Modèle de diffusion des taux sans risque à ... - Chaire DAMIchaire-dami.fr/files/2019/03/Chaire-DAMI-Mars2019-FB.pdf · Chaire DAMI 21 Mars 2019 François BONNIN. 2 Sommaire 1 Contexte

1

Modèle de diffusion des taux sans risque à long terme dans une optique assurance et ALM

Petit déjeuner thématique

Chaire DAMI

21 Mars 2019

François BONNIN

2

Sommaire

1 Contexte et objectifs

2 Présentation du modèle de taux

3 Inversion de la transformée de Laplace

4 Processus stochastique de diffusion

5 Calibrage du modèle

6 Mise en œuvre des simulations et premiers résultats

7 Application au calcul du BEL S2 d’un contrat d’épargne €

8 Conclusion

3

Contexte et objectifs

4

Contexte et objectif

Quelques éléments de contexte

A tout instant t, le facteur d’actualisation entre t et T (>t), s’écrit:

𝑃 𝑡, 𝑇 = exp(− 𝑡

𝑇

𝑟 𝑠 𝑑𝑠 )

Par conséquent, le prix en 0 d’une obligation ZC de maturité T, sous le probabilité risque-neutre Q, s’écrit:

𝐵 𝑇 = 𝐸Q[exp − 0

𝑇

𝑟 𝑠 𝑑𝑠 ]

L’expression précédente possède deux inconvénients:

І difficulté de calibrage

І homogénéité de la nappe de volatilité

Mais, en contrepartie, elle:

І permet de bénéficier de formules fermées pour évaluer le prix des options.

І est largement adoptée par le monde des dérivés (banque)

5


Objectifs

En assurance, certaines problématiques propres aux produits d’assurance-vie, tels que…

І durée des contrats

І méthodologie d’évaluation des options et garanties et des indicateurs de solvabilité sous S2

… rendent le recours à la modélisation décrite précédemment inadapté et moins intuitif.

L’objectif de notre étude est de rechercher une représentation des actifs de taux adaptée aux besoins

de l’assurance-vie, en:

І identifiant des variables homogènes dans le temps permettant d’avoir une estimation des volatilités beaucoup

plus robuste dans une optique de long terme

І privilégiant un modèle dans lequel les corrélations avec d’autres facteurs de risque sont stables dans le temps (et

par conséquent, plus faciles à estimer) et interprétables

6


Déroulement des travaux

A RT

03

04

05

01

Etude mathématique du modèleactif de taux de profil de risque stable

diffusion des prix des rentes

inversion des la transformée de Laplace

02Préparation de l’historiqueCalcul de l’historique des rentes géométriques à partir d’un

historique de taux de marché

CalibrageCalibrage des paramètres de volatilité et des

processus stochastiques

Diffusion des paramètres du modèleDiffusion du prix des rentes perpétuelles à

amortissement géométrique

Génération des scénarios de tauxExtraction des prix des ZC à l’aide d’une

méthode d’inversion pseudo-numérique

7

Présentationdu modèle de taux

8

Présentation du modèle de taux

Détermination des actifs de taux diffusés dans le modèle

En pratique, si un actif de taux qui verse le flux 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 dans l’intervalle de temps 𝑡, 𝑡 + 𝑑𝑡 , la propriété

énoncée plus haut s’écrit, en notant 𝑢:= 𝑇 − 𝑡 :

𝑓(𝑡 + 𝑢)

𝑡+∞𝑓 𝑠 𝑑𝑠

= 𝐾 𝑢 ; 𝐾 𝑢 > 0

On montre que la solution de l’équation précédente s’écrit:

𝒇 𝒕 = 𝒇 𝟎 𝒆𝒙𝒑(−𝑲 𝟎 𝒕 ) où K(0): coefficient d’amortissement

Un actif de taux présente un profil de risque stable si et seulement si son cash-flow à la date T, en

proportion des cash-flows restant à verser au-delà d’une date t, ne dépend que la durée entre t et T

Il s’agit d’actifs de taux ayant une vie moyenne constante (des actifs dont le profil de risque

intrinsèque est stable dans le temps, comme les actions)

Le choix de modélisation d’actifs de taux ayant une vie moyenne constante fait sortir du cadre

dans lequel le processus de taux court « r » peut s’exprimer à l’aide d’une EDS (plus ou moins)

simple

Les actifs de taux ayant un profil de risque homogène sont les rentes perpétuelles continues,

à amortissement géométrique.

