Mécanique & Industries 3 (2002) 173–180

Modélisation des manipulateurs flexibles appliquéeaux machines-outils UTGV

Modeling of flexible manipulators applied to HSMW machine tools

Belhassen Chedli Bouzgarroua,∗, Benoît Thuilotb, Pascal Raya, Grigore Gogua

a Laboratoire de Recherches et Applications en Mécanique Avancée, IFMA et UBP, Campus de Clermont-Ferrand, Les Cézeaux, BP 265,63175 Aubière cedex, France

b LASMEA, 24 avenue des Landais, 63177 Aubière, France

Reçu le 15 novembre 2001; accepté le 7 décembre 2001

Résumé

Les machines-outils d’usinage et de travail à grande vitesse (UTGV) doivent atteindre un niveau de performance donné en terme deprécision et de rigidité statique et dynamique. Leur dimensionnement nécessite la considération des flexibilités ainsi que de la stratégiede commande adoptée. Dans cet article nous présentons une approche de modélisation dynamique de mécanismes flexibles en vue deleur commande et dimensionnement pour des applications de type UTGV. Pour formuler le modèle cinématique d’un manipulateurflexible, les opérateurs de déplacements infinitésimaux sont utilisés. Les termes de déplacements infinitésimaux d’ordre supérieur à 1 sontsystématiquement négligés. Les équations du mouvement sont par la suite obtenues en utilisant le formalisme de Lagrange. L’approcheproposée permet de traiter les deux cas de flexibilités distribuées et localisées. L’importance de la prise en compte de la flexibilité est illustréepar des résultats de simulation, pour un prototype de machine UTGV à architecture cinématique parallèle, dans le cas de flexibilités localisées. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.

Abstract

High speed machining and working (HSMW) machine tools have to reach a given performance level in terms of precision and staticand dynamic stiffness. Their dimensioning requires the consideration of flexibilities as well as adopted control strategy. In this article wepresent an approach for dynamic modeling of flexible mechanisms in the aim of their control and dimensioning for HSMW applications.To formulate the kinematic model of a flexible manipulator, infinitesimal displacement operators are used. Infinitesimal displacement terms,of order greater than 1, are systematically neglected. Therefore, equations of motion are derived using Lagrange formalism. The proposedapproach allows one to handle both cases of distributed and lumped flexibilities. The importance of taking into account flexibility is illustratedby simulation results, for HSMW machine prototype with parallel kinematic architecture, in the case of lumped flexibilities. 2002 Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.

Mots-clés :UTGV ; Manipulateurs flexibles ; Manipulateurs parallèles ; Cinématique ; Dynamique

Keywords:HSMW; Flexible manipulators; Parallel manipulators; Kinematics; Dynamics

1. Introduction

La conception de machines-outils de plus en plus per-formantes conduit à un comportement dynamique dans le-quel la flexibilité ne peut plus être ignorée [1]. L’élabora-tion d’un modèle analytique de comportement prenant en

* Correspondance et tirés à part.Adresse e-mail :Belhassen-Chedli.Bouzgarrou@ifma.fr

(B.C. Bouzgarrou).

compte la flexibilité est très utile pour le dimensionnementdes éléments mécaniques ainsi que pour la synthèse de lacommande [2,3].

La modélisation des manipulateurs flexibles a fait l’ob-jet de nombreux travaux [4–6]. L’approche la plus simpleconsiste à modéliser les déformations élastiques par desflexibilités localisées. Dans ce cas le manipulateur est décritpar une interconnexion de corps rigides, de liaisons et d’élé-ments de types ressorts [3]. Ces éléments peuvent représen-

1296-2139/02/$ – see front matter 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.PII: S1296-2139(02 )01154-5

