Mémoire de master ISFA · 2018. 11. 7. · fonds. Le second chapitre se focalise sur la théorie qui a été à la base des premiers ratios de performances tels que le ratio de Treynor

Mémoire de Master ISFA

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Mémoire de master ISFA

Les mesures de performance financière

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Résumé

Afin d’apporter à ses clients une expertise financière toujours plus pointue, le cabinet

d’actuariat conseil Adding a décidé de se doter d’un outil de mesure de performance

financière. Ce mémoire présente différentes étapes qui ont menées à l’élaboration d’un tel

outil.

Les deux premières parties sont ainsi dédiées aux mesures actuellement utilisées dans le

domaine de l’appréciation de la gestion financière. Avant tout, nous nous sommes attachés à

présenter les modèles sur lesquels sont basés les mesures de performance, c'est-à-dire le

modèle de Markowitz et le CAPM. Ceci nous permet d’introduire tout d’abord les mesures

dites classiques telles que les ratios de Treynor, de Sharpe, l’alpha de Jensen mais également

des mesures de sélectivité et de Market Timing. Nous nous sommes intéressés par la suite aux

modèles alternatifs au CAPM et à leur application en mesure de performance tels que les

modèles conditionnels et les modèles multifactoriels. La dernière partie est consacrée à une

étude des mesures de performance et d’attribution de performance appliquées à des agents

plus ou moins informés puis à l’application d’un modèle conditionnel au marché français.

Cette étude nous a permis d’obtenir un modèle présentant un plus grand pouvoir explicatif

que le CAPM simple et ainsi de pouvoir présenter une mesure de l’alpha alternative. Dans un

dernier chapitre nous présentons le logiciel créé puis une application de celui-ci à plusieurs

fonds français et ainsi, son aptitude à aider le client dans son choix de gestionnaire.

Mots clés : MEDAF, Mesure de performance, Attribution de performance, Persistance de la

performance, Modèles conditionnels, Logiciel.


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Abstract

To provide its customers ever more sophisticated financial expertise, actuarial consulting firm

Adding decided to develop a tool measure of financial performance. This study presents the

steps that led to the development of such a tool.

The two first parts are dealing with measures currently used in the assessment of finance

management. The first part present the Markowitz model and the CAPM and their application

to performance measurement. This allows us introducing classical measures such as the

Treynor ratio, Sharpe, Jensen's alpha, but also measures of selectivity and market timing. The

second part focuses on the alternatives models to CAPM and to their application to

performance measurement such as conditional models and multi-factor models.

The last part is devoted to a study of performance measurement and performance attribution

measurement on agents more or less informed and to an implementation of a conditional

model for the French market. This study allows us the creation of a model with greater

explanatory power than CAPM and so the presentation of an alternative alpha. The final

chapter presents the software and an application of it to several French funds and its ability to

help client in his/her choice of funds.

Keywords : CAPM, Performance measurement, Performance attribution, Conditionnal

models, Software.


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Remerciements

Avant de débuter le mémoire en lui-même je tiens à remercier certaines personnes qui m’ont

accompagnées, supportées, épaulées durant la rédaction de ce mémoire.

Je tiens tout d’abord à remercier Guillaume Lacour qui a su me guider dans la rédaction de

mon mémoire, à travers lui je remercie également toute l’équipe d’Adding avec qui j’ai eu

l’occasion de travailler un peu plus d’un an à l’occasion de mes premiers pas dans la

profession d’actuaire.

Je tiens également à remercier Didier Rullière qui m’a aiguillé lors de la rédaction de ce

mémoire. Il a su être présent dès que je le sollicitais.

Enfin, je tiens à remercier très chaleureusement mes parents, ma famille, mes amis pour leurs

nombreuses marques d’encouragement et de soutien. Je pense également à Marine qui a été

très présente dans les moments de doutes.


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SOMMAIRE

...........................................................................

INTRODUCTION A LA MESURE DE PERFORMANCE ................................ 4

CHAPITRE 1 Les rentabilités ........................................................................................... 6

1.1. Formules de base .................................................................................................... 6

1.2. I.R.R. (Internal Rate of Return) .............................................................................. 8

1.3. T.W.R. (Time-Weighted rate of Return) ................................................................ 8 1.4. Comparaison des méthodes .................................................................................... 9

CHAPITRE 2 Le MEDAF ............................................................................................... 10 2.1. Les hypothèses ..................................................................................................... 10 2.2. Le cadre ................................................................................................................ 11

2.3. La prime de risque d’équilibre ............................................................................. 12 2.4. Le risque ............................................................................................................... 15

2.5. Application ........................................................................................................... 17 CHAPITRE 3 Mesures de performance .......................................................................... 20

3.1. Les mesures de performance classiques ............................................................... 21 3.2. Autres mesures de performance ........................................................................... 28

3.3. Les mesures de performance dérivées du CAPM ................................................ 33 3.4. Bilan des mesures présentées : Exemple à travers trois fonds ............................. 34

MODELES ALTERNATIFS, PERSISTANCE ET ATTRIBUTION DE

PERFORMANCE ............................................................................................... 40

CHAPITRE 1 Les modèles conditionnels et indépendants ............................................. 42 1.1. Le modèle de Ferson et Schadt : le Time-Varying bêta ....................................... 42

1.2. Le modèle de Christopherson et al. : le Time Varying alpha ............................... 45 1.3. Modèles indépendants du marché ........................................................................ 46

CHAPITRE 2 Les modèles multifactoriels « Beta is dead » ........................................... 47

2.1. Présentation théorique .......................................................................................... 47

2.2. Choix des facteurs et estimation des paramètres .................................................. 49 2.3. Application des modèles multifactoriels .............................................................. 51

CHAPITRE 3 La persistance de la performance ............................................................. 54

3.1. Le Principe de l’exposant de Hurst ...................................................................... 54 3.2. Le calcul de l’exposant de Hurst .......................................................................... 54 3.3. Application ........................................................................................................... 55

CHAPITRE 4 Attribution de performance ...................................................................... 57 4.1. Le Modèle de Brinson, Hood & Beebower .......................................................... 58

4.2. Le Modèle de Brinson & Fachler ......................................................................... 62 4.3. L’Interaction ......................................................................................................... 63


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ETUDES ET DEVELOPPEMENT LOGICIEL ................................................. 66

CHAPITRE 1 Etude des mesures de performance appliquées à des agents informés sur

le CAC40 .................................................................................................................. 68 1.1. Présentation de l’étude ......................................................................................... 68 1.2. Résultats ............................................................................................................... 72

CHAPITRE 2 Application d’un modèle conditionnel au marché français ...................... 80 2.1. Le modèle de Ferson & Schadt ............................................................................ 80 2.2. Choix des variables d’information ....................................................................... 81 2.3. La prédictivité des variables d’information ......................................................... 82 2.4. Application au marché français ............................................................................ 86

CHAPITRE 3 L’outil d’analyse des performances financières ....................................... 88

3.1. Présentation du logiciel ........................................................................................ 88

3.2. Etude de quatre fonds ........................................................................................... 92 3.3. Comparaison des fonds ........................................................................................ 98 3.4. Mesures non utilisées ......................................................................................... 104


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ADDING 1/110

INTRODUCTION

a mesure de performance des portefeuilles est devenue, et ce depuis une cinquantaine

d’années, une question économique essentielle et n’a cessé de faire l’objet de travaux

d’éminents financiers ou économistes.

Comme le soulignaient Kent Daniel et Mark Grindblatti, ce phénomène se justifie pleinement

par les énormes volumes gérés. En effet, toujours selon ces derniers, plus de mille milliards de

dollars sont investis dans des fonds communs de placements et en considérant des frais de

gestion moyens de 1 % le total des coûts de cette industrie approche les dix milliards de

dollars. Il semble alors essentiel de pouvoir mettre en évidence l’éventuel savoir-faire des

gérants de portefeuilles.

Mais avant toute chose il est nécessaire de vérifier que la performance des fonds est, au moins

en partie, liée à la bonne gestion de ces derniers. En somme cela revient à accréditer la thèse

selon laquelle il est possible grâce à une bonne connaissance des marchés d’obtenir, en

moyenne, un rendement supérieur à une personne lambda. Cette question est essentielle car si

la totalité des performances des fonds était liée au hasard la mesure de ces dernières ne

deviendrait qu’obsolescence. Selon Balzac, le hasard est la plus grande source de fécondité

pour les écrivains, mais la vérification d’une telle assomption appliquée aux gérants

impliquerait une perte totale de pertinence de la matière.

C’est ainsi pour mieux appréhender cette question que l’équipe du Wall Street Journal

effectua une expérience en 1988. L’objectif était de mesurer la surperformance d’un gérant de

portefeuille reconnu par rapport à une personne dont les connaissances du marché s’avèrent

nulles. Ne manquant pas d’humour ils décidèrent de mettre en face des professionnels un

chimpanzé. Personne ne pourrait ainsi douter du hasard total de sa gestion.

Il s’avéra que sur un historique de 10 ans les bipèdes et le quadrupède avaient une

performance très similaire. Il semble cependant dur de tirer de cette expérience une

conclusion solide étant donné le faible échantillon de cobayes.

Une autre tentative, beaucoup moins polémique, des professeurs Chevalier et Ellisonii montra

une nette corrélation entre les performances du fonds géré et le niveau du diplôme du gérant.

Ainsi ils obtinrent que les gérants disposant d’un MBA sur performaient de 63 points de base

par an les autres gérants. Cette expérience nous laisse donc entrevoir l’existence d’un lien

entre savoir-faire et rendements. La mesure de performance trouverait donc ici sa raison

d’être.

Matière initiée par le CAPM, la mesure de performance a fait l’objet d’études de la part des

plus grands financiers du siècle dernier. Ainsi Jensen, Treynor, Merton et Sharpe, pour ne

citer qu’eux, ont occupé une place prépondérante dans l’initialisation des bases de cette

dernière. Initialement assez anecdotique , la matière a pris de l’importance parallèlement à la

i Daniel K & al., « Measuring Mutual Fund Performance with Characteristic-Based Benchmarks», Journal of

Finance, 1997 ii Chevalier K. & Ellison G., « Are Some Mutual Fund Managers Better Than Others ? Cross-Sectional Patterns

in Behavior and Performance», The Journal of Finance, Juin 1999

L


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croissance des volumes gérés en fonds communs de placements à la fin du siècle dernier.

C’est ainsi que de très nombreux modèles de mesure de performance ont vu le jour dans un

objectif d’optimisation totale de ces dernières afin de toujours mieux répondre aux questions

des clients vis-à-vis de la gestion de leur épargne. Et c’est dans cette même optique qu’une

matière complémentaire à la mesure de performance vit le jour dans les années 80 :

l’attribution de performance. Cette dernière permet d’approfondir et d’élargir les questions

liées à la gestion, grâce à celle-ci nous pouvons désormais répondre à la question suivante :

d’où vient la performance réalisée ?

Dans le cadre de l’audit ou de la mise en place de dispositifs d’épargne salariale ou de retraite

supplémentaire Adding, cabinet d’actuariat Tassilunois, est régulièrement amené à juger ou

comparer des offres financières incluant des FCP de toutes natures. Dans ce cadre, il m’a été

demandé d’étudier les principaux modèles et de développer un outil permettant d’automatiser

leur application.


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ADDING 3/110


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ADDING 4/110

INTRODUCTION A LA MESURE DE

PERFORMANCE


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ADDING 5/110

Introduction

’émergence d’un très grand nombre d’organismes de gestion rends de plus en plus

difficile le choix du gestionnaire pour les clients. C’est donc pourquoi on assiste

aujourd’hui à une croissance d’outils de mesure de performance et des sociétés basées

dans ce domaineiii

.

La finalité de la mesure de performance est de pouvoir apprécier, à partir de synthèses claires,

la qualité d’un gestionnaire et donc de permettre à tout un chacun de faire un choix parmi la

pléiade de fonds existants.

L’objectif de cette partie sera d’introduire les bases de la mesure de performance en

consacrant une première partie aux différentes possibilités de mesure de la rentabilité d’un

fonds. Le second chapitre se focalise sur la théorie qui a été à la base des premiers ratios de

performances tels que le ratio de Treynor ou le ratio de Sharpe : le CAPM ou MEDAF.

Finalement nous présenterons dans une dernière partie les mesures de performances les plus

connues et souvent les plus utilisées, toutes basées sur le modèle susmentionné.

iii

Morningstar par exemple

L


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CHAPITRE 1 Les

rentabilités

es rentabilités sont à la base de la mesure de performance. En effet, ils représentent

l’élément majeur qui permettra de calculer les principaux ratios. Il est donc essentiel de

savoir comment les calculer.

Dans ce chapitre nous nous attacherons donc à présenter les différentes formules des plus

simples aux plus complexes.

1.1. Formules de base

La manière la plus simple pour calculer les rentabilités d’un portefeuille est la suivante :

1

1

t

tt

PV

VVR

t

Avec tPR la rentabilité du portefeuille entre t et t+1

tV la valeur du portefeuille en t

1tV la valeur du portefeuille en t-1

Cependant, puisqu’un portefeuille est composé de n actifs, on peut également considérer sa

rentabilité comme la somme des rentabilités de ces actifs pondérées par leur poids en

portefeuille :

n

i

iiP tttRxR

1

Avec tPR la rentabilité du portefeuille entre t et t+1

ti

x le poids de l’actif i dans le portefeuille en t

L


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tiR la rentabilité de l’actif i entre t-1 et t

Cette méthode impose donc de calculer préalablement les rentabilités des actifs. Ces derniers

peuvent être calculés de deux façons différentes. Soit de manière arithmétique :

1

1

t

tt

t

i

iiar

iV

VVR

Avec

tiV la valeur de l’actif i en t

Soit de manière logarithmique :

)ln(

1

log

t

t

t

i

i

iV

VR

En comparant les rentabilités :

)1ln()ln(

1

log ar

i

i

i

i t

t

t

tR

V

VR

Ainsi :

ar

iiP

ar

iiP

iiP

ttt

ttt

ttt

RxR

RxR

RxR

)1ln(

log

Si l’on considère le développement limité à l’ordre 2 de ln(1+y) on obtient :

²)(2

²)1ln( y

yyy

Etant donné que le second terme du D.L. est négatif on en déduit que les rentabilités

logarithmiques sous estiment légèrement les rentabilités des actifs par rapport aux rentabilités

arithmétiques.

Sur plusieurs périodes, le calcul diffère selon qu’on a retenu l’une ou l’autre. Si l’on opte pour

la formule logarithmique, la rentabilité moyenne sur plusieurs périodes est une moyenne

arithmétique. Sinon, on procède à une moyenne géométrique.

Ces méthodes de calculs des rentabilités sont très basiques mais tout de même très utilisées.

En effet, leur facilité de mise en place en font les favorites de beaucoup d’investisseurs.

Cependant, afin d’exprimer au mieux l’évolution d’un portefeuille, de nombreux autres outils

de calculs ont vu le jour tel que l’I.R.R..

http://www.jybaudot.fr/Stats/moyenne.html

http://www.jybaudot.fr/Stats/moyenne.html

http://www.jybaudot.fr/Stats/moyennesnonarithm.html


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ADDING 8/110

1.2. I.R.R. (Internal Rate of Return)iv

Cette méthode n’est autre qu’un calcul actuariel. En effet l’I.R.R. représente la rentabilité tel

que la valeur finale du portefeuille soit égale à la somme de sa valeur initiale et des flux de

capitaux effectifs durant cette période.

L’I.R.R. noté RI vérifie donc :

T

I

Tn

tt

I

t

R

V

R

CV

)1()1(

1

1

0

Avec t désignant les dates de flux, exprimé en années.

T désignant la période totale divisée en n sous-périodes

tC le flux à la date t

0V la valeur initiale du portefeuille

TV la valeur finale du portefeuille

Ce calcul permet de prendre en compte les éventuels dividendes versés au cours de la période

étudiév. Cependant, c’est une autre méthode qui a reçu les faveurs de l’influente Association

of Investment Management and Research (AIMR), le Time-Weighted rate of Return.

1.3. T.W.R. (Time-Weighted rate of Return)vi

Cette méthode suppose la division de la période étudiée en sous-périodes durant lesquelles la

composition du portefeuille reste fixe. Une fois cette séparation effectuée on calcule la

rentabilité de chacune de ces sous-périodes (on peut choisir différentes méthodes de

rentabilité mais en général on considère une formule basique type arithmétique) :

11

11 )(

tt

ttt

tCV

CVVR

Avec t désignant les dates de flux, exprimé en années.

tC le flux à la date t

tV la valeur du portefeuille en t

Ce calcul nous permet d’obtenir une rentabilité indépendant des cash flows de chaque

période. Une fois ces calculs effectués on détermine alors la moyenne géométrique des

rentabilités de chaque sous-période.

Le T.W.R. sera donc égal à :

iv Pour plus de renseignements, consulter :

James R. Kobzeff, « International Rate of Return », www.proapod.com

v Attention : mathématiquement plusieurs IRR peuvent satisfaire à l’équation définie. vi Pour des renseignements complémentaires consulter le document « Time Weighted Return » à l’adresse

suivante http://www.investment-performance.com/education/articles/attachments/TWR_whitepaper_public.pdf.


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1)1(

1

1

nn

t

tTWR RR

Le TWR élimine l’impact des cash flows et nous permet ainsi de ne considérer que la

rentabilité du portefeuille lié à l’action du gérant.

1.4. Comparaison des méthodes

Le T.W.R. neutralise les impacts des flux. Cette méthode est donc la plus appropriée lorsqu’il

s’agit de comparer des performances de gérants de portefeuille. En effet, le T.W.R. ne prend

pas en compte les mouvements que le gestionnaire ne maîtrise pas en neutralisant les cash

flows pour chaque sous période.

Cependant, lorsque l’objectif n’est pas la mesure de performance d’un gestionnaire mais

plutôt celle de la performance du fonds, l’I.R.R. semble plus indiqué.

Ainsi, pour ce qui concerne la mesure de performance d’un fonds, il semblerait que le calcul

des rentabilités par le TWR soit le plus indiqué. Cependant, il n’est pas rare d’avoir un

manque d’information par rapport aux cash flows. Dans ces cas, les formules basiques seront

d’un grand secours.

Nous allons maintenant nous intéresser à la théorie qui est à la base de la plupart des mesures

de performance : le CAPM.


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CHAPITRE 2 Le MEDAF

a théorie du portefeuille s’élabora en une dizaine d’année, de l’article fondateur de

Markowitz en 1952vii

à celui de Sharpe en 1964viii

. Ce dernier fut le socle du Modèle

d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF ou CAPM en anglais), qui est aujourd’hui

l’une des pièces centrales de la finance moderne. Il nous permet de connaître une

estimation de la valeur d’un actif en fonction de son risque systématique.

2.1. Les hypothèses

Le MEDAF a été élaboré sous certaines hypothèses essentielles et qu’il conviendra de

toujours conserver en tête :

Tous les investisseurs individuels ont un comportement rationnel et prennent des

décisions de placement qui doivent situer leur portefeuille sur la frontière

efficiente.

On peut prêter ou emprunter à un taux sans risque toute quantité de monnaie.

On est en situation d’incertitude idéalisée. Cela signifie que tous les investisseurs

assignent la même distribution de probabilité de rendement pour chaque titre.

Tous les investisseurs ont le même horizon économique qui comporte une seule

période.

Tous les placements sont parfaitement divisibles et parfaitement liquides.

De ce qui précède, il n’y a ni coût de transaction, ni taxes…

Le marché n’est pas segmenté : il y a un prix unique pour chaque actif financier.

Tous les investisseurs anticipent de manière homogène les variations du taux

d’intérêt

vii

Markowitz H., « Portfolio Selection », Journal of Finance, Février 1952 viii

Sharpe W., « Capital asset prices : a theory of market equilibrium under condition of risk », Journal of

Finance, Septembre 1964

L


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ADDING 11/110

Il faut cependant noter que ces hypothèses ne sont pour la plupart pas vérifiées dans la

réalité.

2.2. Le cadre

Supposons qu’il existe I agents dans l’économie (i=1,…,I). Chaque agent est défini par sa

richesse initiale Wi et par ses préférences résumées par la fonction d’utilité Ui définie sur

la richesse terminale iW~

:

²),~

( ~Wiii WEUU (1)

Avec iWE~

l’espérance de iW~

²~W

la variance de iW~

Notons

j=1,…, J les différents titres risqués dont les rendements espérés sont notésjR

~.

Chaque titre j est l’action émise par l’entreprise i.

i

j la part d’actif j que l’agent i souhaite détenir.

jq le prix du titre j

jR

~le rendement de l’actif j

0R le rendement de l’actif sans risque

Puisque que l’on suppose que la quantité de titre émis par chaque entreprise est normée à

1, la condition d’équilibre du marché de chaque titre émis par l’entreprise j est :

11

I

i

i

j (2)

De plus, puisque jq représente le prix du titre j (qui est égal également à la valeur

boursière de l’entreprise étant donné que par hypothèse il s’agit du seul titre qu’elle émet),

la condition d’équilibre peut se réécrire :

j

I

i

i

jj qq 1

(3)

Notons ),...,( 1

M

J

MM le vecteur représentant le portefeuille de marché. Chacune des

composantes est égale à :

J

j

j

jM

j

q

q

1

(4)


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ADDING 12/110

Notons iB le montant que l’agent désire prêter au taux r.

La condition d’équilibre de l’offre et de la demande est donc :

01

I

i

iB (5)

La contrainte budgétaire de l’agent i est donc :

iJ

j

ii

jj WBq 1

(6)

Notons i

jx la part investie dans l’entreprise j par l’agent i et ix0 la part de la richesse

prêtée:

i

i

jji

jW

qx

(7)

J

j

i

ji

ii x

W

Bx

1

0 1 (8)

La richesse terminale de l’agent i s’écrit alors :

J

j

j

i

jj

ii RqrBW1

~)1(

~ (9)

Ou encore :

])~

([~

]~

[~

1

00

1

00

J

j

j

i

j

ii

J

j

j

i

j

iii

RRxRWW

RxRxWW

(10)

Nous avons donc obtenu des formules de la richesse terminale des agents. Ces dernières vont

nous servir dans la contrainte du programme des agents.

2.3. La prime de risque d’équilibre

A l’équilibre, tous les agents détiennent donc une position en actifs certains ainsi qu’un

portefeuille d’actifs risqués identique pour chaque agent noté ),...,( 1 Jzzz qui vérifie


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ADDING 13/110

J

j

jz1

.1 Ce portefeuille est commun car selon les hypothèses émises les agents suivent

les théories de Markowitz et ont des anticipations identiques. Donc tous les investisseurs

vont avoir la même frontière efficiente.

D’après (8) la part investie en actif sans risques est

J

j

i

ji

ii x

W

Bx

1

0 1 , la structure du

portefeuille risqué z est donc :

)1( 0

i

i

j

jx

xz

(11)

En remplaçant on obtient :

i

i

jji

jW

qxz

)1( 0 (12)

En faisant la somme sur i :

j

iI

i

i

j qxWz

)1( 0

1

(13)

Donc à l’équilibre :

M

jJ

j

j

j

j

q

qz

1

(14)

Il vient donc que la stratégie optimale de tout agent est de construire un portefeuille

risqué qui soit exactement le même que le portefeuille de marché peu importe sa richesse

et son aversion au risque.