Le cas limite où le coefficient d’amortissement est nul correspond aux rentes perpétuelles

continues à versements constants.

La vie moyenne d’une rente géométrique de coefficient d’amortissement x est égale à « 1/x ».

9


Propriétés des actifs de diffusion

Soit 𝑈 𝑥, 𝑡 la valeur actuelle, à l’instant t, de la rente d’amortissement x. On peut l’écrire:

𝑈 𝑥, 𝑡 = 𝑡

+∞

𝑓 𝑢 𝑃 𝑡, 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑓 0 𝑡

+∞

exp −𝑥𝑢 𝑃 𝑡, 𝑢 𝑑𝑢

En opérant un changement de variables 𝑢 ≔ 𝑣 − 𝑡 , on peut écrire:

𝑈 𝑥, 𝑡 = 𝑓 0 exp(−𝑥𝑡) 0

+∞

exp −𝑥 𝑢 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 𝑑𝑢

Pour alléger les notations, on considère un continuum d’actifs de taux indicés par x constitué par la

détention de exp(𝑥𝑡)

𝑓(0)de l’actif 𝑈 𝑥, 𝑡 à la date t. Soit 𝑆 𝑥, 𝑡 le prix d’un tel actif à l’instant t.

D’après l’équation précédente:

𝑆 𝑥, 𝑡 = 0+∞exp −𝑥 𝑢 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 𝑑𝑢

10


Passage au prix des ZC

Rappel mathématique

Comparons l’expression du prix des rentes 𝑆 𝑥, 𝑡 à la définition précédente:


І A tout instant t, 𝑆 𝑥, 𝑡 le prix des rentes géométriques d’amortissement x est la transformée de

Laplace de la fonction du prix du ZC forward 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 .

Pour être capable de déduire de l’ensemble des rentes géométriques, l’ensemble des prix des zéro-

coupons, il faut résoudre l’équation fonctionnelle suivante:

Pou𝑟 𝑡 𝑓𝑖𝑥é, 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 = 𝐿−1 𝑆 𝑥, 𝑡 𝑢 , 𝑢 > 0

Soit f une fonction à valeurs dans ℝ. On appelle transformée de Laplace de la fonction f, on la

note F, la fonction de ℂ ⟶ ℝ telle que:

𝐿 𝑓 = 𝐹 𝑧 = 0

+∞

𝑒−𝑧𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Problématique de l’inversion de la transformée de Laplace.

11

Inversion de la transformée de Laplace

12


Présentation de la problématique Il n’existe pas de méthode générale pour inverser la transformée de Laplace d’une fonction

quelconque.

Sous certaines conditions de forme de la fonction à inverser, un recours aux fonctions usuelles

permet d’inverser la transformée de Laplace

La forme de la fonction des prix des rentes 𝑆 𝑥, 𝑡 n’est a priori pas une fonction usuelle et n’est

donc pas facilement inversible au sens de Laplace

Méthodes

approchées

d’inversion

Méthode pseudo-

numériqueMéthode numérique

Approximation

polynomiale

13


Inversion en série polynômiale En partant de l’équation:


L’idée est d’écrire le fonction des ZC comme une série polynômiale

𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 =

𝑖=0

𝑛

𝑎𝑡,𝑖 𝑢𝑖 ⇒ 𝑆 𝑥, 𝑡 =

𝑖=0

𝑛

𝑎𝑡,𝑖𝑖!