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ter la flexibilité des transmissions ou des éléments de gui-dages. Un élément flexible peut être représenté par plusieurséléments rigides reliés par des ressorts, ce qu’on appelle laméthode des segments finis. Lorsque les déformations élas-tiques sont décrites par des fonctions continues sur le volumede l’élément, on parle dans ce cas de flexibilités distribuées.Le modèle de poutre d’Euler–Bernoulli est largement utilisédans la littérature pour modéliser les bras manipulateurs àchaîne ouverte [4,6,7]. Lorsque la géométrie des corps dé-formables est complexe, on utilise généralement une discré-tisation par éléments finis. Les coordonnées nodales peuventêtre considérées comme coordonnées généralisées dans laméthode incrémentale. Cette méthode n’est pas adaptée à uncalcul analytique. En utilisant les techniques de synthèse decomposantes modales, les déformations élastiques peuventêtre approchées par une combinaison linéaire d’un nombrefini de déformées modales, dont les amplitudes sont considé-rées comme coordonnées généralisées [8,9]. Ces techniquespermettent de traiter des corps déformables avec un nombreréduit de coordonnées.

Dans cet article nous présentons une approche de modé-lisation de manipulateurs flexibles basée sur une descriptioncinématique à l’aide d’opérateurs homogènes de déplace-ments infinitésimaux. La différence que présente notre ap-proche par rapport aux méthodes classiques [4,6] est quenous éliminions systématiquement les déplacements infini-tésimaux d’ordre≥ 2. Ce qui simplifie considérablement lesexpressions du modèle analytique et permet de considérerdes systèmes avec un degré de mobilité élevé. Les deux casde flexibilités distribuées et localisées peuvent être traités dela même façon. Une application de cette approche à un pro-totype de machine UTGV à architecture cinématique paral-lèle est présentée. Les flexibilités considérées sont localiséesaux éléments de guidage en translation.

2. Modélisation dynamique des manipulateurs flexibles

Pour établir le modèle dynamique d’un robot manipula-teur on utilise le plus souvent le formalisme de Newton–Euler ou le formalisme de Lagrange [10]. Ce dernier est plusadapté lorsque le système mécanique présente des flexibili-tés distribuées. Pour les manipulateurs à chaîne cinématiquefermée, il est plus simple de formuler les équations de la dy-namique en fonction de coordonnées dépendantes. Dans cecas les équations de Lagrange avec multiplicateurs sont uti-lisées [11]. Notons parL= T − V le lagrangien du systèmemécanique,T etV étant respectivement l’énergie cinétiqueet l’énergie potentielle. La configuration du système est défi-nie par le vecteur des coordonnéesq = [qT

r qTf ]T. qr est l’en-

semble des coordonnées articulaires « rigides » de dimen-sionn. q f = [qT

f1 . . . qTfN ]T est l’ensemble des coordonnées

« flexibles ».q fi est le vecteur des coordonnées modales del’élémenti de dimensionni . Le système mécanique est sou-mis àc équations de contraintes qu’on exprime par la rela-tion Φ(q) = 0. Les équations régissant le mouvement sontdonnées par

d

dt

(∂L

∂ q

)− ∂L

∂q+ ΦT

qλ = Q (1)

Φ(q)= 0 (2)

La matrice Φq = (∂Φ/∂q) est de dimensionc × (n +∑N1 ni),λ est le vecteur des multiplicateurs de Lagrange de

dimensionc et Q est le vecteur des forces généralisées dedimensionn+∑N

1 ni .

2.1. Énergie cinétique

Dans la méthode du référentiel flottant [8,9], le mou-vement d’un corps flexible, en petites déformations, estconsidéré comme une superposition d’un déplacement nonlinéaire de corps rigide et de déformations élastiques li-néaires. Nous adoptons cette description cinématique quenous estimons adaptée aux cas des machines-outils. Ces der-nières sont suffisamment rigides pour vérifier les hypothèsesmentionnées ci-dessus. La configuration d’un corps défor-mablei est alors décrite par la configuration d’un référen-tiel Ai(xi, yi, zi) lié au corps et un ensemble de coordon-nées « flexibles »q fi . Son énergie cinétique est donnée parla relation

