Mémoirede de Fin d’Études En vue de l’obtention du diplôme

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université Mohammed Seddik Benyahia – Jijel

Faculté des Sciences et de la Technologie

Département d’Automatique

Mémoirede de Fin d’Études

En vue de l’obtention du diplôme

Master en Automatique et Systèmes

Thème :

Sur la commande non linéaire des systèmes photovoltaïques

Réalisé par : Encadré par :

Noureddine Boubekri Dr. Sofiane Doudou

Année Universitaire 2018/2019

i

Remerciement

Je remercie Dieu, le tout puissant, pour m’avoir donné, le courage, la patience, la volonté

et la force nécessaire, pour affronter toutes les difficultés et les obstacles, qui se sont hissés

au travers de mon chemin, durant toutes mes années d’études.

J’adresse mes sincères remerciements à mon encadreur Dr. Doudou Sofien pour sa

patience, sa disponibilité et surtout ses judicieux conseils, qui ont contribué à alimenter ma

réflexion.

Je remercie également tous les membres de jury d’avoir accepté d'examiner ce travail.

J’adresse mes sincères remerciements à tous mes enseignants du département

Automatique de l’université Mohammed Saddik Benyahia.

Enfin, je remercie mes amis B. Abderrahim et H. Omar pour leurs encouragements et

leur soutien inconditionnel.

ii

Table des matières

iii

Table des matières

Table des figures………………………………….…………………………………….…..v

Liste des tableaux…...………………………………………….………………………….vii

Symboles et Abréviations…..……………………………………..………………………..ix

Introduction générale……………………………………………………………………...1

Chapitre I : Énergie photovoltaïque

I.1 Introduction…………………………………………………………………………….3

I.2 Principe de la conversion photovoltaïque………………………………………………...3

I.3 Cellule photovoltaïque…………………………………………………………………….4

I.3.1 Rendement d’une cellule…………………………………………………………….5

I.3.2 Modélisation d’une cellule photovoltaïque…………………………………………6

I.3.3 Association des cellules………………………………………………………….....11

I.4 Module photovoltaïque…………………………………………………………………..12

I.5 Générateur photovoltaïque (GPV)…………………………………………….…………12

I.5.1 Simulation d’un générateur photovoltaïque………………………………….……13

I.5.2 Influence d’irradiation et de la température sur le fonctionnement du GPV…….14

I.8 Conclusion……………………………………………………………………………......15

Chapitre II : Commande MPPT des systèmes PV

II.1 Introduction……………………………………………………………………………...16

II.2 Connexion directe……………………………………………………………………….16

II.2.1 Simulation de la connexion directe…………………………………………….....18

II.3 Connexion via un étage d’adaptation…………………………………………………..19

II.3.1 Convertisseur DC/DC……………………………………………………………..19

II.3.2 Commande PWM………………………………………………………………….20

II.3.3 Convertisseur abaisseur de tension (Buck)……………………………………….20

II.3.4 Convertisseur élévateur de tension (boost)……………………………………….23

II.4 Commande MPPT……………………………………………………………………….25

II.4.1 Méthodes indirectes (Méthodes Offline)………………………………………….25

II.4.2 Méthodes directes (méthode Online)……………………………………………..26

II.4.1 Méthodes P&O…………………………………………………………….26

Table des matières

iv

II.4.2 Méthodes IncCond………………………………………………..………..27

II.4.2 Simulation des méthodes P&O et IncCond……………………..………..31

II.5 Conclusion……………………………………………………………………………….33

Chapitre III : Commande MPPT par mode glissant

III.1 Introduction .................................................................................................................... 34

III.2 Principe de la commande par mode glissant ................................................................ 34

III.3 Synthède de la loi de commande par mode glissant .................................................... 35

III.4 Phénomène de broutement ............................................................................................ 37

III.5 Commande par mode glissant des systèmes PV .......................................................... 39

III.5.1 Système de référence ............................................................................................. 39

III.5.2 Commande par mode glissant pour le premier système PV ............................... 40

III.5.2.1 Surface de glissement .............................................................................. 40

III.5.2.2 Synthèse de la loi de commande ............................................................. 41

III.5.2.3 Vérification de condition d’éxistance ..................................................... 41

III.5.2 Commande par mode glissant pour le deuxième système PV ............................ 42

III.5.2.1 Surface de glissement .............................................................................. 43

III.5.2.2 Synthèse de la loi de commande ............................................................. 43

III.5.2.3 Vérification de condition d’éxistance ..................................................... 43

III.6 Simulation numérique .................................................................................................... 44

III.6.1 Simulation de la commande par mode glissant du premier système PV ........... 44

III.6.1.1 Minimusation de broutement .................................................................. 46

III.6.1 Simulation de la commande par mode glissant du premier système PV ........... 48

III.6 Conclusion ...................................................................................................................... 51

Chapitre IV : Commande MPPT par backstepping

IV.1 Introduction..................................................................................................................... 52

IV.2 Principe de la théorie de backstepping .......................................................................... 52

IV.3 Exemple illustratif .......................................................................................................... 53

IV.4. Algorithme générale ...................................................................................................... 56

IV.5 Commande backstepping des systèmes PV .................................................................. 57

IV.5.1 Commande par backstepping pour le premier système PV................................. 57

IV.5.2 Commande par backstepping pour le deuxième système PV ............................. 58

IV.6 Simulation numérique .................................................................................................... 59

IV.6.1 Simulation de la commande par backstepping du premier système PV ............. 60

IV.6.2 Simulation de la commande par backstepping du deuxième système PV ......... 61

IV.8 Conclusion ...................................................................................................................... 64

Conclusion générale………………………………………………………………….…………..65

Table des figures

v

Table des figures

I.1. Principe de la conversion photovoltaïque. ...................................................................... 3

I.2. Principe de fonctionnement de la cellule photovoltaïque. .............................................. 4

I.3. Modèle idéal d'une cellule photovoltaïque. ..................................................................... 6

I.4. Modèle réel d'une cellule photovoltaïque. ...................................................................... 7

I.5. Modèle simplifié. ............................................................................................................ 8

I.6. Courbe de la caractéristique I-V de la cellule PV. .......................................................... 8

I.7. Courbe de la caractéristique P-V de la cellule PV. ......................................................... 8

I.8. Points critiques de fonctionnement de la cellule photovoltaïque. ................................... 9

I.9. Association en série. ...................................................................................................... 12

I.10. Association en parallèle. ............................................................................................. 12

I.11. Association série-parallèle. ......................................................................................... 12

I.12. Circuit équivalent du GPV. ......................................................................................... 13

I.13. Courbes I-V et P_V de module photovoltaïque ASM250 dans les conditions

standards. ............................................................................................................................. 14

I.14. Courbes I-V et P-V du GPV pour différent valeurs d’irradiation. .............................. 14

I.15. Courbes I-V et P-V du GPV pour une température variable....................................... 15

II.1. Connexion directe…………………………………………………………………….17

II.2. Point de fonctionnement d'un GPV en fonction de la charge………………………...17

II.3. Profil d'irradiation…………………………………………………………………….18

II.4. Fonctionnement de GPV en connexion directe source/charge……………………….18

II.5. Connexion à travers un étage d'adaptation…………………………………………...19

II.6: Signal généré par la technique PWM………………………………………………...20

II.7. Schéma d’un convertisseur Buck……………………………………………………..20

II.8. Circuit équivalent quand l'interrupteur est fermé…………………………………….21

II.9. Circuit équivalent quand l'interrupteur est ouvert……………………………………21

II.10. Schéma d’un convertisseur Boost…………………………………………………...23

II.11: Circuit équivalent quand l'interrupteur est fermé…………………………………...23

II.12. Circuit équivalent quand l'interrupteur est ouvert…………………………………..24

II.13. Principe de la méthode P&O………………………………………………………..26

Table des figures

vi

II.14. Organigramme de la méthode P&O…………………………………….………..…27

II.15. Principe de la méthode IncCond……………………………………..……………...28

II.16. Organigramme de la méthode IncCond……………………………………………..28

II.17. Variation de l'irradiation…………………………………………………………….29

II.18. Puissance délivrée par le générateur GPV…………………………………………..29

II.19. Courant de sortie du GPV…………………………………………………………...30

II.20. Tension aux bornes du GPV………………………………………………………...30

II.21. Tension aux bornes de la charge…………………………………………………….30

II.22. Signal de commande (α)……………………………………………………………30

II.23. Puissance reçue par la charge……………………………………………………….31

II.24. Puissance délivrée par le générateur GPV………………………………….……….31

II.25. Tension aux bornes du GPV………………………………………………………...32

II.26. Courant de sortie du GPV…………………………………………………………...32

II.27. Tension aux bornes de la charge…………………………………………………….32

II.28. Signal de commande (α)……………………………………………………………32

II.29. Puissance reçue par la charge……………………………………………………….33

III.1. Plans de phase en mode glissant…………………………………………………….34

III.2. Fonction signe……………………………………………………………………….36

III.3. Commande équivalente……………………………………………………………...37

III.4. Phénomène de broutement…………………………………………………………..37

III.5. Fonction sat………………………………………………………………………….38

III.6. Fonction tanh………………………………………………………………………..38

III.7. Profit d'irradiation…………………………………………………………………...44

III.8. Puissance délivrée par le générateur………………………………………………...44

III.9. Courant de sortie du générateur…………………………………….………………..45

III.10. Tension aux bornes de GPV……………………………………….……………….45

III.10. Tension aux bornes de la charge…………………………………………………...45

III.11. Surface de glissement s(x)…………………………………………….……………45

III.12. Signal de commande (α)……………………………………………………………46

III.14. Courant de sortie du générateur…………………………………………………….46

III.13. Puissance délivrée par le générateur……………………………………………….47

III.14. Tension aux bornes de GPV………………………………………………………..47


III.18. Surface de glissement s(x)………………………………………………………….48

Table des figures

vii

III.15. Signal de commande……………………………………………………………….48

III.20. Puissance délivrée par le générateur……………………………………………….49

III.16. Courant à la sortie du générateur…………………………………………….……..49

III.17. Tension aux bornes de GPV………………………………………………….…….49


III.19. Erreurs de poursuite………………………………………………………………...50

III.20. Surface de glissement………………………………………………………………50

III.21. Signal de commande……………………………………………………………….50

IV.1. Profit d'irradiation. ..................................................................................................... 59

IV.2. Puissance délivrée par le générateur. ......................................................................... 60

IV.3. Courant a la sortie du GPV......................................................................................... 60

IV.4. Tension aux bornes de GPV. ...................................................................................... 60

IV.5. Tension aux bornes de la charge. ............................................................................... 61

IV.6. Erreur de poursuite. .................................................................................................... 61

IV.7. Signal de commande. ................................................................................................. 61

IV.8. Puissance délivrée par le générateur. ......................................................................... 62

IV9. Courant a la sortie du GPV.......................................................................................... 62

IV.10. Tension aux bornes de GPV. .................................................................................... 62

IV.11. Tension aux bornes de la charge. ............................................................................. 63

IV.12. Erreur de poursuite. .................................................................................................. 63

IV.13. Signal de commande. ............................................................................................... 63

Liste des Tableaux

viii

Liste des Tableaux

I.1. Les cellules photovoltaïques de silicium……………………………………………5

I.2. Caractéristiques électriques du module photovoltaïque ASM250…………………13

Symboles et abréviations

ix

Energie de la bande de gap ;

Valeur nominale de l’ensoleillement (1000 𝑊 /𝑚2) ;

Courant traversant l’inductance L;

Courant de court-circuit aux conditions standards ;

Courant qui passé dans la diode ;

Courant engendré par la cellule ;

Courant au point de puissance maximale ;

Photo-courant ;

Courant du générateur photovoltaique ;

Couran à la sortie du convertisseur ;

Courant de saturation de diode ;

Courant de saturation de référence;

Nombre des cellules en parallèle ;

Nombre des cellules en série ;

Puissance maximale ;

Résistance série ;

Résistance de shunt ;

Période des impulsions ;

Tension thermique ;

Tension du circuit ouvert ;

Tension du circuit ouvert aux conditions standard ;

Tension aux bornes de la cellule ;

Tension au point de puissance maximale ;

𝐸𝑔

𝐺𝑟𝑒𝑓

𝐼𝐿

𝐼𝑐𝑐_𝑟𝑒𝑓

𝐼𝑑

𝐼𝑒

𝐼𝑜𝑝𝑡

𝐼𝑝ℎ

𝐼𝑝𝑣

𝐼𝑠

𝐼𝑠𝑎𝑡

𝐼𝑠𝑎𝑡_𝑟𝑒𝑓

𝑁𝑝

𝑁𝑠

𝑃𝑚𝑎𝑥

𝑅𝑠

𝑅𝑠ℎ

𝑇𝑑

𝑉𝑇

𝑉𝑐𝑜

𝑉𝑐𝑜_𝑟𝑒𝑓

𝑉𝑒

𝑉𝑜𝑝𝑡

Symboles et Abréviation

Symboles


x

𝑉𝑝𝑣

𝑉𝑡𝑟𝑒𝑓

𝑘𝑖

𝑡𝑜𝑓𝑓

𝑡𝑜𝑛

𝑢𝑒𝑞

𝑢𝑛

𝑥𝑑

𝑆𝑎𝑡

𝑆𝑖𝑔𝑛

𝐹𝐹

𝐾

𝑅

𝑆

𝑇

𝑉(𝑥)

𝑒(𝑥)

𝑛

𝑞

𝑡𝑎𝑛ℎ

𝑢

𝛼

Tension du générateur photovoltaique ;

Tension thermique a la température de référence ;

Coefficient de la température du courant de court-circuit ;

Temps d’ouverture du transistor MOSFET ;

Temps de fermeture du transistor MOSFET ;

Commande équivalente ;

Commande discontinue ;

Valeur désiré de l’état 𝑥 ;

Fonction saturation;

Fonction signe;

Facteur de forme ;

Constant de Boltzmann (𝐾 = 1,38.10−23𝐽/𝐾);

Charge résistive ;

Surface de glissement ;

Température de la cellule en kelvin ;

Fonction de Lyapunov ;

Erreur de poursuit ;

Facteur de non idéalité de la jonction ;

Charge de l’électron (𝑞 = 1,602.10−19𝑐) ;

Tengent hyperbolique;

Loi de commande ;

Rapport cyclique.


xi

Abréviations

AC Courant alternatif (alternating current)

DC Courant Continu (Direct Current)

GPV Générateur Photovoltaïque

IncCond Conductance incrémentale (Incremental Conductance)

MLI Modulation de largeur d’impulsion.