𝑥𝑖+1

En posant 𝑎𝑡,𝑖 𝑖! = 𝛼𝑡,𝑖, 𝑆 𝑥, 𝑡 s’écrit comme un polynôme de 1

𝑥dont les coefficients sont les 𝛼𝑡,𝑖.

Nous avons transformé le problème d’inversion de transformée de Laplace en un problème de

recherche de coefficients d’un polynôme.

Méthode intuitive

Simple à mettre en place

Degré du polynôme

Recherche des paramètres est réalisée

par minimisation des écarts temps de

calcul

Convergence lente

14


Présentation des méthodes numériques Inverser les transformées de Laplace par formule fermée est un problème mathématique à part

entière. Le champ d’application de cette problématique est assez vaste (physique, électronique…)

Plusieurs méthodes d’inversion numérique de la transformée de Laplace sont utilisées pour approcher

la fonction inversée.

Ex: Post-Widder, Fourier, Stehfest…

Une méthode numérique, contrairement à une méthode analytique, cherche à approcher la fonction

initiale comme la limite d’une suite de fonction qui dépend de la transformée elle-même, et qui vérifie

certaines conditions (de convergence).

Dans la suite, nous présentons les deux méthodes numériques les plus utilisées.

15


Méthode de Fourier

І L’expression de la transformée de Laplace d’une fonction f est :

𝐹 𝑠 = 0

+∞

𝑒−𝑠𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

І La méthode de Fourier consiste à approcher la fonction f par l’expression complexe suivante:

𝑓 𝑡

=𝑒𝑐𝑡

𝑡𝑚𝑎𝑥(𝐹 𝑐

2+

𝑘=1

𝑛

cos 𝜔𝑘𝑡 𝑅𝑒(𝐹 𝑐 + 𝑖𝜔𝑘 − sin 𝜔𝑘𝑡 𝐼𝑚 𝐹 𝑐 + 𝑖𝜔𝑘

Où 𝜔𝑘 =𝑘𝜋

𝑡𝑚𝑎𝑥et 𝑠 = 𝑐 + 𝑖𝑢

І La condition de convergence de cette méthode est𝑒−2𝑐𝑡𝑚𝑎𝑥 𝐹 2𝑡𝑚𝑎𝑥 ≈ 0

І Exemple d’inversion avec la méthode de Fourier

І Considérons 𝐹 𝑧 =𝑧

𝑧2+4. La transformée inverse de cette

fonction peut être obtenue analytiquement ou grâce aux tables des fonctions usuelles. Elle est égale à 𝑓(𝑡) = cos(2𝑡).

І Ci-contre les résultats d’inversion numérique obtenus avec la méthode de Fourier pour 𝑡𝑚𝑎𝑥 = 100 et 𝑐 = 0,12.

16


Méthode de Stehfest

І L’expression de la transformée de Laplace d’une fonction f est :

𝐹 𝑠 = 0

+∞

𝑒−𝑠𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

І La méthode de Stehfest consiste à approcher la fonction f par l’expression complexe suivante:

𝑓𝑛 𝑥 =ln(2)

𝑥

𝑘=1

2𝑛

𝑎𝑘 𝑛 𝐹 𝑘ln 2

𝑥, 𝑛 ≥ 1 𝑒𝑡 𝑥 > 0

Où

𝑎𝑘 𝑛 =(−1)𝑛+𝑘

𝑛!

𝑗= (𝑘+1)2

min(𝑘,𝑛)

𝑗𝑛+1𝑛

𝑗

2𝑗

𝑗

𝑗

𝑘 − 𝑗, 𝑛 ≥ 1 𝑒𝑡 𝑘 ∈ 1; 2𝑛

І Les coefficients 𝑎𝑘 𝑛 s’obtiennent facilement de proche en proche.