Ti = 1

2ξTi M iξ i (3)

avec ξ i = [tTi qT

fi ]T vecteur des vitesses généralisées ducorps déformablei. t i étant le torseur de vitesse du réfé-rentielAi(xi, yi, zi) exprimé dans ce même référentiel. Lamatrice de masse,M i , est calculée à l’aide de fonctions deforme des modes retenus de l’élémenti. Lorsqu’on consi-dère des flexibilités localisées entre éléments rigides, lesmodes flexibles correspondent à des modes de corps rigidelinéarisés : les déplacements infinitésimaux du corps rigide.Dans notre approche, nous définissons pour chaque élémenti une matrice jacobienneJ i telle que

ξ i = J i q (4)

La matriceJ i lie le vecteur des vitesses généralisées ducorps déformable, exprimé dans le référentiel lié au corps, auvecteur des vitesses généralisées du manipulateur flexible.D’où l’expression de l’énergie cinétique totale du systèmemécanique

T = 1

2qT

N∑i=1

(J Ti M iJ

Ti

)q = 1

2qTMq (5)

M étant la matrice de masse du manipulateur flexible.

2.2. Énergie potentielle

L’énergie potentielle totale est composée de deux termes,énergie potentielle élastiqueVe et énergie potentielle de pe-santeurVg. L’énergie potentielle élastique d’un élément ci-nématiquei s’exprime en fonction des coordonnées flexiblesq fi de ce dernier. Nous avons la relation :

Vei = 1

2qT

fiK iq fi (6)

B.C. Bouzgarrou et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 173–180 175

La matriceK i est calculée à l’aide de fonctions de formesdes modes retenus de l’élémenti. En présence de liai-sons glissières, comme dans notre cas d’application,K i

s’exprime aussi en fonction des coordonnées articulaires,« rigides ». Dans le cas de flexibilités localisées, les coor-données flexibles sont les paramètres du torseur de déplace-ments infinitésimaux. La matriceK i est alors de dimension6× 6.

Les matrices de masse et de rigidité pour chaque élémentcinématique sont généralement obtenues par les techniquesde synthèse de composantes modales telles que la méthodede Craig–Bampton[12], ou par des méthodes d’identifica-tion sur la structure réelle de la machine.

2.3. Formulation cinématique

2.3.1. Opérateurs infinitésimauxLa méthode TCS [13], que nous adoptons dans cette

approche pour le paramétrage des manipulateurs, utilisedeux référentiels par élément cinématiquei,Ai(xi, yi, zi) etAi′(xi′, yi′ , zi′). La configuration relative de ces deux réfé-rentiels est donnée par une matrice constante 4× 4, dite deforme, notéeF i . Lorsque le corpsi est flexible, un mou-vement relatif est introduit par l’opérateur de déplacementsinfinitésimaux∆i :

∆i =

1 0 0 0

dxi 1 −δzi δyi

dyi δzi 1 −δxidzi −δyi δxi 1

(7)

On note pard i = [dxi dyi dzi]T le vecteur de translation in-finitésimale et parδi = [δxi δyi δzi]T le vecteur de rotationinfinitésimale. Les coordonnées de déplacements infinitési-maux sont liées aux coordonnées flexiblesq fi du corpsi parla relation

[d i δi]T = hi (q fi ) (8)

En petites déformations,hi est un vecteur de relations li-néaires enq fi . En dérivant la relation, Eq. (8), par rapportau temps, nous obtenons le vecteurs des vitesses infinitési-males du référentielAi′(xi′, yi′ , zi′) par rapport au référen-tiel Ai(xi, yi, zi) qui dépend uniquement deq fi :[d i δi

]T = H i q fi (9)

La matriceH i est de dimension 6× ni .

2.3.2. Configuration d’un référentieliLa configuration du référentielAi(xi, yi, zi) lié au corps

i par rapport au référentielA(i−1)′(x(i−1)′, y(i−1)′, z(i−1)′)lié au corps(i − 1) est définie à l’aide d’un opérateur ho-mogèneA(i−1)′,i . Nous avons une rotation ou une trans-lation, du référentielAi(xi, yi, zi) par rapport au référen-tiel A(i−1)′(x(i−1)′, y(i−1)′, z(i−1)′) autour ou parallèlement,à l’un des axesxi, yi et zi . D’où la configuration du réfé-rentielAi(xi, yi, zi) par rapport au référentiel global,T 0,i ,

qui est donnée par le produit de transformations homogènessuccessives :

