Modélisation non paramétrique de la relation entre les séries : la cointégration qualitative

MODÉLISATION NON PARAMÉTRIQUE DE LA RELATION ENTRELES SÉRIES : LA COINTÉGRATION QUALITATIVE Christophe Boya et Jean-Louis Monino De Boeck Supérieur | Innovations 2013/3 - n° 42pages 211 à 235

ISSN 1267-4982

Article disponible en ligne à l'adresse:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------http://www.cairn.info/revue-innovations-2013-3-page-211.htm

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Pour citer cet article :

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Boya Christophe et Monino Jean-Louis, « Modélisation non paramétrique de la relation entre les séries : la

cointégration qualitative »,

Innovations, 2013/3 n° 42, p. 211-235. DOI : 10.3917/inno.042.0211

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MODÉLISATION NON PARAMÉTRIQUE DE LA RELATION ENTRE LES SÉRIES :

LA COINTÉGRATION QUALITATIVEChristophe BOYA

Laboratoire TRIS, Université Sud de [email protected]

Jean-Louis MONINOLaboratoire TRIS, Université Sud de France

[email protected]

Une des techniques les plus connues et les plus usitées dans le domaine des séries temporelles est sans doute la théorie de la cointégration1. La modélisation économétrique sous-jacente montre la propriété de plusieurs séries tendancielles à posséder des mouvements conjoints, de telle sorte qu’il existe une relation dite de long terme ou encore d’équilibre2. Ainsi, même si les variables s’écartent à court terme, elles ne divergent pas trop sur le long terme. Il est donc possible que des variables soient cointégrées mais possèdent un coefficient de corrélation faible, et réciproquement. Ce phénomène peut s’expliquer par le fait que le coefficient de corrélation ne s’intéresse qu’à une notion de tendance, alors que la cointégration prend en compte la covariance des variations des variables. Il existe de nombreuses variables qui répondent à ce phénomène d’équilibre de long terme, les prix et les salaires, le revenu disponible et la consommation, les taux d’intérêt de différentes maturités, les dépenses gouvernementales et les impôts, les indices de bourses internationales… Lorsque la relation de long terme est effective, il est possible de mettre en place un modèle à correction d’erreur dans un but prévisionnel. Bien évidemment, il peut exister des groupes de variables (trois, quatre ou plus) qui soient liées par une relation de long terme. Dans notre cas, nous limiterons notre analyse à deux variables.

L’application des tests de cointégration est massive puisque les déroulements des tests proposés par Engle et Granger (1987) sont relativement simples. Néanmoins, son application repose sur un ensemble de règles statistiques et de

1. Granger (1986), Engle et Granger (1987).2. Maurel (1988).

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tests. Le concept de cointégration passe par la mise en place de tests paramé-triques aux hypothèses strictes, et sur les connaissances aux préalables des lois statistiques qui régissent les variables étudiées. Le concept de cointégration nécessite dans un premier temps, la non-stationnarité des variables considé-rées, c’est-à-dire des variables intégrées à l’ordre 1 :

x It 1( )y It 1( )

Granger (1986) recommande l’utilisation du test de Dickey et Fuller (1981) et leurs valeurs critiques (1979). Lorsque, la non stationnarité est vérifiée, il existe une combinaison linéaire : z x yt t t= − a. . Cette relation dite de long terme est estimée par la régression des moindres carrés (cadre de Engle et Granger, 1987). Enfin, l’hypothèse de cointégration est validée, si la combinaison linéaire suit un processus, stationnaire, c’est-à-dire, z It 0( ). Ce dernier test passe par l’utilisation des tests de racine unité de Dickey Fuller 1979, 1981 ; Phillips Perron 1988 ; ou encore test de KPSS (1992), ou bien sur les statistiques de Durbin-Watson (1950, 1951). Engle et Granger (1987) ont mis en évidence la relative égalité de performances des divers tests. Cependant, ils recommandent l’utilisation du test de Dickey-Fuller augmenté car ce test a presque toujours la même valeur critique et approxi-mativement la même puissance. Engle et Granger (1987) ainsi que Engle et Yoo (1987) ont tabulé, pour chacun des tests, les valeurs critiques puisque les méthodes concernant la cointégration sont différentes des approches tra-ditionnelles et nécessitent leurs propres valeurs critiques pour l’acceptation ou le rejet de l’hypothèse nulle. Malgré, sa facilité d’approche, le principe de cointégration reste une procédure lourde à mettre en place.

Ne serait-il, cependant, pas possible de mettre en évidence la même rela-tion de long terme entre une paire de variables d’une manière moins stricte et tout aussi efficace dans un même but d’effectuer des prévisions. Nous proposons d’utiliser une méthodologie qualitative. Cette dernière permet d’alléger la procédure d’analyse, et d’instaurer l’usage de probabilités pour la règle de décision. En outre, ils ont l’avantage de traiter des données à partir d’observations qui proviennent de populations différentes.

Dans ce papier nous proposons d’examiner les mouvements de variables connues pour leur relation de cointégration, afin de mettre en place une approche alternative basée sur des données qualitatives de la mesure d’une liaison entre deux variables. Pour cela, nous nous intéressons aux variations qualitatives d’une série chronologique. L’attention se focalise autour de deux événements complémentaires, la « montée » et la « descente ». Les séries de montées (hausses) et de descentes (baisses) sont décomposées suivant leurs

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signes, c’est-à-dire positives, négatives (ou encore nulles si, constante entre t et t + 1). La série chronologique devient un modèle à réponse binaire ou ternaire, ne relevant que le signe de l’évolution entre deux points du temps. Dans cette nouvelle approche, les valeurs des nombres sont mises de côté pour ne retenir que la forme qualitative, à savoir le signe de l’évolution, positif ou négatif (ou encore nul). Cette nouvelle approche ne s’intéresse en aucun cas à l’amplitude de la variation entre deux instants du temps, mais uniquement à son signe. Une telle approche mesure la liaison entre les variables d’un point de vue non paramétrique. Ainsi, cette nouvelle méthodologie permet de mettre en évidence la concomitance des réactions entre deux séries chronologiques.

