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Modélisation des actions mécaniques – Chapitre 1 Mécanique Première STI

Lycée E. Branly Page 1/4

1. Introduction Une action mécanique est une interaction de contact ou à distance entre solides, elle est une cause capable de:

- modifier ou d’interdire le mouvement d’un corps. - déformer un corps.

Une action mécanique appliquée par un solide sur un autre peut être une force, un moment ou les deux à la fois. Dans la nature, on ne peut que visualiser les effets d’une action mécanique. Pour comprendre ou prévoir le comportement d’un mécanisme, il est nécessaire de modéliser ces A.M. par des outils mathématiques (vecteur, torseur).

2. Notion de force

2.1. Définition Une force, en mécanique, désigne l’effort qui tend à faire se translater un solide. Elle est modélisée par l'outil mathématique vecteur. Elle se défini par : - Son point d’application. - Sa direction (droite support de la force) - Son sens (d’un côté ou de l’autre de la droite support) - Sa norme (intensité) exprimée en Newton (N).

2.2. Forces à distance

2.2.1. La pesanteur

La loi universelle de la gravitation formulée en 1687 par Isaac NEWTON permet d’expliquer pourquoi nous avons les pieds sur Terre. Selon cette loi, deux corps (1 et 2) s’attirent mutuellement avec une force dont l'intensité est proportionnelle à leurs masses (m1 et m2) et inversement proportionnelle au carré de la distance (d) qui les sépare :

1 22

G.m .mF =

d avec G = 6,67.10-11 N.m².kg-2, constante de gravitation universelle.

Exemples : Quelques caractéristiques de la Terre : masse : mT = 6,76.10

24 kg rayon : rT = 6,778.106 m ( 6778 km)

Vous qui vous promenez sur la Terre à 6778 km de son centre, savez-vous quelle est l'intensité de la force qu'elle exerce sur vous ? Pour le savoir il vous faut d'abord connaître votre masse : m = 70 KG Vous pouvez alors calculer l'intensité de la force que la Terre exerce sur vous, que l'on appelle le poids :

( )

-11 24T

22 6T

G.m .m 6,67.10 ×6,76.10 ×70P = = = 9,81×70 = 687 N

r 6,778.10

Recalculer votre poids lorsque vous êtes dans un avion à 10000m d’altitude.

( ) ( )

-11 24T

2 26 4T

G.m .m 6,67.10 ×6,76.10 ×70P = = = 9,786×70 = 685 N

r +10000 6,778.10 +10

Application à la mécanique :

Le poids se calcule couramment de la façon suivante: P = m.g P --> poids en Newtons (N)

m --> masse en kg g --> accélération de pesanteur (9,81 m/s²)

Caractéristiques de cette force notée P�

: - point d’application : le centre de gravité du solide noté G. - direction : toujours verticale - sens : vers le bas (centre de la terre) - intensité : m.g en Newtons

2.2.2. Forces magnétiques, électrostatiques, …

Ces forces seront données si besoin est dans les différents exercices.

MMooddéélliissaattiioonn ddeess AAccttiioonnss MMééccaanniiqquueess NNoottiioonn ddee ffoorrcceess,, ddee mmoommeennttss



1

A

B

C 2

Charge répartie q en N/m

y

x

2.3. Forces de contact Dès lors qu’il y’a contact entre deux solides, une liaison mécanique se crée (ex : pivot, glissière…). Les efforts

transmissibles entre ces 2 solides sont propres à chacune des 11 liaisons déjà vues dans un chapitre précédent. Nous verrons ultérieurement les efforts transmissibles par les liaisons.

a) Contact ponctuel

Le contact entre les deux solides (1 et 2) se fait suivant un seul point A, la force A��

transmissible de l’un à l’autre a comme caractéristiques : - point d’application A : Celui du contact. - direction : Normale (perpendiculaire) au plan tangent commun au contact. - sens : Vers la matière du solide isolé (celui pour lequel on regarde

quelles actions mécaniques agissent dessus).

- norme : A��

définie par le problème.

b) Contact linéique

Dans le cas d’une répartition uniforme, on peut remplacer cette charge linéique q (en N/m) par une action

concentrée en C au milieu du contact [AB] telle que 1/2C = q×l��

avec l la longueur du segment [AB].

c) Contact surfacique solide/solide ou fluide/solide

Dans le cas d’un contact surfacique, une quantité infinie de petites forces s’exercent au contact, et forment ce qui

s’appelle la pression notée p. Si cette pression est uniforme, on peut la remplacer par une seule force F�

appliquée au centre géométrique de la surface de contact.