Notons MR~

le rendement du portefeuille de marché et ²M sa variance.

Supposons que ce portefeuille constitue l’actif J+1, le programme de chaque agent est

alors (on minimise la variance) :

Sous Contrainte :

RRRExRJ

j

jjˆ)]

~[(

1

1

00

Avec R̂ l’objectif de rendement.

Le lagrangien de ce problème d’optimisation est :

1

1

1

12

1min

J

j

J

k

jkkjx

xxj


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ADDING 14/110

1

1

1

1

1

1

00 ))]~

[(ˆ(2

1 J

j

J

k

J

j

jjjkkj RRExRRxxL

(15)

Les conditions de premier ordre de cette équation sont donc :

jk

jjkkjj RRExx 0)]~

[(² 0 (16)

Etant donné que l’introduction du portefeuille de marché sous forme de titre ne modifie pas

les choix de l’agent, le choix optimal est d’investir )1( 0x dans le portefeuille de marché.

Ainsi une des solutions optimales est 0jx si 1 Jj . Les conditions du premier ordre se

réécrivent donc :

)]~

[( 0RREx jjmm et )]~

[(² 0RREx Mmm (17)

On obtient ainsi :

)]~

[(²

)]~

[( 00 RRERRE M

m

jm

j

(18)

Notons²m

jm

j

.

Ce résultat est directement applicable au portefeuille dans son ensemble :

J

j

jjP

MPP

xAvec

RRERRE

1

00

:

)]~

[()]~

[(

(19)

Etant donné que le choix optimal est d’investir )1( 0x dans le portefeuille de marché, la

variance du portefeuille sélectionné est ²)²1( 0 mx alors que l’espérance de son rendement

est 000 ]~

[)1( RxREx M . On a donc :

)]

~[(]

~[

]~

[)1(]~

[

00

000

RRERRE

RxRExRE

M

m

P

P

MP

Et donc :

m

M

P

P RRERRE

)]~

[()]~

[( 00

(20)

Cette équation implique donc que les choix optimaux sont sur la droite reliant l’actif

sans risque au portefeuille de marché dans l’espace écart-type/espérance des

rendements.


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ADDING 15/110

Les rendements des portefeuilles sont donc situés sur une droite et dépendent du Beta de

l’actif considéré. Cette droite est appelée Capital Market Line (CML).

Nous avons vu dans cette partie que le MEDAF implique la dépendance des rendements

au bêta, qui est en quelque sorte la pièce maîtresse de cette théorie. Nous allons donc nous

intéresser dans la partie suivante au rôle que joue celui-ci dans la comptabilisation du risque.

2.4. Le risque

Le risque total peut se décomposer en deux risques différents, le risque systématique et le

risque spécifique. Le risque systématique est un risque non diversifiable, il dépend du marché

et est lié à la macroéconomie. Le risque spécifique est quant à lui diversifiable est lié à la

microéconomie (risque de grève, de perte d’un cadre important,…).

Considérons le modèle :

)²

:('

'~

~

),0(

:

)~

(~

0

2

00

m

jm

jj

j

M

j

jMjj

rappelpourjactifldebêtale

jactiflderendementleR

risquesanstauxleR

marchédeleportefeuildurendementleR

Avec

RRRR

j

Figure 1.1 : Capital Market Line


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ADDING 16/110

La variance du titre j est donc :

jactifldebêtale

jactifldeiancela

marchédeleportefeuilduiancela

Avec

j

j

m

mjj j

'

'var

var

:

2

2

2222

Cette expression représente le carré du risque total lié au portefeuille j. Ainsi mj

représente le risque systématique et j

le risque spécifique.

Schématisation de la décomposition du risque :

En extrapolant cette expression au portefeuille on obtient :

2222

PmPP

Le risque total d’un portefeuille est donc la somme de son risque systématique et de son

risque spécifique, ce dernier étant réductible par diversification.

On peut alors résumer le principe de diversification par le schéma suivant :

Figure 1.2 : Décomposition du risque

Figure 1.3 : Risques spécifique et systématique


GRACZ Romain

ADDING 17/110

On observe qu’une augmentation du nombre de titres en portefeuille se traduit par une

diminution du risque spécifique mais n’a aucun effet sur le risque systématique.

Cependant des études empiriques menées par Evans et Archer (1968), Wagner et Lau (1971)

et Pogue et Solnik (1974)ix

ont montré des limites à la diversification. En effet, ils ont prouvé

qu’au-delà d’un certain nombre de titres l’acquisition d’un titre supplémentaire était sans

intérêt étant donné que le gain rapporté par ce dernier titre ne recouvrait pas les coûts de

transaction que l’investisseur devait supporter.

2.5. Application

Afin de vérifier l’effectivité de la réduction du risque en cas de diversification nous avons

appliqué la théorie au marché français, en considérant les historiques des rendements

mensuels de 27 titresx du CAC40 de janvier 2003 à décembre 2006.

Le principe de l’étude est simple, il s’agit de la simulation de 625 portefeuilles différents

contenant chacun entre 1 et 25 actifs. Ceci nous permet donc d’observer l’évolution des

risques totaux, systématiques et spécifiques en fonction du nombre d’actifs en portefeuille.

La première étape a ainsi été de programmer sous VBA un module permettant de créer des

portefeuilles aléatoires comprenant de 1 à 25 actifs (25 portefeuilles de chaque). Par la suite

nous avons calculé le rendement de chacun de ces portefeuilles sur la période étudiée puis leur

variance ainsi que leur bêta. Une autre donnée a été nécessaire, il s’agit de la variance du

portefeuille de marché (par souci de simplification nous avons considéré que le marché était

composé d’une action de chacune des 27 entreprises).

Les résultats obtenus sont les suivants :

ix

Risque, rentabilité et produits dérivés en gestion d’actifs, Benjamin Gacoin, Mémoire de fin d’études TEMA,

2005. x Total, Peugeot, Renault, LVMH, L’Oréal, Sanofi Aventis, Alcatel Lucent, Pernod Ricard, Saint Gobain,

Schneider Electric, Société Générale, STMicroElectronics, EADS, France Telecom, Unibail, Lafarge, Vivendi,

Michelin.

Figure 1.4 : Risque systématique


GRACZ Romain

ADDING 18/110

Ce premier graphique représente les valeurs obtenues pour le risque systématique. Il semble

ainsi de façon assez nette que le nombre de titres en portefeuille n’a que peu d’incidence sur

le risque systématique (on peut cependant observer un écart à la moyenne plus fort pour les

portefeuilles de peu d’actifs).

Ce second graphique correspond à la valeur du risque spécifique en fonction du nombre de

titres en portefeuilles. La tendance baissière de ce risque lorsque le nombre de titres augmente

est alors très nette. On observe également que la valeur de ce risque tend vers zéro. Ainsi,

conformément à la théorie ce risque est éliminé par la diversification.

Figure 1.5 : Risque spécifique

Figure 1.6 : Risque total


GRACZ Romain

ADDING 19/110

Ce dernier graphique représente les résultats obtenus pour les risques systématiques, totaux et

spécifiques.

On observe donc très clairement que, pour un portefeuille suffisamment diversifié, le risque

total et le risque systématique se confondent, le risque spécifique étant éliminé.

Pour résumer nous pourrions décrire le MEDAF comme étant un modèle basé sur le fait que

seul le risque systématique est rémunéré par les investisseurs et nous proposant un rendement

ne dépendant que de ce dernier. Nous allons donc désormais introduire les principales

mesures de performances liées à ce modèle dont les plus célèbres sont les mesures de Treynor

et de Jensen.


GRACZ Romain

ADDING 20/110

CHAPITRE 3 Mesures de

performance

e marché français de la gestion d’actifs financiers pour compte de tiers est

aujourd’hui l’un des plus imposants dans le monde. L’essor de ce dernier

s’accompagne d’exigences de la part des investisseurs et notamment en matière de

mesure de la performance des gestionnaires. Cette mesure doit permettre d’apprécier la

capacité des gérants à ajouter de la valeur aux portefeuilles gérés.

Sur les bases du MEDAF et du MEA de nombreuses mesures de performances ont vu le

jour. Ainsi dès la fin des années 60 de célèbres indices furent développés tels que les

indices de Treynor (1965), de Sharpe (1966), de Jensen (1969), …

Ces mesures sont dites de sélectivité puisqu’elles visent à détecter l’habilité du gérant à

sélectionner les titres qui forment le portefeuille afin de battre le marché.

D’autres mesures se sont plus tard intéressées au market timing, c'est-à-dire la capacité du

manager à anticiper les évolutions du marché. C’est le cas du modèle de Treynor et

Mazuy (1966) mais également, plus tard, du modèle d’Henrickson et Merton (1981).

Au-delà de ces mesures des modèles beaucoup plus complexes ont vu le jour, ainsi des

mesures de performance conditionnelles et multi-facteurs sont apparues à la fin des années

90.

Dans cette partie sont présentées les principales mesures de performances ainsi que leurs

applications au marché français.

Avant de rentrer dans le vif du sujet, voici un point sur la notation qui sera utilisée par la

suite :

)( mP RR l’écart type des différences de rentabilité entre le portefeuille et le

portefeuille de marché.

PR le rendement du portefeuille sur la période étudiée.

mR le rendement du benchmark sur la période étudiée.

P la rémunération du portefeuille non expliquée par le marché (le modèle peut se

présenter de la façon suivante : t

P

t

mP

t

P

t

P RRRR )~

(~

00 )

P

le risque spécifique.

L


GRACZ Romain

ADDING 21/110

P le risque total du portefeuille

m le risque total du benchmark

P le bêta du portefeuille

0R le taux sans risque

Pm le coefficient de corrélation entre les performances du marché et du portefeuille

3.1. Les mesures de performance classiques

Cette section est consacrée aux principales mesures de performance. Elles sont pour la plupart

très connues comme les mesures de Treynor et Sharpe ainsi que l’alpha de Jensen. D’autres,

plus confidentielles, n’en sont pas moins intéressantes comme le ratio de Sortino ou le M².

3.1.1 Le Ratio d’Information

Cette mesure s’appuie sur la notion de moyenne variance et peut s’exprimer de deux

manières différentes.

Première représentation :

)( mP

mP

PRR

RRIR

Cette première expression présente le ratio d’information comme la différence entre le

rendement du portefeuille et sa référence divisée par l’écart type de cette même différence.

Le numérateur peut donc s’expliquer comme représentant le talent du gestionnaire à faire

mieux que le marché. Quant au dénominateur il représente le surcroît de risque qu’il a été

nécessaire de mettre en jeu pour obtenir le résultat.

Ainsi le ratio d’information peut être présenté comme un ratio bénéfices sur risque.

Seconde représentation

P

PPIR

Cette deuxième expression a l’avantage de ne prendre en compte que la part de rémunération

non expliquée par le marché, et permet donc d’apporter une évaluation de la capacité du

gérant à sélectionner des titres.

3.1.2 La mesure de Treynor

Treynor estime qu’un portefeuille bien géré dégage une rentabilité meilleure que celle du

portefeuille de marché, il va alors considérer le ratio suivant :


GRACZ Romain

ADDING 22/110

P

P RRT

)( 0

Ce ratio représente la prime de risque sur le risque systématiquexi

du portefeuille et,

graphiquement, est la pente de la droite reliant le portefeuille sans risques au portefeuille

risqué P de l’investisseur. Il s’agit donc de la droite de marché dans ce dernier.

Cette mesure permet donc de vérifier

que les caractéristiques d’un

portefeuille apportent à l’investisseur

un quotient rentabilité sur risque

systématique supérieur au rendement

du marché (le risque systématique du

marché étant évidemment égal à 1).

Ce ratio est particulièrement approprié pour apprécier la performance d’un portefeuille bien

diversifié étant donné que celui-ci ne prend en compte que le risque systématique.

Pour résumer on pourrait dire que le ratio de Treynor est une mesure relative du risque

systématique.

Remarque : A l’équilibre le ratio de Treynor d’un portefeuille P est égal à celui du

marché (car le portefeuille se trouve sur la SML) :

)()(

0

0 RRRR

m

P

P

Cependant cette mesure a été la source de vives critiques liées à la nécessité du choix d’un

portefeuille de référence. En effet, selon Rollxii

la mesure de Treynor est très fortement

corrélée au choix du benchmark, une simple modification de ce dernier peut alors impliquer

des résultats totalement différents du précédent.

Application à l’étude :

En reprenant les

mêmes données que

celles de l’étude

effectuée pour le

risque, et en

appliquant aux

simulations le ratio de

Treynor on obtient le

graphique suivant

représentant le ratio de

Treynor en fonction du

nombre de titres en

portefeuille.

xi

Il existe deux définitions du risque systématique, soit la formulation utilisée précédemment soit le simple bêta.

Nous utiliserons parfois cette dernière car c’est de cette manière que certaines mesures ont été construites. xii

Pour plus de précisions lire :

Roll, «Performance Evaluation and Benchmark Errors I», 1980

Roll, « Ambiguity When Performance is Measured By the Securities Market Line », « The Journal of Finance »,

1978

Figure 1.8 : Ratio de Treynor

Figure 1.7 : Ratio de Treynor –

graphique risque/rentabilité


GRACZ Romain

ADDING 23/110

On peut remarquer que les différents ratios ont tendance à tendre vers 0.65 lorsque le nombre

de titres en portefeuille augmente. Or théoriquement plus le nombre de titres en portefeuille

est important, plus les ratios devraient se rapprocher du ratio de Treynor du marché c'est-à-

dire 657.009.0747.0)()(

0

0

RR

RRmn

P

P

xiii. La théorie est donc bien vérifiée.

Les valeurs de ce ratio seront considérées ici comme significatives à partir d’environ 6 ou 7

titres, étant donné qu’à partir de ce seuil le risque spécifique est relativement négligeable.

3.1.3 Le ratio de Sharpe

Dans un articlexiv

paru en 1966 dans « Journal of business » Sharpe présenta un indice qui

allait devenir l’un des plus célèbres du monde de la finance. Ce ratio est très proche du ratio

de Treynor. La différence se situe au niveau du dénominateur puisque le risque systématique

est remplacé par le risque total :

P

P RRS

)( 0

Etant donné que cette expression fait intervenir le risque total, le ratio de Sharpe est adapté

aux portefeuilles peu diversifiés.

Ce ratio utilise la CML (Capital Market Line) comme étalon.

Le ratio de Sharpe est une

mesure relative du

risque total. Il permet

donc ainsi d’évaluer la

performance de

portefeuilles mal

diversifiés car le risque

spécifique est inclu dans

cet indicateur. Cette

mesure est issue de la

théorie du portefeuille et

non du CAPM contrairement au ratio de Treynor, et donc, ne faisant pas référence à un

benchmark il n’a pas été la cible des critiques de Roll.

Remarque : A l’équilibre le ratio de Sharpe d’un portefeuille P est égal à celui du marché :

m

m

P

P RRRR

)()( 00

xiii

Le taux sans risque a été choisi en fonction de la performance de l’EONIA sur la période étudiée. xiv

Sharpe W, « Mutual Fund Performance », Journal of business, janv. 1966

Figure 1.9 : Ratio de Sharpe – Graphique risque/Rendement


GRACZ Romain

ADDING 24/110

Application à l’étude :

De la même façon

que pour le ratio

de Treynor on peut

vérifier la tendance

de stabilisation

vers environ 18

titres.

77.17037.0

657.0)()( 00

m

m

P

P RRRR

Les résultats théoriques sont donc également bien vérifiés dans le cas présent. Mais une

spécificité de la mesure de Sharpe va nous permettre de pouvoir l’interpréter dès les premiers

portefeuilles (i.e. les portefeuilles mal diversifiés) étant donné que ce ratio ne prend pas en

compte le seul risque systématique mais le risque total.

3.1.4 L’alpha de Jensen

Cet indice utilise la SML (Security Market Line) comme étalon. Il permet de mesurer l’écart

entre le rendement espéré du portefeuille étudié et d’un portefeuille se situant sur la SML à

même niveau de risque systématique (i.e. : dont le rendement espéré vérifie :

)()( 00 RRRR mPP ). Son expression est donc :

))(( 00 RRRR mPPP

)( 0RRmP mesure

le rendement du

portefeuille prévu par

le modèle et P

représente la portion

de rendement

supplémentaire liée

aux choix du

gestionnaire.

Comme la mesure de

Treynor, l’alpha de

Jensen ne tient compte

que du risque

Figure 1.11 : Alpha de Jensen – Graphique Risque/rendement

Figure 1.10 : Ratio de Sharpe


GRACZ Romain

ADDING 25/110

systématique.

C’est une mesure absolue du risque systématique.

On peut résumer l’alpha de Jensen comme étant égal à la prime de risque auquel est soustrait

le risque systématique multiplié par le prix du risque.

Cette mesure a fait l’objet, de la même manière que la mesure de Treynor, de la critique de

Roll, toujours en raison de la nécessité du choix d’un benchmarkxv

. Un autre défaut de cette

mesure est le fait que deux portefeuilles ayant des bêtas différents ne peuvent être comparés

avec celle-ci étant donné que la valeur de l’alpha est proportionnelle avec le niveau de risque

pris. Pour remédier à ce défaut on peut utiliser le ratio de Black-Treynorxvi

simplement défini

par : P

P

En appliquant cette mesure à l’étude on obtient :

De façon totalement

naturelle on observe

que l’alpha de

Jensen tend vers 0,

correspondant ainsi

aux résultats

théoriques. De plus,

de la même manière

que pour le ratio de

Treynor, ces

résultats ne seront

interprétables qu’à

partir des

portefeuilles de 7 ou 8 actifs.

3.1.5 Relations entre les principaux indicateurs et leur utilisation

Les mesures de Treynor, Sharpe et Jensen sont les ratios basiques de la mesure de

performance. Une étude de leurs différences, ressemblances, complémentarité semble alors

nécessaire pour être en mesure d’appliquer la mesure de risque adaptée selon le portefeuille

étudié.

3.1.5.1 Treynor et Sharpe

Les formules de ces deux indicateurs sont très similaires. En effet, la seule différence entre

ces ratios est le dénominateur, écart type des rendementsxvii

pour le ratio de Sharpe et Bêta

pour le ratio de Treynor.

xv

A lire également sur le sujet :

B. N. Lehmann et D. M. Modest, « Mutual Fund Performance Evaluation : A Comparison of Benchmarks and

Benchmark Comparisons », « The Journal of Finance », 1987, 233-265. xvi

Le lecteur curieux pourra se référer à :

Salcati,J., « Mesure de performance et gestion de portefeuille », Encyclopédie des marchés financiers,

Economica, 1997 xvii

Cet écart type des rendements est plus connu sous le nom de Tracking Error

Figure 1.12 : Alpha de Jensen


GRACZ Romain

ADDING 26/110

Si l’on considère le cas de portefeuilles bien diversifiés alors 1Pm donc (puisque

Pm

m

PP

) :

m

PP

Le ratio de Treynor peut alors s’approximer de la manière suivante :

m

P

P RRT

)( 0

Et donc :

m

TS

Il vient donc que dans le cas de portefeuilles bien diversifiés, le ratio de Sharpe est environ

égal au ratio de Treynor divisé par l’écart type des rendements du marché.

3.1.5.2 Treynor et Jensen

La mesure de Treynor peut s’exprimer en fonction de l’alpha de Jensen par la formule

suivante :

)( fm

P

P RRT

Cette expression prouve qu’un classement sur le critère de l’alpha de Jensen n’a de sens que si

les bêtas sont stationnaires.

3.1.5.3 Sharpe et Jensen

Sachant que Pm

m

PP

et que ))(( 00 RRRR mPPP , on peut déduire une

expression de la rentabilité du portefeuille en excès du taux sans risque :

)( 00 RRRR mPm

m

P

PP

En supposant le gérant rationnel, le coefficient de corrélation sera alors égal à 1 car ce dernier

recherchera la diversification optimale. Sous cette condition, on peut rapprocher les ratios de

Jensen et de Sharpe :

m

m

P

PP

RRS

)( 0


GRACZ Romain

ADDING 27/110

3.1.6 Utilisation de principaux indicateurs

Les trois indicateurs étudiés nous permettent de classer les portefeuilles pour une période

donnée. Plus la valeur de l’indicateur est élevée plus l’investissement est intéressant. Les

ratios de Sharpe et Treynor sont basés sur le même principe mais utilisent une définition du

risque différente. L’utilisation de la mesure de Treynor est limitée aux portefeuilles bien

diversifiés et celle de Jensen nécessite l’égalité des risques systématiques. C’est pour cela

qu’aujourd’hui la mesure de Sharpe est la plus utilisée. Son utilisation pratique et sa

compréhension facile pour l’investisseur lambda sont des atouts qui font sa popularité.

Cependant il est à souligner que William Sharpe lui-même défendait le ratio de Treynor en ce

sens qu’il était plus adapté pour l’anticipation de la performance future contrairement au ratio

de Sharpe.

Afin de vérifier les relations entre ces différents ratios nous avons mesuré la corrélation

existante entre ceux-ci, et les résultats obtenus sont représentés dans le graphique ci-dessous :

On peut vérifier qu’à partir de 6 ou 7 actifs les trois ratios ont un coefficient de corrélation

constant à 0,95. Ce résultat permet donc de conclure à la relative ressemblance de ces trois

ratios.

Figure 1.13 : Tableau des trois principaux ratios

Figure 1.14 : Corrélation en fonction de la diversification Treynor/Sharpe/Jensen


GRACZ Romain

ADDING 28/110

3.2. Autres mesures de performance

3.2.1 La mesure de FAMA

Pour prolonger le travail de Jensen, Fama voulu mettre au point une mesure absolue, non pas

de risque systématique, mais de risque spécifique.

Pour cela il considéra un portefeuille P’ ayant le même risque total que P mais qui soit

parfaitement corrélé avec le marché :

22

'

2

'

2

mPPP

Ce portefeuille n’a plus de risque spécifique car il est corrélé avec le marché. En effet, le

risque total peut s’écrire :

)1( 22222222222

PmPPmPPmmPP PPP

Le risque spécifique va donc s’éliminer.

Dans ce cas nous avons donc : m

PP

'

La rentabilité de portefeuille P’ est :

P

m

m

P

RRRR

0

0'

La sélectivité du gérant sera alors mesurée en comparant RP et RP’ :

P

m

m

PP

RRRRF

0

0

Pour résumer cette mesure on peut écrire :

Indice de Fama = Prime de risque – Quantité de risque avec corrélation * Prix du risque

Cet indice permet donc de mesurer la capacité du gérant à tirer avantage de la décorrélation

choisie, et à réaliser une performance supérieure à celle du marché, à risque total identique.

3.2.2 Le ratio de Sortino

L’écart type, utilisé par exemple dans le ratio de Sharpe, calcule le risque comme la

dispersion des deux côtés de la moyenne. Cette mesure ne permet donc pas la distinction entre

volatilité positive et volatilité négative.