T 0,i = A0,1F 1∆1A1′,2F 2∆2 · · ·· A(i−2)′,(i−1)F (i−1)∆(i−1)A(i−1)′,i (10)

En posantA(k−1)′,k′ = A(k−1)′,kF k , nous avons

T 0,i = A0,1′∆1A1′,2′∆2 · · ·A(i−2)′,(i−1)′A(i−1)′,i (11)

Cette relation diffère de celle d’un manipulateur ri-gide par l’introduction d’opérateurs homogènes∆k , k =1, . . . , (i − 1). Lors du développement de cette relation destermes de déplacements infinitésimaux d’ordre≥ 2 apparaî-tront. Ces termes peuvent être négligés dans l’hypothèse depetites déformations. En constatant que

∆k = I4 +

0 0 0 0

dxk 0 −δzk δyk

dyk δzk 0 −δxkdzk −δyk δxk 0

= I4 + W k (12)

où I 4 est la matrice identité 4× 4. Nous pouvons écrirel’équation

T 0,i = A0,1′(I4 + W1)A1′,2′(I4 + W2) · · ·· A(i−2)′,(i−1)′(I4 + W (i−1))A(i−1)′,i (13)

En développant cette relation nous obtenons une approxima-tion d’ordre 1 de la transformationT 0,i

T 0,i ≈(i−2∏k=0

Ak′,(k+1)′

)

+i−1∑k=0

(A0,1′A1′,2′ · · ·Ak′,(k+1)′W (k+1) · · ·

· A(i−2)′,(i−1)′A(i−1)′,i) (14)

Finalement on peut écrire :

T 0,i ≈ A0,i + E0,i (15)

où A0,i est la configuration du référentielAi(xi, yi, zi) dumanipulateur rigide équivalent.E0,i est un opérateur qui re-présente la variation infinitésimale d’ordre 1 deAi(xi, yi, zi)par rapport à sa configuration dans le cas d’un manipulateurrigide.

2.3.3. Calcul de la matrice jacobienneJ iLe calcul de la matrice jacobienne nous donne l’expres-

sion de l’énergie cinétique de l’élémenti en fonction descoordonnées généralisées du manipulateur. Nous décompo-sons d’abord chaque opérateur de déplacements infinitési-maux,∆k , en 6 opérateurs élémentaires : 3 translations et3 rotations :

∆k = ∆kx∆ky∆kz∆k,rx∆k,ry∆k,rz

= ∆k,1∆k,2 · · ·∆k,6 (16)

176 B.C. Bouzgarrou et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 173–180

Par la suite, nous avons la configuration du référentielAi(xi, yi, zi)T 0,i = A0,1′(∆1,1 · · ·∆1,6)A1′,2′(∆2,1 · · ·∆2,6) · · ·

· A(k−1)′,k′(∆k,1 · · ·∆k,6) · · ·· A(i−2)′,(i−1)′(∆i−1,1 · · ·∆i−1,6)A(i−1)′,i (17)

Pour faciliter l’écriture de la suite de l’algorithme, on définitle vecteur des paramètres[dk,1dk,2dk,3dk,4dk,5dk,6]T =[dx dy dz δx δy δz]T. Nous calculons d’abord une matricejacobienneB i de dimension 6× (i + 6(i − 1)) telle que

t i = B i

[qr1 d1,1 . . . d1,6 qr2 d2,1 . . . d2,6 . . . qrk

dk,1 . . . dk,6 . . . qr(i−1) di,1 . . . di,6 qri]T (18)

Pour calculer la colonne deBi relative à une coordonnée« rigide »qrk , nous utilisons la matriceT (k−1)′,i donnée par

T (k−1)′,i = A(k−1)′,k′(∆2,1 · · ·∆2,6) · · ·· A(i−2)′,(i−1)′(∆i−1,1 · · ·∆i−1,6)A(i−1)′,i

≈ A(k−1)′,i + E(k−1)′,i (19)

Pour calculer la colonne deBi relative à une variable« flexible »dk,l , nous utilisons la matriceT (k,l),i donnée par