Après avoir rappelé les notions de cointégration dans une introduction générale, nous verrons, dans une revue de la littérature, quelques dévelop-pements sur les variables macroéconomiques, immobilières et financières connues pour leurs relations étroites entre elles. Nous verrons dans une se-conde partie, la mise en place du modèle non paramétrique proposée comme alternative à la méthodologie de cointégration de Engle et Granger (1987). Une troisième partie, examinera le problème des régressions fallacieuses, afin de mettre en place un encadrement statistique basé sur la méthodologie du Bootstrap, pour permettre la distinction entre mouvements conjoints et mouvements aléatoires. Ensuite, nous passerons à une analyse empirique du modèle sur des données de la littérature, et élargirons l’analyse grâce aux simulations de Monte Carlo, sur des cas spécifiques. Enfin, notre dernière section fera office de conclusion générale et d’ouverture sur des applications futures et pour des domaines plus larges.

REVUE DE LA LITTÉRATURE

Suite aux travaux de Granger (1986), Engle et Granger (1987) ont appli-qué les tests de cointégration sur le revenu disponible et la consommation aux États-Unis sur des données trimestrielles. Les tests basés sur la méthode de Durbin-Watson (1950, 1951) et de Dickey-Fuller (1979, 1981) permettaient de rejeter l’hypothèse d’absence de cointégration. Ainsi, les séries de revenu et de consommation sont cointégrées. Dini (1998) utilise les données trimes-trielles américaines et suisses pour les variables du revenu disponible et de la consommation, sur la période 1980-1997. Les données sont issues du CREA (Centre de Recherche en Économie Appliquée). Ses résultats acceptent l’hypo-thèse de la cointégration, et vérifient statistiquement la corrélation de long terme entre le revenu disponible et la consommation. L’auteur confirme la relation de cointégration entre les deux variables, tout comme l’avaient démontré Engle et

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Granger (1987). Jean Baptiste (2003), utilisant les données trimestrielles de l’INSEE de 1973 à 1999, met en évidence l’existence d’au moins une relation de cointégration de long terme entre la consommation, le revenu, le taux bancaire et la confiance des consommateurs.

Fatai, Oxley et Scrimgeour (2001, 2004) ont examiné une approche ori-ginale entre la consommation énergétique et l’emploi. Les auteurs utilisent les données de l’OCDE pour la Nouvelle-Zélande entre 1960 et 1999 et trouvent une relation causale entre la consommation de pétrole, électrique et l’emploi. En outre, ils montrent l’existence d’une relation de cointégra-tion entre le PIB réel et l’emploi. Les auteurs prouvent économétriquement une corrélation sous-jacente de la pensée économique. Hondroyiannis et al. (2002) examinent le lien entre le PIB, la consommation énergétique et l’indice des prix à la consommation pour la Grèce sur des données annuelles de 1960 à 1996. Ils trouvent l’existence d’une causalité bi directionnelle entre la consommation énergétique, et le PIB. Lise et Van Montfort (2005) étudient la relation entre PIB et énergie pour la Turquie pour la période de 1970 à 2003. Leurs résultats montrent que la consommation énergétique et le PIB sont cointégrés.

Morel et Perron (2003) s’intéressent à la relation Marshall-Lerner ou plus précisément l’impact des variations du taux de change sur le commerce entre les pays. Le but des auteurs est de mettre en évidence le lien de cointégra-tion entre taux de change et exportations au Canada. Les auteurs utilisent les données trimestrielles canadiennes de 1980 à 2002, issues de la base de données CANSIM de statistique du Canada. Le taux de change réel a été calculé à partir du taux de change nominal (taux de change multilatéral C-6 de la Banque du Canada) multiplié par le rapport des prix étrangers aux prix nationaux. Morel et Perron (2003) confirment le lien de cointégration entre le taux de change réel et les exportations de biens, de services et de biens et services. De plus, ils découvrent que « les exportations nettes de services sont beaucoup plus sensibles aux variations du taux de change réel que les exportations nettes de biens ». Cette sensibilité des exportations nettes de services vis-à-vis du taux de change réel comparativement aux exportations nettes de biens pourrait s’expliquer par le fait que « la catégorie des services inclut des éléments dont la demande est beaucoup plus élastique que la demande des biens en général ».

Gyourko et Kleim (1992) s’intéressent à la corrélation entre le rende-ment des actifs et celui du logement pour le marché US. Les auteurs trouvent une corrélation mensuelle de l’ordre de 0,26. Fu et Ng (2001) montrent une corrélation qui s’élève à 0,44 à Hong Kong entre le rendement du logement et celui des actifs. Oikarinen (2006) étudie sur le marché Finlandais le lien entre les prix des maisons, les bons du trésor et le marché des actifs financiers

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pour des données trimestrielles de 1970 à 2005. L’auteur trouve que l’appré-ciation des actions causait le changement des prix du logement avant 1993. Depuis 1993, il semble subsister une relation de long terme entre l’apprécia-tion du prix des actions et celui du logement. L’auteur ajoute que d’une ma-nière générale, la corrélation entre ces deux marchés est toujours positive3.

Approche non paramétrique qualitative

Engle et Granger (1991) ont mis en évidence quelques propriétés concer-nant la relation de cointégration :1. x y I alors z a x b y It t t t t, , . . 0 0( ) = + ( )

2. x I y I alors z a x b y It t t t t 1 0 1( ) ( ) = + ( ), , . .

3. x I y I alors

z a x b y I x et yt t

t t t t

1 11( ) ( ) = + ( )

, ,. . , tt

t t t t t

ne sont pascointégrées

z a x b y I x et y so

. . ,= + ( ) 0 nnt cointégrées

Les deux premiers cas ne permettent pas de conclure sur l’existence de la relation de cointégration entre une paire de variables. Le dernier cas pause l’hypothèse indissociable de la notion de cointégration qui est la non-sta-tionnarité des variables considérées, c’est-à-dire des variables intégrées à l’ordre 1. Dans notre approche, nous tenterons une approche basée dans un premier temps, sur les séries non stationnaires, puis sur les séries station-naires afin d’examiner si l’approche qualitative permet de relater l’existence d’un lien entre les différents types de variables (stationnaires ou non).

