Modèles éléments finis 3D pour l’interaction onde – structure complexe. Application aux méta-matériaux O. Ouchetto, B. Essakhi, S. Zouhdi*, L. Pichon Laboratoire

Modèles éléments finis 3D pour Modèles éléments finis 3D pour l’interaction onde – structure complexe.l’interaction onde – structure complexe.

Application aux méta-matériauxApplication aux méta-matériaux

Modèles éléments finis 3D pour Modèles éléments finis 3D pour l’interaction onde – structure complexe.l’interaction onde – structure complexe.

Application aux méta-matériauxApplication aux méta-matériaux

O. Ouchetto, B. Essakhi, O. Ouchetto, B. Essakhi, S. ZouhdiS. Zouhdi*, L. Pichon*, L. Pichon

Laboratoire de Génie Electrique Laboratoire de Génie Electrique de Parisde Paris

*E-mail : [email protected]*E-mail : [email protected]

1.1. Approche directe - DiffusionApproche directe - Diffusion

Modèle éléments finis 3DModèle éléments finis 3D

Formalisme des équations intégralesFormalisme des équations intégrales

2.2. HomogénéisationHomogénéisation

AApproche Classique – loi de pproche Classique – loi de mélange + MMmélange + MM

Approche Asymptotique + FEMApproche Asymptotique + FEM

Polariseurs micro-ondes et filtresPolariseurs micro-ondes et filtres Diélectriques artificiels Diélectriques artificiels AMC et HIS : antennes miniaturesAMC et HIS : antennes miniatures

Applications :Applications :

Surfaces Structurées et Meta-Surfaces Structurées et Meta-matériauxmatériaux

Surfaces Structurées et Meta-Surfaces Structurées et Meta-matériauxmatériaux

1

xT

yT

zTjS

iS

i

j lk

m n

kl ll

ml nlxT

yT

zTjS

iS

i

j lk

m n

kl ll

ml nl

)()(),(1

xwtetxE ai

N

i

Surfaces Structurées et Meta-matériauxSurfaces Structurées et Meta-matériaux

Éléments finis d’arêtes :Éléments finis d’arêtes :

2

IiE)i(ixE1x

)(A ωωω b)(e )(

)(A ωωω b)(e )(

210 AAAA 200 )()()(

0i

i0i )(e)(e

0i

i0i )(b)(b

...)(bb...))(ee)(A)(A)(A( 01001022

0100

avec

IiE)i(ixE1x Réduction d’un calcul large bandeRéduction d’un calcul large bande

Recherche d’un développement en série :

7

0i

i0i )(e)(e

i0M

0ii

i0N

0ii

)(p

)(q)](M/N[

)(eji

,....1,0i eAAbAe2

ij,1jjij

10i

10i

avec

Approximation de PadéApproximation de Padé

1 seule inversion de A0 est nécessaire !

Extension de la plage de validité

8

-20-10

010

2030

-20

-10

0

10

20-10

-5

0

5

10

Validation : rayonnement d’une antenne boucleValidation : rayonnement d’une antenne boucle

)(tI

yx

)(I)(V )(Z

9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 1010

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5IMPEDANCE

FREQUENCE(Hz)

AR

GU

ME

NT

(RA

D

LGEP(FEM)LGEP(PADE APPRX)

ImpédanceImpédance

I1=[0GHz,5GHz], I2=[5GHz,10GHz], I3=[10GHz,15GHz] et I4=[15GHz,20GHz].

onsin0Isi)(3/3)(Z jjj

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

1

102

103

104

105 IMPEDANCE

FREQUENCE(Hz)

AM

PLI

TU

DE

(Ohm

s)

LGEP(FEM)LGEP(FEM+PADE)

10

Conducteur Electrique Parfait Conducteur Magnétique Parfait Surface à Haute Impédance

Htan 0 Etan = 0

PEC

Htan = 0 Etan 0

PMC

Htan 0 Etan 0

HIS

|R| = 1 ; = |R| = 1 ; = |R| 1 ; 0

Surfaces à haute impédanceSurfaces à haute impédance

Application : AntennesApplication : Antennes

3

d

PEC

d

d /4

d

PMC ou HIS

Élément rayonnant

dd

Conducteur parfait

Cellule élémentaire du réseau :d = 1cm, f = 5GHz

Impédance de surface Zs (en ) calculée dans le

plan (x, y, z = 1cm) pour une onde incidente polarisée TE.

Zsmoy(TE) = -0.003+3,73j, Zsmoy(TM) = 0.002+3,74j

Validation :Validation :


t smoy tE Z H

4

Impédance de surface Zs (en ) calculée dans le plan

(x, y, z = 1cm) pour une onde incidente polarisée TE.Cellule élémentaire du réseau :d = 1cm, l = 0,5cm, f = 5GHz

plaque conductrice

dd

Plan de masse

zy

xl

Surface à haute impédance


Zsmoy(TE) = -3 ,04+526,2j, Zsmoy(TM) = 5,14+614,1j t smoy tE Z H

5

Cellule élémentaire du réseau :d = 1cm, l = 0,5cm, f = 5GHz

Impédance de surface Zs (en ) calculée dans le plan

(x, y, z = 1cm) pour une onde incidente polarisée TE.