Afin d’éviter cet écueil Sortino a eu l’idée de ne mesurer le risque que par rapport à la

volatilité à la baisse par rapport à un indicateur de référence (le MAR : Minimal Acceptable

Return). Cette mesure appelée Downside Risk, s’écrit :

N

t

tPP MARRDN 1

, )²(1


GRACZ Romain

ADDING 29/110

Avec D= 1 si MARR tP , , 0 sinon.

L’objectif de ce ratio est de prendre en compte trois éléments :

L’éventuelle asymétrie des rendements des actifs financiers en distinguant « bonne » et

« mauvaise » volatilité

La surpondération par les individus de l’impact d’une perte par rapport à un gain de même

amplitude

Une mesure du risque conforme à un objectif de performance défini à l’avance (le MAR)

Voici un exemple illustratif avec Moyenne des rendements = MAR = 4.06%

On peut observer une asymétrie entre les rendements supérieurs et ceux inférieurs à la

moyenne.

En calculant les mesures de risque que sont la volatilité et le downside risk on obtient :

Volatilité : 0.09

Downside Risk (DR) : 0.042

On observe donc que le DR et la volatilité sont très différents. La très forte part de volatilité

liée au rendement très élevé de la période 5 n’est pas prise en compte dans le downside risk

d’où la différence entre les deux valeurs.

La mesure de performance que Sortino a appuyé sur ce downside risk est finalement très

similaire au ratio de Sharpe, avec comme nuances la mesure du risque et la notion de MAR :

N

t

tP

P

MARRDN

MARRSR

1

, )²(1

3.2.3 Le M²

Leah Modigliani et son grand père le professeur Franco Modigliani montrèrent en 1997 qu’un

portefeuille et son benchmark doivent avoir le même niveau de risque pour être comparés en

termes de rendements.

Figure 1.15 : Downside Risk


GRACZ Romain

ADDING 30/110

Ainsi ils proposèrent la mesure suivante :

)()( 00

2 RRRSRM P

P

m

PmPP

Avec P

P RRS

)( 0 la mesure de Sharpe

Selon les Modigliani,

cette mesure est

intéressante car elle est

plus compréhensible par

l’investisseur moyen que

le ratio de Sharpe.

Ce ratio doit être comparé

avec la rentabilité de

l’indice de marché, c’est

pour cette raison qu’on

retrouve très

régulièrement dans la

littérature la RAP (performance ajustée par le risque) qui est égale à la différence entre le M²

et Rm. Afin de conclure à une surperformance du fonds par rapport à l’indice de marché il sera

donc nécessaire que la RAP soit supérieure à 0.

3.2.4 L’Omega

Introduite par Keating et Shadwick en 2002xviii

, la mesure de l’Omega peut surprendre par son

succès fulgurant. En effet, malgré le manque de recul dont on dispose sur cette dernière, elle

représente l’une des mesures les plus utilisées aujourd’hui avec le ratio de Sharpe et le ratio

de Sortinoxix

.

Cet indice a le mérite de tenir compte de la totalité de la distribution des rentabilités sans faire

aucune hypothèse sur le type de la distribution. Il évite ainsi les écueils des rations de Sharpe

ou Sortino en reflétant exactement la série dans son ensemble.

En effet, alors que les ratios précédemment cités ne prennent en compte que les moments

d’ordre un et deux des distributions, l’Oméga prendra en compte également les moments

d’ordre supérieur tel que la Skewness et le Kurtosis. Avant de nous intéresser à la mesure en

tant que telle rappelons donc les définition de ces moments :

Skewness (ou coefficient d’asymétrie) :

Ce coefficient, associé au moment d’ordre 3 d’une distribution, caractérise son asymétrie.

Mathématiquement il se définit comme suit :

xviii

Keating C. & Shadwick W., “A Universal Performance Measure”, The Finance Development Centre

London, Janvier 2002 xix

N. A.-K., « D’après une étude, le reporting des fonds alternatifs s’améliore », Les Echos, 25 Février 2005

Figure 1.16 : Le M²


GRACZ Romain

ADDING 31/110

3

3

1

))((

EE

Un coefficient de Skewness positif indique une distribution étalée à droite alors qu’un

coefficient négatif indique une distribution étalée à gauche. Les deux schémas qui suivent

permettent d’illustrer ces notions.

Afin de calculer dans la pratique ce coefficient nous utiliserons un estimateur non biaisé

xx :

3

1

1 )()2)(1(

ˆ

n

i

i RR

nn

n

Pour un investissement la skewness permet de relever les extrêmes d’une distribution de

rendements. Ainsi une skewness négative signifiera une fat tail à gauche alors qu’une

skewness positive signifiera une fat tail à droite.

Kurtosis (ou coefficient d’aplatissement) :

Ce coefficient caractérise l’aplatissement d’une distribution et est associé à son moment

d’ordre 4. Il se formalise de la façon suivante :

4

4

2

))((

EE

Si β2 = 3 la distribution est dite platikurtique, elle est proche d’une loi normale (courbe A). Si

β2 > 3 la distribution est leptokurtique (courbe B) et enfin si β2 < 3 la distribution est

mesokurtique (courbe C).

xx

La démonstration figure en annexe

Figure 1.17 : Asymétries

Figure 1.18 : Distributions et coefficient d’aplatissement


GRACZ Romain

ADDING 32/110

Afin de calculer dans la pratique ce coefficient nous utiliserons un estimateur non biaisé (cet

estimateur est normalisé, c'est-à-dire que la frontière n’est plus à 3 mais à 0) :

)2)(1(

)1(3)(

)3)(2)(1(

)1(ˆ2

4

1

2

nn

nRR

nnn

nn n

i

i

Pour un investisseur il est plus intéressant d’avoir un kurtosis faible car cela signifie qu’il y a

une forte probabilité d’être un peu éloigné de la moyenne limitant ainsi les probabilités

extrêmes contrairement à une distribution leptokurtique qui implique une probabilité très forte

d’être très proche de la moyenne mais également une probabilité assez élevée d’être dans les

extrêmes.

Le kurtosis est également appelé variance de la variance car un kurtosis élevé indique que la

variance est principalement due à des déviations peu fréquentes mais extrêmes, tandis qu’un

kurtosis faible illustre des déviations fréquentes mais de faible ampleur.

Revenons désormais au ratio Omega. Ce dernier utilise un niveau de MAR de la même

manière que le ratio de Sortino. Son expression est de la forme suivante :

MAR

MAR

dxxF

dxxFMAROmega

)(

)(1)(

Avec F(x) la fonction de répartition des rendements

Dans la pratique l’Omega est calculé comme le ratio des surplus de rendements par rapport au

MAR pondérés et divisés par les surplus du MAR par rapport aux rendements pondérés :

n

i

i

n

i

i

rMARn

MARrn

MAROmega

1

1

)0,max(1

)0,max(1

)(

Afin de mieux appréhender cette mesure appliquons-la à deux valeurs du CAC40, Unibail et

EADS :

Ce graphique représente

l’Omega pour les deux actions

étudiées en fonction du MAR.

On peut observer que lorsque

le MAR est compris entre 0 et

2.5 % c’est l’action Unibail

qui est la plus intéressante

alors que pour un MAR

supérieur à 2.5 % c’est le

contraire.

Figure 1.19 : Omega et MAR


GRACZ Romain

ADDING 33/110

Afin de mieux comprendre les raisons du croisement des courbes des Omégas observons

les densités (calculées grâce à la méthode des noyaux) et les fonctions de répartition des deux

actifs :

L’explication de la pente plus élevée (en absolue) de l’action Unibail semble alors logique,

elle est liée à l’aplatissement plus faible de sa distribution par rapport à celle de l’action

EADS. Un calcul des Kurtosis nous confirme cette assertion :

3.3. Les mesures de performance dérivées du CAPM

Les méthodes de mesures de performance présentées jusqu’ici ne font pas la distinction entre

la capacité du gérant à anticiper le marché et son aptitude à sélectionner les titres qui forment

son portefeuille. Treynor et Mazuy (1966) sont les premiers à avoir proposé un modèle

permettant de séparer sélectivité (aptitude à sélectionner) et market timing (aptitude à

anticiper le marché). Plus tard Henrickson et Merton(1981) en évoquèrent une autre.

3.3.1 Le modèle de Treynor et Mazuyxxi

Treynor et Mazuy ont été les premiers à proposer une relation quadratique afin de mesurer le

market timing. Leur idée part du principe que le gérant augmente le risque de son portefeuille

s’il anticipe une rentabilité de marché supérieure à celle du taux sans risque et le diminue

sinon. L’équation qu’ils en ressortirent est la suivante :

xxi

Treynor J.L. et Mazuy K.K. (1966), “Can mutual funds outguess the market?”, Harvard Business Review

Figure 1.20 : Distributions EADS et Unibail

Figure 1.21 : Répartitions EADS et Unibail

Figure 1.22 : Skewness et Kurtosis EADS et Unibail


GRACZ Romain

ADDING 34/110

tPtmPtmPPtP RRRRRR ,

2

0,0,0, )()(

Le coefficient P mesure la sélectivité et P mesure le market timing du gérant. Ces

coefficients sont estimés par régression.

Afin d’illustrer ce modèle, nous l’avons appliqué à un fonds « actions françaises » dont le

benchmark est le CAC40 :

On peut observer un coefficient P

égal à 0.018, la sélectivité du gérant

est donc légèrement positive, mais en

ce qui concerne le market timing, le

coefficient P est égal à -2.4887. On

peut donc en conclure que le gérant

de ce fonds anticipe mal le marché.

3.3.2 Le modèle d’Henriksson et Merton(1981)xxii

Henriksson et Merton élaborèrent également un modèle afin de tester la sélectivité du gérant à

anticiper les mouvements du marché. Le modèle est le suivant :

tPtmPtmPPtP RRRRRR ,0,0,0, );0min()(

Comme avec Treynor et Mazuy, si les P sont positifs et significatifs, alors le gestionnaire du

fonds de placement fait preuve de market timing. Le coefficient P permet de détecter une

capacité de sélectivité, également si il est significativement positif.

Afin de vérifier la validité de ce modèle Henriksson a appliqué ce modèle à 116 fonds

mutuels sur la période 1968-1970. Il obtenu une majorité de coefficients P négatifs (pour

une moyenne à -0.07). De plus 11 fonds avaient un coefficient de market timing significatif et

positif tandis que 8 en avaient un négatif. Il constata ainsi que seulement peu de fonds

permettaient une interprétation étant donné la faible significativité de la plupart des résultats.

C’est le principal défaut de ce modèle.

3.4. Bilan des mesures présentées : Exemple à travers trois fonds

Dans cette partie, nous allons effectuer un bilan des mesures étudiées en les appliquant à trois

fonds actions françaises étudiés sur une période de trois ans (novembre 04 - octobre 07). Mais

rappelons tout d’abord les mesures que nous avons exposées dans cette première partie :

xxii

Henriksson et Merton (1981) “On Market Timing and Investment Performance 2: Statistical Procedures for

Evaluating Forecasting Skills”, Journal of Business, vol.54

Figure 1.23 : Modèle de Treynor et Mazuy


GRACZ Romain

ADDING 35/110

Nous allons considérer dans cette étude comme mesure de market timing celle de Treynor et

Mazuy plutôt que celle d’Henriksson et Merton ceci pour deux raisons. Tout d’abord parce

qu’elle est plus facilement accessible pour l’investisseur lambda et parce qu’elle a fait ses

preuves, il s’agit d’ailleurs de la mesure de market timing la plus utilisée.

Commençons maintenant l’étude des trois fonds :

CAAM Atouts France (3 étoiles au classement Morningstar) :

CAAM Indicia France (2 étoiles)

CAAM Sélect France (5 étoiles)

Mesures relatives

Mesures absolues

Mesures de Market Timing

LEGENDE

CAPM

Treynor et Mazuy

Henriksson et Merton

M²

Ratio de Treynor

Alpha de Jensen

Ratio de Sortino

Théorie moderne du

portefeuille

Ratio de Sharpe

Ratio d’information

Omega


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ADDING 36/110

Atout France CAAM Indicia CAAM Select

Ratio d'information 2d 3ème 1er

Ratio de Treynor 2d 3ème 1er

Ratio de Sharpe 2d 3ème 1er

Mesure de Fama 2d 3ème 1er

M² 2d 3ème 1er

Alpha de Jensen 2d 3ème 1er

Omega 2d 3ème 1er

Ratio de Sortino 2d 3ème 1er

Il ressort clairement de ce classement la supériorité du fonds CAAM Select France sur les

autres, suivi du fonds Atout France puis du fonds Indicia France. Le fait que l’ensemble des

ratios concordent sur l’ordre rend l’interprétation aisée. On peut également souligner la

concordance de ce résultat avec la notation de ces fonds par Morningstar (respectivement 5, 3

et 2 étoiles).

Appliquons maintenant le modèle de Treynor et Mazuy à ces trois fonds :

L’utilisation de ce modèle de Treynor et Mazuy nous permet de relativiser les résultats

précédents. En effet, on peut constater que les excellentes performances du fonds Select

France sont exclusivement liées à sa capacité à sélectionner les bons titres puisque l’analyse

présente permet de mettre en exergue la très faible capacité du gérant à anticiper le marché

(market timing).

Figure 1.24 : Etude de trois fonds – Ratios de performance - Classement

Figure 1.25 : Treynor et Mazuy – Fonds Select France


GRACZ Romain

ADDING 37/110

L’étude du fonds Atout France nous montre que la différence entre ce dernier et le fonds

Select France est essentiellement liée à la meilleure capacité de sélectivité du premier gérant.

La capacité d’anticipation du marché du gérant du fonds Atout France est également assez

faible.

Le fonds Indicia France est le plus faible des trois fonds étudiés. On peut cependant distinguer

une bonne capacité du gérant de ce fonds à anticiper les performances du marché, capacité

bien plus élevée que pour les autres gérants. Cette étude permet donc de mettre en relief les

performances des gérants et d’extraire les défauts et qualités de chacun.

Figure 1.26 : Treynor et Mazuy – Fonds Atout France

Figure 1.27 : Treynor et Mazuy – Fonds Indicia France


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ADDING 38/110

Conclusion

e CAPM est à la base des mesures de performance les plus connues, alpha de Jensen et

Ratio de Treynor par exemple. Son utilisation pratique et sa compréhension facile pour

l’investisseur lambda en font le modèle le plus apprécié.

Cependant de nombreuses critiques vis-à-vis de celui-ci subsistent. L’une des plus célèbres

est celle de Roll (1977). Ce dernier a notamment pointé du doigt le fait qu’il était quasiment

impossible de mesurer le vrai portefeuille de marché et qu’il est donc impossible de valider

empiriquement la théorie du CAPM.

Ces critiques ont évidemment des conséquences sur les mesures de risques dérivées du

CAPM (Treynor, Jensen,…). Roll montra ainsi qu’une simple petite modification du

benchmark choisi comme portefeuille de marché pouvait considérablement impacter le

classement des gestionnaires. L’un des consensus actuels porte sur le fait qu’un seul facteur

ne peut être suffisant pour exprimer les rendements. C’est ainsi que de nombreux modèles

plus complexes se sont développés, tels que les modèles conditionnels et les modèles

multifactoriels.

L


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ADDING 39/110


GRACZ Romain

ADDING 40/110

MODELES ALTERNATIFS, PERSISTANCE

ET ATTRIBUTION DE PERFORMANCE


GRACZ Romain

ADDING 41/110

Introduction

ux yeux d’un certains nombres d’analystes financiers les mesures de performances

présentées dans la première partie, malgré leur très grandes qualités, ne reflètent pas

suffisamment la réalité des marchés. C’est donc pourquoi des scientifiques ont tenté

de chercher de nouveaux modèles, pour répondre aux nouveaux problèmes posés. C’est ainsi

que sont nés les modèles conditionnels et les modèles indépendants du marché au milieu des

années 90, ceux-ci sont présentés dans le premier chapitre.

Un autre type de modèle a également fait alors son apparition : le modèle multifactoriel. Ce

dernier a également permis d’ouvrir de nouvelles voies à la mesure de performance. Celles-ci

sont présentées dans le second chapitre de cette partie.

Nous présenterons finalement dans un troisième chapitre la notion assez récente de

persistance de la performance et la notion d’attribution de performance dans le dernier

chapitre.

A


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ADDING 42/110

CHAPITRE 1 Les modèles

conditionnels et

indépendants

erson et Schadt prouvèrent en 1996 que les différentes mesures de performance non

conditionnelles ne sont pas viables si les rentabilités espérées et les risques ne sont pas

stables dans le temps. En effet, dans ce cas, les variations des risques et des primes de

risque sont reflétées dans l’estimation de l’alpha ce qui conduit à une sur ou sous-performance

du manager. Ainsi, les deux auteurs recommandent d’utiliser une mesure de performance

conditionnelle permettant d’éliminer ces défauts. Ils créèrent ainsi un modèle contrôlant

linéairement l’information publique sur les variations temporelles du risque Beta. Ce modèle

a ensuite été enrichi par Christopherson et al (1998). Ces derniers supposèrent que non

seulement le Beta mais également l’Alpha étaient soumis à des variations temporelles. Ces

mesures conditionnelles sont aujourd’hui assez répandues dans la littérature et régulièrement

utilisées.

1.1. Le modèle de Ferson et Schadt : le Time-Varying bêtaxxiii

1.1.1 Un modèle basé sur le CAPM conditionnelxxiv

Le modèle de Ferson et Schadt est basé sur une version conditionnelle du MEDAF et sur

l’hypothèse d’efficience semi-forte au sens de Famaxxv

.

xxiii

Ferson W., Schadt R., « Measuring Find Strategy and Performance in Changing Economic Conditions », The

Journal of Finance, Juin 1996 xxiv

Le modèle de Ferson et Schadt peut également s’adapter à des modèles multi-facteurs tels que le modèle à

trois facteurs de Fama et French. Pour plus de renseignements consulter :

Kock S., Westheide C., « The Conditionnal Relation between Fama-French Betas and Returns », 0ct 2008, AFFI

(site)

F


GRACZ Romain

ADDING 43/110

Le CAPM conditionnel s’écrit comme suit :

1,01,01, )()( tPtPtmtP ZRRRR (1)

01, ttP ZE (2)

0)( 01,1, ttmtP ZRRE (3)

Avec tZ une fonction linéaire d’un vecteur de variables macroéconomiques représentant

l’information publique à la date t

)( tP Z représente le bêta conditionnel au vecteur d’information

1, tPR le rendement du portefeuille en t+1

1, tmR le rendement du marché en t+1

Le terme d’erreur 1, tP ne dépend pas de l’information disponible, cette assomption

correspond à l’équation (2). De plus, étant donné que nous avons supposé que les

gestionnaires n’utilisent pas plus d’information que tZ (hypothèse de Fama), le bêta de

portefeuille n’est une fonction que de tZ . Ainsi en utilisant un développement limité de

Taylor cette fonction peut être approximéexxvi

:

tPPtP zBZ '

0)(

Avec :

tz = tt ZEZ

P0 le bêta moyen du portefeuille : )(0 tPP ZE '

PB la sensibilité du bêta au vecteur tz

De cette formulation du bêta conditionnel, on peut déduire le rendement du portefeuille :

1,01,

'

001,01, )()( tPtmtPPtmtP RRzBRRRR

La principale difficulté lors de l’utilisation de ce modèle conditionnel sera de déterminer le

vecteur d’information que l’on utilisera. On peut citer à titre d’exemple l’étude de Kamel

Laaradh. Ce dernier a considéré, dans une étude sur la performance de fonds actions et

obligataires anglaisxxvii

les vecteurs d’informations suivant :

Pour les fonds actions : la valeur annualisée retardée du taux sans risque (Treasury

Bill à 1 mois), le taux de dividende retardé sur le marché action (FT All Share), la

différence retardée entre le taux sur les obligations d’Etat de long terme et le taux sur

les bons du trésor à trois mois.

Pour les fonds obligataires : la valeur annualisée retardée du taux sans risque à 1

mois (Treasury Bill à 1 mois), la différence retardée entre le taux sur les obligations

xxv

La forme semi-forte de l’hypothèse d’efficience postule qu’il n’est pas possible d’obtenir un avantage

particulier d’informations rendues publiques concernant les titres ; les cours s’adaptent donc instantanément et

correctement à l’annonce publique d’événements comme une augmentation de capital, une OPA,… xxvi

Shanken, Jay, 1990, « Intertemporal asset pricing : An empirical investigation », Journal of Econometrics xxvii

Laaradh K., Maillet B., « Tests non-paramétriques de la persistance de la performance des fonds : illustration

britannique », Mai 2007


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ADDING 44/110

d’Etat de long terme et le taux de dividende sur le marché des actions, la différence

retardée entre le taux des obligations d’Etat de long terme et le taux sur les bons du

trésor à trois mois, la différence retardée entre la rentabilité de marché des actions et le

taux sans risque.

Maintenant que nous avons présenté le modèle du CAPM conditionnel nous allons l’appliquer

à la mesure de performance.

1.1.2 Application du modèle à la mesure de performance

1.1.2.1 La mesure de Jensen

Lorsque le risque varie trop en fonction du temps la mesure de Jensen classique ne donne pas

de bons résultats. Le modèle de Ferson et Schadt va pouvoir permettre de résoudre ce

problème. En appliquant ce dernier à l’alpha de Jensen on obtient :

1,01,

'

001,01, )()()( tPtmtPPtmtPP RRzBRRRR

Cet alpha représente la différence moyenne entre le rendement en excès (du taux sans risque)

du portefeuille et le rendement en excès de la stratégie dynamique de référence. Ce modèle

nous permet donc d’avoir une meilleure approximation de l’alpha d’un portefeuille.

En guise d’illustration, Ferson et Schadt appliquèrent cette formule avec deux variables

macroéconomiques : le taux des bons du trésor américains ( tTB ) et l’indice de marché des

dividendes ( tDY ).

Notons :

DYEDYdy tt

TBETBtb tt

Nous avons ainsi :

t

t

ttb

dyz

Et

P

P

tb

bB

2

1

L’alpha de Jensen conditionnel s’écrit donc dans ce cas :

1,01,201,1001,01, )()()()( tPtmtPtmtPPtmtPCondP RRtbbRRdybRRRR

Avec Pb1 et Pb2 représentants la sensibilité du portefeuille à l’indice de marché des dividendes

et au taux des bons du trésor américains. Les différents coefficients sont évalués par

régression.


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ADDING 45/110

1.1.2.2 Treynor et Mazuy

L’approche non conditionnelle du modèle de Treynor et Mazuy ne fait pas la différence entre

la capacité à utiliser l’information macroéconomique disponible à tous et la sélectivité

spécifique du gérant. L’approche conditionnelle permet quant à elle cette séparation.

tPtmPtmtPPtmPtP RRRRzBRRRR ,

2

0,01,

'

001,0, )()()(

En reprenant les deux informations que choisirent Ferson et Schadt on obtient la formule

suivante :

1,

2

01,01,201,1001,01, )()()()( tPtmPtmtPtmtPPtmPtP RRRRtbbRRdybRRRR

Les coefficients sont, comme d’habitude, estimés par une régression.

Notons de plus qu’une version d’Henriksson et Merton avec un bêta conditionnel existe

également, nous n’allons cependant pas exposer ce modèle icixxviii

.