І Exemple d’inversion avec la méthode de Fourier

І Considérons 𝐹 𝑧 =1

𝑧+1. La transformée inverse de cette fonction

peut être obtenue analytiquement ou grâce aux tables des fonctions usuelles. Elle est égale à 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑡.

І Ci-contre les résultats d’inversion numérique obtenus avec la méthode de Stehfest pour 𝑛 = 4 et 𝑛 = 15

17


Inversion numériqueMÉTHODE DE FOURIER

méthode la plus utilisée pour l’inversion de la

transformée de Laplace

fournit de meilleurs résultats pour les fonctions

périodiques

converge assez rapidement avec un choix

adéquat des paramètres d’inversion

propose d’approcher la fonction inversée par

une série de fonctions trigonométriques dans

le plan complexe

nécessite de fixer deux paramètres pour

garantir sa convergence

difficile à mettre en place dans les outils de

calcul

MÉTHODE DE STEHFEST

fournit de meilleurs résultats pour les fonctions

exponentielles

facile à mettre en place dans un outil de calcul

de type R ou même excel

propose d’approcher la fonction inversée par

une série de fonctions réelles

Ne nécessite pas de conditions particulières

pour garantir sa convergence

Des problèmes de convergence sont connus à

partir d’un certain degré de précision

Dans la suite de cette étude, la méthode d’inversion numérique à utiliser est celle de Stehfest.

18


Méthode pseudo-numérique (1/2)

L’inversion de la transformée de Laplace, à l’aide d’une série polynômiale ou à travers une méthode

numérique, possède un inconvénient majeur. Il s’agit de la précision de convergence des deux

méthodes.

Afin de palier ce problème, et compte-tenu de la forme, particulière d’une fonction d’actualisation, il

serait judicieux d’utiliser une méthode pseudo-numérique (combinaison d’une méthode analytique et

d’une méthode numérique).

Cette méthode a pour avantage de:

І permettre le choix de la forme de la fonction analytique, qui peut être facilement inversible par formule fermée

І réduire l’impact de l’erreur de convergence de la méthode numérique en le limitant à un résidu

19


Méthode pseudo-numérique (2/2)

Dans cette étude, nous considérons la forme suivante pour le prix du ZC:

𝑃(𝑡, 𝑡 + 𝑢) = 𝐵𝑡 𝑢 = 𝑒−𝑦𝑡𝑢 + 𝜀(𝑢)

Où 𝑦𝑡 est une constante positive, et 𝑢 → 𝜀(𝑢) une fonction de résidus.

Une telle forme de la fonction d’actualisation permet d’écrire le prix des rentes:

𝑆 𝑥, 𝑡 = 0

+∞

exp −𝑥𝑢 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 𝑑𝑢 =1

𝑥 + 𝑦𝑡+ 𝐿(𝜀)(𝑥)

Avec 𝐿 . opérateur de transformée de Laplace.

L’écriture précédente permet de ramener le problème d’inversion de Laplace du prix de rente 𝑆 𝑥, 𝑡 à

l’inversion de la transformée du résidu, qui peut être réalisée à l’aide d’une méthode numérique de

type Stehfest.

20

Processusstochastiquede diffusion

21

Processus stochastique de diffusion

Distribution des prix des rentes (1/3)

Volatilité du modèle

On suppose, qu’à tout instant t, la volatilité de l’actif 𝐴𝑥 est de la forme:

𝜎 𝑥, 𝑡 = 𝜎 𝑥 exp(−𝑎(𝑥) 𝑡)

Cette forme bien que particulière, est assez riche car elle :

І autorise une convergence en loi pour la courbe des taux asymptotique (variance bornée)

І permet de calibrer des volatilités instantanées et des vitesses de retour à la moyenne différentes pour toutes les

rentes géométriques de vies moyennes différentes

La volatilité cumulée asymptotique à l’infini est donnée par :

𝜎∞ 𝑥 = 0+∞𝜎2 𝑥, 𝑡 𝑑𝑡 =

𝜎(𝑥)

2 𝑎(𝑥)

La volatilité cumulée asymptotique s’interprète comme une volatilité inconditionnelle.

