile dont les proprietes physiques changent selon les variations de temperatureet ces changements doivent etre pris en consideration. Par exemple, si la temperatureaugmente, la viscosite de l’huile diminue et le debit massique augmente. En utilisant unregulateur de type industriel a action proportionnelle et integrale defini comme une partiedu systeme de regulation de la vanne de l’huile, il est possible de limiter cet effet. La figure2.6 presente l’effet de la variation des temperatures sur le debit massique. A partir de cettefigure on peut constater que la vanne prend environ 15 secondes pour ajuster le debit del’huile apres que l’echauffement se soit arrete. Dans ce cas, le temps des fluctuations dedebit massique est d’environ 25 secondes apres le debut de la variation des temperaturesjusqu’a ce que la vanne ajuste sa position.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 160046

46.5

47

47.5

48

48.5

49

49.5

50

Temps (s)

Tem

per

atu

re[◦

C]

Figure 2.5 – Echauffement d’huile de 3◦C.

25


0 50 100 150 200 250 300 350 400 45046

47

48

49

50Tem

per

atu

re[◦

C]

Changement de temperature de l’huile

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.05

0.055

0.06

0.065

Deb

itm

ass

ique

[kg/s]

Temps (s)

Figure 2.6 – Effet de la variation des temperatures sur le debit massique de l’huile.

2.3.1.2 Le fluide de refroidissement : l’eau

L’eau est utilisee comme fluide de refroidissement dans l’echangeur a plaques. Le circuitd’eau provient d’un reservoir sous pression. Apres l’echangeur de chaleur a plaques, il passepar l’echangeur a courants croises eau/air pour le refroidissement avant de retournerdans le reservoir sous pression. La temperature d’eau est controlee par le flux d’air atravers l’echangeur a courants croises eau/air. Notons que la configuration actuelle causeune limitation du controle de la temperature de l’eau car elle depend du debit d’air etde la temperature ambiante. En outre, apres quelques tests, nous avons remarque quel’echangeur a courants croises eau/air agit comme un filtre tres efficace : il attenue toutesles variations de temperatures d’entree et les temperatures de sortie deviennent presqueconstantes. La figure 2.7 represente les temperatures d’entree et de sortie de l’echangeurde chaleur a contre-courants pour une temperature d’entree en SBPA 4 du cote chaud.A partir de cette figure on peut remarquer des petites variations dans la temperatured’entree d’eau. Cela s’explique par le fait qu’il faut du temps pour chauffer l’echangeur acourants croises et le placer en regime permanent. Une autre preoccupation inevitable estla temperature ambiante. Comme les experiences sont effectuees dans une salle de travail,la temperature ambiante augmente et l’efficacite du refroidissement diminue. Il est possiblede limiter cet effet en ouvrant les fenetres, mais la temperature exterieure devient alors uneperturbation. Le debit massique d’eau est controle par une pompe electrique. L’avantaged’utiliser une pompe electrique est qu’il est possible de faire des changements brusquesdans la circulation des masses d’eau. Le circuit d’eau est compose des parties suivantes :

4. Signal Binaire Pseudo Aleatoire.

26


– une pompe d’alimentation fournissant un debit massique entre 0 et 0.0277kg/s,– une vanne electrique destinee a la commande du debit d’eau,– un debitmetre destine a la mesure instantanee du debit d’eau,– un regulateur permettant la regulation du debit en utilisant les organes precites.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350025

30

35

40

45

50

55

60

65

Tem

per

atu

res

d’E

/S

[◦C

]

Temps (s)

huile

eau

Figure 2.7 – Exemple de jeu de donnees E/S issu de l’echangeur de chaleur a contre-courants pour une temperature d’entree en SBPA du cote chaud (continu), sorties dusysteme (tiret), les debits massiques sont maintenus constants.

2.3.2 Description detaillee de l’echangeur a contre-courants

L’echangeur retenu dans cette etude est l’echangeur a contre-courants a plaques (il estpresente schematiquement sur la figure 2.8). Il a ete concu pour echanger environ 5.6kWentre deux fluides (huile, eau). Les 4 entrees du systeme sont donc les debits d’huile etd’eau ainsi que leurs temperatures. Le volume d’huile dans l’echangeur est de 0.4 litre,celui d’eau est de 0.5 litre. L’echangeur de chaleur a plaques est constitue par un ensemblede 8 plaques en acier inoxydable 316 de haute qualite avec relief pointu et orifices pourle passage et la circulation des fluides entre lesquels va se faire le transfert thermique. Ildispose de 4 canaux pour le fluide de refroidissement (eau) et 3 passages pour le fluidede chauffage (huile) (voir figure 2.5). La surface d’echange de chaleur se compose de fines

27


plaques metalliques ondulees, disposees les unes sur les autres, qui forment une pile. Entreces plaques se forment des canaux et les ouvertures sur les coins sont disposees de facona permettre que les deux fluides 5 circulent par des canaux alternes, toujours avec un fluxcontre-courant. Il est possible d’obtenir des temperatures de 55 C pour l’eau avec destemperatures d’huile de l’ordre de 60 C. Les caracteristiques detaillees sont donnees dansle tableau 2.1.

eau

eau

eau

eau

huile

huile

huile

mc

mhHW

dc

dh

ds

Figure 2.8 – Representation schematique de l’echangeur a contre-courants ou mc et mh

sont les debits massiques du cote froid et chaud, respectivement, dc, dh, et ds sont lesepaisseurs des portions du cote froid, chaud et d’acier, et W et H representent la largeuret la hauteur de l’echangeur.

Surface totale d’echange de chaleur 0.42m2

Nombre de canaux d’eau 4Nombre de canaux d’huile 3

Materiau de la plaque Acier inoxydable 316Volume d’eau 0.5lVolume d’huile 0.4l

Largeur 0.54mHauteur 6 ∗ 0.13m

Epaisseur du cote froid dc 0.00118m

Epaisseur du cote chaud dh 0.000949m

Epaisseur de la plaque ds 1mm

Table 2.1 – Caracteristiques de l’echangeur de chaleur

2.4 Simulateur de l’echangeur de chaleur

Dans le but de pouvoir etudier et analyser le fonctionnement de l’echangeur reel etde mettre au point un modele LPV, un simulateur a ete concu. Une fois cale, celui-cireproduit le comportement (complexe) de l’echangeur. Sachant que le banc experimentalse situe dans un autre etablissement, les essais temps reel posent des problemes de partagede ressources et de logistique. De plus, les essais a realiser pour la determination desparametres du modele doivent etre nombreux et sont couteux en temps. L’utilisation

5. Les deux fluides sont aussi bien melanges individuellement a l’interieur de l’echangeur de chaleur

28

2.4. Simulateur de l’echangeur de chaleur

d’un simulateur s’avere donc propice pour l’etude en cours. Le but de cette partie estde decrire le modele numerique utilise comme simulateur pour generer les donnees pourcertaines conditions d’ecoulement dans l’echangeur. Ce simulateur sera utilise dans la suitepour generer des donnees d’entrees et de sorties pour identifier et valider l’echangeur dechaleur en utilisant une structure quasi-LPV particuliere. Afin de valider l’utilisation d’untel simulateur, il est necessaire qu’il represente d’une maniere precise les phenomenes dela physique.

2.4.1 Modele mathematique

Un modele de connaissance est un modele dont les caracteristiques et les equationsont ete etablies en faisant appel a des modeles plus generaux mettant en œuvre les lois dela physique. Pour simplifier l’analyse, l’echangeur de chaleur a contre-courants schematisesur la figure 2.5 est retenu. Au sein de l’echangeur de chaleur a contre-courants, le transfertd’energie thermique se fait d’un fluide vers un autre, les deux fluides circulant dans des senscontraires et etant separes par une paroi fixe (plaque en acier d’epaisseur ds). Plusieursparametres peuvent etre ajustes afin de representer les differentes tailles de l’echangeur acontre-courants.La dynamique de l’echangeur peut etre representee en chaque point par les champs Tc,Th et Ts. Ces champs correspondent aux temperatures de fluide froid, de fluide chaud etde la plaque (indices c pour cold, h pour hot et s pour steel (acier)). Ils sont decrits parle systeme d’equations aux derivees partielles (EDP) suivant :

ρcccdc

∂Tc

∂t−mcccW

∂Tc

∂x= hc (Ts − Tc) (2.1)

ρhchdh

∂Th

∂t+mhchW

∂Th

∂x= hh (Ts − Th) (2.2)

ρscsds

∂Ts

∂t= hc (Tc − Ts) + hh (Th − Ts) (2.3)

avec :– ρ la densite du fluide,– c la capacite calorifique,– d l’epaisseur de chacune des trois sections.

Par ailleurs, H et W definissent le gabarit de l’echangeur, m represente le debit massique.Ces relations representent le transfert de chaleur qui se fait principalement du fluide chauda la plaque par convection caracterise par le coefficient de transfert de chaleur hh, puispar conduction a travers la plaque et enfin de la plaque au fluide froid par convectioncaracterise par le coefficient de transfert de chaleur hc. On suppose que la conduction ausein des fluides est negligeable, que les debits sont uniformes et que l’equilibre thermiqueest atteint a la sortie des fluides dans l’echangeur. Par ailleurs, les temperatures et de-bits massiques d’entree ainsi que les coefficients de transfert de chaleur sont generalementconsideres comme fonctions du temps, tandis que tout les autres parametres seront sup-poses constants. A noter que la capacite thermique de la paroi ρscs retarde le transfert

29


de chaleur entre les fluides dans les situations dynamiques, ce qui est la principale raisond’ajouter la plaque en acier. Dans cette etude l’echangeur a contre-courants est divise en2 sections dans la direction perpendiculaire a l’ecoulement. Le nombre de sections dans ladirection perpendiculaire a l’ecoulement n’est pas important et peut etre fixe a une valeurfaible [LAP11]. Au contraire, le nombre de cellules dans le sens d’ecoulement joue un rolemajeur pour l’obtention de resultats de simulation precis et par consequent il doit etredetermine avec attention. Dans [LP10], il a ete demontre que 20 sections sont suffisantespour un echangeur de chaleur a courants croises dans une configuration similaire du mo-dele numerique. Il est impossible de determiner une solution analytique a ces EDP (1)-(3).Ainsi, une methode 2D des volumes finis a ete developpee pour resoudre numeriquementces EDP qui approximent l’echangeur reel d’une maniere coherente et precise. Souvent lestermes d’advection et de diffusion posent quelques difficultes numeriques (voir [Leo79]).L’algorithme numerique utilisee ici est appele QUICKEST scheme [Leo91] qui donne desresultats tres precis. Par contre, le pas de calcul de la simulation doit etre choisi avecattention pour eviter les instabilites dans la procedure d’integration en temps des champsdiscretises spatialement (et temporellement). De plus, si les variations des temperaturesou les debits massiques sont rapides, certains depassements non physiques peuvent etreobserves dans la solution.

2.4.2 Calage du simulateur

Les resultats du banc d’essai experimental d’echangeurs de chaleur ont ete utilisespour obtenir les parametres du modele numerique qui represente un echangeur de chaleura contre-courants. Ces derniers montrent qu’il est possible de determiner les parametresdu modele de facon robuste en utilisant plusieurs etapes de comparaisons en regime per-manent et transitoire [LAP11]. Une fois les parametres corrects trouves, le modele estprecis dans les regimes transitoires et en regime permanent. La validation est effectuee enutilisant un debit massique oscillant d’un des fluides pour assurer la compatibilite dyna-mique entre le modele et le banc experimental. Pour une application specifique du modelenumerique, il est necessaire que le debit d’eau oscille autour d’une valeur moyenne. Pen-dant ce temps, les temperatures de sortie correspondantes ne doivent pas varier beaucoup,pour ne pas influencer le processus. Ceci est utilise ici comme un exemple pour valider laprecision du modele numerique et verifier s’il represente reellement un echangeur de cha-leur. La figure 2.9 montre les temperatures de sortie d’eau et d’huile. On peut voir que lessorties de simulation sont tres proches des sorties experimentales. L’avantage de ce modelenumerique est que le temps necessaire pour calculer l’ensemble des temperatures est beau-coup plus faible que le temps necessaire pour obtenir les valeurs a partir des experiences.Ceci est tres utile lorsqu’on developpe des nouvelles methodes d’analyse de performancede l’echangeur de chaleur comme dans notre cas. Plus de details sur l’obtention de cesimulateur sont disponibles dans [LAP11].

30

2.4. Simulateur de l’echangeur de chaleur

1.15 1.2 1.25

x 104

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41T

empé

ratu

re d

e so

rtie

d’e

au [°

C]

Sample #

Simulation Expérimental

2000 2200 2400 2600 2800 300042.5

43

43.5

Tem

péra

ture

de

sort

ie d

’hui

le (

°C)

Sample #

Simulation Expérimental

Figure 2.9 – Temperatures de sortie reelles et simulees lors de la validation.

31


2.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons, donne brievement quelques notions de base sur les echan-geurs de chaleur et leur probleme d’encrassement. Nous avons donne une descriptiongenerale du banc d’essai experimental du laboratoire Tempo de Valenciennes et plus par-ticulierement l’echangeur de chaleur a contre-courants. Nous avons egalement presente lesimulateur de l’echangeur de chaleur ainsi que son calage avec le banc d’essai experimentalafin de valider ce simulateur. Le simulateur sera utilise pour determiner le modele quasi-LPV de l’echangeur de chaleur et pour la detection d’encrassement, puisque les effetsd’encrassement peuvent etre inclus dans le modele d’une maniere controlee.En consequence, le chapitre 3 traite de le probleme de modelisation des echangeurs pourla detection d’encrassement. Une approche quasi-LPV est presentee de maniere metho-dologique et quelques contributions sont exposees. Ensuite, une nouvelle methodologie dediagnostic des echangeurs de chaleur pour la detection d’encrassement est developpee etvalidee.

32

Chapitre 3

Conception d’un modele quasi-LPVdes echangeurs de chaleur

Un des principaux objectifs de la these est d’appliquer la modelisation LPV sur lesechangeurs de chaleur. Ce chapitre considere la problematique liee a la modelisation eta l’identification des echangeurs de chaleur dans un but de diagnostic et de detection del’encrassement. Il presente, dans le cas d’un echangeur de chaleur a courants croises, lesraisons des divers choix que nous avons faits au cours de l’etude : choix du modele aidentifier (type multi-entrees multi-sorties, lineaire a parametre variant, d’ordre reduit,incluant des retards purs), choix des signaux d’excitation et en particulier du multisinus,choix des variables de sequencement, choix des points de fonctionnement, les techniquesd’interpolation utilisees. On propose alors un outil de detection d’encrassement dans lesechangeurs de chaleur. Puis, afin de montrer la genericite du modele propose, la mememethodologie est utilisee sur un echangeur de chaleur a contre-courants.

33

Chapitre 3. Conception d’un modele quasi-LPV des echangeurs de chaleur

3.1 Introduction

L’etude du fonctionnement des echangeurs thermiques peut etre divisee en deux classes :”fonctionnement permanent”, c’est-a-dire que l’echangeur est suppose fonctionner en re-gime etabli, ou les grandeurs d’entree (temperatures et debits des fluides) sont constantes ;”fonctionnement dynamique”, ou les grandeurs d’entree du systeme sont variables. Bienqu’il soit non lineaire, l’echangeur peut etre considere comme linearise autour d’un pointde fonctionnement si on limite les variations des grandeurs d’entree. Les modeles desechangeurs de chaleur sont couramment utilises pour la detection d’encrassement et pourcomprendre leur fonctionnement. Pour des grandeurs d’entree constantes, les relationsanalytiques et empiriques peuvent etre etablies pour differents types d’echangeurs de cha-leur [Hol02]. Toutefois, si on varie le debit et la temperature des fluides, certains modelesmathematiques plus complexes sont necessaires pour predire le comportement des echan-geurs [KY97, MDS08]. En raison de l’exploitation croissante des echangeurs de chaleurdans differents domaines industriels, il est necessaire d’avoir des modeles fiables et per-tinents de ces processus. Ces modeles sont intensivement utilises pour la detection et lasurveillance de l’encrassement. Ce probleme est un defi important en milieu industrielpuisque la presence de l’encrassement dans les echangeurs de chaleur entraıne une baissede rendement et une surconsommation d’energie qui implique une augmentation des de-penses et des enjeux environnementaux.

Dans ce sens, plusieurs auteurs se sont penches sur la detection d’encrassement [Wit96,CDL+04, JLPD07, LM08, LP10, MPP09] en envisageant eventuellement la localisationde ce phenomene pour aboutir a une maintenance ciblee. Cette detection, rendue difficilepar le caractere progressif de l’encrassement, peut se faire par des techniques basees surdes mesures locales ([Wit96, Bot00, IECC04]), mais il s’avere beaucoup plus judicieuxd’utiliser un modele sain de l’echangeur pour y parvenir.

Malheureusement, il n’existe pas de modele analytique des echangeurs de chaleur dis-ponible lorsque toutes les entrees varient simultanement. Une solution analytique estdisponible lorsqu’a un moment une seule variation survient sur les grandeurs d’entree(temperature ou debit) [JY03]. La dynamique complete de l’echangeur repose sur desequations aux derivees partielles (PDE) non lineaires liees aux transferts de chaleur quidependent du temps ainsi que des coordonnees spatiales. Ces equations du systeme n’ontpas de solution analytique connue en geometrie reelle mais elles peuvent etre approcheespar des methodes d’integration [LPJD07, LP10]. D’autres modeles analytiques sont dis-ponibles lorsque les debits sont variables [MAAIE01]. Par ailleurs, certains modeles sousforme de representation d’etat bases sur des equations de bilans de masse et d’energiesont consideres [Gud08]. Pour determiner les parametres de tels modeles, differents ou-tils sont utilises, tels que des modeles flous [FD08] et le filtre Kalman etendu [JLPD07].Partant de cette representation physique, d’autres types de modelisation de type de boıtenoire ont ete developpes. Dans l’article [LPJD07], par exemple, les auteurs proposent uneidentification par des reseaux de neurones. Ces modeles non lineaires se revelent bienadaptes pour la representation des echangeurs thermique. Malheureusement, l’utilisationd’un modele non lineaire dans differents contextes devient plus difficile et plus delicate

34

3.1. Introduction

que celle d’un modele lineaire. De plus, comme la modelisation physique s’appuie sur deshypotheses fortes qui ne sont pas toutes satisfaites dans la realite, l’utilisation de modelesentree-sortie (boıte noire) s’avere necessaire afin de mieux capter le comportement globaldu systeme etudie.

L’approche LPV peut etre utilisee pour reduire la complexite du modele decrivant leprocessus des echangeurs de chaleur. Differentes techniques de linearisation ont ete propo-sees dans la litterature pour simplifier ce modele, parmi lesquelles une linearisation autourd’un point de fonctionnement [Zer74]. Le systeme est approche par un modele local detype boıte noire LTI (Lineaire a Temps Invariant) en utilisant des donnees entree-sortie.Ce type de modeles reste valable sur une zone assez restreinte de l’espace de fonctionne-ment de l’echangeur.

Dans ce qui suit, on privilegie la recherche d’un modele mathematique capable dedonner une bonne caracterisation globale du comportement dynamique des echangeursde chaleur a partir de donnees d’E/S et de connaissances disponibles a priori. Dans cetteperspective, la modelisation LPV constitue une alternative interessante et un outil lar-gement utilise actuellement pour la modelisation des systemes non lineaires. Ce dernierrepond au probleme d’extension des methodes lineaires aux systemes non lineaires, gracea leurs structures aisement exploitables, comme on la vu au cours du chapitre 1. Pourmieux exprimer le comportement non lineaire des echangeurs d’une maniere generale etpour simuler avec precision le comportement statique et dynamique des echangeurs ther-mique, en particulier les regimes transitoires, sans utilisation des modeles non lineaire, ilest interessant de considerer une modelisation quasi 6 LPV (Lineaires a Parametres Va-riables). Cette derniere prend en compte la variation des parametres en fonction des debitsmassiques 7 des fluides (les variables de sequencement) et leurs temperatures. Notons quele choix des variables de sequencement exprimant differentes non linearites des echangeursde chaleur est un probleme tres delicat.

L’identification hors ligne des echangeurs de chaleur basee sur une structure quasi-LPV a temps continu fait l’objet de ce chapitre. La procedure d’identification proposeesera detaillee dans la section 3.3.

Lors de cette etude, nous avons fait le choix d’utiliser une approche locale concernantl’identification du modele quasi-LPV. Ce choix est justifie par le fait qu’il s’avere difficiled’exciter toutes les entrees de maniere persistante (limitation physiques) sur un echangeurde chaleur. Par ailleurs, comme nous utilisons les donnees d’E/S et la connaissance a priori(des differents points de fonctionnement de l’echangeur), on pourra parler d’identificationboıte grise.

D’autre part, et afin de montrer les avantages de la methode d’interpolation proposee,

6. Les systemes ou la variable de sequencement est une variable interne (c-a-d sortie, entree ou etat)sont appeles des systemes quasi-LPV [Tot10]

7. la vitesse de circulation des fluides a l’interieur de l’echangeur

35


une autre technique d’interpolation de la litterature est appliquee aux modeles locaux :l’interpolation affine entre les poles et les parametres du modele quasi-LPV en formulantun probleme d’optimisation non lineaire, propose dans [DCS09].

Par ailleurs, une grande majorite des publications concerne l’etude du phenomened’encrassement par une approche ”modele”, sans que les entrees du modele (tempera-tures, debits) puissent varier de facon significativement rapidement. Nous avons, dans cetravail de these envisage le probleme de la detection d’encrassement en vue de concevoirun outil de detection de dysfonctionnements en regime transitoire des echangeurs de cha-leur.

Finalement, afin de montrer la genericite du modele propose, la meme methodologieest appliquee a un echangeur de chaleur a contre-courants.

3.2 Le modele quasi-LPV

Dans la pratique, la modelisation d’un processus physique complexe commence genera-lement par le choix des variables a utiliser pour sa description et par le choix des grandeurspermettant d’agir sur son evolution. De plus, le choix de la structure du modele constitueune etape tres importante et delicate de la procedure d’identification. Elle doit contenir aumoins un modele approchant a la precision souhaitee le fonctionnement du systeme reel. Ilest donc important de choisir une structure parametrique pouvant modeliser le plus grandnombre de comportements tout en gardant une structure simple facilitant l’optimisationet l’interpretation physique du systeme etudie. De par sa complexite et les phenomenesphysiques mis en jeu, un echangeur de chaleur presente un comportement relativementnon lineaire. Les grandeurs d’entree-sortie (temperatures et debits des fluides) peuventetre mesurees avec une assez bonne precision. Afin de justifier la structure de modele quipuisse approximer le fonctionnement du systeme, quelques precisions sont necessaires :

– Tout d’abord precisons que pour l’echangeur de chaleur les temperatures d’entreedu cote froid et chaud sont tcin

et thinet les debits massiques mc et mh du cote froid

et chaud. Les sorties sont les temperatures tcoutet thout

du cote froid et chaud.

