Modélisation par Éléments Finis - Cours de Master 1 Génie

Version 2018

Modélisation par Éléments Finis - Cours de Master 1Génie Mécanique en Aéronautique

P. Navarro, J.F. Ferrero

Filière Génie Mécanique en AéronautiqueUniversité Toulouse III - Paul Sabatier

http://www.mecaero.ups-tlse.fr/

PLAN

1. Introduction

2. Principe de la Méthode des Éléments Finis

3. Construction d'un élément ni

4. Résolution du problème complet

5. Fonctionnement d'un code de calcul EF

6. Exemple de formulation d'éléments

7. Discussions

8. AnnexesMaster 1 GMA Méthode Éléments Finis 2/75

? ? ?

Introduction? ? ?

Master 1 GMA Méthode Éléments Finis 3/75

IntroductionGénéralités sur la MEF

• Méthode des Éléments Finis : Méthode de résolution numérique. Discrétisation du domaine. Concrètement : méthode de calcul de comportement même très complexes.

• De très nombreux domaines d'application : Thermique, Fluidique, Acoustique, Mécanique des structures, etc...

Exemple de calcul acoustique

Écoulement d'un uide Exemple de calcul en thermique


IntroductionGénéralités sur la MEF

La Méthode des Éléments Finis pour le calcul de structure :• De nombreux logiciels :

...

• Diérents domaines de calcul, par exemple :

Statique linéaire Statique non-linéaire

Dynamique vibratoire Dynamique rapide


IntroductionLa Méthode des Éléments Finis pour le calcul de structures

IMPORTANT

Avant de "cliquer" il faut absolument comprendre ce qu'il y a codé dans ces logiciels. Ilest nécessaire d'avoir un recul face aux résultats fournis par le logiciel pour pouvoirapporter une analyse :

C'est le niveau attendu en sorti de Master !

Exemple : Poutre en exion - Calcul de la èche

La solution RDM est donnée par :

v(x) = − p

2EI

(l2x2

2− lx3

3+x4

12

)AN : èche en A :

vA = v(l) = −0.893mm




Flèche en A :

vA = −0.893mm

Modélisation 1 : Éléments volumiques

• Éléments 8 noeuds

• Éléments linéaires "pardéfaut"

• Taille 2mm

• Un élément dans l'épaisseur

Question : ce modèle vous semble-t-il pertinent ?




Flèche en A :

vA = −0.893mm

Modélisation 1 : Éléments volumiques

Question : ce modèle vous semble-t-il pertinent ?Réponse : NON !

• Flèche max = -82.1 mm

• Erreur relative = 9000%




Flèche en A :

vA = −0.893mm

Modélisation 2 : Éléments 2D membrane


• Éléments membrane

• Taille 2mm





Flèche en A :

vA = −0.893mm

Modélisation 2 : Éléments 2D membrane


• Le calcul ne tourne pas

• Erreur type "excessive pivot ratio"

• Élément membrane : pas de raideur en exion !




Flèche en A :

vA = −0.893mm

Modélisation 3 : Éléments 2D plaque


• Éléments plaque ("shell")

• Taille 2mm





Flèche en A :

vA = −0.893mm


Question : ce modèle vous semble-t-il pertinent ?Réponse : OUI


• Erreur relative = 0.95%




Flèche en A :

vA = −0.893mm



• Éléments plaque ("shell")

• Taille 10mm





Flèche en A :

vA = −0.893mm


Question : ce modèle vous semble-t-il pertinent ?Réponse : OUI... si on ne veut que la èche


• Erreur relative = 0.3%

• 25x moins d'éléments =calcul moins coûteux

• Champs de contraintestrès "grossier"




Flèche en A :

vA = −0.893mm

Modélisation 5 : Éléments 1D poutre


• Éléments poutre ("beam")

• Taille 100mm = 1 seulélément





Flèche en A :

vA = −0.893mm




• Erreur relative > 10000%

• Bien que comparé à solutionRDM (calcul de poutre), unseul élément poutre ne sutpas dans ce cas




Flèche en A :

vA = −0.893mm



• Éléments poutre ("beam")

• Taille 2mm = 50 éléments





Flèche en A :

vA = −0.893mm


Question : ce modèle vous semble-t-il pertinent ?Réponse : OUI


• Erreur relative ' 0%


? ? ?

Principe de la Méthode des Éléments Finis? ? ?


Principe MEFFormulation du problème

Rappel des équations d'équilibre local pour un solide élastique :

• Soit un point P ∈ Ω

εij(P ) =1

2(∂ui

∂xj(P ) +

∂uj

∂xi(P )) (1)

ρf(P ) + div(σ(P )) = 0 (2)

σ(P ) = Cε(P ) (3)

• Conditions aux limites :

Si P ∈ ∂Ωu alors :

u(P ) = ud(P ) (4)

Si P ∈ ∂ΩT alors :

σ(P ) · n(P ) = Td(P ) (5)

C'est ce qu'on appelle la formulation forte

Ces équations peuvent dicilement être appliquées telles quelles sur des structuresréelles. Il est donc nécessaire de trouver une méthode pour calculer le champs dedéplacement et les tenseurs de déformation et de contrainte dans le cas de structurescomplexes.



