Modélisation des risques de passif d’un portefeuille de ......précédent, et d’un risque non-vie classique ; - le risque associé aux rentes (annuities), qui bénéficie d’un

Modélisation des risques de passif d’un portefeuille de prévoyance

Formation ERM26 septembre 2009

Frédéric PLANCHET

Préambule

On s’intéresse au calcul du best estimate et de la distribution des flux detrésorerie futurs à prendre en compte dans le cadre de Solvabilité 2 dans letrésorerie futurs à prendre en compte dans le cadre de Solvabilité 2 dans lecontexte d’un modèle interne partiel.

Le CEIOPS retient comme définition du best estimate (cf CP n°26) celleLe CEIOPS retient comme définition du best estimate (cf. CP n 26) celleénoncée dans le paragraphe TS.II.A.10 des spécifications techniques duQIS4, à savoir :

La moyenne pondérée en fonction de leur probabilité des futurs flux detrésorerie compte tenu de la valeur temporelle de l’argent, laquelle estestimée sur la base de la courbe des taux sans risque pertinente.

26 septembre 2009 Page 2

Préambule

La détermination du best estimate est complétée par la recherche de ladistribution des flux de prestations futures actualisés, dont le best estimatedistribution des flux de prestations futures actualisés, dont le best estimateest (par définition) l’espérance.

L’étude se place dans le cadre d’un groupe homogène d’assurés ou deL étude se place dans le cadre d un groupe homogène d assurés ou desinistrés avec des garanties de prévoyance :

capital en cas de décès- capital en cas de décès,

- indemnités journalières,

- rentes de conjoint...

Elle est menée en supposant que l’on dispose d’une information tête par tête


Elle est menée en supposant que l on dispose d une information tête par têtesur les individus (sinistrés) concernés.

Sommaire

1. Contexte du modèle standard

2. Identification des risques

3. Modélisation pour les sinistres connus

4 Tardifs et survenances de l’exercice4. Tardifs et survenances de l exercice



Les provisions techniques pour des risques non réplicables sont égales à la

1.1. Contexte

Les provisions techniques pour des risques non réplicables sont égales à lasomme du best estimate et d’une marge pour risque.

Dans le cas de la réassurance, le QIS4 a introduit une nouvelle méthode parrapport au QIS3 : le best estimate doit être évalué sur la base d’une assietterapport au QIS3 : le best estimate doit être évalué sur la base d une assiettebrute de réassurance (cf. TS.II.B.16).

La réassurance est prise en compte au travers d’un actif d’assurance dontl’évaluation tient compte du risque de défaut du réassureur (cf TS II B 16)l évaluation tient compte du risque de défaut du réassureur (cf. TS.II.B.16).

La marge pour risque est calculée dans une logique CoC avec, pour le calculdes SCR futurs, la prise en compte des risques de souscription vie, risques

é ti l t i d déf t d t ti d é ( fopérationnels et risques de défaut de contrepartie des réassureurs (cf.TS.II.C.7).

La principale difficulté dans la méthode du CoC réside dans le calcul desSC f f Q S é f


SCR futurs. De fait, le QIS4 propose des méthodes simplificatrices, pour lesrisques autres que le risque opérationnel.

1. Contexte du modèle standard1.1. Contexte

Par exemple en assurance vie, la marge pour risque pour un segment estdéterminée par (cf. TS.II.C.26) :

- représente la marge pour risque ;

( ) ( )mod0,5 0tflobCoCM CoC Dur SCR≈ × + ×

CoCM représente la marge pour risque ;- représente le facteur du coût du capital ;- représente le SCR actuel pour le segment excluant le risque de marché et le risque de défaut pour les produits dérivés financiers ;

tflobSCR

D

CoCMCoC

- représente la duration modifiée du best estimate de la provisiondu segment (net de réassurance).

modDur

26 septembre 2009 Page 6Page 6

1. Contexte du modèle standard1.1. Contexte

tflobSCRAfin de déterminer , le tableau d’exposition ci-dessous pourra être

utilisé pour le calcul du SCR vie par segment :

Sous risque Mesure d’exposition au sous-risqueMortalité (capital sous risque) x durationLongévité best estimateLongévité best estimateInvalidité (capital sous risque) x durationRachat best estimate - valeur de rachatDépenses (dépenses renouvelables) x durationCAT (capital sous risque) x duration


1. Contexte du modèle standard1.2. Exemple : contrat temporaire décès

Dans le cas d’un contrat temporaire décès, le best estimate est évalué par la relation suivante :

( )1 1

Tt

tt t

FluxProbablesBEr=

=+

∑

et les SCR « solo » sont déterminés dans chacun des sous-modules de risque : mortalité : +10%, dépenses : +10% et une inflation de 1% par an, catastrophe : +0 15 % des capitaux sous risque (nets)catastrophe : 0,15 % des capitaux sous risque (nets).