– De plus, due a la configuration de l’echangeur a courants croises, les temperaturestcout

et thoutne sont pas directement liees a tcin

et thin. En effet, les retards δc et

δh sont necessaires pour prendre en compte le temps d’ecoulement des fluides dansl’echangeur de chaleur entre tcout

(resp. thout)et tcin

(resp. thin). Ces retards sont

definis par [Jon90]

δc =ρcdcWH

mc

et δh =ρhdhWH

mh

. (3.1)

Ces retards n’affectent pas les echanges entre le fluide d’entree cote froid (resp.fluide cote chaud) et le fluide de sortie cote chaud (resp. fluide cote froid) parce quele transfert de chaleur entre les fluides se fait a la position (x = 0, y = H)(resp.

36

3.2. Le modele quasi-LPV

(x = W , y = 0))

– Ensuite, dans ce travail de modelisation que nous effectuons ici, il ne faut pas perdrede vue qu’il s’agit de batir un modele en vue de la detection de l’encrassement, cequi implique certains choix a priori sur la forme du modele en fonction de la tech-nique de diagnostic que l’on envisage d’utiliser. Puisque les modeles a representationcontinue presente principalement un interet lorsque l’utilisateur est interesse par uneinterpretation physique des parametres, en diagnostic ou pour acceder a la connais-sance, un modele a representation continue sera considere.

Dans un contexte d’identification, la determination du caractere, lineaire ou non li-neaire, du processus a identifier constitue une etape fondamentale. Il est possible poury parvenir de proceder a une serie de tests sur les donnees d’E/S mises a dispositionpour l’identification. Cette information sur la nature du systeme peut aider le concep-teur a choisir la famille de modeles, lineaire ou non lineaire, la plus apte a representerson comportement dynamique. Pour cela, avant de presenter le probleme d’identification,une premiere phase consiste a exploiter les connaissances disponibles sur l’echangeur pourelaborer un bon modele et pour definir ensuite le protocole experimental.

3.2.1 Analyse indicielle

Nous nous interessons dans cette partie a l’analyse indicielle de l’echangeur, cetteanalyse consiste a enregistrer l’evolution des sorties de l’echangeur de chaleur tcout

etthout

en maintenant les temperatures d’entree tcin, thin

constantes et le debit massique mc

constant 8 et en faisant varier l’entree de debit massique mh, en passant instantanementd’une valeur constante a une autre (entree en echelon). Le but de cette etude est, au vu dela forme des reponses, de montrer les variations parametrique du modele de l’echangeuren fonction des variations des debits des fluides (cela permet de se fixer sur le choix desvariables de sequencement).

La figure 3.3 presente les reponses dynamiques du processus pour differentes ampli-tudes d’echelon sur la commande des debits massiques (voir figure 3.1). Ces reponsespermettent d’identifier immediatement le gain et le temps de reponse pour chaque pointde fonctionnement. On trouve les parametres decrits par le tableau 3.1, le gain statiquevarie dans l’intervalle [2.15, 4.22] ( C/(kg/s)) et le temps de reponse du systeme varie dansl’intervalle [2.16, 3] (s).A partir de la figure 3.2, on voit une assez nette variation du temps de reponse et dugain dans la gamme des debits consideree. Ceci est du a l’augmentation du coefficientd’echange thermique qui est fonction du debit.

8. Pour ces experiences, la temperature du cote froid est maintenue constante a 20 C, la temperaturedu cote chaud a 38 C et le debit massique du cote froid a 0.7kg/s.

37


0 50 100 150 200 250 300

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

Temps (s)

Entr

ees

des

deb

its

mass

iques

mh

mc

Figure 3.1 – Signal d’entree applique a l’echangeur.

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.32

2.5

3

3.5

4

4.5

mh [kg/s]

Gain (◦C/(kg/s))

tr(s)

Figure 3.2 – Evolution statique du temps de reponse et du gain en fonction de mh.

38


reponse 1 reponse 2 reponse 3 reponse 4 reponse 5 reponse 6tr 3 2.7 2.55 2.4 2.25 2.16

Gain 4.22 3.61 3.13 2.74 2.42 2.15

Table 3.1 – Tableau de mesure statique des gains et des temps de reponse du systemepour differentes valeurs constantes de debit mh.

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Temps (s)

Tem

per

atu

rede

sort

iet h

ou

t[◦

C]

(mh,mc)=(0.8,0.7) kg/s

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Temps (s)

Tem

per

atu

rede

sort

iet h

ou

t[◦

C]

(mh,mc)=(0.9,0.7) kg/s

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Tem

per

atu

rede

sort

iet h

ou

t[◦

C]

Temps (s)

(mh,mc)=(1,0.7) kg/s

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Temps (s)

Tem

per

atu

rede

sort

iet h

ou

t[◦

C]

(mh,mc)=(1.1,0.7) kg/s

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Temps (s)

Tem

per

atu

rede

sort

iet h

ou

t[◦

C]

(mh,mc)=(1.2,0.7) kg/s

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Temps (s)

Tem

per

atu

rede

sort

iet h

ou

t[◦

C]

(mh,mc)=(1.3,0.7)kg/s

Figure 3.3 – Reponses a des echelons pour differents debits mh de l’echangeur.

39


La figure 3.4 represente quatre reponses a un echelon de l’echangeur de chaleur cettefois pour un changement de temperature d’entree thin

de 38 C a 42 C et en maintenantla temperature d’entree tcin

constante a 20 C. Les debits d’entree sont egalement main-tenus constants. On peut voir clairement que le temps de reponse et les gains diminuentpour des debits massiques croissants. Un autre aspect interessant peut etre remarque enexaminant le comportement du systeme pour ces reponses indicielles, c’est le temps mort(ou les retards) qui sont aussi fonction des debits massiques et qui valent, pour certainesreponses, plus d’une seconde.

70 72 74 76 78 80−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Temps (s)

Tem

per

atu

ret c

ou

t[◦C

]

mh=0.7kg/s

mh=0.9kg/s

mh=1.3kg/s

mh=1.1kg/s

70 72 74 76 78 80−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Temps (s)

Tem

per

atu

ret h

ou

t[◦C

]

mh=1.3kg/s

mh=1.1kg/s

mh=0.9kg/s

mh=0.7kg/s

Figure 3.4 – Reponses indicielles de l’echangeur de chaleur pour un echelon de tempe-rature d’entree du cote chaud d’amplitude 4 C, et une temperature d’entree du cote froidmaintenue constante.

En resume, l’analyse des reponses indicielles autour de plusieurs points de fonctionne-ment nous a permis de se forger une connaissance a priori sur la variation parametriquede l’echangeur et de constater qu’une augmentation des debits massiques accelere la dy-namique de l’echangeur et entraıne une augmentation du coefficient de transmission dechaleur.

3.2.2 Le choix des variables de sequencement

En general, la representation LPV pour un systeme non lineaire n’est pas unique. Achaque representation LPV correspond un ensemble particulier de variables de sequence-ment et choisir une representation LPV est equivalent a choisir un ensemble de variablesde sequencement. Le choix de l’ensemble des variables de sequencement est important etcrucial, car il influe sur le nombre de modeles locaux et sur la structure du modele glo-bal. Les possibilites pour les parametres de sequencement sont theoriquement illimitees.Neanmoins, leur choix est borne par :

– la comprehension du systeme physique etudie,– les donnees disponibles.

Dans notre cas, les parametres du modele LPV dependent explicitement des debits mas-siques mc et mh mesurables pendant le fonctionnement du procede. On definit ainsi φ

40


comme etant le vecteur des variables de sequencement tel que :

φ = (mc mh). (3.2)

Ce choix peut etre justifie tout d’abord par le fait que ces deux signaux sont generalementmesurables sur des echangeurs de chaleur reels. De plus, comme nous l’avons montre pre-cedemment, la dynamique de l’echangeur evolue en fonction des entrees de debit massiquemc et mh. Les debits massiques affectent ainsi directement certains parametres physiquesinfluant sur la dynamique. C’est le cas par exemple des coefficients de convection τc et τhou du coefficient de transfert de chaleur global U [Jon90] qui evoluent en fonction de cesdeux signaux comme suit :

τc(t) = ηmµc (t) (3.3)

τh(t) = ηmµh(t) (3.4)

U(t) =τc(t)τh(t)

τc(t) + τh(t)= η

(mc(t)mh(t))µ

mµc (t) + mµ

h(t)(3.5)

ou η et µ sont des parametres constants. Ces equations montrent la facon dont les pa-rametres de transfert de chaleur sont lies a la vitesse d’ecoulement des fluides. Ainsi, lechoix de mc et mh comme variables de sequencement semble pertinent, car les parametresphysiques du systeme sont explicitement dependant de ces variables mesurables. De plus,il est interessant de noter que la variation des coefficients τc, τh et U depend des puissancesmµ

c (t) et mµh(t) et de leurs produits (mµ

c (t)mµh(t)).

3.2.3 Representation quasi-LPV de l’echangeur de chaleur

N’ayant que peu d’informations a priori sur les non linearites du systeme et notantque le comportement du systeme est relativement lineaire autour de plusieurs points defonctionnement (modeles locaux definis a mc et mh constants), une structure quasi-LPVest choisie pour la procedure d’estimation experimentale. Plus particulierement, la repre-sentation suivante est consideree (voir figure 3.5) :

tcout(t) = hcc(t, δc, φ, tcin

) + hch(t, φ, thin) + gcc(t, mc) + gch(t, mh) (3.6a)

thout(t) = hhc(t, φ, tcin

) + hhh(t, δh, φ, thin) + ghc(t, mc) + ghh(t, mh) (3.6b)

ou φ est le vecteur de variables de sequencement, hij(t, φ) sont des fonctions a represen-tation LPV E/S reliant la temperature de sortie i a la temperature d’entree j et gij sontdes fonctions reliant la temperature de sortie i au debit massique d’entree j. Le choix dela structure generique (3.6) se justifie par le fait qu’elle peut representer indifferemmentune forme d’etat ou une representation entree/sortie.

41


tcoutthout

thintcin

mcmhModèle quasi LPV

φ

Figure 3.5 – La structure quasi-LPV de l’echangeur.

Remarques :• A cette etape, il est important de souligner que les debits massiques representent

deux des entrees de l’echangeur mais aussi les variables de sequencement φ. Ceconstat justifie les elements suivants dans le modele (3.6) :– la presence des fonctions gij(t), {i, j} ∈ {c, h}, reliant directement les tempera-

tures de sortie aux debits massiques d’entree ;– la dependance des fonctions hij(t, φ), {i, j} ∈ {c, h} a la variable de sequencementφ, c’est-a-dire aux debits.

• Il est aussi important de signaler que le modele quasi-LPV (3.6) est ecrit sans ajoutd’un modele de bruit. Ce choix peut etre justifie par le fait que ce modele depend desparametres finaux obtenus apres l’interpolation des modeles locaux LTI qui com-posent la structure quasi- LPV. La prise en compte des perturbations est repousseea l’etape des experiences locales, c-a-d, lorsque les modeles locaux LTI sont estimes.Ensuite, les hypotheses sur le modele de bruit de mesure seront donnees lorsqu’onutilise l’algorithme d’estimation pour identifier les modeles locaux LTI.

• Une approche d’identification locale du modele quasi-LPV va etre utilisee. Cetteprocedure peut etre justifiee par le fait qu’en pratique, une excitation persistante detoutes les variables (d’entrees et de sequencement) d’une maniere simultanee n’estpas raisonnable lorsque les echangeurs sont fonctionnels, parce que le systeme estbeaucoup plus non lineaire vis-a-vis des variations des debits des fluides, qui sontsupposes inconnus mais mesurable en temps reel.

3.3 Methodologie d’identification du modele quasi-

LPV

Dans cette section, la methodologie d’identification de la structure quasi-LPV utiliseepour la modelisation experimentale de l’echangeur de chaleur est decrite. L’echangeur dechaleur a courants croises peut etre modelise comme suit :

[Tcout

(s)Thout

(s)

]

=

[Hcc(φ, s) Hch(φ, s)Hhc(φ, s) Hhh(φ, s)

]

︸︷︷︸

LPV

[Tcin

(s)Thin

(s)

]

+

[Gcc(s) Gch(s)Ghc(s) Ghh(s)

]

︸︷︷︸

LTI

[Mc(s)

Mh(s)

]

(3.7)

42

3.3. Methodologie d’identification du modele quasi-LPV

X(s) est la transformee de Laplace du signal generique x(t).

La representation LPV peut s’ecrire sous la forme suivante :

Hij(φ, s) =bij0 (φ) + bij1 (φ)s+ · · ·+ bijnij

(φ)snij

aij0 (φ) + aij

1 (φ)s+ · · · + aijdij−1(φ)sdij−1 + sdij

pour i 6= j (3.8a)

Hii(φ, s) =e−δi(φ)s

(bii0 (φ) + bii1 (φ)s+ · · ·+ biinii

(φ)snii)

aii0 (φ) + aii

1 (φ)s+ · · · + aiidii−1(φ)sdii−1 + sdii

(3.8b)

ou les parametres bij(φ), aij(φ) et les retards δi(φ) sont fonctions de la variable de sequen-cement φ avec une dependance statique. Cette representation LPV E/S est equivalentea une matrice de transfert dans le cas ou le vecteur des variables de sequencement φ estconstant, et ces fonctions de transfert sont propres, c-a-d, dij ≥ nij (causalite).

La representation LTI peut s’ecrire sous la forme suivante :

Gij(s) =nij

0 + nij1 s+ · · · + nij

n sn

dij0 + dij

1 s+ · · · + dijd−1s

d−1 + sdpour {i, j} ∈ {c, h} (3.9a)

Contrairement aux parametres bij(φ) et aij(φ), les parametres des fonctions de transfertLTI Gij(s), n

ij et dij sont independants du vecteur de variables de sequencement φ.

La demarche d’identification pour obtenir le modele global de l’echangeur est realiseeen trois etapes :

1. On cherche tout d’abord a identifier les parametres de la representation LPV E/Sdu modele (3.7) reliant les temperatures de sortie aux temperatures d’entree. Cemodele est construit en agregeant les informations fournies par des modeles LTIlocaux valables pour de petites variations autour d’un point de fonctionnement. Lemodele est obtenu en trois etapes :

– On definit l points de fonctionnement a partir des valeurs minimales et maximalesdes variables de sequencement mc et mh. Un point de fonctionnement correspon-dra ainsi a une valeur constante de mc et une valeur constante de mh.

– Pour chaque point de fonctionnement, on identifie un modele local LTI a tempscontinu reliant les temperatures de sortie aux temperatures d’entree. Les debitsmassiques etant maintenus constants, leur influence sur la dynamique des tem-peratures de sortie peut etre facilement eliminee. L’estimation parametrique est,dans notre cas, realisee par un algorithme a erreur de sortie. Les parametresobtenus sont indexes en fonction de l, c’est-a-dire en fonction de la variable desequencement φ.

– L’etape suivante consiste a trouver une interpolation de chaque parametre desmodeles LTI locaux en fonction des variables de sequencement. Cette etape peutetre plus ou moins delicate selon la maniere dont evolue un parametre entre chaquepoint de fonctionnement. Le modele LPV peut alors etre construit mais ne peutetre valide independamment de la partie LTI du modele (3.7).

43


2. Connaissant la partie LPV du modele (3.7), on s’interesse alors a sa partie LTI, c’est-a-dire aux modeles liant les temperatures de sortie aux debits massiques. Cette foisencore, un algorithme a erreur de sortie permet d’estimer les parametres de cesmodeles.

3. Finalement, le modele complet (3.7) peut etre construit. Il reste alors a le validerpar des essais ou les 4 entrees varient simultanement.

On verra la description des points remarquables de la procedure d’identification dumodele quasi-LPV dans les sections suivantes.

3.3.1 Identification des representations LPV E/S

On s’interesse ici a l’identification des transferts Hij du modele (3.6). A noter queles experiences d’identification portent non pas sur un echangeur reel, mais sur un simu-lateur numerique realiste qui reproduit precisement le comportement de l’echangeur, enparticulier pendant les regimes dynamiques (voir chapitre 2).

3.3.1.1 Identification des modeles locaux

La premiere etape de la procedure d’identification consiste a maintenir les signaux desdebits massiques mc et mh constants. Il s’ensuit qu’en regime etabli :

– les retards δc(φ) et δh(φ), lies aux temps d’ecoulement des fluides entre leur entreeet leur sortie, sont constants,

– les parametres bij(φ) et aij(φ) sont invariants dans le temps.– l’influence des termes Gij(p)Mc(p) et Gij(p)Mh(p) sur la dynamique des sorties est

nulle.Ces observations ont trois consequences pratiques :

1. les effets des retards peuvent etre traites sans difficulte apres l’acquisition par de-calage temporel des donnees d’entree tcin

et thinen calculant les valeurs de δc et δh

respectivement (voir (3.1)) ;

2. l’influence des entrees mc et mh peut etre annulee pendant le pre-traitement desdonnees incluant l’elimination des composantes continues ;

3. les parametres des fonctions de transfert Hij sont constants puisqu’ils sont fonctionsde variables de sequencement figees. Les methodes classiques d’identification dessystemes LTI peuvent etre utilisees pour identifier les modeles locaux.

Ainsi, le modele LTI local a identifier au point de fonctionnement l s’ecrit sous cetteforme : [

Tcout(s)

Thout(s)

]

=

[H l

cc(s) H lch(s)

H lhc(s) H l

hh(s)

] [Tcind

(s)Thind

(s)

]

(3.10)

Les fonctions de transfert H lij LTI peuvent s’ecrire sous la forme suivante :

H lij(s) =

bij,l0 + bij,l1 s+ · · ·+ bij,lnijsnij

aij,l0 + aij,l

1 s+ · · ·+ aij,ldij−1s

dij−1 + sdij

pour {i, j} ∈ {c, h} (3.11a)

44


ou– Tcind

et Thindsont les donnees d’entree apres le traitement des retards et des offsets,

– Tcoutet Thout

sont les donnees de sortie apres traitement (elimination des offset).

3.3.1.2 Choix des points de fonctionnement

Il y a plusieurs possibilites pour choisir les points de fonctionnement. Essentiellement,le choix depend de la dynamique du systeme et de l’expertise de l’utilisateur. Cependant,une approche generale pour selectionner les points de fonctionnement est de choisir unegrille equidistante entre les valeurs minimales et maximales admissibles pour chaque va-riable de sequencement et de prendre toutes les combinaisons possibles. La densite de lagrille pour chaque variable doit etre choisie la plus petite possible (pour reduire le nombred’experiences d’identification LTI), mais suffisamment elevee de telle sorte que l’influencedes variables de sequencement sur la dynamique du systeme soit capturee. Dans notrecas, ces points de fonctionnement sont definis en choisissant une grille entre les valeursminimales et maximales de chaque variable de sequencement φ (voir figure 3.6).

mc ∈[

m(1)c · · · m

(q)c

]

∈[0.7 · · · 1.3

]kg/s (3.12a)

mh ∈[

m(1)h · · · m

(q)h

]

∈[0.7 · · · 1.3

]kg/s (3.12b)

avec q ∈ N∗. On aura ainsi f = q× q possibilites pour la paire (m

(q)c ,m

(q)h ). Cette etape

est necessaire car pour avoir un ”bon” modele global de l’echangeur de chaleur, il fautconnaıtre l’influence des variables de sequencement sur le systeme, ce qui appartient a laphase d’analyse par un expert.

mh

[kg/s

]

mc [kg/s]0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

0.9

0.7

0.8

11

.11

.21

.3

b b b bb b b

b b b bb b b

b b b bb b b

b b b bb b b

b b b bb b b

b b b bb b b

b b b bb b b

Figure 3.6 – Les valeurs constantes du couple (mh, mc), (•) : l = 1, ..., 49 points defonctionnement.

En utilisant une approche entree/sortie classique, les elements principaux necessaireslors de la procedure d’identification locale a partir de donnees experimentales et deconnaissances disponibles a priori sont :

45


– la conception de l’experience (conditions experimentales) et la collecte des donneesentrees-sorties ;

– la selection de la structure et de l’ordre des modeles a chaque point de fonctionne-ment ;

– l’estimation des parametres en utilisant des methodes d’identification de type erreurde sortie (OE) initialisees par des methodes de type erreur d’equation (EE) - l’esti-mation des parametres par une methode d’erreur de sortie est basee sur l’algorithmede Levenberg Marquardt ;

– la validation du modele.

3.3.1.3 Methode a erreur de sortie

De nombreux algorithmes sont maintenant disponibles pour identifier les modeles LTI[Lju99]. Ils se caracterisent principalement par leur mecanisme d’estimation, leur exacti-tude et leur capacite a converger vers la solution desiree. Dans le present cas, en chaquepoint de fonctionnement defini par la variable de sequencement φ, les modeles locaux sontidentifies par une methode d’estimation non lineaire des moindres carres basee sur l’al-gorithme de Levenberg-Marquardt [Mar63]. Ces algorithmes sont connus en France sousl’appellation generique de methode du modele [RRP71]. La methodologie generale miseen œuvre [LBB+01] peut etre symbolisee par la figure 3.7.

Système

Modèle

CritèreGradientHessien

Algorithme PNL

Perturbations

y(t)

y∗(t)

u(t) +

-

θ

ǫ (t)

Figure 3.7 – Principe des methodes a erreur de sortie

Elle se caracterise fondamentalement par la simulation du modele de la sortie a partirde la seule connaissance de l’excitation. Grace a cette procedure, la sortie simulee est inde-pendante de la perturbation affectant le systeme, en consequence, les residus sont l’imagede cette perturbation, d’ou l’appellation d’erreur de sortie et d’interessantes proprietesde convergence. Les algorithmes a erreur de sortie different surtout par la facon de gererl’optimisation. Pour notre part, nous avons opte pour le calcul du gradient et du Hessienpar les fonctions de sensibilite parametrique. La propriete fondamentale de cette methodereside dans le fait qu’elle fournit une estimation non biaisee des parametres (s’il n’y a pasde bouclage). Le probleme principal des methodes a erreur de sortie est l’existence pos-sible de plusieurs minima locaux vers lesquels peut converger l’algorithme d’optimisation.

46


C’est un probleme delicat qui peut etre contourne par l’initialisation de l’algorithme enutilisant des methodes de type erreur d’equation [Toh08]. En combinant les deux algo-rithmes d’identification EE 9 (EE pour Equation Error) et OE (OE pour Output Error),la convergence de la fonction de cout a minimiser vers l’optimum absolu est assuree avecune forte probabilite.