Mise en place du modèle

Nous reprenons, l’hypothèse nécessaire à l’existence d’une relation de cointégration classique. Soit deux variables non stationnaires, intégrées à l’ordre un, définies par :

x I

y It

t

1

1

( )( )

Nous proposons de mettre en évidence la relation de cointégration en uti-

lisant une méthodologie non paramétrique. Nous considérons les variables xt et yt, deux processus stochastiques finis discrets de sorte que :

x t

y t

t

t

, , ,...

, , ,...

={ }={ }

0 1

0 1

3. Exception faite pour Hoesli et Hamelink (1997) pour des données suisses.

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L’étude des séries en différences premières, ∆xt et ∆yt sont stationnaires.

∆∆

x I

y It

t

0

0

( )( )

Dans notre méthodologie, nous examinons exclusivement les signes des évolutions successives entre deux points du temps de ces deux processus sto-chastiques finis discrets, c’est-à-dire ∆xt et ∆yt . Il est rare que les ordres de grandeurs de séries chronologiques soient les mêmes. Dans notre approche, nous mettons de côté l’amplitude des variations, pour ne retenir que le signe. Ainsi, nous transformons nos séries en données qualitatives, en choix bi-naire. Soit :

∆∆

∆

∆

x

y

x

y

t

t

i

i

−

−

1

1

1

1

Ainsi, les variations sont distinguées successivement entre celles qui sont positives et celles qui sont négatives, pour chacune des séries. L’utilisation des données 1 et -1, permet de signifier la pente entre deux points du temps. Dans un modèle à choix binaire, il est courant d’utiliser 1 et 0. Néanmoins, nous préférons conserver la valeur nulle 0 pour le cas où il n’y a pas d’évolu-tion entre deux points du temps. La représentation graphique des fonctions devient bornée − +[ ]1 1, . Cette méthodologie permet d’examiner les varia-tions successives des deux processus stochastiques finis discrets. Ainsi, nous abordons dans notre méthodologie, la similitude des évolutions qui peuvent être positives ou négatives entre deux séries. Nous obtenons par conséquent, une règle de décision probabiliste :

prob z prob x y p

prob z prob x y pro

i i i

i i i

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

=( ) = =( ) =

=( ) = ≠( ) = −

1

0 1 bb x y pi i∆ ∆=( ) = −

1,

Et un nouveau processus ∆zt qui en découle, basé sur la comparaison entre ∆ ∆x yt t( ). La probabilité prob p( ) est définie comme une mesure de la Codépendance qualitative entre les variables étudiées. Or, cette mesure de Codépendance peut-elle être envisagée comme un moyen alternatif d’ana-lyser la cointégration entre variables ou seulement comme un coefficient de corrélation qualitatif.

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Chaînes de Markov

Le processus zt est donc un processus stochastique fini discret, mais l’étude par l’intermédiaire des variations qualitatives fait ressortir le processus ∆zt, qui possède les mêmes propriétés mais avec deux réalisations possibles 0 ou 1. Notons fn, avec n = 0 1, ,... la fonction résultats de ∆zt. Supposons qu’il existe une probabilité de transition notée pij , indépendante du temps (Kemeny et Snell, 1960). Alors nous avons :

p f s f sij n j n i= = = −Pr 1

Ou i j i i Mn, , ,...,1 1− ∈ , ou les éléments M sont les états. Nous sommes en présence d’une Chaîne de Markov. La probabilité pij représente la probabi-lité que le processus transite d’un état i vers un état j, de sorte que pij ≥ 0 avec :

p

j

iji

=

==

∞∑ 1

0 10

, ,...

Les probabilités de transition pour notre cas sont les suivantes :

p

p

p

p

00

10

11

22

1

1

= −== −=

a

a

b

b

La matrice de transition P est donc de la forme :

P =−

−

1

1

a b

a b

La distribution de probabilité est de la forme :

pb

a ba

a b=

= −( )+ +

, ,p p1

Kemeny et Snell (1960) ont montré le comportement ergodique des

chaînes de Markov, avec limq

q

→∞( ) =P P . Soit le vecteur p p p= ( )−0 1,..., k

t, une

chaîne de Markov est stationnaire pour p P P= , et pour p pii

k

i=

−∑ = ≥

0

11 0, .

Nous retrouvons les probabilités p p,1 −( ) qui correspondent successivement

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à la probabilité d’accord et de désaccord entre ∆xt et ∆yt . Nous pouvons défi-nir le coefficient non paramétrique noté r avec :

r = ( ) − −( ){ }prob p prob p1

Nous obtenons trois critères de décision :

r ==

> 0

0

corrélation positive

< 0 corrélation négative

absencee de corrélation

Les chaînes de Markov ont été largement utilisées dans les phénomènes de trafic comme les réseaux de télécommunications ou encore les files d’at-tentes dans les magasins depuis Erlang (1917) jusqu’à Ching et Ng (2006). Ces phénomènes convergent vers une loi statistique dite Loi de Poisson (de paramètre l ). Toutefois, en application du théorème central limite4, lorsque l’espérance est supérieure à la valeur 5, nous pouvons l’approximer par une loi normale. Par conséquent, nous avons, pour notre série ∆zt :

∆z N Espérance Ecart typet , ( )Après avoir mis en place le modèle de cointégration qualitatif, nous al-

lons examiner le problème des régressions fallacieuses qui est un élément central de la théorie de la cointégration. Cette étape nous permettra de pré-senter un encadrement statistique de la probabilité prob p( ), afin de pouvoir discerner le lien de cointégration. L’étape suivante nous amènera à répondre à la question centrale, sur la qualité de la probabilité prob p( ), mesure alter-native de cointégration ou simple coefficient qualitatif.