1. Contexte du modèle standard1.3. Le cas des risques santé / prévoyance

Le risque santé / prévoyance (health) est décomposé en trois sous-risques(TS.XII.A.2) :


Le risque long term ne concerne en pratique pas le marché français, qui relèvedu short term et workers.


Les 2 composantes pertinentes recouvrent :

1.3. Le cas des risques santé / prévoyance

Les 2 composantes pertinentes recouvrent :

- short term health : il s’agit du risque santé de court terme,typiquement les contrats complémentaires santé individuels ainsi que destypiquement les contrats complémentaires santé individuels ainsi que desaccidents.

- workers : pour les contrats collectifs complémentaires santé ainsique la prévoyance « décès » et « arrêt de travail », collective et individuelle.



Ce risque est subdivisé en deux sous-risques :

- le risque de court terme (general), qui est proche du moduleq (g ) q pprécédent, et d’un risque non-vie classique ;

- le risque associé aux rentes (annuities), qui bénéficie d’untraitement spécifique, proche de ce que l’on fait en assurance-vie.

L’agrégation est effectuée selon :

2 2 12General Annuities General AnnuitiesWComp WComp WComp WComp WComp= + + ×



Le calcul de est le calcul « non-vie » classique avec desparamètres spécifiques de volatilité.

GeneralWComp

WCPour une décomposition est proposée, pour capturer lesrisques suivants :

- longévité

AnnuitiesWComp

- longévité

- révision des hypothèses ;

invalidité ;- invalidité ;

- frais.

S l 3 él ti t ll l / (0 25) di / (0 5) t


Seules 3 corrélations sont non nulles : long/exp (0,25), dis/exp (0,5) etrev/exp (0,25).


Par rapport à Solvabilité 1, l’évolution des provisions à l’issue du QIS 4 est

1.3. Le cas des risques santé / prévoyance

Par rapport à Solvabilité 1, l évolution des provisions à l issue du QIS 4 estla suivante :


Sommaire







Sur la base de la définition du best estimate donnée par le CEIOPS les

q2.1. Contexte

Sur la base de la définition du best estimate donnée par le CEIOPS, lesfacteurs de risque pris en compte dans la distribution modélisée sont ceuxdirectement associés aux éléments de cette définition, à savoir :

- les risques associés à la détermination de la probabilité de payer leflux ;

- les risques associés à la détermination du niveau du flux detrésorerie.

De part la différence de modélisation entre un aléa frappant différemment lesdiverses têtes du portefeuille et un aléa frappant de manière systématiquel’ensemble du portefeuille il est indispensable de décrire les risques en


l ensemble du portefeuille, il est indispensable de décrire les risques enfonction de leur caractère mutualisable ou systématique.


On a donc la grille d’analyse suivante :

q2.1. Contexte

On a donc la grille d analyse suivante :

Il faut maintenant identifier les aléas pris en compte dans chacune de cesquatre cellules.


2. Identification des risquesq2.2. Risques mutualisables associés à la probabilité de payer le flux

Les risques mutualisables associés à la probabilité de payer le fluxcorrespondent aux fluctuations d’échantillonnage, conséquences de la taillefinie du groupe entrainant une fluctuation de l’espérance empirique (valeurobservée de la somme des flux futurs actualisés) autour de l’espéranceobservée de la somme des flux futurs actualisés) autour de l espérancemathématique (valeur théorique de la somme des flux futurs actualisés si lemodèle est correctement spécifié et ajusté).


2. Identification des risquesq2.3. Risques systématiques associés à la probabilité de payer le flux

Les risques systématiques associés à la probabilité de payer le fluxcorrespondent aux erreurs sur les lois de survenance et de maintien etpeuvent provenir de deux sources :

- Une incertitude sur l’estimation de la loi d’expérience. Des étudesont montré sur ce point que l’impact sur la distribution de l’engagement estp q p g gmineur dans un contexte de risque en cas de décès, potentiellement plusimportant pour des rentes ou de l’arrêt de travail. Il est important de leconsidérer puisque des lois d’expérience doivent être élaborées.