MOSFET Transistor à effet de champ à grille isolée (metal–oxide–

semiconductor field- effect transistor)

MPPT Recherche de point de puissance maximale (Maximum Power Point

Tracking)

P&O Perturber et Observer.

PPM Point de Puissance Maximale

PV Photovoltaique

Introduction générale

1

ujourd'hui, les besoins d'énergie électrique sont en croissance continue.

L'électricité s'est imposée comme une énergie incontournable pour l'industrie et

nos usages domestiques. Selon l'Agence internationale de l'énergie [1], la

production d'énergie électrique repose principalement sur la combustion des combustibles

fossiles.Ces ressources non renouvelables, en diminution constante, menacent le monde et

la sécurité énergétique des pays dont elles dépendent. En raison de ces problèmes, et des

conséquences que l'on sait maintenant sur le réchauffement climatique dues à l'émission de

gaz carbonique et la pollution,la diversification des sources d'énergies électrique telles que

l'énergie solaire s'avère absolument nécéssaire.

La solution alors est de recourir aux recources renouvelables qui offrent la possibilité de

produire de l’énergie satisfaisante aux exigences écologiques. Parmi ces ressources, la

conversion de rayonnement solaire en électricité par les cellules photovoltaique. Ce

phénomène de conversion est basé sur le principe de l’effet photovoltaïque, ainsi une

cellule exposée à la lumière produit une force électromotrice dont la valeur varie en

fonction du matériau utilisé. Une cellule PV ne génère pas suffisament de tension (entre

0.5 et 1.5V), L’association série/parallèle des cellules photovoltaïques constitue un

générateur photovoltaïque (GPV) qui fournir une puisssance utilusable [2].

Le générateur PV possède une caractéristique courant-tension non linéaire, avec un point

de fonctionemment optimale (point de puissance maximal) varié en fonction de la

température et de l’ensoleillement du générateur. Pour que le point de fonctionnement du

GPV soit au voisinage du point optimale, un étage d’adaptation doit être introduit entre le

générateur et la charge continue. L’étage d’adaptation est un convertisseur DC/DC

commandé par des algorithmes MPPT effectuent la poursuite du PPM. Parmi ces

algorithme, on cite : méthode d’ajustement de courbe, méthode de la tension de circuit

ouvert du générateur, méthode de court-circuit, méthode de perturbation et observation

A



2

(P&O), l’incrémentation de l’inductance (Inc-Cond), Hill Climbing…etc. Cependent, ces

alghorithme présentent des problèmes lors une variation brusque des conditions

métrologique, est des oscillations autour du PPM dans les conditions normale. En plus de

ces inconvénéients, la mise en œuvre de ces algorithmes est une tache difficile [3].

Pour résoudre ces problèmes, l'utilisation des technique de commande non linéaire comme

la commande par mode glissant et la commnde par backstepping s’avère envisageable.

Dans ce cadre, l'objectif principal de ce travail est de résoudre le problème de transfer

d'énergie dans la chaine de converssion photovoltaique, autrement dit, garentir un

fonctionement optimal du générateur photovoltaique pour éxtraire une puissance maximale

et la transféré vers la charge.

Ce mémoire sera organisé en quatre chapitres :

Dans le premièr chapitre, on donnera des rappels sur la conversion photovoltaique et le

principe de fonctionnement de la cellule PV. Ensuite, à partir du modèle de la cellule on

élabora un modèle mathématique d'un générateur photovoltaïque qui permet d'étudier

l'influence des conditions météorologiques sur son PPM.

Dans le chapitre 2,on traietra le problème de transfert d’énergie du GPV vers la chrge. En

premier temps, on présenerta les deux types de la connexion GPV-cahrge : directe et

indirecte. En second temps, on exposera les algorithmes de la commande de poursuite du

point de puissance maximal (en anglais : maximum power point tracking) (MPPT). En fin,

on simulera les algorithmes (P&O) et (Inc-Cond) sous l’environnement Matlab..

Dans le chapitre 3, on introduira les idées fondamentales de la commandes par mode

glissant. En suite, on présentera l’application de l’approche par mode glissant pour deux

systèmes PV. En fin, on présente les performances des approches présentées à travers les

résultas de simulation obtenus, sous l’environnement Matlab.

Dans le chapitre 4, nous présenterons la théorie du backstepping. Ensuite, on garantirera un

fonctionnement optimal du GPV par la technique de backstepping. On terminera ce

chapitre par examiner les résultas de simulation.

Finalement, le bilan des travaux réalisés, dans le cadre de ce mémoire, et les perspectives

envisagées sont donnés en conclusion.

Chapitre I Énergie photovoltaïque

3

Chapitre I : Énergie photovoltaïque

I.1 Introduction

L‘énergie photovoltaïque est basée sur l‘effet photoélectrique. La découverte de ce

dernier est attribuée à Antoine Becquerel en 1839. Ce phénomène permet de créer un courant

électrique continu à partir de l’irradiation solaire. Cette ressource d’énergie a donc

l’avantage d‘être inépuisable et utilisable en tout point d‘un territoire. L'énergie électrique

fournie par un générateur photovoltaïque dépend essentiellement des conditions climatiques

imprévisibles, notamment de l'irradiation et de la température.

Dans ce chapitre, on commencera par rappeler brièvement le principe de la conversion

photovoltaïque. Ensuite, on décrira une modélisation mathématique de la cellule

photovoltaïque. Enfin, on simulera le comportement dynamique d’un générateur

photovoltaïque sous l’environnement Matlab et on étudiera ces caractéristiques courant-

tension (I-V) et puissance-tension (P-V) pour des variations de la température et de

l’ensoleillement.

I.2 Principe de la conversion photovoltaïque

Zone dopé N

Junction

Zone dopé P

Grille métallique

Figure I.1.Principe de la conversion photovoltaïque.


4

La conversion d’énergie solaire PV repose sur le phénomène de l’effet photovoltaïque,

qui consiste à transformer d’une manière directe la lumière en électricité quand des photons

frappent une cellule faite généralement du silicium. Cette dernière est un composant

électronique semi-conducteur dans lequel l'absorption des photons, grains élémentaires de

la lumière, libère des "électrons" chargés négativement et des "trous" chargés positivement.

Ces charges électriques sont séparées par un champ électrique interne et collectées par une

grille à l'avant et un contact à l'arrière [2]. Le schéma de la conversion photovoltaïque est

montré par la figure I.1.

I.3 Cellule photovoltaïque

Dans un semi-conducteur exposé à la lumière, un photon à une énergie suffisante arrache

un électron, créant au passage un « trou ». Normalement, l'électron trouve rapidement un

trou pour se replacer, et l'énergie apportée par le photon est ainsi dissipée. Le principe d'une

cellule photovoltaïque est de forcer les électrons et les trous à se diriger chacun vers une face

opposée du matériau au lieu de se recombiner simplement en son sein : ainsi, il apparaîtra

une différence de potentiel et donc une tension entre les deux faces [4]. La figure I.2 illustre

le principe de fonctionnement de la cellule photovoltaïque.

Les cellules solaires sont construites de divers matériaux et différentes structures afin

de réduire le coût et d’obtenir une efficacité optimale. On distingue Trois types des cellules

photovoltaïques : cellules de silicium, cellules de couches minces et cellules solaires à multi-

jonction.

𝐸𝑔

Electron

Bonde de conduction

Bonde de valence

Trou

𝐸(𝑒𝑉)

Figure I.2.Principe de fonctionnement de la cellule photovoltaïque.

Photon


5

Les cellules de silicium : Le silicium est actuellement, et de loin, le matériau le plus

utilisé pour la fabrication des cellules solaires. On distingue trois familles dans la filière

Silicium :

1) Les cellules monocristallines.

2) Les cellules polycristallines.

3) Les cellules amorphes.

Tableau I.1.Les cellules photovoltaïques de silicium.

Les couches minces : Cette filière se base sur l'utilisation des couches minces dont

les épaisseurs sont de l’ordre de quelques centaines de nanomètres à quelques

micromètres. On peut classer cette filière en trois catégories :

1) Les couches minces inorganiques.

2) Les couches minces organiques.

3) Les couches minces à base de matériaux III-V.

Les Cellules solaires à multi-jonction : Les cellules multi-jonctions ont été

développées pour des applications spatiales, qui requièrent une grande efficacité de

conversion.

I.3.1 Rendement d’une cellule

Le rendement d’une cellule photovoltaïque est le rapport entre l’énergie produite et

l’énergie limoneuse reçus par cette cellule :

𝜁[%] =𝑃𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡𝑒[𝑤]

𝑃𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒[𝑤] (I. 1)

Silicium

monocristallin

Silicium

polycristallin

Silicium amorphe


6

Les cellules photovoltaïques actuelles ont un rendement faible. Elles ne convertissent donc

qu’une très faible fraction de la lumière en électricité.

I.3.2 Modélisation d’une cellule photovoltaïque

L’étude des caractéristiques de la cellule photovoltaïque nécessite l’élaboration d’un

modèle mathématique. La cellule est représentée généralement par un circuit équivalent dont

les paramètres sont calculés expérimentalement en utilisant la caractéristique courant-

tension.

De nombreux modèles mathématiques ont été développés pour représenter le comportement

non linéaire de la cellule photovoltaïque tel que le modèle a une seule diode (5 paramètres)

et le modèle a deux diodes (8 paramètres).

I.3.2.1 Modèle idéal

La cellule photovoltaïque est représentée comme une source de courant idéal qui fournit

un courant (photo-courant) proportionnel à l’éclairement, shuntée avec une diode. Le schéma

électrique équivalent de la cellule photovoltaïque pour le modèle idéal est représenté par la

figure I.3.

Ve

D

Ie

Id

Iph

Figure I.3.Modèle idéal d'une cellule photovoltaïque.

A partir du circuit équivalent, on peut écrire :

𝐼𝑒 = 𝐼𝑝ℎ − 𝐼𝑑 (I. 2)

Avec :

𝐼𝑑 = 𝐼𝑠𝑎𝑡 (𝑒𝑉𝑒

𝑛𝑉𝑇 − 1) (I. 3)

𝑉𝑇 =𝐾𝑇

𝑞 (I. 4)

• 𝐼𝑒 : Courant engendré par la cellule ;

• 𝐼𝑝ℎ : Photo-courant ;

• 𝐼𝑑 : Courant qui passé dans la diode ;

• 𝐼𝑠𝑎𝑡 : Courant de saturation de diode ;


7

• 𝑉𝑒 : Tension aux bornes de la cellule ;

• 𝑉𝑇 : tension thermique ;

• 𝐾 : Constant de Boltzmann (𝐾 = 1,38.10−23𝐽/𝐾);

• 𝑞 : La charge de l’électron (𝑞 = 1,602.10−19𝑐)

• 𝑇 : La température de la cellule en kelvin

• 𝑛 : facteur de non idéalité de la jonction

I.3.2.2 Modèle réel

Le modèle idéal ne reflète pas avec précision le comportement réel de la cellule. Le

modèle réel prend en considération les phénomènes dissipatifs au niveau de la cellule et les

pertes ohmiques du matériau. Le circuit équivalent est représenté par la figure I.4.

D

Rs

Rsh

Ie

Id Ish

Iph Ve

Figure I.4.Modèle réel d'une cellule photovoltaïque.

• 𝑅𝑠 : très petite (d’ordre de quelques milli-ohms), représente les pertes ohmiques

du matériau.

• 𝑅𝑠ℎ: suffisamment grande (d’ordre du méga ohm), elle représente le courants

parasite.

A partir du circuit équivalent, on a :

𝐼𝑒 = 𝐼𝑝ℎ − 𝐼𝑑 − 𝐼𝑠ℎ (I. 5)

Où, le courant qui passe dans la résistance shunt est donné par :

𝐼𝑠ℎ =𝑉𝑒 + 𝑅𝑠𝐼𝑒

𝑅𝑠ℎ (I. 6)

L’expression finale, qui décrit la caractéristique I-V de la cellule, est donnée comme suit :

𝐼𝑒 = 𝐼𝑝ℎ − 𝐼𝑠𝑎𝑡 (𝑒𝑉𝑒+𝑅𝑠𝐼𝑒

𝑛𝑉𝑇 − 1) −𝑉𝑒 + 𝑅𝑠𝐼𝑒

𝑅𝑠ℎ (I. 7)

I.3.3.1. Modèle simplifié

Un modèle plus simple peut être obtenu par la négligence des courants parasites au

niveau de la diode (𝑅𝑠ℎ → ∞). Ce modèle est montré par la figure I.5.


8

D

Rs Ie

Id

Iph Ve

Figure I.5.Modèle simplifié.

Par conséquent, l’expression de la caractéristique I-V donnée par (I.7) devient comme suit :

𝐼𝑒 = 𝐼𝑝ℎ − 𝐼𝑠𝑎𝑡 (𝑒𝑉𝑒+𝑅𝑠𝐼𝑒

𝑛𝑉𝑇 − 1) (I. 8)

En utilisant la formule (I.8), on peut tracer la caractéristique I-V de la cellule PV comme le

montre la figure I.6.

On peut également tracer la caractéristique P-V de la cellule PV comme le montre la figure

1.7.

Figure I.6. Courbe de la caractéristique I-V de la cellule PV dans les

conditions standards 𝐺 = 1000𝑤/𝑚2/ et 𝑇 = 25°𝐶.

Figure I.7. Courbe de la caractéristique P-V de la cellule PV

dans les conditions standards.


9

Figure I.8. Points critiques de fonctionnement de la cellule photovoltaïque dans les

conditions standards.

Ippm

PPM

Vppm

La figure (I.8) représente le point qui détermine le fonctionnement optimal de la cellule

photovoltaïque.

Interprétation

A partir des figures I.6, I.7 et I.8, il est clair que la cellule PV possède une caractéristique

I-V non linéaire. La puissance de la cellule augmente progressivement avec l’augmentation

de la tension jusqu’à un extrême qui est le point de fonctionnement optimal, puis elle

décroitre exponentiellement avec la décroissance du courant. Trois modes de

fonctionnement de la cellule photovoltaïque peuvent être distingués en regardant sa

caractéristiques I-V :

• Générateur de courant : Si sa tension est inferieur a 0.4 V ,elle se comporte comme

un générateur de courant Icc proportionnel à l’irradiation.

• Générateur de tension : Si son courant ne dépasse pas 6 A, elle se comporte comme

un générateur de tension Vco proportionnel à la température T.