T (k,l),i = (∆k,l · · ·∆k,6) · · ·A(i−2)′,(i−1)′

· (∆i−1,1 · · ·∆i−1,6)A(i−1)′,i

≈ A(k,l),i + E(k,l),i (20)

Pour calculer les colonnes de la matriceB i , nous appliquonsla méthode proposée par [13] en éliminant les termes dedéplacements infinitésimaux d’ordre≥ 2. L’algorithme estdétaillé en Annexe A. Une fois la matriceBi obtenue,nous utilisons les relations de l’Eq. (9), pour exprimert ien fonction des coordonnées généralisées du manipulateur.Nous avons :

t i = B i

1H1

1H2

. . .

H i−11

qr1

q f1

qr2

q f2

...

q f(i−1)

qri

(21)

Il est facile par la suite de déterminer la matriceJ i vérifiantla relation Eq. (4).

3. Application : machine UTGV

Nous considérons un nouveau type de machine UTGVà architecture cinématique parallèle à 3 degrés de mobilité,Fig. 1. Les mouvements dans le planXY sont assurés par unmécanisme parallèle plan à 2 degrés de mobilité. L’axeZ est

embarqué en série sur ce mécanisme. Ce type d’architecturepermet de réduire les masses mobiles et d’augmenter lacapacité de charge par l’action simultanée de plusieursmoteurs. Seules les liaisons glissières sont motorisées.

3.1. Paramétrage du manipulateur rigide

Le mécanisme considéré présente une succession deliaisons pivots et glissières dont les axes sont parallèlesou perpendiculaires. La méthode TCS [13] est applicablepour la modélisation géométrique. Cette méthode permetd’avoir des expressions simples des modèles géométriqueet cinématique. D’après Fig. 1, nous avons la définition desparamètres :

O1(x1, y1, z1) O2(x2, y2, z2) O1A= b1y1AB = s21x2 BC = b2y2 CD = s32z3DE = b3y3 EF = b4y4 FG= s54z4GH = b5y5 HI = s65x6 IO2 = b6y6

φ10 = (x0, x1)

φ43 = (x3, x4)

φ60 = (x0, x6)

La notation(xi, xj ) représente l’angle de rotation autourde l’axe z0 qui transformexi en xj en allant dans le senstrigonométrique. On définit les paramètres∆x = x2 − x1,∆y = y2 − y1 et∆x = z2 − z1. La configuration de l’outilest donnée par la position et l’orientation du référentielE(x3′, y3′, z3′). L’ensemble des coordonnées articulaires« rigides » est donnés par

qr = [s21s65s32s54φ10φ60]T (22)

3.2. Modèle dynamique

Nous allons considérer des flexibilités localisées aux élé-ments de guidage. Les liaisons glissières entre les éléments1 et 2 et les éléments 5 et 6 sont assurées chacune par 4 cha-riots. Nous introduisons deux opérateurs de déplacementsinfinitésimaux∆2 et∆5 donnés par

∆2 =

1 0 0 0

dx2 1 −δz2 δy2

dy2 δz2 1 −δx2

dz2 −δy2 δx2 1

(23)

∆5 =

1 0 0 0

dx5 1 −δz5 δy5

dy5 δz5 1 −δx5

dz5 −δy5 δx5 1

Pour simplifier l’écriture du modèle, nous introduisons lesparamètresh1 = b1 + b2 + b3 et h6 = b4 + b5 + b6.Comme les directions des liaisons glissières sont définiesà une translation près, on peut considérer que les pointsC et G ainsi que les pointsD,E et F sont confonduset appartiennent à la même droite, axe de la liaison pivotde centreE. Par la suite nous avonsb3 = b4 = 0. Lesconfigurations des éléments 3 et 4 peuvent être obtenues enparcourant la chaîne cinématique dans deux sens différents.Nous obtenons

B.C. Bouzgarrou et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 173–180 177

Fig. 1. Paramétrage du mécanisme de la machine, méthode TCS.

