EE 445 IR Etienne Perret

Modulations numériques

Exercices Exercice 1: Dispositif de modulation par impulsion codées (MIC).

2

2

2

21)( σ

σπ

x

a exf−

=Soit un signal aléatoire a(t) de densité de probabilité .

Ce signal attaque un dispositif de modulation par impulsion codées (MIC). Le dispositif comprend un échantillonneur à cadence fe, un quantificateur linéaire sur R bits de dynamique [−mmax,mmax], et un encodeur de type NRZ polaire. On souhaite dimensionner correctement le dispositif afin de pouvoir restituer correctement le signal de départ à la sortie du démodulateur.

1. Calculer la fonction de répartition Fa(x) associée à fa(x). Exprimer le résultat à l’aide

de la fonction duex

u∫+∞

−=22 erfc(x)

π .

2. Proposer une valeur de mmax de façon à ce que le signal ait 99% de chance de se trouver dans la dynamique de quantification.

3. Ecrire l’expression exacte de la variance de l’erreur de quantification. Calculer sa

valeur approchée. 4. Estimer le rapport signal à bruit SNR de quantification. 5. Esquisser l’allure des signaux aux différents étages du dispositif MIC.

Exercice 2 : Multiplexage temporel (TDM) et fréquentiel (FDM) Un réseau de vidéo-surveillance comprend N caméras produisant une image de 150 lignes toutes les 8 secondes, destinée au format 4/3.

1. Déterminez la bande passante B0 de chaque vidéo. 2. Les signaux vidéo sont codés en MIC (256 niveaux).Calculer le débit binaire total

nécessaire pour transporter les N caméras. Comparer les techniques de multiplexage temporel et fréquentiel.

3. Combien de caméras peut-on utiliser dans le réseau si l’on souhaite transmettre les

signaux vidéo codés en MIC (256 niveaux) sur un canal satellite d’une largeur de 120 MHz? La modulation utilisée est la QPSK (PSK 4 symboles).

4. Combien de voies téléphoniques codées en MIC pourrait-on transmettre

simultanément avec le même système? 5. Le choix d’une autre technique de modulation permettrait-il d’augmenter le nombre de

caméras ou le nombre de voies téléphoniques? Quel serait le prix à payer? Solutions Exercice 1: Dispositif de modulation par impulsion codées (MIC). Q1 : a(t) est un signal gaussien, définit par sa densité spectrale fa(x). [signal gaussien => signal à moyenne nulle, de variance : σσ =a ]

( ) [ ] ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−===≤= ∫

∞− σ2211... XerfcdxxfxXPXF

X

aa

Q2 : On s’arrange pour que le signal ait 99 % de chance de se trouver dans la dynamique du quantificateur, soit pour notre signal a(t).

– Fa(mmax) = 0.99 donne mmax = 2.58σ Q3 On a L = 2R niveaux de représentation vk et L − 1 seuils de décision mk. La courbe de quantification (en escalier) donne v = g(m) où m est notre V.A. continues. L’erreur de quantification est q(m) = m − v(m) (courbe en dents de scie).

v

Expression exacte de la variance du bruit de quantification:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∑ ∫∞

−∞−

−

=

−+−+−=+

L

k

k maL

m L

k

m

makaQ dmmfvmdmmfvmdmmfvm 2

1

1

1

220

21 1

σ

Si R est grand, on peut : – négliger les effets de bord (saturation du quantificateur), c'est-à-dire considérer : [1] << [2] et [3] << [2]. – supposer que la densité fa(m) est constante par intervalles. Si on note

(probabilité que m soit dans l’intervalle k), cette approximation [ ] ∫∆+

∆−

=2/

2/

)(k

k

v

vaa dmmfkf

s’écrit ( ) [ ]mfmf aa ∆≈

1.

On obtient :

[ ] ( ) [ ]221

0

21

0

2/

2/

22

22

121

12121

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈

∆≈

∆≈−

∆≈ ∑∑ ∫

−

=

−

=

∆+

∆−RM

L

ka

L

k

v

vkaQ

mkfdmvmkfk

k

σ

Q4 :

R

Q

aSNR 22

2

2

2

2.45.0...12 ==∆

==σ

σσ

m mk mk+1

vk

vL

v0

Dynamique du quantifieur : L.∆ = 2.mM

∆ = 2.mM/2N

L.∆ ∆

[1] [3] [2]

Exercice 2 : Multiplexage temporel (TDM) et fréquentiel (FDM) Q1 : Système vidéo avec Nl lignes et un format d’écran 4/3: si l’on veut une résolution identique en horizontal et en vertical, on doit avoir 4Nl/3 pixels/ligne, soit une variation maximale de 2Nl/3 cycles par ligne pour le signal de luminosité. La bande passante de chaque signal vidéo

est donc iml fNB 20 3

2= = 1875 Hz avec Nl = 150 et une fréquence d’images de 1/8.

Autre solution : 150 lignes, format 4/3 => Nl *4/3 colonnes On doit transmettre (Nl *4/3)* Nl pixels toutes les 8 secondes, soit un débit (Dsmax) de 200*150/8 pixels par seconde. or

2max

0DsB =

donc HzB 187516

150*2000 ==

Q2 : • En FDM, chaque signal occupe une bande B0 sur l’axe fréquentiel, on a donc un signal multiplexé de bande totale NB0 échantillonné à fe = 2NB0 et codé sur R = 8 bits, soit un débit total de R.fe=16NB0 bits/s. • En TDM, chaque signal vidéo est d’abord codé en MIC (fe = 2B0) sur R = 8 bits, ce qui donne N entrées à un débit de 16B0 bits/s. En sortie du multiplexeur temporel, on retrouve le même débit que plus haut, soit 16NB0 bits/s. Q3 : La bande requise pour une modulation numérique de type QAM est donnée par

( ) MHzTnn bba

1201≤

++α avec 2na et 2nb le nombre de niveaux sur les composantes en phase et

en quadrature, respectivement. Pour la QPSK, on a na = 1 et nb = 1. On peut supposer α = 0,2. On calcule N ≤ 6666. Q4 : Pour des signaux téléphoniques (B0 = 4kHz), on trouve pour les 2 techniques de multiplexage un débit total de 64N kbits/s. On calcule N ≤ 3125.

Q5 : On peur augmenter le nombre de niveaux de la modulation (taille des constellations). Le prix à payer est une dégradation rapide de la résistance au bruit et une augmentation de la complexité du récepteur.