1.2. Le modèle de Christopherson et al. : le Time Varying

alphaxxix

En 1998, Christopherson et al. proposèrent un modèle conditionnel en raisonnant de la même

façon que Ferson et Schadt mais cette fois-ci pour l’alpha. Ils supposèrent en effet que non

seulement le bêta varie avec l’information mais que c’est également le cas pour l’alpha.

Ainsi on a, pour l’alpha de la même manière que pour le bêta précédemment, la formule

suivante :

tPPtP zAaZ '

0)(

La notation sont les mêmes que précédemment.

On déduit de cette formulation l’équation à appliquer pour calculer l’alpha de Jensen sous ce

modèle :

tPtmtPPtmtPPtP RRzBRRzAaRR ,01,

'

001,

'

001, )()(

De la même manière que pour le modèle de Ferson et Schadt on peut appliquer celui-ci à la

mesure de Treynor et Mazuy.

xxviii

Le lecteur curieux pourra consulter :

Le Sourd V., Amenc N., « Portfolio theory and performance analysis » Chap.5 P. 143-144, Wiley, 2003 xxix

Christopherson J., Ferson W., Turner A., “Performance evaluation using conditional alphas and betas”,

Journal of Portfolio management, 1999


GRACZ Romain

ADDING 46/110

1.3. Modèles indépendants du marché

Roll a souligné l’impossibilité de mesurer le vrai portefeuille de marché et a donc, par là

même, critiqué les mesures de performance liées à ce dernier. Ainsi un certain nombre de

mesures ne dépendant pas du marché ont été développées pour répondre à ces critiques. Ces

mesures sont principalement utilisées pour mesurer le market timing des gérants de

portefeuille.

La principale mesure indépendante du marché résulte d’une première étude de Cornellxxx

(1979). Son principe est simple, il s’agit d’observer la rentabilité d’un titre lorsqu’il fait partie

du portefeuille est lorsqu’il n’en fait pas partie. Ceci permet donc de vérifier si le gérant a la

capacité d’acheter et vendre les titres aux moments les plus opportuns. Cependant, cette

évaluation est limitée par le fait qu’il faille connaître les changements intervenus avec

précision, elle est donc très peu utilisée mais n’en demeure pas moins intéressante car elle

permet de faire le lien entre les mesures classiques basées sur des fondements théoriques et

les mesures purement empiriques.

La démarche de Cornell a été reprise par Grinblatt et Titmanxxxi

(1993) en estimant qu’un

gérant non informé ne peut prévoir les rendements futurs d’un portefeuille alors qu’un gérant

informé a la connaissance des portefeuilles sur ou sous-évalués et pourra donc en tirer profit.

Cette aptitude peut être mesurée par une mesure du changement de pondération du

portefeuille, la Portfolio Change Measure (PCM) :

T

RPCM

ktjtjtj

,,,

Avec :

tj , le poids de l’actif j durant la période t

tjR , la rentabilité de l’actif j durant la période t

Cette mesure va converger vers zéro s’il n’existe pas d’information privilégiée et sera élevée

si le gérant dispose d’une telle information.

Cette mesure est très séduisante car elle permet de ne pas utiliser de Benchmark et répond

ainsi à la critique de Roll. Elle est cependant quasi impossible à mettre en œuvre en raison des

informations nécessaires à son application. Elle souffre de plus d’un biais du survivantxxxii

potentiel au cas où une valeur disparaitrait en raison d’une faillite.

xxx

Cornell B : Asymetric Information and Portfolio Performance Measurement, Journal of Financial Economics,

vole 7 (1979) p381-390 xxxi

Grinblatt M et Titman S : Performance Measurement without Benchmarks : an Examination of Mutual Fund

Returns, Journal of Business (1993) vol. 66 n°1 p 47- 68 xxxii

Pour plus d’informations consulter :

Stephen J. Brown, William Goetzmann, Roger G. Ibbotson, Stephen A. Ross, “Survivorship Bias in Performance

Studies”, Oxford University Press, 1992.


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ADDING 47/110

CHAPITRE 2 Les modèles

multifactoriels « Beta is

dead »

e CAPM est basé sur de très fortes hypothèses théoriques qui ne sont, pour la plupart,

pas respectées dans la pratique. Ce problème a maintes fois été évoqué et a tenté d’être

résolu par des versions modifiées du CAPM, mais ces derniers n’ont qu’amené des

réponses partielles. Les théoriciens ont alors tenté de créer un modèle plus général permettant

de simplifier les hypothèses. Il en résulta une famille de modèles regroupés sous l’étiquette de

modèles multifactoriels. Ces derniers constituent une alternative intéressante au CAPM mais

ne le remplace pas.

Dans cette partie nous allons tout d’abord présenter ces modèles d’un point de vue théorique

puis décrire les méthodes permettant de choisir les facteurs et estimer les paramètres.

Finalement nous présenterons une application de ce modèle à la mesure de performance.

2.1. Présentation théorique

2.1.1 L’APT (Arbitrage Pricing Theory) ou MEA (Modèle

d’évaluation par arbitrage)xxxiii

Le MEA, développé initialement par Ross, représente à la fois une alternative et une

extension du CAPM. Ce modèle est basé sur des hypothèses moins restrictives que celles du

CAPM. En effet, alors que dans le CAPM on suppose que les rendements des actifs sont

normalement distribués l’APT ne fait aucune hypothèse sur la distribution de ceux-ci. Ce

modèle ne nécessite pas non plus d’hypothèse sur la nature de la fonction d’utilité, mais

suppose simplement que les agents sont averses au risque.

xxxiii

Ross S., « The arbitrage theory of capital asset pricing », Journal of Economic theory, 1976

L


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ADDING 48/110

La principale différence entre APT et CAPM est lié au nombre de facteurs. En effet, alors que

le CAPM ne fait apparaître qu’un unique facteur, l’APT nécessite K facteurs et constitue donc

une théorie plus générale (si évidemment K>1). Le problème consiste alors à déterminer le

nombre et la nature des facteurs.

L’APT repose sur une relation linéaire entre les rendements des actifs et les K facteurs :

it

K

k

ktikiti FbRER 1

,

Avec :

tiR , le rendement de l’actif i

ikb la sensibilité de l’actif i au facteur k

ktF le rendement du facteur k

it le résidu de l’actif i (rendement non expliqué par les facteurs)

L’APT suppose que les marchés sont parfaitement efficients et que les facteurs sont les

mêmes pour chaque individus (hypothèse contestable mais essentielle afin de simplifier le

modèle). On suppose que le nombre d’actifs est très supérieur au nombre de facteurs.

On suppose également :

0),cov(

0),cov(

ki

ji

F

ki

ji

,

La relation d’équilibrexxxiv

découlant de ce modèle est :

K

k

ikki bRRE1

0

k peut être interprété comme la prime de risque du facteur k à l’équilibre.

Définissons k comme le rendement espéré d’un portefeuille avec une sensibilité au facteur k

égale à 1, et une sensibilité nulle aux autres facteurs. On peut alors écrire :

0Rkk

Ce qui nous permet d’écrire :

K

k

ikki bRRRE1

00

Cette relation peut être interprétée comme l’équation d’une régression linéaire où :

k

kit

ik

Rb

var

,cov

Cette formulation montre que le CAPM est un cas particulier du modèle APT si l’on suppose

les rendements normalement distribués.

Le modèle APT nous permet d’expliquer les rendements avec plusieurs facteurs ce qui lui

donne un avantage sur le CAPM, le portefeuille de marché n’a pas de rôle particulier, il ne

s’agit plus que d’un facteur parmi d’autres.

De nombreuses études empiriques ont été effectuées afin de déterminer les facteurs les plus

significatifs, nous allons les présenter dans la seconde partie.

xxxiv

La preuve se situe en annexe


GRACZ Romain

ADDING 49/110

2.1.2 Les modèles empiriques

Les modèles empiriques font des hypothèses moins restrictives que les modèles du type APT.

En effet, ils supposent que la moyenne des rendements des actifs peut être décomposée

directement à l’aide de facteurs. Ainsi une seule étape de calcul est nécessaire alors que l’APT

en nécessite deux.

Pour tout actif i, la relation s’écrit :

i

K

k

ikki bRRE 1

0

Avec :

ikb la valeur du facteur k de l’actif i

k le coefficient associé au facteur k et correspondant à la rémunération du marché pour

ce facteur

Les facteurs utilisés dans ce modèle proviennent de l’analyse financière. Ce sont des ratios

financiers comme le taux des dividendes ou le PERxxxv

. Nous allons présenter dans la suite un

exemple très connu de modèle empirique, le modèle développé par la firme Barra.

2.1.3 Liens entre les deux types de modèle

Les deux expressions sont très similaires hormis le fait qu’il n’y a pas de terme résiduel dans

l’équation de l’APT. Cependant, la principale différence entre les deux modèles résulte du fait

que les variables dominantes ne sont pas la mêmes. En effet, dans l’APT c’est la prime de

risque qui domine (lambda) alors que dans les modèles empiriques il s’agit du bêta. Les deux

approches correspondent donc à deux philosophies différentes.

2.2. Choix des facteurs et estimation des paramètres

La théorie des modèles multifactoriels implique le choix d’un certain nombre de facteurs. Ce

choix représente la principale difficulté liée à ces modèles. En effet, la phase de recherche et

d’identification des facteurs les plus significatifs ainsi que l’estimation des primes de risque

associées peut parfois s’avérer harassante. C’est pourquoi il est essentiel de se baser sur les

études empiriques liées à ce sujet et qui permettent de s’orienter vers certains facteurs.

Il existe deux principales techniques permettant de déterminer les facteurs :

La méthode explicite qui consiste à déterminer les facteurs à l’avance, c'est-

à-dire que le choix des facteurs est tout d’abord arbitraire puis, dans un second temps, des

tests permettent de ne conserver que les facteurs les plus significatifs.

La méthode implicite qui permet d’extraire les facteurs des données

historiques.

xxxv

Le PER (Price/Earnings Ratio) est le rapport entre le cours de bourse d'une entreprise et son bénéfice après

impôts, ramené à une action.


GRACZ Romain

ADDING 50/110

2.2.1 Modèles explicites : exemple du modèle de Barra

Ce modèle est l’exemple le plus connu d’application d’un modèle multifactoriel dans le cadre

commercial. Développé par l’entreprise Barra ce modèle s’appuie sur les caractères

fondamentaux des firmes tels que le secteur ou la taille en supposant que ces derniers

influencent le risque systématique des actions.

Les rendements sont exprimés selon la formule suivante :

ti

K

k

tktkitti ubRR ,

1

,,,,0,

Avec :

kib , représente l’exposition de l’actif i au facteur k

k représente le facteur k

Les facteurs utilisés dans ce modèle sont de deux catégories différentes. Certains facteurs sont

liés à un secteur industriel et d’autres à un indice de risque.

Dans l’étude de Barra sur le marché américain, 52 catégories industrielles ont été définies

(pour le marché français on pourrait considérer les secteurs ICBxxxvi

ou pour plus de précision

les supersecteurs ICB). Il a alors été attribué un poids pour chaque actif dans chaque

industrie. Par exemple si l’on considère le facteur aéronautique et l’action EADS on pourrait

supposer que le poids associé serait 1, et 0 pour tous les autres facteurs.

Pour la seconde catégorie de facteurs, Barra précise une liste de 13 indices de risque. Les

principaux en sont la volatilité, le momentum, la taille, la liquidité, la croissance,…

Il est à noter que ces indices ne sont pas déterminants pour tout les pays, ils pourront donc

varier selon le pays d’étude. Voici un exemple donné par Barra:

xxxvi

« La nomenclature ICB (Industry Classification Benchmark), s’applique à l’ensemble des sociétés cotées sur

les marchés européens de NYSE Euronext. Cette classification sectorielle couvre dans le monde 40 000 sociétés

et 45 000 titres. Elle permet d’identifier les valeurs selon la hiérarchie ICB décomposée en dix industries, 18

super-secteurs, 39 secteurs et 104 sous-secteurs. »(définition Euronext)

Figure 2.1 : Modèle de Barra - Indices


GRACZ Romain

ADDING 51/110

Les poids liés aux indices de risque sont choisis de façon à maximiser la significativité du

modèle, ils sont également normalisés.

L’application de ce modèle implique donc la connaissance de la valeur des indices de risques.

2.2.2 Modèles implicites

L’idée de cette approche est d’utiliser le rendement des actifs afin de caractériser les facteurs

inobservables. Ces derniers sont extraits grâce à une méthode d’analyse factorielle. Cette

méthode a été originellement utilisée par Roll et Ross afin de tester le modèle APT.

Cependant elle ne permet pas de donner la nature des facteurs.

Nous n’allons pas développer ces modèles ici en raison de leur très faible utilisation dans la

réalité. En effet, selon une étude annuelle de l’EDHECxxxvii

environ 13 % des gérants utilisent

un modèle implicite alors que 63 % utilisent un modèle explicite du type Barra. Le lecteur

intéressé pourra se référer à l’ouvrage de N.Amenc et V.Le Sourd « Portfolio Theory and

performance analysis » (P.159-164) pour plus de renseignements.

2.2.3 Comparaison des différents modèles

Les modèles à facteurs explicites sont des modèles plus simples à utiliser mais qui supposent

que l’on connaisse le nombre et la nature des facteurs. Il est donc essentiel de bien connaître

les paramètres influençant le marché. Malgré ce défaut ces modèles sont beaucoup plus

utilisés que les modèles implicites en raison de leur facilité d’utilisation.

La question principale est donc de savoir s’il faut utiliser un modèle à facteurs explicites

microéconomiques et constitués d’indices. Sur cette question les gérants de portefeuille ont

tranché et choisissent majoritairement les modèles à facteurs microéconomiques de type

BARRAxxxviii

.

2.3. Application des modèles multifactoriels

Dans cette section nous allons montrer une application des modèles multifactoriels à la

mesure de performance en l’occurrence l’analyse de style de Sharpe.

L’analyse de style a été développée par Sharpe en 1992. Ce dernier fait l’hypothèse que les

différences de comportement des gérants de fonds induisent des différences dans les stratégies

d’investissement employées. Selon lui ces différences de comportement doivent pouvoir être

extraites des rendements des différents fonds. Il est donc possible d’analyser le style

d’investissement d’un fond en se basant sur l’historique de ses rendements.

Le but de l’analyse de style est donc de fournir une répartition objective du style réel du

gérant. En effet, le benchmark annoncé par le gérant ne correspond pas toujours à son style.

Ainsi, celui-ci peut très bien avoir une performance meilleure que le benchmark annoncé mais

moins bonne que l’indice correspondant à son style de gestion.

xxxvii

« The EDHEC European Investment Practices Survey 2003», xxxviii

A 63 % contre 25 % en ce qui concerne les gérants français (Source : EDHEC)


GRACZ Romain

ADDING 52/110

Le modèle d’analyse de style de Sharpe représente une généralisation des modèles

multifactoriels, il se présente de la manière suivante :

tP

K

k

tkkPtP FbR ,

1

,,,

Avec :

tPR , le rendement du portefeuille P à la date t

tkF , le rendement du facteur k à la date t

kPb , le coefficient de style équivalent à la sensibilité du portefeuille P au facteur de style k

tP, la part inexpliquée du rendement du portefeuille

Dans ce modèle les facteurs sont des classes d’actifsxxxix

mais contrairement à d’autres

modèles multifactoriels pour lesquels les coefficients ne sont pas soumis à contraintes, ici

certaines règles doivent être suivies comme l’impossibilité de vente à découvert :

1

,10

1

,

,

K

k

kP

kP

b

kb

Les coefficients sont déterminés en minimisant la variance des résidus tout en respectant les

contraintes prédéfinies. Il en ressort donc un benchmark plus en rapport avec le style réel du

gérant et sur la base duquel il pourra être comparé. Ceci permettra donc d’éviter certains

écueils liés à un mauvais choix de benchmark de la part du gestionnaire.

2.3.1 Application

Afin de mener à bien l’illustration, nous avons utilisé deux fonds exemples. Le premier est un

fonds diversifié. Son benchmark tel que livré par le gérant est 50 % EuroMTS 5-7ansxl

et 50 %

SBF120xli

. L’objectif est alors de vérifier si ce benchmark est en adéquation avec le style réel

du gérant. Le modèle utilisé est donc le suivant :

tPtttttP EuroMTSbSBFbR ,,2,1, 120

Sur la période d’étude, c'est-à-dire janvier 2004 à décembre 2008, le style de gérance obtenue

par cette méthode se résume par le benchmark suivant : 47,4% SBF120 et 52.6 % EuroMTS.

Le style du gérant se rapproche donc beaucoup du benchmark « officiel ».

Etudions maintenant l’évolution de ce style par année glissante (un point par mois). Nous

obtenons le schéma suivant :

xxxix

Lors de son étude, Sharpe avait utilisé 12 facteurs comme par exemple les actions haute capitalisation

(respectivement moyenne, basse), les actions européennes, les actions japonaises,… xl

Les indices EuroMTS (EMTX) répliquent la performance du marché des obligations d’Etat libellées en euro

(source : Euronext). xli

120 plus grosses capitalisations d’Euronext


GRACZ Romain

ADDING 53/110

Le style du gérant semble donc évoluer au cours du temps, il est intéressant de noter qu’en

2005 le gérant a semblé beaucoup plus agressif dans son approche avec un style s’approchant

du 80 % actions-20 %obligations.

Il faut cependant faire très attention dans l’analyse de style, le fait qu’en 2005 le fonds se

comporte comme un fonds dont le benchmark est 80 % actions – 20 % obligations n’implique

pas qu’il est composé de cette manière. William Sharpe expliquait métaphoriquement ce

problème : « Je ne sais pas si c’est un canard, mais il se comporte comme un canard ». Etant

donné que nous ne connaissons pas les positions en portefeuille nous ne pouvons déduire que

l’analyse de style la composition de ce dernier mais seulement trouver un mélange d’indices

expliquant au mieux son comportement.

Tout au long de ce chapitre, nous avons présenté les différentes catégories de modèles

multifactoriels et leur application à la gestion de portefeuille. Nous avons vu que les modèles

de type explicites sont souvent préférés aux modèles à facteurs implicites, même si ces

derniers ont un avantage théorique indéniable. Finalement nous avons appliqué une utilisation

de ces modèles multi factoriels à la mesure de performance, l’analyse de Sharpe.

Pour conclure, il peut être intéressant de faire un point sur l’apport du modèle APT et des

modèles multifactoriels en général par rapport au CAPM. La qualité de ces modèles d’un

point de vue théorique est indéniable et n’est aujourd’hui plus remise en cause. Cependant, on

peut observer qu’en pratique le CAPM est toujours très utilisé, notamment grâce à sa

simplicité de mise en œuvre et de compréhension. Le bêta n’est donc pas mort comme

l’annoncèrent de façon très prématurée Fama et French.

Figure 2.2 : Modèle de Sharpe Glissant


GRACZ Romain

ADDING 54/110

CHAPITRE 3 La persistance

de la performance

es mesures de performance sont très appréciées par les investisseurs, qui peuvent,

grâce à ces dernières, évaluer le travail de leur gérant. Cependant celles-ci ne

permettent pas de répondre à la question de la persistance dans le temps des

performances du gestionnaire.

C’est donc pour cela qu’un certain nombre d’outils de mesure de cette persistance ont vu

récemment le jour. Persistance définie précisément par Carhart en 1997 comme étant « une

relation positive entre les classements de performance sur une première période et ceux sur

une période subséquente ».

Nous allons ainsi présenter la principale mesure de la persistance utilisée : la mesure de Hurst.

3.1. Le Principe de l’exposant de Hurst

L’idée de base de cette mesure est très simple. En effet, si les excès de rentabilité du fonds par

rapport à son benchmark suivent une marche aléatoire alors il n’y a pas de persistance de la

performance. En revanche, s’il existe une corrélation entre les excès de rentabilité successifs,

il y a existence d’une persistance.

L’exposant de Hurst part donc de ce principe pour mesurer la persistance. En effet, ce dernier

est construit comme une mesure de déviation par rapport à la marche aléatoire correspondant

à un exposant égal à ½. Ainsi si l’exposant est supérieur à ½ on parle de persistance alors que

si il est inférieur à ½ on parle d’anti-persistance.

3.2. Le calcul de l’exposant de Hurst

Le calcul de cet exposant se fait en plusieurs étapes. On procède d’abord au calcul des excès

de performance :

tPtPt BRExcès ,,

L


GRACZ Romain

ADDING 55/110

Avec : tPB , le rendement du benchmark du portefeuille en t

Notons ensuite Z(t) la différence entre cet excès de performance et la moyenne des

rentabilités du portefeuille :

K

t

tPt RK

ExcèstZ1

,

1)(

On définit désormais :

))((

))((

)()(

min

max

02

0

1

0

tYY

tYY

sZtY

Kt

Kt

t

s

Une fois que l’on a procédé à ces calculs on peut alors calculer l’exposant de Hurst :

21ln)ln(

1 YY

KH

Avec :

K

t

K

t

tPt RK

RK 1

2

1

, )1

(1

1 : Estimateur sans biais de la dispersion des rendements sur

l’échantillon.

3.3. Application

Appliquons maintenant cette mesure de performance au fonds dont nous avons étudié

l’analyse de style précédemment. Les résultats obtenus sont les suivants :

On peut s’apercevoir que l’exposant de Hurst a une valeur

de 0.38. Les performances du fonds étudiés ne sont donc pas

régulières mais plutôt épisodiques. Il n’y a pas de présence

de persistance de ces performances dans le cas présent.

Figure 2.3 :Exposant de Hurst


GRACZ Romain

ADDING 56/110

Dans les précédents chapitres nous avons exposé de nombreux modèles de mesure de la

performance sans avoir pu être exhaustif tant la matière est large. Nous avons cependant

désormais une vision globale des modèles les plus utilisés en matière de mesure de

performance, notamment grâce à l’exposant de Hurst, qui nous permet de savoir si un fonds

présente une persistance dans ses performances.

Nous allons maintenant nous intéresser à un domaine assez récent de l’appréciation des

performances de fonds mais qui connait un fort succès : l’attribution de performance.


GRACZ Romain

ADDING 57/110

CHAPITRE 4 Attribution de

performance

es chapitres précédents nous ont permis d’étudier les principaux modèles de mesure de

performance. En vue d’offrir aux investisseurs un spectre encore plus large en matière

d’analyse de la performance, il semble essentiel de s’intéresser aux faits générateurs de

la sur performance (ou de la sous performance) d’un fonds. C’est donc pour cela que nous

allons présenter dans ce chapitre le domaine de la finance étudiant ces derniers : l’attribution

de performance.

L’attribution de performance va permettre de décomposer l’écart de performance entre un

fonds et son benchmark en ses principaux éléments constitutifs. Elle est donc un véritable

outil de gestion pour un gérant ou un investisseur, leur permettant d’identifier et d’expliquer

les causes de cet écart.