T 0,3′ =

1 0 0 0(−(h1 + dy2 − δx2s32)sinφ10+ (s21 + dx2 + δy2s32)cosφ10

) (cosφ10

− δz2 sinφ10

) (−sinφ10− δz2 cosφ10

) (cosφ10δy2

+ δx2 sinφ10

)((h1 + dy2 − δx2s32)cosφ10

+ (s21 + dx2 + δy2s32)sinφ10

) (sinφ10

+ δz2 cosφ10

) (cosφ10

− δz2 sinφ10

) (δy2 sinφ10

− δx2 cosφ10

)s32 + dz2 −δy2 δx2 1

(24)

T 0,4′ =

1 0 0 0

+x +((h6 + dy5 + δx5s54)sinφ60

− (s65 + dx5 − δy5s54)cosφ60

) (cosφ60

− δz5 sinφ60

) (−sinφ60− δz5 cosφ60

) (δy5 cosφ60

+ δx5 sinφ60

)

+y +(−(h6 + dy5 + δx5s54)cosφ60

− (s65 + dx5 − δy5s54)sinφ60

) (sinφ60

+ δz5 cosφ60

) (cosφ60

− δz5 sinφ60

) (δy5 sinφ60

− δx5 cosφ60

)+z − s54 + dz5 −δy5 δx5 1

(25)

Les équations de contraintes cinématiques consistent à avoir une liaison pivot enE. Ce qui nous donne 5 contraintes dont 3en position et 2 en orientation. Par la méthode décrite dans la Section 2, nous calculons les matrices jacobiennesJ i et l’énergiecinétique totale.

3.2.1. Énergie potentielleUn chariot de guidagek de l’élémenti est modélisé par une matrice de rigidité diagonaleK ik = diag[kxx kyy kzz 0 0 0].

Soit Mik le centre du chariot etδik = [dx,ik dy,ik dz,ik δx,ikδy,ik δz,ik]T le torseur de déplacement enMik . Pour calculerl’énergie potentielle élastique introduite par ce déplacement en fonction des paramètres de déplacements infinitésimaux del’élément, nous calculons la matrice de rigidité équivalente à l’origine du référentielAi′(xi′, yi′ , zi′). Nous utilisons à cet effetle principe des travaux virtuels. Si nous avons un déplacement infinitésimal de l’élémenti au pointAi′ donné par le torseurδAi′ = [dx,Ai′ dy,Ai′ dz,Ai′ δx,Ai′ δy,Ai′ δz,Ai′ ]T le torseur de déplacementδik enMik(xik, yik, zik) est défini par les relations

dx,ik = dx,Ai′ + δy,Ai′zik − δz,Ai′yik

dy,ik = dy,Ai′ + δz,Ai′xik − δx,Ai′zik

dz,ik = dz,Ai′ + δx,Ai′yik − δy,Ai′xik(26)

δx,ik = δx,Ai′

δy,ik = δy,Ai′

δz,ik = δz,Ai′

178 B.C. Bouzgarrou et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 173–180

Nous cherchons alors une matriceKAi′,k telle queδTikK ikδik = δT

Ai′KAi′,kδAi′ . Par identification nous obtenons

KAi′,k =

kxx 0 0 0 kxxzik −kxxyik0 kyy 0 −kyyzik 0 kyyxik

0 0 kzz kzzyik −kzzxki 0

0 −kyyzik kzzyik kyyz2ik + kzzy

2ik −kzzxikyik −kyyzikxik

kxxzik 0 −kzzxki −kzzxikyik kzzx2ik + kxxz

2ik −kxxyikzik

−kxxyik kyyxik 0 −kyyzikxik −kxxyikzik kxxy2ik + kyyx

2ik

(27)

L’énergie potentielle élastique introduite par le déplacement infinitésimal de l’élément cinématique du à la flexibilité deschariots est donc

Vei = 1

2δTAi′

(4∑k=1

KAi′,k

)δAi′ = 1

2δTAi′KAi′δAi′ (28)