- Une déformation de la loi sous-jacente au fil du temps. Des étudesont montré qu’il s’agit d’un risque de modèle délicat à prendre en compte de


ont montré qu il s agit d un risque de modèle, délicat à prendre en compte demanière auditable dans le cadre d’un provisionnement Solvabilité 2.

2. Identification des risquesq2.4. Risques mutualisables associés au niveau du flux

Les risques mutualisables associés à une modification du montant desprestations sont les suivants :

- risques liés aux opérations de gestion (régularisation, erreurs, etc.).

- risques liés à un changement d’état du bénéficiaire. Ce risquetraduit une modification des flux de trésorerie futurs suite à une modificationde l’état de l’assuré. Par exemple :p

- entrée en incapacité. La prise en compte de ce risque peut êtreeffectuée tête par tête ou de manière globale. Une modélisation tête par têteprésuppose de disposer d’une loi d’entrée en incapacité et des informationsprésuppose de disposer d une loi d entrée en incapacité et des informationspour calculer les prestations associées. Compte tenu des donnéesdisponibles, cela peut être en pratique délicat.


2. Identification des risquesq2.4. Risques mutualisables associés au niveau du flux

- changement de l’état d’invalidité. La prise en compte de risque peutêtre effectuée tête par tête ou de manière globale. Une modélisation tête partête présuppose de disposer d’une loi de passage d’un état d’invalide à unautre Compte tenu des données disponibles ce point est en pratique délicatautre. Compte tenu des données disponibles, ce point est en pratique délicat.

- passage de l’état d’incapacité à l’état d’invalidité : si la loi detransition peut être supposée connue, la modification de prestation lors de cechangement d’état devra faire l’objet d’une modélisation statistique et nonchangement d état devra faire l objet d une modélisation statistique et nond’un calcul en fonction des caractéristiques du sinistré.

- prise en compte des paliers dans le calcul des rentes éducation.C li t lié à d i f ti è t dét i i t (â i tCes paliers sont liés à des informations exogènes et déterministes (âge pivotdéclenchant une majoration de la rente). Il n’y a donc pas d’aléa à ce niveau.

- modifications des ressources conduisant à une modification du


niveau de la rente servie.

2. Identification des risquesq2.5. Risques systématiques associés au niveau du flux

Les risques systématiques associés à une modification du montant desprestations sont les suivants :

- risques liés aux revalorisations. Dans le contexte de contrats deprévoyance étudié ici, la revalorisation est souvent déterminée par référenceà l’évolution du point AGIRC ou sur la base de décisions discrétionnaires dela direction. De ce fait, les problématiques d’évaluation d’options departicipation aux bénéfices que l’on rencontre dans le cadre de contratsparticipation aux bénéfices que l on rencontre dans le cadre de contratsd’épargne ne se posent pas ici.

- risques liés aux frais de gestion. La prise en compte de ces risquespeut être effectuée de manière déterministe (via une tendance d’évolutionlinéaire ou en palier), ou de manière stochastique.


2. Identification des risquesq2.6. Identification des flux

Une fois identifiés et classés les risques à prendre en compte, on doitdéterminer les flux concernés.

En pratique on peut distinguer trois types de flux :

- les flux associés à des sinistres connus et en cours de règlement àla date d’inventaire ;

les flux associés à des sinistres survenus mais non encore connus- les flux associés à des sinistres survenus mais non encore connusà la date d’inventaire (IBNR). Une analyse particulière devra être menée surces flux. En prévoyance, les IBNR représentent une charge de provisionsignificative (de 15 à 20 % du total des provisions) ;significative (de 15 à 20 % du total des provisions) ;

- les flux associés à la survenance de sinistres pendant l’année civilepostérieure à l’inventaire (« exercice N+1 »).



La modélisation de ces différents types de flux diffère : si pour les sinistresconnus une approche ligne à ligne est envisagée, des méthodes agrégées(notamment à l’aide de triangles de liquidation) devront être proposées pourles IBNR et la survenance de l’exercice N+1les IBNR et la survenance de l exercice N+1.

Plus précisément, dans le cadre de la prévoyance les méthodes basées surp , p ydes triangles peuvent être utilisées pour déterminer des effectifs de sinistrés,un modèle étant ensuite proposé pour reconstituer des individus afin d’utiliserensuite les résultats de l’approche de base définie pour les sinistres en cours.