Afin d’expliquer l’idee de base de l’algorithme OE et rendre les notations plus claires,nous considerons un systeme decrit par le modele de fonction de transfert general (SISO) 10

d’ordre n definit par cette relation

Y (s) =N(s)

D(s)U(s) (3.13)

avec

N(s) = n0 + n1s+ · · ·+ nnsn (3.14)

D(s) = d0 + d1s+ · · ·+ sd, d > n (3.15)

Considerons par ailleurs un ensemble de K donnees experimentales {uk, y∗k}k∈[1,K], y

∗k est la

mesure de la sortie yk, perturbee par un bruit de sortie additif vk, c-a-d, y∗k = yk +vk, ou vk

est de moyenne nulle, acquises avec la periode d’echantillonnage Te, telle que t = kTe. Leprobleme d’identification est alors d’estimer le modele qui explique au mieux ces donnees,donc de determiner la valeur des parametres du vecteur θ une estimation de θ

θ =[n0 · · · nn d0 · · · dd−1

]T(3.16)

Nous supposons que le vecteur de parametres initial θ est disponible. Alors grace a u(t),connue aux instants d’echantillonnage uk, on obtient facilement une simulation yk de lasortie, soit

y = f(θ, u) (3.17)

On definit l’erreur de prediction (residu) notee εk entre la sortie reelle y∗k et la sortiesimulee y a chaque instant d’echantionnage

εk = y∗k − yk (3.18)

La valeur optimale de θ est obtenue par minimisation du critere quadratique J suivant

J =K∑

k=1

ε2k. (3.19)

Comme y n’est pas lineaire par rapport aux parametres θ, la minimisation de ce criteres’effectue par une methode de programmation non lineaire [RRP71]. A cet effet, l’algo-rithme de Levenberg-Marquardt (LM) [Mar63] qui realise un compromis harmonieux entrela stabilite de la methode du gradient et la vitesse de convergence rapide de la methode

9. La technique EE utilisee pour initialiser l’algorithme OE sera presentee plus en detail dans lechapitre 4.

10. Single Input Single Output.

47


de Gauss-Newton, est utilise pour estimer iterativement le vecteur de parametres θ de lamaniere suivante

θi+1 = θi −

{[

J′′

θθ + λI]−1

J′

θ

}

θ=θi

(3.20)

ou i correspond a la ieme iteration, λ parametre de reglage et

J′

θ = −2M∑

k=1

εkσk : gradient, (3.21)

J′′

θθ = 2

M∑

k=1

σkσTk : Hessien dans l’approximation de Gauss-Newton, (3.22)

σk =∂yk

∂θ(i): les fonctions de sensibilite de sortie. (3.23)

Cette procedure garantit une convergence robuste, meme en presence d’une mauvaiseinitialisation de θ, si elle est choisie dans le voisinage de l’optimum global. L’avantage decet algorithme est qu’aucune hypothese particuliere n’est necessaire sur les specificationsdu bruit de sortie. Fondamentalement, cette technique est basee sur le calcul du gradient etde Hessien, eux-memes dependants de l’integration numerique des fonctions de sensibilitede sortie σk. Ces fonctions peuvent etre integrees efficacement en simulant un ensemblede representation d’etat (voir [LP99] ou [TPM03] pour plus de details sur cette approchenumerique).En appliquant cet algorithme aux donnees d’E/S fournies par le simulateur au modele(3.10), les parametres invariants dans le temps [bij , aij , bii, aii] des fonctions de transfertH(s) peuvent etre estimes pour chaque point de fonctionnement l (le vecteur des variablesde sequencement φ est constant). Une fois les modeles locaux obtenus pour les l pointsde fonctionnement, la seconde etape porte sur l’interpolation des parametres des modeleslocaux en fonction des debits massiques afin de construire le modele LPV.

3.3.1.4 Interpolation polynomiale

L’interpolation est l’operation mathematique permettant de construire une courbe apartir d’un nombre fini de donnees, ou une fonction a partir des donnees d’un nombre finide valeurs. Dans notre cas, le modele LPV est obtenu par interpolation polynomiale desparametres (donnees) des modeles locaux. En supposant que l’ensemble des parametresdes quatre fonctions de transfert LTI (estimees pour des valeurs constantes des variablesde sequencement) sont disponibles, l’interpolation des parametres identifies peut etre ef-fectuee. En fait, la meme procedure est utilisee pour chaque parametre. La variation dechaque parametre est modelisee par la variable generique γij , i, j ∈ {c, h} d’ordre (nh, nc),definit par le produit de deux polynomes :

γij =

nh∑

ih=0

κihmihh

nc∑

ic=0

κicmicc (3.24)

48


Pour nh = nc = 2, elle s’ecrit :

γij(φ) =(κ0h

+ κ1hmc + κ2h

m2c

) (κ0c

+ κ1cmh + κ2c

m2h

)

= α0 + α1mh + α2m2h + α3mc + α4m

2c + α5mhmc + α6m

2hmc + α7m

2cmh + α8m

2hm

2c

On notera que le choix de cette structure polynomiale generique des parametres sembleetre pertinent, car elle presente une similitude avec les expressions des coefficients phy-siques du systeme τc, τh et U (voir equations (3.3), (3.4) et (3.5)).

3.3.1.5 Optimisation parametrique

Le but de l’optimisation parametrique dans notre cas est de minimiser l’erreur entreles estimations des parametres bijl et aij

l des modeles locaux LTI et les fonctions polyno-miales γk

ij, i, j ∈ {c, h}. La demarche d’optimisation proposee consiste en une optimisationlineaire pour trouver les coefficients αk inconnus du modele quasi-LPV en une seule fois.Pour cela on suit les etapes suivantes :

etape 1 : Les parametres bij et aij des modeles locaux estimes sont groupes comme suit :

bij =[bij1 · · · bijf

](3.25a)

aij =[aij

1 · · · aijf

], f = q × q (3.25b)

etape 2 : Pour calculer les coefficients αk du modele LPV pour les q jeux de donneesaccessibles, un probleme d’optimisation lineaire est formule. Considerons la fonctionγij, i, j ∈ {c, h} appropriee donnee sous forme matricielle :

γ(1)ij (φ)

..

.

γ(q)ij (φ)

=

1 . . . m2(1)

c m(1)

hm2(1)

hm2(1)

c

..

....

..

.

1 . . . m2(q)

c m(q)

hm2(q)

hm2(q)

c

[α0

..

.α8

]

(3.26)

ou γkij(φ) et mk

i representent la keme valeur de γij(φ) et mi.

etape 3 : Les donnees de ce probleme etant sans bruit, on peut estimer sans biais lescoefficients αk par une technique de moindres carres.

etape 4 : Une fois tous les coefficients αk de chaque parametre γij , i, j ∈ {c, h} estimes,le modele LPV est construit.

3.3.2 Identification des fonctions transfert LTI Gij

La derniere etape du probleme d’identification pour la construction du modele quasi-LPV necessite l’estimation des parametres des modeles LTI Gij(s) i, j ∈ {c, h} a represen-tation continue reliant les temperatures de sortie Tcout

(s) et Thout(s) aux debits massiques

d’entree Mc(s) et Mh(s). Pour estimer ces parametres, les 4 etapes a realiser sont lessuivantes :

1. Realiser une experience ou les debits massiques sont excites d’une maniere persis-tante 11.

11. On notera que theoriquement cette identification peut etre realisee en maintenant les temperaturesd’entree constantes et en faisant varier les debits massiques.

49


2. Simuler les sorties du modele LPV MIMO estime dans la section 3.3.1 pour obtenirles sorties suivantes :

[Tcout

(s)

Thout(s)

]

=

[Hcc(φ, s) Hch(φ, s)Hhc(φ, s) Hhh(φ, s)

] [Tcin

(s)Thin

(s)

]

(3.27)

3. Eliminer ces sorties simulees de celles obtenues experimentalement sur le systeme,c’est-a-dire,

tcout(t) = tcout

(t) − tcout(t) (3.28a)

thout(t) = thout

(t) − thout(t). (3.28b)

4. Identifier les fonctions de transfert LTI Gij(s) i, j ∈ {c, h} en utilisant l’algorithmede Levenberg-Marquardt, en se basant sur ce modele :

[Tcout

(s)

Thout(s)

]

=

[Gcc(s) Gch(s)Ghc(s) Ghh(s)

] [Mc(s)

Mh(s)

]

(3.29)

3.4 Application sur l’echangeur a courants croises

La methodologie d’identification presentee precedemment est appliquee pour obtenirle modele quasi-LPV de l’echangeur de chaleur. Les donnees utilisees dans cette etudeproviennent du modele numerique de l’echangeur de chaleur a courants croises. La pre-miere phase porte sur l’identification des modeles LTI locaux.Le protocole experimental est le suivant :

– on choisit f = 49 points de fonctionnement correspondant a 7 × 7 couples de va-leurs constantes de (mc, mh) tels que mc et mh ∈ [0.7 : 0.1 : 1.3] (kg/s) (voir figure3.6) ; l’identification de la matrice de transfert (3.10) entre les temperatures d’entreeTcin

(s) et Thin(s) et les temperatures de sortie Tcout

(s) et Thout(s) devient possible

en utilisant les methodes d’identification LTI classique ;– pour chaque point de fonctionnement, les signaux d’entree choisis lors du processus

d’identification sont des splines 12, centrees autour de 20 C (cote froid) et de 38 C(cote chaud) (ces temperatures correspondent aux composantes continues (valeursmoyennes) mentionnees dans la section 3.3.1.1), avec des variations frequentiellesassez riches par rapport a la dynamique transitoire du systeme. Une reponse tempo-relle issue du simulateur de l’echangeur de chaleur est tracee figure 3.8. L’amplitudede l’excitation est choisie faible pour assurer la linearite des donnees d’entree-sortie.

– afin d’evaluer significativement la methode d’identification utilisee, une simulationde Monte-Carlo (100 jeux de donnees) a ete effectuee pour un rapport signal-sur-bruit (RSB) 13 de 20dB. On considere le cas ou les bruits s’ajoutent aux sorties de

12. Les splines sont utilisees pour apporter l’excitation persistante necessaire a la consistance de l’esti-mateur mis en jeu. De plus ils sont facilement realisables et plus representatifs des evolutions de tempe-ratures dans les echangeurs de chaleur reels.

13. Le rapport signal-sur-bruit est defini comme suit : RSB = 10log(cov(Tiout

)

cov(v) ), ou v represente le bruit

qui agit sur les sorties Tiout, i ∈ {c, h}.

50

3.4. Application sur l’echangeur a courants croises

l’echangeur de chaleur Tcoutet Thout

. Ces bruits de sortie additifs sont utilises poursimuler les perturbations rencontrees dans la pratique sur des echangeurs de chaleurreels.

– les retards quant a eux, sont pris en compte car leur effet est important sachantqu’ils valent pour certains points de fonctionnements parfois plus d’une seconde, cequi n’est plus du tout negligeable au regard de la dynamique de l’echangeur (voirfigure 3.9) ; Le traitement des retards est realise par decalage temporel des donneesd’entree tcin

et thinen calculant les valeurs de δc et δh respectivement (voir section

3.1) (pour des debits massiques mc et mh constants).– la periode d’echantillonnage est fixee a Te = 10ms et la duree de chaque experience

est de 400s.

0 50 100 150 200 250 300 350 40010

20

30

40

50

Tem

per

atu

res

d’e

ntr

ee

TciThi

0 50 100 150 200 250 300 350 40020

25

30

35

40

Temps (s)

Tem

per

atu

res

de

sort

ie

Tcout

Thout

Figure 3.8 – Exemple de jeu de donnees issu du simulateur de l’echangeur de chaleurutilise pour mc = 0.8kg/s et mh = 1.3kg/s. Les temperatures d’entree sont depourvuesde bruit et les temperatures de sortie sont bruitees.

Apres un pre-traitement des donnees (elimination des valeurs moyennes de l’ensembledes donnees E/S pour chaque experience), le modele (3.10) a temps continu sous formede matrice de transfert est identifie par l’algorithme classique de Levenberg-Marquardt.Nous verrons au chapitre suivant qu’il est judicieux d’initialiser proprement cet algorithmeen faisant appel aux moments partiels reinitialises (MPR) a temps continu. En chaquepoint de fonctionnement defini par la variable de sequencement, ces donnees d’E/S traiteessont utilisees pour estimer les valeurs des parametres des 196 fonctions de transfert LTI.Les tests ont montre que des modeles d’ordre 2 ou 3 sont satisfaisants dans la grandemajorite des cas. Ensuite pour l’identification MISO, chaque fonction de transfert H l

ij(s),

51


0 2 4 6 8 10−1

0

1

2

3

4

5Zoom sur les donnees d’E/S du cote froid avant traitement

Tem

per

atu

res

[◦C

]

0 2 4 6 8 10−1

0

1

2

3

4

5

Temps (s)

Zoom sur les donnees d’E/S du cote froid apres traitement

Tem

per

atu

res

[◦C

]TciTc

TcidTc

Figure 3.9 – Traitement des retards.

i, j ∈ {c, h} est choisie d’ordre 2 pour ne pas avoir un nombre trop eleve de parametres.Chaque fonction de transfert s’ecrit comme suit :

H lij(p) =

bij,l1

s2 + aij,l2 s+ aij,l

1

=Kij,l

1 +2ξij,l

ω0ij,l

s + s2

ω20ij,l

. (3.30)

dans laquelle ξ est l’amortissement, ω0ijest la pulsation propre et Kij est le gain statique.

A chaque point de fonctionnement l, une simulation de Monte-Carlo pour 100 jeuxde donnees est realisee. Pour chaque fonction de transfert LTI H l

ij(s) trois parametres(b1, a1, a2)ij, i, j ∈ {c, h} sont identifies a partir de cette simulation. Ensuite, les para-metres de chaque modele local utilise pour l’etape d’interpolation sont obtenus en calcu-lant la valeur moyenne des parametres estimes. En consequence, 49 ensembles de quatrefonctions de transfert de second ordre sont disponibles a la fin de cette etape.Afin de verifier la validite des modeles obtenus on realise une comparaison directe avec leprocessus reel. Le modele et le systeme reel etant soumis aux memes entrees, la variableFit jugeant l’adequation entre leurs comportements dynamiques est un bon critere pourapprecier la qualite de l’identification.

La variable Fit [Lju09] est definie par :

Fit = 100 ×

(

1 −‖y∗ − y‖

‖y∗ − mean(y∗)‖

)

(3.31)

avec

52


– y∗ = y + v : mesure de la sortie tcoutou thout

perturbee par le bruit v ;– y : valeur exacte de la sortie tcout

ou thout;

– v : perturbation aleatoire.Pour l’ensemble des identifications realisees aux f points de fonctionnement, le para-

metre Fit est compris dans l’intervalle [90%, 96%], ce qui montre que le comportementdynamique de l’echangeur est correctement decrit par les modeles estimes pour chaquepoint de fonctionnement.A titre d’exemple, la figure 3.10 presente la comparaison entre les sorties en tempera-ture du simulateur et celles des modeles estimes au point de fonctionnement defini parmh = 1.1kg/s et mc = 0.8kg/s. On constate une bonne adequation entre les differentescourbes. On peut d’ailleurs la voir plus clairement sur la courbe d’erreur figure 3.11.

0 50 100 150 200 250 300 350 40015

20

25

30

35

40

45Fit for the cold side = 93.2 % - Fit for the hot side = 97.97 %

Time (s)

Outlet

tem

per

atu

res

[◦C

]

TcEstimated TcThEstimated Th

Figure 3.10 – Sorties du systeme non bruitees (continu), sorties du modele estime parLM (tiret) pour mc = 0.8kg/s et mh = 1.1kg/s.

A l’issue de cette phase d’identification, on dispose de 3× 49 parametres pour chaquemodele H l

ij(s) (par exemple pour le transfert Hcc, nous avons 49 parametres pour b1cc, 49parametres pour a1cc et 49 parametres pour a2cc). La figure 3.12 montre l’evolution desparametres (b1, a1, a2)cc pour la fonction E/S H l

cc(s) pour les 49 points de fonctionnementconsideres.

L’etape suivante consiste a interpoler l’evolution des parametres en fonction des va-riables de sequencement mc et mh. Pour chaque parametre, on utilise le modele decrit

53


0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3E

rreu

r[◦

C]

Temps (s)

Erreur entre les temperatures simulees et estimees

erreur

Th

erreurTc

Figure 3.11 – Erreur entre les temperatures simulees et estimees.

par l’equation (3.24). La variation de chaque parametre entre 2 points de fonctionnementetant relativement douce, on choisit nc et nh egaux a 2. En effet, un polynome d’ordre2 suffit amplement pour obtenir une approximation acceptable de l’evolution des para-metres en fonction des variables de sequencement. Les coefficients αk du modele LPV sontobtenus apres la resolution du probleme d’optimisation (3.26).La figure 3.13 montre les resultats d’interpolation obtenus sur les parametres (b1, a1, a2)cc.On constate la bonne adequation entre les parametres estimes et ceux interpoles.

A partir de cette phase d’interpolation, le modele LPV peut etre construit.Afin d’etudier les performances du modele LPV estime 14, quatre configurations princi-pales sont analysees :

1. Un premier test consiste a valider le modele LPV obtenu a partir d’autres observa-tions que celles utilisees pour la phase d’estimation pour des entrees de debit mas-sique constantes deja utilisee. La figure 3.14 presente un test de validation croiseepour le modele LPV estime dans lequel les sorties du modele LPV sont compa-rees avec celles du simulateur de l’echangeur (systeme reel) pour mc = 0.7kg/s etmh = 1.3kg/s. Pour qualifier la qualite du modele global obtenu, on utilise la va-riable Fit presentee sur les figures. Ces valeurs de Fit montrent que le modele LPVpermet d’avoir une bonne approximation de l’echangeur thermique pour ce test devalidation croisee. Ce constat apparaıt aussi sur la courbe d’erreur figure 3.15.

14. Notons que le modele LPV obtenu ne contient pas, pour l’instant, les fonctions de transfert Gij(s)reliant la temperature de sortie i au debit massique d’entree j

54


0.81

1.21.4

0.8

1

1.2

1.40.5

1

1.5

2

2.5

3

mh

b1cc= f(mh, mc)

mc

0.81

1.21.4

0.8

1

1.2

1.41

1.5

2

2.5

3

3.5

4

mh

a1cc= f(mh, mc)

mc

0.81

1.21.4

0.8

1

1.2

1.41.5

2

2.5

3

3.5

4

mh

a2cc= f(mh, mc)

mc

Figure 3.12 – Repartition des parametres locaux de la fonction Hcc pour 49 points defonctionnement.

55


0.81

1.21.4

0.8

1

1.2

1.40.5

1

1.5

2

2.5

3

mh

Surface approximating b1cc= f(mh, mc)

mc

0.81

1.21.4

0.8

1

1.2

1.41

1.5

2

2.5

3

3.5

4

mh

Surface approximating a1cc= f(mh, mc)

mc

0.81

1.21.4

0.8

1

1.2

1.41.5

2

2.5

3

3.5

4

mh

Surface approximating a2cc= f(mh, mc)

mc

Figure 3.13 – Les parametres b1cc, a1cc et a2cc interpoles de Hcc en fonction de (mc, mh).

0 50 100 150 200 250 300 350 40015

20

25

30

35

40

45Fit pour le cote froid = 90.13 % - Fit pour le cote chaud = 97.43 %

Temps (s)

Tem

per

atu

res

de

sort

ie[◦

C]

TcTc estiméeThTh estimée

Figure 3.14 – Sorties du systeme non bruitees (continu), sorties du modele LPV estimepour mc = 0.7kg/s et mh = 1.3kg/s (test de validation croises).

56


0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5E

rreu

r[◦

C]

Temps (s)

erreur

Th

erreurTc


2. Ensuite, un deuxieme test sur le modele LPV est realise en un point de fonction-nement n’appartenant pas a la definition de la grille de la figure 3.6. On choisit icimc = 0.88kg/s et mh = 1.13kg/s. Meme si ces valeurs de debits massiques fixes necorrespondent pas a un point de fonctionnement utilise pendant l’identification desmodeles locaux LTI, elles sont toutefois a l’interieur de la surface d’interpolationparametrique. Une fois de plus, la performance du modele d’interpolation est tressatisfaisante (voir les figures 3.16 et 3.17).

3. L’efficacite du modele LPV est egalement etudiee avec mc = 0.4kg/s et mh =1.5kg/s. Cette fois la valeur de chaque variable de sequencement est choisie horsde la grille equidistante utilisee pendant la phase d’identification. Les valeurs deFit donnees sur la figure 3.18 indiquent que le modele LPV arrive encore a suivrel’evolution des temperatures mais que l’approximation se degrade, ce qui est tout afait normal. Les erreurs temporelles sont representees sur la figure 3.19.

57


0 50 100 150 200 250 300 350 40015

20

25

30

35

40


Temps (s)

Tem

per

atu

res

de

sort

ie[◦

C]


Figure 3.16 – Sorties du systeme non bruite (continu), sorties du modele LPV estimepour mc = 0.88kg/s et mh = 1.13kg/s.

0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Err

eur

[◦C

]

Temps (s)

erreur

Th

erreurTc


58


0 50 100 150 200 250 300 350 40010

15

20

25

30

35

40Fit pour le cote froid = 68.28 % - Fit pour le cøte chaud = 87.51 %

Temps (s)

Tem

eratu

res

de

sort

ie[◦

C]


Figure 3.18 – Sorties du systeme non bruite (continu), sorties du modele LPV estimepour mc = 0.4kg/s et mh = 1.6kg/s .

0 50 100 150 200 250 300 350 400−1

−0.5

0

0.5

Err

eur

[◦C

]

Temps (s)

erreurTh

erreurTc


59


4. Enfin, le modele LPV est teste dans le cas ou les debits massiques sont variables,avec une variation specifique donnee sur la figure 3.20. Dans ce cas (voir figure 3.21),le Fit est significativement plus faible apres le saut. Cela peut etre confirme par lacourbe d’erreur correspondante figure 3.22. Le decalage observe sur les reponsesmontre que l’utilisation de la structure LPV seule ne suffit pas pour approximerle comportement dynamique de l’echangeur lorsqu’on considere que les debits mas-siques varient dans le temps. Cette observation experimentale est totalement enaccord avec la structure quasi-LPV presentee (3.6). Les entrees de debit massiquepeuvent etre utilisees comme variables de sequencement, mais doivent etre aussiconsiderees comme des entrees du systeme.

0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Deb

itm

ass

ique

mc

0 50 100 150 200 250 300 350 4000.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

Temps (s)

Deb

itm

ass

ique

mh

Figure 3.20 – Variation des entrees de debit massique.

La derniere etape du probleme d’identification concerne donc l’estimation des parametresdes fonctions de transfert LTI Gij(s) reliant les temperatures de sortie aux debits mas-siques d’entree. Le modele LTI (3.29) est identifie en utilisant la procedure expliquee dansla section (3.3.2).

Finalement pour valider la qualite d’approximation du modele quasi-LPV, ces sortiessont comparees a celles du simulateur de l’echangeur de chaleur pour des entrees de tem-peratures et des entrees de debit massique variables. Le jeu de donnees d’entree qui a servi

60


0 50 100 150 200 250 300 350 40015

20

25

30

35

40


Temps (s)

Tem

per

atu

res

de

sort

ie[◦

C]


Figure 3.21 – Sorties du systeme non bruite (continu), sorties du modele LPV estimepour mc = 0.4kg/s et (mh = 0.8kg/s pour t ≺ 200s et mh = 1.3kg/s pour t ≻ 200s).

0 50 100 150 200 250 300 350 400−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

Err

eur

[◦C

]

Temps (s)

erreur

Th

erreurTc


61


a la validation est illustre sur les figures 3.23 et 3.24.