3.3. Équations du mouvement

Les coordonnées généralisées du manipulateur sont partitionnées en trois vecteurs :s = [s21s65s32]T regroupant lescoordonnées articulaires indépendantes,ϕ = [s54φ10φ60]T regroupant les coordonnées articulaires dépendantes etδ regroupantles coordonnées relatives aux déplacements infinitésimaux. Nous calculons la matrice de masse du manipulateur comme décritdans la Section 2. La matrice de Coriolis est déterminée en utilisant les symboles de Christoffel [14]. Le modèle dynamique dumanipulateur flexibles’écrit sous la forme :

Mss Msϕ Msδ

MTsϕ Mϕϕ Mϕδ

MTsδ MT

ϕδ Mδδ

s

ϕ

δ

+

Css Csϕ Csδ

Cϕs Cϕϕ Cϕδ

Cδs Cδϕ Csϕ

s

ϕ

δ

+

gs

gϕ

gδ

+

ΦTs

ΦTϕ

ΦTδ

λ +

0 0 0

0 0 0

0 0 Kδ

s

ϕ

δ

=

S + Qs

Qϕ

Qδ

(29)

M ij ,C ij ,gi ,Φi et Qi (i, j ∈ {s,φ, δ}) sont des sous matrices de masse, des forces centrifuges et de Coriolis, des forces degravité, des équations des contraintes et des forces généralisées des actions externes et non conservatives internes. Ces matricesont les dimensions conformes à la partition définie pour les coordonnées.S est le vecteur des forces de commande appliquéespar les moteurs linéaire de dimension 3.

3.4. Simulation

Des simulations ont été réalisées dans le cas où la ma-chine est considérée comme rigide et celui où des flexi-

Fig. 2. Erreur de position suivantx (gains faibles).

bilités au niveau des éléments de guidages sont ajoutées.Les valeurs de rigidités localisées retenues correspondentà une première fréquence propre du mécanisme à 49 Hz.La trajectoire de référence de l’outil est définie par la

Fig. 3. Erreur de position suivanty (gains faibles).

B.C. Bouzgarrou et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 173–180 179

Fig. 4. Erreur de position suivantz (gains faibles).

Fig. 5. Erreur de position suivantx (gains élevés).

position initiale, (505, 550, 0) mm, et la position finale,(190, 1180, 550) mm, du pointE (Fig. 1), dans le réfé-rentielO1(x0, y0, z0). Des profils d’accélération sinusoïdauxsont imposés dans les directionsX, Y et Z avec des am-plitudes respectives de 10 m·s−2, 20 m·s−2 et 20 m·s−2,de telles valeurs sont requises en UTGV. Nous analysonsles erreurs de position au niveau de la trajectoire de l’ou-til, pointE.

Les simulations ont été effectuées à l’aide du logicielMatlab/Simulink®. Nous appliquons une commande de typeproportionnel dérivée (PD). Dans un premier temps, desvaleurs faibles de gains sont adoptées, Figs. 2–4. Nousappliquons par la suite des valeurs de gains 10 fois plusélevées, Figs. 5–7.

Lorsque les gains sont faibles, Figs. 2–4, nous observonsdes erreurs de poursuite et des erreurs statiques dans le casoù la machine est considérée comme rigide ainsi que lorsquedes flexibilités localisées sont ajoutées. L’erreur statique estplus élevée dans le cas flexible à cause des déformationsélastiques dues aux forces de la gravité. L’augmentation desvaleurs de gains permet d’améliorer les performances de lamachine, considérée comme rigide, en terme de temps deréponse et d’erreur statique. Lorsqu’on considère des flexi-bilités, une erreur statique plus importante due aux défor-

Fig. 6. Erreur de position suivanty (gains élevés).

Fig. 7. Erreur de position suivantz (gains élevés).

mations élastiques sous l’effet de la gravité est observée in-dépendamment des gains adoptés. L’augmentation des gainspermet aussi de réduire le temps de réponse. En revanche, lesoscillations autour du point d’équilibre prennent des ampli-tudes plus importantes, Figs. 5–7, ce qui affecte la stabilitédu manipulateur.