Le premier à avoir parlé d’attribution de performance fut Eugène Famaxlii

en 1972 mais les

articles déterminants furent écrit en 1986 par Brinson et al et en 1985 par Brinson et Fachler,

ces derniers présentèrent le premier modèle d’attribution de performance : le modèle de

Brinson, Hoob et Beebower.

xlii

Eugène F. Fama, « Components of Investment Performance », Journal of Finance 27, n°3, Juin 1972

L


GRACZ Romain

ADDING 58/110

4.1. Le Modèle de Brinson, Hood & Beebower

Avant de débuter la présentation du modèle introduisons tout d’abord quelques notations.

Le rendement d’un fonds peut s’écrire de la manière suivante :

n

i

iiP RwR1

Avec :

n le nombre de classes d’actifs dans le fonds (actions françaises, actions US,…)

iR le rendement de la classe d’actif i sur la période étudiée

iw le poids de la classe d’actif i dans le portefeuille.

De la même manière le rendement du benchmark s’écrira :

n

i

iiB BWR1

Brinson, Hoob et Beebower proposèrent un modèle se basant sur l’hypothèse qu’un gérant va

chercher à sur-performer son benchmark grâce à deux moyens : l’allocation sectorielle et la

sélection de titres.

4.1.1 L’allocation sectorielle

L’allocation sectorielle définit l’univers d’investissement et le poids des différentes classes

d’actifs composant le portefeuille de référence (benchmark). Afin de connaître le rendement

lié à cette allocation, nous allons calculer un fonds intermédiaire appelé « fonds

d’allocation ». Le rendement de ce fonds d’allocation est :

n

i

iiS BwB1

Comme on peut le voir ci-dessus, ce fonds d’allocation a les mêmes pondérations que le fonds

étudié mais chaque compartiment de ce fonds a les rendements du compartiment équivalent

du benchmark.


GRACZ Romain

ADDING 59/110

Ainsi afin de mesurer la contribution de l’allocation sectorielle on calcule la différence entre

le rendement du fonds d’allocation et du benchmark :

n

i

iiiBS BWwRB1

)(

Notons iA la contribution de la ième

catégorie :

iiii BWwA )(

Maintenant que nous avons extrait la performance liée à l’allocation sectorielle, voyons ce

qu’il en est pour la sélection de titres.

4.1.2 La sélection de titres

Le principe de la mesure de la sélection des titres est le même que celui de l’allocation

sectorielle. On construit ainsi un fonds intermédiaire que l’on appellera « fonds sélection »

ayant les pondérations du benchmark mais dont les compartiments ont les rendements des

compartiments du fonds étudié :

n

i

iiS RWS1

De la même manière que précédemment, la contribution de la sélection de titre à la

performance du fonds étudié est :

n

i

iiiBS BRWRS1

)(

Notons iS la contribution de la ième

catégorie :

)( iiii BRWS

On peut se rendre compte à ce stade que l’allocation d’actifs et la sélection de titres

n’expliquent pas totalement la différence de performance entre le fonds et le benchmark.

Nous allons donc introduire un troisième terme : l’interaction.


GRACZ Romain

ADDING 60/110

4.1.3 L’interaction

La différence de performance entre le fonds et son benchmark s’écrit :

)()()( BSSPBSBSBP RBSRRBRSRR

Le premier élement du terme à droite de l’égalité représente la sélection de titres, le second

représente l’allocation sectorielle et le troisième et dernier va donc représenter l’interaction.

On a :

)()(1

n

i

iiiiBSSP BRWwRBSR

Notons iI la contribution de la ième

catégorie :

)()( iiiii BRWwI

4.1.4 Bilan

Afin de résumer la méthode de Brinson, Hood et Beebower nous pouvons suivre le tableau

suivant :

Figure 2.4 : Méthode de BHB


GRACZ Romain

ADDING 61/110

Ainsi le rendement du fonds, une fois passé par le modèle de Brinson, Hood & Beebower, se

décompose en quatre parties.

4.1.5 Un exemple

Afin d’illustrer la méthode appliquons la à un fonds que nous nommerons A et donc le

benchmark sera noté B. Les différentes données dont nous disposons sont les suivantes :

Calculons le surplus de rendement lié au fonds d’allocation :

%5.1005.0002.0

05.0)4.03.0(05.0)4.04.0(2.0)2.03.0(

)(1

n

i

iiiBS BWwRB

On peut remarquer que le gérant du fonds a eu tendance à surpondérer la classe d’actifs

« Actions Françaises », ceci lui a donc permis de faire un rendement supérieur de 2 %, alors

qu’il a sous-pondéré les « Actions zones euros » perdant ainsi 0.5 % de rendement. Au final

l’allocation d’actifs lui a permis de gagner 1.5 % de rendement.

Calculons maintenant le surplus de rendement lié à la sélection de titres :

%102.004.001.0

4.0)05.01.0(4.0)05.005.0(2.0)2.025.0(

)(1

n

i

iiiBS BRWRS

Alors que l’on a pu remarquer que l’allocation du gérant a plutôt été bonne, on voit ici que sa

sélection de titres a été moins fructueuse. En effet, malgré des performances supérieures au

benchmark pour les compartiments « Actions Françaises » et « Actions Zone Euro », la

performance de la classe « Actions US » a été si faible par rapport au benchmark qu’à elle

seule elle implique un rendement lié à la sélection de titres négatif.

Enfin le surplus de rendement dû à l’interaction est :

Figure 2.5 : Exemple 1 - Méthode de BHB


GRACZ Romain

ADDING 62/110

%0

)()(1

n

i

iiiiBSSP BRWwRBSR

Dans le cas présent le terme d’interaction est nul. En effet, pour le compartiment « Actions

US », les pondérations du fonds et du benchmark sont les mêmes, il n’y a donc pas de terme

d’interaction pour cette classe d’actifs. De plus les termes d’interaction des classes « Actions

Françaises » et « Actions Zone Euro » s’annulent, il n’y a donc pas d’interaction au global.

L’application de Brinson, Hood & Beebower à notre fonds A peut être résumé dans le tableau

suivant :

4.2. Le Modèle de Brinson & Fachler

Le modèle de Brinson, Hood et Beebower nous permet donc d’obtenir une décomposition de

la performance mais celle-ci reste perfectible. En effet, on peut remarquer que pour une classe

d’actifs donnée si sa pondération dans le portefeuille est supérieure à sa pondération dans le

benchmark et si le marché est positif, alors les facteurs d’attribution seront positifs quel que

soit la valeur du rendement total du benchmark(resp. si le marché est négatif). Alors que l’on

pourrait penser que si l’allocation d’actif dans une classe i est surpondérée dans le portefeuille

par rapport au benchmark et si le marché est négatif on pourrait penser qu’il devrait y avoir un

effet positif (si ii Ww et si 0 iB BR alors l’effet d’allocation sera négatif :

0)( iii BWw ). C’est pour cela que Brinson et Fachler ont mis au point une amélioration

du précédent modèle en corrigeant cette anomalie grâce à une modification du facteur

d’allocation :

1

)()()(

11

11

n

i

i

n

i

i

n

i

Biii

n

i

iiiBS

WwCar

RBWwBWwRB

La contribution de chaque classe d’actif devient alors :

)()( Biiii RBWwA

Figure 2.6 : Exemple 2 - Méthode de BHB


GRACZ Romain

ADDING 63/110

Ainsi reprenons le schéma du modèle du Brinson, Hood et Beebower et appliquons le au cas

présent :

En appliquant ce modèle à l’exemple précédent on obtient :

On observe ici une modification dans les facteurs d’allocation. En effet, il semble que dans ce

modèle une plus forte part de la performance liée à l’allocation soit due au compartiment

« Actions Françaises » alors qu’une plus faible est due au compartiment « Actions Zone

Euro ».

4.3. L’Interaction

L’un des points communs aux deux modèles de Brinson est la présence de la notion

d’interaction mais c’est aussi le principal point faible de ces modèles. En effet, l’interaction

n’entre pas dans le processus de décision de la part du gérant. On ne peut donc attribuer cette

performance supplémentaire à ce dernier.

Cependant, devant la volonté des gérants de toujours comprendre la provenance de la

performance, d’autres modèles incluant le surplus de performance lié à l’interaction ont vu le

jour. Ainsi, certains de ces modèles préconisent de découper cette interaction en deux parties

égales et de l’attribuer à la sélection et à l’allocation, d’autres attribuent la totalité de

l’interaction à la sélection.

Dans cette partie, nous nous sommes intéressés aux méthodes classiques d’attribution de

performance. De la méthode de Brinson, Hood & Beebower, qui représente le premier modèle

en la matière, au modèle de Brinson & Fachler. Nous avons également évoqué le problème de

la comptabilisation de l’interaction.

Figure 2.7 : Méthode de BF

Figure 2.8 : Exemple - Méthode de BF


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ADDING 64/110

On peut cependant noter que d’autres modèles d’attribution de performance existent, tel que

le modèle de Carino.


GRACZ Romain

ADDING 65/110

Conclusion

ans cette partie nous nous sommes intéressés à de nouveaux modèles de mesure de

performance tels que les modèles conditionnels et les modèles multifactoriels

dégageant ainsi de nouveaux indices et outils d’appréciation des performances. Nous

nous sommes ensuite attachés à présenter un coefficient permettant d’identifier la présence,

ou non, de persistance dans la performance puis des modèles d’attribution de performance

destinés à extraire de l’information quand aux éléments constitutifs de la performance.

Nous disposons donc désormais d’un large spectre d’outils présentés de façon schématique

dans la figure ci-dessous et nous permettant donc d’envisager la conception du logiciel.

Analyse de la performance

Mesure de la performance

Théorie du portefeuille

Ratio de Sharpe, ratio

d'information,...

CAPM

Ratio de Treynor, Sortino,

M², Treynor et Mazuy, ...

CAPM conditionnel

Time vaying bêta (alpha de Jensen

conditionnel, Treynor et

Mazuy conditionnel,....),

Time varying alpha

Modèles multifactoriels

Analyse de risque de Barra,

analyse de style,...

Persistance

Exposant de HURST

Attribution

Attribution de performance

Action

BHB, BF

D

Figure 2.9 : Schéma des mesures présentées


GRACZ Romain

ADDING 66/110

ETUDES ET DEVELOPPEMENT

LOGICIEL


GRACZ Romain

ADDING 67/110

Introduction

’objectif principal de ce travail réside en la réalisation d’un logiciel permettant

d’analyser les performances de n’importe quel fonds à partir d’un minimum de

données. Les deux précédentes parties de ce mémoire ont permis d’éclaircir notre

vision du monde de la mesure et de l’attribution de performance et c’est sur cette base que le

logiciel s’est construit.

Cette partie s’articule en trois axes. Dans un premier temps, nous procédons à une étude des

mesures de performances appliquées à différents agents, ces derniers investissant sur le

CAC40. Leur stratégie de placement sera simulée selon un modèle permettant de traduire la

présence d’informations sur le rendement futur des actifs. Cette étude permettra ainsi

d’appréhender le comportement des différentes mesures vis-à-vis d’agents plus ou moins

informés.

Le second chapitre est l’objet du développement d’un modèle conditionnel appliqué au

marché français, permettant ainsi une application d’un tel modèle dans le logiciel.

Finalement, le dernier chapitre s’attardera sur le logiciel en lui-même, présentant les objectifs

fixés, la sélection des mesures présentées et une application concrète.

L


GRACZ Romain

ADDING 68/110

CHAPITRE 1 Etude des

mesures de performance

appliquées à des agents

informés sur le CAC40

’objectif de ce chapitre est l’étude des mesures de performance financières sur des

agents investissant sur le marché français. Nous considérerons ceux-ci informés à

différents degrés et plus ou moins averses au risque. Le but de cette étude est ainsi

d’utiliser les différentes mesures de performances et d’attribution de performances que nous

avons étudiés jusqu’ici afin d’évaluer le comportement des différents agents. Et ainsi

d’observer la sensibilité de ces mesures à l’information dont disposent les gérants.

1.1. Présentation de l’étude

L’étude s’articule autour de neufs agents au total. Ces agents sont plus ou moins averses au

risque et plus ou moins informés. Les données utilisées pour cette étude sont les cours de

différentes actions du CAC 40 entre janvier 2003 et novembre 2006.

1.1.1 L’information

Dans l’étude, nous considérons trois types d’agents en matière d’information disponible. Un

premier type d’agents ne dispose d’aucune information et donc ceux-ci ne peuvent en aucun

cas appréhender une hausse ou une baisse du cours des actions. Les deux autres types

d’agents disposent d’informations sur les actifs disponibles. Afin de les différencier, nous

L


GRACZ Romain

ADDING 69/110

classifions les différentes actions par secteur, suivant ainsi la sectorisation effectuée par le

cabinet Ricol, Lasteyrie & Associésxliii

:

Ainsi nous considérons que le second type d’agents dispose d’informations sur le secteur de

biens et services aux consommateurs et sur le secteur des technologies, télécoms et medias.

Le dernier type dispose ainsi d’informations sur le secteur de l’industrie et des BTP et sur

celui des banques et assurances.

Le fait que les agents disposent d’informations sur différents secteurs permettra d’utiliser les

mesures d’attribution de performance et ainsi de mettre ou non en exergue l’avantage dont

disposent certains agents en matière de prévision sur les actions de certains secteurs.

1.1.2 Le risque

En plus des caractéristiques d’information des agents ces derniers seront caractérisés par un

second facteur, leur attitude vis-à-vis du risque. Cette attitude est considérée de trois façons

différentes. Soit les investisseurs sont risquophobes, ceux-ci ont donc une attitude averse vis-

à-vis du risque, soit ils sont risquophiles et auront donc une forte propension à la prise de

risque soit ils sont neutre vis-à-vis du risque.

xliii

« Le profil financier du CAC 40 », Ricol, Lasteyrie & Associés, 25 juin 2008,

http://www.comsulting.fr/docs/Ricol-Lasteyrie_comptes_2007.pdf

Figure 3.1 : Sectorisation appliquée


GRACZ Romain

ADDING 70/110

Ainsi nous pouvons résumer les caractéristiques des différents agents dans le tableau suivant :

Les différentes caractéristiques des agents sont désormais posées, l’étape est désormais de

traduire celles-ci dans le comportement d’investissement de ces derniers.

1.1.3 Traduction dans les choix de placements

Chaque agent dispose de deux types de comportement qui caractérisent entièrement leurs

choix d’investissement. L’objectif est donc désormais de les traduire mathématiquement.

L’attitude d’un agent vis-à-vis du risque sera traduite par ses prises de positions entre t et t+1.

Afin d’effectuer ceci nous supposerons que chaque agent a connaissance à priori de la

volatilité des titres à court terme. Cette hypothèse permettra donc de simuler le comportement

des agents vis-à-vis de leur posture par rapport au risque. Ainsi, les agents informés des

variations probables du cours des actions auront tendance à investir de façon probablement

plus élevée dans les actions à fort potentiel de hausse et de manière moins élevée dans les

actions à fort potentiel de baisse.

Notations :

A1,…A9 représentent les différents agents

1

,

A

tjw la part d’actif j que l’agent A1 détient en t

tjR ,le rendement de l’actif j entre t-1 et t

Pour traduire le comportement des agents, nous devons simuler leurs prises de positions, c'est-

à-dire connaitre le pourcentage de chaque actif en portefeuille à chaque fin de mois (i.e.

déterminer les Ax

tjw , ). Pour déterminer ceci nous utilisons une loi normale :

N

jxXxX

A

tj

A

tj

xXxX

A

ti

A

tiA

ti

Atj

Atj

Ati

Ati

xXw

xXww

1100)(100)(

1

,

1

1,

100)(100)(

1

,

1

1,1

,

)100/))100()((1(*

)100/))100()((1(*

1,

1,

1,

1,

Figure 3.2 : Caractérisation des agents


GRACZ Romain

ADDING 71/110

Avecxliv

x

100)(1,

xX A

tj

=1 si 100)(1

,xX

A

tj, 0 sinon

1

,

A

tjX suivant une loi normale de paramètres 1

,

A

tj et 1

Lorsque 1

,

A

tjX (x) est inférieure à -100 nous considérons que l’investisseur a soldé la totalité de

l’actif j de son portefeuille. La variable aléatoire 1

,

A

tjX nous permet de simuler la variation

d’actif j dans le portefeuille du gérant A1 entre les période t-1 et t. Et finalement le tout est

normalisé afin d’obtenir la proportion de chaque actif dans le portefeuille.

L’utilisation de distributions normales permet de faire varier le paramètre d’espérance en

fonction de l’information dont dispose le gérant et de son degré d’aversion au risque. Ainsi la

traduction de l’information dont dispose un agent vis-à-vis du potentiel d’une action ainsi que

son aversion au risque seront traduits par un ajustement de l’espérance de la loi normale :

Le tableau ci-dessus montre que les agents informés investiront probablement plus

(respectivement moins) dans les actifs des secteurs pour lesquels ils ont de l’information

lorsque le rendements de ces actifs sera supérieur à 2 % (respectivement inférieur à -2 %) lors

de la prochaine période. Ceci se traduit mathématiquement par une espérance de la loi

normale plus élevée (respectivement moins élevée).

Ainsi à chaque période, le profil de d’investissement de chaque agent informé varie en

fonction du rendement futur des actifs.

En ce qui concerne la transcription de l’attitude vis-à-vis du risque des agents, nous faisons

varier son espérance de telle sorte qu’un agent risquophobe aura tendance à moins investir

dans des actions dont la valeur absolue des rendements futurs est élevée (et de façon inverse

pour les agents risquophiles) :

xliv

C’est la fonction « alea() » d’Excel qui est utilisée pour la génération de nombres aléatoires.

Figure 3.3 : Caractérisation des agents 2

Figure 3.4 : Caractérisation des agents 3


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ADDING 72/110

A noter que nous utilisons une frontière de 10 % de rendements. Celle-ci est purement

arbitraire, cependant pour l’étude présente elle sera suffisante en ce sens qu’elle nous

permettra de distinguer des tendances de comportements.

Les bases de l’étude étant désormais fixées, l’objectif est maintenant de présenter les résultats

des simulations et donc des choix d’investissement des agents et leur traduction sur la valeur

des différentes mesures de performance étudiées.

1.2. Résultats

L’étude a été réalisée en procédant à 10 000 simulations d’investissements sur la période

étudiée et ceci pour chaque agent. Celles-ci ont été faites sous Excel en utilisant une

programmation VBA.

1.2.1 Résultats principaux

Dans cette section, nous nous consacrons à restituer les résultats en matière de rendement de

chaque agents et à les comparer entre eux. Ceci permettra ainsi de constater l’impact effectif

des profils des gérants sur leur performance.

Voici tout d’abord un tableau présentant les rendements moyens et écarts types moyens de

chaque gérant sur la période étudiée :

On peut observer qu’en ce qui concerne les écarts de risque, plus l’agent est averse au risque,

plus son rendement moyen est faible. Ceci est logique étant donné que la période étudiée est

une période durant laquelle le rendement général du marché a été largement positif, les prises

de risques sont donc récompensées.

Si l’on observe maintenant les résultats en fonction de l’information disponible pour le gérant

on peut remarquer des rendements supérieurs pour les agents informés (agents 1 à 6). De plus

les investisseurs informés sur les secteurs B et C ont des résultats très nettement plus élevés

que ceux informés sur les secteurs A et D. On peut expliquer aisément ceci par le fait que les

rendements des secteurs B et C ont été beaucoup plus élevés sur la période étudiée que ceux

des secteurs A et D :

Figure 3.5 :Rendements et Ecart type des rendements

Figure 3.6 : Rendements sectoriels


GRACZ Romain

ADDING 73/110

Afin de visualiser l’impact des écarts de comportements vis-à-vis du risque voici un

graphique en nuage de points représentant les rendements et risques des 500 premières

simulations des agents 1, 2 et 3 :

On observer une tendance très nette à l’accroissement du rendement en fonction du risque.

Ainsi, l’agent 3 qui est celui étant le moins averse au risque obtient des rendements

supérieurs à l’agent 1 pour chacune des simulations. Ce résultat est lié, comme dit

précédemment, au fait que durant la période étudiée le marché a présenté une nette croissance.

Si la tendance du marché avait été inverse, l’agent 3 aurait logiquement eu des rendements

inférieurs à l’agent 1.

En ce qui concerne l’information, le graphique suivant présentant les agents 1, 4 et 7 montre

les écarts de rendement entre les agents informés et non informé (les agents 1 et 4 étant

informés et l’agent 7 ne disposant d’aucune information) :

Figure 3.7 : Rendements/risques agents 1, 2 et 3

Figure 3.8 : Rendements/risques agents 1, 4 et 7

Ren

dem

ent

Volatilité

Volatilité

Ren

dem

ent


GRACZ Romain

ADDING 74/110

Les résultats en terme de rendement et de risque présentent donc, comme attendu, des

performances relativement supérieures pour les agents informés, notamment pour ceux l’étant

sur les marchés les plus en croissance. L’objectif est désormais de constater les impacts de ces

différences de comportements sur les mesures de performances.

1.2.2 Les ratios de performance

Dans cette partie nous nous intéressons aux différents ratios de performances mesurés dans

cette étude. L’objectif est de constater l’impact du comportement des agents sur ces ratios.

Le tableau qui suit présente la valeur moyenne de ces ratios pour chaque agent :

Ces résultats nous permettent d’observer la nette supériorité des agents 4, 5 et 6 sur les autres.

Ainsi les agents informés sur les secteurs B et C, c'est-à-dire ceux ayant la croissance la plus

forte sur la période étudiée, sont donc ceux qui ont les ratios les plus élevés. On peut

également remarquer la très forte corrélation entre les différents ratios de performance. Il

semble donc que peu de ratios puissent suffire à procéder à un classement basique des

différents gérants.

En ce qui concerne le degré d’aversion au risque des gérants, on remarque que les agents les

plus risquophiles sont ceux pour lesquels les ratios de performance sont les meilleurs. Ceci est

lié à la tendance haussière du marché et donc au fait que les prises de risque se sont donc

avérées être en moyenne payantes.

Cependant, on peut noter que la mesure de l’Omega a tendance au contraire à être supérieure

pour les agents ayant pris le moins de risques dans le cas d’agents non informés. Ceci

s’explique par le fait que parmi les mesures présentées ici, seule cette dernière prend en

compte les moments d’ordre 3 et 4 de la distribution des rendements. Ainsi, dans cette étude,

l’Omega permet de déceler une supériorité du Kurtosis et de la Skewness des agents les plus

averses au risque.

Figure 3.9 : Mesures de performance


GRACZ Romain

ADDING 75/110

Donné à titre d’illustration, le graphique ci-dessous est la représentation sous forme de box-

plot du ratio de Sharpe des agents 4, 5 et 6 (Rappel : il a été procédé à 10 000 simulations par

agent) :

Ce graphique permet d’observer les répartitions des ratios de Sharpe pour les agents 4, 5 et 6.

Ce graphique confirme la très nette supériorité des agents risquophiles sur les agents

risquophobes.

En ce qui concerne la persistance de la performance on note qu’aucun des agents n’en fait

preuve (en moyenne mais également sur l’ensemble des simulations).

1.2.3 Attribution de performance

Cette section est consacrée à l’attribution de performance des agents. Nous avons

précédemment vu que ceux-ci disposaient d’information sur différents secteurs, c’est donc à

travers ces secteurs que nous utiliserons les mesures d’attribution de performance.