0 50 100 150 200 250 300 350 40015

20

25

30

35

40

45

Time (s)

Inle

tte

mper

atu

res

[◦C

]

TciThi

Figure 3.23 – Entrees pour des temperatures Tcinet Thin

variables.

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0.8

1

1.2

1.4

Deb

itm

ass

ique

mc

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0.8

1

1.2

1.4

Temps (s)

Deb

itm

ass

ique

mh

Figure 3.24 – Entrees pour des debits massiques mc et mh variables.

62


0 50 100 150 200 250 300 350 40015

20

25

30

35

40


Temps (s)

Tem

per

atu

res

de

sort

ie[◦

C]


Figure 3.25 – Sorties du systeme (continu), sorties du modele quasi-LPV (tiret) pourdes entrees de debit massique et des entrees de temperature variables.

0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Err

eur

Temps (s)

erreurTh

erreurTc


La figure 3.25 montre le comportement dynamique de l’echangeur et celui du modelequasi-LPV (3.7). Ce dernier parvient a representer globalement le comportement dyna-

63


mique de l’echangeur avec une precision tres satisfaisante. Cela peut etre confirme par lacourbe d’erreur correspondante figure 3.26.

3.5 Interpolation affine des parametres des modeles

locaux

Pour montrer les avantages de la methode d’interpolation utilisee precedemment, uneautre technique d’interpolation de la litterature est appliquee aux parametres des 49 mo-deles locaux : l’interpolation affine des poles et des zeros, proposee dans [DCS09].

Le modele quasi-LPV resultant de cette technique est valide et compare au modeleobtenu par interpolation polynomiale.

Une fois les modeles locaux obtenus pour les l points de fonctionnement, la secondeetape porte sur l’interpolation des poles et des parametres des modeles locaux afin deconstruire le modele LPV. Nous nous interessons ici a l’interpolation affine des poles etdes parametres des modeles locaux en fonction des debits massiques identifies. Chaquefonction de transfert H l

ij(p), i, j ∈ {c, h} s’ecrit comme suit :

H lij(p) =

bl1ij

p2 + al2ijp + al

1ij

=blij

(p− plij,1)(p− pl

ij,2). (3.32)

Pour les systemes qui dependent d’une seule variable de sequencement, la technique pre-sentee dans [PSVS08] propose une interpolation particuliere de la partie reelle et imagi-naire des poles et des zeros des modeles locaux LTI. L’echangeur de chaleur depend quant alui de deux variables de sequencement mc et mh. Puisque les poles estimes sont complexesconjugues quelque soit le point de fonctionnement (cf. figure 3.27), il est possible d’appli-quer la technique decrite dans [PSVS08] pour interpoler les modeles locaux de l’echangeur.

Dans cette partie, nous decrivons brievement les idees principales de cette approched’interpolation. On suppose que chaque modele local (SISO) H l

ij(s), i, j ∈ {c, h}, est com-pletement commandable et observable. Les poles de chaque fonction de transfert peuventdonc etre assimiles aux valeurs propres de toute matrice d’etat du meme modele local LTI.Le modele LPV affine en ρ(φ) peut etre exprime par la representation d’etat suivante :

x(t) = A(ρ(φ))x(t) +B(ρ(φ))u(t) (3.33a)

y(t) = C(ρ(φ))x(t) (3.33b)

avec le vecteur d’etat x(t) =[tiout

(t) tiout(t)]T

, i ∈ {c, h}. L’entree u(t) est definie commela temperature tjind

(t) ou tjin(t) selon l’entree consideree et la sortie du systeme y(t) =

tiout(t). Les matrices du modele d’etat affine en ρ(φ) sont :

– A(ρ(φ)) = A0 + ρ(φ)A1, B(ρ(φ)) = B0 + ρ(φ)B1 et– C(ρ(φ)) = C0 + ρ(φ)C1.

64

3.5. Interpolation affine des parametres des modeles locaux

ρ(φ) est ici une fonction polynomiale de φ :

ρ(φ) = ρ0 + ρ1φ+ ....+ ρrφr (3.34a)

ρ =[ρ0 ρ1 · · · ρr.

](3.34b)

Les matrices A0 et A1 sont choisies sous forme compagne. Le probleme d’estimationconsiste alors a determiner les matrices A0, A1, B0, B1, C0, C1 et ρ, telle que la sommedes erreurs au sens des moindres carres entre les poles et les gains du modele LPV affineet les poles et les gains des modeles locaux H l

ij(s) soit minimisee. Pour cela on suit lesetapes suivantes :

etape 1 : Les poles plij et gains des modeles locaux sont groupes comme suit

bij =[b1ij · · · bfij

](3.35a)

pij =[

p1(ij,1)p

1(ij,2) · · · pf

(ij,1)pf

(ij,2)

]

, f = q × q (3.35b)

etape 2 : Le gain et les poles du modele LPV affine sont calcules en suivant la proceduresuivante :– les poles du modele affine (c’est-a-dire les valeurs propres de la matrice d’etatA(ρ(φ)) sont determines par l’equation suivante :

D(p) = det[(A0 + ρ(φ)A1) − sIn] = 0 (3.36)

avec In matrice identite d’ordre n. Dans le cas present le modele LPV affine estd’ordre 2. La formule analytique des poles devient alors

p1,2(ρ(φ)) = λ1 + λ2ρ(φ) ±√

λ3 + λ4ρ(φ) + (λ2)2(ρ(φ))2 (3.37)

ou p1,2(ρ(φ)) representent les racines de l’equation (3.36).– le gain du modele LPV est donne par

K(ρ(φ)) = β1 + β2ρ(φ) (3.38)

avec λ = [λ1, λ2, λ3, λ4] et β = [β1, β2] des fonctions des parametres des matrices A0,A1, B0, B1, C0, C1 [PSVS08].

etape 3 : Pour calculer λ, β et ρ, un probleme d’optimisation non lineaire est formule

minρ,λ,β

Etot = Ek + Ep (3.39)

Ep etant la fonction cout sur les poles :

Ep =

√√√√

f∑

l=1

(ℑ(plij)

2 − (λ3 + λ4ρ(φl) + λ22ρ(φl)2))2 +

√√√√

f∑

l=1

(ℜ(plij) − (λ1 + λ2ρ(φl)))2

(3.40)

65


D’une maniere analogue, la fonction cout des gains locaux est donnee par

Ek =

√√√√

f∑

l=1

((blij) − (β1 + β2ρ(φl)))2 (3.41)

Ce probleme d’optimisation peut etre resolu en utilisant par exemple la commandelsqnonlin de la Toolbox Optimization Matlab.

etape 4 : Apres avoir estime les coefficients λ, β et ρ, on calcule directement les para-metres des matrices du modele LPV affine et le modele global peut etre construit.

A l’issue de la phase d’identification, on dispose de 49 paires de poles complexes conju-gues pour chaque modele H l

ij(p). La figure 3.27 montre l’evolution de ces poles dans leplan complexe pour le transfert H l

hc(p) pour les 49 points de fonctionnement consideres.

010

2030

4050

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1−1

−0.5

0

0.5

1

Local model index

Pole Map Hch(m1, m2)

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Figure 3.27 – Repartition des poles locaux du transfert Hch pour 49 points de fonction-nement.

L’etape suivante consiste a interpoler l’evolution des poles en fonction des variables desequencement mc et mh. Dans le cas de l’interpolation polynomiale, on choisit nc = nh = 2(voir equation (3.25a)). En effet, comme precedemment, un polynome d’ordre 2 suffit am-plement pour obtenir une approximation acceptable de l’evolution des parametres enfonction des variables de sequencement. Les figures 3.28 et 3.29 montrent les resultatsd’interpolation obtenus sur le parametre b1ch

. On constate ici que l’interpolation poly-nomiale fournit de meilleurs resultats que l’interpolation affine. Les figures 3.30 et 3.31

66

3.5. Interpolation affine des parametres des modeles locaux

presentent les resultats d’interpolation des poles du transfert Hch(p). On note la meilleurecapacite d’interpolation de l’approche polynomiale devant l’approche affine.A partir des interpolations obtenues, les modeles LPV peuvent etre construits pour l’in-

0.70.8

0.91

1.11.2

1.31.4

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

mhmc

b 1ch

Figure 3.28 – Interpolation polynomiale de b1chen fonction de (mc, mh).

terpolation polynomiale et pour l’interpolation affine. On notera que cette constructionnecessite l’identification prealable des parametres des fonctions de transfert LTI Gij(p)i, j ∈ {c, h}. Les modeles LTI sont identifies en utilisant l’approche expliquee dans la sec-tion 3.3.2. Afin de valider la qualite d’approximation des deux modeles quasi-LPV, leurssorties sont comparees a celles du simulateur de l’echangeur de chaleur pour des debitsmassiques et des temperatures variables. Plusieurs simulations ont ete realisees avec desentrees differentes et pour chaque simulation, la variable Fit a ete calculee. Le tableau 3.2presente les valeurs minimale, maximale, moyenne du Fit pour les deux sorties Tcout

etThout

selon la methode d’interpolation utilisee. On constate que le modele LPV construit apartir de l’interpolation polynomiale fournit de meilleurs resultats que le modele LPV basesur l’interpolation affine, meme si ce dernier fournit des resultats qui restent acceptables.

Table 3.2 – Valeurs moyennes du Fit pour Tcoutet Thout

.Interpolation affine polynomiale

Fit min max moy min max moyThout

81.01% 91.54% 89.78% 87.15% 95.08% 92.07%Tcout

83.21% 90.30% 88.22% 85.73% 94.36% 91.16 %

67


0.70.8

0.91

1.11.2

1.31.4

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

mhmc

b 1ch

Figure 3.29 – Interpolation affine de b1chen fonction de (mc, mh).

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.5

−0.45

−0.4

−0.35

−0.3

−0.25

Local model index

Rea

lpar

t

Figure 3.30 – Partie reelle des poles interpoles de Hch en fonction de (mc, mh) : polesestimes (−), approches polynomiale (•) et affine (+).

68

3.6. Detection de l’encrassement

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

Local model index

Imagin

ary

part

Figure 3.31 – Partie imaginaire des poles interpoles de Hch en fonction de (mc, mh) :poles estimes (•), approches polynomiale (−) et affine (+).

3.6 Detection de l’encrassement

3.6.1 Introduction

Au cours de ce chapitre, nous avons propose une methodologie generale de modelisationdes echangeurs de chaleur par une approche locale quasi lineaire a parametres variant.Dans cette partie, nous allons proposer une demarche pour la detection d’encrassement 15

dans les echangeurs de chaleur en se basant sur ce modele quasi-LPV.L’encrassement des echangeurs est un phenomene dont les effets nefastes sont relativementbien connus. Les plus significatifs sont :

– la degradation des performances thermo-hydrauliques,– une surconsommation d’energie due a un ecart de temperature superieur a celui

necessaire, ou la surcharge des ventilateurs ou des pompes.On sait egalement que pratiquement tous les echangeurs sont surdimensionnes, en prenanten compte un facteur d’encrassement dependant de l’application et de la periodicite pre-vue des interventions de maintenance. Les moyens actuels de lutte contre l’encrassementsont mecaniques (conception et inserts), ou electroniques pour l’eau (modification de lastructure cristalline des ions dissouts). Ceux consacres a la detection sont souvent basessur des outils locaux (ultrasons principalement) et ne sont donc efficaces que si leur empla-cement est judicieux. On voit donc qu’il est necessaire de disposer de moyens de controle

15. L’encrassement est defini comme l’accumulation d’elements solides indesirables sur une interfaced’echange.

69


ayant un large spectre d’utilisation et qui soient bases sur les donnees reelles d’exploita-tion. D’un point de vue scientifique, la grande majorite des publications concerne l’etudedu phenomene d’encrassement d’un point de vue ”chimique” (cinetique de reaction deformation du depot). On cherche alors a predire la duree de bon fonctionnement sur labase de l’historique des temperatures.Il paraıt evident que la surveillance d’un dispositif passe par la connaissance de son com-portement sain, quel que soit son point de fonctionnement. La maıtrise totale des differentsmodes de fonctionnement dits ”normaux” est alors indispensable lorsqu’on envisage unesurveillance avancee du processus. Par ailleurs, la connaissance des defaillances pouvantl’affecter et la caracterisation des fonctionnements defectueux constituent autant de pointsessentiels a l’elaboration d’une technique de detection et de localisation de defauts. Cettedemarche d’analyse et d’evaluation de l’etat d’un systeme impose une solide connaissancedu procede dans son contexte d’utilisation et un certain retour d’experience concernantles defauts potentiels pouvant l’affecter.Quelques travaux (par exemple, [Gud08]) abordent le probleme par une approche ”mo-dele”, sans que les entrees du modele (temperatures, debits) puissent varier de facon signi-ficativement rapidement. De plus, la plupart des methodes de detection d’encrassementqui sont basees sur une approche modele se decomposent en deux etapes : generation etevaluation de residus. Un residu est un signal genere a partir des mesures des sorties del’echangeur et du modele mathematique. Idealement, le residu doit rester a zero en l’ab-sence d’encrassement et s’eloigner significativement de zero en presence d’encrassement.Ceci n’est possible que si la modelisation du systeme est extremement precise. Avec deserreurs de modelisation et de bruits de mesures, un residu ne peut pas rester identique-ment a zero en l’absence d’encrassement. Il en resulte que l’evaluation de residu n’est pasune tache triviale et une approche possible est d’utilise un test statistique.

L’objectif de cette partie est notamment de proposer une technique qui concerne ladetection d’encrassement dans un echangeur de chaleur a courants croises. La presenteetude fait partie des techniques fondees sur un modele avec les entrees du modele quivarient d’une maniere rapide (en regimes transitoires). Comme le modele quasi-LPV estconstruit a partir d’un echangeur a courant croises sain, il sera utilise ici pour la detectiond’encrassement. Ensuite, un test de controle statistique [cus] est utilise pour detecterl’encrassement sans fausse alarme.

3.6.2 Methodologie

Lorsque l’encrassement s’accumule sur une interface d’echange, la resistance de trans-fert thermique augmente, ce qui diminue le coefficient global de transfert thermique U .Il peut etre difficile de detecter des changements dans U dans les echangeurs de chaleuravec des debits massiques variables, puisque le coefficient de transfert est correle avec lesdebits massiques (cf. equation (3.5)).

Le modele numerique de simulation de l’echangeur est utilise pour generer et simu-ler les donnees en conditions propres et en conditions encrassantes. L’approche envisageedans cette partie consiste a comparer les sorties estimees (modele quasi-LPV de reference)

70


identifie a partir de donnees d’E/S en conditions propres, avec les sorties du systeme sousl’influence d’encrassement. L’encrassement est simule par une variation de la conductibi-lite thermique de la paroi separatrice. Ainsi, le coefficient de la conductibilite thermique hh

du cote chaud diminue continuellement (voir la figure 3.32). Enfin, la detection d’encrasse-ment est realisee en appliquant un test statistique particulier comme le test de surveillance(CUmulative SUM, CUSUM) (voir par exemple [GPPL09, LP10]).

0 50 100 150 200 250 300 350 4002000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Conduct

ibilit

eth

erm

ique

hh[W

.K−

1.m

−1]

Temps (s)0 50 100 150 200 250 300 350 400

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Temps (s)

Conduct

ibilit

eth

erm

ique

hh

[W.K

−1.m

−1]

Figure 3.32 – Variation de la conductibilite thermique du cote chaud de la paroi sepa-ratrice a cause de l’encrassement, avec des temperatures d’entree variables et des debitsmassiques d’entree constants (gauche), avec des temperatures d’entree variables et desdebits massiques d’entree variables (droite).

3.6.3 Test utilise

Plusieurs etudes se sont interessees aux problemes de detection de defauts. Dans cettepartie nous presentons le test de CUSUM. Cet algorithme de detection est un test decontrole statistique du processus sous surveillance, outil connu pour son efficacite et concupour la detection rapide d’anomalies qui se base sur la theorie de detection de point derupture. En particulier, une alarme est signalee quand la somme cumulee (CUSUM) desdifferences recursives a la moyenne dans un intervalle de temps precis depasse un seuilbien defini (voir [cus]). Ce test est adaptable a des systemes dynamiques, les petites diffe-rences qui passent inapercues a l’œil, se cumulent avec CUSUM et deviennent evidentesau cours du temps. Ainsi ce test est utilise dans cette etude.

Dans notre cas, la detection d’encrassement est realisee par l’analyse de l’ecart entreles sorties du modele quasi-LPV et les sorties mesurees effectivement. L’encrassement pro-voque un changement de la conductibilite thermique de la paroi separatrice (augmentationde la resistance thermique). Il est pratique d’utiliser le test CUSUM pour la detection del’encrassement [GPPL09, LP10]. Lors de l’analyse des ecarts entre les temperatures desortie du modele quasi-LPV et les temperatures de sortie mesurees, la valeur moyenne desresidus est calculee sur une fenetre d’une longueur specifique qui est choisie en conformite

71


avec le processus etudie 16 et le test CUSUM est utilise pour surveiller la valeur moyennedes ecarts pour des changements de leur valeur de reference. Si la moyenne des ecarts nechange pas dans le temps, on dit que l’echangeur est ”propre”. Si par contre, il y a unchangement dans la moyenne des ecarts, on dit que le l’echangeur est ”encrasse”. S’il y aun changement dans la valeur des ecarts, soit une hausse ou une baisse, le test Cusumdevrait le detecter rapidement.

Comme dit precedemment, l’algorithme CUSUM se base sur le principe de la sommecumulative qui se calcule avec (3.42) et (3.43), [cus] :

CusumH(i) = max[0, CusumH(i− 1) + xi − (µ0 +K)] (3.42)

Cusuml(i) = max[0, Cusuml(i− 1) + (µ0 −K) − xi] (3.43)

ou CusumH(i) et Cusuml(i) sont les sommes cumulatives positives qui sont initiali-sees a 0 lors du lancement de l’algorithme. Ce qui signifie que si elles sont negatives, ellessont immediatement misent a 0.xi est la variable representant les residus des temperatures de sortie du cote chaud oufroid.µ0 est la moyenne des residus calculee a l’instant t (i allant de 0 a t).K est un parametre a faire varier pour ameliorer les performances de la detection.

Les tests CUSUM sont simples a utiliser, seulement deux parametres sont necessairespour definir les tests :

– un seuil de decision, ce qui empeche une fausse detection lorsque CusumH(i) ouCusuml(i) depassent un certain seuil h (CusumH(i)> h ou Cusuml(i)> h), sachantque nous pouvons modifier le seuil jusqu’a trouver la valeur optimale avec laquelleon a le minimum de fausses alertes.

– une valeur du parametre de reference K, il y a plusieurs facon pour la choisir,dans notre cas, il peut etre plus facile de voir des changements si on choisit K egal al’ecart-type des residus entre les sorties du modele quasi-LPV et les sorties mesurees.

3.6.4 Donnees

Comme il a ete difficile au cours de cette etude d’avoir acces aux donnees reelles apartir d’un echangeur de chaleur ou l’encrassement se produit, les donnees utilisees danscette analyse sont obtenues a partir d’un simulateur (voir, section 2.4). Par la suite, lessorties simulees seront considerees comme les sorties reelles de l’echangeur. Afin d’etresur que l’evolution du signal de detection choisi est due a l’encrassement et non pas, parexemple, a un comportement transitoire, la serie temporelle des donnees est composee dedeux ensembles : le premier correspond a une periode propre, la seconde a un echangeurde chaleur progressivement encrasse.De plus, et afin d’evaluer significativement le test de detection utilise, on considere le cas

16. La longueur de la fenetre doit contenir la moindre variation des residus de leur valeur de moyennedu processus.

72


ou des bruits de moyenne nulle s’ajoutent aux sorties de l’echangeur de chaleur Tcoutet

Thout. Ces bruits de sortie additifs (avec, un rapport signal-sur-bruit de 20dB) sont utili-

ses pour simuler les perturbations rencontrees dans le cas pratique sur des echangeurs dechaleur reels.

Pour la detection d’encrassement en regime transitoire, nous envisageons deux situa-tions :

1. tout d’abord, la detection d’encrassement pour des temperatures d’entrees variableset des debits massiques d’entree constants,

2. ensuite, la detection d’encrassement pour des temperatures d’entree variables et desdebits massiques d’entree variables simultanement (variation de toutes les entrees).

Exemple de jeu de donnees (debits massiques d’entree constants) :Le premier jeu de donnees d’entree utilise est illustre sur la figure 3.33 pour des debitsmassiques d’entree constants mc = 0.7kg/s et mh = 1.3kg/s. Les reponses temporellesen temperatures sans bruit et avec bruit obtenues a partir de ces simulations, compareesavec leur estimation a partir du modele quasi-LPV, sont presentees sur les figures 3.34 et3.35.

0 50 100 150 200 250 300 350 40015

20

25

30

35

40

45

Temps (s)

Tem

per

atu

res

d’e

ntr

ee[◦

C]

TciThi

Figure 3.33 – Temperatures d’entree variables.

73


0 50 100 150 200 250 300 350 40015

20

25

30

35

40

45Fit pour la sortie Tc = 62.83 % - Fit pour la sortie Th = 76.78 %

Temps (s)

Tem

per

atu

res

de

sort

ie[◦

C]

TcTc quasi LPVThTh quasi LPV

encrassepropre

Figure 3.34 – Reponses en temperature en conditions propres et en conditions encras-santes avec des sorties sans bruit, pour mc = 0.7kg/s et mh = 1.3kg/s.

0 50 100 150 200 250 300 350 40015

20

25

30

35

40

45

Temps (s)

Tem

per

atu

res

de

sort

ie

Tc mesuree

Th quasi LPV

Th mesuree

Tc quasi LPV

Figure 3.35 – Reponses en temperature en conditions propres et en conditions encras-santes avec des sorties bruitees, pour mc = 0.7kg/s et mh = 1.3kg/s.

Exemple de jeu de donnees (debits massiques d’entree variables) :Le second jeu de donnees d’entree utilise est illustre sur les figures 3.36 et 3.37. Les reponsestemporelles en temperatures sans bruit et avec bruit obtenues a partir de ces simulations,

74


comparees avec leur estimation a partir du modele quasi-LPV, sont presentees sur lesfigures 3.38 et 3.39.

0 50 100 150 200 250 300 350 40015

20

25

30

35

40

45

Temps (s)

Tem

per

atu

res

d’e

ntr

ee[◦

C]

TciThi

Figure 3.36 – Temperatures d’entree.

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0.8

1

1.2

1.4

Deb

itm

ass

ique

mc

0 50 100 150 200 250 300 350 4000.4

0.6

0.8

1

Temps (s)

Deb

itm

ass

ique

mh

Figure 3.37 – Debits massiques d’entree variables.

75


0 50 100 150 200 250 300 350 40010

15

20

25

30

35

40

45Fit pour Tc = 63.43 % - Fit pour Th = 74.03 %

Temps (s)

Tem

per

atu

res

de

sort

ie[◦

C]

TcTc quasi LPVThTh quasi LPV

propre encrasse

Figure 3.38 – Reponses en temperature en conditions propres et en conditions encras-santes avec des sorties sans bruit, pour des debits massiques d’entree variables.