Régressions fallacieuses et encadrement de la règle de décision

Problématique

Le traitement de la notion de cointégration fait surgir le problème de régres-sion fallacieuse (Granger, Newbold, 1974). En effet, il est possible que deux marches aléatoires, intégrées à l’ordre 1, suivent, en fait, un processus intégré à l’ordre 0. Or, il ne subsiste aucune raison pour que deux processus indépen-dants soient liés dans le temps, c’est le phénomène connu sous le nom de spurious regression, ou régressions fallacieuses (fausses régressions, Gouriéroux et Monfort 1995). La conclusion de relation de cointégration est alors erronée, puisque

4. Théorème Central Limite de Moivre (1733), et Laplace (1812).

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nous sommes en présence de deux processus aléatoires indépendants. Nous tentons donc de vérifier si deux processus aléatoires intégrés à l’ordre 1, peuvent donner lieu à une relation de long terme en utilisant la méthodolo-gie non paramétrique.

Identification

Nous procédons à la simulation de 100, 500, 1 000 et 5 000 réalisations des processus xt t

T{ } =1 et yt t

T{ } =1, pour une taille d’échantillon T = 250, selon

le modèle :

x xt t t= +−1 ey yt t t= +−1 m

Avec x y0 0 0= = , et et i i d N . . , 0 1( ) , mt i i d N . . , 0 1( ) . En outre, nous supposons que E s tt se m( ) = ∀( )0 , . Les coefficients de corrélations se situent entre (-0.21 ; 0.20) pour les processus simulés. Ceci indique une indépen-dance de tendance entre les séries simulées. L’application de notre métho-dologie nous invite à utiliser les variations qualitatives (ou accroissements qualitatifs) telles que :

∆x x xt t t t≡ − =

−−

1

1

1e

∆y y yt t t t≡ − =−

−1

1

1m

Nous étudions la relation deux à deux pour ces processus basés sur les accroissements qualitatifs des marches aléatoires, et nous faisons ressortir la probabilité (p). Nous vérifions donc la concordance des signes :

prob p prob signe signei i( ) = ( ) = ( ) { }e mNous faisons varier le nombre des simulations réalisées, qui est d’abord

fixé à S = 100, puis S = 500, puis S = 1000 et enfin S = 5 000 . Les résultats sont reportés dans le tableau ci-dessous :

Tableau 1 – Résultats des simulations

S = 100 S = 500 S = 1 000 S = 5 000

Moyenne prob (p) 0.497 0.500 0.500 0.500

Écart type prob (p) 0.0335 0.0323 0.0314 0.0316

Minimum prob (p) 0.396 0.396 0.396 0.396

Maximum prob (p) 0.588 0.616 0.616 0.616

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Nous remarquons que la valeur moyenne de la probabilité prob p( ) est égale quel que soit le nombre de simulations réalisées, et l’écart type se réduit lorsque le nombre de simulations augmente. Le résultat moyen de la probabilité prob p( ) se situe à une valeur de 0.5, et indique une indépendance entre les deux séries. Néanmoins, il faut noter que les valeurs maximales et mini-males, indiquent l’encadrement de la probabilité prob p( ). Cet encadrement se situe dans une fourchette qui oscille entre 0.396 et 0.58, pour S = 100 ; et entre 0.396 et 0.616 pour S = 500 1000 5 000, , . Ces résultats pourraient indi-quer une possible relation entre les séries indépendantes et donc l’existence possible de relations fallacieuses. Il existe une contradiction entre les résul-tats moyens de la probabilité prob p( ) et l’encadrement de cette valeur. Afin de résoudre ce problème, on fixe un encadrement à la valeur (p) trouvée, lequel va permettre d’identifier l’existence d’une plage de la probabilité (p) à partir de laquelle, la relation de mouvements conjoints (positifs ou négatifs) existerait réellement.

Encadrement statistique ou intervalle de confiance

Pour encadrer de manière pertinente la probabilité (p), nous utilisons la technique du Bootstrap (Efron et Tibshirani, 1994) pour nos diverses simulations 100, 500, 1 000, 5 000. Ainsi, nous créons artificiellement la loi statistique sous-jacente par le rééchantillonnage. Soit l’échantillon de n

observations :

x x xn1 2, ,..., ,

Lesquelles représentent les valeurs des différentes probabilités prob p( ). Ces données sont indépendantes les unes des autres. La technique du Bootstrap consiste à rééchantillonner (avec remise) l’échantillon initial. Ces échantil-lons successifs sont notés :

x x xB1 2* * *, ,...,

Ou B représente le nombre de rééchantillonnages effectués. Considérons , un estimateur de la moyenne de ces B répétitions :

Alors, l’estimation « bootstrapée » de l’erreur standard est l’écart type des réplications du Bootstrap.

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Efron et Tibshirani (1994) ont précisé qu’il était nécessaire d’effectuer le Bootstrap entre 50 et 200 fois. Néanmoins, comme l’ont précisé Cavagna, Dumazert et Monino (2004), il est nécessaire d’effectuer le Bootstrap 120 fois, afin de mettre en évidence la notion de convergence. La technique du Bootstrap permet aussi de construire un intervalle de confiance de l’échan-tillon bootstrapé5. Nous définissons ensuite, un intervalle de confiance par la méthode de l’erreur standard. Soit :

Soit, z a( ) indique le percentile 100.a th d’une distribution standard nor-male. Les percentiles d’encadrement sont :

Les résultats donnent l’encadrement suivant pour la probabilité (p) à 5 %, pour les diverses simulations de 250 observations :

Tableau 2 – Règle de décision pour la cointégration qualitative

S = 100 S = 500 S = 1 000 S = 5 000

Percentile 0.05 0.436 0.436 0.438 0.440

Percentile 0.95 0.564 0.564 0.562 0.564

Les valeurs encadrent la probabilité (p) à l’intérieur de laquelle, il n’existe aucun lien de mouvements conjoints entre variables. Nous fournissons donc un encadrement des valeurs de probabilité (p) sur l’effectif empirique de départ. L’utilisation du Bootstrap sur la valeur de probabilité (p) permet de donner un encadrement robuste aux valeurs trouvées afin d’éviter l’erreur de décision susdite concernant la statistique non paramétrique. À partir de ce résultat, nous pouvons tester l’hypothèse nulle d’absence de relation de coin-tégration. Le tableau indique le pourcentage de rejet de l’hypothèse nulle.