• Puissance maximale : Dans ce point, la cellule donne la puissance maximale. Les

coordonnées de ce point de puissance maximale, peuvent être estimées par les

inégalités suivantes :

0.71𝑉𝑐𝑜 ≤ 𝑉𝑜𝑝𝑡 ≤ 0.78𝑉𝑐𝑜 (I. 9)

0.78𝐼𝑐𝑐 ≤ 𝐼𝑜𝑝𝑡 ≤ 0.92𝐼𝑐𝑐 (I. 10)


10

La puissance maximale de la cellule pmax peut être exprimée comme suit :

𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝑉𝑜𝑝𝑡 ∗ 𝐼𝑜𝑝𝑡 = 𝑉𝑐𝑜. 𝐼𝑐𝑐 ∗ 𝐹𝐹 (I. 11)

Avec 𝐹𝐹 représente le facteur de forme. Ce facteur mesure la qualité de la photopile et son

éloignement du rectangle idéal (Vco. Icc). Sa valeur se situe entre 0,7 et 0,8 pour une

photopile cristalline et diminue avec l’augmentation de la température.

Les paramètres 𝑃𝑚𝑎𝑥 , 𝑉𝑐𝑜 , 𝐼𝑐𝑐sont donnés par le fabricant pour des conditions standards

STC (Standard test conditions) [2].

I.3.3.2. Paramètres du modèle

Courant de court-circuit : Il représente le courant lorsque la tension appliquée à la

cellule est nulle. Le courant de court-circuit Icc est le courant maximal fourni par la

cellule et dépend principalement de l’éclairement. Son expression est donnée comme

suit :

𝐼𝑐𝑐 = 𝐼𝑐𝑐_𝑟𝑒𝑓

𝐺

𝐺_𝑟𝑒𝑓+ 𝑘𝑖

𝐺

𝐺𝑟𝑒𝑓(𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓) (I. 12)

• 𝐼𝑐𝑐_𝑟𝑒𝑓 : Courant de court-circuit aux conditions standards.

• 𝐺𝑟𝑒𝑓 : Valeur nominale de l’ensoleillement (1000 𝑊 /𝑚2).

• 𝑘𝑖 : Coefficient de la température du courant de court-circuit, donné par la fiche

technique du module.

Photo-courant : Le photon courant est proportionnel à l’irradiation, et très proche

au courant de court-circuit dans les conditions standards.

𝐼𝑝ℎ =𝐺

𝐺𝑟𝑒𝑓𝐼𝑐𝑐 (I. 13)

Tension en circuit ouvert : La tension en circuit ouvert (𝑉𝑐𝑜) est calculée lorsque le

courant est nul :

𝑉𝑐𝑜 =𝐾𝑇

𝑞𝑙𝑛 (1 +

𝐼𝑝ℎ

𝐼𝑠𝑎𝑡) (I. 14)

Si 𝐼𝑐𝑐 ≫ 𝐼𝑠𝑎𝑡, la tension 𝑉𝑐𝑜 devient comme suit

𝑉𝑐𝑜 =𝐾𝑇

𝑞𝑙𝑛 (

𝐼𝑝ℎ

𝐼𝑠𝑎𝑡) (I. 15)

Il est important de remarquer que cette tension augmente avec le log de 𝐼𝑝ℎ, donc avec le log

de l’illumination. En revanche, elle décroit avec la température, malgré le terme 𝐾𝑇

𝑞.


11

En effet, le courant de saturation, 𝐼𝑠𝑎𝑡, dépend de la surface de la diode (donc de la cellule)

et des caractéristiques de la jonction : il varie exponentiellement avec la température et cette

dépendance en température compense largement le terme 𝐾𝑇

𝑞. Donc la tension de circuit

ouvert Vcoest baisse avec la température [5].

Courant de saturation de la diode : Le Courant de saturation de la diode dépend

de la température, sa valeur peut être calculée par l’expression suivante :

𝐼𝑠𝑎𝑡 = 𝐼𝑠𝑎𝑡_𝑟𝑒𝑓 (𝑇

𝑇𝑟)

3

𝑛

𝑒𝑥𝑝 (−𝑞𝐸𝑔

𝑛𝐾(

1

𝑇−

1

𝑇𝑟𝑒𝑓)) (I. 17)

Avec :

𝐼𝑠𝑎𝑡_𝑟𝑒𝑓 =𝐼𝑐𝑐_𝑟𝑒𝑓

𝑒𝑥𝑝 (𝑉𝑐𝑜𝑟𝑒𝑓

𝑛𝑉𝑡𝑟𝑒𝑓) − 1

⁄ (I. 18)

• 𝐼𝑠𝑎𝑡_𝑟𝑒𝑓 : Le courant de saturation de référence.

• 𝑉𝑐𝑜_𝑟𝑒𝑓 : La tension du circuit ouvert aux conditions standard (voir datasheet).

• 𝑉𝑡𝑟𝑒𝑓 : La tension thermique a la température de référence.

• 𝐸𝑔 : L’énergie de la bande de gap.

Résistance série : La différentiation de l’équation (I.7) donne :

𝑑𝐼𝑒 = 0 − 𝐼𝑠𝑎𝑡 (𝑑𝑉𝑒 + 𝑅𝑠𝑑𝐼𝑒

𝑛𝑉𝑇) 𝑒𝑥𝑝 (

𝑉𝑒 + 𝑅𝑠𝐼𝑒

𝑛𝑉𝑇) (I. 19)

Ce qui en résulte :

𝑅𝑠 = −𝑑𝑉𝑒

𝑑𝐼𝑒−

𝑛𝑉𝑇

𝐼𝑠𝑎𝑡𝑒𝑥𝑝 (𝑉𝑒+𝑅𝑠𝐼𝑒

𝑛𝑉𝑇)

(I. 20)

En circuit ouvert la tension (𝑉 = 𝑉𝑐𝑜) et par conséquent l’équation (I.20) devient :

𝑅𝑠 = −𝑑𝑉𝑒

𝑑𝐼𝑒|

𝑉𝑐𝑜

−𝑛𝑉𝑇

𝐼𝑠𝑎𝑡𝑒𝑥𝑝 (𝑉𝑐𝑜

𝑛𝑉𝑇)

(I. 21)

Où : 𝑑𝑉𝑒

𝑑𝐼𝑒|

𝑉𝑐𝑜

est la pente de la courbe 𝐼 − 𝑉 dans le point 𝑉 = 𝑉𝑐𝑜.

I.3.3 Association des cellules

I.3.3.1 Association en série

La mise en série des cellules permet d’augmenter la tension du module et maintenir le

courant constant. Cette association est montrée par la figure I.9.


12

I.3.3.2 Association en parallèle

L’association en parallèle des cellules augmente le courant du module. La tension du

module est identique à celle de la cellule photovoltaïque comme le montre la figure I.10.

I.3.3.3 Association série parallèle

L’association de 𝑁𝑠 cellule en série et 𝑁𝑝 cellule en parallèle permet d’augmenter la

tension et le courant du module photovoltaïque (figure I.11).

I.4 Module photovoltaïque

Le module photovoltaïque est, par définition, un ensemble des cellules assemblées pour

générer une puissance électrique exploitable lors de son exposition à la lumière. En effet,

une cellule élémentaire ne génère pas suffisamment de tension : entre 0.5 et 1.5 V selon les

technologies. Il faut presque toujours plusieurs cellules en série pour générer une tension

utilisable [5].

𝑉𝑐𝑜_1

𝑉𝑐𝑜_2

𝑉𝑐𝑜_𝑛Ippm

𝑁𝑠𝑉𝑐𝑜

Figure I.9.Association en série.

𝐼𝑝ℎ_1 𝐼𝑝ℎ_𝑛 𝐼𝑝ℎ_2

𝑁𝑝𝐼𝑝ℎ

Ch𝑉𝑐𝑜

Figure I.10. Association en parallèle.

Figure I.11. Association série-parallèle.

𝐼𝑝ℎ_1 𝐼𝑝ℎ_𝑛 𝐼𝑝ℎ_2

𝑁𝑝𝐼𝑝ℎ

𝑁𝑠𝑉𝑐𝑜

𝑉𝑐𝑜_1

𝑉𝑐𝑜_2

𝑉𝑐𝑜_𝑛


13

R 𝑁𝑝𝐼𝑝ℎ

(𝑁𝑝 − 1)𝐼𝑝ℎ

(𝑁𝑠 − 1)𝑉𝑑

𝑁𝑝𝐼𝑒

𝑁𝑠

𝑁𝑝

𝑅𝑠

𝑁𝑠

𝑁𝑝

𝑅𝑠ℎ 𝑁𝑠𝑉𝑒

Figure I.12.Circuit équivalent du GPV.

I.5 Générateur photovoltaïque (GPV)

Un générateur PV est constitué de modules interconnectés pour former une unité

produisant une puissance continue élevée compatible avec le matériel électrique usuel. Les

modules PV sont habituellement branchés en série-parallèle pour augmenter la tension et

l’intensité à la sortie du générateur [6].

Si on suppose que toutes les cellules sont identiques et fonctionnent dans les mêmes

conditions, alors le modèle mathématique du GPV peut être donné par l’équations suivantes

[2] :

𝐼𝑒 = 𝑁𝑝 𝐼𝑝ℎ − 𝑁𝑝 𝐼𝑠𝑎𝑡 (exp (𝑉𝑒+

𝑁𝑝

𝑁𝑠𝐼𝑒𝑅𝑠

𝑛 𝑉𝑇) − 1) −

𝑉𝑒+𝑁𝑝

𝑁𝑠𝑅𝑠𝐼𝑒

𝑁𝑝

𝑁𝑠𝑅𝑠ℎ

(I. 22)

I.5.1 Simulation d’un générateur photovoltaïque

Le module photovoltaïque cristallin ASM250 de société « Asantys systèmes »,

composé de 60 cellules monocristallin connectées en série, fournie une puissance crête de

250W dans les conditions standards [7]. Le tableau I.2 résume les caractéristiques électriques

et thermiques du module dans les conditions standards.

Caractéristique électrique

Puissance crête 𝐏𝐦𝐚𝐱 (𝐖) 250

Tension a puissance maximal 𝐕𝐩𝐦 (𝐕) 31.5

Tolérance de puissance 0/+5%

Courant a puissance maximal 𝐈𝐩𝐦 (𝐀) 7.94

Tensions en circuit ouvert 𝐕𝐜𝐨 (𝐕) 38

Courant de court-circuit 𝐈𝐜𝐜 (𝐀) 8.75

Tension maximale du système 𝐕𝐦𝐚𝐱 (𝐕) 1000


14

Figure I.13.Courbes I-V et P_V de module photovoltaïque ASM250 dans les

conditions standards.

Courant maximal de retour 𝐈𝐑𝐌 (𝐀) 20

Comportement thermique

Température nominal 45.7 ± 2

Coefficient de température 𝛂𝐏𝐦𝐚𝐱 0.43% / °𝐶

Coefficient de température 𝛂𝐕𝐜𝐨 0.33% / °𝐶

Coefficient de température 𝛂𝐈𝐜𝐜 +.0.05% / °𝐶

Tableau I.2.Caractéristiques électriques du module photovoltaïque ASM250.

Les caractéristiques I-V et P-V d’un générateur photovoltaïque sont liées directement aux

caractéristiques d’une cellule. En effet, la caractéristique I-V d’un GPV est formée de 𝑁𝑝

modules identiques à celle d’un seul module. Dans cet exemple notre générateur est constitué

d’un seul module (𝑁𝑝 = 1).

I.5.2 Influence d’irradiation et de la température sur le fonctionnement du GPV

Afin de montrer l’influence de changement des conditions métrologiques sur le

fonctionnement du GPV, on a fixé la température à 25°C, et varié l’éclairement, dans un

premier temps. Dans un second temps, l’éclairement est fixé a 1000 w/m2, et la température

est variée entre 0 et 75°C.

Discussion

Les courbes de la figure I.16 montrent que le courant de court-circuit 𝐼𝑐𝑐 est influencé

beaucoup par la variation de l’éclairement, par contre, la tension de circuit-ouvert 𝑉𝑐𝑜 reste

presque constante. En effet, le courant de court-circuit est proportionnel à l’irradiation. Dans

la deuxième simulation (Figure I.15), on constate que le courant de court-circuit 𝐼𝑐𝑐 est

insensible à la température, alors que la tension de circuit-ouvert 𝑉𝑐𝑜diminue quand la

température augmente.


15

Figure I.15. Courbes I-V et P-V du GPV pour une température variable.

Figure I.14. Courbes I-V et P-V du GPV pour différent valeurs d’irradiation.

I.8 Conclusion

Dans ce chapitre, on a commencé par donner des généralités sur la conversion

photovoltaïque. Cette conversion, qui s’effectue an niveau la cellule PV, consiste à

transformer l’énergie solaire en une énergie électrique via l‘effet photoélectrique. Ensuite,

on a présenté la structure de la cellule PV et ces différents types d’association. Après, on a

élaboré le modèle mathématique du générateur photovoltaïque est à travers le modèle de la

cellule PV. Enfin, on a simulé un générateur constitue d'un seul module PV et étudié

l’influence des variations de l’irradiation et de la température sur son fonctionnement.

Chapitre II Commande MPPT des systèmes PV

16

Chapitre II : Commande MPPT des

systèmes PV

II.1 Introduction

Un système photovoltaïque est principalement constitué d’un GPV connecté à une

charge. Cette connexion peut être réalisée d’une manière directe ou indirecte à travers un

étage d’adaptation. Le rôle de l’étage d’adaptation est d’assurer un transfert du maximum de

puissance fournie par le GPV vers la charge à l’aide d’un système de contrôle utilisé à cet

effet. Lorsque la charge est alimentée par un courant continu, l’étage d’adaptation est un

convertisseur DC-DC (ou hacheur) et la commande utilisée est une commande MPPT

(Poursuite du point de puissance maximal) (en anglais : maximum power point tracking).

Dans le cas inverse, c'est-à-dire une charge de type alternatif, l’étage d’adaptation représente

un convertisseur DC-AC (ou onduleur) muni d’une commande MLI (modulation de largeur

d’impulsion).

Dans ce chapitre, on débutera par la présentation de la connexion GPV-charge directe.

Ensuite, on présentera la connexion GPV-charge via un étage d’adaptation de type DC-DC.

Après, on définira le problème de la commande MPPT et on donnera les méthodes utilisées

pour traiter ce problème. Les algorithmes de perturbation et observation et d’incrémentation

de l’inductance, seront étudiés par la suite. Des simulations sont effectuées pour illustrer les

points étudiés dans ce chapitre. En fin, on terminera le chapitre par une conclusion.

II.2 Connexion directe

Dans le cas d’installations autonomes, les systèmes PV fonctionnent indépendamment

des réseaux électriques. L'énergie produite par les panneaux solaires PV est utilisée

immédiatement (pompage d’eau, ventilation, …etc.) ou stockée dans des batteries pour une

autre utilisation. Le courant continu produit alimente directement des appareils prévus à cet

effet ou il est transformé en 230 V alternatif via un onduleur [2]. La configuration, la plus

simple de cette connexion, consiste a lié directement le générateur et la charge par des fils.