De manière synthétique, la prise en compte de ces trois catégories de fluxconduit à structurer le modèle de la manière suivante :



La première étape de sélection consiste à construire trois groupes de

q2.6. Identification des flux

La première étape de sélection consiste à construire trois groupes desinistres individuels :

- les sinistres en cours, issus d’une méthode d’identification desi i t idé é à l d t d’i t i d l tèsinistres considérés comme en cours à la date d’inventaire dans le système

d’information ;

- les sinistres tardifs, modélisés par des nombres de sinistres parexercice de survenance, à chacun de ces sinistres étant affectées desinformations individuelles permettant de la considérer ensuite comme unsinistre en cours ;

- les sinistres survenus au cours de l’exercice postérieur à la dated’inventaire, retraités selon la même logique.



Les individus constituants ces trois groupes seront considérés comme

q2.6. Identification des flux

Les individus constituants ces trois groupes seront considérés commeindépendants les uns des autres. Le traitement ligne à ligne est effectué de lamême manière pour chacun des trois groupes.

O bti t ti l b t ti t t l di t ib ti d l hOn obtient en sortie le best estimate et la distribution de la charge pourchaque groupe, et pour la somme des trois.

Dans la logique présentée ci-dessus il faut décrire ensuite la manièred’effectuer les calculs sur la base d’une approche « ligne à ligne ».


Sommaire







En désignant par Λ la charge actualisée et I l’ensemble des assurés en

p3.1. Le risque d’échantillonnage

En désignant par Λ la charge actualisée et I l’ensemble des assurés enportefeuille, du fait de l’indépendance des individus et comme on peuttoujours supposer que les prestations sont bornées par une constanteabsolue, la distribution limite de Λ est gaussienne :absolue, la distribution limite de Λ est gaussienne :

( )( ) ( )0 1

I

EN

→∞

Λ − Λ→

Λ,

σi i

i I

p X∈

Λ =∑

Aussi sur la base de la connaissance de l’espérance et de la variance de Λ,la formule précédente permet d’approximer la distribution de la charge future

( )Λσi I∈

la formule précédente permet d approximer la distribution de la charge futureactualisée avec lesquelles on peut aisément calculer des quantiles ou desintervalles de confiance. Par exemple l’intervalle de confiance à 95 % pourest de la forme :


( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 96 1 96IC E E⎡ ⎤Λ = Λ − × Λ Λ + × Λ⎣ ⎦, , ,σ σ


Il suffit donc de savoir calculer l’espérance et la variance de Λ pour connaître

p3.1. Le risque d’échantillonnage

Il suffit donc de savoir calculer l’espérance et la variance de Λ pour connaîtrecomplètement sa loi dans ce cas, ce qui se ramène à connaître ses élémentspour chaque ligne.

Ce risque peut être complexe : on peut y intégrer tous les aléas affectant lesprestations qui se mutualisent entre les individus. Lorsqu’on prend en compteces aléas en plus du risque d’échantillonnage associé au modèle de duréeon utilise alors pour calculer la variance l’équation :

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )V V E P E V PΛ = Λ + Λ



En présence d’autres facteurs de risque seule la distribution conditionnelle à

p3.2. Prise en compte des autres facteurs de risque

En présence d’autres facteurs de risque seule la distribution conditionnelle àces risques présente un caractère gaussien.

Autrement dit, en notant Z la variable aléatoire synthétisant les risques prisen compte, on a la convergence en loi :

( )( ) ( )0 1,

I

Z E ZN

Zσ →∞

Λ − Λ→

Λ

De ce fait la transformée de Laplace de la loi conditionnelle de l’engagementconverge vers la transformée de Laplace d’une gaussienne :

( )2 2u Zσ⎛ ⎞Λ


( ) ( ) ( )2

lim expu

I

u ZE e Z uE Z

σ− Λ

→∞

⎛ ⎞Λ= − Λ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠


On peut donc obtenir la loi globale en remarquant que comme :

p3.2. Prise en compte des autres facteurs de risque

On peut donc obtenir la loi globale en remarquant que comme :

( )( ) ( )( )E g E E g Z⎡ ⎤Λ = Λ⎣ ⎦

on a simplement :

( )( ) ( )( )⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 2

2lim expu

I

u ZE e E uE Z

σ− Λ

→∞

⎛ ⎞⎛ ⎞Λ⎜ ⎟= − Λ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

De la sorte on se ramène à calculer les moments conditionnels (souventpossible analytiquement) et la loi de Z (par simulation).