5. Notons que Matouk et Monino (2006) utilisèrent cette technique afin de donner un inter-valle de la statistique de Hurst (1951), pour repérer si le processus des rendements du CAC 40 sur la période de janvier 1926 à juin 2005 était gaussien.

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Tableau 3 – Test de l’hypothèse nulle

S = 100 S = 500 S = 1 000 S = 5 000

Pourcentage de rejet 3 % 2 % 2.3 % 2.45 %

Les résultats indiquent à plus de 97 % des cas quelle que soit la taille de la simulation, l’absence de cointégration entre les séries. Ce résultat est très encourageant, car la méthodologie de la cointégration qualitative per-met d’éviter le problème des régressions fallacieuses de Granger et Newbold (1974). Néanmoins, il est impératif de considérer le comportement de la méthodologie qualitative sur des variables autres que des processus indépen-dants, afin de confirmer ce premier résultat.

TESTS EMPIRIQUES ET SIMULATIONS

Données réelles

Dans cette section, nous proposons de reprendre trois différentes études concernant des relations de cointégration entre séries temporelles, et de les réétudier suivant notre méthodologie non paramétrique. L’intérêt de cette démarche est de pouvoir confirmer les résultats des différentes études par l’utilisation de la méthode qualitative. Pour cela, nous étudions la relation entre revenu disponible et consommation pour les données trimestrielles suisses de Dini (1998). Les représentations graphiques des courbes de consommation et du revenu disponible possèdent un cycle récurrent pour chaque trimestre (annexe 1). Ensuite, nous nous attacherons à la relation de Morel et Perron (2003) entre le taux de change réel et les exportations de biens, de services et de biens et services, pour les données trimestrielles du Canada. Les graphes des variables (annexe 2) montrent des tendances différentes entre les exportations nettes canadiennes de biens, et de services. Enfin, nous examinerons la relation entre le marché des actions et celui du logement pour la Finlande de Oikarinen (2006), pour des données trimes-trielles (annexe 3). Afin d’être en parfaite cohérence avec ces études, nous reprenons les mêmes périodes utilisées par les différents auteurs. Les études des différents auteurs ont montré la non-stationnarité des variables étudiées. Les différentes variables sont toutes intégrées à l’ordre 1. Nous appliquons directement la modélisation de nature non paramétrique.

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Résultats

Les résultats ci-dessous s’intéressent à la probabilité prob p( ). Nous notons sous forme d’abréviations les variables étudiées comme suit :

• « Cons »: consommation Suisse,• « RD » : revenu disponible Suisse,• « TC » : taux de change réel Canada,• « XB » : exportations de biens Canada,• « XS » : exportations de services Canada,• « XBS » : exportations de biens et services Canada,• « PLR » : indice du prix du logement réel finlandais,• « PLN » : indice du prix du logement nominal finlandais,• « IF » : indice du marché finlandais.

Une remarque précédente a fait surgir le fait que la probabilité p pouvait être assimilée à un coefficient de corrélation qualitatif. Le tableau ci-dessous indique les coefficients de corrélation entre les séries étudiées.

Tableau 4 – Statistiques des variables étudiées

Dini 1998 Morel et Perron 2003 Oikarinen 2005

Cons-RD TC-XB TC-XS TC-XBS PLR-IF PLN-IF

Corrélation 0.89 -0.46 0.95 0.36 0.52 0.78

Le tableau indique des coefficients de corrélation plus ou moins impor-tants pour les différentes variables étudiées. Ces coefficients sont très forts pour trois types de relations avec des valeurs de 0.78, 0.89, 0.95. Néanmoins, les trois autres relations indiquent des coefficients relativement faibles -0.46, 0.36, 0.52.

Nous testons l’hypothèse nulle de non cointégration. Nous envisageons les séries d’accroissements suivant des retards de 1 à 4 notés q ={ }1 2 3 4, , , , puisque les données sont toutes de nature trimestrielle. Ainsi, nous pourrons appré-cier si des divergences existent au niveau de la méthodologie qualitative. En outre, nous indiquons les résultats des divers auteurs avec l’utilisation de la cointégration classique et les retards utilisés. Les résultats indiquent la pro-babilité p pour chaque cas.

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Tableau 5 – Résultats de la cointégration qualitative

Cointégrationqualitative



q = 1 0.46 0.49 0.60* 0.50 0.67* 0.65*

q = 2 0.28* 0.57* 0.70* 0.61* 0.77* 0.64*

q = 3 0.42* 0.66* 0.78* 0.67* 0.79* 0.65*

q = 4 0.83* 0.59* 0.74* 0.65* 0.75* 0.65*

Cointégrationclassique

H0 rejetée

q = 4H0 rejetée

q = 4H0 rejetée

q = 4H0 rejetée

q = 1H0 rejetée

q = 1H0 rejetée

Sous l’hypothèse nulle de non cointégration, les résultats marqués d’un astérisque sont significatifs à 5 % et admettent la cointégration. Concernant le revenu et la consommation en Suisse, nous remarquons un lien de coin-tégration positive pour un retard de 4. Pour des retards de 2, 3 il existerait un lien de cointégration négative. Enfin, pour un retard de 1, aucune rela-tion de cointégration n’existe. Ces résultats sont logiques étant donné les cycles saisonniers réguliers des deux séries. Toutefois, la prise en compte du phénomène par le retard d’ordre 4 permet d’obtenir la relation de cointé-gration entre revenu et consommation. Dini (1998) n’indique pas le retard utilisé pour sa modélisation, mais confirme le lien de cointégration entre revenue disponible et consommation en Suisse. Concernant, les données de Morel et Perron (2003) nous pouvons remarquer que pour les exportations de biens, l’hypothèse nulle est acceptée pour un retard de 1, ensuite, elle est constamment rejetée. Il en est de même pour les exportations de biens et de services. Les résultats montrent l’existence de mouvements conjoints entre chaque série d’exportation et le taux de change réel Canadien tout comme Morel et Perron (2003). De même, la méthodologie non paramétrique iden-tifie la sensibilité des exportations nettes de services comparativement aux exportations nettes de biens. De plus, la méthodologie qualitative permet de donner une mesure de cette sensibilité grâce à la corrélation non paramé-trique. Cette mesure permet d’afficher les plus proches mouvements entre les séries analysées. Enfin, concernant les exportations de biens, l’hypothèse nulle de non cointégration est rejetée dans tous les cas. Notons toutefois, que les auteurs ont étudié les séries au retard 4. Nous retrouvons le lien de cointégra-tion entre les trois séries d’exportations et le taux de change réel multilatéral. Enfin, pour le lien entre marché financier et prix du logement en Finlande, nous remarquons un lien de cointégration pour tous les retards. Les résul-tats sont donc en ligne avec ceux de Oikarinen (2006) qui a utilisé une