17

Pour assurer la circulation de courant dans un seul sens, c.-à-d., de générateur vers la charge,

une diode anti-retour placé entre eux. Cette diode peut protéger le générateur si le cas d’une

charge représentée par une batterie (ici la batterie peut se décharger sur le générateur et

l’endommagé).

L’inconvénient de cette configuration représente dans l’impossibilité d'agir sur le système

pour extrait la puissance maximale. La figure II.2, représente trois types de charges peuvent

être connectées directement à un générateur PV :

- Une charge de type source de tension continue,

- Une charge de type source de courant continu,

- Une charge purement résistive.

Pour les points de fonctionnement A, B et C, la puissance fournie par le générateur est

respectivement 𝑃𝐴, 𝑃𝐵 et 𝑃𝐶, de valeurs inférieures à la puissance maximale. La différence

de puissance sera donc perdue et dissipée dans le générateur sous forme de chaleur.

Diode anti-retour

GPV

Figure II.1.Connexion directe.

Figure II.2. Point de fonctionnement d'un GPV en fonction de type de la

charge.

Source de courant

𝐈𝐎𝐏𝐓

𝐈𝐏𝐕[𝐀]

𝐕𝐎𝐏𝐓 𝐕𝐏𝐕[𝐕]

𝐏𝐏𝐕[𝐖]

𝐏𝐌𝐀𝐱 𝐏𝐂

PA

𝐏𝐁

A

B

Source de tension

Charge Résistive

𝐂


18

Figure II.4. Fonctionnement de GPV en connexion directe source/charge.

D’autre part, certains types de charges ont besoin d’une source de tension alternative, or le

GPV fournit un courant continu, la connexion directe est donc impossible dans ce cas [8].

II.2.1 Simulation de la connexion directe

Pour illustrer les inconvénients de la connexion directe, on connecte le GPV directement

avec une charge résistive = 15Ω , la température est considérée constante (𝑇 = 25°𝐶), et en

fait varié l’éclairement comme montre la figure II.3.

Discussion

D’parés la figure II.4, on remarque que la puissance délivrée par le GPV est très

inférieure à la puissance maximale qu’elle peut fournir pour chaque valeur d’irradiation. Les

résultats de simulation confirment que le générateur PV fonctionne loin du point de

fonctionnement optimal.

Figure II.3. Profil d'irradiation.


19

Figure II.5. Connexion à travers un étage d'adaptation.

𝛼

G

T

Commande

MPPT

GPV

Convertisseur

Statique

𝑉𝑒 𝑉𝑠

+

-

𝐼𝑒 𝐼𝑠

II.3 Connexion via un étage d’adaptation

Les caractéristiques non linéaires de GPV, qui sont affectés par la température et

l'éclairement, rendre la valeur de la puissance nominale délivrée par le GPV très différente

à sa valeur maximale. En effet, le GPV possède un seul point de fonctionnement optimal

(Vppm , Ippm) où on veut le système fonctionne.

La bonne exploitation de gisement solaire nécessite l'utilisation d'un étage d'adaptation

comme le montre la figure II.5. Cet étage est souvent un convertisseur DC-DC (hacheur),

qui adapte la tension aux bornes de GPV via un système de contrôle en permanence afin

d’extraira la puissance maximale.

II.3.1 Convertisseur DC/DC

Il existe trois convertisseurs DC/DC à découpage non isolés de base : convertisseurs

Buck, Boost et Buck–Boost. Chacun de ces convertisseurs de base est constitué d’un

MOSFET, une diode, un condensateur, et une inductance connectée entre la tension d'entrée

et la charge dans différentes configurations (topologies) afin d’augmenter ou réduire la

tension d'entrée. Les topologies de base utilisent un seul transistor, généralement un

MOSFET, comme commutateur principal et une diode. En revanche, les topologies

synchrones, utilisent deux commutateurs où le deuxième commutateur remplace la diode.

Le rapport entre le temps pendant lequel le MOSFET est activé et une période de

commutation correspond au rapport cyclique. Le rapport cyclique est contrôlé à l'aide d'une

modulation de largeur d'impulsion afin de contrôler la tension de sortie du convertisseur [9].

Charge DC


20

Ve Vs

C D

L

K IL Is Ie

Ic

VL

R +

-

+

-

- +

II.3.2 Commande PWM

L’interrupteur MOSFET est commandé par la technique de modulation de l’arguer

d’imputation (pulse wide modulation). Le signal généré 𝑢 par la technique PWM de

commande est obtenue en comparent le rapport cyclique𝛼 avec un signal triangulaire𝑆𝑡𝑟𝑖

d’amplitude 1 et de période 𝑇. L’expression du signal de commande est donnée par

l’équation (II.1)

.

𝑢 = 1 𝑠𝑖 𝛼 > 𝑇𝑟

0 𝑠𝑖 𝛼 < 𝑇𝑟 (II.1)

II.3.3 Convertisseur abaisseur de tension (Buck)

Le convertisseur Buck ou hacheur série permet de convertir une tension continue en une

autre tension continue de plus faible valeur. Son schéma électrique est donné par la figure

(II.7).

Figure II.7. Schéma d’un convertisseur Buck.

Remarque : Pour assurer la continuité du courant, et éviter que les courants pulsés affectent

le GPV, il est nécessaire de placer un condensateur de filtrage 𝐶1 (figure II.8) entre le

générateur et le convertisseur.

II.3.3.1 Séquences de fonctionnement

Première séquence [𝟎 → 𝜶𝑻𝒅]

L’interrupteur est fermé pendant la durée 𝛼𝑇𝑑de la période de découpage𝑇𝑑, la source

𝑉𝑒 fournit l’énergie à la charge à travers l’inductance.

𝛼

Figure II.6: Signal généré par la technique PWM.

1

𝑇 𝑡

𝒖

𝛼𝑇


21

Ve Vs C1 C2

L IL Is Ie

Ic1 Ic2

R

Figure II.8. Circuit équivalent quand l'interrupteur est fermé.

L’application des lois de Kirchhoff (loi des mailles, loi des nœuds), donne les équations

suivantes :

C1dVe

dt= Ie − IL ⇒ 𝑒 =

1

C1(Ie − IL)

LdIL

dt= Ve − Vs ⇒ 𝐼 =

1

L(Ve − Vs) (II. 2)

C2dVs

dt= IL −

Vs

R ⇒ 𝑠 =

1

C2IL −

1

RC2Vs

Deuxième séquence [𝜶𝑻𝒅 → 𝑻𝒅]

Durant cette séquence, l’interrupteur s’ouvre, l’énergie emmagasinée dans l’inductance

est déchargée dans la charge et dans le condensateur, et la diode assure la continuité du

courant dans l’inductance.

Ve Vs C1 C2

L IL Is Ie

Ic1 Ic2

R

VL

Figure II.9. Circuit équivalent quand l'interrupteur est ouvert.

L’application des lois de Kirchhoff (loi des mailles, loi des nœuds) donne les équations

suivantes :

C1dVe

dt= Ie ⇒ 𝑒 =

1

C1Ie

LdIL

dt= −Vs ⇒ 𝐼 = −

1

LVs (II. 3)

C2dVe

dt= IL −

Vs

R ⇒ 𝑠 =

1

C2IL −

1

RC2Vs


22

II.3.3.2 Modèle moyen

La valeur moyenne 𝐸𝑚 d’un paramètre dans l’état 𝐸1 fermé et l’état 𝐸2 ouvert, est

donnée par l’expression suivante :

𝐸𝑚 = 𝛼𝐸1 + (1 − 𝛼)𝐸2 (II. 4)

Appliquant cette expression sur les équations du convertisseur Buck, on trouve le modèle

moyenne :

𝑒 =1

C1Ie −

α

C1IL

𝐼 =α

LVe −

1

LVs (II. 5)

𝑠 =1

C2IL −

1

RC2Vs

II.3.3.3 Rapport cyclique

Au mode de conduction continue, le courant de l’inductance ne s’annule jamais.

𝑉𝐿 = 𝐿𝑑𝐼𝐿

𝑑𝑡 (II. 6)

À l’état passant : 𝑉𝐿 = Ve − Vs, l’évolution du courant de l’inductance dans le circuit est

donnée par :

∆𝐼𝐿𝑜𝑛= ∫

𝑉𝐿

𝐿

𝛼𝑇

0

=(Ve − Vs)𝛼𝑇

𝐿 (II. 7)

A l’état bloqué 𝑉𝐿 = −Vs, l’évolution du courant de l’inductance dans le circuit est donnée

par :

∆𝐼𝐿𝑜𝑓𝑓= ∫

𝑉𝐿

𝐿

𝑇

𝛼𝑇

= −Vs(𝑇 − 𝛼𝑇)

𝐿 (II. 8)

En régime permanent :

∆𝐼𝐿𝑜𝑛+ ∆𝐼𝐿𝑜𝑓𝑓

= 0

(Ve − Vs)𝛼𝑇

𝐿−

Vs(𝑇 − 𝛼𝑇)

𝐿= 0 ⇒ Vs = 𝛼Ve (II. 9)

avec 0 ≤ 𝛼 ≤ 1, la tension de sortie est toujours inférieure ou égale à la tension d’entrée.


23

II.3.4 Convertisseur élévateur de tension (boost)

Le convertisseur boost ou hacheur parallèle, permet de convertir une tension continue

en une autre tension continue de plus grande valeur. Le circuit qui réalise ce convertisseur

est montré par la figure II.10.

Ve Vs

C

D L

K

IL Is Ie

Ic

VL

R +

-

+

-

+ -

Figure II.10. Schéma d’un convertisseur Boost.

II.3.4.1 Séquences de fonctionnement

Première séquence [𝟎 → 𝜶𝑻𝒅]

Pendant la durée 0 − 𝛼𝑇𝑑, l'interrupteur est fermé, le courant dans l'inductance

augmente progressivement et l’énergie va se stocker sous forme magnétique.

Ve Vs C1 C2

L IL Is Ie

Ic1 Ic2

R

VL

Figure II.11: Circuit équivalent quand l'interrupteur est fermé.

L’application des lois de Kirchhoff donne les équations suivantes :

C1dVe

dt= Ie − IL ⇒ Ve =

1

C1(Ie − IL)

LdIL

dt= Ve ⇒ IL =

1

LVe (II. 10)

C2dVe

dt= −

Vs

R ⇒ Vs = −

1

RC2Vs


24

Deuxième séquence [𝜶𝑻𝒅 → 𝑻𝒅]

Durant cette séquence, l’interrupteur s’ouvre, l’énergie emmagasinée dans l’inductance

est déchargée dans la charge et dans le condensateur et la diode assure la continuité du

courant dans l’inductance.

Ve Vs C1 C2

L IL Is Ie

Ic1 Ic2

R

VL

Figure II.12.Circuit équivalent quand l'interrupteur est ouvert.

L’application des lois de Kirchhoff donne les équations suivantes :

C1dVe

dt= Ie − IL ⇒ Ve =

1

C1(Ie − IL)

LdIL

dt= Ve − Vs ⇒ IL =

1

L(Ve − Vs) (II. 11)

C2dVe

dt= IL −

Vs

R ⇒ Vs =

1

C2IL −

1

RC2Vs

II.3.4.2 Modèle moyen

Le modèle moyen est donné par les équations suivantes :

Ve =1

C1Ie −

1

C1IL

IL =1

LVe −

1 − α

LVs (II. 12)

Vs =1 − α

C2IL −

1

RC2Vs

II.3.4.3 Rapport cyclique

Au mode de conduction continue :

𝑉𝐿 = 𝐿𝑑𝐼𝐿

𝑑𝑡 (II. 13)

A l’état passante,𝑉𝐿 = Ve, l’évolution du courant de l’inductance dans le circuit est donnée

par :

∆𝐼𝐿𝑜𝑛= ∫

𝑉𝐿

𝐿

𝛼𝑇

0

𝑑𝑡 =Ve. 𝛼𝑇

𝐿 (II. 14)


25

A l’état bloqué,𝐿𝑑𝐼𝐿

𝑑𝑡= Ve − Vs, l’évolution du courant de l’inductance dans le circuit est

donnée par :

∆𝐼𝐿𝑜𝑓𝑓= ∫

𝑉𝐿

𝐿

𝑇

𝛼𝑇

𝑑𝑡 = ∫(Ve − Vs)

𝐿

𝑇

𝛼𝑇

𝑑𝑡 =(Ve − Vs)(1 − 𝛼)𝑇

𝐿 (II. 15)

En régime permanent :

∆𝐼𝐿𝑜𝑛+ ∆𝐼𝐿𝑜𝑓𝑓

= 0

Ve. 𝛼𝑇

𝐿+

(Ve − Vs)(1 − 𝛼)𝑇

𝐿= 0 (II. 16)

Ve = (1 − 𝛼)Vs ⇒ Vs =1

1 − 𝛼Ve

Avec 0 ≤ 𝛼 ≤ 1, la tension de sortie est toujours supérieure ou égale à la tension d’entrée.

II.4 Commande MPPT

Dans un système électrique comprenant une source et une charge. La recherche du point

de fonctionnement optimal par des techniques d’optimisation représente ce qui est le plus

important. Dans le cas du photovoltaïque, le point de fonctionnement optimal permet le GPV

de fournir sa puissance maximale qui dépend fortement de l’ensoleillement et de la

température ambiante, entre autres. Pour garantir un fonctionnement en puissance maximale

en fonction des variations de l’ensoleillement et de la température, le principe de la

commande MPPT est introduit. Plusieurs méthodes ont été développées ces dernières années

pour réaliser la commande MPPT. Ces méthodes sont classées en deux variantes : directe et

indirectes.

II.4.1 Méthodes indirectes (Méthodes Offline)

Les méthodes indirectes sont basées sur la connaissance de la caractéristique non

linéaire du générateur photovoltaïque, qui n'est pas disponible avec précision. Ces méthodes

ont besoin aussi de mesurer l'ensoleillement et la température du générateur photovoltaïque,

puis consulter la courbe de puissance pour avoir le courant (ou la tension) de fonctionnement

optimal(e) correspondant(e). Ensuite, le courant (ou la tension) mesuré(e) du générateur est

comparé(e) aux valeurs optimales stockées dans le système de commande selon des

conditions atmosphériques mesurées. Après, la commande est effectuée pour atteindre la

valeur optimale de la puissance [10].