0 50 100 150 200 250 300 350 40010

15

20

25

30

35

40

45

Temps (s)

Tem

per

atu

res

de

sort

ie

Th mesuree

Tc mesuree

Th quasi LPV

Tc quasi LPV

Figure 3.39 – Reponses en temperature en conditions propres et en conditions encras-santes avec des sorties bruitees, pour des debits massiques d’entree variables.

Ces reponses en temperature mettent en evidence que l’encrassement influence lesperformances thermique de l’echangeur. En observant les sorties temporelles mesureesavec celles du modele quasi-LPV de reference sur les figures 3.34 et 3.38, on remarque

76


deja la diminution de la conductibilite thermique du cote chaud de la paroi separatrice acause de l’encrassement.

3.6.5 Resultats

Pour une meilleure interpretation des resultats nous avons trace les courbes temporellespresentees sur les figures 3.40 et 3.41. A partir des echantillons d’observations utilises, nouspouvons remarquer clairement sur les deux courbes que le test statistique de CUSUMest capable de detecter efficacement le changement des temperatures de sortie et plusparticulierement les transitoires rapides (toutes les entrees des debits et des temperaturessont variables). Ce qui nous mene a conclure que l’echangeur est encrasse. Par ailleurs,il est interessant de noter que le seuil du depassement h est fixe apres une serie de testsvisant a minimiser le taux de fausses alertes.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Temps (s)

Vale

urs

du

test

Cusu

mpour

Tc

etT

h

Test CuSum pour detecter l’encrassement

CusumTc

Detection te=0.7610 x tf

Seuil h=150 CusumTh

Figure 3.40 – Mise en place du test Cusum sur des donnees suivant les reponses entemperature en conditions propre tp = 200s et en conditions encrassantes apres, avec dessorties bruitees, pour des debits massiques d’entree constants. Si le seuil vaut h = 150, ladetection a lieu a l’instant te = 306.5s.

Les resultats montrent de maniere significative que le modele quasi-LPV de l’echan-geur de chaleur a courants croises peut etre utilise pour detecter l’encrassement dans desconditions dynamiques en utilisant des mesures qui peuvent etre obtenues en fonctionne-ment reel. Par ailleurs, le test CUSUM presente plusieurs avantages notamment la rapiditede detection ainsi que la minimisation du taux de fausses alertes. Enfin, il apparaıt clai-rement que l’encrassement du cote de l’eau est detecte plus tot que l’encrassement ducote de huile, car le coefficient de transfert thermique est plus faible pour l’eau que pourl’huile.

77


0 50 100 150 200 250 300 350 4000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Temps (s)

Vale

urs

du

Cusu

mpour

Tc

etT

h

Test Cusum pour detecter l’encrassement

Seuil h=150

CusumTh

Detection te=0.7750 x tf

CusumTc

Figure 3.41 – Mise en place du test Cusum sur des donnees suivant les reponses entemperature en conditions propre tp = 200s et en conditions encrassantes apres, avec dessorties bruitees, pour des debits massiques d’entree variables. Si le seuil vaut h = 150, ladetection a lieu a l’instant te = 309s.

3.7 Application sur un echangeur de chaleur a contre-

courants

Dans cette section, nous allons appliquer le concept de modelisation quasi-LPV desechangeurs de chaleur donne figure 3.42 sur un echangeur de chaleur a contre-courants.On considere un autre mode de transfert de chaleur, a savoir les deux fluides sont disposesparallelement mais les courants vont dans des sens contraires. L’objectif de cette sectionest de montrer que la methodologie developpee sur un echangeur de chaleur a courantscroises est aisement transportable a un autre type d’echangeur. Les donnees utilisees danscette partie proviennent d’un simulateur realiste cale avec le banc d’essai de l’echangeurde chaleur a contre-courants (voir, section 2.4). Cette fois encore les sorties simulees serontconsiderees comme les sorties reelles du systeme.Dans cette partie, nous presentons les resultats de la modelisation quasi-LPV de l’echan-geur de chaleur a contre-courants. Le protocole experimental et la methode d’experimen-tation sont les suivants :

– premierement, pour identifier les modeles locaux LTI H lij , on choisit f = 36 points

de fonctionnement correspondants a 6×6 couples de valeurs constantes de (mc, mh) :

mc ∈ {0.4mc, 0.5mc, 0.6mc, 0.7mc, 0.8mc, 0.9mc}

mh ∈ {0.4mh, 0.5mh, 0.6mh, 0.7mh, 0.8mh, 0.9mh}

tels que mc=0.0277(kg/s) et mh= 0.158(kg/s) ;

78

3.7. Application sur un echangeur de chaleur a contre-courants

Figure 3.42 – Concept de modelisation quasi-LPV des echangeurs thermiques.

– les signaux d’entree choisis lors du processus d’identification sont des splines, puis-qu’ils sont plus representatifs des evolutions de temperatures dans les echangeurs dechaleur reels. Notons que les temperatures de fonctionnement nominal de l’echangeura contre-courants sont 30 C (cote froid) et 50 C (cote chaud), avec des variationsfrequentielles assez riches par rapport a la dynamique transitoire de l’echangeur.Une reponse temporelle issue du systeme est donnee figure 3.43.

– Comme precedemment, une simulation de Monte Carlo avec 100 realisations esteffectuee en ajoutant des bruits blancs de moyenne nulle sur les sorties simuleesTcout

et Thoutavec un RSB egal a 20dB.

– la periode d’echantillonnage est fixee a Te = 10ms et la duree de chaque experiencede plus de 20 minutes.

De la meme maniere que pour le cas de l’echangeur de chaleur a courants croises, onprocede au traitement de donnees, elimination des valeurs moyennes et des retards δc etδh (voir, section 3.4). En conservant les memes hypotheses et la meme procedure d’iden-tification, on aboutit aux resultats suivants :

Pour l’ensemble des identifications realisees aux 36 points de fonctionnement, le pa-rametre Fit est compris dans l’intervalle [90%, 98%], ce qui montre que le comportementdynamique de l’echangeur est correctement decrit par les modeles LTI estimes pour chaquepoint de fonctionnement. A titre d’exemple, on presente sur les figures 3.45 et 3.44 respec-tivement, les reponses temporelles des deux sorties de l’echangeur pour mc = 0.0249 kg/set mh = 0.0948 kg/s (cote froid) et pour des temperatures d’entree variables, compareesavec celles des modeles LTI estimes au point de fonctionnement defini. On constate labonne adequation entre les differentes courbes. Ce constat apparaıt plus clairement surles courbes d’erreurs.

79


0 100 200 300 400 500 600 700 800−1

0

1

2

3

∆T

cou

tet

∆T

hou

t

Temps (s)

0 100 200 300 400 500 600 700 800−2

0

2

4

∆T

cin

et∆

Th

in

∆ T

hin

∆ Tc

in

∆ Tcout

∆ Thout

Figure 3.43 – Exemple de jeu de donnees issu du simulateur realiste de l’echangeurde chaleur a contre-courants utilise pour mc = 0.0249 kg/s et mh = 0.0948 kg/s. Lestemperatures d’entree sont depourvues de bruit et les temperatures de sortie sont bruitees.

0 100 200 300 400 500 600 700 800−1

0

1

2

3Sorties reelle et estimee - Fit = 96.59 %

Th

ou

t[◦

C]

Th Estimated Th

0 100 200 300 400 500 600 700 800−0.5

0

0.5

Temps (s)

Erreu

r[◦

C]

Figure 3.44 – Sortie du systeme non bruitee (continu), sortie du modele estime par LM(tiret) pour mc = 0.0249 kg/s et mh = 0.0948 kg/s (cote chaud).

80


0 100 200 300 400 500 600 700 80035

35.5

36

36.5

37

37.5Sortie reelle et estimee - Fit = 96.64 %

Tc o

ut

[◦C

]

Tc Estimated Tc

0 100 200 300 400 500 600 700 800−0.5

0

0.5

Temps (s)

Erreu

r[◦

C]

Figure 3.45 – Sortie du systeme non bruitee (continu), sorties du modele estime par LM(tiret) pour mc = 0.0249 kg/s et mh = 0.0948 kg/s (cote froid).

On a represente sur la figure 3.46 la variation parametrique en fonction des debitsmc et mh des parametres estimes ach, ahh, bhc et bhh et interpoles ach, ahh, bhc et bhh. Onconstate, la encore, que l’interpolation polynomiale (voir, section 3.3.1.4) permet d’obtenirune approximation acceptable de l’evolution des parametres en fonction des variables desequencement. Les ordres nc et nh des polynomes d’interpolation sont choisis egaux a2. En accord avec la nature non lineaire des echangeurs de chaleur, comme pour le casde l’echangeur de chaleur a courants croises, ces courbes montrent l’influence des debitsmassiques sur la variation parametrique (donc la dynamique du processus).

Comme precedemment, et afin de valider la qualite du modele quasi-LPV de l’echan-geur de chaleur a contre-courant, un jeu de donnees avec des entrees (debits et tempera-tures) variables est utilise (voir figure 3.47).

On represente sur les figures 3.48 et 3.49 les reponses temporelles du systeme et cellesdu modele quasi-LPV pour des entrees (temperatures et debits) variables simultanement.

Ces reponses montrent une fois de plus, appuyees par les courbes d’erreurs et par lesvaleurs de Fit, que le modele quasi-LPV est capable d’approximer parfaitement les re-ponses temporelles des echangeurs a contre-courants et plus particulierement les regimestransitoires rapides. De plus, on constate l’efficacite de ce modele, que ce soit sur les don-nees obtenues a partir d’un mode de transfert de chaleur a courants croises ou sur unmode de transfert a contre-courants.

81


0.01

0.015

0.02

0.025

0.05

0.1

0.15

0.20.02

0.03

0.04

0.05

0.06

mc

Surface d’approximation ahc=f(mc,mh)

mh0.01

0.015

0.02

0.025

0.05

0.1

0.15

0.20

0.5

1

1.5

2

2.5

mc

Surface d’approximation ahh(φ)

mh

0.01

0.015

0.02

0.025

0.060.08

0.10.12

0.140.16

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

mc

Surface d’approximation bhc(φ)

mh

0.01

0.015

0.02

0.025

0.05

0.1

0.15

0.20

0.5

1

1.5

2

mc

Surface d’approximation bhh(φ)

mh

Figure 3.46 – Variation des parametres LTI estimes ach, ahh, bhc et bhh (circle) et inter-poles ach, ahh, bhc et bhh (surface) en fonction de (mc, mh).

82


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 450020

30

40

50

60

Temps (s)

Tem

per

atu

res

d’e

ntr

ee

Tc

in

Th

in

0 2000 40000.01

0.015

0.02

0.025

Temps (s)

Deb

itm

ass

ique

mc

0 2000 40000.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Temps (s)

Deb

itm

ass

ique

mh

Figure 3.47 – Le jeu de donnees d’entree qui a servi a la validation pour des debitsmassique mc et mh variables.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 450036

38

40

42

44

46Sortie reelle et estimee - Fit = 91.26 %

Tc o

ut

[◦C

]

Tc Tc estimée

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500−1

−0.5

0

0.5

1

Temps (s)

Erreu

r[◦

C]

Figure 3.48 – Sorties du systeme (continu), sorties du modele quasi-LPV (tiret) pourdes entrees de debit massique et des entrees de temperature variables du (cote froid).

83


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 450042

44

46

48

50Sortie reelle et estimee - Fit = 89.13 %

Th

ou

t[◦

C]

Th Th estimée

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500−1

−0.5

0

0.5

1

Temps (s)

Erreu

r[◦

C]

Figure 3.49 – Sorties du systeme (continu), sorties du modele quasi-LPV (tiret) pourdes entrees de debit massique et des entrees de temperature variables (cote chaud).

Remarque :Notez que la partie la plus difficile dans ces etudes est la determination d’un modele fiablemais moins complexe du systeme. Des qu’un modele precis est disponible, le probleme dela detection d’encrassement est lie uniquement au choix d’un signal fiable menant a ladetection l’encrassement (par exemple, les sorties du systeme), puis un test statistique estapplique afin d’avertir l’utilisateur des que encrassement se produit. Ce dernier problemepeut etre resolu en appliquant le test CUSUM (voir, section 3.6) et l’encrassement peutalors etre facilement detecte.

3.8 Conclusion

Nous avons propose dans ce chapitre une methodologie generale de modelisation quasi-LPV des echangeurs thermiques et une procedure d’identification qui suit les etapes de-taillees dans la section 3.3, ainsi qu’une methode pour la detection de l’encrassement dansles echangeurs de chaleur a partir de donnees dynamiques. Le choix d’une structure de mo-deles adequate n’est pas une science exacte, mais grace a la modelisation quasi-LPV, nousavons pu proposer un modele mathematique original des echangeurs chaleur, permettantla simulation des regimes transitoires d’une maniere precise aussi bien localement autourd’un point de fonctionnement donne (debits massiques d’entree constants) qu’en fonc-tionnement global (sur une large plage de fonctionnement, toutes les entrees des debits etdes temperatures variant simultanement). En fait, le modele quasi-LPV est une structureflexible bien adaptee a l’approximation du comportement non lineaire des echangeurs de

84

3.8. Conclusion

chaleur sur une large plage de fonctionnement, contrairement aux modeles lineaires quiont un comportement local et qui sont valides que pour des debits massiques d’entreeconstants. Ainsi, le modele quasi-LPV des echangeurs de chaleur offre un excellent com-promis entre complexite, precision et generalite.

Les modeles quasi-LPV developpes au cours de notre etude sont bases en premier lieusur l’identification des parametres des modeles locaux LTI en differents points de fonction-nement de l’echangeur. Ces points de fonctionnement dependent des debits massiques desfluides entrants et sont choisis de maniere a explorer au mieux le domaine d’utilisation del’echangeur. Puis on s’interesse a l’interpolation de l’evolution parametriques en fonctiondu point de fonctionnement, c’est-a-dire en fonction des variables de sequencement quesont les debits massiques. Deux approches ont ete presentees et comparees : l’interpola-tion polynomiale et l’interpolation affine. A l’issue de cette phase d’interpolation, on peutconstruire le modele LPV de l’echangeur soit a base de fonctions de transferts dans lecas de l’interpolation polynomiale, soit sous la forme d’etat dans celui de l’interpolationaffine. Des tests de comparaison en regime dynamique montrent la similitude des resultatsobtenus par la simulation des modeles quasi-LPV avec les donnees issues du simulateurde l’echangeur de chaleur a courants croises. Les resultats presentes dans cette partiemontrent que l’interpolation polynomiale fournit des resultats plus precis que l’interpola-tion affine pour cartographier l’evolution des poles et des parametres des modeles selonle point de fonctionnement. De meme, le modele LPV resultant de l’interpolation poly-nomiale offre une meilleure qualite d’approximation. Le second modele fournit neanmoinsune precision qui reste acceptable pour une complexite moindre. Toutefois, il faut noterque la precision de l’interpolation se fait au detriment de la parcimonie parametrique.

Par ailleurs, des travaux realises par [GPPL09, LP10] ont porte sur la detection d’en-crassement dans les echangeurs de chaleur par une approche ”modele”. Ils ont montre qu’ilest possible de detecter l’encrassement dans les echangeurs thermiques a base de modele.Nous nous sommes interesses a l’application du modele quasi-LPV de l’echangeur a cou-rants croises pour la detection d’encrassement. L’objectif est de proposer une techniquepour la detection d’encrassement dans les echangeurs ou les entrees (debits et tempera-tures) ont un comportement dynamique (donc en regime transitoire). On constate, apresexploitation des resultats obtenus, que le modele quasi-LPV peut etre utilise pour de-tecter l’encrassement dans les echangeurs thermiques dans des conditions dynamiques duprocessus traite en utilisant des donnees qui peuvent etre obtenues en temps reel.

Nous avons propose, a la fin de ce chapitre, une application de la methodologie deconception d’un modele quasi-LPV sur un echangeur de chaleur a contre-courants. Onconstate, apres exploitation des resultats obtenus, que le modele quasi LPV arrive aapprocher fidelement le comportement dynamique de l’echangeur a partir des donneestemporelles issues d’un simulateur realiste et cale avec un echangeur reel. Cette modeli-sation apporte ainsi une solution generale a la modelisation des echangeurs thermiques,independamment de leur mode de transfert de chaleur considere.

85


86

Chapitre 4

Identification globale de modelesLPV a temps continu

Au chapitre precedent, nous avons propose une methodologie de modelisation lineairea parametres variants (LPV) generalisee des echangeurs de chaleur. Cette technique estbasee sur une approche locale et exige de fait, une identification des modeles locaux LTIet le modele LPV est obtenu par une interpolation directe de la variation parametriquedes modeles locaux.Dans ce chapitre, nous nous interessons a l’identification des systemes LPV SISO a repre-sentation entree-sortie (IO) a temps continu (CT) par une approche globale. L’objectifprincipale est de realiser une seule identification au cours de laquelle toutes les variables(d’entree et de sequencement) sont excitees d’une maniere persistante. Nous proposonsdonc une solution pratique pour l’identification directe de tels systemes. Un algorithmed’optimisation non lineaire est utilise afin d’obtenir le modele LPV global presentant di-rectement la dependance fonctionnelle des parametres aux variables de sequencement.Cet expose va donc etre consacre aux techniques d’identification dediees aux systemesLPV-IO-CT.

87

Chapitre 4. Identification globale de modeles LPV a temps continu

4.1 Introduction

L’etude de l’identification et le controle des systemes lineaires a parametres variants(LPV) ont suscite beaucoup d’interet ces dernieres annees comme cela a deja ete soulignedans l’introduction et au chapitre 1. Bien que nous sommes motives par l’identificationLPV a temps continu des echangeurs de chaleur, la theorie des systemes LPV peut etreappliquee a un plus large domaine d’application. Recemment, un certain nombre d’appli-cations industrielles des systemes LPV a ete publie :

– les compresseurs [GBFB06],– les eoliennes (aerogenerateurs) [BMC05, Win08],– les systemes mecatroniques [PSVS08],– les bassins versants ruraux [Lau10],– les reseaux de transport de gaz a haute pression [RMdCJM11],– les echangeurs de chaleur[MPP11, CCOP12], etc.

Precedemment, nous avons ete motives par l’efficacite d’une modelisation LPV a tempscontinu des echangeurs de chaleur par une approche locale. Des arguments similairespeuvent etre utilises pour motiver l’identification des systemes LPV a temps continu parune approche globale.

Comme nous avons pu le voir au chapitre 1, si l’identification des modeles entrees/sortiesLPV a temps discret a fait l’objet de nombreux travaux au cours des dernieres annees,l’identification de modeles LPV a temps continu n’a en revanche ete que tres peu etudie.Ce domaine reste donc tres largement ouvert. Pour identifier un modele LPV a tempscontinu a partir de donnee d’entrees/sorties echantillonnees, deux approches principalessont possibles : l’approche indirecte et l’approche directe. L’approche indirecte consiste adeterminer, dans un premier temps, un modele discretise, puis une operation de conversionest utilisee afin de retrouver le modele a temps continu. Cependant, l’etape de conversiondiscret-continu dans le cas LPV est delicate et peut etre tres sensible au choix de lamethode de conversion [Tot10, LTGG11]. L’approche directe consiste a estimer les para-metres du modele directement sous la forme a temps continu en une seule etape, a l’aidede methodes specifiquement developpees pour l’identification de modeles a temps continu.

L’identification d’un modele a representation continue presente principalement un in-teret lorsque l’utilisateur est interesse par une interpretation physique des parametres,en diagnostic ou pour acceder a la connaissance du systeme [TP01]. Cette representationpeut etre interpretee physiquement beaucoup plus aisement que l’equivalent discret de-livre par les approches indirecte d’identification, les parametres etant independants dupas d’echantillonnage. Dans ce cas, il y a avantage a utiliser les methodes d’identificationdirecte a temps continu. Dans la suite du chapitre, nous allons nous interesser a ces tech-niques d’identification directe de modeles LPV a temps continu. Apres avoir introduit lesnotations utilisees, nous supposons que les entrees, les sorties et les variables de sequen-cement du systeme LPV sont directement mesurables, et que la dependance fonctionnelledes parametres est donnee sous une forme polynomiale. D’autre part, nous decrivons brie-vement les rares methodes developpees jusqu’a present pour l’identification de modelesLPV-IO-CT.

88

4.1. Introduction

Pour cette classe de systemes, nous proposons une solution pratique d’identification, asavoir une reformulation particuliere des equations de donnees en utilisant le produit deKronecker qui montre qu’un systeme LPV SISO peut etre modelise sous forme d’une re-gression lineaire. Ceci permet l’utilisation des techniques initialement developpees dans lecadre LTI. Deux grandes familles d’algorithmes peuvent etre utilisees, a erreur d’equationet a erreur de sortie. Des travaux anterieurs ont montre que ces deux approches doiventetre developpees simultanement parce que pour les techniques d’erreur de sortie une bonneestimation initiale est necessaire, alors que pour les approches d’erreur d’equation, il esttypique d’avoir une estimation biaisee [Toh08]. Dans notre cas, les parametres du modeleLPV sont identifies par une methode d’estimation d’erreur de sortie, celles-ci sont baseessur la simulation d’un modele de la sortie et de ses fonctions de sensibilite, avec minimi-sation du critere quadratique par programmation non-lineaire. La propriete fondamentalede cette methode reside dans le fait qu’elle fournit une estimation asymptotiquementnon biaisee des parametres. Par contre, le probleme principal des methodes a erreur desortie est l’existence possible de plusieurs minima locaux vers lesquels peut convergerl’algorithme d’optimisation. C’est un probleme delicat qui peut etre contourne par l’ini-tialisation de l’algorithme en utilisant des methodes de type erreur d’equation [Toh08].Une approche possible est de generer une estimation initiale a l’aide de la technique desmoments partiels reinitialises a temps continu. En combinant les deux algorithmes d’iden-tification EE (EE pour Equation Error) et OE (OE pour Output Error), la convergencede la fonction de cout a minimiser vers l’optimum absolu est assuree avec une forte proba-bilite. Enfin, avant de conclure, les performances des algorithmes proposes sont illustreesa l’aide de simulations numeriques de Monte Carlo.

Toutefois, avant de presenter notre approche, il est opportun de s’interroger sur l’interetde ce type de representation et du modele correspondant dans le contexte de sa futureutilisation. Par exemple, les techniques de commande LPV sont generalement synthetiseesa temps continu, donc elles necessitent des modeles a temps continu precis et fiables. Enrevanche, les problemes d’identification des modeles LPV-CT sont largement non resolus,ce qui presente un ecart entre les methodes d’identification LPV disponibles et les besoinspour la synthese de correcteurs [LTGG11]. De plus, un avantage important des modelesentree/sortie (en particulier pour les systemes SISO), est qu’ils peuvent etre directementcalcules des lois de la physique dans leur forme continue. Afin de proposer une solutionpermettant l’identification directe des systemes LPV-IO-CT, nous presentons une nouvelleformulation des equations de donnees du modeles LPV. En fait, l’interet essentiel de cettereformulation est l’utilisation de techniques d’identification adaptees aux modeles lineairesLTI et qui peut etre vue comme une extension des algorithmes qui sont presentes dans[RRP71, OT11] aux cas de modeles LPV. Enfin, si l’objectif d’identification est d’avoirune meilleure connaissance du processus, la sortie du systeme n’est bien souvent accessibleque par l’intermediaire de mesures et par consequent est entachee de bruit. C’est cettederniere situation ou la sortie du systeme est perturbee par des bruits qui sera etudiee.