4. Conclusion

Nous avons présenté dans cet article une approche de mo-délisation des manipulateurs flexibles basée sur une approxi-mation du premier ordre des mouvements dus aux déforma-tions élastiques. Cette approche a été développée dans le butd’obtenir un modèle analytique utilisable pour le dimension-nement et la synthèse de la commande pour des machinesUTGV. Une application au cas de flexibilités localisées auniveau des éléments de guidage a été traitée. Les simula-tions présentées montrent les limitations de performances enprésence de flexibilités.

Les algorithmes présentés sont facilement exploitables enles programmant sur un logiciel de calcul symbolique telque Maple®. Les points qui restent à développer sont, d’une

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part, liés à l’extraction à partir des modèles éléments finis,ou par identification, des matrices de masse et de rigiditéde tailles raisonnables et suffisamment représentatives ducomportement. D’autre part, la relation linéaire entre lescoordonnées flexibles et les déplacements infinitésimauxdes référentiels considérés n’est pas immédiate lorsque lesformes géométriques sont complexes. Ces deux aspects fontl’objet des recherches en cours.

Annexe A

Si T = A + E est la matrice utilisée pour déterminerla colonne jq de la matrice jacobienne relative à unecoordonnéeq , nous avons les cas suivants.

Si q est relative à une translation suivantx :

j q = [A(2,2)+ E(2,2)A(2,3)+ E(2,3)

A(2,4)+ E(2,4) 0 0 0]T

Si q est relative à une translation suivanty :

j q = [A(3,2)+ E(3,2)A(3,3)+ E(3,3)

A(3,4)+ E(3,4) 0 0 0]T

Si q est relative à une translation suivantz :

j q = [A(4,2)+ E(4,2) A(4,3)+ E(4,3)

A(4,4)+ E(4,4) 0 0 0]T

Si q est relative à une rotation autour dex :

j q = [jx jy jz A(2,2)+ E(2,2) A(2,3)+ E(2,3)

A(2,4)+ E(2,4)]T

avec

jx = A(3,1)A(4,2)− A(4,1)A(3,2)+ E(3,1)A(4,2)

− E(4,1)A(3,2)+ E(4,2)A(3,1)− E(3,2)A(4,1)

jy = A(3,1)A(4,3)− A(4,1)A(3,3)+ E(3,1)A(4,3)

− E(4,1)A(3,3)+ E(4,3)A(3,1)− E(3,3)A(4,1)

jz = A(3,1)A(4,4)− A(4,1)A(3,4)+ E(3,1)A(4,4)

− E(4,1)A(3,4)+ E(4,4)A(3,1)− E(3,4)A(4,1)

Si q est relative à une rotation autour dey :

j q = [jx jy jz A(3,2)+ E(3,2) A(3,3)+ E(3,3)

A(3,4)+ E(3,4)]T

avec

jx = A(4,1)A(2,2)− A(2,1)A(4,2)+ E(4,1)A(2,2)

− E(2,1)A(4,2)+ E(2,2)A(4,1)− E(4,2)A(2,1)

jy = A(4,1)A(2,3)− A(2,1)A(4,3)+ E(4,1)A(2,3)

− E(2,1)A(4,3)+ E(2,3)A(4,1)− E(4,3)A(2,1)

jz = A(4,1)A(2,4)− A(2,1)A(4,4)+ E(4,1)A(2,4)

− E(2,1)A(4,4)+ E(2,4)A(4,1)− E(4,4)A(2,1)

Si q est relative à une rotation autour dez :

jq = [jx jy jz A(4,2)+ E(4,2) A(4,3)+ E(4,3)

A(4,4)+ E(4,4)]T

avec

jx = A(2,1)A(3,2)− A(3,1)A(2,2)+ E(2,1)A(3,2)

− E(3,1)A(2,2)+ E(3,2)A(2,1)− E(2,2)A(3,1)

jy = A(2,1)A(3,3)− A(3,1)A(2,3)+ E(2,1)A(3,3)

− E(3,1)A(2,3)+ E(3,3)A(2,1)− E(2,3)A(3,1)

jz = A(2,1)A(3,4)− A(3,1)A(2,4)+ E(2,1)A(3,4)

− E(3,1)A(2,4)+ E(3,4)A(2,1)− E(2,4)A(3,1)

Références

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