Solution : discrétiser le domaine Ω en éléments simples = Méthode des Éléments Finis



Solution : discrétiser le domaine Ω en éléments simples = Méthode des Éléments Finis

• Ω décomposé en éléments discretsinter-connectés par des noeuds

• le champ de déplacement dans chaque élémentest déni de manière approximée par desfonctions d'interpolation

• le comportement de Ω est caractérisé par unnombre ni de paramètres : le déplacement desnoeuds (q : vecteur des degrés de liberté)

• les conditions limites et le chargement sontdiscrétisés et appliqués aux noeuds

Éléments linéiques (1D)

Théorie des poutres

Éléments surfaciques (2D)

Théorie des plaques

Éléments volumiques (3D)

MMC

Comment déterminer q ?

L'objectif est de trouver les déplacements des noeuds. A partir de ces déplacements, onpeut déduire les tenseurs grâce aux fonctions d'interpolation. Pour trouver q, on utiliseune méthode énergétique (méthode de Ritz).


Principe MEFMéthode de Ritz

Rappels :• un champs de déplacement est dit "cinématiquement admissible" si il est continusur le domaine et s'il respecte les conditions aux limites.

Exemple : èche d'une poutre

exemple 1 :

v1(x) = a(l2x2 − 2lx3 + x4

) exemple 2 :

v2(x) = a[cos(

2πx

l

)− 1]

• Dans nos hypothèses (statique, HPP, linéaire élastique), l'Énergie Potentielle Totale(EPT) est dénie comme étant la diérence entre l'énergie élastique de déformation(Welas) et le travail des eorts extérieurs appliqués sur le système (WFext) :

EPT = Welas −WFext (6)

Principe du minimum de l'Énergie Potentielle Totale (EPT)

Parmi tous les champs de déplacement cinématiquement admissibles, celui qui minimisel'EPT correspond à la solution.Pour un corps en équilibre stable, cet extrémum de l'EPT est un minimum absolu.


Principe MEFMéthode de Ritz

Méthode de Ritz (Galerkin) :

• Méthode de résolution de problèmes en élasticité

• On exprime le champs de déplacement u dans une base de N fonctions ϕi

cinématiquement admissibles :

u =N∑i=1

(aiϕi) (7)

• On applique le principe du minimum de l'EPT. La meilleure approximation est donccelle qui vérie :

∂(EPT )

∂ai= 0 i = 1 . . . N (8)

Exemple : poutre en exion

On pose v(x) = ax2

Trouver la valeur de a qui minimisel'EPT. Rappel :

Welas =1

2

∫ 2l

0

(Mz(x))2

EIzdx


Principe MEFMéthode de Ritz par morceaux = MEF

Revenons à notre système discrétisé :

• Ici, les inconnues qui caractérise le comportement de Ω sont les Nddl des noeuds : qT = q1 q2 · · · qN

• Le comportement du système est linéaire élastique, d'où :

Welas =1

2qTKq (9)

où K est appelée Matrice de Raideur du système

• Le travail des eorts extérieurs s'exprime sous la forme :

WFext = Fq (10)

où F est le vecteur des eorts extérieurs appliqués aux noeuds

• Méthode de Ritz (equ (8)) : le champs de déplacement solutionvérie :

∂(Welas −WFext )

∂qi= 0 i = 1 . . . N (11)

Ce qui donne le système suivant :

Kq = F (12)


Principe MEFApplication à un élément simple

Principe du calcul de matrices de raideur

• Exprimer l'énergie élastique de l'élément...

Welas =1

2

∫Ω

σ : ε dΩ (13)

• ... sous la forme de l'équation (9) :

Welas =1

2qTKq

Exemple 1 : barre horizontale

Exemple 2 : barre oblique


? ? ?

Construction d'un élément ni? ? ?


Construction d'un élément niFonctions de forme / Fonctions d'interpolation

Fonctions (notées NI) qui relient les déplacements d'un pointquelconque intérieur à un élément u(P ) aux n déplacementsnodaux q, qui sont les degrés de liberté (ddl).

Exemple en 2D

u(P ) =

ux(x, y)uy(x, y)

=

∑4I=1 NI(x, y)uIx∑4I=1 NI(x, y)uIy

= N(P ).q

• Pour un élément : autant de fonctions de forme que de ddl dans l'élément(généralement, une fonction de forme par noeud, utilisée pour plusieurs ddl)• Assure passage problème continu ↔ problème discret• La connaissance des déplacements aux noeuds permet de reconstruire le champs dedéplacement dans l'élément• Le déplacement de P (x, y) est une combinaison linéaire des ddl, dont lescoecients sont les valeurs des fonctions de forme en ce point• Soit (xI , yI) les coordonnées du noeud I. L'indice des autres noeuds est notéJ 6= I. On a alors :

NI(xI , yI) = 1 ; NI(xJ , yJ) = 0


Construction d'un élément niFonctions de forme / Fonctions d'interpolation

Exemples :

Fonction de forme d'un élément 1D barre

Nombre ddl = 2.Fonctions d'ordre 1.On sait que NI(xJ) = δIJ , d'où :