89


4.2 Identification globale : formulation et hypotheses

Cette section a pour finalite la formulation du probleme lie a l’identification globaledu comportement dynamique d’un systeme LPV SISO a l’aide d’un modele LPV. Leprobleme d’identification LPV est tres complexe. Afin de l’aborder on est oblige de fairedes hypotheses pour limiter le champs de l’etude. Dans cette section, nous presentonsla structure du modele que nous allons considerer dans ce chapitre. En outre, certaineshypotheses sont repertoriees et certaines notations sont introduites.

Soit le systeme LPV-IO-CT avec une dependance statique en la variable de sequence-ment ρ generant les donnees d’entree/sortie non bruitees exprime sous sa forme a tempscontinu :

A0(s, ρ)y0(t) = B0(s, ρ)u(t) (4.1)

ou s represente l’operateur differentiel tel que sx(t) = dx(t)dt

(dans la suite du memoire,l’operateur s sera alors utilise comme un operateur de derivation) ; ρ la variable de se-quencement avec ρ = ρ(t) et y0 est la sortie non bruitee du ”vrai systeme” a identifier ;A0(s, ρ) et B0(s, ρ) sont des expressions polynomiales de s d’ordre na et nb respectivementavec na > nb, et la dependance aux variables de sequencement ρ est donnee par :

B0(s, ρ) =

nb∑

j=0

b0j (ρ)sj

A0(s, ρ) =

na−1∑

i=0

a0i (ρ)s

i + sna (4.2)

On considere que le systeme LPV a temps continu est BIBO 17 stable pour toutes les tra-jectoires de ρ, c’est-a-dire que, pour toute entree bornee u, la sortie du systeme LPV y0

l’est egalement. On suppose que les signaux u(t) et y0(t) sont echantillonnes aux instants{tk = kTe}

N

k=1. Faisons l’hypothese que les perturbations agissent sur la sortie echantillon-nee non bruitee sous la forme d’un terme additif. La sortie y0 est perturbee par un bruita temps discret vk de moyenne nulle et de variance connue. Le terme de perturbation vk

est suppose non-correle avec le signal d’entree u et ρ (ici, le cas d’un systeme evoluant enboucle ouverte est considere). Le systeme LPV generant les donnees est represente par lafigure 4.1 et on peut l’ecrire sous la forme suivante :

y(t) = y0(t) + v(t) (4.3)

17. Bounded Input Bounded Output.

90

4.2. Identification globale : formulation et hypotheses

CT LPV Systemu(t) uk

v(t) vk

y0(t)

yk

ρ(t)

ρk

Figure 4.1 – Schema detaille du systeme LPV a temps continu.

Les modeles parametriques du systeme, dans notre cas, sont representes sous cetteforme LPV-IO :

A(s, ρ, θ)y0(t) = B(s, ρ, θ)u(t) (4.4)

ou les polynomes A et B sont donnes par

B(s, ρ, θ) =

nb∑

j=0

bj(ρ, θ)sj

A(s, ρ, θ) =na−1∑

i=0

ai(ρ, θ)si + sna (4.5)

On suppose que les parametres variables bj(ρ, θb) et ai(ρ, θa) sont des fonctions mero-morphe 18 de ρ, c-a-d, qu’elles ne presentent pas de singularite sur ρ.

bj(ρ, θb) =

r∑

l=0

bljfl

ai(ρ, θa) =

r∑

l=0

alifl (4.6)

ou{blj , a

li, l = 0, ..., r

}sont des coefficients constants. Le modele LPV-IO-CT est comple-

tement caracterise par le nombre reel de ces parametres. {fl(ρ), l = 0, ..., r} est fonction dela variable mesurable dans le temps ρ, avec une dependance statique, c-a-d, la dependancedes parametres variables est seulement sur la valeur temporelle instantanee de ρ(tk). Dansle cas general, de nombreux choix sont possibles pour les fonctions fl(ρ) et les valeurs decette fonction peuvent etre calculees directement a partir de ρ, par exemple, cos(ρ), oudu signal ρ(tk) lui-meme. En particulier si nous considerons une dependance polynomiale,les fonctions fl(ρ) sont tout simplement des puissances de ρ.

fl(ρ) = ρl l = 0, . . . , r (4.7)

18. Une fonction g est appelee meromorphe, si g = q

hou h est une fonction analytique et h n’est pas

nulle.

91


Dans ce cas, les parametres bj(ρ, θb) et ai(ρ, θa) ont la structure suivante :

bj(ρ, θb) = b0j + b1jρ+ ... + brjρr

ai(ρ, θa) = a0i + a1

i ρ+ ... + ariρ

r (4.8)

avec le vecteur parametre a identifier

θ = [θa θb]

=[a0

0, . . . , ar0, . . . , a

0na−1, . . . , a

rna−1, b

00, . . . , b

r0, . . . , b

0nb, . . . , brnb

]T

Dans le cas general, en l’absence de bruit, le modele LPV a temps continu d’ordre na

peut s’ecrire sous forme d’une regression lineaire comme suit :

y(na)(tk) = −na−1∑

i=0

r∑

l=0

alifl(ρ)y

(i)(tk) +

nb∑

j=0

r∑

l=0

bljfl(ρ)u(j)(tk) (4.9)

ou y(na)(tk) est la derivee ieme de y(tk), avec f0(ρ) = 1. De plus, il est possible d’exprimerla relation liant les signaux d’E/S de maniere compacte grace au produit de Kroneckersous la forme :

y(na)(tk) = Φ(tk)θT (4.10)

avecΦ(tk) = φT (In ⊗ F ) (4.11)

φ =[−y(tk), . . . , y

(na−1)(tk), u(tk), . . . , u(nb)]T

F = (1 f1(ρ) . . . fr(ρ))

θ =[a0

0, . . . , ar0, . . . , a

0na−1, . . . , a

rna−1, b

00, . . . , b

r0, . . . , b

0nb, . . . , brnb

]T(4.12)

In est la matrice identite de taille (n = na + nb + 1), θ ∈ ℜnr×1 est le vecteur qui contienttous les parametres a identifier 19. φT ∈ ℜ1×n, F ∈ ℜ1×r et Φ(tk) ∈ ℜ1×nr. Ici ⊗ designele produit de Kronecker et r est l’ordre des polynomes.

Le probleme d’identification pour les modeles LPV-IO-CT peut se definir commesuit en se basant sur les considerations precedemment decrites. En supposant les ordresnb, na et r connus, l’objectif consiste a estimer le vecteur des parametres du modeledu systeme LPV-IO-CT θ a partir de N echantillons des signaux d’entree/sortie, soitZN = {uk, yk, ρk}

Nk=1 genere par le systeme LPV (4.3). Par ailleurs, nous ne nous interes-

serons qu’aux techniques d’estimation parametrique basees sur la minimisation du criterequadratique.

V (ZN , θ) =1

N

N∑

k=1

(y(tk) − yθ(tk))2 (4.13)

19. Les notations utilisees pour designer une estimation, c-a-d, blj et al

i, sont abandonnees pour allegerla notation.

92

4.2. Identification globale : formulation et hypotheses

ou yθ(tk) est l’estimation de la sortie y(t). En se basant sur les hypotheses precedentes,nous allons nous interesser a la resolution du probleme d’identification.

En representation discrete, la plupart des modeles LPV sont naturellement lineairesdans les parametres LP. En continu, un traitement prealable des donnees d’entree/sortieest necessaire pour construire le regresseur et aboutir a un modele LP. L’identificationdes systemes a temps continu est difficile et un des problemes majeurs d’identificationdirecte de modeles a temps continu est la necessite d’obtenir les derivees des signauxd’E/S. Ce probleme est habituellement evite soit en utilisant des techniques d’erreur desortie pour estimer les parametres du modele, soit des methodes d’erreur d’equation quisont plus complexes a mettre en œuvre qu’en discret a cause du pre-traitement utilise.Toute tentative utilisant une approximation numerique de la derivation resulte en effeten une amplification des perturbations stochastiques. La solution consiste donc a filtrerconvenablement les donnees d’entrees-sorties du systeme. Les solutions proposees pourl’identification CT directe sont evidemment nombreuses. Celles qui sont principalementutilisees sont basees sur le filtrage (filtres lineaires), l’integration ou fonctions de modula-tion [You81, Tri87, GMR03] et ont ete essentiellement developpees pour les systemes LTI.Dans ce travail nous retiendrons la technique des Moments Partiels Reinitialises (MPR),c-a-d, des integrations sur des horizons tronques, pour ce traitement prealable des signauxd’E/S [Tri87]. Cette methode sera etendue au cas LPV et sera utilisee pour initialiser lamethode a erreur de sortie.

Recemment, dans le domaine de l’identification des systemes LPV-IO-CT une contri-bution importante est presentee dans [LTGG11], faisant l’extension de l’estimateur dela variable instrumentale SRIVC abrege par son acronyme anglo-saxon (pour SimplifiedRefined Instrumental Variable for Continuous-time models) [SS83, YGG08] aux systemesLPV. Cet estimateur a ete developpe a l’origine pour l’identification de modeles parame-triques LTI a temps continu et s’appuie sur l’estimateur de la variable instrumentale opti-male/FVE (FVE pour Filtre de Variables d’Etat). Cette methode d’identification est ba-see sur une reformulation particuliere MISO-LTI des equations de donnees, ce qui permetl’utilisation des techniques initialement developpees dans le cadre LTI. Il convient aussi denoter que ce chapitre se focalise sur les methodes d’estimation parametrique dans le do-maine temporel pour l’identification de modeles LPV-CT-IO. Les approches developpeesdans le domaine discret (voir par exemple [BG00, BMC05, GBFB06, TFHV07, LGTG10])ne sont donc pas abordees. Par ailleurs, les methodes fondees sur la decomposition ensous-espaces [VV05, FWV07, Win08, VV09] n’apparaissent pas non plus dans cette par-tie. Enfin, un panorama des algorithmes les plus recents d’estimation parametrique dessystemes LPV a temps discret et a temps continu peut etre trouve dans [SPN+12].

En se basant sur la formulation lineaire (4.10), il devient theoriquement possible d’ap-pliquer les algorithmes EE. Cela permet l’extension de la methode des moments partielsreinitialises (MPR) du cadre de l’identification LTI aux cas LPV et de fournir un moyenefficace d’initialisation des techniques d’estimation d’erreur de sortie pour des modelesLPV-IO-CT.

93


4.3 Methode fondee sur les Moments Partiels Reini-

tialises (MPR)

4.3.1 Introduction

L’initialisation des algorithmes d’optimisation du type erreur de sortie est un problemecrucial. Une bonne initialisation permet d’eviter les optimums locaux et ainsi mener a laconvergence globale. Dans ces travaux, nous proposons une approche pour l’initialisationde ces algorithmes pour approcher la convergence globale. Elle s’appuie sur les momentspartiels reinitialises presentes dans [Tri87]. Cette approche a erreur d’equation (EE) estutilisee dans le cas continu LTI. Une description complete de ces modeles est donnee en[Toh08, OT11] dans le contexte des systemes LTI et certains applications pour les systemesde genie electrique et en electronique sont presentes dans [CTGC95, CTGC96, DBDM07].Le modele CT MPR est base sur les moments partiels, c-a-d, des integrations sur deshorizons tronques. Cette approche peut etre classee parmi les methodes basees sur l’inte-gration [GMR03]. Cependant, en considerant un mecanisme de fenetre glissante appeleereinitialisation, ce modele est forme comme un filtrage des donnees. Cela signifie que cetteapproche peut etre egalement classee parmi les methodes basees sur le filtrage. En fait,c’est ce filtre implicite qui donne des bonnes proprietes de ce modele. L’interet essentielde cette approche est la simplicite de la solution analytique qui conduit a un optimumunique, puisque la sortie du modele MPR est lineaire dans les parametres. L’estimationdes parametres est obtenue par la methode des moindres carres. Par contre, comme leregresseur est correle avec la perturbation stochastique, l’estimateur des moindres carresest biaise [Lju99]. Malgre un biais sur les parametres, la methode fournit une bonne initia-lisation des algorithmes a erreur de sortie et une variable instrumentale peut etre utiliseedans le cas contraire. Les resultats obtenus dans le cadre LTI [Toh08] montrent l’efficacitedes moments partiels reinitialises pour l’initialisation des algorithmes a erreur de sortie.

4.3.2 Principe des MPR

Les systemes lineaires a temps continu peuvent etre decrits par une equation diffe-rentielle mais la derivation numerique successive de la sortie et celle de l’entree ne sontpas mesurables. En calculant les moments partiels de l’equation differentielle, les derivesdisparaissent [Toh08]. Pour une comprehension plus facile de l’approche MPR, nous allonsl’introduire grace a un exemple elementaire.

Considerons un systeme stable du premier ordre a temps continu defini par l’equationdifferentielle suivante

dy0(t)

dt= −a0y

0(t) + b0u(t) (4.14)

ou y0(t) est la reponse non-bruitee du systeme.

94

4.3. Methode fondee sur les Moments Partiels Reinitialises (MPR)

Definissons le moment partiel d’ordre n du signal κ(t) par

Mκn(T ) =

∫ T

0

tn

n!κ(t)dt (4.15)

Notons que le moment partiel CT est un moment standard CT tronque a horizon fini [0, T ].

Premierement, multiplions l’equation differentielle (4.14) par t et integrons de 0 a T .

∫ T

0

tdy0(t)

dtdt = −a0

∫ T

0

ty0(t)dt+ b0

∫ T

0

tu(t)dt (4.16)

En integrant par partie∫ T

0

tdy0(t)

dtdt (4.17)

on obtient le modele de sortie suivant

y0(T ) = −a0M

y0

1 (T )

T+ b0

Mu1 (T )

T+

My0

0 (T )

T(4.18)

La sortie y0(T ) peut etre reformulee comme suit

y0(T ) = a0α0y(T ) + b0β

0u(T ) + γy(T ) (4.19)

ou α0y(T ), β0

u(T ) et γy(T ) sont des fonctions des moments partiels. Ce modele est lineairepar rapport aux parametres, il peut donc etre utilise pour realiser une estimation parmoindres carres.

Deuxiemement, parce que la sortie y0(t) est inaccessible, elle est remplacee par lasortie mesuree y(t) = y0(t) + v(t) qui est perturbee par un bruit blanc v(t) supposede moyenne nulle et de variance σ2. Une etude montre qu’il existe une valeur optimaleTopt pour l’intervalle T , liee au temps de reponse du systeme, qui permet d’obtenir unevariance minimale (pour plus de details, nous suggerons au lecteur de voir [OT11]) 20. Parconsequent, pour beneficier de cette variance minimale a chaque instant, et pour eviter untemps de calcul augmente quand T augmente, les moments partiels reinitialises CT ontete introduites par [Tri87]. Le principe consiste a utiliser une fenetre glissante de largeurT a chaque instant t, (T est une estimation de Topt). D’ou l’introduction des momentspartiels reinitialises pour le signal κ definis par

Mκn (t) =

∫ T

0

τnκ(t− T + τ)dτ (4.20)

ou T est appele intervalle de renitialisation.

20. Pour le systeme du premier ordre definit par (4.14) et avec l’hypothese que la sortie est perturbee

par un bruit blanc de moyenne nulle, Topt =√

3a0

.

95


Troisiemement, en remplacant y0(t) par la sortie mesuree y(t) dans (4.18) et en consi-derant le modele MPR CT plutot que le moment partiel CT, les estimations de y(t) achaque instant t construites avec les mesures y(t) deviennent

y(t) = −a0My

1 (t)

T+ b0

Mu1 (t)

T+My

0 (t)

T(4.21)

Quatriemement, a l’aide du changement de variable µ = T − τ , le modele CT MPRprecedent devient

Mκ1 (t) = T

∫ T

0T−µ

Tκ(t− µ) dµ avec κ = y ou u

My0 (t) = T

∫ T

01Ty(t− µ) dµ

(4.22)

qui sont les produits de convolution suivants

Mκ1 (t) = T L(t) ∗ κ(t) avec κ = y ou u

My0 (t) = T

(

δ(t) − dL(t)dt

)

∗ y(t)(4.23)

ou

L(t) =

{T−t

Tif t ∈

[

0, T]

0 sinonδ(t) est la fonction de Dirac et ∗ est le produit de convolution

(4.24)

Notons que δ(t) est introduit dans le produit de convolution My0 (t) en raison de la dis-

continuite de L(t) a t = 0. Le modele MPR a temps continu du premier ordre est alorsdecrit par les produits de convolution, comme

y(t) = −a0(L(t) ∗ y(t)) + b0(L(t) ∗ u(t)) +(

δ(t) − dL(t)dt

)

∗ y(t) (4.25)

ou L(t) est un filtre a Reponse Impulsionnelle Finie (RIF). Ce sont les quatre etapesprincipales qui illustrent l’origine du modele MPR CT.

Le modele du systeme du premier ordre (4.25) peut etre reecrit sous la forme d’uneregression lineaire :

y(t) = ψ(t)θRPM + γy(t) (4.26)

ou

ψ(t) = [αy0(t) βu

0 (t)]T (4.27)

θRPM =[

a0 b0

]T

(4.28)

96

4.3. Methode fondee sur les Moments Partiels Reinitialises (MPR)

4.3.3 Modele LTI-RPM-CT d’ordre n

Pour un systeme CT du premier ordre , les calculs sont simples. Pour des systemesd’ordre superieure, une description complete est donnee dans [OT11]. Nous ne presentonsici que les resultats finaux.

Considerons un systeme LTI stable d’ordre na defini par la fonction de transfert

G(s) =b0 + b1s+ · · ·+ bnb

snb

a0 + a1s + · · ·+ ana−1sna−1 + sna, na ≥ nb (4.29)

Soient y0(t) = G(s)u(t) et u(t) respectivement la sortie et l’entree du systeme. Lemodele de sortie de se systeme peut etre decrit par un modele de MPR CT [OT11] definipar

y(t) =

nb∑

k=0

bkβuk (t) +

na−1∑

k=0

akαyk(t) + γy(t) (4.30)

ou

βu0 (t) = L(t) ∗ u(t)αy

0(t) = −L(t) ∗ y(t)

βuk (t) = dkL(t)

dtk∗ u(t) pour 1 ≤ k ≤ nb

αyk(t) = −dkL(t)

dtk∗ y(t) pour 1 ≤ k < na

γy(t) =(

δ(t) − dnaL(t)dtna

)

∗ y(t)

L(t) = (T−t)na tna−1

(na−1)!T naavec t ∈

[

0, T]

(4.31)

L(t) est un fitre RIF appele le filtre de MPR CT.Le modele du systeme d’ordre n (4.3.3) peut etre reecrit sous la forme d’une regressionlineaire :

y(t) = ψ(t)θRPM + γy(t) (4.32)

ou

ψ(t) =[αy

0(t), . . . , αyna−1(t), β

u0 (t), . . . , βu

nb(t)]T (4.33)

θRPM = [a0, . . . , . . . , ana−1 b0, . . . , bnb

]T

(4.34)

θRPM ∈ ℜn×1 et ψ(t) ∈ ℜ1×n.

Remarques :L’implementation des produits de convolution est decrite dans [OT11]. De plus, les rou-tines Matlab pour estimer les modeles MPR a temps continu peuvent etre telechargees apartir de ce lien : http ://laii.univ-poitiers.fr/ouvrard/.

97


4.3.4 Modele LPV-RPM-CT d’ordre n

Pour les systemes LPV, nous considerons le systeme LPV-IO-CT d’ordre na defini par(4.4). La reponse non bruitee y0(t) a l’entree u(t) du systeme peut etre modelisee par lemodele LPV-RPM-CT defini par

y(t) =

nb∑

j=0

bljβuj +

na−1∑

i=0

aliα

yi + γy(t) (4.35)

ouβu

0 = L(t) ∗ u(t)

αy0 = −L(t) ∗ y(t)

βuk = dkL(t)

dtk∗ u(t) pour 1 ≤ k ≤ nb

αyk = −dkL(t)

dtk∗ y(t) pour 1 ≤ k < na

γy(t) =(

δ(t) − dnaL(t)dtna

)

∗ y(t)

L(t) = (T−t)na tna−1

(na−1)!T naavec t ∈

[

0, T]

u = ρuy = ρy

(4.36)

A noter que de cette facon, la variation temporelle des coefficients est transposee surles signaux fl(ρ)y

(i)(t) et fl(ρ)u(j)(t), {l, i, j} ∈ {0, ..., r, 1, ..., na, 1, ..., nb}. Les polynomes

bj(ρ), ai(ρ) sont dependants de la variable de sequencement mesurable ρ, dont la structureest definie par (4.6).

Le modele du systeme LPV (4.35) peut etre reecrit sous la forme d’une regressionlineaire :

y(t) = ψ(t)θRPM + γy(t) (4.37)

ou

ψ(t) =[

αy0(t), . . . , α

yna−1(t), β

u0 (t), . . . , βu

nb(t)]T

(4.38)

θRPM =[a0

0, . . . , ar−10 , . . . , a0

na−1, . . . , ar−1na−1, b

00, . . . , b

r−10 , . . . , b0nb

, . . . , br−1nb

]T

(4.39)

θRPM ∈ ℜn(r−1)×1 et ψ(t) ∈ ℜ1×n(r−1).

La sortie du modele donnee par (4.37) a deux proprietes :– linearite par rapport aux parametres,– filtrage de la sortie bruitee.

Dans ce travail, les variables de sequencement sont considerees non-bruitees. La plupartdes methodes dediees a l’identification des modeles LPV sont fondees sur l’extension dela minimisation de l’erreur de prediction pour les systemes lineaires definie dans [Lju99].Comme dans [BG02], nous proposons une minimisation d’un critere quadratique pour

98

4.4. Algorithme a erreur de sortie pour les systemes LPV-OE

l’estimation des parametres du systeme. Ce critere peut etre minimise en utilisant uncertain nombre d’algorithmes connus y compris les techniques de regression lineaire clas-siques (comme les moindres carres) pour lesquelles une solution analytique existe. Lefait que cette methode d’identification n’ait pas recours aux algorithmes d’optimisationnon-lineaires simplifie considerablement sa mise en œuvre. Les parametres θRPM sontdetermines en utilisant l’estimateur des moindres carres, donne par :

θRPM =

N∑

k=K

ψ(kTe)ψT (kTe)

−1N∑

k=K

ψ(kTe) (y(kTe) − γy(kTe)) (4.40)

4.4 Algorithme a erreur de sortie pour les systemes

LPV-OE

4.4.1 Introduction

Si plusieurs methodes utilisant les algorithmes OE ont ete proposees dans le cadrede l’identification de modeles LPV a temps discret, a notre connaissance, aucune n’a enrevanche ete developpee pour le cas des modeles a temps continu. Plus proche de notreapproche sont les travaux de Lee et Poolla [LP99], qui traite le probleme de l’identificationde modeles LPV a temps discret

yk = P (ρ, θ)uk + vk

ou ρ est la variable de sequencement supposee mesurable. Pour estimer les parametresvariants des matrices de l’espace d’etat, le probleme est reduit a la resolution d’une opti-misation (programmation) non lineaire. L’approche proposee est fondee sur la techniquedu gradient qui consiste a rechercher l’optimum iterativement en se deplacant selon laligne de plus grande pente, c-a-d, dans la direction opposee au gradient.