26

Parmi ces méthodes, on peut citer :

• La méthode d’ajustement de courbe,

• La méthode ≪ look-up table ≫,

• La méthode de la tension de circuit ouvert du générateur,

• La méthode de court-circuit

II.4.2 Méthodes directes (méthode Online)

Les méthodes directes sont des algorithmes itératifs effectuant la recherche de la valeur

optimale de 𝑉𝑝𝑣 pour que le GPV fournit sa puissance maximale. L’avantage de ces

algorithmes est qu’ils ne nécessitent pas la connaissance préalable des caractéristiques des

panneaux PV. Dans la littérature, Il existe beaucoup des algorithmes MPPT tels que : la

méthode de perturbation et observation (P&O), l’incrémentation de l’inductance (Inc-Cond),

Hill Climbing…etc.

II.4.2.1 Méthode P&O

La méthode P&O est l’une des méthodes les plus utilisées. C'est une méthode itérative

permettant d'obtenir le MPP. L’idée de base de cette technique consiste à mesurer les

caractéristiques du panneau PV puis introduire une petite perturbation sur la tension (ou sur

le courant) afin d’analyser la variation de puissance qui en résulte [3]. Par exemple, si la

perturbation injectée est positive et la puissance délivrée augmente, dans ce cas on continue

à augmenter la tension dans la même sens. Si ce n’est pas le cas, on diminue la tension (sens

inverse). Les figures II.13 et II.14 montrent en détail ce principe.

∆𝑉 > 0

∆𝑃 > 0

∆𝑃 < 0

∆𝑉 > 0

PPM

Vpv

Ppv

Le

système

s'éloigne

du ppm

Le système

s’approche

du ppm

∆𝑉 < 0

∆𝑉 < 0

∆𝑃 > 0

∆𝑃 < 0 Le système

s'éloigne du

ppm

Le système

s’approche

du ppm

Figure II.13. Princip de la méthode P&O.


27

Inconvénients de la méthode P&O

L’algorithme de P&O possède les deux inconvénients suivants :

Lors d’un changement brusque d'irradiation, L'algorithme s'éloigne

momentanément du PPM et peut perdre le contrôle de façon permanente.

Les oscillations autour du PPM représentent un autre inconvénient de l’algorithme

P&O. La minimisation de pas d’incrémentation (∆𝑉)peut être prise comme une

solution pour diminuer ces oscillations. Mais cette solution ralentie la poursuite du

PPM. Alors, un compromis doit être fait entre la précision et la rapidité.

II.4.2.2 Méthode IncCond

La méthode IncCond est venue comme solution aux inconvénients de la méthode P&O

(variation brusque des conditions climatiques). Son principe est basé sur l’annulation de la

dérivée de la puissance par rapport à la tension. Son principe est donné comme suit :

Mis à jour

Ve(k − 1) = Ve(k)

Ie(k − 1) = Ie(k)

Mesurer Ve(𝑘) et Ie(𝑘)

Pe(k) − Pe(k − 1) = 0

Ve(k) = Ve(k) + ∆𝑉

Oui Non

Non Non Oui Oui

Début

Pe(k) > Pe(k − 1)

Ve(k) > Ve(k − 1) Ve(k) > Ve(k − 1)

Oui

Non

Ve(k) = Ve(k) − ∆𝑉 Ve(k) = Ve(k) − ∆𝑉

Retour

Figure II.14. Organigramme de la méthode P&O.


28

∆𝐼

∆𝑉> −

𝐼

𝑉

∆𝐼

∆𝑉< −

𝐼

𝑉

𝑉𝑝𝑣

𝐼𝑝𝑣 ∆𝐼

∆𝑉= −

𝐼

𝑉⇒ 𝐏𝐏𝐌

Figure II.15. Principe de la méthode IncCond.

𝑑𝑃

𝑑𝑉=

𝑑𝑉

𝑑𝑉𝐼 +

𝑑𝐼

𝑑𝑉𝑉 = 𝐼 +

𝑑𝐼

𝑑𝑉𝑉 (II. 17)

𝑃𝑝𝑣 = 𝑃𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝐼 +𝑑𝐼

𝑑𝑉𝑉 = 0 ⇒

𝑑𝐼

𝑑𝑉= −

𝐼

𝑉 (II. 18)

• Si : ∆𝐼

∆𝑉> −

𝐼

𝑉 le PPM est à droite de point de fonctionnement actuelle.

• Si : ∆𝐼

∆𝑉< −

𝐼

𝑉le PPM est à gauche de point de fonctionnement actuelle.

• Si : ∆𝐼

∆𝑉= −

𝐼

𝑉le fonctionnement est le PPM.

Ve(k) = Ve(k) − ∆𝑉 Ve(k) = Ve(k) + ∆𝑉

Mis à jour

Ve(k − 1) = Ve(k)

Ie(k − 1) = Ie(k)

Mesurer Ve et Ie

∆Ie = Ie(k) − Ie(k − 1)

∆Ve = Ve(k) − Ve(k − 1)

∆Ve(𝑘) = 0

∆Ie(𝑘) = 0 ∆Ie

∆Ve= −

Ie

Ve

∆Ie(𝑘) > 0 ∆Ie

∆Ve> −

Ie

Ve

Oui

Oui

Oui

Oui

Oui

Non

Non

Non

Non

Non

Début

Ve(k) = Ve(k) − ∆𝑉 Ve(k) = Ve(k) + ∆𝑉

Retour

Figure II.16. Organigramme de la méthode IncCond.


29

Figure II.17. Variation de l'irradiation.

Inconvénients de la méthode IncCond

Cet algorithme trouve des difficultés de mise en œuvre due à la complexité du circuit de

commande et le calcul en temps réel de la dérivée nécessite un processeur de calcul rapide.

II.4.2.3 Simulation des algorithmes P&O et IncCond

L’objectif de ce paragraphe est de simuler les algorithmes MPPT (P&O et IncCond)

pour un générateur PV connecté avec une charge résistive à travers un convertisseur DC/DC,

dans la première simulation on utilise un convertisseur Buck, Dans la seconde, on utilise un

convertisseur Boost.

Première simulation

Dans cette simulation, on considère le GPV donnée par (I.22) et le convertisseur back

donnée par (II.5), la température est fixée à 25°𝐶 et l’éclairement est varié comme montré

dans la figure II.17. Les paramètres de convertisseur sont donnés comme suit :C1 = C2 =

1000μF , L = 1mH , R = 1Ω.Les conditions initiales (𝑉𝑝𝑣 , 𝐼𝐿 , 𝑉𝑠)sont considérées nulles.

L’interrupteur est fermé à l’état initial (α0 = 1). La puissance de référence est obtenue par

un algorithme simple qui incrémente la tension 𝑉𝑒 afin d’analyser la variation de puissance

qui en résulte. Les résultats de simulation sont montrés par les figures II.18-II.23.

.

Figure II.18. Puissance délivrée par le générateur GPV.


30

Figure II.19. Courant de sortie du GPV.

Figure II.20. Tension aux bornes du GPV.

Figure II.21. Tension aux bornes de la charge.

Figure II.22. Signal de commande (𝛼).


31

Figure II.23. Puissance reçue par la charge.

Figure II.24. Puissance délivrée par le générateur GPV.

Deuxième simulation

On considère les mêmes conditions (température/éclairement) que celles utilisées dans

la première simulation. Les paramètres de convertisseur : C1 = C2 = 1000μF , L = 1mH ,

R = 10Ω. Les conditions initiales (𝑉𝑝𝑣 , 𝐼𝐿 , 𝑉𝑠) sont considérées nulles. Le rapport cyclique

𝛼0 = 0.5 à l’état initiale.

Les résultats de simulation sont montrés par les figures (II.24) -(II.29).


32

Figure II.26. Courant de sortie du GPV.

Figure II.25. Tension aux bornes du GPV.

Figure II.28. Signal de commande (𝛼).

Figure II.27. Tension aux bornes de la charge.


33

Figure II.29. Puissance reçue par la charge.

Discussion des résultats

D’après les résultats obtenus des deux simulations, on constate pour les deux

algorithmes que le point de puissance maximal est atteint dans un temps très court (≃20ms

pour le Buck et ≃0.1s pour le Boost), la valeur de signal de commande (rapport cyclique)

varié entre 0 et 1 (interrupteur ouverte/interrupteur fermé) avec des petites oscillations.

II.5 Conclusion

Dans ce chapitre, on a traité la liaison entre le générateur photovoltaïque et la charge,

par la connexion directe ou à travers un étage d’adaptation. Le réglage de la tension du

générateur PV nécessite l’utilisation d’un étage d’adaptation. Ce dernier est un convertisseur

DC/DC commandé par des algorithmes MPPT. Dans ce chapitre on a simulé deux

algorithmes (P&O et IncCond). Les résultats de simulation montrent la rapidité de ces

algorithmes. Cependant ces algorithmes classiques possèdent des inconvénients comme la

sensibilité aux variations brusque d’éclairement (problème de robustes) et les oscillations

autour du PPM.

Chapitre III Commande MPPT par MG des systèmes PV

34

Chapitre III : Commande MPPT par

mode glissant

𝑥

𝑥ሶ

Condition d’attractivité

Surface de glissement S > 0

S < 0

Point d’équilibre

Figure III.1. Plans de phase en mode glissant.

x

x

III.1. Introduction

La commande par mode glissant est l'une des techniques de commandes non linéaires,

largement utilisée dans la littérature. Ce succès est dû à sa simplicité de mise en œuvre et à

sa robustesse vis-à-vis des incertitudes et des perturbations externes.

Dans ce chapitre, on présentera le fondement et l'aspect théoriques de la commande par mode

glissant. Ensuite, on appliquera l'approche sur des systèmes PV afin de maintenir le

fonctionnement optimal. Enfin, on simulera cette approche sous l’environnement Matlab.

III.2. Principe de la commande par mode glissant

Le principe de la commande par mode glissant consiste à contraindre l’état du système

à rejoindre une surface de glissement désirée à partir de n’importe point dans le plan de

phase. Une fois la surface atteinte, le système glisse le long de cette surface jusqu'à le point

d’équilibre comme le montre la figure III.1.


35

Dans la théorie de contrôle par mode glissant, la dynamique du système a deux modes

séquentiels :

• Mode de convergence (reaching mode) : Correspond à la période du temps pendant

la quelle les trajectoires d'état du système se déplacent vers la surface de glissement.

Durant cette phase, le système reste sensible aux variations des paramètres.

• Mode de glissement (sliding mode) : Dans ce mode, les trajectoires d'état restent sur

la surface de glissement, et le comportement du système est entièrement déterminé

par le choix de la surface de glissement.

III.3. Synthèse de la loi de commande par mode glissant

Considérons le système non linéaire suivant :

𝒙ሶ (𝒕) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)𝒖 (𝐈𝐈𝐈. 𝟏)

Où𝑥(𝑡) est l’état du système, 𝑢 est l’entrée de commande, 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) ≠ 0 sont des

fonctions non linéaires connue.

L’objectif de commande est de forcer la sortie du système 𝑦(𝑡) à suivre une trajectoire

désirée 𝑦𝑑(𝑡). La première étape pour atteindre ce but, consiste à choisir une surface de

glissement, qui représente la dynamique désirée. La surface la plus simple est un hyperplan

passant par l'origine de l'espace d'état. Une formule générale pour déterminer la surface de

glissement est donnée comme suit [11] :

𝑠(𝑥) = (𝑑

𝑑𝑡+ 𝜆)

𝑛−1

𝑒(𝑥) (III. 2)

où :

• 𝑒(𝑥) = 𝑦 − 𝑦𝑑 : représente l’erreur de poursuite.

• 𝜆 : est une constante positive représentant la pente de glissement.

• 𝑛 : degré relatif, égal au nombre de fois qu’il faut dériver la sortie pour faire

apparaître la commande.

Pour que le système rejoindre cette surface, une condition nécessaire, appelée condition

d’attractivité, doit être vérifiée, et elle est donnée comme suit :

𝑠𝑠ሶ < 0 (III. 3)

Cependant, l’inégalité précédente n’est pas suffisante pour assurer une convergence en temps


36

1

-1

𝑠

Sgn(s)

Figure III.2. Fonction signe.

fini vers la surface. Pour cela, cette condition est généralement remplacée par la condition,

dite condition de𝜂-attractivité [12]:

𝑠𝑠ሶ < −𝜂|𝑠|, 𝜂 > 0 (III. 4)

La condition (III.4) assure une convergence en temps fini (𝑡𝑠 ≤|𝑠(0)|

𝜂) vers la surface

𝑠(𝑡, 𝑥) = 0.

L’étape suivante est la conception de la loi de commande. Selon la méthode équivalente, la

loi de commande est composée de deux composantes (une discontinue et l’autre continue)

comme suit :

𝑢 = 𝑢𝑠𝑤 + 𝑢𝑒𝑞 (III.5)

La composante discontinue 𝑢𝑠𝑤 de la commande permet de ramener les trajectoires vers la

surface de glissement, et d’assurer la robustesse vis à vis des incertitudes et des perturbations

externes. Sa formule mathématique est donnée comme suit :

𝑢𝑠𝑤 = −K (𝜕𝑠

𝜕𝑥𝑔(𝑥))

−1

𝑠𝑔𝑛(𝑠) (III. 6)

où :

• 𝐾 : une constante positive,

• 𝑠𝑔𝑛 : la fonction discontinue (signe) montrée par la figure suivante :

Une fois le système atteint la surface de glissement, vient maintenant le rôle de la commande

équivalente 𝑢𝑒𝑞,qui maintient le système le long sur cette surface. Cette commande

équivalente est obtenue grâce aux conditions d’invariance suivantes [13]:

𝑠 = 𝑠ሶ = (𝜕𝑠

𝜕𝑥) (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢𝑒𝑞) = 0 (III.7)

D’après l’équation III.7, on peut définir la commande équivalente comme suit :


37

𝑢𝑒𝑞 = − ((𝜕𝑠

𝜕𝑥)

𝑇

𝑔(𝑥))

−1

((𝜕𝑠

𝜕𝑥)

𝑇

𝑓(𝑥) +𝜕𝑠

𝜕𝑡) (III. 8)

La commande équivalente peut être interpréter comme la valeur moyenne de la commande

lors de la commutation rapide entre 𝑢+ 𝑒𝑡 𝑢− comme le montre la figure III.3.

III.4. Phénomène du broutement

Le phénomène de broutement (ou réticence ou en anglais chattering) est entrainé par

le terme discontinu 𝑢𝑠𝑤 de la commande par mode glissant qui excite de fortes oscillations

autour de la surface et le signal de commande (voir la figure III.4). En effet, le terme

discontinu ne s’applique effectivement au moment où le système quitte la surface à cause du

retard de la mesure de la sortie. Ce retard peut être amplifié si le système présente

naturellement des retards ou des dynamiques négligées. Une autre cause de chattering,

notamment sur la commande, est le bruit de mesure.