N1(x) =l − xl

= 1− x

let N2(x) =

x

l

Fonction de forme d'un élément 1D poutre en exion

Nombre ddl = 4.Ordre des fonctions ?RDM → v(x) d'ordre 3.

v(x) = Nv1(x)v1 +Nθ1(x)θ1 +Nv2(x)v2 +Nθ2(x)θ2

D'après les conditions aux limites et sachant que NI(xJ) = δIJ , on obtient :

Nv1 (x) = 1−3x2

l2+

2x3

l3; Nθ1 (x) = x−

2x2

l+x3

l2; Nv2 (x) =

3x2

l2−

2x3

l3; Nθ2 (x) = −

x2

l+x3

l2


Construction d'un élément niCalcul de la matrice de raideur d'un élément

Méthodologie générale :

• Élément quelconque vecteur ddl q et matrice des fonctions de formes N

• On calcule l'énergie élastique :

Welas =1

2

∫Ω

σ : ε dΩ =1

2

∫Ω

∑i

∑j

σijεij dΩ =1

2

∫Ω

σT .ε dΩ (14)

• On sait que (equ (1)) :

εij(P ) =1

2(∂ui∂xj

(P ) +∂uj∂xi

(P ))

• Orui(P ) =

∑I

NI(P )uIi

• D'où :∂ui∂xj

(P ) =∑I

((∂NI(P )

∂xj

)uIi

)



Méthodologie générale :

• Donc il existe une matrice B (matrice des dérivées des fonctions de forme) telle que :

ε(P ) = B(P ).q

• Remarque : B(P ) peut se mettre sous la forme B(P ) = D.N(P ) Exemple de matrice D (2d) :

∂

∂x0

0∂

∂y∂

∂y

∂

∂x

• On sait que, pour un matériau élastique isotrope, on a :

σ(P ) = C.ε(P ) = C.B(P ).q

• D'où :

Welas =1

2

∫Ω

σT .ε dΩ =1

2

∫Ω

qT .BT (P ).CT .B(P ).q dΩ



Méthodologie générale :• Or C est symétrique et q ne dépend pas du point P , d'où :

Welas =1

2qT .

(∫Ω

BT (P ).C.B(P ) dΩ

).q

• Par identication, on a donc :

K =

∫Ω

BT (P ).C.B(P ) dΩ

Calcul de la matrice de raideur d'un élément triangle

2 ddl par noeudqT = u1 v1 u2 v2 u3 v3Calculer la matrice de raideur K

Fonctions de formes du premier ordreNI(x, y) = AIx+BIy + CIModule : E, coef de Poisson : ν




• Fonctions de forme ?

N1(x, y) = 1− x

l− y

l; N2(x, y) =

x

l; N3(x, y) =

y

l

• Matrice N(x, y) ?

u(x, y) =

u(x, y)v(x, y)

= N(x, y).q⇒ N(x, y) =

[N1 0 N2 0 N3 00 N1 0 N2 0 N3

](x, y)

• Matrice D ?

ε(x, y) =

εxx(x, y)εyy(x, y)2εxy(x, y)

= D.u(x, y) =

∂

∂x0

0∂

∂y∂

∂y

∂

∂x

u(x, y)v(x, y)




• Matrice B ?

ε(x, y) = B(x, y).q ⇒ B(x, y) = D.N(x, y)

B(x, y) =1

l

−1 0 1 0 0 00 −1 0 0 0 1−1 −1 0 1 1 0

• Matrice C ?

σ(x, y) =

σxx(x, y)σyy(x, y)σxy(x, y)

= C.


=E

1− ν2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

2





• Matrice K ?

K =

∫V

BT .C.B dx dy dz

K =Eh

4(1− ν2)

3− ν 1 + ν −2 −1 + ν −1 + ν −2ν1 + ν 3− ν −2ν −1 + ν −1 + ν −2−2 −2ν 2 0 0 2ν−1 + ν −1 + ν 0 1− ν 1− ν 0−1 + ν −1 + ν 0 1− ν 1− ν 0−2ν −2 2ν 0 0 2


Construction d'un élément niCalcul du vecteur des eorts extérieurs

Méthodologie générale :• Pour trouver F, vecteur des eorts extérieurs appliqués aux noeuds, il faut partir del'expression de WFext et identier :

WFext = F.q

• Or :

WFext =

∫Ω

fext(P )u(P ) dΩ =

∫Ω

fext(P )N(P ).q dΩ

• Par identication, on a donc :

F =

∫Ω

fext(P )N(P ) dΩ

Calcul du vecteur eort équivalent à un chargement linéique constant

FT = F1 M1 F2 M2

WFext =

∫ l

0

(−p).v(x) dx

Fonctions de formes données page 29

F1 = −∫ l

0

pNv1(x) dx = −pl2

; M1 = −∫ l

0

pNθ1(x) dx = −pl2

12; F2 = −pl

2; M2 =

pl2

12


? ? ?

Résolution du problème complet? ? ?