Le calibrage portera sur la volatilité instantanée 𝜎(𝑥) et sur la volatilité asymptotique 𝜎∞ 𝑥

22



Processus de diffusion des 𝑺(𝒙, 𝒕)

On suppose que le prix 𝑆(𝑥, 𝑡) suit un processus de diffusion log-normal et 𝜆 ∝ 𝜎2, on obtient :

𝑆 𝑥, 𝑡 = 𝐸ℱ𝑡 𝑆 𝑥, 𝑡 exp (𝜆 −1

2) 0

𝑡

𝜎 𝑥, 𝑠 2 𝑑𝑠 + 0

𝑡

𝜎 𝑥, 𝑠 𝑑𝑊𝑥 𝑠

Avec 𝑊𝑥 étant le brownien propre à l’actif 𝐴𝑥 ; et 𝐹𝑡 la probabilité forwad-neutre pour l’horizon t :

Remarque: la diffusion en univers risque-neutre correspond à 𝜆 = 0

L’expression précédente possède un inconvénient du fait de l’utilisation de l’espérance en univers

forward-neutre. En simplifiant l’expression 𝐸ℱ𝑡 𝑆 𝑥, 𝑡 , on obtient:

𝑆 𝑥, 𝑡 = 0

+∞

exp −𝑥 𝑢𝐵(𝑡 + 𝑢)

𝐵(𝑡)𝑑𝑢 ∗ exp( (𝜆 −

1

2) 0

𝑡

𝜎 𝑥, 𝑠 2 𝑑𝑠 + 0

𝑡

𝜎 𝑥, 𝑠 𝑑𝑊𝑥 𝑠 )

23



Distribution asymptotique et taux actuariel

Distribution asymptotique des prix des rentes

Elle est fonction du taux long l, et s’écrit:

𝑆 𝑥,∞ =exp[ 𝜆 −

12𝜎∞2 𝑥 + 𝜎∞ 𝑍𝑥 ]

𝑥 + 𝑙, 𝑍𝑥 ∽ Ν(0,1)

І en faisant l’hypothèse que les prix des rentes historiquement observés sur une période longue constituent un

échantillon inconditionnel, l’expression précédente permet de calibrer directement 𝜎∞ en passant par ln(𝑆 𝑥,∞ )

Taux actuariel de la rente

𝑦 𝑥,∞ = −𝑥 + 𝑥 + 𝑙 exp[1

2− 𝜆 𝜎∞

2 𝑥 + 𝜎∞ 𝑍𝑥]

І le taux actuariel de la rente géométrique suit une loi log-normale décalée d’un taux égal à son amortissement

(parallèle avec le LMM shifté)

24

Calibrage du modèle

25


Choix des données et de méthodologie de calibrage

Méthodologie de calibrage

Le calibrage du modèle peut être effectué sur la base de l’historique des prix de rentes géométriques

Or, les rentes géométriques ne sont pas des actifs échangés sur le marché.

Création d’une base des prix à partir de l’historique des taux de swap.

Le calibrage peut également être effectué à partir de simulations construites à partir d’un GSE risqueneutre sur la base de volatilités implicites de marché (l’opération consiste à changer de modèle dediffusion sans changer les paramètres de prix implicites des options cotées utilisées pour le calibrage)

Données de calibrage

Courbes des taux swap euribor:

І entre 04/09/2004 au 31/12/2016 3255 courbes de taux

І interpolation par spline cubique pour obtenir toutes la maturités entre 1 et 50 ans

І extraction des courbes de taux ZC par bootstrapping

Historique des prix des rentes

І On considère une fonction d’actualisation de la forme 𝐵 𝑢 = 𝑖=0𝑛 𝑒−𝑡𝑖∗𝑢 ∗ 1 𝑢𝑖−1,𝑢𝑖 (𝑢)