𝑢+

𝑢−

𝑢𝑒𝑞

𝑈

𝑡

Figure III.3.Commande équivalente.

Surface de

glissement

Chattering

Phase de

convergence

Figure III.4.Phénomène de broutement.


38

1

-1

𝑠

u

+Φ

-Φ

Figure III.5.Fonction sat.

Ce phénomène est indésirable car, même s’il est filtré à la sortie du processus, il peut exciter

des modes haute fréquence non modulés, ce qui dégrade les performances du système et peut

même conduire à une instabilité [14]. Le broutement de la commande entraîne également

une usure importante des actionneurs ou de certaines parties du système, et des pertes de

chaleur importantes dans les circuits électriques.

Nombreuses procédures ont été conçues pour réduire ou éliminer ces broutements. Parmi

ces solutions, on cite :

La proposition de Slotine (ou la couche limite) [11] qui consiste à remplacer la fonction

𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒(. ) par des approximations continues comme les fonctions : saturation

𝒔𝒂𝒕(𝒔𝜱⁄ ),tangente hyperbolique 𝒕𝒂𝒏𝒉(𝒔

𝜺⁄ ) …, etc.

𝑠𝑎𝑡(𝑠𝛷⁄ ) =

𝑠𝛷⁄ 𝑠𝑖 |𝑠| ≤ 𝛷

𝑠𝑔𝑛(𝑠) 𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒

𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑠휀⁄ ) =

tanh (𝑠) 𝑠𝑖 |𝑠| ≤ 𝛿

𝑠𝑔𝑛(𝑠) 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

Une autre solution consiste à remplacer le mode glissant d’ordre un « 𝑠 = 0 » par le

mode glissant d’ordre supérieur « 𝑠 = 𝑠(1) = ⋯ = 𝑠(𝑛) = 0 » où 𝑛 est l’ordre du mode

glissant.

Il existe également une solution basée sur l’utilisation d’un observateur qui généré le

mode glissant idéal dans une boucle auxiliaire. Cependant, Cette solution a rencontré le

problème de convergence asymptotique de l’état estimé vers l’état réelle du système et

que l’observateur ne prendre pas en considération les perturbations non modélisées [12].

Figure III.6. Fonction tanh.

1

-1

𝑠 +𝛿 −𝛿


39

Une autre méthode pour réduire le chattering, consiste à remplacer la composante

discontinue (𝑢𝑠𝑤) par un régulateur PI flou.

𝑢𝑠𝑤 = 𝑘𝑝𝑠 + 𝑘𝑖 ∫ 𝑠 𝑑𝑡 (III. 9)

Où : 𝑠 = 𝜃𝑝𝑇𝛿(𝑧), 𝜃𝑝 = [𝑘𝑝, 𝑘𝑖]

𝑇est le vecteur des paramètres ajustables, 𝛿(𝑧) est le vecteur

des fonctions floues de base avec 𝑧 = [𝑧1, 𝑧2]𝑇, telle que 𝑧1 = 𝑠 et𝑧ሶ2 = 𝑠.

III.5. Commande par mode glissant des systèmes PV

Dans cette partie, on s’intéresse à l’application de la commande par mode glissant pour

deux systèmes PV. Le premier système PV constitué d’un GPV connecté à un convertisseur

Buck. Cependant dans le deuxième système PV, le GPV est connecté à un convertisseur

Boost.

L’objectif de la commande pour les deux systèmes PV est de garantir un transfert de

puissance maximale fournie par le GPV vers la charge. Autrement dit, commander le rapport

cyclique du convertisseur de telle façon que la puissance fournie par le GPV suive une

puissance maximale désirée générée par un système de référence.

III.5.1. Système de référence

L’objectif dans cette partie est de trouver l’expression mathématique de la sortie du

système de référence, c-à-d, déduire l’équation de la puissance maximale désirée.

Pour atteindre cet objectif, on annule la dérivée de la puissance par rapport au courant de

sortie 𝐼𝑝𝑣,comme le montre l’équitation suivante :

𝑑𝑃

𝑑𝐼𝑝𝑣=

𝑑

𝑑𝐼𝑝𝑣(𝑉𝑝𝑣𝐼𝑝𝑣) = 𝑉𝑝𝑣 +

𝑑𝑉𝑝𝑣

𝑑𝐼𝑝𝑣𝐼𝑝𝑣 = 0 (III. 10)

Pour simplifier le calcul de la dérivée, on considère le modèle simplifié du GPV donné par

(I.8) puis on l’inverse pour obtenir la tension de sortie 𝑉𝑝𝑣 comme suit :

𝑉𝑝𝑣 = 𝑛𝑉𝑡. 𝑙𝑜𝑔 (𝐼𝑝ℎ − 𝐼𝑝𝑣 + 𝐼𝑠𝑎𝑡

𝐼𝑠𝑎𝑡) (III. 11)

On dérive la tension la tension 𝑉𝑝𝑣 (III.11) par rapport au courant 𝐼𝑝𝑣, on a :

𝜕𝑉𝑝𝑣

𝜕𝐼𝑝𝑣= −𝑛𝑉𝑡

1

𝐼𝑝ℎ − 𝐼𝑝𝑣 + 𝐼𝑠𝑎𝑡 (III. 12)


40

On utilise (III.12), l’équation (III.10) devient comme suit :

𝐼𝑝𝑣 − (𝐼𝑝ℎ − 𝐼𝑝𝑣 + 𝐼𝑠𝑎𝑡)𝑙𝑜𝑔 (𝐼𝑝ℎ − 𝐼𝑝𝑣 + 𝐼𝑠𝑎𝑡

𝐼𝑠𝑎𝑡) = 0 (III. 13)

On résout l’équation (III.13), on obtient :

𝐼𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥 = 0.909𝐼𝑝ℎ (III. 14)

𝑉𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥 = 𝑛𝑉𝑡. 𝑙𝑜𝑔 (𝐼𝑝ℎ − 𝐼𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥 + 𝐼𝑠𝑎𝑡

𝐼𝑠𝑎𝑡) (III. 15)

oùVpv_𝑚𝑎𝑥et Ipv_𝑚𝑎𝑥sont les valeurs de la tension et du courant, respectivement, lorsque le

GPV atteint sa puissance maximale

Et par conséquent, l’équation de la puissance maximale est donnée comme suit :

𝑃𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥 = 𝑉𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥. 𝐼𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥 (III. 16)

III.5.2. Commande par mode glissant pour le premier système PV

On considère le GPV donné par (I.8) et le convertisseur Buck donné par (II.5). L’objectif

de la commande par mode glissant est de trouver le rapport cyclique (𝒖 = 𝜶) du

convertisseur qui permet de converger la puissance générée du GPV vers la surface de

glissement (𝑺 = 𝟎) donnée ci-dessous puis maintenir le long sur celui-ci.

III.5.3.1. Surface de glissement

Pour ce premier système PV, notre surface de glissement est choisie comme suit :

𝑆(𝑥) =𝑑𝑃𝑝𝑣

𝑑𝑉𝑝𝑣= 𝐼𝑝𝑣 +

𝑑𝐼𝑝𝑣

𝑑𝑉𝑝𝑣𝑉𝑝𝑣 (III. 17)

où 𝑥 = [𝑥1; 𝑥2; 𝑥3] = [𝑉𝑝𝑣; 𝐼𝐿; 𝑉𝑠].

On utilise l’équation du système PV(I.8), la surface (III.17) devient comme suit :

𝑆(𝑥) = 𝑁𝑝𝐼𝑐𝑐 − (𝑁𝑝𝐼𝑐𝑐 +𝑁𝑝𝐼𝑐𝑐

𝑛𝑉𝑇𝑉𝑝𝑣) 𝑒𝑥𝑝 (

𝑉𝑝𝑣−𝑁𝑠𝑉𝑐𝑜

𝑛𝑉𝑇) (III. 18)

Au point de puissance maximale, on a :

𝑆(𝑥) = 0 (III. 19)

La dérivée du temps de la surface (III.19) est donnée comme suit :

𝑆ሶ(𝑥) =𝑑𝑆

𝑑𝑡=

𝜕𝑆

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑡=

𝑑𝑆

𝑑𝑥𝑥ሶ =

𝜕𝑆

𝜕𝑉𝑝𝑣𝑉ሶ

𝑝𝑣 +𝜕𝑆

𝜕𝐼𝐿𝐼ሶ

𝐿 +𝜕𝑆

𝜕𝑉𝑠𝑉ሶ

𝑠 (III. 20)


41

D’après le modèle du convertisseur Buck (II.5), on a 𝜕𝑆

𝜕𝐼𝐿=

𝜕𝑆

𝜕𝑉𝑠= 0 et

𝜕𝑆

𝜕𝑉𝑝𝑣≠ 0 . Donc, la

dynamique (III.20) devient comme suit :

𝑆ሶ(𝑥) =𝜕𝑆


𝑝𝑣

𝑉ሶ𝑝𝑣 =

1

𝐶1𝐼𝑝𝑣 −

𝛼

𝐶1𝐼𝐿

𝜕𝑆

𝜕𝑉𝑝𝑣= (

−2𝑁𝑝𝐼𝑠𝑎𝑡

𝑛𝑉𝑡𝑒𝑥𝑝 (


𝑛𝑉𝑡) −

𝑁𝑝𝐼𝑠𝑎𝑡

(𝑛𝑉𝑡)2𝑒𝑥𝑝 (


𝑛𝑉𝑡))

(III.21)

III.5.3.2. Synthèse de la loi de commande

Selon le principe de l’approche par mode glissant, on définit la loi de commande comme

suit :

𝑢 = 𝑢𝑒𝑞 − 𝑢𝑠𝑤 (III.22)

Avec

𝑢𝑠𝑤 = 𝛾

𝐼𝐿. 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑆) (III.23)

Où 𝛾est constante positive.

Le terme 𝑢𝑒𝑞représente la commande équivalente calculée par mettre :

𝑆 = 𝑆ሶ =𝜕𝑆


𝑝𝑣 = 0 (III.24)

Puisque le terme 𝜕𝑆

𝜕𝑉𝑝𝑣 est strictement négatif, donc, on déduit que

𝑉ሶ𝑝𝑣 =

1


𝑢

𝐶1𝐼𝐿 = 0 (III.25)

Et par conséquent, on obtient

𝑢𝑒𝑞 =𝐼𝑝𝑣

𝐼𝐿

(III.26)

III.5.3.3. Vérification de condition d’existence

Pour vérifier la condition d’existence (analyser la stabilité), on considère la fonction de

Lyapunov suivante :

𝑉(𝑥) =1

2𝑆2 (III.27)


42

On dérive la fonction (III.27) par rapport au temps, on a :

𝑉ሶ = 𝑆𝑆ሶ = 𝑆 (𝜕𝑆


𝑝𝑣) = 𝑆𝜕𝑆

𝜕𝑉𝑝𝑣(

1


𝑢𝑒𝑞−𝑢𝑠𝑤

𝐶1𝐼𝐿) (III.28)

On substitue les termes 𝑢𝑠𝑤 et 𝑢𝑒𝑞 par leurs formules (III.23) et (III.26), respectivement,

l’équation (III.28) devient :

𝑉ሶ = |𝑆|𝜕𝑆

𝜕𝑉𝑝𝑣

𝛾

𝐶1< 0 (III.29)

D’après l’équation (III.29), on peut conclure que la condition 𝜂-attractivité est vérifiée et le

GPV converge vers sa puissance maximale en temps finie.

III.5.3. Commande par mode glissant pour le deuxième système PV

En effet, l’approche par mode glissant présentée pour la commande du premier système

PV n’est pas utile pour le deuxième système PV car le signal de commande n’apparait pas

dans l’expression de la dynamique de surface de glissement. Pour résoudre le problème

d’application de l’approche par mode glissant pour ce deuxième système PV, l’objectif de

commande devient à forcer la tension de sortie (Vpv) du GPV à suivre sa tension

optimale𝑉𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥donnée par (III.15).

Pour réaliser cette commande, on commence par définir les erreurs suivantes :

𝑒1 = 𝑉𝑝𝑣 − 𝑉𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥 (III.30)

𝑒2 = 𝐼𝑙 − 𝐼𝑙𝑟𝑒𝑓 (III.31)

où 𝐼𝑙𝑟𝑒𝑓= 𝐼𝑝𝑣 − 𝑐1 ∗ 𝑉ሶ

𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥.

On considère le modèle du GPV présenté par (I.8) et le convertisseur Boost donné par (II.12),

puis on dérive les erreurs (III.30) et (III.31) par rapport au temps, on obtient :

𝑒ሶ1 = 𝑉ሶ𝑝𝑣 − 𝑉ሶ

𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥 =1

c1(𝐼𝑝𝑣 − 𝐼𝑙) − 𝑉ሶ

𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥 =−𝑒2

𝑐1 (III.32)

𝑒ሶ2 = 𝐼𝑙 − 𝐼ሶ𝑙𝑟𝑒𝑓

=1

L(𝑉𝑒 − (1 − α)𝑉𝑠) − 𝐼ሶ

𝑙𝑟𝑒𝑓= 𝑓 + 𝛼𝑔 (III.33)

où 𝑓 =1

L(𝑉𝑝𝑣 − 𝑉𝑠) − 𝐼ሶ

𝑙𝑟𝑒𝑓, 𝑔 =

α

L𝑉𝑠 et 𝐼ሶ

𝑙𝑟𝑒𝑓=

𝜕𝐼𝑝𝑣


𝑝𝑣 − 𝑐1 ∗ 𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥.

On note 𝑧1 = −𝑐1 ∗ 𝑒1 et 𝑧2 = 𝑒2, alors on obtient la forme normale suivante :

𝑧ሶ1 = 𝑧2 𝑧ሶ2 = 𝑓 + 𝛼𝑔

(III.34)


43

III.5.3.1. Surface de glissement

A partir le système (III.34), on considère la surface glissement suivante :

𝑆 = 𝑧ሶ1 + 𝜆𝑧1 (III.35)

où 𝜆 est une constante positive.

La dérivée du temps de cette surface est donnée comme suit :

𝑆ሶ = 1 + 𝜆𝑧ሶ1 = 𝑓 + 𝛼𝑔 + 𝜆𝑧2 (III.36)

III.5.3.2. Synthèse de la loi de commande

De la même manière que pour le premier système PV, la loi de commande est définie

comme suit :

𝑢 = 𝑢𝑒𝑞 − 𝑢𝑠𝑤 (III.37)

avec

𝑢𝑠𝑤 = 𝛾

𝑔. 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑆) (III.38)

où 𝛾 est constante négative.