Résolution du problème completAssemblage de la matrice de raideur globale

Dénition :

• Construction de la matrice de raideur globale qui relie tous les ddl du système auxeorts extérieurs appliqués à tous les noeuds du système

Méthode :

• On construit tout d'abord une matrice "vide" de dimension égale au nombre de ddlque comporte le système

• Si ce n'est déjà fait, on exprime les matrices de raideur élémentaire dans le repèreglobal

• On prend chaque matrice élémentaire une à une, et on reporte ses termes dans lamatrice de raideur globale, dans les "cases" correspondant aux ddl de l'élémentconsidéré

• Les contributions de deux raideurs sur un même ddl sont sommées


Résolution du problème completAssemblage de la matrice de raideur globale

Méthode :

Exemple : assemblage de ressorts de raideur k

q =

u1

u2

u3

u4

u5

; K =

k+k+k+k −k−k −k −k 0−k−k k+k+k −k 0 0−k −k +k + k+k 0 −k−k 0 0 +k+k −k0 0 −k −k k+k


Résolution du problème completRésolution du système

Méthode de résolution :• On pose le système linéaire donné par la méthode des éléments nis• On écrit les conditions aux limites

Exemple : assemblage de ressorts de raideur k (suite)

k

4 −2 −1 −1 0−2 3 −1 0 0−1 −1 3 0 −1−1 0 0 2 −10 0 −1 −1 2

u1

u2

u3

u4

u5

=

F1

F2

F3

F4

F5

⇒ k

4 −2 −1 −1 0−2 3 −1 0 0−1 −1 3 0 −1−1 0 0 2 −10 0 −1 −1 2

0u2

u3

u4

0

=

F1

0F2FF5

Comment résoudre ?

Pour les systèmes de très faible dimensions, la résolution directe "à la main" est possible.Pour les systèmes réels, nous passerons par une résolution numérique, ce qui nous amèneà réécrire le système ⇒ c'est la pénalisation.Master 1 GMA Méthode Éléments Finis 40/75

Résolution du problème completRésolution du système

Pénalisation & Résolution :• Principe :

on cherche à se ramener à un système du type A.x = b, où x est le vecteur desinconnues du système et où A et b sont totalement connus

La solution pourra être calculée alors directement par x = A−1.b

• Méthode : on résout le système en deux temps : on trouve d'abord les ddl inconnus et ensuite les

eorts de réaction on commence donc par extraire le sous-système qui permet de trouver les ddl

inconnus : c'est le système pénalisé une fois tous les ddl connus, on revient on système global pour trouver les eorts

inconnus

Exemple : assemblage de ressorts de raideur k (suite & n )

Le système pénalisé est donné en bleu :

k

4 −2 −1 −1 0−2 3 −1 0 0−1 −1 3 0 −1−1 0 0 2 −10 0 −1 −1 2

0u2

u3

u4

0

=

F1

0F2FF5

⇒ u2 = F

8ku3 = 3F

8ku4 = F

puis

F1 = − 13

8F

F5 = − 118F


? ? ?

Fonctionnement d'un code de calcul EF? ? ?


Fonctionnement d'un code de calcul EFStructure

• Choix de la stratégie de modélisation

• Entrée des données géométriques, CL et matériaux• Discrétisation de la géométrie (maillage)

Stockage des coordonnées des noeuds Numérotation des noeuds (identiants) Numérotation des éléments Table de connectivité éléments/noeuds

• Calcul de Kglob : Boucle sur les éléments Calcul des Kelem

Assemblage de Kelem dans Kglob

• Résolution du système Identication des ddl inconnus ⇒ Matrice pénalisée Résolution du système pénalisé ⇒ Déplacements inconnus Calcul des eorts inconnus Kglob.q = F

• Post traitement Calcul des contraintes dans chaque élément (au point d'intégration) Calcul des estimateurs d'erreur a posteriori Visualisation graphique Analyse

En rouge = travail de l'utilisateur.Le reste c'est ce qui se passe dans le code de calcul.


Fonctionnement d'un code de calcul EFÉléments isoparamétriques

Problématique :

• Maillage réel : éléments de formes variables

• Calcul de K : calcul fonctions de formes pour élément quelconque ?

Solution :• À chaque élément réel, on associe un élément de référence• Fonctions de forme dénies sur élément de référence• Le passage de l'élément de référence à l'élément réel se fait grâce à unetransformation géométrique• Autrement dit la géométrie réelle est une interpolation de la géométrie de référence

Dénition : élément isoparamétrique

Un élément est dit isoparamétrique si les mêmes fonctions d'interpolation sont utiliséespour décrire ses champs de déplacements et sa géométrie.Master 1 GMA Méthode Éléments Finis 44/75

Fonctionnement d'un code de calcul EFÉléments de référence

Dénition : élément de référence

Un élément de référence est un élément idéalisé de géométrie très simple pour lequelseront dénies les fonctions de formes. C'est à partir des calculs fait sur cet élémentqu'on construit les éléments physiques "réels".

• On associe à un élément de référence un repère de référence (noté (r, s) ou (η, ξ))

• Généralement ses dimensions sont bornées entre −1 et 1

• Pour un élément isoparamétrique, le passage de l'élément de référence à l'élémentphysique se fait grâce aux fonctions de formes, dénies dans le repère de référence.