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méthodologie plus lourde du type VAR. La méthodologie de cointégration qualitative arrive aux mêmes résultats que la technique classique, en évitant la lourdeur statistique des tests de Student et de racine unité. En outre, nous pouvons remarquer que les probabilités p ne sont pas forcément proches des coefficients de corrélation entre les variables observées. Ce résultat permet d’affirmer que la probabilité p ne peut être considérée comme un coefficient de corrélation qualitatif. Ce résultat permet d’affirmer que la méthodologie qualitative proposée peut être un moyen alternatif d’approcher la relation de cointégration. Dans sa globalité, la méthodologie de la cointégration qualitative permet de fournir des résultats similaires à ceux des auteurs qui ont utilisé les techniques classiques de cointégration. Cependant, la mise en place de cette nouvelle approche qualitative évite les tests d’hypothèse paramétriques très lourds nécessaires pour effectuer pour la cointégration de Engle et Granger (1987).

Tableau 6 – Encadrement Statistique pour la cointégration qualitative



q = 1 N (32,4.1) N (43,4.7) N (53,4.6) N (44, 4.7) N (89,5.4) N (87,5.48)

q = 2 N (19,3.7) N (50,6.1) N (61,4.3) N (53,4.5) N (101,4.8) N (85,5.5)

q = 3 N (28,4.0) N (57,4.3) N (67,3.8) N (58,4.3) N (104,4.6) N (85,5.5)

q = 4 N (55,3.0) N (50,4.5) N (63,4.0) N (56,4.3) N (97,4.9) N (84,5.4)

Nous notons que, plus le coefficient de corrélation se trouve élevé, plus l’espérance est forte et l’écart type réduit. Ces exemples de la littérature donnent un poids supplémentaire à la méthodologie qualitative. Toutefois, nous n’avons analysé que 6 relations de cointégration. L’affirmation de la méthodologie qualitative au même titre que la cointégration classique passe par des tests plus conséquents.

Simulation de Monte Carlo de processus non stationnaire

Afin de pouvoir conclure sur le fait que la probabilité p peut être une mesure de cointégration alternatif de celui de la cointégration classique, il est essentiel de pouvoir affirmer que cette valeur de p n’est pas une autre ma-nière d’obtenir un coefficient de corrélation de nature qualitatif, mais aussi de trouver des résultats communs en quantité. Nous utilisons les simulations de Monte Carlo, pour créer 100 paires de variables (soit 200 variables) non stationnaires de 250 observations. Les processus non stationnaires sont de la

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forme ARIMA p d q, ,( ) avec d = 1, et p = 0 1 0 9. , , . (soit au total 900 paires de variables à tester) de la forme suivante :

x x x xt t t t t= + −( ) +− − −1 1 1 2f e

Avec et i i d N . . , 0 1( ). Nous testons l’hypothèse nulle d’absence de coin-tégration entre les paires de variables, en faisant varier le paramètre autoré-gressif de 0.1 à 0.9. Les résultats montrent le pourcentage d’acceptation de l’hypothèse nulle dans le cas de la cointégration classique et de la cointégra-tion qualitative en montrant la probabilité prob p( ). La colonne lien indique le pourcentage d’accord entre les deux méthodologies. Nous présentons aus-si, l’amplitude du coefficient de corrélation pour les paires de variables, et le pourcentage de fois ou la valeur absolue du coefficient de corrélation est égale à la probabilité prob p( ).

Tableau 7 – Résultats pour processus non stationnaires

ARIMA(p, d, q)

CointégrationClassique

Cointégration qualitative

Accordméthodologies Amplitude de r Prob (p) ≈r

p = 0.1 92 % 100 % 92 % (-0.85 ; 0.90) 14 %

p = 0.2 92 % 100 % 92 % (-0.85 ; 0.90) 16 %

p = 0.3 92 % 98 % 94 % (-0.85 ; 0.90) 14 %

p = 0.4 92 % 98 % 90 % (-0.90 ; 0.90) 10 %

p = 0.5 92 % 96 % 92 % (-0.90 ; 0.90) 14 %

p = 0.6 92 % 96 % 92 % (-0.90 ; 0.90) 12 %

p = 0.7 90 % 92 % 84 % (-0.90 ; 0.90) 16 %

p = 0.8 90 % 90 % 86 % (-0.90 ; 0.90) 20 %

p = 0.9 88 % 86 % 78 % (-0.90 ; 0.90) 10 %

La première colonne nous présente les résultats d’acceptation de l’hypo-thèse nulle d’absence de cointégration pour les 100 paires de variables au seuil de 5 % selon les tables de Engle et Yoo, (1987). Lorsque le paramètre auto-régressif augmente, quelques paires deviennent cointégrées. D’une manière générale, ces paires supplémentaires étaient à la limite de la cointégration en fonction des tables de Engle et Yoo (1987). La seconde colonne montre les résultats d’acceptation de l’hypothèse nulle lors de l’utilisation de la méthode qualitative. Nous remarquons que pour p p= =0 1 0 2. , . , la cointégration qua-litative (seuil de 5 % tabulés par le Bootstrap) ne détecte pas les relations de cointégration détectées par la méthode classique. Lorsque p = 0 3. , la mé-thode qualitative trouve 2 cas de cointégration qui sont identiques à ceux de la méthode classique. Pour p = 0 4. , la cointégration qualitative détecte 2 cas de cointégration non détectés par la méthode traditionnelle. Lorsque p = 0 5 0 9. , , . , il y a toujours deux paires de variables ou les deux techniques

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sont d’accords, les autres cas divergent entre les deux méthodologies. La troi-sième colonne montre le pourcentage de fois ou les méthodologies sont d’ac-cords entre elles. Nous pouvons remarquer que ce pourcentage est stable pour des valeurs autorégressives inférieures à 0.7. Au-delà, les désaccords entre les méthodologies sont beaucoup plus importants. Ces résultats sont acceptables puisque plus de 8 fois sur 10, les résultats sont en accords. La dernière colonne présente le pourcentage de fois ou la valeur prob p( ) est égale au coefficient de corrélation entre les paires de variables. Nous avons effectué cet encadre-ment à ±10% . Les résultats ne semblent pas assez significatifs pour permettre d’affirmer que la probabilité prob p( ) soit susceptible d’être considérée comme un coefficient de corrélation entre les variables.