І On utilise l’expression des prix des rentes en 0, 𝑆(𝑥, 0) = 𝑆(𝑥) = 0

∞𝑒−𝑥𝑢 𝐵 𝑢 𝑑𝑢

І Nous disposons d’un historique de 162750 prix de rente pour différentes valeurs d’amortissement

26


Calibrage des volatilités et des processus stochastiques

Volatilités

les volatilités inconditionnelles et instantanées ainsi que le

retour à la moyenne sont obtenues comme suit:

І 𝜎∞ 𝑥 = 𝕍 l𝑛(𝑆(𝑥)

І 𝜎0 𝑥 = 𝕍 l𝑛(𝑆(𝑥,𝑡+1)

𝑆(𝑥,𝑡)× 𝑛𝑏 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑎𝑛𝑛é𝑒

І 𝑎 𝑥 =𝜎(𝑥)

2 𝜎∞2 𝑥

Processus stochastiques

Les prix des rentes de différentes maturités sont corrélées

car les taux d’intérêt le sont.

І Nécessité de restreindre l’information sur la corrélation à une

dimension finie ACP des prix et des performances de prix

des rentes

І Nous constatons que plus de 99,5% de la variance des deux

paramètres est expliquée par les 2 premiers vecteurs propres

de l’ACP, en l’occurrence le taux long et le taux court.

І𝑍𝑥(𝑡)

𝑡= 𝑖=1

2 𝛼𝑖(𝑥) 𝑉𝑖

ACP des prix

ACP des perf

27

Mise en oeuvredes simulations et analyse des résultats

28

Mise en œuvre des simulations

Diffusion des prix de rentes

Rente initiale

La rente initiale, qui sera diffusée à l’aide des paramètres

calibrés précédemment, est obtenue en utilisant la même

formule que celle du calcul de l’historique des prix des

rentes.

Les facteurs d’actualisation B(u), pour chaque intervalle

temporel sont déduits de la courbe des taux EIOPA au

31/12/2016 ajustés de la « volatility adjustment (VA) »

Diffusion de la rente

La formule de diffusion s’écrit:

𝑆 𝑥, 𝑡 + 1 = 𝑆 𝑥, 𝑡 × 𝑑𝑟𝑖𝑓𝑡 𝑥, 𝑡 × exp (𝜆 −1

2) 𝑡

𝑡+1

𝜎 𝑥, 𝑠 2𝑑𝑠 + 𝑡

𝑡+1

𝜎 𝑥, 𝑠 𝑑𝑊𝑥 𝑠

La diffusion est réalisée selon les paramètres suivants:

І 1000 scénarios

І maturités de 1 à 50 ans par pas annuel

І horizon de projection annuel de 1 à 50 ans

І aléa d’échantillonnage : Sobol

Courbe de taux EIOPA au

31/12/2016 avec VA

29

Analyse des résultats

Sorties du modèle

Sorties du modèle

Le modèle permet de fournir des sorties auformat DEvent.

Les variables disponibles sont:

І 𝐷𝑖 0, 𝑝 est le déflateur ZC de maturité pcalculé en 0 pour le scénario i

І 𝐵𝑖 p, 𝑗 est le prix du ZC de maturité j calculéà la date p pour le scenario i. Autrement dit:

𝐵𝑖 p, 𝑗 = 𝑃(𝑝, 𝑝 + 𝑗)

Test de martingalité

Afin de vérifier le caractère martingal des sorties, nous analysons l’égalité suivante:

∀ 𝑝, 𝑗 ∈ 1,50 ; 𝐸 𝐷𝑖 0, 𝑝 × 𝐵𝑖 𝑝, 𝑗 ≜ 𝐷𝑚𝑎𝑟𝑐ℎé(0, 𝑝 + 𝑗)

Exemple de sortie du modèle

30


Test de martingalité (1/3)Inversion polynomiale

Hypothèses et méthodologie

І 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 = 𝑖=0𝑛 𝑎𝑡,𝑖 𝑢

𝑖 ⇒ 𝑆 𝑥, 𝑡 = 𝑖=0𝑛 𝑎𝑡,𝑖

𝑖!