Zsmoy(TE) = 2,08+607,7j, Zsmoy(TM) = 3.97+619,4j


t smoy tE Z H

6Radio Science, à paraître en 2005Radio Science, à paraître en 2005

Collaboration avec C. SimovskiCollaboration avec C. Simovski (Russie)(Russie)

Méthode asymptotique :Méthode asymptotique :

Convergence à deux échellesConvergence à deux échelles& &

Éclatement périodiqueÉclatement périodique

HomogHomogéénnééisation des isation des matmatéériaux structurriaux structurééss


PIERS 2005, Hangzhou, 2005, China PIERS 2005, Hangzhou, 2005, China

Action Math-STIC du CNRS, 2004-05Action Math-STIC du CNRS, 2004-05

Trouver les paramètres constitutifs quand :

d

d

11

Méthode asymptotique Méthode asymptotique

Y

Ekykykkeff dyypwy

jyywey ),())(

1)(())()((,

dyywey ky

Y

kkeff ))()(((,

Y

ky dyyvywy )().()( Y

k dyyvey )(.)(

xT

yT

zTjS

iS

i

j lk

m n

kl ll

ml nlxT

yT

zTjS

iS

i

j lk

m n

kl ll

ml nl1,r

2,r

1,r

2,r

1,r

2,r

12

)),(),(),()((3

1

xpEypwxpEywE HEkyHk

kyy

EEE yHum

Champ total Champ macroscopique

Correcteur

Méthode asymptotiqueMéthode asymptotique

13


RRéésultasultatstsRRéésultasultatsts

1,r

2,r

1,r

2,r

1,r

2,r

Permittivité effective

Champ électrique

r1 = 8, r2 = 1

1

6

11

16

21

26

31

36

41

46

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1Volume fraction (f)

Effe

ctiv

e re

lativ

e pe

rmitt

ivity

FEM (present method)

Maxwell Garnett

eff/d ≈ 11,42eff/d ≈ 14

r1 = 80

r2 = 1y

x z

d


RRéésultasultatstsRRéésultasultatsts

1,r

2,r

1,r

2,r

1,r

2,r

Permittivité effective

Champ électrique

r1 = 8, r2 = 1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1Volume fraction (f)

Effe

ctiv

e re

lativ

e pe

rmitt

ivity

FEM (present method)

Maxwell Garnett

14eff/d ≈ eff/d ≈ 2.55eff/d ≈ 1.27

r1 = 80

r2 = 1y

x z

d

15

ConclusionConclusionConclusionConclusion

Déjà fait :Déjà fait :

Modèles pour les méta-structures et méta-Modèles pour les méta-structures et méta-matériauxmatériaux Approche antenneApproche antenne

Approche homogénéisationApproche homogénéisation

Reste à faire … :Reste à faire … :

Optimisation des formes Optimisation des formes

Validations expérimentales : Validations expérimentales : REX REX METAMORPHOSEMETAMORPHOSE

16



zz

xxDiélectrique 1Diélectrique 1

Diélectrique 2Diélectrique 2

11,, 11

2 2 ,, 22

Réseau de particules Réseau de particules bianisotropesbianisotropes

zzDiélectrique 1Diélectrique 1

Couche bianisotropeCouche bianisotrope

Diélectrique 2Diélectrique 2

1 1 ,, 11

2 2 ,, 22

effeffeffeff ,,,d xx

Electromagnetics, Vol.22, N. 3, 2002 Electromagnetics, Vol.22, N. 3, 2002 Collaboration avec C. SimovskiCollaboration avec C. Simovski (Russie)(Russie)

1ère approche :

Maxwell-GarnettMaxwell-Garnett & &Méthode des momentsMéthode des moments

17

Relations constitutivesRelations constitutivesCas général :

Dispersion spatiale d’ordre 1

Hypothèses : Réseau de faible densité d <

QQPED6

1

2

10

MMHB

2

10

1ère approche : Maxwell-Garnett & Méthode des momentsMaxwell-Garnett & Méthode des moments

18

locema

loceea HEp

locmma

locmea HEm

calculés connus

HEPemee

HEMmmme

)( locf EE ?

PbPED 0

MHB 0

HEDeffeff

EHB Teffeff


19

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

3 4 5 6 7 8 9

Fréquence (GHz)

Re(exx)Re(eyy)Re(muzz)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

2 3 4 5 6 7 8 9Frequency (GHz)

Am

pli

tud

e |

R|

FSSFSS Homogenized slabHomogenized slab

RRéésultatssultatsRRéésultatssultats

Inclusion : a = 3 mm, L = 2.8 mm, e = 0.2 mm

Réseau I : d1 = d2 = 9 mm, = 90°, r= 1

a

Le


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Documents

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