Exemple d’un vérin:

F = p x S N Pascal (Pa) m² daN bar cm² N Mpa mm²

F --> force p --> pression S --> surface de contact

Rappel: 1 Mpa = 1 N/mm² = 10 bars

A

Normale au plan tangent commun

2

1

Plan tangent commun

A


2

1

Plan tangent commun

A

2

1


Plan tangent commun

1/2A��

: force appliquée

par le solide 1 sur le solide 2

2/1A��

: force appliquée

par le solide 2 sur le solide 1

1

x

y

A

B

C

2

1/2C��

x

y

z

Action du fluide

(pression)

Tige du vérin 1

G

x

y

z

G F�

Tige du vérin 1

pression



A B

F�

Sens trigonométrique

α

Direction de la force F

A

B α

F�


Clef Cas général

AM (F) = + AB sin Fα× ×�

Positif car tendance à la rotation dans le sens trigonométrique

Le moment est maximum (en N.m) quand : * F est maximum (en Newton) * AB est maximum (en mètre) * sinα est égal à 1 (α = 90°)


d) Force exercée par un ressort

La force exercée par un ressort dépend de deux paramètres: - Sa raideur K issue du diamètre du fil, du nombre de spires, du

matériau…)

- La valeur de sa déformation (ℓ-ℓ0)

F = | K x (ℓ-ℓ0) | K --> raideur en N/m

ℓ --> longueur déformée du ressort en m

ℓ0 --> longueur libre (au repos) du ressort en m

3. Notion de moment, couple

3.1. Définition Un moment ou un couple, en mécanique, désigne l'effort en rotation autour un axe. Le moment et le couple sont modélisés par l'outil mathématique vecteur. Ils se définissent par : - Le point d’application : point ou l’on calcule le moment (A).

- La direction : droite perpendiculaire au plan formé

par F�

et A.

- Le sens : sens trigonométrique positif par

convention. - La norme (intensité) : exprimée en Newton x mètre (N.m).

Ecriture : AM (F)��

�

signifie Moment calculé au point A

engendré par la force F�

.

3.2. Calcul d’un moment

3.2.1. Cas général dans le plan Reprenons l’exemple de la clef, en vue de dessus, sur laquelle s’exerce une force F

�

inclinée.

F�

F�

ℓ

ℓ0

ℓ

A

F�

B

A

F�

B

Couple

AC = 2 M (F)×

��

��

Tendance du mouvement

A A

F�

F�

Tendance du mouvement

Moment

AM (F)��

�

Moment

Couple



3.2.2. Bras de levier

Dans certains problèmes, la distance d appelée bras de levier, est connue (ou bien l’angle α est égal à 90°).

Le bras de levier d est la distance la plus courte entre le point A où l’on calcule le moment, et la direction de la force F�

.

3.2.3. Théorème de Varignon (1654-1722)

Enoncé du théorème :

Le moment en A de la résultante R��

de plusieurs forces 1 2 3, , ...F F F��

concourantes est égal à la somme des

moments en A de ces différentes forces.

d A

B

F�



A

B

F�


Clef Cas général

Dans ce cas le moment est égal à :

AM (F) = + F d×�

Positif car tendance à la rotation dans le sens trigonométrique


d

A B

F�

A

B

F�

Clef Cas général

On remplace la force F�

par ses 2 composantes, xF��

et yF��

, puis on fait la somme des moments en A engendrés par ces deux

forces (attention en faisant la somme, au signe de ces 2 moments).

A A x A yM (F) = M (F ) + M (F )��

� ��

Inférieur à zéro

globalement car F�

à tendance à faire tourner autour de A dans le sens horaire.

y

x

y

x yF��

xF��

xF��

yF��

Application à la clef Application au cas général

A A x A y

x y

y

M (F) = M (F ) + M (F )

= F 0 + F AB

= F AB > 0

× ×

×

� ��

Positif car tendance à la rotation autour de A dans le sens trigonométrique A A x A y

x y y x

M (F) = - M (F ) + M (F )

= - F d + F d < 0× ×

� ��

dx dy

Négatif car tendance à la rotation autour de A dans le sens horaire

Positif car tendance à la rotation autour de A dans le sens trigonométrique

Supérieur à zéro globalement

car F�

à tendance à faire

tourner autour de A dans le sens trigonométrique.

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