⎝ ⎠⎝ ⎠


p y q ) (p )


A partir des éléments analysés jusqu’à présent on peut organiser le modèle

p3.3. Logique des calculs

A partir des éléments analysés jusqu’à présent on peut organiser le modèlede la manière suivante :

On peut noter que la première étape est complètement déterministe : il s’agitOn peut noter que la première étape est complètement déterministe : il s agit,à partir des caractéristiques d’un individu, de déterminer la suite de sesprestations futures actualisées.

Chacune de ces étapes est maintenant détaillée


Chacune de ces étapes est maintenant détaillée.


Calcul des chroniques de prestations individuelles


Calcul des chroniques de prestations individuelles

Pour chaque individu on doit, en fonction de ses caractéristiques, descaractéristiques du contrat et de la courbe des taux sans risque calculercaractéristiques du contrat et de la courbe des taux sans risque calculer

le montant actualisé de la prestation qui lui sera versée en t si l’événement

( )ix t

conditionnant le paiement est réalisé (décès, survie, incapacité, etc.).

La prise en comptes des perturbations individuelles et globales se traduit enpratique par la détermination (par simulation a priori) d’une réalisation desp q p (p p )facteurs de risque sur la base desquels on calcule le flux individuel choqué(pour l’état du monde n°k) :

( ) ( ) ( )( )k k kt t t t


( ) ( ) ( )( ), ,k k ki i iy t x t t tε ε=


Exemple


Exemple

Supposons que des erreurs de gestions affectent les dossiers et que leurimpact est sans biais et distribué selon une loi log-normale On a alors :impact est sans biais et distribué selon une loi log normale. On a alors :

( ) ( ) ( ),expi i i ty t x t ε= ×

une loi normale de paramètres :,i tε

2σ⎛ ⎞

C t lé t ff t l b t ti t

2

2,m σ σ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠


Cet aléa est sans effet sur le best estimate.


Exemple


Exemple

Lorsque ces erreurs affectent un contrat avec des prestations en capital,comme on a conditionnellement au niveau des prestations Y :comme on a conditionnellement au niveau des prestations Y :

( ) ( )0

,M

rmi i

i I m

E Y y e p a m−

∈ =

Λ =∑ ∑ ( ) ( ) ( )2

2 2

0 0, ,

M Mrm rm

i i ii I m m

V Y y e p a m e p a m− −

∈ = =

⎛ ⎞⎛ ⎞Λ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

avec . On a donc si

⎝ ⎠

( ) ( )1

0

1,m

a m a hh

p a m q q−

+ +=

= × −∏ ( )i ix E y=

( ) ( )0

,M

rmi i

i I mE x e p a m−

∈ =

Λ =∑ ∑



Exemple


Exemple

Le calcul de la variance est effectué en utilisant

Ce qui conduit à

( ) ( )( ) ( )( )V V E P E V PΛ = Λ + Λ

Ce qui conduit à

( )( ) ( ) ( ) ( )2

2 2

0 0, ,

M Mrm rm

i i ii I m m

E V Y E y e p a m e p a m− −

∈ = =

⎛ ⎞⎛ ⎞Λ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∑⎝ ⎠

( )( ) ( ) ( )2

0

,M

rmi i

i I m

V E Y V y e p a m−

∈ =

⎛ ⎞Λ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑



Exemple


Exemple

Avec une loi log-normale on a :

et donc finalement :

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 21 2 1expi i iV y e m x e xσ σσ= − + = − ×

et donc finalement :

( ) ( ) ( )22

2 2

0 0

, ,M M

rm rmi i i

i I m m

V x e e p a m e p a mσ − −

∈ = =

⎛ ⎞⎛ ⎞Λ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∑0 0i I m m∈ ⎝ ⎠⎝ ⎠



On dispose à l’issue de cette étape de K ensembles de flux de prestations


On dispose à l’issue de cette étape de K ensembles de flux de prestations,en fonction des réalisations des perturbations individuelles et globales.Chaque ensemble est composé des sinistres de l’ensemble I dont lescaractéristiques en matière de risque et de prestation sont ajustées encaractéristiques en matière de risque et de prestation sont ajustées enfonction des perturbations.