Dans ce travail, le systeme LPV-IO (4.3) est a representation continue, il est donc pre-ferable d’utiliser une technique d’erreur de sortie pour estimer ses parametres. Pour fixerles idees, nous nous interessons particulierement a la methode mentionnee a la section 3.3,et nous presentons son extension a l’identification de modeles LPV a temps continu parune approche globale, ainsi que les specificites liees a la mise en œuvre de cet algorithme.Cet algorithme realise un compromis entre la stabilite de la methode du gradient et la ra-pidite de convergence de la methode de Gauss-Newton. L’avantage d’un tel algorithme estqu’aucune hypothese particuliere n’est necessaire sur les specifications du bruit de sortie.Cependant, ces approches peuvent converger vers un optimum local (on ne peut pas garan-tir la convergence vers un optimum global) et ont besoin d’un modele initial [TMO+08].De plus, cette technique est lourde a mettre en œuvre car elle necessite la simulation d’unmodele de la sortie et d’un modele de sensibilite a chaque iteration de l’algorithme d’op-timisation. Au-dela de ces defauts, qui deviennent secondaires grace a l’augmentation depuissance des calculateurs et l’utilisation de techniques de pre-optimisation pour cerner unoptimum global, cette methodologie permet de garantir un optimum asymptotiquement

99


non biaise par rapport aux perturbations stochastiques pour un fonctionnement en boucleouverte.

4.4.2 Principe

Considerons le systeme LPV-IO-CT decrit par le modele dependant du vecteur para-metres θ, tel que :

y(tk) = −na−1∑

i=0

r∑

l=0

aliρ

l(tk)y(i)(tk) +

nb∑

j=0

r∑

l=0

bljρl(tk)u

(nb−j)(tk) + v(tK) (4.41)

Soit θ une estimation de θ.

θ =[a0

0, . . . , ar−10 , . . . , a0

na−1, . . . , ar−1na−1, b

00, . . . , b

r−10 , . . . , b0nb

, . . . , br−1nb

]T

(4.42)

Alors, grace a l’excitation u(t) (connue a des instants d’echantillonnage u(tk), tels quet = kTe) et aux valeurs ρ(tk) connues a priori a chaque instant et en utilisant une techniqued’integration numerique en simulant un ensemble de representation d’etat (voir [TPM03]pour plus de details sur cette approche numerique), on obtient une simulation du systemedynamique, soit :

yθ(tk) = −

na−1∑

i=0

r∑

l=0

aliρ(tk)y

(i)

θ(tk) +

nb∑

j=0

r∑

l=0

bljρ(tk)u(nb−j)(tk) (4.43)

Ce signal est le resultat d’une simulation d’un modele non-lineaire en les parametres,connaissant u(tk), ρ(tk) et θ. On peut definir yθ(tk) et donc faire apparaitre les residusεOE(tk) :

εOE(tk) = y(tk) − yθ(tk) (4.44)

L’estimation optimale θopt est celle qui minimise le critere quadratique J :

J =1

N

N∑

k=1

ε2OE(tk) =

1

N

N∑

k=1

(yθ(tk) − yθ(tk))2 (4.45)

ou yθ(tk) est la mesure de la sortie perturbee par le bruit v(tk).

Le modele base sur l’estimation des parametres a l’iteration ii est donnee par

y(θii(ρ)) = ΦM (θii(ρ))θTii (4.46)

L’algorithme de Levenberg-Marquardt est etendu afin d’identifier les systemes LPV-IO-CT et il est defini par l’equation iterative proposee par [Mar63] :

θii+1 = θii −

{[

J′′

θθ + λI]−1

J′

θ

}

θ=θii

(4.47)

100

4.4. Algorithme a erreur de sortie pour les systemes LPV-OE

ou J′

θ et J′′

θθ sont le gradient et l’approximation de Gauss-Newton du Hessien definiesrespectivement par

J′

θ = −2

N

N∑

k=1

εOE(θ)σ(θ) (4.48)

J′′

θθ =2

N

M∑

k=1

σ(θ)σ(θ)T (4.49)

σ(θ) est le vecteur des fonctions de sensibilite σ(θ) = ∂yk

∂θet λ est le parametre de reglage

de l’algorithme. Il permet de passer de l’algorithme du gradient (λ >> 1) lorqu’on est loinde l’optimum a l’algorithme de Gauss-Newton (λ = 0) lorsqu’on est proche de l’optimum.Les algorithmes a erreur de sortie different surtout par la facon de gerer l’optimisation.Pour notre part, nous avons opte pour le calcul du gradient par les fonctions de sensibiliteparametrique. Le modele est donne par :

A(s, θii(ρ))y(θii(ρ)) = B(s, θii(ρ))u(t) (4.50)

ou

B(s, θii(ρ)) =

nb∑

j=0

bj(ρ)sj

A(s, θii(ρ)) =

na−1∑

i=0

ai(ρ)si + sna

Les fonctions de sensibilite sont calculees comme suit :

A(θii(ρ))σai(θii(ρ)) = −siy(θii(ρ)) (4.51)

A(θii(ρ))σbj(θii(ρ)) = sju(θii(ρ)) (4.52)

et le vecteur des fonctions de sensibilites peut etre ecrit comme suit :

σ = [σa0 , . . . , σana−1 , σb0, . . . , σbnb

] ⊗ F (4.53)

Meme si l’algorithme de Levenberg-Marquard est theoriquement tres performant dans lecadre d’une mauvaise initialisation, il s’agit d’une methode d’optimisation permettant laconvergence locale et non globale. Ce probleme fondamental peut etre resolu partiellementpar l’utilisation de l’algorithme d’optimisation avec differents parametres initiaux. Parconsequent, les valeurs optimales des parametres peuvent etre trouvees. Toutefois, cetteetape est couteuse en termes de temps de calcul. Une autre solution consiste a utiliserun algorithme EE pour fournir une bonne initialisation a proximite de l’optimum global.Dans ce contexte, le modele LPV-RPM-CT presente dans la section 4.3.4 est utilise.

101


4.5 Exemples de simulation

Dans cette section, la methode presentee dans ce chapitre est appliquee a differentssystemes. Nous allons illustrer la performance des algorithmes proposes sur des exemplesde simulation. Afin de tester les algorithmes que nous proposons, nous allons considererdes systemes a poles variables. Une caracteristique particuliere des systemes LPV est qu’ilsont une representation LTI pour chaque trajectoire constante de ρ. Dans ce cas, une tellerepresentation LTI du comportement du systeme LPV peut etre decrite par une fonctionde transfert classique. La variation des poles signifie que chaque pole de ces fonctions detransfert est fonction de ρ.

Le premier systeme LPV de simulation nous permet de valider l’application de la me-thode LPV-OE. Pour cet exemple nous avons choisi de detailler le comportement de ρ.Le second systeme est un systeme LPV avec deux parametres variables ou la dependancede ρ des parametres est non-lineaire. Le comportement de notre algorithme par rapportau niveau de bruit et a la variation de ρ est analyse.

4.5.1 Systeme1

Le systeme LPV considere est decrit par :

d2y0(t)

dt2= −a2(ρ)y0(t) − a1(ρ)

dy0(t)

dt+ b1(ρ)u(t)

y(t) = y0(t) + v(t). (4.54)

ou la dependance des parametres bj(ρ, θb) et ai(ρ, θa) est choisie sous forme polynomialeen une seule variable de sequencement ρ. Ces parametres ont la structure suivante :

b1(ρ) = 1 + 4ρ+ 1ρ2

a2(ρ) = 2 + 1ρ+ 3ρ2

a1(ρ) = 1 − 1ρ+ 2ρ2

La sortie non-bruitee du systeme LPV y0(t) est simulee avec un pas d’echantillonnageTe = 0.1s et une longueur N = 1000. Un bruit de moyenne nulle v(kTe) est ajoute auxechantillons de la sortie y0(t). Le terme de perturbation vk est suppose non-correle avecle signal d’entree u et avec ρ. Le signal d’excitation u(t) est defini comme une somme desinus : u(t) = sin(0.3t) + sin(0.7t) + sin(0.9t). La sortie correspondante y(t) non-bruiteeet la variable de sequencement dans le cas d’une variation lineaire sont presentees a lafigure 4.2.

Pour 34 differents points de fonctionnement, c-a-d, 34 valeurs fixes de ρ comprisesentre 0.1 et 2, on obtient le diagramme de Bode (le comportement frequentiel) representesur la figure 4.3. On remarque que la variation des modes du systeme a bases frequencespeut etre clairement observee.

102

4.5. Exemples de simulation

0 20 40 60 80 100−5

0

5

u(t

)

0 20 40 60 80 100−5

0

5

y(t

)

0 20 40 60 80 1000

1

2

Temps (s)

ρ(t)

Figure 4.2 – Jeu de donnees (variation lineaire de ρ).

−80

−60

−40

−20

0

20

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figure 4.3 – Diagramme de Bode pour 34 valeurs fixes de ρ ou ρ varie entre 0.1 et 2.

103


De plus, l’emplacement dans le plan complexe des poles du systeme pour des valeursfixes de ρ est represente a la figure 4.4.

−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0

−3

−2

−1

0

1

2

3

Real part

Imagin

ary

part

Figure 4.4 – Poles du systeme LPV pour des valeurs fixes de ρ.

La procedure d’identification est realisee en deux etapes principales :

1. le modele LPV-IO-CT initial est estime en utilisant l’approche LPV-RPM-CT, avecTopt = 50. Dans ce travail, le reglage de l’intervalle T est fait de facon empirique

comme suit : on augmente l’intervalle de valeurs T et pour chaque valeur on utiliseun test standard, tel que le critere quadratique ou le Fit, afin de trouver la meilleurevaleur T , c-a-d, au voisinage de Topt.

2. le modele obtenu a l’etape 1 est ensuite utilise pour initialiser l’algorithme deLevenberg-Marquardt.

4.5.1.1 Analyse des performances

Les performances des algorithmes sont etudiees a l’aide de simulations de Monte Carlo(Nexp = 100 realisations). La variance des bruits perturbant la sortie du systeme LPV estajustee de maniere a obtenir un certain rapport signal sur bruit (RSB), defini par :

RSB = 10log10(cov(y0)cov(v)

), ou v represente le bruit qui agit sur les sorties y0(t).

Bruits blancs en sortieLes bruits perturbant le signal de sortie sont definis comme des bruits blancs gaussiens,dont les variances sont ajustees de sorte que le RBS soit egal 10dB, 20dB et 100dB, voirfigure 4.5.

104


0 20 40 60 80 100−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

y(t

)

Temps (s)

RSB=100dB

0 20 40 60 80 100−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

y(t

)

Temps (s)

RSB=20dB

0 20 40 60 80 100−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

y(t

)

Temps (s)

RSB=10dB

Figure 4.5 – Signal de sortie mesure pour une realisation du bruit.

Pour avoir une mesure d’ensemble de la qualite des estimations, les tableaux 4.1, 4.2et 4.3 montrent les resultats d’estimation, a savoir la valeur moyenne des parametresestimes, leur ecart-type et l’erreur quadratique moyenne relative (normalized root meansquare error (RMSE)) sur les parametres calculee par :

RMSE =

√√√√ 1

Nexp

Nexp∑

q=1

(

θ0j − θj(q)

θ0j

)2

(4.55)

ou θj(q) represente l’estimee du jieme element du vecteur de parametre θ, l’exposant ’o’indique la valeur reelle du parametre.

Afin d’etudier l’influence du bruit sur la qualite des estimes, l’algorithme propose estapplique avec differents niveau de bruit. La moyenne et l’ecart-type sur les parametres es-times sont representes en fonction de ces niveaux a la figure 4.8. On constate, tout d’abord,que la methode d’identification LPV-OE proposee fournit de bons resultats. Pour ces ni-veaux de bruit, les parametres estimes sont tres proches des parametres reels. L’analysedu tableau revele que l’ecart-type et l’erreur quadratique moyenne relative pour la partienominale des coefficients (a0

i et b0j ) sont faibles alors qu’ils augmentent considerablementpour les coefficients (a2

i et b2j ).

105


Table 4.1 – Resultats de simulation de Monte Carlo (SNR = 100dB).SNR 100dB

True θRPMInit mean std RMSE

a01 1 0.8887 0.9994 0.0360 0.0351a1

1 -1 -0.8686 -1.0147 0.1974 0.1929a2

1 2 1.9407 2.0335 0.2038 0.1007a0

2 2 1.9513 2.0278 0.0939 0.0478a1

2 1 1.0473 0.8578 0.5476 0.5523a2

2 3 2.9021 3.1434 0.4904 0.1663b01 1 0.9713 1.0301 0.0925 0.0951b11 4 4.9892 3.8512 0.5611 0.1417b21 1 0.8351 1.1335 0.4374 0.4467



a01 1 0.7688 1.0024 0.0813 0.0793a1

1 -1 -1.0803 -1.0510 0.4477 0.4393a2

1 2 1.7415 2.0974 0.4619 0.2303a0

2 2 1.6340 2.0708 0.2086 0.1076a1

2 1 0.9131 0.6393 1.2116 1.2348a2

2 3 2.1385 3.3764 1.1155 0.3835b01 1 1.3139 1.0746 0.2073 0.2154b11 4 3.4603 3.6337 1.2445 0.3168b21 1 0.3034 1.3471 0.9950 1.0301



a01 1 0.5638 1.0645 0.1924 0.1983a1

1 -1 -0.5203 -1.3666 0.6695 0.7485a2

1 2 1.2659 2.3628 0.6817 0.3785a0

2 2 2.0012 2.1561 0.2948 0.1635a1

2 1 0.4417 0.0804 1.4255 1.6662a2

2 3 1.8653 3.9092 1.5247 0.5807b01 1 1.2801 1.1694 0.3080 0.3447b11 4 2.0366 3.1254 1.5608 0.4387b21 1 -0.1526 1.8268 1.3786 1.5777

106


Afin d’avoir une comparaison visuelle, les sorties simulees (sous les memes conditionsd’excitation que celle utilisees pour l’estimation) avec les estimees du modele final et cellesdu modele initial obtenu par la methode LPV-RPM au cours d’une de ces simulationssont tracees sur la figure 4.6. En tracant les reponses temporelles, on voit sur le zoomque, le modele LPV est capable de reproduire le comportement dynamique temporelavec une excellente approximation. L’efficacite de cette approximation apparaıt clairementsur la courbe d’erreur representee sur la figure 4.7. D’autre part, l’etape d’optimisationnon lineaire est necessaire, car les erreurs dans le test de la methode LPV-RPM sontplus grandes. De plus, on constate que, malgre une grande variation dans les parametresestimes (a2

i et b2j ), les sorties estimees restent proches du signal de sortie sans bruit (pourun essai a RSB = 20dB). Il apparaıt donc que ces valeurs de parametres ont une faiblecontribution au signal de sortie observe dans ces conditions d’excitation. Ainsi, en termede minimisation du critere quadratique, leur role est moins important, ce qui se traduit parun ecart relativement important de leurs estimations dans le cas ou la sortie est bruitee.Ce fait souligne que la conception d’entree de l’experience est necessaire pour minimiserla variance des estimations de ces parametres (a2

i et b2j ). Cependant, il y a un manquede methodes de conception d’entree adaptees a l’identification des systemes LPV (voir[LTGG11]) et le concept d’excitation persistante n’est pas encore bien developpe pourles modeles LPV. Par consequent, la qualite du modele LPV estime ne peut pas etreseulement jugee a partir des valeurs des parametres.

0 2 4 6 8 10−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y(t

)

Sorties de simulation et d’estimation par MPR

Temps (s)

mesuréesimuléeestimée MPR

0 2 4 6 8 10−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y(t

)

Temps (s)

Sorties de simulation et d’estimation par OE

mesuréesimuléeestimée OE

Figure 4.6 – Sorties : bruitee (-), non bruitee (...) et estimee (–), RSB = 20dB.

Pour avoir une mesure d’ensemble de la qualite de l’identification du modele LPV,les sorties estimees sont comparees au signal de sortie sans bruit. Pour une simulation deMonte Carlo de Nexp = 20 realisations on calcule le Fit :

Fit = 100 ×

(

1 −‖y − y‖

‖y − mean(y)‖

)

(4.56)

avec– y : la valeur de la sortie non bruitee ;– y : sortie simulee ;

107


0 20 40 60 80 100−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Err

eur

Temps (s)

ysim − ympr

0 2 4 6 8 10−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Err

eur

Temps (s)

ysim − yoe

Figure 4.7 – Erreur entre la sortie non bruitee et les sorties estimees ympr et yoe.

Table 4.4 – Valeurs du Fit.100dB 20dB 10dB

min max moy min max moy min max moy95.73 96.46 96.14 94.31 95.65 95.07 92.28 95.21 94.00

Les valeurs minimale, maximale et moyenne du Fit pour differents niveaux de bruit sontaffichees dans le tableau 4.4 En calculant les Fits, il peut etre remarque que pour toutesles simulations, la methode LPV-OE ne semble pas etre trop affectee par les bruits. Enoutre, les resultats obtenus montrent que le modele LPV fournit de meilleurs resultatspour des bruits faibles, meme si les resultats qui restent acceptables lorsque le bruit estplus important.

Afin de monter l’interet d’utiliser la methode LPV-OE, on effectue les memes simula-tions a partir de differentes excitations sur la variable de sequencement ρ.

Variation sinusoıdale de ρ

Nous nous interessons maintenant au cas ou ρ est une fonction sinus. Les methodesutilisees sont LPV-RPM pour l’initialisation et LPV-OE pour l’estimation finale. Lapremiere estimee du modele LPV-IO-CT est donnee en utilisant l’approche LPV-RPM,avec un Topt = 50. L’algorithme LPV-OE est utilise pour estimer le modele LPV final.Le signal d’excitation non-bruite u(t) est defini comme une somme de sinus : u(t) =sin(0.3t) + sin(0.7t) + sin(0.9t) et avec la variable de sequencement ρ(t)=sin((2π/12)t).La sortie correspondante y(t) non-bruitee et la variable de sequencement dans le cas d’unvariation sinusoıdale sont presentees a la figure 4.9.

La variation des poles du systeme pour les valeurs prises par ρ est illustree a la figure4.10.

Les resultats fournis par la methode LPV-OE sont resumes dans les tableaux 4.5, 4.6,

108


0 2 40.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3a0

1

0 2 4−2.2

−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6a1

1

0 2 41.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2a2

1

10dB

20dB

100dB

0 2 41.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5a0

2

0 2 4−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2a1

2

0 2 42

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5a2

2

0 2 40.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5b0

1

0 2 41.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5b1

1

0 2 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5b2

1

Figure 4.8 – Moyennes et ecarts-types des estimees en fonction du niveau de bruit(100dB, 20dB et 10dB).

109


0 20 40 60 80 100−5

0

5u(t

)

0 20 40 60 80 100−5

0

5

y(t

)

0 20 40 60 80 100−1

0

1

Temps (s)

ρ(t

)

Figure 4.9 – Jeu de donnees.

−2 −1.5 −1 −0.5 0−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Real part

Imag

inar

ypar

t

Figure 4.10 – Poles du systeme LPV pour ρ(t)=sin((2π/12)t).

110


Table 4.5 – Resultats de simulation de Monte Carlo (SNR = 100dB).True θRPM

Inti mean std RMSE

a01 1 0.8196 1.0873 0.2177 0.2285a1

1 -1 -0.6210 -0.9461 0.3154 0.3107a2

1 2 1.7299 1.8774 0.2035 0.1162a0

2 2 2.0814 1.9538 0.1463 0.0747a1

2 1 0.2545 1.0971 0.1429 0.1693a2

2 3 3.273 3.0648 0.2391 0.0803b01 1 1.0227 1.0055 0.0913 0.0887b11 4 3.1178 4.0270 0.3215 0.0783b21 1 0.5267 1.0724 0.1082 0.1275


Inti mean std RMSE

a01 1 0.5319 1.0198 0.4295 0.4171a1

1 -1 -0.5361 -0.8894 0.5681 0.5621a2

1 2 1.4280 1.9190 0.4630 0.2282a0

2 2 1.7668 1.8963 0.2486 0.1313a1

2 1 0.1065 1.1082 0.2682 0.2817a2

2 3 1.9742 3.0069 0.4595 0.1486b01 1 0.6654 0.9650 0.1668 0.1656b11 4 3.002 3.8864 0.6162 0.1521b21 1 -0.4911 1.0574 0.2325 0.2327

4.7 et 4.8. Les moyennes et ecarts-types des estimees en fonction du niveau de bruit setrouvent a la figure 4.11.


Inti mean std RMSE

a01 1 0.571 0.9971 0.5966 0.5788a1

1 -1 -0.2718 -0.8936 0.7119 0.6988a2

1 2 1.6883 1.9717 0.6544 0.3177a0

2 2 2.6883 1.8569 0.3321 0.17637a1

2 1 0.2260 1.1117 0.3607 0.3673a2

2 3 2.6936 3.0071 0.5851 0.1892b01 1 1.2648 0.9431 0.2203 0.2212b11 4 1.7010 3.8107 0.8420 0.2096b21 1 -0.8316 1.0365 0.3399 0.3318

111


0 2 40.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8a0

1

0 2 4−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0a1

1

0 2 4

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8a2

1

0 2 41.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3a0

2

0 2 40.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5a1

2

0 2 4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8a2

2

0 2 4

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2b0

1

0 2 42.5

3

3.5

4

4.5

5b1

1

0 2 4

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4b2

1


112




On constate pour ces niveaux de bruit, que les resultats obtenus sont proches de ceuxobtenus en utilisant le modele LPV ou ρ varie lineairement (voir tableau 4.4).

Variation multi sinus de ρ

Nous nous interessons maintenant au cas ρ est une fonction multi sinus. Les methodesutilisees sont donc LPV-RPM pour l’initialisation de la methode LPV-OE. La premiereestimee du modele LPV est donnee en utilisant l’approche LPV-RPM, avec un Topt = 25.L’algorithme LPV-OE est ensuite utilise pour estimer le modele LPV final. Le signald’excitation u(t) est defini comme une somme de sinus : u(t) = sin(0.3t) + sin(0.7t) +sin(0.9t). La sortie correspondante y(t) non bruitee et la variable de sequencement dansle cas d’une variation multi sinus sont presentees a la figure 4.12.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−4

−2

0

2

4

u(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−5

0

5

y(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

Temps (s)

ρ(t

)


L’emplacement des poles du systeme pour des valeurs prises de ρ est illustre a la figure4.13.

Les resultats obtenus pour une fonction multi sinus sont presentes dans les tableaux4.9, 4.10, 4.11 et 4.12. Les moyennes et ecarts-types des estimees en fonction du niveaude bruit se trouvent a la figure 4.14.