Voici tout d’abord un graphique représentant la composition moyenne du portefeuille des

agents :

Figure 3.10 : Box-plot Ratio de Sharpe

Figure 3.11 : Composition moyenne des portefeuilles


GRACZ Romain

ADDING 76/110

On constate que les agents ne disposant d’aucune information conservent une composition

très proche de celle du benchmark. En ce qui concerne les agents 1, 2 et 3 qui disposent

d’information sur les secteurs de la technologie et des biens et services, on observe une

composition plus forte que celle du benchmark dans ces deux secteurs. Ceci est lié au fait que

ceux-ci ont un rendement positif sur la période. Les investisseurs informés auront donc

tendance à plus investir dans ces secteurs. C’est exactement le même principe pour les agents

4, 5 et 6.

Observons maintenant les rendements obtenus dans chacun de ces secteurs par les agents.

Ceux-ci vont permettre d’observer la pertinence de leurs choix d’actifs :

Les remarques que l’on peut tirer de ce tableau sont similaires aux précédentes. Les

investisseurs ont les meilleurs rendements dans les secteurs pour lesquels ils sont informés.

On peut de plus noter que pour les secteurs des biens et services et de la technologie la prise

de risque, telle que définie par le modèle, n’est pas forcément payante. Ceci est lié au fait que

pour ces secteurs les rendements inférieurs à -10 % ont été plus nombreux et plus marqués

que les rendements supérieurs à 10 %.

En ce qui concerne les mesures d’attribution de performance, nous avons simulé celle de

Brinson, Hood & Beebower. Les résultats de cette mesure sont présentés dans le tableau

suivant :

Figure 3.12 : Rendements des portefeuilles

Figure 3.13 :Attribution de performance


GRACZ Romain

ADDING 77/110

Logiquement, on observe que la performance de l’agent 8 (agent non informé et neutre au

risque) est totalement liée à son choix de benchmark.

Globalement, on peut souligner que plus les agents sont informés moins leur performance est

liée au choix de benchmark. Ceci est également vrai sur la période étudiée pour le degré

d’aversion au risque des agents.

En ce qui concerne la sélection, on voit nettement que plus les agents sont informés et plus les

secteurs sur lesquels ils le sont ont des rendements élevés, plus la part de la sélection sera

élevée. Pour rappel, la sélection représente l’écart de performance entre l’agent et le

benchmark sur un secteur donné, cette mesure permet donc de vérifier si les choix d’actifs de

chaque catégorie a été profitable. Ainsi, on observe clairement que les agents informés ont

tendance à investir dans les meilleurs titres. Ce modèle d’attribution de performance permet

donc de traduire les éventuelles informations dont peuvent disposer les gérants.

Pour ce qui est de l’allocation, on constate qu’elle est la plus élevée pour les agents 4, 5 et 6

c'est-à-dire pour les agents disposant d’information sur les secteurs B & C et qu’elle est stable

pour ces trois agents (donc pas de lien avec l’aversion au risque pour ceux-ci). Ce chiffre est

normal étant donné que ces agents disposent d’information sur les secteurs dont le rendement

est le plus élevé. Sur ces secteurs, l’allocation sera donc relativement élevée, ce qui a pour

effet de produire une allocation globale haute. Pour les agents 1, 2 et 3 l’allocation est

négative pour la raison exactement opposée. Ils ont tendance à moins investir dans les

secteurs B et C qui sont les plus porteurs, l’allocation pour ces secteurs sera donc négative.

Celle pour les secteurs A et D sera positive mais pas suffisamment pour contrebalancer

totalement l’effet lié aux secteurs B et C.

Afin de pouvoir mieux comparer le comportement des agents nous allons désormais procéder

à une classification ascendante hiérarchiquexlv

sur ces derniers.

Nous considérons que chaque agent est caractérisé par en vecteur de composé des données

d’attribution de performance (benchmark, sélection, allocation, interaction). Afin de procéder

à cette classification, nous avons centré et réduit chacune des variables afin de les rendre

comparables. Nous utilisons comme distance la distance euclidienne et comme critère

d’agrégation celui de Ward. Pour rappel, la méthode de Ward consiste, à chaque étape, à

choisir comme regroupement les classes telles que l’augmentation de l’inertie intra classe soit

minimum. C'est-à-dire pour deux groupes A et B :

Avec

le nombre d’individus dans le groupe A

le nombre d’individus dans le groupe B

le centre de gravité du groupe A

le centre de gravité du groupe B

la distance euclidienne

xlv

Cours de Classification de l’ISFA


GRACZ Romain

ADDING 78/110

Les résultats de la classification ascendante hiérarchique sont résumés dans le dendrogramme

qui suit :

On observe que les agents disposant de la même information sont les plus proches. Ainsi les

agents 7, 8 et 9 (groupe désormais nommé C), les agents 1, 2 et 3 (groupe A) et les agents 4, 5

et 6 (groupe B) se retrouvent respectivement dans des groupes communs. On peut cependant

remarquer que les groupes A et C se rapprochent très rapidement alors que le groupe C

semble avoir des caractéristiques plus éloignées.

Ceci s’explique assez facilement par le fait que l’information dont dispose le groupe B est

beaucoup plus profitable que l’information dont dispose le groupe A. Ainsi l’attribution de

performance liée au benchmark est en moyenne de 99,3 % pour le groupe C, de 92,9 % pour

le groupe A et seulement de 63,5 % pour le groupe B. Concrètement ceci signifie que les

agents du groupe B ont une part beaucoup plus faible de leur résultat liée au benchmark que

les agents des deux autres groupes.

Ces écarts expliquent donc la plus grande proximité des groupes A et C.

Dans ce chapitre, nous avons appliqué les mesures de performances et d’attribution de

performance à 9 agents disposant de caractéristiques différentes et investissant sur le CAC 40

sur une période s’étalant de 2003 à 2006. L’objectif est de constater l’impact du

comportement de ces agents sur les valeurs des différentes mesures.

Pour cela, nous avons tout d’abord construit un modèle permettant de simuler au mieux les

attitudes des agents et leur stratégie d’investissement en fonction des caractéristiques leurs

étant attribuées.

En ce qui concerne les ratios de performance l’observation des résultats est très nette, ces

mesures reflètent les comportements des agents, ainsi les agents les mieux informés auront

Figure 3.14 :Dendrogramme


GRACZ Romain

ADDING 79/110

tendance à avoir des ratios plus élevés que les agents les moins informés. De la même

manière l’attitude de s agents vis-à-vis du risque se transpose sur cette étude par des mesures

plus élevées pour les agents risquophiles. Ceci traduisant le caractère bénéfique de la prise de

risque sur la période étudiée.

De plus l’étude de ces mesures nous a permis de constater une fois de plus la très forte

corrélation entre les différents ratios.

Nous avons par la suite étudié les valeurs de l’attribution de performance pour chacun des

agents, en utilisant une méthode de classification afin d’appréhender au mieux les résultats.

Cette étude nous a permis d’observer que la traduction de la présence d’information se traduit

notamment par la présence d’une forte part du compartiment sélection et d’une plus faible

part de celui du benchmark dans le résultat total de l’agent.

Ce chapitre a donc été l’occasion de constater les impacts du comportement des agents sur les

mesures de performance et d’attribution de performance. Cependant, nous ne nous sommes

pas attardés sur les modèles conditionnels. Le prochain chapitre aura donc pour objet la

transposition d’un modèle conditionnel au marché français.


GRACZ Romain

ADDING 80/110

CHAPITRE 2 Application

d’un modèle conditionnel

au marché français

’objectif de ce chapitre est l’application du modèle conditionnel de Ferson et Schadt au

marché français. Ce modèle présenté dans la seconde partie permet le calcul d’alphas

conditionnels présentant une alternative intéressantes aux alphas dits « classiques ».

Dans la littérature, on peut trouver différentes applications de modèles conditionnels. On

remarque notamment l’étude de Kamel Laaradh sur les fonds obligataires anglaisxlvi

mais

également l’étude de Paulo Armada Leite et de Maria Céu Cortez sur les FCP portugaisxlvii

.

Le présent chapitre rappelle tout d’abord le modèle de Ferson & Schadt et son application à

l’alpha, puis le choix des variables d’information et enfin l’application du modèle.

2.1. Le modèle de Ferson & Schadt

Avant de rappeler le modèle de Ferson & Schadt il semble important de donner les raisons qui

poussent à parfois privilégier un modèle conditionnel.

L’un des principaux problèmes des mesures de performance traditionnelles est le fait qu’elles

ne prennent pas en compte l’information publique disponible. Or il a été démontré qu’un

certain nombre de données publiques telle que le taux de dividendes avaient une influence sur

le rendement des FCPxlviii

. Il semble ainsi intéressant de prendre en compte cette information

dans nos modèles étant donné que les gestionnaires de FCP les utilisent.

xlvi

Laaradh K., Maillet B., « Tests non-paramétriques de la persistance de la performance des fonds : illustration

britannique », Mai 2007 xlvii

Armada Leite P., Céu Cortez M., “Conditionnal performance evaluation : evidence for the portuguese mutual

fund market” xlviii

On peut citer à titre d’exemple l’étude de Pesaran et Timmermann publiée en 1995 et intitulée

« Predictability of Stock Returns : Robustness and Economic Significance »

L


GRACZ Romain

ADDING 81/110

Comme précisé dans la partie deux, dans le modèle de Ferson et Schadt l’alpha est défini de la

façon suivante :

1,01,

'

001,01, )()()( tPtmtPPtmtPP RRzBRRRR

Avec :

tz = tt ZEZ

P0 le bêta moyen du portefeuille : )(0 tPP ZE

tZ une fonction linéaire d’un vecteur de variables macroéconomiques représentant

l’information publique à la date t

)( tP Z représente le bêta conditionnel au vecteur d’information

1, tPR le rendement du portefeuille en t+1

1, tmR le rendement du marché en t+1

'

PB la sensibilité du bêta au vecteur tz

P représente l’alpha du portefeuille.

Si le gestionnaire n’utilise que l’information publique alors P sera égal à zéro (performance

nulle) par contre si le gestionnaire parvient à extraire les meilleurs titres compte tenu de

l’information publique P sera supérieur à zéro.

Afin d’appliquer ce modèle de Ferson & Schadt au modèle français le principal exercice sera

de déterminer les variables d’informations optimales.

2.2. Choix des variables d’information

La principale difficulté dans l’application du modèle de Ferson & Schadt au marché français

est le choix des variables d’information. En effet, de ce choix dépendra la qualité du modèle.

Il est nécessaire d’exprimer au mieux l’information publique ayant un impact sur le choix des

gestionnaires à l’aide de 4 à 5 variables.

Il est intéressant de regarder avant tout les choix de variables d’informations qui ont pu être

fait lors d’études précédentes . Ainsi comme signifié dans la partie deux, lors de l’étude

originale de Ferson et Schadt ces derniers utilisèrent le taux des bons du trésor américains et

l’indice de marché des dividendes (étude de FCP américains). Ces variables d’informations,

bien que présentées comme essentielles, sont souvent considérées comme insuffisante dans la

littérature. Ainsi en regroupant les différentes études qui ont pu être faites précédemment on

recense les variables d’information suivantes :

- le taux sans risque

- le taux de dividende sur le marché action

- la différence entre le taux sur les obligations d’Etat de long terme et le taux sur les bons du

trésor à trois mois.


GRACZ Romain

ADDING 82/110

Ces variables sont communes à beaucoup d’études sur les mesures conditionnelles. Nous

allons donc utiliser ces dernières dans cette étude. Il est cependant nécessaire de choisir les

indices les plus représentatifs du marché français.

Le taux sans risque :

Paulo Armada Leite et Maria Céu Cortez utilisèrent comme taux sans risque l’Euribor (Euro

interbank offered rate) trois mois lors d’une étude du marché européenxlix

. Ce taux correspond

au taux du marché monétaire européen, il est égal à la moyenne arithmétique des taux offerts

sur le marché bancaire européen pour 3 mois. Il est publié par la Banque centrale européenne.

Nous utiliserons cette mesure dans cette étude.

La différence entre les taux d’obligations d’Etat long terme et le taux des bons du trésor

à trois mois :

Le choix de cette variable est justifiée par de précédentes études telle que celle de Ferson et

Korajczykl dans laquelle ces derniers démontrèrent qu’une telle variable permettait de prédire

les rendements futurs des fonds. Afin de l’appliquer au marché français, les indices utilisés

sont l’EuroMTS 10-15ans et l’Euribor 3 mois.

Le rendement des dividendes (Dividend Yield) :

Cette variable d’information correspond aux dividendes versés sur l’année par une action

divisés par la valeur de cette action. Etant donné que la présente étude utilise des données

mensuelles, le taux de dividende pour le mois k de l’année n correspondra au dividende versé

par l’action utilisée l’année n divisé par la valeur de cette action le dernier jour du mois k. De

nombreuses études ont prouvé la capacité prédictive de cette variable d’information sur les

rendements des marchés, à titre d’exemple on peut citer l’étude de Fama & French de 1989li.

Dans la présente étude le Dividend Yield utilisé sera celui du CAC 40. Ce dernier semble être

le plus approprié pour une étude sur le marché français.

Afin de le calculer les données utilisées ont été l’ensemble des dividendes versés pour chaque

action sur le CAC 40 depuis 10 anslii

. Ces données ont été retraitées afin de disposer d’une

variable représentant la somme totale versée sur le CAC40 lors des 12 derniers mois. Cette

dernière, une fois divisée par la valeur du CAC40 permet d’obtenir le rendement des

dividendes sur cet indice.

2.3. La prédictivité des variables d’information

L’objectif est désormais d’évaluer la pertinence des différentes variables d’information

susceptibles d’expliquer les rendement excédentaires des principaux indices français tels que

le CAC40 et le SBF120 mais également de certains indices de la zone euro tels que le DJ

xlix

PA Leite & MC Cortez, “Conditional Performance Evaluation”, 2002 l Ferson W. & Korajczyk (1995), “Do arbitrage pricing models explain the predictability of stock returns?”,

Journal of business 68 li Fama E & French K (1989), “Business conditions and expected returns on stocks and bonds”, Journal of

financial economics 25 lii

Disponibles sur le site bnains.org

http://www.vernimmen.net/html/glossaire/definition_marche.html

http://www.vernimmen.net/html/glossaire/definition_marche_bancaire.html


GRACZ Romain

ADDING 83/110

EuroStoxx et le MSCI Euro. Le fait de vérifier également la pertinence des variables

d’informations sur les indices actions européens est intéressante car en cas de tests positifs, le

modèle conditionnel obtenu pourrait être appliqué à des fonds zone euro. Cette éventualité

n’est pas à proscrire. En effet, de nombreuses études telle que celle de Fratzscher en 2002liii

ont montré que depuis l’adoption de l’Euro, les marchés de cette zone ont eu fortement

tendance à converger.

Les données utilisées ont été obtenues sur Boursorama et sont calculées avec dividendes

réinvestis.

Afin de vérifier la prédictivité des variables d’information, la régression utilisée est la

suivante :

1'~

inf'var

:

~

,

0

1

10,

tettentrejindiceldeérentabilitlaR

risquesanstauxleR

ormationdiableuneX

Avec

XRR

tj

t

tjtj

Pour estimer alpha et bêta c’est la méthode des moindres carrés ordinaires qui est utilisée. Les

premières régressions effectuées sont des régressions simples et sont présentées dans le

premier tableau. La dernière, une régression multiple, est présentée dans le second tableau. La

période étudiée s’étale de mai 2003 à avril 2008.

Régression simple :

CAC 40 SBF120

MSCI

EURO

DJ euro

stoxx

Euribor 3

mois

Coefficient -0,283 -1,143 -0,669 -0,965

t-stat -2,247** -2,349** -1,459 -1,953*

R² ajusté 8,00% 8,70% 3,50% 6,20%

EuroMTS-

Euribor 3

mois

Coefficient 0,753 0,754 0,605 0,653

t-stat 1,852* 1,351 1,178 1,163

R² ajusté 5,20% 3,10% 2,30% 2,30%

Dividend

Yield du

CAC 40

Coefficient 0,23 1,157 0,231 0,708

t-stat 1,811* 1,887* 0,394 1,199

R² ajusté 5,30% 5,70% 0,30% 2,40%

Légende : *, **, *** : Significativité du coefficient à 10 %, 5 %, 1 %.

liii

Fratzscher M (2002), “ Financial Market integration in Europe : On the effects of EMU on stock markets “,

International Journal of Finance and Economics

Figure 3.15 : Régression simple


GRACZ Romain

ADDING 84/110

Régression multiple :

CAC 40 SBF120

MSCI

EURO

DJ euro

stoxx

Euribor 3

mois

Coefficient -3,363 -3,661 -0,495 -2,681

t-stat -2,724*** -2,976*** -1,333 -1,901*

R² ajusté 14,30 % 16,40 % 5,70 % 9,70 %

EuroMTS-

Euribor 3

mois

Coefficient -2,556 -2,842 -0,265 -2,062

t-stat -1,912** 0,037* -0,759 -1,396

R² ajusté 14,30 % 16,40 % 5,70 % 9,70 %

Dividend

Yield du

CAC 40

Coefficient -0,705 -0,741 -0,164 -0,072

t-stat -1,169 0,222 -1,065 -0,105

R² ajusté 14,30 % 16,40 % 5,70 % 9,70 %

Les données ont été traitées sous Excel grâce au complément XLStat. Un test de Durbin-

Watson a été appliqué afin de vérifier l’absence d’autocorrélation. L’homoscédasticité des

résidus a été vérifiée graphiquement via un représentation des résidus en fonction de la

variable expliquée obtenue grâce à la modélisation. Enfin la normalité des résidus a été

validée grâce à un diagramme en bâton des résidus normalisés, ceci permettant de vérifier

qu’un nombre non significatif de ces derniers dépassaient l’intervalle]-2 ; 2[. La significativité

globale du modèle a été testée via un test de Fisher et la significativité particulière de chaque

variable grâce à un test de Student.

Dans le cas des régressions simples on peut s’apercevoir que pour les deux indices français

les trois variables sont significatives. Cependant pour les indices européens le rendement des

dividendes ne l’est pas. Ceci est plutôt logique étant donné que ce rendement des dividendes

est basé sur le CAC 40.

A noter que le signe positif du coefficient lié au Dividend Yield et que celui lié au taux court

terme correspondent à l’attente étant donné que des rendements de dividendes élevés et que

de faibles taux à court terme sont précurseurs de hauts rendements.

Le R² est ajusté afin de pouvoir comparer les régressions simples et la régression multiple.

Les résultats obtenus sont relativement satisfaisant étant donné que le modèle a un plus grand

pouvoir explicatif que celui obtenu par Leite et Cortez dans leur étude.

A la vue du pouvoir explicatif et de la significativité du système, l’application du modèle

conditionnel semble donc opportun afin de présenter une mesure de performance du marché

français. Cependant, une observation des résultats permet de conclure à une absence de

pertinence de ce modèle pour expliquer les rendements de fonds européens.

Cependant, avant d’appliquer cette dernière à un ensemble de fonds français, il semble

intéressant de porter attention à une variable explicative supplémentaire de l’évolution des

rendements : l’effet janvier.

L’effet janvier :

L’effet janvier est une anomalie du rendement des marchés financiers observée pour la

première fois par Rozeff et Kinney en 1976liv

. Durant leur étude, Rozeff et Kiney montrèrent

liv

Rozeff, M..S. et Kinney, W.R. (1976), ”Capital Market Seasonality: The Case of Stock Returns”, Journal of

Financial Economics

Figure 3.16 : Régression multiple


GRACZ Romain

ADDING 85/110

que depuis 1904 les rendements des marchés en janvier étaient singulièrement plus élevés que

ceux des autres mois :

Rendements Moyens (% par mois)

Période Janvier Autres mois

1904-1928 1,3 0,44

1929-1940 6,63 -0,60

1940-1974 3,91 0,70

1904-1974 3,48 0,42

Différentes explications sont avancées quand à cette singularité, notamment des

considérations fiscales ou des réaménagements de portefeuille.

Cette étude n’étant pas récente et ne concernant pas le marché français, il semble intéressant

de vérifier cet éventuel effet janvier sur le marché Français et notamment sur le CAC 40. Le

schéma suivant présente l’évolution du CAC 40 au mois de janvier et sur les autres mois (en

moyenne) entre 1991 et 2007 :

Ce graphique nous permet d’observer que majoritairement l’évolution du CAC 40 au mois de

janvier est supérieure à celle des autres mois (13/17). La prise en compte de l’effet janvier

dans les variables d’information apparait donc être une éventualité pour l’étude sur le marché

français. Cependant la régression simple de la variable janvier aux indices précédents ne

montre pas de significativité. Cette variable d’information ne sera donc pas ajoutée au

modèle.

-8,00%

-6,00%

-4,00%

-2,00%

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

12,00%

19

91

19

92

19

93

19

94

19

95

19

96

19

97

19

98

19

99

20

00

20

01

20

02

20

03

20

04

20

05

20

06

20

07

Janvier

Autres mois

Figure 3.17 : Rendements moyens

Figure 3.18 : Rendements


GRACZ Romain

ADDING 86/110

2.4. Application au marché français

Afin d’utiliser le modèle conditionnel obtenu dans le chapitre précédent, une étude sur douze

fonds commun de placement français est effectuée. Les valeurs liquidatives de ses fonds sont

des données internes à Adding et s’étalent de septembre 2005 à avril 2008. Afin de comparer

l’alpha conditionnel et l’alpha classique, les deux modèles ont été appliqués aux fonds. Au

total 15 fonds ont été étudiés.

Afin de pouvoir observer l’amélioration du pouvoir explicatif de l’alpha conditionnel, les

fonds ont tout d’abord été étudiés sous l’angle non conditionnel. Les résultats des régressions

classiques sur les 15 fonds sont les suivants :

Alpha

moyen

Bêta

moyen

R² moyen

Fonds -0,02% 0,88*** 84,0%

Nombre

d'alphas

positifs

6

Nombre

d'alphas

négatifs

9

On peut noter que sur les 15 fonds étudiés une majorité ont un alpha négatif. L’alpha moyen

est également négatif. Le R² moyen est de 84 % et le bêta moyen de 0,88.

Cependant seulement 2 alphas sur 15 sont significatifs à un seuil de 5 %. Cette faible

significativité n’est pas surprenante. En effet, dans des études précédentes telles que celle de

Ferson et Schadt ou celle de Paulo Armada Leite et Maria Céu Cortez seulement 17 sur 67 et

6 sur 24 fonds présentaient des alphas statistiquement significatifs.

L’application du modèle conditionnel à ces mêmes fonds donne les résultats suivants:

Alpha

moyen

Bêta

moyen

Euribor Dividend

Yield

EuroMTS R² moyen

Fonds 0,07% 0,85*** 3,91 -0,80 0,22 87,4%

Nombre

d'alphas

positifs

8

Nombre

d'alphas

négatifs

7

Les coefficients liés aux Dividend Yield sont, en moyenne, négatifs ce qui peut paraître

surprenant étant donné que selon la logique ce dernier devrait être positif comme nous l’avons

Figure 3.19 : Résultats de la régression

Figure 3.20 : Modèle conditionnel


GRACZ Romain

ADDING 87/110

vu précédemment. D’après différentes études ceci pourrait s’expliquer par le fait que les

coefficients bêta peuvent évoluer de manière opposée à la performance du marchélv

.