Prise en compte des perturbations sur les lois

Les lois de survenance ou maintien peuvent également être perturbées, cequi se matérialise en pratique par le tirage d’un état du monde,correspondant à la détermination de la loi choquée. Par convention on indicetoujours par k le numéro d’ordre de cette perturbation. On obtient à l’issue decette étape une loi de durée décrite par une fonction de survie (conditionnelleà tous les risques intégrés jusqu’alors) kS


à tous les risques intégrés jusqu alors) .iS


Enfin sur la base des éléments ci dessus il reste à déterminer la loi des flux


Enfin, sur la base des éléments ci-dessus il reste à déterminer la loi des fluxactualisés agrégées sur l’ensemble du segment considéré. On dispose pourcela de K états du monde simulés lors des étapes précédentes et, danschacun de ces états, des suites de flux et des probabilités de les payer quechacun de ces états, des suites de flux et des probabilités de les payer quem’on peut considérer comme déterministes. Les impacts des facteurs derisque autres que la fluctuation d’échantillonnage ont été modélisés, il restedonc à traiter ce dernier risque.

Pour cela on distingue l’approche par simulation et l’approche analytique.



Approche analytique


Approche analytique

( ) ( )212

expkK

u k u vu E e umK

− Λ ⎛ ⎞Φ = ≈ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

avec et les espérances et variances empiriques du

( )1 2kK = ⎝ ⎠

k ki

i Im m

∈

=∑ k ki

i Iv v

∈

=∑segment calculées à partir des valeurs individuelles.

On a finalement :

i I∈ i I∈

On a finalement :

( ) ( )2

1

12

expkK

u k

k

u vu E e umK

− Λ

=

⎛ ⎞Φ = ≈ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑



Approche par simulation


Approche par simulation

Pour un individu, on simule la survenance de l’évènement associé à la loidécrite par la fonction survie .k

iSCet événement est interprété comme la date de fin de paiement desprestations pour une rente ou comme la date de paiement de la prestationpour un capital.

En pratique la simulation de cet instant de survenance s’effectue enremarquant que si U est une variable uniforme :

1j j

avec :

1

0 0

j j

i i xi i

p U p T x j−

= =

≤ < → = +∑ ∑

( )1

1i

i x i x jp q q−

+ += × −∏


( )0j=


Les règlements espérés d’un assuré entré en incapacité à l’âge x dont

p3.4. Un exemple : l’incapacité

Les règlements espérés d’un assuré entré en incapacité à l’âge x dontl’ancienneté dans l’arrêt est a sont calculés à l’aide de la formule suivante,pour une prestation unitaire :

( )35

11212

k a x xr k kx

k a a

l lx a r el

−−

+

=

⎡ ⎤+= ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑, ,π

Cette formule permet d’estimer le nombre de jours d’indemnisation espérés àpartir de la loi de maintien en incapacité ; la volatilité associée est :

( ) ( )35

2112 121 1k a k a x xr r k k

xk a a

l lx a r e e x a rr l

− −− −

+

=

⎛ ⎞ ⎡ ⎤+= − −⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎝ ⎠∑, , , ,σ π



Pour mener à bien le calcul ci dessus il faut disposer pour un segment

p3.4. Un exemple : l’incapacité

Pour mener à bien le calcul ci-dessus il faut disposer, pour un segmenthomogène, des données individuelles suivantes :

- Date de naissance ;

- Date de survenance de l’arrêt ;

- Montant de la prestation mensuelle.

Les paramètres suivants sont utilisés :

Taux d’actualisation r ;- Taux d actualisation r ;

- Lois de maintien en incapacité en fonction de l’âge à lasurvenance.



Dans le cas général d’une prestation unitaire payée pendant la durée T en

p3.5. Le cas général des rentes

Dans le cas général d’une prestation unitaire payée pendant la durée T, enobservant que :

{ }1rtT tX e dt

∞−

>= ∫

on trouve que :

{ }0∫

( ) ( )0

rtE X e S t dt∞

−= ∫ ( ) ( ) ( ) ( )2

0

2 1 rt rtV X e e S t dt E Xr

∞− −= − −∫

ce qui conduit aux expressions du transparent précédent.



En pratique les prestations peuvent évoluer au cours du temps et le taux

p3.5. Le cas général des rentes

En pratique les prestations peuvent évoluer au cours du temps et le tauxd’actualisation n’est pas constant. On peut alors noter le montant de laprestation actualisée payée à la date t et

( )x t

le montant cumulé Après quelques calculs on trouve que :

( ) ( )0

u

C u x t dt= ∫le montant cumulé. Après quelques calculs on trouve que :

( ) ( ) ( )E X S t dC t∞

= ∫ ( ) ( ) ( )2 2E X S t dC t∞

= ∫( ) ( ) ( )0∫ ( ) ( ) ( )

0∫


Sommaire






4. Tardifs et survenances de l’exercice

Le processus général retenu peut se décomposer en trois étapes :

4.1. Les tardifs

Le processus général retenu peut se décomposer en trois étapes :

- détermination du nombre de tardifs ;

- choix pour chaque tardif des caractéristiques individuelles quichoix pour chaque tardif des caractéristiques individuelles quipermettront de le projeter.