Exemple : élément de référence quadrangle linéaire et triangle linéaire


Fonctionnement d'un code de calcul EFCalculs à partir d'un élément de référence

Exemple en 2DRappel, avant nous avions :

K =

∫ΩBT (x, y).C.B(x, y) dΩ avec B(x, y) = D.N(x, y)

B : matrice des dérivées par rapport à x et y des fonctions de forme N(x, y).

• Si on utilise un élément de référence, alors les fonctions de forme sont dénies dansle repère (r, s) : N(r, s)

• Pour dériver on doit donc utiliser la matrice jacobienne J telle que :∂NI

∂r∂NI

∂s

= J.

∂NI

∂x∂NI

∂y

=

∂x∂r ∂y

∂r∂x

∂s

∂y

∂s

∂NI

∂x∂NI

∂y

Le déterminant de cette matrice est appelé jacobien. Il quantie la distorsion de

l'élément. Si la distorsion de l'élément est acceptable, alors det(J) 6= 0, et J est inversible Remarque, pour un élément isoparamétrique :

J =

∑ ∂NI(r, s)

∂rxI

∑ ∂NI(r, s)

∂ryI∑ ∂NI(r, s)

∂sxI

∑ ∂NI(r, s)

∂syI



Exemple en 2D

• Remarque : la matrice B(x, y) est donc une fonction de (r, s) : B(r, s)

• Rappel : changement de variables :∫ ∫S

g(x, y) dxdy =

∫ 1

−1

∫ 1

−1

g(r, s) det(J(r, s)) drds

• Il en résulte que :

K =

∫Ω

BT (x, y).C.B(x, y) dΩ = e

∫ 1

−1

∫ 1

−1

BT (r, s).C.B(r, s) det(J(r, s)) drds

Application en 1D : élément barre



Application en 2D : élément triangle isoparamétrique linéaire

• Fonctions de forme ?

N1(r, s) = 1− r − s ; N2(r, s) = r ; N3(r, s) = s

• Matrice N(r, s) ?

u = N(r, s).q⇒ N(r, s) =

[1− r − s 0 r 0 s 0

0 1− r − s 0 r 0 s

]




• Matrice D ?

ε(x, y) =

∂

∂x0

0∂

∂y∂

∂y

∂

∂x

u(r, s)v(r, s)

or

∂

∂x∂

∂y

=

∂r

∂x

∂s

∂x∂r

∂y

∂s

∂y

∂

∂r∂

∂s

= J−1

∂

∂r∂

∂s

D =

∂

∂x0

0∂

∂y∂

∂y

∂

∂x

=

1 0 0 00 0 0 10 1 1 0

∂r

∂x

∂s

∂x0 0

∂r

∂y

∂s

∂y0 0

0 0∂r

∂x

∂s

∂x

0 0∂r

∂y

∂s

∂y

∂

∂r0

∂

∂s0

0∂

∂r

0∂

∂s

= A.J2.Drs

• Calcul de J ?

J =

∂x∂r ∂y

∂r∂x

∂s

∂y

∂s

=

∑3I=1

∂NI(r, s)

∂rxI

∑3I=1

∂NI(r, s)

∂ryI∑3

I=1

∂NI(r, s)

∂sxI

∑3I=1

∂NI(r, s)

∂syI

=

[x2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

]




• Calcul de J−1 ?

J−1 =1

(x2 − x1)(y3 − y1)− (x3 − x1)(y2 − y1)

[y3 − y1 x1 − x3

y1 − y2 x2 − x1

]

• Matrice B ?B(r, s) = D.N(r, s) = A.J2.Drs.N(r, s)

• Matrice K ?

K = e

∫ ∫S

BT .C.B det(J) drds = eS BT .C.B det(J)


Fonctionnement d'un code de calcul EFIntégration numérique

Problématique :

• En pratique, le calcul de det(J(r, s)) ne se fait pas explicitement• det(J(r, s)) est obtenu en faisant un rapport du volume réel et du volume deréférence

Pour un cube, det(J(r, s)) =Vreel

Vreference

• Conséquence : B(r, s) n'est pas directement exprimée en fonction de r et s

• L'intégration analytique est impossible ⇒ intégration numérique

Méthodes d'intégration numérique

Méthodes qui permettent d'évaluer l'intégrale d'une fonction sur un domaine à partir dela valeur de la fonction prise en un certain nombre de points particuliers du domaine,appelés points d'intégration.

Il existe de nombreuses méthodes :

• Méthode du rectangle

• Méthode des trapèzes

• Méthode de Simpson

• Méthode de Gauss

• ...