On peut également noter que le pourvoir explicatif du modèle mesuré par le R² a augmenté de

3,4 %. Cette hausse significative semble plaider en faveur de l’utilisation du modèle

conditionnel, cette dernière a également été observée dans l’étude de Paulo Armada Leite et

Maria Céu Cortez avec une hausse de près de 2 %.

Un autre point intéressant est l’augmentation significative de la valeur des alphas des gérants.

Ce point se retrouve dans la plupart des études précédentes, l’utilisation d’un modèle

conditionnel a tendance à rehausser la note des gestionnaires de fonds.

En ce qui concerne les variables d’information, on note une significativité à 10 % pour 6

fonds en ce qui concerne l’Euribor, 1 fonds en ce qui concerne le rendement des dividendes et

aucun pour l’EuroMTS. La variable explicative la plus intéressante est donc l’Euribor 3 mois.

Ceci est assez différent de ce que l’on peut trouver dans les autres études concernant les

modèles conditionnels pour lesquels la variable d’information la plus pertinente est le

dividend yield. Ceci peut s’expliquer par la fait que ce dernier a été ici recalculé sur la base de

données internet non officielles ainsi qu’à la non prise en compte des évolutions structurelles

du CAC40. Le dividend yield calculé ne correspond donc pas forcément au rendement des

dividendes calculé par Reuters ou Bloomberg (utilisés dans la plupart des études précédentes).

L’un des principaux développements de la mesure de performance de FCP dans les années

2000 a consisté en une utilisation de modèles conditionnels réputés pour mieux refléter la

performance des gérants grâce à l’utilisation de variables d’informations. Cette information

étant publique et donc accessible à tous les gestionnaires.

L’objectif de cette étude a été de développer un modèle conditionnel adapté au marché

français. Préalablement à l’application du modèle, une analyse statistique de la pertinence des

variables d’information a été présentée. En ce sens, l’approche de celle-ci est similaire aux

travaux de Ferson & Schadt. Cette étude nous a permis d’exclure la variable janvier qui ne

semblait pas représenter une bonne explication aux fluctuations du marché (et ceci en

opposition à l’étude initiale de F&S).

Finalement, une application du modèle sur 17 fonds français a été effectuée. Les résultats sont

en accord avec la plupart des études préexistantes sur les modèles conditionnels. Ainsi le

modèle conditionnel a tendance à mieux expliquer le marché que le modèle classique. De plus

l’alpha mesuré dans le modèle conditionnel a une tendance nette à être plus élevé que celui

mesuré dans le classique.

lv Jagannathan and Wang (1996), “The conditionnal CAPM and the Cross-Section of Expected Returns”, Journal

of finance, 51(1), 3-54


GRACZ Romain

ADDING 88/110

CHAPITRE 3 L’outil

d’analyse des

performances financières

e présent chapitre permet de présenter le logiciel qui a été mis en place en décortiquant

la problématique à laquelle il devait répondre, les différentes étapes de son élaboration

et sa structure finale. Ce chapitre est également l’objet d’un exemple d’utilisation de ce

logiciel à travers l’étude de deux fonds actions et deux fonds diversifiés.

3.1. Présentation du logiciel

3.1.1 Présentation générale

Face à la croissance des missions dans le domaine de l’épargne salariale la société de conseil

en actuariat Adding a décidé de se doter d’un outil permettant d’analyser les fonds. Ce dernier

doit pouvoir traiter les domaines de mesure et d’attribution de performance. En sortie, le

logiciel doit permettre d’obtenir un résumé des principaux ratios de performance ainsi que

tout graphique permettant une vision claire des risques pris par le gestionnaire et des

rendements en découlant.

L’une des principales contraintes environnement liées à cette mission est la nécessité de

programmer l’outil en VBA. Les autres contraintes notables liées à l’utilisation de l’outil sont

l’impératif d’une prise en main facile du logiciel et d’une faible demande de données en

entrée du logiciel.

L


GRACZ Romain

ADDING 89/110

3.1.2 Sélection des mesures de performance

Les précédentes parties de cette étude ont balayées l’univers de la mesure et de l’attribution de

performance, permettant ainsi d’avoir une vision globale du domaine. L’objectif est

désormais de sélectionner les mesures les plus adaptées au logiciel.

En ce qui concerne la mesure stricte de la rentabilité, nous utiliserons la formule de base

présentée en 1.1.1 de ce mémoire. Ce choix est expliqué par le fait que nous manquons

d’information par rapport aux flux liés par exemple au versement de dividendes.

En ce qui concerne les mesures de performance financière, les plus utilisées sont aujourd’hui

les ratio de Treynor et de Sharpe ainsi que l’alpha de Jensen. Leur pertinence a été maintes

fois démontrée, ils sont donc présent dans l’outil.

La mesure de Fama, dans le sens où elle permet de mesurer la capacité de sélection de gérant

est aussi présente dans l’outil, ainsi que le ratio de Sortino qui offre une mesure alternative car

elle utilise le Downside Risk (et donc ne prend en compte comme risque que la volatilité à la

baisse).

Le M² permet une interprétation facile de la mesure de la performance, c’est l’une des

principales qualités de celle-ci. Ainsi elle est indispensable à l’outil pour permettre une

explication aisée au client parfois non initié à la matière.

Dernière mesure de performance étudiée : l’Omega, cette dernière diffère des précédentes car

elle permet une prise en compte des moments d’ordre 3 et 4 de la distribution des rendements.

En ce qui concerne les mesures de performance dérivées du CAPM, les deux mesures à avoir

été présentées sont celles de Treynor et Mazuy ainsi que celle d’Henriksson et Merton. Etant

donné la très faible significativité obtenue par ces dernier lors de l’application de leur mesure,

c’est celle de Treynor et Mazuy qui a été implémentée.

La mesure de la persistance de la performance, c'est-à-dire l’exposant de Hurst, est introduit

dans l’outil afin de proposer à l’utilisateur une information supplémentaire quand à la qualité

des performances du gérant dans le temps.

En ce qui concerne l’attribution de performance, nous utiliserons les deux modèles étudiées,

celui de Brinson, Hood & Beebower et celui de Brinson & Fachler.

Pour les modèles multifactoriels, l’analyse de style de Sharpe a été incluse dans l’outil car elle

permet de suivre l’évolution de la gestion du gérant et son adéquation ou non avec le

Benchmark choisit. Celle-ci permet donc de s’assurer de la stabilité du style du gestionnaire.

Enfin, le modèle conditionnel de Ferson & Schadt appliqué au marché français obtenu dans le

second chapitre de cette partie est également intégré au logiciel.

3.1.3 Présentation de l’outil

L’objectif de cette section est de présenter l’outil, de sa structure à ses différentes options.


GRACZ Romain

ADDING 90/110

Afin d’avoir une vue d’ensemble de l’outil voici une présentation de son « squelette » :

A l’ouverture du logiciel l’utilisateur accède à une feuille Excel composée d’un bouton lui

permettant de lancer le programme. Une fois lancé, on accède à un UserForm permettant trois

options différentes :

Etude d’un fonds : il s’agit du corps du programme, en appuyant sur ce bouton on va

lancer l’étude d’un fonds

Consultation d’un fichier : cette option permet d’aller consulter un fonds précédemment

traité

Comparaison : En appuyant sur ce bouton on lance le module de comparaison de fonds

3.1.4 L’étude d’un fonds

Cette partie du logiciel est la plus importante. En effet, avant de pouvoir utiliser les autres

modules il sera essentiel d’avoir recours à celle-ci.

3.1.4.1 Initialisation de l’étude

Avant de commencer une étude il est nécessaire d’entrer dans le logiciel les rendements

historiques mensuel du fonds que l’ont souhaite traiter.

Une fois cette formalité effectuée on peut démarrer l’initialisation de l’étude grâce à un

formulaire dans lequel les données à préciser sont les suivantes :

le fonds que l’on souhaite étudier

Figure 3.21 : Squelette de l’outil


GRACZ Romain

ADDING 91/110

un taux sans risque mensuel

un MAR (Minimum Acceptable Return) qui est égal à 0 % par défaut et qui permet le

calcul du ratio de Sortino et de l’Omega

un benchmark : composé de 1 à 5 types d’indices (200 indices sont disponibles). Ainsi un

fonds peut être comparé à un benchmark composé d’indices actions françaises, action euros,

actions américaines, obligataires ou monétaires.

Une fois ce processus terminé, un nouveau UserForm permet de préciser un intervalle de

temps sur lequel on souhaite étudier le fonds. La période par défaut sera le plus grand

intervalle possible (en fonction des périodes des indices et du fonds).

3.1.4.2 Formulaire des résultats

Une fois l’initialisation terminée on peut lancer le programme et consulter les résultats :

Ce formulaire s’affiche une fois les calculs terminés. Il nous permet de vérifier directement si

il y a ou non persistance de la performance ainsi que de consulter différentes données telles

que le rendement du fonds, son bêta, le taux sans risque mensuel,…

Mais la principale utilité de ce formulaire est de pouvoir accéder aux valeurs des différents

ratios ainsi qu’à différents schémas tels que l’analyse de style glissante (nous présenterons

plus en détails ces différentes options lors de l’exemple).

Enfin on peut procéder à l’analyse d’attribution de performance.

Dans cette partie nous avons donc présenté le cheminement de la construction du logiciel de

mesure et d’attribution de performance, du cahier des charges à la structure finale en passant

par le choix des mesures. La prochaine section sera donc logiquement consacrée à une

application concrète du logiciel.

Figure 3.22 : Formulaire des résultats


GRACZ Romain

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3.2. Etude de quatre fonds

L’objectif de cette section est d’utiliser concrètement le logiciel. Ce dernier permet d’extraire

à partir de données historiques de rentabilités différents indicateurs de performance, ceci

permettant de choisir entre plusieurs fonds le plus adapté aux souhaits et aux objectifs du

client.

La présente section sera donc consacrée à l’utilisation de l’outil sur deux fonds actions et

deux fonds diversifiés. L’étude porte sur une période allant de janvier 2006 à décembre 2007.

3.2.1 Etude de fonds actions

Les deux fonds actions étudiés dans cette section sont des fonds actions dont la composition

est à 50 % d’actions françaises et à 50 % d’actions européennes.

Cette étude utilise les résultats bruts donnés par le logiciel. Dans une première partie, les

rentabilités et le risque seront étudiés, dans une seconde les mesures de performance

classiques, et enfin, dans une troisième partie sont présentées les mesures dérivées mais

également les mesures d’attribution et de persistance de la performance.

3.2.1.1 La rentabilité et la volatilité des performances

Le logiciel nous permet d’obtenir un certain nombre d’indicateurs et de graphiques

représentant les rentabilités et volatilité des fonds commun de placements étudiés. Cette

section permet donc de présenter ces différentes possibilités.

Le graphique suivant, extrait du logiciel, présente l’évolution des valeurs liquidatives du

fonds et du benchmark en partant sur une base 100 :

Un seul des graphiques est présenté ici, l’objectif de cette section n’étant pas de comparer les

deux fonds. On peut observer l’évolution des valeurs liquidatives du fonds en foncé et du

benchmark en clair.

Figure 3.23 : Rentabilités 1


GRACZ Romain

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Ce graphique nous permet d’observer une certaine concordance entre les performances du

fonds et celles du benchmark mais également la sur ou sous performance du fonds par rapport

à celui-ci sur la période étudiée. Dans l’exemple ci-dessus le fonds sous-performe le

benchmark.

Le logiciel permet cependant d’observer de façon plus précise les écarts entre le fonds et son

indice de référence, ceci grâce à l’utilisation d’un histogramme illustrant les écarts mensuels

entre les performances du fonds et du benchmark :

Les deux graphiques précédents permettent d’illustrer les performances du fonds et du

benchmark mais ne présentent pas la volatilité de ceux-ci. Dans ce sens un autre graphique a

été implémenté : le graphique « escargot » :

Rendement

Volatilité

Figure 3.24 :Ecarts de rendements1

Figure 3.25 :Escargot 1


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Ce graphique représente en abscisse les rendements en excès du fonds par rapport au

benchmark et en ordonnée la volatilité en excès du fonds par rapport au benchmark. Chaque

point représente six mois glissants.

Trois principales zones peuvent être analysées :

La zone 1 contient les points pour lesquels les rendements du fonds ont été plus faibles

que ceux du benchmark alors que la volatilité a été plus forte. Ainsi plus de points

seront présents dans cette zone, plus les performances du fonds pourront être

considérées comme médiocres.

La zone 2 contient les points pour lesquels la rentabilité et la volatilité du fonds sont

supérieure au benchmark (respectivement inférieure). Les points présents dans cette

zone peuvent donc être qualifiés de « normaux ».

Enfin la zone 3 contient les points pour lesquels les rendements du fonds ont été plus

élevés que ceux du benchmark alors que la volatilité a été plus faible. Plus de points

sont présents dans cette zone et plus le fonds a surperformé le benchmark.

Une analyse du graphique escargot nous permet d’observer que la volatilité du fonds étudié

est généralement plus faible que celle du benchmark pour des rendements équivalents. Cette

information est intéressante mais nécessite cependant d’être appuyée par l’étude des différents

ratios de performance.

3.2.1.2 Les mesures de performance classiques et dérivées

Dans cette section nous allons nous attarder sur les ratios classiques permettant de jauger la

performance d’un fonds mais également sur les mesures dérivées du CAPM. Voici les

différents ratios calculés par le logiciel :

Les ratios ci-dessus sont tous calculés sur la période étudiée avec l’outil. Grâce à ceux-ci nous

pourrons comparer de manière simple les deux fonds actions traités par le logiciel. Nous les

étudierons donc plus profondément dans la troisième et dernière partie.

A noter que l’alpha conditionnel obtenu est égal à 0,001, il est donc légèrement inférieur au

classique. Le calcul de cet alpha conditionnel n’a cependant pas pu être automatisé dans le

logiciel en raison de l’interaction entre VBA et l’option de régression linéaire d’Excel, il

s’agit donc de la seule mesure à devoir être calculée en partie manuellement.

Figure 3.26 : Ratios1


GRACZ Romain

ADDING 95/110

Présentées dans la première partie de ce mémoire, les mesures de sélectivité et de market

timing nous permettent de déterminer certaines aptitudes du gérant. Dans ce logiciel c’est

l’analyse de Treynor et Mazuy qui a été implémentée :

Le résultat prouve la présence de market timing de la part du gérant. Cependant le faible R² ne

nous permet pas de faire suffisamment confiance en cette régression

Nous n’étudions pas dans cette partie l’analyse de Sharpe. En effet, les fonds étudiés sont des

fonds purement actions. Or l’analyse de Sharpe permet de déterminer les écarts du

gestionnaire par rapport au benchmark actions/obligations/monétaires. Une telle analyse est

donc inutile.

3.2.1.3 Les mesures d’attribution et de persistance de la performance

Cette troisième section permet de présenter les mesures d’attribution et de persistance de la

performance.

Le logiciel précise la présence ou non de persistance de la performance en calculant

l’exposant de Hurst. Lorsque celui-ci est supérieur à 0,5 le logiciel va donc indiquer la

présence d’une persistance de la performance.

En ce qui concerne l’attribution de performance le logiciel permet à l’utilisateur de choisir

entre celle de Brinson, Hoob & Beebower et celle de Brinson & Fachler. A des fins

illustratives nous présenterons ici seulement la première.

Afin de connaitre la part de la sélection dans la performance du gérant voyons les résultats

sous la forme d’un tableau :

Figure 3.27 : Trenor et Mazuy 1

Figure 3.28 : Attribution 1


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ADDING 96/110

Ce tableau nous permet de constater que la rentabilité du fonds est essentiellement lié à son

choix de benchmark. Le gestionnaire a cependant fait une mauvaise sélection ce qui implique

une rentabilité inférieure à celle de son benchmark. Il n’y a pas d’allocation car les

pondérations du fonds et du benchmark sont similaires, l’analyse de l’attribution est donc très

limitée dans ce cas.

L’outil permet également de différencier les sources de l’attribution entre les types d’actions

(françaises, euro ou US), ici les fonds ne dépendent que d’une unique classification régionale

nous n’observons donc pas cette différenciation.

3.2.2 Etude de deux fonds diversifiés

Cette section est similaire à la précédente mais est cette fois dédiée à deux fonds diversifiés.

Ces fonds ont un benchmark de 50 % d’obligations long terme et 50 % d’actions européennes.

Ces derniers étant diversifiés pourront donc être suivi via une analyse de style de Sharpe.

Ainsi ces deux fonds sont, dans toute l’analyse du logiciel, comparés par rapport à leur

benchmark dit « officiel » et par rapport à leur benchmark de Sharpe. Ce dernier est calculé

sur l’ensemble de la période étudiée. Ainsi sur le premier fond l’outil présente le benchmark

de Sharpe comme étant composé à 58% d’obligations long terme et à 42 % d’actions

européennes.

Le style du gérant semble donc être plus obligataire qu’indiqué sur la notice officielle de

celui-ci. Le fonds sera donc plus prudent que celui auquel pense souscrire le client.

3.2.2.1 La rentabilité et la volatilité des performances

Nous allons comme dans la section précédente étudier les différentes sorties graphiques du

logiciel, cependant étant donné que nous étudions désormais des fonds diversifiés et donc

pour lesquels un benchmark de Sharpe a été calculé (ci-dessus). Les graphiques disposent

donc des comparaisons avec ce dernier et le benchmark officiel.

Voici tout d’abord l’évolution des valeurs liquidatives et le graphique des excès de

rentabilités :

Ce graphique d’évolution des valeurs liquidatives nous permet de constater que la rentabilité

du fonds est relativement inférieure à celle du benchmark de Sharpe mais l’est encore plus par

rapport au benchmark officiel. Le graphique des rendements en excès nous permet d’avoir

une vision mensuelle plus précise. On peut ainsi constater que le fonds surperforme le

benchmark officiel (respectivement le benchmark de Sharpe) 9 mois sur 24 (10/24), ce qui

Figure 3.29 : Rendements 2

Figure 3.30 : Ecarts de rendements 2


GRACZ Romain

ADDING 97/110

confirme le fait que le fonds est sensiblement moins performant que son indice de référence.

De la même manière voici le graphique escargot :

Ce graphique montre clairement une combinaison rentabilité/risque régulièrement très faible

par rapport au benchmark. Dans le cas du benchmark de Sharpe 9 points sur 18 sont situés

dans la zone 1, ce qui implique à la fois une rentabilité plus faible que le benchmark ainsi

qu’une volatilité plus forte. Sur cette simple constatation la performance du gérant peut être

jugée avec sévérité. En ne regardant que le benchmark officiel on observe que seuls 3 points

sur 18 sont dans la zone 1, une telle constatation nous aurait donc orienté vers un jugement

trop clément étant donné que celui-ci ne reflète pas le style réel du gestionnaire.

3.2.2.2 Les mesures de performance classiques et dérivées

Nous analyserons ceux-ci dans la troisième section du présent chapitre.

On peut observer à gauche les ratios calculés avec le benchmark officiel et à droite ceux qui

sont calculés à l’aide du benchmark de Sharpe.

L’analyse de Treynor et Mazuy ci-dessous montre un un très mauvais market timing. Il faut

cependant vers attention car le degré d’explicativité du modèle mesurée par le R² (0,6) est

Rendement

Volatilité

Figure 3.31 : Escargot 2

Figure 3.32 : Ratios 2


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ADDING 98/110

relativement faible. Cette analyse n’est donc pas utilisable raisonnablement dans le cas

présent.

3.2.2.3 Les mesures d’attribution et de persistance de la performance

La valeur de coefficient de Hurst ne répond pas au critère de persistance de la performance

(supérieur à 0,5) puisque sa valeur est de 0,43. L’analyse de l’attribution de performance sera

similaire à celle faite dans la section précédente. Cependant dans cet exemple-ci, seul la

moitié du portefeuille est étudiée étant donné que seul 50 % de ce dernier est composé en

actions. Cette analyse montre une très faible aptitude à la sélectivité de la part du

gestionnaire .

3.3. Comparaison des fonds

3.3.1 Comparaison des fonds actions

Cette section est consacrée à la comparaison des deux fonds actions qui ont été étudiés avec

PAM. Nous allons tout d’abord comparer les graphiques escargot des deux fonds :

Rendement

Volatilité

Figure 3.33 : Treynor et Mazuy 2



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ADDING 99/110

A noter que les deux fonds ont le même benchmark officiel.

A partir de ce graphique escargot on peut observer que le fonds 2 a tendance à avoir des

volatilités et rentabilités plus fortes que son benchmark mais également que celui-ci a

tendance à s’éloigner plus facilement de son benchmark que le fonds numéro 1.

Il semble donc que ce fonds a une volatilité plus forte que le premier mais des rendements

plus élevés également.

Attardons nous désormais sur les différents ratios de performance calculés par le logiciel :

Les cinq ratios de base :

Le ratio d’information, les ratios de Treynor et de Black Treynor, le ratio de Sharpe et

l’alpha de Jensen du fonds 2 sont tous supérieurs au fonds 1. Cela signifie que sur la

période étudié et pour différentes mesures de risque (variance des rentabilités, sigma

du portefeuille, beta du portefeuille) que les rapports des rentabilités sur les risques

mais aussi que la valeur absolue du risque systématique sont favorables au fonds 2.

Ces résultats allant dans le même sens sont assez logiques étant donné la forte

corrélation entre les ratios que nous avons exhibé dans la première partie de ce

mémoire. Ceci nous confirme une bonne diversification des portefeuilles.

Le tracking error est la mesure du risque utilisée pour la mesure de Sharpe. Elle nous

permet de constater que le fonds 2 a un risque total relativement supérieur au fonds 1.

La mesure de Fama

On peut remarquer que le signe des deux mesures de Fama est négatif. Ceci montre

donc que les deux gérants n’arrivent pas à tirer partie de la décorrélation vis-à-vis du

marché qu’ils ont choisi. Leur performance est donc inférieure au marché. On peut

cependant constater que pour cette mesure, encore une fois, c’est le second fonds qui

est supérieur.

Le ratio de Sortino

Le ratio de Sortino est particulier car il utilise comme mesure de risque le Downside

Risk, c'est-à-dire la volatilité uniquement à la baisse. Ainsi on peut observer que le

second fonds a un risque à la baisse plus élevé que le fonds 1 mais ce risque supérieur

est compensé par les rentabilités, et encore une fois le fonds 2 est meilleur que le

fonds 1.

Figure 3.35 : Ratios 3


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ADDING 100/110

A noter que le MAR utilisé pour le ratio de Sortino est 0.

Le M²

L’avantage de cette mesure est la facilité de sa compréhension notamment graphique

(théorème de Thalès), elle nous permet ici d’observer encore une fois la supériorité du

fonds 2 sur le fonds 1.