- projection des flux de ces assurés type sur la base des mécaniquesliés à l’encoursliés à l encours.

Dans le cas de l’arrêt de travail, on peut ne modéliser que l’entrée enincapacité et considérer que l’ensemble des invalidités sont précédées d’unephase d’incapacitéphase d incapacité.



On a recours au modèle de Renshaw et Verrall dans lequel il est supposé

4.1. Les tardifs

On a recours au modèle de Renshaw et Verrall dans lequel il est supposéque les nombres de sinistres tardifs sont modélisés par des lois de Poisson ;on note :

b d’ é é i d là d l’ é d’ i i fi- n : nombre d’années nécessaire au-delà de l’année d’origine afinde dénombrer l’ensemble des sinistres.

- : nombre de sinistres de l’année i déclarés durant l’année i+j,,i jYsupposé suivre une loi de Poisson de paramètre

- i : variable relative aux années d’origine. Elle prend ses valeursentre 1 et n.

,i j i jλ α β= ×

- j : variable relative à la durée courue entre la survenance et ladéclaration du sinistre. Elle prend ses valeurs entre 1 et n-i+1.

Le modèle est rendu identifiable en imposant 1n

β =∑


Le modèle est rendu identifiable en imposant1

1jjβ

=

=∑

4. Tarifs et survenances de l’exercice

L’estimation des paramètres est effectuée par maximum de vraisemblance

4.1. Les tardifs

L’estimation des paramètres est effectuée par maximum de vraisemblance,qui s’écrit :

( ) ( )( ),ln , lni j i j i ji j

L c yα β α β α β= + − +∑

Les équations de vraisemblance,

,i j

1

11

,

n i

i jj

i n i

yα

β

− +

=− +=∑

∑1

,

n

i ji

j n

yβ ==

∑

∑

doivent être résolues par une méthode numérique.

1j

j

β=∑

1i

i

α=∑


p q


Le nombre de sinistres de l’année N+1 dépendant du chiffre d’affaires il est

4.2. Les sinistres de l’exercice

Le nombre de sinistres de l’année N+1 dépendant du chiffre d’affaires, il estnécessaire de définir les primes futures devant être retenues dans le calcul.

Ce point est traité par le CEIOPS dans le consultation paper n°30, que l’ont é i ipeut résumer ainsi :

- dès lors que l’assureur peut changer unilatéralement le niveau desprimes futures ou des garanties associées, celles-ci ne doivent pas êtreprises en compte dans l’évaluation de la provision technique.

- les renouvellements de contrats et extensions de garanties nedoivent être pris en compte que s’ils constituent un droit pour l’assuré (qu’ilest libre d’exécuter ou non) et que leur prise en compte conduit à augmenterl’évaluation best estimate.

- dès lors que l’assureur a un droit légal sur les paiements futurs des


q g passurés ces derniers doivent être intégrés.


Aussi sur le périmètre de la présente étude aucune prime de l’exercice N+1

4.2. Les sinistres de l’exercice

Aussi sur le périmètre de la présente étude, aucune prime de l’exercice N+1ne doit être prise en compte. Cette étude est basée sur un calcul au 31/12/N,aussi les sinistres de l’exercice N+1 correspondent aux sinistres liés auxprimes couvrant l’exercice N+1 et payées avant le 1er janvier N+1, cesprimes couvrant l exercice N 1 et payées avant le 1er janvier N 1, cesprimes correspondant à la provision pour primes non acquises constituée au31/12/N.

De ce fait et en notant le montant de la provision pour primes non acquisesDe ce fait, et en notant le montant de la provision pour primes non acquisesau 31/12/N, le nombre de sinistres de l’exercice N+1 peut être modélisé parune loi de Poisson de paramètre :

NPPNAμ ×


4. Tarifs et survenances de l’exercice

On dispose d’une ventilation des nombres de sinistres tardifs par année

4.3. Choix des caractéristiques individuelles des sinistres

On dispose d’une ventilation des nombres de sinistres tardifs par annéed’origine et année de déclaration et de sinistres de l’exercice.