Méthode d'intégration de Gauss :

• Méthode couramment utilisée pour le calcul élément nis

• Permet de calculer numériquement la valeur d'intégrales de polynômes

• Intégrale calculée en faisant la somme pondérée de la valeur de la fonction prise enn points particuliers (qu'on appelle points d'intégration)

• Pour évaluer de manière exacte l'intégrale d'un polynôme de degré inférieur ou égalà 2n− 1 il faut n points

Quadrature de Gauss

Soit g(x) une fonction à intégrer sur [−1, 1]. On a alors :∫ 1

−1

g(x) dx =n∑i=1

ωi.g(xi)

• n : nombre de points d'intégration (PI)

• xi : position des PI

• ωi : poids associé au PI

n ωi xi1 2 02 1, 1 − 1√

3, 1√

3

3 59, 8

9, 5

9−√

35, 0,√

35



Méthode d'intégration de Gauss :

Exemple d'intégration par la méthode de Gauss

• Calculer l'intégrale de g(x) = x5 + 2x4 − 7x+ 1 sur [−1, 1].

• Calculer l'intégrale de g(x, y) = x+ 2xy − 1 pour (x, y) ∈ [−1, 1]2.

Exemple en 2D pour un élément quadrangle

! ! ! Contraintes et déformations calculées au point d'intégration (ou point de Gauss) ! ! !



Sous intégration et problème d'Hourglass

• Plus on a de points d'integration, plus la mémoire nécessaire pour calculer K doitêtre grande

• Solution : prendre le moins de points d'intégration possible

En 2D pour un élément quadrangle

• Energie élastique évaluée au centre

• Il existe des déplacements pour lequell'énergie interne reste nulle

• On appelle ça des modes dedéformation à énergie nulle, ou moded'Hourglass



Sous intégration et problème d'Hourglass

En 2D pour un élément quadrangle

• Energie élastique évaluée au centre

• Il existe des déplacements pour lequell'énergie interne reste nulle

• On appelle ça des modes dedéformation à énergie nulle, ou moded'Hourglass

• L'Hourglass existe pour les éléments plaque à 4 noeuds à 1 point d'intégration etpour les éléments volume à 8 noeuds à 1 point d'intégration.

• Pour empêcher ce phénomène, on injecte une énergie purement numérique dans lemodèle

• Cette énergie numérique est appelée "énergie parasite". Elle doit être contrôléeaprès chaque calcul !


? ? ?

Exemple de formulation d'éléments? ? ?


Exemple de formulation d'élémentsÉlément barre isoparamétrique en 2D

Barre 2D (rod)Elément iso paramétrique associé :

Fonctions de forme :

N1(r) =1

2(1−r) ; N2(r) =

1

2(1+r)

Matrice de raideur élémentaire :En posant cos θ = c et sin θ = s :

q =

u1

v1

u2

v2

→ K =ES

L

c2 cs −c2 −cscs s2 −cs −s2

−c2 −cs c2 cs−cs −s2 cs s2


Exemple de formulation d'élémentsÉlément poutre en 2D

Poutre 2D (beam)

Fonctions de forme (exion) :v(x) = N(x)t.qf

avec

qf =

v1

θ1v2

θ2

; N(x) =

Nv1 (x) = 1− 3x2

l2+ 2x3

l3

Nθ1 (x) = x− 2x2

l+ x3

l2

Nv2 (x) = 3x2

l2− 2x3

l3

Nθ2 (x) = −x2

l+ x3

l2

Matrice de raideur élémentaire :

q =

u1

v1

θ1

u2

v2

θ2

→ K =

ESL

0 0 −ESL

0 00 12EI

L36EIL2 0 −12EI

L36EIL2

0 6EIL2

4EIL

0 −6EIL2

2EIL

−ESL

0 0 ESL

0 00 −12EI

L3−6EIL2 0 12EI

L3−6EIL2

0 6EIL2

2EIL

0 −6EIL2

4EIL


Exemple de formulation d'élémentsÉlément 2D membrane à 3 noeuds linéaire isoparamétrique

Membrane linéaire à 3 noeuds 2D

Matrice de raideur élémentaire :Voir précédement

Elément isoparamétrique associé


N(r, s) =

N1(r, s) = 1− r − s

N2(r, s) = rN3(r, s) = s


Exemple de formulation d'élémentsÉlément 2D membrane à 4 noeuds linéaire isoparamétrique

Membrane linéaire à 4 noeuds 2D


VOIR PROJET

Élément isoparamétrique associé


VOIR PROJET


Exemple de formulation d'élémentsÉlément 2D membrane à 3 noeuds quadratique isoparamétrique

Membrane quadratique à 3 noeuds 2D


• Matrice de dim 12x12

• Même méthode de calcul que Tria3

Élément isoparamétrique associé


• On pose λ = 1− r − s• On a alors :

N(r, s) =

N1(r, s) = λ(2λ− 1)N2(r, s) = r(2r − 1)N3(r, s) = s(2s− 1)N4(r, s) = 4rλN5(r, s) = 4rsN6(r, s) = 4sλ


Exemple de formulation d'élémentsÉlément 2D membrane à 4 noeuds quadratique isoparamétrique

Membrane quadratique à 4 noeuds 2D


• Matrice de dim 16x16

• Même méthode de calcul queTria3, Tria6 et Quad8

Elément isoparamétrique associé


N(r, s) =1

4

N1(r, s) = −(1− r)(1− s)(1 + r + s)N2(r, s) = −(1 + r)(1− s)(1− r + s)N3(r, s) = −(1 + r)(1 + s)(1− r − s)N4(r, s) = −(1− r)(1 + s)(1 + r − s)

N5(r, s) = 2(1− r2)(1− s)N6(r, s) = 2(1 + r)(1− s2)N7(r, s) = 2(1− r2)(1 + s)N8(r, s) = 2(1− r)(1− s2)


Exemple de formulation d'éléments...et, dans un espace 3D

De manière similaire, dans un espace de modélisation en 3 dimensions, on a :

• Des éléments 1D : Éléments barres : 2 noeuds - 3 ddl par noeud Éléments poutre : 2 noeuds - 6 ddl par noeud ...