On utilise les conditions d’invariance (𝑆 = 𝑆ሶ = 0), la commande équivalente 𝑢𝑒𝑞 est

déterminée comme suit :

𝑢𝑒𝑞 =−𝑓−𝜆𝑧2

𝑔 (III.39)

III.5.3.3. Vérification de condition d’existence

Pour vérifier la condition d’existence, on considère la fonction de Lyapunov suivante :

𝑉(𝑥) =1

2𝑆2 (III.40)

La dérivée du temps de cette fonction est donnée par :

𝑉ሶ = 𝑆𝑆ሶ = 𝑆(𝑓 + (𝑢𝑒𝑞 − 𝑢𝑠𝑤)𝑔 + 𝜆𝑧2 (III.41)

On utilise les expressions (III.38) et (III.39), l’équation (III.41) devient comme suit :

𝑉ሶ = −𝛾|𝑆| < 0 (III.42)

D’après l’équation (III.42), on peut conclure que la condition 𝜂-attractivité est vérifiée et la

tension de sortie 𝑉𝑝𝑣converge asymptotiquement vers sa tension optimale 𝑉𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥. Et par

conséquent le GPV génère sa puissance maximale.


44

Figure III.7.Profit d'irradiation.

Figure III.8. Puissance délivrée par le générateur.

III.6. Simulation numérique

Afin de valider les commandes étudiées dans ce chapitre et de montrer leurs

performances, on les simule pour une température constante de 25°𝐶 et un éclairement

variable montrée par la figure suivante :

III.6.1. Simulation de la commande par mode glissant du premier système PV

Le générateur PV est connecté à une charge résistive 𝑅 = 1Ω via un convertisseur Buck

dont les paramètres sont donnés comme suit :c1 = 1000μF , c2 = 1000μF , L = 1mH. Les

conditions initiales de convertisseursont :𝑉𝑝𝑣 = 10𝑉 , 𝐼𝐿 = 1𝐴 , 𝑉𝑠 = 10𝑉. La constante du

régulateur ( γ) est égale0.95.

Les résultats de simulation sont montrés par les figures III.8 -III.13.


45

Figure III.9. Courant de sortie du générateur.

Figure III.10. Tension aux bornes de GPV.

Figure III.10. Tension aux bornes de la charge.

Figure III.11. Surface de glissement s(x).


46

Figure III.12. Signal de commande (α).

Figure III.14. Courant de sortie du générateur.

Discussion

D’après la courbe de la puissance délivrée, le GPV atteint très rapidement (environ

0.025s) son point de puissance maximale. Cela montre la rapidité et l’efficacité de la

commande en mode glissant proposée. En revanche, on a remarqué l'apparition du

phénomène de réticence dans la commande et dans toutes les variables de système (courant,

la tension, la puissance…). Ce phénomène est causé par la fonction signe du terme

discontinu 𝑢𝑠𝑤 de la commande. D’autre part, la constanteγ a une grande influence sur le

broutement et sur le temps de réponse du système. En effet, la minimisation de 𝛾 réduit le

broutement mais le système devient un peu lent. Par contre, l’augmentation de 𝛾 accélére le

système mais avec un broutement important.

Minimisation de broutement

Pour diminuer l’effet du phénomène de chattering, on a remplacé la fonction de

commutation 𝑠𝑔𝑛(𝑠) par la fonction continue tangente-hyperbolique tanh(𝑠). Les résultats

obtenus sont illustrés par les figures III.14-III.19.


47





48

Figure III.18. Surface de glissement s(x).

Figure III.19. Signal de commande.

Discussion

D’après les résultats de simulation, on a constaté une bonne poursuite du point de

puissance maximale avec un broutement réduit considérablement.

III.6.2. Simulation de la commande par mode glissant du deuxième système PV

Le générateur PV est connecté à une charge résistive 𝑅 = 25Ω via un convertisseur

Boost dont les paramètres sont : c1 = 1000μF , c2 = 1000μF , l = 1mH. Les conditions

initiales de convertisseur sont données par :𝑉𝑝𝑣 = 1𝑉 , 𝐼𝐿 = 1𝐴 , 𝑉𝑠 = 1𝑉. Les paramètres

du régulateur sont : γ = 10 et 𝜆 = 10. Dans cette simulation, la fonction 𝑠𝑔𝑛(s) est

remplacée par la fonction 𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑠) afin de réduire le chattering. Les résultats de simulation

sont montrés par les figures III.20 -III.26.


49


Figure III.15. Courant à la sortie du générateur.




50

Figure III.25. Surface de glissement.

Figure III.24. Erreurs de poursuite.

Figure III.26. Signal de commande.

Interprétation

Les résultats de simulation montrent que le système atteint sa puissance maximale après

un temps relativement considérable variable. Cependant, on observe que la surface converge

plus rapidement vers zéro. Ceci est justifié par le fait que la surface est en fonction de l’erreur

et sa dérivée, et que la convergence de la surface vers zéro en temps fini n’implique pas


51

nécessairement la tendance de l’erreur et sa dérivée vers zéro en même temps fini. Cela

ralentit la convergence du système vers son point de fonctionnement optimal. On constate

aussi que le signal de commande est lisse variant entre 0 et 1, mais avec des pics causés par

les variations brusques de l’éclairement.

III.7. Conclusion

Dans ce chapitre, on a présenté la théorie de la commande par mode glissant en premier

temps. Cette commande non linéaire possède l’avantages de robustesse vis-à-vis les

incertitudes. Son principe consiste à ramener le système vers une surface de glissement

choisie par un terme discontinu puis le maintien le long sur celle-ci par un terme continu,

dite commande équivalente. En second temps, on a appliqué ce principe pour traiter le

problème de la commande MPPT pour deux systèmes PV. Le premier est composé d’un GPV

connecté à un convertisseur Buck. Pour le deuxième, le GPV est connecté à un convertisseur

Boost. En fin, on a simulé les deux approches par mode glissant présentées dans ce chapitre.

Les résultats de simulation montrent que le GPV converge vers son point de puissance

maximale rapidement pour le premier système PV. Cependant, la rapidité de convergence

diminue pour le deuxième système PV. Afin de diminuer l’effet du phénomène de chattering,

la fonction signe est remplacée par une approximation continue présentée par la fonction

tangente hyperbolique.

Chapitre IV Commande MPPT par backstepping

52

IV.1. Introduction

Backstepping est une méthode récursive de conception de commande non linéaire, basé

sur la théorie de la stabilité de Lyapunov. Elle a été proposé au début des années 90 par Kritc,

Kanelllakopoulos et kokotovic [15]. Elle ne s’applique que pour une certaine classe de

système dite en strict feedback (triangulaire bas), c’est à dire, la dérivée de chaque

composante du vecteur d’état doit être une fonction des composantes précédentes et doit

dépendre additivement de la composante suivante.

Dans la première partie de ce chapitre, ons’intéresse à présentation des concepts de base liés

à la conception deslois de commande type backstepping. Ensuite, le problème de la

commande MPPT par la commande backstepping de systèmes PV sera traitée. L’efficacité

de l’approche sera mise en évidencepar simulation, sous l’environnement Matlab.

IV.2. Principe de la théorie du backstepping

La commande de type backstepping basé sur rendre les systèmes boucles équivalents

à des sous-systèmes d’ordre un en cascade stable, ce qui leur confère une stabilité globale

asymptotique.En d’autres termes, c’est une méthode multi-étapes.A chaque étape du

processus, une commande virtuelle est ainsi générée pour assurer la convergence du sous

système vers son état désiré.Ce processus se fait d’une manière récurssesuve jusqu’la

dernière étape.A la dernière étape, c’est la loi de commande réelle,à appliquer au système,

qui doit etre calculé pour garantir la stabilité globale de tout le système.

Chapitre IV : Commande MPPT par

backstepping


53

IV.2.1. Exemple illustratif

Pour donner une idée claire de cettetechnique, on considère l'exemple suivant:

1 = 𝑓1(𝑥1) + 𝑔1(𝑥1)𝑥2 (IV. 1)

2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2) + 𝑔2(𝑥1, 𝑥2)𝑥3 (IV.2)

3 = 𝑓3(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) + 𝑔3(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑢 (IV.3)

où 𝑓𝑖 et 𝑔𝑖 sont des fonctions non linéaires connues, avecgi ≠ 0, i=1,2,3, ∀ xϵR3.

L’objectif de la commande est de ramener la sortie y = x1vers une trajectoire désirée x1d.

le signal de référence 𝑥1𝑑 et ses dérivées, 1𝑑, 1𝑑 et 𝑥1𝑑(3)

sont supposées connues et bornées.

Le système étant du troisième ordre, doncla synthèse de loi de commande s’effectue en trois

étapes.

Etape 1

La procédure récursive du backstepping commence par le premie rsous-système (IV.1)

dont le but est de calculer la première commande virtuelle 𝑥2𝑑 qui sert à minimiser l’erreur

de poursuite donnée par:

𝑒1 = 𝑥1 − 𝑥1𝑑 (IV. 4)

La dérivée du temps de l’erreur (IV.4) est donnée comme suit :

1 = 1 − 1𝑑 = 𝑓1 + 𝑔1𝑥2 − 1𝑑 (IV. 5)

On prend la fonction candidate de Lyapunov suivante:

𝑉1 = 1

2𝑒1

2 (IV.6)

La dérivée temporelle de la fonction (IV.6) est donnée par :

1 = 𝑒1(𝑓1 + 𝑔1𝑥2 − 1𝑑)

= 𝑒1(𝑓1 + 𝑔1𝑒2+𝑔1𝑥2𝑑 − 1𝑑) (IV.7)

où 𝑒2=𝑥2 − 𝑥2𝑑 et 𝑥2𝑑 la valeur désirée de l’état 𝑥2.

On choisit la fonction désirée 𝑥2𝑑 comme suit :

𝑥2𝑑 = 1

𝑔1 (−𝑓1 + 1𝑑 − 𝑘1𝑒1) (IV.8)

où k1 est un paramètre de conception strictement positif.


54

Ce choix conduit à une fonction 1 s’écrit comme suit :

1 = 𝑔1𝑒1𝑒2 − 𝑘1𝑒12 (IV.9)

Le terme 𝑔1𝑒1𝑒2 sera éliminé dans l’étape 2.

Etape 2

On considère maintenant le sous-système donné par (III.9) et (III.10) et on définit la

nouvelle variable d’erreur par:

𝑒2 = 𝑥2 − 𝑥2𝑑 (IV.10)

Le design dans cette étape consiste, alors à forcer 𝑒2 à s’annuler avec une certaine

dynamique, par la deuxième commande virtuelle 𝑥3𝑑.

Les équations du sous-système à commander, dans l’espace des erreurs (𝑒1,𝑒2), s’écrivent

comme suit :

1 = 𝑓1−1𝑑 + 𝑔1𝑒2 + 𝑔1𝑥2𝑑

2 = 𝑓2 + 𝑔2𝑥3−2𝑑 (IV.11)

On choisit comme fonction de Lyapunov:

𝑉2 = 𝑉1 + 1

2𝑒2

2 (IV.12)

Sa dérivée par rapport au temps est exprimée par:

2(𝑒1, 𝑒2) = 1 + 𝑒22

= −𝑘1𝑒12 + 𝑒2(𝑔1𝑒1 + 𝑓2 + 𝑔2𝑥3 − 2𝑑)

= −𝑘1𝑒12 + 𝑒2(𝑔1𝑒1 + 𝑓2 + 𝑔2𝑥3𝑑 − 2𝑑+𝑔2𝑒3)

(IV.13)

où 𝑒3 = 𝑥3 − 𝑥3𝑑 et 𝑥3𝑑la valeur désirée de l’état 𝑥3𝑑.

On choisit la commande virtuelle 𝑥3𝑑 comme suit:

𝑥3𝑑 =1

𝑔2 (−𝑔1𝑒1 − 𝑓2 + 2𝑑 − 𝑘2𝑒2) (IV.14)

où k2 > 0 et x2d est calculée analytiquement comme suit :

2𝑑 = 𝜕𝑥2𝑑

𝜕𝑥1

1 +𝜕𝑥2𝑑

𝜕𝑥1𝑑

1𝑑 +𝜕𝑥2𝑑

𝜕1𝑑

1𝑑 (IV.15)

Donc, la dérivée (IV.13) se réduit à :

2 = 𝑔2𝑒2𝑒3−𝑘1𝑒12 − 𝑘2𝑒2

2 (IV.16)


55

Le terme 𝑔2𝑒2𝑒3 sera éliminé dans l’étape 3.

• Etape 3

On considère maintenant tout le système donné par (III.10)-(III.12) et on définit la

toisième variable d’erreur:

𝑒3 = 𝑥3 − 𝑥3𝑑 (IV.17)

Alors, les équations du système, dans l’espace des erreurs (e1,e2,e3) s’écrivent :

1 = 𝑓1−1𝑑 + 𝑔1𝑒2 + 𝑔1𝑥2𝑑

2 = 𝑓2−2𝑑 + 𝑔2𝑥3𝑑 + 𝑔2e3 (IV.18)

3 = 𝑓3 − 3𝑑 + 𝑔3𝑢

On augmente la fonction de de Lyapunov𝑉2 comme suit:

𝑉3(𝑒1, 𝑒2, 𝑒3) = 𝑉2 + 1

2𝑒3

2 (IV.19)

La dérivée le long de la solution de (IV.18) devient :

3(𝑒1, 𝑒2, 𝑒3) = −𝑘1𝑒12 − 𝑘2𝑒2

2 + 𝑒3[𝑔2𝑒2 + 𝑓3 + 𝑔3𝑢 − 3𝑑] (IV.20)

Maintenant, on est en face de la commande réelle. La loi de contrôle 𝑢 est conçue pour rendre

la dérivée de la fonction Lyapunov𝑉3 définie négative.Un bon choix de celle- ci est donné

par :

𝑢 =1

𝑔3(−𝑔2𝑒2 − 𝑓3 + 3𝑑 − 𝑘3𝑒3) (IV.21)

où k3 > 0 et x3dest également calculé analytiquement par :

3𝑑 = 𝜕𝑥3𝑑

𝜕𝑥1

1 +𝜕𝑥3𝑑

𝜕𝑥2

2 +𝜕𝑥3𝑑

𝜕𝑥1𝑑

1𝑑 +𝜕𝑥3𝑑

𝜕1𝑑

1𝑑 +𝜕𝑥3𝑑

𝜕1𝑑

𝑥1𝑑 (IV.22)

Ce choix de la commande réelle permet d’obtenir l’équation suivante :

3 = −𝑘1𝑒12 − 𝑘2𝑒2

2 − 𝑘3𝑒32 < 0 (IV.23)

D’après l’équation (IV.23), 3 est une fonction définie négative. Donc le système donné par

(IV.1)-(IV.3) est globalement asymptotiquement stable et l’erreur de poursuite tendvers zéro

quand t tend vers l’infini.