Afin de pouvoir projeter des flux de prestations, il est nécessaire d’affecter àh i i t d i f ti i di id ll i tt t d l t itchaque sinistre des informations individuelles qui permettront de le traiter

ensuite comme un sinistre en cours.

Il est fait l’hypothèse que la répartition des caractéristiques individuelles decette population est identique à celle de la population des sinistres en coursde même ancienneté.

En termes de mise en œuvre, dans un cadre de simulation, cela implique quel’on doive sélectionner aléatoirement avec remise des individus parmi lessinistres en cours ayant la même ancienneté que le sinistre tardif àmodéliser.


Conclusion

Dans cette présentation on décrit une méthode de détermination de deuxéléments associés à la suite des flux de prestations futurs actualisés :éléments associés à la suite des flux de prestations futurs actualisés :

- le best estimate ;

- la distribution associée.

Du point de vue opérationnel, cette méthode mêle des calculs directs (pour leDu point de vue opérationnel, cette méthode mêle des calculs directs (pour lebest estimate) et des techniques de simulation.

La modèle proposé permet de disposer d’un moteur de projection unique pourLa modèle proposé permet de disposer d un moteur de projection unique pourl’ensemble des sinistres, en cours, tardifs et deux issus de la survenance del’exercice postérieur à l’inventaire, ce qui est de nature à simplifierl’implémentation informatique et à limiter le risque opérationnel


l implémentation informatique et à limiter le risque opérationnel.

Conclusion

Au surplus, afin d’éviter de définir des règles peu robustes et délicates àcalibrer les caractéristiques des sinistres tardifs et de la survenance N+1 sontcalibrer, les caractéristiques des sinistres tardifs et de la survenance N+1 sontsupposées distribuées de la même manière que les sinistres en cours ayantla même ancienneté. Cela conduit pour leur sélection à proposer uneméthode de type boostrap en effectuant des tirages avec remise dans laméthode de type boostrap en effectuant des tirages avec remise dans lapopulation des encours.

Il reste alors à spécifier les lois des perturbations du phénomène de base deIl reste alors à spécifier les lois des perturbations du phénomène de base depaiement de prestations connues avec des lois de durée connues prises encompte. Cette spécification permettra notamment de définir la répartition entreles éléments calculés explicitement et ceux nécessitant le recours à desapproximations par simulation.


Références bibliographiquesDENUIT M., CHARPENTIER A. [2005] Mathématiques de l'assurance non-vie - Tome 2, Tarification et provisionnement, Paris :

Economica

FÉLIX J P PLANCHET F [2009] « Mesure des risques de marché et de souscription vie en situation d’information incomplète

g p q

FÉLIX J.P., PLANCHET F. [2009] « Mesure des risques de marché et de souscription vie en situation d information incomplètepour un portefeuille de prévoyance. », Bulletin Français d’Actuariat, vol. 9, n°18.

PLANCHET F. [2009] « Provisionnement best estimate et risque arrêt de travail. », la Tribune de l’Assurance (rubrique « le motde l’actuaire »), n°140 du 01/10/2009.

PLANCHET F., JUILLARD M., THÉROND P.E. [2008] « Perturbations extrêmes sur la dérive de mortalité anticipée »,Assurances et gestion des risques, Vol. 76 (3).

PLANCHET F., JUILLARD M. [2006] « Mesure de l’incertitude tendancielle sur la mortalité – application à un régime de rentes »,Assurances et gestion des risques, Vol. 75 (3).

PLANCHET F., THÉROND P.E. [2006] Modèles de durée – applications actuarielles, Paris : Economica.

RENSHAW, VERRALL R.J. [1998] « A stochastic model underlying the chain ladder technique », British Actuarial Journal, Vol. 4.

VERRALL R.J. [1991] « On the estimation of reserves from loglinear models », Insurance: mathematics and economics, vol. 10,75-80.

http://www.ressources-actuarielles.net


Contacts

Frédéric PLANCHET Marc [email protected] [email protected]

WINTER & AssociésB rea de Paris B rea de L onBureau de Paris

43-46 avenue de la Grande ArméeF-75 116 Paris

+33-(0)1-45-72-63-00

Bureau de Lyon55 avenue René CASSIN

F-69 009 Lyon+33-(0)4-37-37-80-90

http://www.winter-associes.fr/http://www.ressources-actuarielles.net/// / /


http://actudactuaires.typepad.com/laboratoire/

Documents

Modélisation des risques de passif d’un portefeuille de ......précédent, et d’un risque non-vie classique ; - le risque associé aux rentes (annuities), qui bénéficie d’un