• Des éléments 2D : Éléments membrane triangle linéaires : 3 noeuds - 3 ddl par noeud Éléments membrane triangle quadratiques : 6 noeuds - 3 ddl par noeud Éléments membrane quadrangle linéaires : 4 noeuds - 3 ddl par noeud Éléments membrane quadrangle quadratiques : 8 (ou 9) noeuds - 3 ddl par noeud Éléments plaque triangle linéaires : 3 noeuds - 5 ddl par noeud Éléments plaque triangle quadratiques : 6 noeuds - 5 ddl par noeud Éléments plaque quadrangle linéaires : 4 noeuds - 5 ddl par noeud Éléments plaque quadrangle quadratiques : 8 (ou 9) noeuds - 5 ddl par noeud ...

• Des éléments 3D : Éléments tétraèdre ("pyramides") linéaires : 4 noeuds - 3 ddl par noeud Éléments tétraèdre ("pyramides") quadratiques : 10 noeuds - 3 ddl par noeud Éléments hexaèdre ("cubes") linéaires : 8 noeuds - 3 ddl par noeud Éléments hexaèdre ("cubes") quadratiques : 20 noeuds - 3 ddl par noeud Éléments pentaèdre ("prismes") linéaires : 6 noeuds - 3 ddl par noeud Éléments pentaèdre ("prismes") quadratiques : 15 noeuds - 3 ddl par noeud ...


? ? ?

Discussions? ? ?


DiscussionsChoix de la modélisation

Avant de commencer à modéliser, il faut rééchir à la stratégie de modélisation àadopter. Le choix d'un type d'élément non adapté peut mener, dans le meilleur des cas, àune erreur, et, dans le pire des cas, à un résultat faux !

Exemples :

• Modélisation d'une structure en exion Barres et membranes = aucune

raideur en exion Éléments volumiques : attention !

Éléments linéaire très mauvais : ilen faut au moins 3 dans l'épaisseurUne couche d'élémentsquadratiques sut

• Modélisation de xations :


DiscussionsModélisation du chargement et des conditions aux limites

Les résultats du calcul dépendent très fortement des conditions limites et du chargement.Le travail du modélisateur consiste à représenter au mieux ce qui se passe réellement. Lechoix de la représentation des CL et du chargement doit être systématiquement justié.

• Chargement :

Dans un modèle EF, le chargement est introduit auxnoeuds.

Les eorts répartis (pression, poids propre) sonttraduits en eorts équivalents aux noeuds

Il doit donc y avoir un noeud en un point dechargement

Pour un eort de pression, il est préférable d'avoir denombreux noeuds.

• Conditions Limites :

Il faut bloquer tous les mouvements de corps rigide(sinon le calcul ne tourne pas)

Des CL mal modélisées peuvent introduire des pics decontrainte (non représentatifs) dans le modèle

Comment modéliseriez vous ce panneau ?


DiscussionsMise en place du maillage

La MEF est basée sur une discrétisation d'un domaine d'étude. Le nombre d'éléments etleur forme sont donc des paramètres importants. En théorie pour avoir une solutionexacte, il faut faire tendre la taille des éléments vers 0. En pratique, c'est impossible : ilfaut donc trouver un compromis.

• Forme des éléments ("aspect ratio") Le "jacobian ratio" ne doit pas être trop grand

= la forme des éléments doit être la plusproche possible de celle de l'élément deréférence associé.

Éviter les "warped elements"

• Nombre d'éléments Il faut prendre assez d'éléments pour avoir des

résultats valides, mais pas trop pour ne pasavoir de modèles trop lourds → convergence dumaillage.

Critère de convergence doit être bien choisi !

• Raner le maillage localement Dans les zones d'intérêt (singularités

géométriques, xations, jauges dedéformation...)

Une réexion préalable est nécessaire etimportante !


DiscussionsTravail de l'ingénieur

Le travail de l'ingénieur ne doit pas se cantonner à cliquer sur des boutons. La réexionqu'il apporte est sa plus-value.

Ce qu'on attend de lui :

• Rééchir au préalable sur la problématique Qu'est-ce que je veux ? Qu'est-ce que je cherche à calculer ? Quels vont être les points critiques ?

• Fournir un modèle intelligent, dont toutes les hypothèses sont justiées Pour que les résultats soient validés, ou pour que le modèle soit certié, il faut que

tous ses "ingrédients" soient justiés ! Type d'élément, maillage, CL, chargement, etc... Pour justier les résultats d'un modèle, il est souvent nécessaire d'en faire plusieurs !