56

IV.2.2. Algorithme générale

Pour un système d’ordre n donné par:

1 = 𝑓1(𝑥1) + 𝑔1(𝑥1)𝑥2

2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2) + 𝑔2(𝑥1, 𝑥2)𝑥3 ⋮

𝑛−1 = 𝑓𝑛−1(𝑥1, 𝑥2, … . . , 𝑥𝑛−1) + 𝑔𝑛−1(𝑥1, 𝑥2, … . . , 𝑥𝑛−1)𝑥𝑛

𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … . . , 𝑥𝑛) + 𝑔𝑛(𝑥1, 𝑥2, … . . , 𝑥𝑛)𝑢

(IV.24)

où 𝑓𝑖(0) = 0, 𝑔𝑖 ≠ 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.

La procédure de conception commence avec la première équation. Le changement de

variable adéquat à chaque étape i permet d’appliquer le backstepping récursivement, en

rajoutant l’équation i+1. Partant de 𝑥𝑖𝑑, on construit les différentes commandes virtuelle

𝑥(𝑖+1)𝑑 et fonctions de Lyapunov𝑉𝑖.

Un exemple de synthèse pour la ième, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1, étape est donné comme suit :

• Etape i

La ièmeerreur est définie par :

𝑒𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖𝑑 (IV.25)

La fonction de Lyapunov est chosie comme suit :

𝑉𝑖 =1

2∑ 𝑒𝑗

2𝑖𝑗=1 (IV.26)

La commande virtuelle x(i+1)d est exprimée par :

𝑥(𝑖+1)𝑑 =1𝑔𝑖

(−𝑓𝑖 + 𝑖𝑑−𝑘𝑖𝑒𝑖 − 𝑔𝑖−1𝑒𝑖−1) (IV.27)

où𝑖 = 1 … … , 𝑛

• Etape n

La dernière commande virtuelle représente la vraie commande 𝑢, qui permet d’atteindre les

objectifs de commande, pour le système globale est donnée par :

𝑢 =1

𝑔𝑛(−𝑓𝑛 + 𝑛𝑑−𝑘𝑛𝑒𝑛−𝑔𝑛−1𝑒𝑛−1) (IV.28)


57

IV.3. Commande par backstepping des systèmes PV

L'objectif de ce paragraphe est de présenter des lois de commande type backstrpping

pour les deux systèmes PV présentés dans le chapitre précédent. Le but de ces lois de

commande reste le même, c-à-d, forcer le GPV à fonctionner dans ce point optimal.

IV.3.1. Commande par backstepping pour le premier système PV

Pour ce premier système, le calcul de la commande est effectué en un seule étape comme

suit :

On définit l’erreur de poursuite par:

𝑒 =𝜕𝑃

𝜕𝑉𝑝𝑣= 𝐼𝑝𝑣 +

𝑑𝐼𝑝𝑣

𝑑𝑉𝑝𝑣𝑉𝑝𝑣

= 𝑁𝑝𝐼𝑐𝑐 − (𝑁𝑝𝐼𝑐𝑐 +𝑁𝑝𝐼𝑐𝑐

𝑛𝑉𝑇𝑉𝑝𝑣) 𝑒𝑥𝑝 (


𝑛𝑉𝑇)

(IV.29)

La dérivée du temps de l’erreur(IV.29) est donnée par :

=𝑑

𝑑𝑡(

𝜕𝑃

𝜕𝑉𝑝𝑣) =

𝜕𝑒

𝜕𝑉𝑝𝑣𝑝𝑣

𝑝𝑣 =1


𝛼

𝐶1𝐼𝑙

𝜕𝑒

𝜕𝑉𝑝𝑣= (

−2𝑁𝑝𝐼𝑠𝑎𝑡

𝑛𝑉𝑡𝑒𝑥𝑝 (


𝑛𝑉𝑡) −

𝑁𝑝𝐼𝑠𝑎𝑡

(𝑛𝑉𝑡)2 𝑒𝑥𝑝 (𝑉𝑝𝑣−𝑁𝑠𝑉𝑐𝑜

𝑛𝑉𝑡))

(IV.30)

On considère la fonction de Lyapunov suivante:

𝑉 =1

2𝑒2 (IV.31)

On dérive la fonction de Lyapunov ppar rapport au temps, on obtient :

V = ee = e (∂e

∂𝑉𝑝𝑣Vpv) = 𝑒

𝜕𝑒

𝜕𝑉𝑝𝑣(

𝐼𝑝𝑣

𝐶1−

𝑢𝐼𝑙

𝐶1) (IV.32)

On choisit la loi de commande suivante :

𝑢 =1

𝐼𝑙(𝐼𝑝𝑣 − 𝑘𝑒) (IV.33)

où 𝑘 est une constante positive.

Ce choix conduit à :

V = −k

𝐶1e2 ∂e

∂Vpv< 0 (IV.34)

De l’équation (IV.34), la fonction V est définie négative, donc on peut conclure que l’erreur

tend vers zéro quand t tend vers l’infinie. Et par conséquent le GPV génére une qui converge

vers la puissance maximale.


58

IV.3.2. Commande par backstepping pour le deuxième système PV

Pour le deuxième système PV, le calcul de la commande est réalisé en deux étapes.

Etape 1

On définit l’erreur de poursuite par:

𝑒1 = 𝑉𝑝𝑣 − 𝑉𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥 (IV.35)

La dérivée du temps de l’erreur (IV.35) est donnée par :

1 =1

𝑐1(𝐼𝑝𝑣 − 𝐼𝑙) − 𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥 (IV. 36)

On considère la fonction de Lyapunov suivante:

𝑉1 =1

2𝑒1

2 (IV.37)

On dérive la fonction de Lyapunov par rapport au temps, on obtient :

1 = 𝑒11 = 𝑒1 (1

𝑐1(𝐼𝑝𝑣 − 𝐼𝑙𝑟𝑒𝑓

− 𝑒2) − 𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥) (IV.38)

où 𝑒2 = 𝐼𝑙 − 𝐼𝑙𝑟𝑒𝑓 et 𝐼𝑙𝑟𝑒𝑓

est la valeur désirée du cournat 𝐼𝑙.

On choisit le cournat désiré 𝐼𝑙𝑟𝑒𝑓 comme suit :

𝐼𝑙𝑟𝑒𝑓= 𝐼𝑝𝑣 + 𝑘1𝑒1 − 𝑐1 ∗ 𝑉

𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥 (IV. 39)

Où 𝑘1 est un paramètre de conception strictement positif.

On remplace (IV.39) dans (IV.38), on trouve :

1 =−𝑒1𝑒2

𝑐1−

𝑘1

𝑐1𝑒1

2 (IV. 40)

Le terme −𝑒1𝑒2

𝐶1 sera éliminé dans l’étape 2.

Etape 2

On considère la deuxième variable d’erreur :

𝑒2 = 𝐼𝑙 − 𝐼𝑙𝑟𝑒𝑓 (IV. 41)

La dérivée du temps de l’erreur (IV.41) est donnée par :

2 = 𝐼 − 𝐼𝑟𝑒𝑓= 𝑓 + 𝑔𝑢 − 𝐼𝑟𝑒𝑓

(IV. 42)

où 𝑓 =1

L(𝑉𝑝𝑣 − 𝑉𝑠), 𝑔 =

𝑉𝑠

Let 𝐼𝑟𝑒𝑓

=𝜕𝐼𝑝𝑣

𝜕𝑉𝑝𝑣𝑝𝑣 − 𝑐1 ∗ 𝑝𝑣_𝑚𝑎𝑥+ 𝑘11.


59

Figure IV.1. Profit d'irradiation.

On choisit comme fonction de Lyapunov :

𝑉2 = 𝑉1 +1

2𝑒2

2 (IV. 43)

On dérive la fonction de Lyapunov ppar rapport au temps, on obtient :

2 = 1 + 𝑒22 = −𝑘1

𝑐1𝑒1

2 + 𝑒2 (−𝑒1

𝑐1+ 𝑓 + 𝑔𝑢 − 𝐼𝑟𝑒𝑓

) (IV. 44)

On choisit la loi de commande suivante :

𝑢 =1

𝑔(−𝑓 +

𝑒1

𝑐1+ 𝑙𝑟𝑒𝑓 − 𝑘2𝑒2) (IV. 45)

où 𝑘2 est une constante positive.

Ce choix conduit à :

2 = −𝑘1

𝑐1𝑒1

2 − 𝑘2𝑒22 < 0 (IV.46)

De l’équation (IV.46), la fonction 2 est définie négative, donc on peut conclure que les

erreursconvergent vers zéro quand t tend vers l’infini. Et par conséquent le GPV génére une

puissance qui converge vers la puissance maximale.

IV.4. Simulation numérique

Dans cette section, on va présenter les résultats de simulation issus de l’application de

la commande par backstepping sur deux systèmes PV. Le premier système est connecté à

une charge à travers un convertisseur buck. Par contre dans le deuxième système, on a un

convertisseur boost comme étage d’adaptation. Dans les deux simulations, la température

est fixée à 25°C, et l’éclairement varie comme il est illustré par la figure IV.1 :


60

Figure IV.3. Courant a la sortie du GPV.

Figure IV.2. Puissance délivrée par le générateur.

IV.4.1. Simulation de la commande par mode glissant du premier système PV

Dans cette simulation le GPV est connécté a une charge résistive 𝑅 = 1Ω à travers un

convertisseur buck dont les paramètressont donnés comme suit: c1 = 1000μF , c2 =

1000μF , L = 1mH.

Les conditions initiales de convertisseur sont:𝑉𝑝𝑣 = 10𝑉 , 𝐼𝐿 = 1𝐴 , 𝑉𝑠 = 10𝑉.

Le gain 𝑘du régulateur est égal à 0.1.

Les résultats de simulation sont montrés par les figures IV.2-IV.7.


61

Figure IV.4.Tension aux bornes de la charge.

Figure IV.5.Erreur de poursuite 𝑒1.

Figure IV.6. Signal de commande.

Figure IV.3. Tension aux bornes de GPV.


62

Figure IV.8.Courant a la sortie du GPV.

IV.4.2. Simulation de la commande par mode glissant du deuxième système PV

Dans cette simulation le GPV est connécté a une charge résistive 𝑅 = 25Ω a travers un

convertisseur boostdont les paramètres sont donnés comme suit: 𝑐1 = 1000𝜇𝐹 , 𝑐2 =

1000𝜇𝐹 , 𝐿 = 1𝑚𝐻 .

Les conditions initiales de convertisseur sont considérées nulles.

Les gains du régulateur sont :𝑘1 = 1 et 𝑘2 = 1.

Les résultats de simulation sont montrés par les figures IV.8-IV.13.

Figure IV.7.Puissance délivrée par le générateur.


63

Figure IV.9. Tension aux bornes de GPV.

Figure IV.10. Tension de la charge.

Figure IV.11. Eerreur de poursuite 𝑒1.

Figure IV.12.Signal de commande.


64

Discussion

D’après l’ensemble des résultas obtenu du deux simulation, on a observé que la

technique dubackstepping possède une rapidité et une précesion considérable dans la

poursuite du point de puissance maximale. Aussi, on a constaté que l’erreur de poursuite

converge vers zeros mais avec des petites oscillation au momment de changement de

l’éclairement.

IV.5. Conclusion

Dans ce dernier chapitre, on a commencer par la présentation du principe de la technique

de backstepping. Ensuite, on a appliqué ce principe pour commander deux systèmes PV

présentés dans le chapitre précédent. Les résultas de simulation montrent une rapidité et

grande précésion dans la poursuite du PPM.

Conclusion générale

65

Le travail mené dans ce mémoire a été porté sur l'optimisation de fonctionement d'un

générateur PV dans la chaine de conversion photovoltaique. Un générateur PV possède une

caractréstique I-V non-linéaire et un seul point de fonctionement optimale (puissance

maximale) varié en fonction de l’eclairement et de la température. Pour mentenir le

fonctionement du générateur à ce point, et obtenir un bon rendement, un contrôle en

permanence du GPV via un étage d’adaptation est indisponsable.

Dans ce cadre, on a commencé dans le premièr chapitre par présenter le principe de la

conversion photovoltaique. Puison a élaboré le modèle mathématique du GPV afin

d’analysersa caractréstique I-V et étudier l'influence des variation climatiques sur son

PPM.

Dans le chapitre 2, on a prsenté le problème de transfert d’énergie entre le GPV et la

charge. Ensuite, on a exposé le problème de maximisation de l’énergie fournie par le GPV.

Après, on a étudié et simulé deux algorithmes de la commande MPPT (P&O et IncCond).

Les résultats de simulation montrent une rapidité de ces algorithme dans la localisation du

PPM. Cependant, ces algorithmes rencontrent des problèmes dans le cas d’unevariation

brutale d’ensoleillement, et présententdes oscillations autour du PPM.

Dans le chapitre 3, on a introduit les notions debase de la commande par mode glissant.

Ensuite, on a appliqué cette commande pour deux systèmes PV dont le but est de forcer le

GPV à générerer sa puisssance maximale. Les résultas de simulation montrent que cette

commande garantie une convergence très rapide du GPV vers son PPM pour le cas du

convertisseur buck. Cette rapidité diminue un peu pour le cas du convertisseur boost.

Cependant cette commmande présente une soufrance du problème de chattering. Pour

diminuer l’effet de cette inconvénient, on à remplacer la fonction discontinue (signe) par

une approximation continue donnée par la fonction tangente hyberbolique.



66

Dans le dernier chapitre, on est intéressé au problème de la commande des systèmes PV

par la téchnique du backstepping. Pour traiter ce problème, on a commencé par donner les

concepts de base de la théorie du backstepping. En suite, on présenté deux commandes par

backstepping pour traiter le problème de tansfert d’énergie. En fin on a simulé ces deux

commandes, sous l’environnement Matlab. Les résultats de simulation montrent des hautes

performances de commande en terme de précision, qualité de signal de commande et

rapidité.

Comme perspectives envisagées, plusieurs voies sont possibles pour l'extension du

présent travail :

Commande par terminal sliding mode des systèmes PV.

Commande par mode glissant d’ordre deux des systèmes PV.

Commande adaptative par mode glissant flou des systèmes PV.

Bibliographie

Bibliographie

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doctorat, Université Ferhat Abbas, 2015.

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Documents

Mémoirede de Fin d’Études En vue de l’obtention du diplôme