Le tableau ci-dessous montre le pourcentage de fois ou le coefficient de corrélation est supérieur à 0.6 pour les paires de variables, avec le pourcen-tage de fois ou la cointégration rejette l’hypothèse nulle. La dernière colonne indique lorsque l’hypothèse nulle est rejetée si la probabilité prob p( ) est égale au coefficient de corrélation.

Tableau 8 – Vérification entre corrélation et cointégration6

0 6. < r H r0 0 6 rejetée . <( ) Prob (p) ≈r

p = 0.1 20 % 0 %

p = 0.2 20 % 0 %

p = 0.3 20 % 10 %6 Non

p = 0.4 20 % 0 %

p = 0.5 20 % 10 % Non

p = 0.6 20 % 20 % Non

p = 0.7 20 % 30 % Non

p = 0.8 20 % 30 % Non

p = 0.9 24 % 30 % Non

Les simulations ont montré que la cointégration qualitative accepte l’hypothèse nulle malgré des coefficients de corrélation élevés. Pour p = 0.3 et p = 0.6, les 10 % représentent deux cas de rejet de l’hypothèse nulle qui sont en accord avec la cointégration classique. Ces deux cas sont présents pour les ordres supérieurs. Malgré cela, il est important de noter que pour des coefficients autorégressifs élevés, au-delà de 0.6, la cointégration qualita-tive semble légèrement affectée par ces coefficients de corrélation pour reje-ter l’hypothèse nulle sans que ces derniers soient proches de la probabilité

6. Pour p = 0.3 ; p = 0.6 et p = 0.5, la cointégration rejettent l’hypothèse nulle tout comme la cointégration classique.

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prob p( ). Pour conclure, nous pouvons présenter la probabilité prob p( ) comme un indicateur alternatif de relation de cointégration.

La méthodologie qualitative est basée sur des techniques non paramé-triques. Dans un premier temps nous avons pris pour hypothèse, le fait que les deux variables étudiées étaient non stationnaires. Nous allons développer la méthodologie qualitative dans le cas où les variables seraient stationnaires, afin d’analyser si la méthodologie qualitative est généralisable dans tous les cas.

Simulation de Monte Carlo sur processus stationnaires

Dans cette partie, nous reconsidérons la méthodologie qualitative, mais partons du fait que les deux séries étudiées au départ sont stationnaires. La règle de décision reste inchangée :

prob z prob x y p

prob z prob x y pro

i i i

i i i

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

=( ) = =( ) =

=( ) = ≠( ) = −

1

0 1 bb x y pi i∆ ∆=( ) = −

1

Dans le cas présent, nous essayons de tester la méthodologie qualitative pour des variables stationnaires. Pour cela, nous utilisons les simulations de Monte Carlo sur des données stationnaires dans le cas corrélées et non corrélées.

Nous testons l’hypothèse nulle d’absence de cointégration pour des pro-cessus stationnaires du type AR p( ) et MA q( ). Nous passons par les simula-tions de Monte Carlo, pour simuler 100 paires de variables stationnaires non corrélées, soit 200 variables de la forme :

AR p x xt t t( ) → = +−f e 1 1.

MA q xt t t( ) → = − −e j e 1 1.

Avec et i i d N . . , 0 1( ). Nous testons l’hypothèse nulle d’absence de coin-tégration et vérifions si la probabilité prob p( ) encadrée à 10 % est proche du coefficient de corrélation.

Tableau 9 – Résultats pour processus AR

Processus AR Cointégration qualitative Amplitude de r Prob (p) ≈ rp = 0.1 100 % (-0.12 ; 0.11) 0 %p = 0.2 100 % (-0.12 ; 0.12) 0 %

p = 0.3 100 % (-0.12 ; 0.10) 0 %

p = 0.4 100 % (-0.12 ; 0.11) 0 %p = 0.5 100 % (-0.12 ; 0.10) 0 %p = 0.6 98 % (-0.12 ; 0.10) 0 %p = 0.7 100 % (-0.12 ; 0.10) 0 %p = 0.8 96 % (-0.12 ; 0.10) 0 %p = 0.9 98 % (-0.12 ; 0.10) 0 %

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Tableau 10 – Résultats pour processus MA

Processus MA Cointégration qualitative Amplitude de r Prob (p) ≈ rq = 0.1 100 % (-0.13 ; 0.10) 0 %

q = 0.2 98 % (-0.13 ; 0.10) 0 %

q = 0.3 98 % (-0.13 ; 0.10) 0 %

q = 0.4 100 % (-0.13 ; 0.10) 0 %

q = 0.5 100 % (-0.13 ; 0.10) 0 %

q = 0.6 100 % (-0.13 ; 0.10) 0 %

q = 0.7 98 % (-0.13 ; 0.10) 0 %

q = 0.8 100 % (-0.13 ; 0.10) 0 %

q = 0.9 100 % (-0.13 ; 0.10) 0 %

Les résultats montrent que l’hypothèse nulle est acceptée dans quasiment tous les cas. Lorsque les pourcentages ne sont pas égaux à 100 %, l’hypothèse nulle n’est rejetée que pour des centièmes après la virgule. En conclusion, pour des processus stationnaires indépendants, la méthodologie qualitative ne relève aucun cas de liaison entre paires de variables.