113


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Real part

Imag

inar

ypar

t

Figure 4.13 – Poles du systeme LPV pour ρ multi sinus.


Init mean std RMSE

a01 1 1.2191 1.0119 0.0832 0.0820a1

1 -1 -1.0821 -0.9905 0.3285 0.3203a2

1 2 2.736 1.9368 0.2907 0.1451a0

2 2 2.1267 2.0166 0.0928 0.0460a1

2 1 1.5369 0.9823 0.2478 0.2422a2

2 3 2.3517 3.0015 0.3620 0.1176b01 1 1.3795 1.0080 0.0606 0.0596b11 4 2.7291 4.0357 0.1776 0.0442b21 1 -1.8963 0.9642 0.3504 0.3434

114





Init mean std RMSE

a01 1 1.0413 1.0273 0.1681 0.1661a1

1 -1 -0.5876 -0.9746 0.6729 0.6563a2

1 2 1.0335 1.8545 0.6055 0.3039a0

2 2 2.7833 2.0396 0.1815 0.0906a1

2 1 -0.7721 0.9635 0.4419 0.4322a2

2 3 2.0335 3.0084 0.6540 0.2125b01 1 1.0335 1.0199 0.1216 0.1202b11 4 2.0366 4.0806 0.3588 0.0897b21 1 -1.2949 0.9289 0.6545 0.6419


Init mean std RMSE

a01 1 1.5459 1.0379 0.2483 0.2450a1

1 -1 -0.7721 -0.9522 1.0163 0.9917a2

1 2 2.1137 1.7976 0.8831 0.4421a0

2 2 1.8242 2.0585 0.2573 0.1287a1

2 1 0.1985 0.9519 0.6480 0.6334a2

2 3 -0.1985 3.0454 0.9385 0.3053b01 1 1.2420 1.0358 0.1737 0.1730b11 4 1.3426 4.0723 0.5363 0.1319b21 1 1.2968 0.9851 1.0130 0.9875

A nouveau, on constate que la methode LPV-OE donne des bons resultats, prochesde ceux obtenus dans le cas de la simulation avec ρ lineaire.

Discussion

De maniere generale, les estimations fournies par la methode LPV-OE pour les dif-ferentes variations de ρ donnent une qualite d’approximation semblable. Le modele LPVparvient a approximer correctement la sortie en terme de fitting, en particulier pour unRSB=100dB. Cela peut etre confirme par les valeurs de Fit correspondantes rappeleesdans le tableau 4.13. D’ailleurs, pour cet exemple, on peut remarquer que pour toutes les

115


0 2 40.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4a0

1

0 2 4−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5a1

1

0 2 40.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8a2

1

0 2 41.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5a0

2

0 2 40.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6a1

2

0 2 42

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4a2

2

0 2 40.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25b0

1

0 2 43.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5b1

1

0 2 4−0.5

0

0.5

1

1.5

2b2

1


116


Table 4.13 – Valeurs du Fit.RSB 100dB 20dB 10dBFit min max moy min max moy min max moy

ρ lineaire 95.73 96.46 96.14 94.31 95.65 95.07 92.28 95.21 94.00ρ sinus 96.05 98.46 97.54 92.67 97.08 95.48 90.45 95.21 93.70

ρ multi sinus 92.51 95.03 94.21 91.38 94.47 93.12 88.52 93.73 91.78

simulations, la pire valeur Fit du modele LPV estime est superieure a 88%. La methodeLPV-OE semble n’etre pas trop affectee par les bruits forts. Par contre, on constate quelorsque les variations de la variable de sequencement augmentent, les performances de lamethode LPV-OE diminuent.

4.5.2 Systeme2

Considerons dans ce qui suit un autre systeme LPV a deux parametres variables :

{

y0(t) = −a0(ρ)sy0(t) + b0(ρ)u(t)

y(t) = y0(t) + v(t).(4.57)

Dans cet exemple, la dependance de la variable de sequencement ρ des deux parametresest non-lineaire, telle que :

a0(ρ) = 0.5 + (0.6 ∗ exp(−sin(0.03 ∗ ρ))

b0(ρ) = 1 +8000 ∗ cos(0.06 ∗ ρ)

ρ2(4.58)

Ces deux fonctions de ρ sont representees sur la figure 4.15. Dans cet exemple, noussupposons que la variable de sequencement ρ varie entre une valeur minimale de 60 etmaximale de 140.

Les simulations du systeme LPV sont realisees sur le systeme decrit par (4.57). Lesvaleurs des signaux d’entree/sortie non bruites sont echantillonnees avec une perioded’echantillonnage Te = 0.1s, et la longueur du jeu de donnees est N = 3000. Le si-gnal d’excitation u(t) = sin(0.1t) + sin(0.4t) + sin(0.6t), la variable de sequencement ρet le signal de la sortie du systeme LPV sont donnes a la figure 4.16.

L’objectif est d’identifier ce modele du systeme LPV en utilisant l’approche globaleproposee dans cette section. Selon (4.8), nous allons modeliser la dependance du vecteurde parametre a la variable de seqencement ρ en utilisant des fonctions polynomiales destructure :

a0(ρ) = a00 + a1

0ρ+ a20ρ

2 + a30ρ

3

b0(ρ) = b00 + b10ρ+ b20ρ2 + b30ρ

3 (4.59)

avec le vecteur parametre a identifier

θ =[a0

0, . . . , a30, b

00, . . . , b

30

]T(4.60)

117


70 80 90 100 110 120 130 140

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

ρ

a0(ρ

)

70 80 90 100 110 120 130 140−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

ρb 0

(ρ)

Figure 4.15 – Variation des parametres a0(ρ) et b0(ρ) en fonction de la variable desequencement ρ.

0 50 100 150 200 250 300−5

0

5

u(t

)

0 50 100 150 200 250 300−5

0

5

y(t

)

0 50 100 150 200 250 30050

100

150

Time (s)

ρ(t

)


118


4.5.2.1 Analyse des performances

Comme lors de l’exemple precedent, l’algorithme LPV-OE est utilise pour identifier lesparametres du modele LPV. Le modele d’initialisation est estime en utilisant l’approcheLPV-RPM, avec Topt = 25.La reponse temporelle du systeme LPV est representee sur la figure 4.17 et comparee acelle du modele final obtenu en utilisant la methode LPV-OE et celle du modele initialobtenu par LPV-RPM. Ces reponses montrent que les deux methodes LPV-RPM et LPV-OE sont capables de fournir une bonne approximation dans le domaine temporel (voir,figure 4.18), avec toutefois un avantage pour la methode LPV-OE. L’efficacite de cetteapproximation apparaıt clairement sur la courbe des erreurs temporelles representees parla figure 4.18.

0 20 40 60 80 100−3

−2

−1

0

1

2

3

y(t

)

Sorties simulation et estimation MPR

Temps (s)

simuléeestimée

0 20 40 60 80 100−3

−2

−1

0

1

2

3

y(t

)

Temps (s)

Sorties simulation et estimation OE

simuléeestimée

Figure 4.17 – Sorties simulee non bruitee (continu) et estimee (tiret).

0 20 40 60 80 100−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−3

Err

eur

norm

alise

e

Temps (s)

ysim − ympr

0 20 40 60 80 100−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

−3

Err

eur

norm

alise

e

Temps (s)

ysim − yoe

Figure 4.18 – Erreur entre les sorties non bruitees et estimees.

Bruits blancs en sortie

119


Un bruit de moyenne nulle v(kTe) est ajoute aux echantillons de la sortie y0(t). Lesbruits perturbant le signal de sortie sont definis comme des bruits blancs gaussiens, dontles variances sont ajustees de sorte que le rapport signal sur bruit soit egal a 10dB, 20dBet 100dB, voir figure 4.19.

Afin de verifier la validite des modeles obtenus, on realise une comparaison directeentre la sortie du modele et la sortie du systeme LPV non bruitee, soumis aux memesentrees. Le Fit entre leurs comportements dynamiques est utilise comme critere pour ap-precier la qualite de l’identification.

0 50 100 150 200 250 300−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

y(t

)

Time (s)

RBS 100dB

0 50 100 150 200 250 300−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

y(t

)

Time (s)

RBS 20dB

0 50 100 150 200 250 300−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

y(t

)

Time (s)

RBS 10dB

Figure 4.19 – Signal de sortie bruitee en fonction du RSB.

Le tableau 4.14 presente les valeurs du Fit pour les deux sorties selon la methoded’identification utilisee LPV-RPM et LPV-OE, respectivement.

100dB 20dB 10dBFitRPM 97.76 % 96.11 % 95.34 %FitOE 98.35 % 97.74 % 97.66 %

Table 4.14 – Valeurs du Fit.

On peut constater que la methode basee sur LPV-RPM fournit des resultats accep-tables, proches de ceux de la methode LPV-OE en terme de fitting. Toutefois, ce dernier

120


algorithme donne de meilleurs resultats. Enfin, en tracant la variation des parametres esti-mes en fonction de ρ pour differents niveau de bruit, on constate que la methode LPV-OEfournit de meilleures estimees des coefficients des polynomes d’interpolation que LPV-RPM en terme de biais (indiquant par consequent que l’erreur minimisee par LPV-OEest ”plus faible” que celle minimisee par la methode LPV-RPM (voir les figures 4.20, 4.21et 4.22). Ces figures permettent de comparer la qualite d’approximation obtenue a partirdes methodes LPV-RPM et LPV-OE. On peut remarquer dans cet exemple, que lorsquele niveau de bruit augmente, les performances de la methode LPV-RPM se degradentsignificativement.

70 80 90 100 110 120 130 140

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

a0(ρ

)

ρ

a0(ρ) real

a0(ρ) OE

a0(ρ) RPM

70 80 90 100 110 120 130 140−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

b 0(ρ

)

ρ

b

0(ρ) real

b0(ρ) OE

b0(ρ) RPM

Figure 4.20 – Comparaison entre les parametres a0(ρ) et b0(ρ), et les parametres obtenusa partir des methodes LPV-RPM et LPV-OE, RSB = 100dB.

70 80 90 100 110 120 130 140

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

ρ

a0(ρ

)

a

0(ρ) real

a0(ρ) OE

a0(ρ) rpm

70 80 90 100 110 120 130 140−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

ρ

b 0(ρ

)

b

0(ρ) real

b0(ρ) OE

b0(ρ) rpm

Figure 4.21 – Comparaison entre les parametres a0(ρ) et b0(ρ), et les parametres obtenusa partir des methodes MPR et OE, RSB = 20dB.

Globalement, pour cet exemple, on peut conclure que les non linearites ont ete reje-tees dans la variable de sequencement dont dependent les fonctions d’interpolation. Eneffet, la methode LPV-OE permet d’obtenir un modele dote d’une structure qui depend

121


70 80 90 100 110 120 130 140

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

ρ

a0(ρ

)

a0(ρ) real

a0(ρ) OE

a0(ρ) rpm

70 80 90 100 110 120 130 140−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

ρ

b 0(ρ

)

b

0(ρ) real

b0(ρ) OE

b0(ρ) rpm

Figure 4.22 – Comparaison entre les parametres a0(ρ) et b0(ρ), et les parametres obtenusa partir des methodes MPR et OE, RSB = 10dB.

lineairement de la variable de sequencement et capable d’apprehender avec une precisiondonnee la complexite du systeme.

4.6 Conclusion

Ce dernier chapitre a permis de rappeler deux algorithmes d’identification a tempscontinu, le premier base sur une identification par erreur d’equation et le second sur uneidentification par erreur de sortie, sur lesquels repose notre technique d’identification glo-bale des systemes LPV. En fait, les methodes d’identification globales a temps continudeveloppees au cours de ce chapitre sont basees en premier lieu sur l’utilisation d’une me-thode qui s’appuie sur les MPR pour estimer un modele initial, puis le modele obtenu estensuite utilise pour initialiser la methode d’estimation iterative de Levenberg-Marquardt.Ces outils s’averent d’usage tres general pour identifier une large classe de systemes. Eneffet, une etude s’appuyant sur des simulations numeriques a permis d’illustrer les per-formances des methodes d’identification presentees et d’estimer les parametres du modeleLPV a partir de donnees temporelles avec un certain degre de precision en depit de lapresence de perturbations (bruit de mesure).

Par ailleurs, la methode d’identification LPV globale par erreur de sortie qui repose surune representation E/S a montre son efficacite malgre sa complexite de mise en œuvre. Ilsuffit, la plupart du temps, de realiser une bonne initialisation du vecteur des parametresdu systeme LPV pour obtenir des estimations non biaisees du vecteur des parametres aussibien dans le cas de faible rapport signal sur bruit qu’en presence d’une grande quantitede bruit.

Nous avons propose, a la fin de ce chapitre, une application de notre technique d’iden-tification globale sur un systeme LPV avec deux parametres variables ou la dependance deρ des parametres est non-lineaire. L’objectif est de proposer un modele LPV ou les para-

122

4.6. Conclusion

metres ont une dependance lineaire de la variable de sequencement de type polynomiale.On constate, apres exploitation des resultats obtenus, que le modele LPV-OE arrive areproduire assez correctement le comportement dynamique du systeme traite.

Peu de travaux s’interessant a ce probleme ont ete effectues, et ce domaine de rechercheest encore tres largement ouvert. De plus, la methode proposee peut etre utilisee sur dessystemes non lineaires reels. Cette etude n’est pas realisee dans ce memoire et reste uneperspective de recherche tres interessante et prometteuse.

123


124

Conclusion generale

Le travail de recherche presente dans ce memoire est une contribution a l’estimationdes modeles lineaires a parametres variants a temps continu. L’application qui a motive cetravail concerne la detection de l’encrassement dans les echangeurs de chaleur et s’inscritdans le projet DESURENEIR du Programme Interdisciplinaire Energie du CNRS. Apresdes essais classiques d’estimation des parametres de modele lineaires a temps invarianten differents points de fonctionnement de l’echangeur thermique, la dependance de cesparametres aux debits massiques des fluides mis en jeu dans l’echangeur est clairementapparue et a oriente nos recherches vers la modelisation LPV. Pour correler cette obser-vation, il est bien connu des specialistes que les debits massiques affectent directementcertains parametres physiques, provoquant des changements de comportement dynamiquedu processus.

De par la difficulte et le cout en temps pour obtenir des donnees sur un echangeurreel, ce travail a ete mene en utilisant un simulateur realiste des echangeurs etudies, si-mulateur cale a partir de donnees reelles issues d’un banc d’essai construit au laboratoireTEMPO de Valenciennes. L’interet d’utiliser des donnees simulees en phase de mise aupoint d’algorithme est indeniable car cela permet de concentrer l’etude sur les pheno-menes physiques que l’on souhaite etudier sans etre perturbe par des problemes connexes(bruits, fonctionnement en boucle fermee, etc.) problemes qu’il faudra etudier dans unsecond temps.

Nous avons ainsi pu proposer une methodologie generale et originale de conceptionde modele des echangeurs thermiques sous forme quasi-LPV ou les variables de sequence-ment sont les debits massiques, debits qui sont souvent mesurables en temps reel. Cettemethodologie a ete introduite pas a pas pour la caracterisation d’un echangeur a courantscroises puis pour celle d’un echangeur a contre-courants montrant la genericite de l’ap-proche pour la modelisation des echangeurs thermiques. La difficulte d’obtenir en pratiquedes donnees sur un large domaine de variation a oriente la modelisation vers une approchelocale. Celle-ci est basee sur une estimation initiale de modeles LTI en differents pointsdu domaine de fonctionnement. Ces estimations permettent alors de construire le modeleLPV en agregeant les parametres des differents modeles locaux grace aux variables desequencement. Pour realiser ceci, une methode d’interpolation polynomiale a ete utiliseeet comparee avec une approche de la litterature. Les resultats montrent la pertinence dumodele obtenu. Finalement, le modele quasi-LPV de l’echangeur en fonctionnement nonencrasse permet d’envisager la detection de l’encrassement dans les echangeurs de cha-

125

Conclusion generale

leur dans des conditions dynamiques et realistes. On notera que, bien que cette partie dutravail soit appliquee aux echangeurs thermiques, elle peut etre egalement utilisee pourd’autres applications.

L’inconvenient majeur des approches locales reside dans la necessite d’obtenir les mo-deles LTI dans l’espace de fonctionnement de l’application etudiee, d’ou un nombre im-portant d’essais a realiser. L’approche globale, bien que difficile a mettre en œuvre dansde nombreuses applications comme celle des echangeurs de chaleur, presente l’interet dene necessiter qu’un essai pour construire le modele LPV. Certes, l’excitation doit etre suf-fisamment riche pour sensibiliser les differents modes du systeme, mais dans certains cas,c’est une hypothese assez realiste. Dans l’objectif d’estimer les parametres d’un modeleLPV a temps continu par une approche globale, nous avons propose des algorithmes fondessur l’utilisation de methodes standards d’erreur de sortie. Pour approcher la convergenceglobale, nous avons utilise une approche de type erreur d’equation qui s’appuie sur lesMoments Partiels Reinitialises pour initialiser l’algorithme a erreur de sortie. Une descontributions principales reside dans la proposition d’une solution via une reformulationparticuliere des equations de donnees en utilisant le produit de Kronecker en un modeleinvariant dans le temps. Au travers de differentes simulations, nous avons teste les al-gorithmes proposes dans differentes conditions d’excitation et de bruit. Nous avons ainsipu constater les qualites des resultats obtenus meme lorsque des non linearites lient lesparametres a la variable de sequencement.

Les resultats proposes dans cette these sont encourageants mais de nombreuses ame-liorations peuvent etre apportees. Ils ouvrent egalement de multiples perspectives de re-cherche a explorer.

Dans le cadre de l’application aux echangeurs de chaleur, la methodologie de concep-tion du modele sous forme quasi-LPV et la technique de detection de l’encrassementdemandent a etre validees en situation reelle. Pour ceci, nous comptons sur un nouveaubanc d’essai en cours de developpement au laboratoire TEMPO. Ce nouveau banc d’es-sai est de conception plus simple que celui utilise dans cette these afin de controler plusefficacement les phenomenes physiques mis en jeu. A noter que ce projet ne s’arrete pasavec la fin du programme DESURENEIR puisqu’une demande de financement ANR aete deposee dans le programme ”SEED - Systemes energetiques efficaces et decarbones”.Dans ce projet, il est envisage de valider la detection de l’encrassement sur des echangeursde dimension industrielle disponibles a l’Institut National de la Recherche Agronomiqueet au Centre Technique des Industries Aerauliques ainsi que sur une ligne de productiond’une laiterie.

Concernant l’identification de modeles LPV, plusieurs points doivent encore etre etu-dies plus precisement. Tout au long de notre travail, nous avons considere des variablesde sequencement non bruitees, que ce soit en approche locale ou globale. Ces variablesetant le plus souvent mesurees, cette hypothese est rarement verifiee et ce bruit entraıneun biais sur l’estimation parametrique. Il va donc etre necessaire de definir si possible desalgorithmes d’identification capables de fournir une estimation non biaisee.

126

Dans le cas plus precis de l’approche globale, la richesse de l’excitation du ou des va-riables de sequencement doit etre etudiee plus precisement afin de definir un signal utilepropice a fournir de bons resultats d’estimation. De meme, toujours dans un objectif d’en-richir le signal d’excitation ou de palier a son eventuelle pauvrete, il peut etre envisaged’introduire de l’information a priori dans l’algorithme d’optimisation, facilitant ainsi saconvergence. Cette information a priori peut etre sur certains parametres du modele ousur des combinaisons de parametres menant a des grandeurs physiques. Elle peut etre ega-lement introduite par des connaissances de modeles LTI en seulement quelques points defonctionnement (contrairement au cas de l’approche locale qui necessite une explorationfine de l’espace de fonctionnement).

Pour terminer cette liste non exhaustive de perspectives, citons quelques travaux duLIAS qui pourront etre lies aux notres. En effet, recemment, la modelisation LPV aete utilisee pour l’approximation du comportement dynamique des supercondensateurs al’aide de modeles fractionnaires a temps continu par une approche d’identification locale[KGP12]. Les algorithmes d’identification globale a temps continu developpes lors de cetravail de these, associes aux techniques de modelisation fractionnaires, peuvent contribuera construire un modele fractionnaire par une approche d’identification LPV globale. Onpense egalement a l’extension de nos travaux au cas des systemes fonctionnant en bouclefermee pour lesquels la methodologie developpee dans le cas LTI doit pouvoir etre etendueau cas LPV [Baz08].

127

Conclusion generale

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Resume

Le travail de recherche presente dans ce memoire est une contribution a l’estimation des modelesLineaires a Parametres Variants (LPV) a temps continu. Dans un premier temps, il traite defacon originale la modelisation quasi-LPV des echangeurs de chaleur pour la detection d’encras-sement durant les regimes transitoires. La methodologie definie dans cette these est introduitepas a pas pour caracteriser un echangeur a courants croises puis pour celle d’un echangeur acontre-courants montrant ainsi la genericite de l’approche pour la modelisation des echangeursthermiques. Une methode locale basee sur une estimation initiale de modeles LTI en differentspoints du domaine de fonctionnement est utilisee pour construire le modele LPV en agregeantles parametres des differents modeles locaux grace a une methode d’interpolation polynomialeliee aux debits massiques. Le modele quasi-LPV de l’echangeur elabore en fonctionnement sainpermet ainsi d’envisager la detection de l’encrassement dans les echangeurs de chaleur en com-parant ses sorties a ceux provenant du procede. Dans un second temps, ce travail porte surl’identification des systemes LPV a representation entree-sortie a temps continu par une ap-proche globale. Une solution pratique pour l’identification directe de tels systemes est proposee.Elle est basee sur l’utilisation d’un algorithme a erreur de sortie initialise par une approche aerreur d’equation, la methode des Moments Partiels Reinitialises. Des simulations illustrent lesperformances de l’approche proposee.

Mots-cles: Modelisation LPV, Identification de systemes, Echangeur de chaleur, Detectiond’Encrassement, Erreur de sortie, Erreur d’equation, Moments partiels reinitialises, Interpola-tion.

Abstract

The research work presented in this thesis is a contribution to the estimation of LinearParameter Varying (LPV) models in continuous-time. First, a quasi-LPV modeling of heat ex-changers is tackled in an original way. This quasi-LPV model is meant to be used for foulingdetection (during transient phases). A step-by-step description of the methodology is given onhow to model a cross flow heat exchanger. Applying the same approach on a counter flow showsits genericity in the heat exchanger field. A local method, based on an estimation of LTI modelsfor different operating points, is used to build the LPV model by interpolation of the various LTImodel parameters. The resulting quasi-LPV model for a clean heat exchanger can thus be used forfouling detection by comparison of real and model outputs for the same input signals.Secondly,this work concerns the identification of continuous-time input-output LPV systems through aglobal approach. A practical solution for the direct identification of such systems is proposed.It is based on the use of an output-error algorithm initialized by an equation error based ap-proach, the reinitialized partial moment’s method. Simulations illustrate the performance of theproposed approach.

Keywords: LPV Modeling, Systems Identification, Heat Exchanger, Fouling detection, OutputError, Equation error, Reinitialized Partial Moments, Interpolation.

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