𝑥𝑖+1 nous fixons n=9

І recherche des 𝑎𝑡,𝑖 par minimisation des carrés

І reconstruction des déflateurs et des prix de ZC

Remarques

І les résultats montrent jusqu’à 12% d’écart de convergence pour le test martingale des maturités élevées

І la qualité de convergence est liée au degré du polynôme et aux facteurs 𝑎𝑡,𝑖

Inversion polynomiale: écarts de convergence absolu (g) et relatif (d)

31


Test de martingalité (2/3)Méthode de Stehfest


І P(t, t + u) =ln(2)

𝑢 𝑘=12𝑛 𝑎𝑘 𝑛 𝑆 𝑘

ln 2

𝑢, 𝑡 , 𝑛 ≥ 1 𝑒𝑡 𝑢 > 0

І interpolation des 𝑆(𝑥, 𝑡) pour obtenir 𝑆 𝑘ln 2

𝑢, 𝑡

І calcul des coefficients 𝑎𝑘 𝑛 pour 𝑛 = 3

І reconstruction des déflateurs et des prix de ZC

Remarques

І les écarts de convergence obtenus avec Stehfest sont plus stables (5,6% au maximum)

І la qualité de la convergence de cette méthode dépend peu de la valeur du paramètre de précision

І cette méthode offre une première alternative à l’inversion polynômiale. On observe tout de même un phénomène

d’oscillation connue de la méthode de Stehfest et les écarts restent importants

Méthode de Stehfest: écarts de convergence absolu (g) et relatif (d)

32


Test de martingalité (3/3)Méthode de psuedo-numérique


І 𝑆 𝑥, 𝑡 =1

𝑥+𝑦𝑡+ 𝐿(𝜀)(𝑥) recherche des 𝑦𝑡 par minimisation des carrées des écarts

І interpolation des 𝑆(𝑥, 𝑡) pour obtenir 𝑆 𝑘ln 2

𝑢, 𝑡

І calcul des coefficients 𝑎𝑘 𝑛 pour 𝑛 = 3 inversion de la transformée de 𝜀 par la méthode de stehfest

І reconstruction des déflateurs et des prix de ZC comme P t, t + u = 𝑒−𝑦𝑡 𝑢 + 𝜀(𝑢)

Remarques

І les écarts de convergence obtenus avec la méthode pseudo-numérique sont 2x inférieurs à ceux de Stehfest

І la qualité de la convergence de cette méthode dépend peu de la valeur du paramètre de précision à cause de la

composante Stehfest

І meilleure méthode d’inversion les phénomènes d’oscillation et les écarts résiduels peuvent être corrigés a

posteriori

Méthode pseudo-numérique: écarts de convergence absolu (g) et relatif (d)

33


Propriétés de la distributionDistribution des taux

Les taux long-terme sont moins dispersés que les taux

court terme,

La moyenne des taux est légèrement croissante avec

leur maturité sans que les taux longs divergent. La

volatilité est au contraire décroissante.

ceci est conforme à l’intuition et aux données

historiques

Taux négatifs

Les taux négatifs restent floorés, et leur fréquence est d’autant plus faible que les taux sont longs – elle

tend vers zéro pour les taux asymptotiques long-terme; comme cela est prévu par le modèle théorique

Histogramme des taux 1an, 10 ans et 30 ans à horizon 50 ans

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

-4% / -2% -2% / 0% 0% / 1% 1% / 2% 2% / 3% 3% / 4% 4% / 5% 5% / 6% 6% / 7% 7% / 8%