Simulation Monte Carlo processus stationnaires corrélés

Nous testons l’hypothèse nulle d’absence de cointégration pour des proces-sus stationnaires du type AR et MA corrélés. Nous passons par les simulations de Monte Carlo, pour simuler 100 paires de variables stationnaires corrélées toujours de 250 observations. La corrélation se présente par des coefficients de corrélation qui varient entre 0 70 0 96. . ; ( ). La probabilité prob p( ) est en-cadrée à 10 % pour tester si elle est proche du coefficient de corrélation.

Tableau 11 – Résultats pour processus AR corrélés

Processus AR Cointégration qualitative Amplitude de r Prob (p) ≈ rp = 0.1 0 % (0.7 ; 0.96) 96 %

p = 0.2 0 % (0.7 ; 0.96) 98 %

p = 0.3 0 % (0.7 ; 0.96) 98 %

p = 0.4 0 % (0.7 ; 0.96) 96 %

p = 0.5 0 % (0.7 ; 0.96) 100 %

p = 0.6 0 % (0.7 ; 0.96) 98 %

p = 0.7 0 % (0.7 ; 0.96) 94 %

p = 0.8 0 % (0.7 ; 0.96) 92 %

p = 0.9 0 % (0.7 ; 0.96) 90 %

Les résultats de la cointégration qualitative montrent le pourcentage d’acceptation de l’hypothèse nulle. Ces derniers concluent au rejet de l’hy-pothèse nulle. Or, la probabilité prob p( ) est très proche et dans plus de 90 %

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des cas du coefficient de corrélation. Ainsi, le résultat prob p( ) ne permet pas une approximation de la cointégration sur des données stationnaires corré-lées. Ces résultats sont identiques pour des processus MA.

Tableau 12 – Résultats pour processus MA corrélés

Processus MA Cointégration qualitative Amplitude de r Prob (p) ≈ rq = 0.1 0 % (0.7 ; 0.96) 98 %

q = 0.2 0 % (0.7 ; 0.96) 98 %

q = 0.3 0 % (0.7 ; 0.96) 100 %

q = 0.4 0 % (0.7 ; 0.96) 98 %

q = 0.5 0 % (0.7 ; 0.96) 100 %

q = 0.6 0 % (0.7 ; 0.96) 96 %

q = 0.7 0 % (0.7 ; 0.96) 98 %

q = 0.8 0 % (0.7 ; 0.96) 100 %

q = 0.9 0 % (0.7 ; 0.96) 96 %

Conclusion sur la méthodologie qualitative

La méthodologie appelée cointégration qualitative semble être une bonne approximation de la relation entre paires de variables, tout comme la cointégration. En effet, les simulations de Monte Carlo mettent en évi-dence les fortes relations entre la méthodologie classique de cointégration et celle non paramétrique, lorsque les séries étudiées sont non stationnaires. Toutefois, la tentative d’extrapolation de la méthodologie qualitative sur des données stationnaires ne permet pas une approximation optimale surtout lorsque ces données sont corrélées.

CONCLUSION GÉNÉRALE

Dans cet article nous avons revisité la notion bien connue de la cointé-gration. Toutefois, nous avons montré la possibilité de fournir une méthode alternative pour démontrer le lien qui existe entre deux variables cointé-grées. En effet, cette approche est basée sur un test non paramétrique beau-coup moins contraignant sur les variables que ne l’est la méthode tradition-nelle de la cointégration (tests de stationnarité…). Afin de réaliser au mieux cette méthode, nous utilisons les évolutions successives des hausses et des baisses ou encore des montées et descentes entre deux instants du temps. Puis, nous décomposons ces variations sous forme de données qualitatives, ce qui permet d’examiner les mouvements conjoints des deux variables. Ainsi, nous avons 1 pour une variation positive, c’est-à-dire une évolution

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positive ou encore une montée entre t et t +1 , et –1 lorsque cette évolution est négative, c’est-à-dire une descente entre t et t +1 . Contrairement à la cointégration, la règle de décision devient probabiliste. La corrélation entre les variables est une mesure de la différence entre les probabilités d’accep-tation et de rejet. C’est une mesure comprise entre 0 (aucun lien entre les variables) et 1 (lien total, cas ou les variables sont identiques). L’étude de nos données relève une corrélation entre les séries étudiées et plus précisé-ment une relation de cointégration qualitative. Ces résultats obtenus sont en rapport avec les techniques classiques de cointégration. En outre, la métho-dologie qualitative permet d’observer la sensibilité de la relation de cointé-gration entre les variables tout comme l’ont montré Morel et Perron (2003) avec une méthodologie classique.

L’avantage de notre méthode est la souplesse et la facilité de mise en pratique du test comparativement à l’analyse classique de cointégration. En outre, afin d’éviter la possibilité de régression fallacieuse, nous avons mis en place un encadrement statistique basé sur le Bootstrap pour la probabilité (p). Cet encadrement permet d’éviter de donner des résultats erronés sur l’exis-tence de corrélation positive ou négative. D’une manière générale, la coin-tégration qualitative permet de fournir des résultats tout aussi robustes que la technique classique de Engle et Granger (1987) mais d’une manière moins contraignante, car elle évite les panoplies de tests paramétriques. En outre, la méthodologie qualitative sur des données simulées permet de trouver des résultats équivalents à la méthodologie de la cointégration classique de Engle et Granger (1987). La méthodologie proposée peut donc être une manière alternative de mettre en exergue la relation de cointégration. Cependant, la tentative de généralisation sur des données stationnaires, n’est pas bonne, puisque la méthodologie qualitative met en lumière un résultat qui est très proche de celui du coefficient de corrélation entre les variables étudiées.

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

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ANNEXES

Annexe 1

Figure 1 – Consommation et Revenu Disponible Suisse

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Annexe 2

Figure 2 – Taux de Change Réel Multilatéral

Figure 3 – Exportations Nettes Réelles Canadiennes

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Annexe 3

Figure 4 – Indice du Prix du Logement en Finlande

Figure 5 – Indice Boursier Finlandais OMXH

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Documents

Modélisation non paramétrique de la relation entre les séries : la cointégration qualitative