L’Omega

L’utilisation de la mesure Omega est intéressante car elle permet d’observer une

mesure alternative car elle prend en compte les moments d’ordre 3 et 4 qui ne sont pas

toujours négligeables pour apprécier la qualité d’un fonds. Cependant cette fois encore

le fonds 2 est supérieur au fonds 1.

L’alpha conditionnel

La dernière mesure de performance que nous étudions est l’alpha conditionnel que

nous avons obtenu grâce au modèle obtenu dans le second chapitre de la présente

partie. L’alpha conditionnel pour le premier fonds est 0,001 et celui pour le second

fonds est 0,0021. Ce dernier vient donc confirmer l’ensemble des observations

précédemment faites.

Les différentes mesures de performance nous ont donc permis d’observer une relative

supériorité du gérant du second fonds sur le gérant du premier fonds malgré un risque plus

élevé.

Observons maintenant les modèles de Treynor et Mazuy des deux fonds afin d’observer le

market timing des gérants :

L’analyse de Treynor et Mazuy montre la présence de Market Timing chez les deux

gestionnaires. Cependant ce coefficient est beaucoup plus fort pour le fonds 2 que pour le

Figure 3.36 : Treynor et Mazuy 3


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ADDING 101/110

fonds 1. Le gestionnaire du second semble donc être meilleur pour anticiper les variations du

marché.

La mesure de la persistance de Hurst est de 0,46 pour le fonds 1 et de 0,38 pour le fonds 2.

Celle-ci montre qu’aucun des deux fonds ne semble avoir de performance persistante dans le

temps. Cependant une étude sur une période plus longue pourrait être plus révélatrice en ce

qui concerne cette mesure

Enfin les mesures d’attribution de performance de Brinson, Hoob et Beebower montrent la

présence de sélection de la part du gérant dans le second fonds mais d’absence dans le

premier.

La comparaison des deux fonds actions semble donc montrer une grande supériorité du

second fonds étudié sur le premier. C’est celui-ci même qui devrait donc être conseillé au

client.

3.3.2 Comparaison des fonds diversifiés

Nous allons désormais procéder au même exercice que précédemment mais sur les fonds

diversifiés. Ces deux fonds ont le même benchmark officiel (50 % actions euros/50 %

obligations).

Les benchmarks de Sharpe globaux sont de 58 % obligations et 42 % actions pour le fonds 1

et 69 % obligations et 31 % actions pour le fonds 2.

L’évolution de ces deux fonds est la suivante:

Figure 3.37 : Rendements 3


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ADDING 102/110

L’évolution des deux fonds est semblable, la rentabilité finale entre les deux fonds est très

similaire. Regardons cependant les graphiques escargots qui nous permettront d’avoir une

meilleure idée de la qualité des rentabilités et de la volatilité :

Comme précédemment le fonds 1 est représenté en bordeaux et le fonds 2 en vert. Nous avons

pu observer le style des gérants grâce à l’analyse de Sharpe précédemment. Dans cette partie

nous n’utiliserons que les données extraites des comparaisons à ce benchmark afin de ne pas

trop surcharger cette présentation. Cependant pour une analyse complète il serait nécessaire

d’utiliser également le benchmark officiel.

Le graphique escargot nous permet d’observer que les deux fonds ont une volatilité

relativement plus forte en moyenne que le benchmark officiel de Sharpe. Un certain nombre

de points se situent dans la zone 1 du graphique escargot ce qui implique que régulièrement

les fonds ont eu ne rentabilité plus faible et une volatilité plus forte que le benchmark.

Observons désormais les différents ratios :

Rendement

Volatilité


Figure 3.39 : Ratios4


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ADDING 103/110

Les cinq ratios de base :

Le ratio d’information, les ratios de Treynor et de Black Treynor, le ratio de Sharpe et

l’alpha de Jensen du fonds 2 sont tous supérieurs au fonds 1. De la même manière que

pour l’étude sur les fonds actions, cela signifie que sur la période étudié et pour

différentes mesures de risque que les rapports des rentabilités sur les risques sont

favorables au fonds 2. On observe également que le risque lié au fonds 2 est supérieur

au risque lié au fonds 1.

A noter que les ratios calculés sur la base des benchmarks officiels donnent des

résultats similaire, à savoir une supériorité du fonds 2 sur le fonds 1.

La mesure de Fama

Encore une fois on observe une valeur négative pour cette mesure pour les deux fonds.

La performance de ces derniers est donc inférieure à celle du marché. De plus, le fonds

2 a une mesure de Fama supérieure au fonds 1, ce qui a tendance à confirmer la

tendance des premiers ratios étudiés.

Le ratio de Sortino

En ce qui concerne le ratio de Sortino on note de la même manière une supériorité du

second fonds sur le premier. De plus la volatilité à la baisse du fonds 2 est meilleure

que celle du fonds 1.

Le M²

Pour cette mesure et de la même manière que les mesures précédentes, le fonds 2 est

supérieur au premier fonds.

L’Omega

Cette mesure est intéressante car elle dénote des autres. En effet, on peut observer

dans son cas un meilleur comportement du premier fonds. Plusieurs raisons y sont

liées, tout d’abord l’absence d’utilisation de benchmark dans son cas. En effet, la

plupart des mesures de performance implique une comparaison entre le fonds et le

benchmark, or dans le cas présent le comportement du fonds 2 est meilleur vis-à-vis

de son benchmark que celui du fonds 1 ce qui permet de creuser une certaine

différence. De plus les moments d’ordre 3 et 4 sont très bien pris en compte dans la

mesure de l’Omega ce qui peut impliquer également des variations par rapport aux

autres mesures.

Nous ne présenterons pas ici la mesure de Treynor et Mazuy car la régression manquait de

significativité.

Enfin, aucun des deux fonds ne présente de persistance de la performance, le fonds 1 ayant

un coefficient de Hurst de 0,4273 et le fonds 2 de 0,3923.

Les différentes mesures de performance nous ont donc permis d’observer une relative

supériorité du gérant du second fonds sur le gérant du premier fonds et ce malgré un mesure


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ADDING 104/110

de l’Oméga plus élevé pour le fonds 1. Dans ce cas-ci il semblerait donc le deuxième fonds

soit à privilégier.

3.4. Mesures non utilisées

Dans la comparaison des fonds deux principales mesures n’ont pas été utilisées. Tout d’abord

la mesure de Sharpe Glissante, en effet, cette dernière nécessite pour être efficiente une

période d’étude relativement longue et n’aurait donc pas été pertinente dans le cas présent. A

titre d’exemple voici ci-dessous une utilisation de l’analyse de style de Sharpe glissante sur un

fonds diversifié :

Celle-ci nous permet d’observer que le gérant fluctue entre une gestion 70 %actions-30

%obligations et une gestion 50 %actions-50 %obligations.

Une autre mesure n’a pu qu’être partiellement utilisée, il s’agit des mesures d’attribution de

performances de Brinson, Hoob et Beebower et de Brinson et Fachler. A des fins illustratives

nous allons appliquer ces mesures à un fonds actions dont le benchmark est 50 % actions

européennes, 25 % actions françaises et 25 % actions US et dont la composition du

portefeuille a été 45 % actions européennes 20 % actions françaises et 35 % actions US. Voici

tout d’abord les résultats avec le modèle de BHB :

Figure 3.39 : Sharpe glissant

Figure 3.40 : Attribution 2


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ADDING 105/110

Cette étude nous permet d’observer que la surperformance du gérant est notamment liée à la

sélection dans le compartiment des fonds de la zone euro qui lui a permis de sur performer le

benchmark. Un autre point positif est sa capacité d’allocation en actions de la zone US.


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ADDING 106/110

Conclusion

a présente partie nous a tout d’abord permis d’étudier les ratios de performances lors

de leur application sur des agents ayant des comportements différents. Nous avons

ainsi constaté la sensibilité de ces mesures au comportement des agents.

Nous avons par la suite appliqué un modèle conditionnel au marché français. Nous avons

finalement opté pour un modèle disposant de trois variables d’information que sont l’Euribor

3 mois, le rendement des dividendes et l’EuroMTS long terme. Une étude comparative de ce

modèle et du modèle classique nous a permis de montrer que l’introduction de variables

d’information entraînait un meilleur pouvoir explicatif de modèle. Comme lors d’études

précédentes, l’alpha conditionnel s’est avéré être, en moyenne, supérieur à l’alpha classique.

Il semble donc que, pour le marché français, l’utilisation du modèle classique a tendance à

sous-évaluer les performances du gérant.

Dans un troisième et dernier chapitre nous nous sommes finalement attachés à présenter une

application du logiciel. L’étude de quatre fonds nous a permis de déterminer les qualités et

défauts de chacun des gérants et de conclure à la supériorité de certains fonds sur d’autres.

L


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ADDING 107/110

Conclusion Générale

’épargne salariale a connu une croissance très rapide ces dernières années. De 19

milliards d’euros en 1995, l’encours des OPCVM salariales est aujourd’hui de près de

80 milliards d’euros soit une multiplication par quatre en 15 anslvi

, notamment due à la

collecte des PEE et PERCO. Cet engouement est parfaitement compréhensible de par le fait

que l’épargne salariale permet à l’employeur de disposer d’une solution de fidélisation, de

motivation mais également d’exonération fiscale. Côté salarié, les nombreuses incertitudes

face aux retraites ont un effet important sur le développement de l’épargne d’entreprise.

Aujourd’hui près de trois quart des salariés disposent d’un plan d’épargne salariale.

L’augmentation de cette épargne tend à accroître le nombre total de FCPE sur le marchélvii

. Il

est donc de plus en plus dur pour les entreprises de faire un choix parmi la quantité

pléthorique de fonds disponibles. Il a cependant été durant longtemps assez dur de comparer

les performances des gestionnaires lors d’appels d’offres en raison de données souvent

opaques. C’est donc pour cela que le CFA Institutelviii

a édicté un certain nombre de règles

visant à fixer un standard mondialement reconnu de présentation des performances des

OPCVM. Ces dernières ont pour but de préserver, notamment lors d’appels d’offres, une

totale équité concurrentielle entre les différentes sociétés de gestion. Ces règles sont

regroupées sous le nom de normes GIPSlix

(Global Investment Performance Standards). Cette

uniformisation permet ainsi de comparer les performances des gestionnaires sur des bases

solides et donc d’utiliser les instruments de mesure et d’attribution de performance.

Afin de mettre en place un outil de comparaison des performances des sociétés de gestions,

nous avons donc tout d’abord rappelé les bases de la finance avec le modèle de Markowitz et

le CAPM dans le but de pouvoir étudier certains ratios de performance tels que les ratios de

Treynor, de Sharpe, l’Alpha de Jensen, le M² ou l’Omega. Ces derniers permettent de

comparer facilement la qualité de plusieurs fonds et sont représentés dans le logiciel, entre

autres, sous la forme d’un graphique radar. Des mesures plus complexes permettant de

mesurer les qualités de sélectivité et d’anticipation ont également été présentées telle que la

mesure de Treynor et Mazuy. Nous avons ensuite étudié des mesures dérivées du CAPM

telles que les mesures conditionnelles et l’analyse de style de Sharpe puis une mesure

actuellement très appréciée : l’exposant de Hurst qui permet de déceler la présence ou non

d’une persistance dans les performances du gérant. Dans un second temps, nous nous sommes

arrêté sur un domaine qui est de plus en plus utilisé : l’attribution de performance. Cette

dernière permet de déterminer la provenance de la performance du gérant.

Nous avons ensuite étudié les différentes mesures de performances appliquées à des agents

ayant des comportements et des informations différentes les uns des autres. Celle-ci nous a

permis de constater le net impact des attitudes des agents sur les ratios de performance mais

également sur les mesures d’attribution.

lvi

Source : AFG lvii

Source : INSEE lviii

Centre for Financial Market integrity lix

Une version française de ces normes est disponible sur le site de l’AFG

L


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ADDING 108/110

Afin d’introduire une mesure de performance spécifique au logiciel, nous avons étudié le

modèle conditionnel et l’avons adapté au marché français. Nous avons pu observer que la

variable janvier, souvent utilisée dans les modèles conditionnels américains n’était pas

adaptée à l’hexagone et n’avons donc retenu que trois variables d’information que sont les

rendements des dividendes, le taux Euribor à 3 mois ainsi que le taux des obligations d’Etat

long terme. Une étude sur 15 fonds a permis de montrer une puissance explicative du modèle

conditionnel plus élevée que celle du CAPM classique.

Finalement, nous avons présenté le logiciel et fait une étude de fonds grâce à celui-ci. Ce

dernier nous permet, grâce à une série de mesure de performances classiques, de mesures

dérivées mais également par le biais des mesures d’attribution et de persistance de la

performance, de pouvoir analyser un fonds commun de placement sur un certain nombre de

plans. Ainsi le logiciel permet de disposer d’un maximum de cartes en main afin de faire un

choix entre plusieurs FCP qui peuvent être proposés lors d’un appel d’offre.

Afin de voir plus loin certains ajouts au logiciel peuvent être envisagés. Tout d’abord, il

pourrait être intéressant d’ajouter un mesure d’attribution de performance obligataire

permettant ainsi d’étudier les origines des performances des fonds obligations. L’insertion de

mesures conditionnelles extraites du modèle construit dans ce mémoire telle qu’une mesure

de Treynor et Mazuy conditionnelle pourrait également s’avérer pertinente. Enfin, un

développement d’une mesure basée sur les modèles multi factoriels telle que l’analyse du

risque basée sur le modèle de Barra permettrait d’avoir une mesure alternative des risques pris

par le gérant.


GRACZ Romain

ADDING

TABLE DES MATIERES

...........................................................................

INTRODUCTION A LA MESURE DE PERFORMANCE ................................ 4

CHAPITRE 1 Les rentabilités ........................................................................................... 6

1.1. Formules de base .................................................................................................... 6

1.2. I.R.R. (Internal Rate of Return) .............................................................................. 8 1.3. T.W.R. (Time-Weighted rate of Return) ................................................................ 8 1.4. Comparaison des méthodes .................................................................................... 9

CHAPITRE 2 Le MEDAF ............................................................................................... 10

2.1. Les hypothèses ..................................................................................................... 10 2.2. Le cadre ................................................................................................................ 11 2.3. La prime de risque d’équilibre ............................................................................. 12

2.4. Le risque ............................................................................................................... 15

2.5. Application ........................................................................................................... 17

CHAPITRE 3 Mesures de performance .......................................................................... 20

3.1. Les mesures de performance classiques ............................................................... 21 3.1.1 Le Ratio d’Information ..................................................................................... 21

3.1.2 La mesure de Treynor ...................................................................................... 21 3.1.3 Le ratio de Sharpe ............................................................................................ 23

3.1.4 L’alpha de Jensen ............................................................................................. 24 3.1.5 Relations entre les principaux indicateurs et leur utilisation ............................ 25

3.1.5.1 Treynor et Sharpe ..................................................................................... 25 3.1.5.2 Treynor et Jensen ..................................................................................... 26

3.1.5.3 Sharpe et Jensen ....................................................................................... 26 3.1.6 Utilisation de principaux indicateurs ................................................................ 27

3.2. Autres mesures de performance ........................................................................... 28 3.2.1 La mesure de FAMA ........................................................................................ 28 3.2.2 Le ratio de Sortino ............................................................................................ 28 3.2.3 Le M² ................................................................................................................ 29 3.2.4 L’Omega ........................................................................................................... 30

3.3. Les mesures de performance dérivées du CAPM ................................................ 33 3.3.1 Le modèle de Treynor et Mazuy ...................................................................... 33 3.3.2 Le modèle d’Henriksson et Merton(1981) ....................................................... 34

3.4. Bilan des mesures présentées : Exemple à travers trois fonds ............................. 34


GRACZ Romain

ADDING

MODELES ALTERNATIFS, PERSISTANCE ET ATTRIBUTION DE

PERFORMANCE ............................................................................................... 40

CHAPITRE 1 Les modèles conditionnels et indépendants ............................................. 42

1.1. Le modèle de Ferson et Schadt : le Time-Varying bêta ....................................... 42 1.1.1 Un modèle basé sur le CAPM conditionnel ..................................................... 42 1.1.2 Application du modèle à la mesure de performance ........................................ 44

1.1.2.1 La mesure de Jensen ................................................................................. 44 1.1.2.2 Treynor et Mazuy ..................................................................................... 45

1.2. Le modèle de Christopherson et al. : le Time Varying alpha ............................... 45 1.3. Modèles indépendants du marché ........................................................................ 46

CHAPITRE 2 Les modèles multifactoriels « Beta is dead » ........................................... 47

2.1. Présentation théorique .......................................................................................... 47

2.1.1 L’APT (Arbitrage Pricing Theory) ou MEA (Modèle d’évaluation par

arbitrage) ...................................................................................................................... 47 2.1.2 Les modèles empiriques ................................................................................... 49 2.1.3 Liens entre les deux types de modèle ............................................................... 49

2.2. Choix des facteurs et estimation des paramètres .................................................. 49 2.2.1 Modèles explicites : exemple du modèle de Barra ........................................... 50

2.2.2 Modèles implicites ........................................................................................... 51

2.2.3 Comparaison des différents modèles ................................................................ 51

2.3. Application des modèles multifactoriels .............................................................. 51 2.3.1 Application ........................................................................................................... 52

CHAPITRE 3 La persistance de la performance ............................................................. 54

3.1. Le Principe de l’exposant de Hurst ...................................................................... 54 3.2. Le calcul de l’exposant de Hurst .......................................................................... 54

3.3. Application ........................................................................................................... 55

CHAPITRE 4 Attribution de performance ...................................................................... 57

4.1. Le Modèle de Brinson, Hood & Beebower .......................................................... 58 4.1.1 L’allocation sectorielle ................................................................................. 58 4.1.2 La sélection de titres ..................................................................................... 59 4.1.3 L’interaction ................................................................................................. 60 4.1.4 Bilan ............................................................................................................. 60

4.1.5 Un exemple .................................................................................................. 61 4.2. Le Modèle de Brinson & Fachler ......................................................................... 62 4.3. L’Interaction ......................................................................................................... 63

ETUDES ET DEVELOPPEMENT LOGICIEL ................................................. 66

CHAPITRE 1 Etude des mesures de performance appliquées à des agents informés sur

le CAC40 .................................................................................................................. 68


GRACZ Romain

ADDING

1.1. Présentation de l’étude ......................................................................................... 68 1.1.1 L’information ....................................................................................................... 68 1.1.2 Le risque ............................................................................................................... 69 1.1.3 Traduction dans les choix de placements ............................................................. 70

1.2. Résultats ............................................................................................................... 72 1.2.1 Résultats principaux ............................................................................................. 72 1.2.2 Les ratios de performance .................................................................................... 74 1.2.3 Attribution de performance .................................................................................. 75

CHAPITRE 2 Application d’un modèle conditionnel au marché français ...................... 80

2.1. Le modèle de Ferson & Schadt ............................................................................ 80

2.2. Choix des variables d’information ....................................................................... 81 2.3. La prédictivité des variables d’information ......................................................... 82 2.4. Application au marché français ............................................................................ 86

CHAPITRE 3 L’outil d’analyse des performances financières ....................................... 88

3.1. Présentation du logiciel ........................................................................................ 88 3.1.1 Présentation générale ........................................................................................ 88

3.1.2 Sélection des mesures de performance ................................................................. 89 3.1.3 Présentation de l’outil ........................................................................................... 89

3.1.4 L’étude d’un fonds ............................................................................................... 90 3.1.4.1 Initialisation de l’étude ............................................................................. 90

3.1.4.2 Formulaire des résultats ........................................................................... 91 3.2. Etude de quatre fonds ........................................................................................... 92

3.2.1 Etude de fonds actions .......................................................................................... 92 3.2.1.1 La rentabilité et la volatilité des performances ........................................ 92 3.2.1.2 Les mesures de performance classiques et dérivées ................................. 94

3.2.1.3 Les mesures d’attribution et de persistance de la performance ................ 95 3.2.2 Etude de deux fonds diversifiés ........................................................................... 96

3.2.2.1 La rentabilité et la volatilité des performances ........................................ 96

3.2.2.2 Les mesures de performance classiques et dérivées ................................. 97 3.2.2.3 Les mesures d’attribution et de persistance de la performance ................ 98

3.3. Comparaison des fonds ........................................................................................ 98 3.3.1 Comparaison des fonds actions ............................................................................ 98

3.3.2 Comparaison des fonds diversifiés ..................................................................... 101 3.4. Mesures non utilisées ......................................................................................... 104


GRACZ Romain

ADDING

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GRACZ Romain

ADDING

ANNEXE 1 : ESTIMATEUR SANS

BIAIS DE LA SKEWNESS

Montrons la justesse de l’estimateur sans biais de la Skewness

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ADDING

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GRACZ Romain

ADDING

ANNEXE 2 : FORMULE

D’EQUILIBRE DE L’APT

Démonstration de la formule d’équilibre de l’APT

Un portefeuille d’arbitrage est construit en considérant un investissement réparti sur n actifs.

Il est possible de modifier les proportions investies dans ces différents actifs sans changer la

valeur totale du portefeuille, c'est-à-dire sans apport de capital. Pour faire cela nous achetons

et vendons de telle manière que la somme des mouvements soit nulle.

Si l’on note i la variation de la proportion investi en actif i, alors le portefeuille défini par

les poids nii ;1

vérifie :

01

n

i

i (A)

Le rendement de ce portefeuille est donc :

n

i

tiiP RR1

,

En utilisant la formule de l’ACP on obtient :

it

n

i

i

K

k

kik

n

i

i

n

i

iiP FbRER

11 11

Le portefeuille doit être sans risque, ce qui implique une élimination du risque spécifique

mais aussi du risque systématique. Ce dernier est représenté par le vecteur kb pour chaque

facteur k. Afin d’éliminer ce risque il est donc nécessaire de faire disparaître ces vecteurs de

l’expression de PR . Afin de faire cela il faut choisir les i de telle manière que :

01

n

i

ikib (B)

Le risque non systématique est quant à lui éliminé en utilisant le principe de diversification, le

nombre d’actifs en portefeuille doit être le plus grand possible et les différences entre les

pourcentages investis dans chaque actifs doivent être faible, i.e. :

ni1

De plus, étant donné que les termes d’erreurs sont indépendant entre eux, la loi des grands

nombres nous pousse à considérer que leur somme tend vers zéro lorsque n est grand.

L’expression du rendement du portefeuille s’exprime donc désormais :

n

i

iiP RER1

Or le rendement de ce portefeuille est nulle par définition puisqu’il s’agit d’un portefeuille

d’arbitrage, donc :

n

i

ii RE1

0 (C)


GRACZ Romain

ADDING

D’après les équations (A), (B) et (C) le vecteur nii ;1

doit être orthogonal avec le vecteur

unité, le vecteur des sensibilités aux K facteurs et au vecteur des rendements espérés. Par

conséquent ce dernier vecteur peut s’exprimer comme combinaison linéaire des deux

précédents :

K

k

kiki bRE1

0

Avec 00 R

D’où :

K

k

ikkti bRR1

0,

Documents

Mémoire de master ISFA · 2018. 11. 7. · fonds. Le second chapitre se focalise sur la théorie qui a été à la base des premiers ratios de performances tels que le ratio de Treynor