Taux 1 an Taux 10 ans Taux 30 ans

Taux 1 anTaux 10 ansTaux 30 ans

Entre -4% et -2% 1,8% 0,0% 0,0%

Entre -2% et 0% 11,7% 1,6% 0,1%

Total 13,5% 1,6% 0,1%

Taux 1 an Taux 10 ans Taux 30 ans

Ecart-type 1,99% 1,10% 0,91%

Moyenne 2,25% 2,29% 2,36%

34

Application au calcul du BEL

sous S2 d’un portefeuille

épargne €

35

Application au calcul du BEL sous S2 d’un portefeuille épargne €

HypothèsesPortefeuille de l’étude

Portefeuille (en « run-off ») d’épargnants ayant souscrit un contrat d’épargne individuel mono-support

en euros.

І au 31/12/2016, l’encours du portefeuille est de 3 Md€

І 200 models points (MP) créés par agrégation selon la clé « sexe x âge »

І les MP sont constitués de 55% d’hommes et l’âge moyen d’un MP = 60 ans

Hypothèses techniques et économiques

Hypothèses techniques

Type de contrat contrat épargne monosupport en euros

Durée du contrat viager

Durée de

projection40 ans

Table de mortalité TH00-02 et TF00-02

Rachats

rachats totaux uniquement

rachats dynamiques selon cas moyen

du QIS5

Chargements 0,08% (sur encours)

Frais

(sur encours)

frais de sinistres (décès, rachat) : 0,8%

frais d’administration : 0,07%

frais sur placements financiers : 0,08%

Taux minimum

garanti0%

Participation au

bénéfices85% des produits financiers

Hypothèses économiques

Obligations maturité = 7 ans

Actions et

immobilier Indices générés selon B&S

Cash rémunération au taux sans risque

Allocation

Obligations = 80%

Actions = 10%

Immobilier = 5%

Cash = 5%

Courbe de

taux centrale

Courbe EIOPA au 31/12/2016 avec

ajustement de volatilité (VA)

Inflation 0%

36

Application au calcul du BEL sous S2 d’un portefeuille épargne €

Résultats Le BEL sous S2 du portefeuille étudié est égal à: 3,076

Md€

La fuite économique constatée en évaluation

stochastique est de 11m€ ce qui correspond à 0,34% de

de la valeur de marché initiale.

La fuite économique est la combinaison des facteurs

suivants:

І l’asset mix initial et la stratégie d’allocation tout au

long de la durée de projection

І nombre de simulations

Economic Balance Sheet - Deterministic Projection

Liability

Present Value of Net Profit 91 185 052

Present Value of Tax on Profit 49 609 899

Best Estimate Liability 3 067 657 169

Asset

Initial Market Value of Asset 3 208 452 120

Leakage (€) 0

Leakage (%) 0,000000%

Economic Balance Sheet - Stochastic Projection

Liability

Present Value of Net Profit 92 481 474

Present Value of Tax on Profit 50 654 590

Best Estimate Liability 3 076 312 736

Asset

Initial Market Value of Asset 3 208 452 120

Leakage (€) 10 996 679

Leakage (%) 0,342741%

37

Conclusion

38

Conclusion

Le modèle de taux proposé offre une alternative simple et robuste aux modèles actuellement utilisés par

les assureurs.

Les problématiques liées à l’assurance-vie sont prises en compte dans la construction même du

modèle.

Or,

Le problème majeur du modèle soulevé par cette étude est sa dépendance à la problématique de

l’inversion numérique de la transformée de Laplace.

La qualité de convergence des méthodes d’inversion numérique impacte négativement la qualité des

scénarios issus du modèle.

Mais,

Une piste d’amélioration envisagée est de coupler cette approche avec une modélisation paramétrique

de la courbe et de tabuler l’inversion de la transformée de Laplace ou d’inverser une fonction de

plusieurs variables de manière classique (gradient si possible ou algorithme génétique).

39

Questions

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