• Fournir une analyse des résultats pertinentes ! Ne pas se contenter de donner des captures d'écran de champs de contraintes ! Avoir un regard critique sur les résultats Pouvoir fournir une explication claire de tous les résultats donnés par le modèle


DiscussionsPrésenter un modèle et les résultats

L'ingénieur sera amené à présenter son travail et ses résultats. Quand cela concerne unemodélisation EF, il y a un certain nombre de point qu'il ne faut pas oublier de présenter.

• Cahier des charges Fournir une vue d'ensemble (contexte, pièce étudiée, matériaux ...) Rappeler les objectifs de l'étude (dimensionnement d'une jonction, ...)

• Hypothèses de modélisation Partie de la structure réelle modélisée, simplications, ... Justier chacune des hypothèses !

• Présentation du modèle Type d'éléments utilisés + "pourquoi ?" Maillage :

Présentation de la convergenceJustication des zones avec maillage nqualité du maillage

Présentation des CL (en justiant !) Présentation du chargement (en justiant !)

• Présentation des éventuelles limitations du modèle• Présentation des résultats

Sélection pertinente des données à analyser (quelle contrainte ? Dans quelle direction ?Pourquoi je la montre ?)

Garder un certain recul Pouvoir expliquer chacun des résultats, même si ils semblent "bizarres" Si courbes : légendes obligatoires Si capture d'écran de champs : légende visible


? ? ?

Annexes? ? ?


AnnexesFormulation MEF et Principe des Puissances Virtuelles

Mise en équation

• Solide : surface A et volume Ω

• Conditions aux limites sur Au : déplacements imposés u eorts surfaciques inconnus

• Conditions aux limites sur At : déplacements inconnus eorts surfaciques connus τ(t)dA

• Sur le solide Ω : forces volumiques b connues champs de vitesse v inconnu contraintes σ et déformations ε inconnues

• Équation d'équilibre local :

∂σij∂xj

+ ρbi = ρ∂vi∂t

= ρvi (15)

• Conditions aux limites :njσij = τi (16)



Formulation variationnelle : travaux virtuels

• Projection sur un champs de vitesse δv cinématiquement admissible∫Ω

[δvi

(∂σij∂xj

+ ρbi − ρvi)]

dΩ = 0 (17)

• Intégration par parties du terme∂σij∂xj

et développement∫A

δviσijnjdA+

∫Ω

σij∂δvi∂xj

dΩ +

∫Ω

δviρbidΩ−∫

Ω

δviρvidΩ = 0 (18)

• Multiplication par −1 et Conditions aux Limites (njσij = τi)∫Ω

σij∂δvi∂xj

dΩ−(∫

A

δviτidA+

∫Ω

δviρbidΩ

)+

∫Ω

δviρvidΩ = 0 (19)

⇔ δWint − δWext + δWinert = 0 (20)

δWint : puissance interne virtuelle δWext : puissance externe virtuelle δWinert : puissance inertielle virtuelle



Formulation Éléments Finis :

• Pour pouvoir résoudre sur un domaine Ω complexe, ilnous faut discrétiser Éléments discrets inter-connectés aux noeuds Nombre ni de paramètres Nombre ni d'inconnues (déplacements nodaux)

• Le déplacement de n'importe quel point P decoordonnées X à l'intérieur d'un élément est obtenuà partir de fonctions d'interpolation, aussi appeléesfonctions de formes (NI(X))

• En général autant de fonctions de formes que denoeuds dans un élément• Ainsi, en notant I l'indice des noeuds de l'élément :

déplacement de P :

u(P) = NI(X)uI

vitesse de P :

v(P) = NI(X)vI

accélération de P :

v(P) = NI(X)vI




• A partir de l'équation (19), on a :

δviI

∫Ω

σij∂NI∂xj

dΩ− δviI(∫

A

NIτidA+

∫Ω

NIρbidΩ

)+ δviI

∫Ω

NINJρviJdΩ = 0

(21)

• Rappel des notations : δWint − δWext + δWinert = 0

• Il est alors possible de dénir : les forces internes nodales, f intI tq δWint = δviIf

intiI :

f intiI =

∫Ωσij

∂NI

∂xjdΩ (22)

les forces externes nodales, fextI tq δWext = δviIfextiI :

fextiI =

∫ANIτidA+

∫ΩNIρbidΩ (23)

les forces d'inertie nodales, f inertI tq δWinert = δviIfinertiI :

f inertiI =

∫ΩNINJρviJdΩ (24)




• Soit m le nombre de noeuds de l'élément considéré

• On dénie la matrice de masse élémentaire Melem de dimension m, telle que :

f inertiI = MelemIJ viJ (25)

• On a alors, d'après l'équation (24) :

MelemIJ =

∫Ω

ρNINJdΩ (26)

• Il en résulte, d'après le PPV (équation (19)) :

δviI(f intiI − fextiI +Melem

IJ viJ)

= 0 (27)

• D'où, sous forme matricielle pour le problème global :

Mv + f int − fext = Mu + f int − fext = 0 (28)


Documents

Modélisation par Éléments Finis - Cours de Master 1 Génie