MR, MESSIRDI BACHIR Enseignant aux dØpartement …g-elec-sba.weebly.com/uploads/1/4/1/7/14171617/cours_math1math2.pdf · Table des MatiŁres I MR, MESSIRDI BACHIR " Enseignant aux

Partie I

MR, MESSIRDI BACHIR "

Enseignant aux département de

Mathématiques- Faculté des

sciences- Université de

TLEMCEN".Cours pour les

étudiants"ST-SM-MI-GBM-ARCH-

Ecoles préparatoires..."ALLAHOMA

IDJALHOU FI MIZANE

HASSANATE ALAB RAHIMAHO

ALLAH

1

Partie II

2

Partie III

3

Table des Matières

I MR,MESSIRDI BACHIR " Enseignant aux département deMathématiques-

Faculté des sciences- Université de TLEMCEN". 1

II Cours pour les étudiants" ST-SM-MI-GBM-ARCH-Ecoles prépara-

toires..." 2

III

3

IV ALLAHOMA IDJALHOUFIMIZANEHASSANATEALABRAHIMAHO

ALLAH 4

1 Logique élémentaire- Quelques types des raisonnements-Théorie des ensem-

bles 12

1.1 LOGIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.1 PROPOSITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.2 NÉGATION D�UNE PROPOSITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3 CONNECTEURS LOGIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.4 LES QUANTIFICATEURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 QUELQUES TYPES DES RAISONNEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 LE RAISONNEMENT PAR L�ABSURDE . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 LE CONTRAPOSÉE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4

1.2.3 LE RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 THÉORIE DES ENSEMBLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Inclusion-sous ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.2 Egalité de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3 Ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.4 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.5 Réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.6 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.7 Complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.8 Ensemble produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.9 Di¤érence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.10 Di¤érence symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.11 Exemple d�application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Solution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Relations d�équivalence- Relations d�ordre 31

2.1 RELATIONS D�ÉQUIVALENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1 NOTION DE RELATION BINAIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2 RELATION D�ÉQUIVALENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 RELATION D�ORDRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1 L�ordre total et l�ordre partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2 MAJORANT,MINORANT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.3 La borne supérieure, la borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.4 Maximum, minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


3 Les applications 51

3.1 NOTION D�APPLICATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 ÉGALITÉ DE DEUX APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5

3.3 COMPOSÉE DE DEUX APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 IMAGE D�UNE PARTIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5 INJECTIVITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6 SURJECTIVITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.7 BIJECTIVITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.8 BIJECTION RÉCIPROQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.9 IMAGE RÉCIPROQUE D�UNE PARTIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.10 INVOLUTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.11 PROPRIÉTÉS DES APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


4 Suites numériques. 71

4.1 DÉFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2 QUELQUES CARACTÈRES DES SUITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.1 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.2 Suites bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3 NATURE D�UNE SUITE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.1 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.2 Suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4 THÉORÈME FONDAMENTAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5 PROPRIÉTÉ FONDAMENTALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6 THÉORÈME D�ENCADREMENT (RÈGLE DES DEUX GENDARMES) . . . 76

4.7 SOUS-SUITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.8 Suites adjacentes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.9 Exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.10 Solutions des exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

V Fonctions numériques d�une variable réelle. 87

4.10.1 1.1 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6

4.10.2 1.2 LIMITE ET CONTINUÉTÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.10.3 1.3 THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIARES . . . . . . . . . . . 90

4.10.4 1.4 Le PROLONGEMENT PAR CONTINUÉTÉ . . . . . . . . . . . . . . 91

4.10.5 2.1 DÉRIVATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.10.6 2.2 FONCTION DE CLASSE Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.10.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.10.8 2.3 THÉORÈME DE ROLLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.10.9 2.4 THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS . . . . . . . . . . . . 98

4.10.102.5 THÉORÈME DE L�HÔPITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5 Développements limités. 101

5.1 1 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.1.1 1.1 Théorème des acroissement �nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.1.2 1.2 Théorème des acroissement �nis généralisés . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.1.3 1.3 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.1.4 1.4 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.1.5 1.5 Formule de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2 2. Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2.1 2.1 Principaux développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.2 2.2 Propriétés des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.3 2.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.3 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.4 Solutions des exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

VI Les nombres complexes. 124


5.4.2 1.2 CALCUL D�UN MODULE ET L�ARGUMENT D�UNE PUISSANCE

D�UN NOMBRE COMPLEXE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.4.3 1.3 SIMPLIFICATION D�UN RAPPORT DE NOMBRES COMPLEXES 127

5.4.4 1.4 NATURE D�UN NOMBRE COMPLEXE . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7

5.4.5 1.5 RACINES CARRÉES D�UN NOMBRE COMPLEXE . . . . . . . . . 128

5.4.6 1.6 RACINES n-IÈMES D�UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL . . . 129

5.4.7 1.7 FACTORISATION D�UN POLYNÔME RÉEL . . . . . . . . . . . . . 130

5.4.8 1.8 LA FORMULE D�EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4.9 1.9 LA FORMULE DE MOIVRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4.10 1.10 SIMPLIFICATION DE SOMMES DE COSINUS OU BIEN SINUS . 131

5.5 Exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

VII Structures algébriques. 134


5.5.2 1.2 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.5.3 1.3 Structure d�anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.5.4 1.4 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.7 Le corrigé: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

VIII Espaces vectoriels: 155

5.8 Introduction: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.9 Dé�nition d�un espace vectoriel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.9.1 L�addition: (notée +) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.9.2 Une opération externe, la multiplication par un élément de | : . . . . . . 156

5.10 Exemples: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.11 Propriétés immédiates des opérations dans un espace vectoriel: . . . . . . . . . . 157

5.12 Sous -espaces vectoriels: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.12.1 Exemples: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.13 Intersection et la réunion de deux sous-espaces: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.14 Somme de sous-espaces. Somme directe: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.14.1 Somme de sous-espaces: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.14.2 Somme directe: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.15 Famille de vecteurs d�un espace vectoriel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8

5.15.1 1) Dépendance: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.15.2 2) Indépendance: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.15.3 3) Famille génératrice ou systéme générateur: . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.15.4 4) Base: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.15.5 5) Dimension d�un espace vectoriel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.15.6 6) Rang d�un système de vecteurs: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.15.7 7) Lien entre la dimension et la somme directe: . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.16 Sous-espace engendré par un ensemble: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.17 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.18 Le corrigé: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

IX Méthodes d�intégration: 171

5.19 Formules fondamentales d�intégration: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.19.1 Formule de changement de variable: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.19.2 Formule de réduction: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.20 Intégration par parties: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.20.1 Intégration par parties: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.21 Intégrales trigonométriques: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.21.1 Les identités trigonométriques: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.22 Subtitutions trigonométriques: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.23 Intégration par fractions partielles: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.23.1 Fraction rationnelle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.24 Divers changements de variable: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5.25 Intégration des fonctions hyperboliques: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.26 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.27 Le corrigé des exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

X Applications linéaires: 200

5.28 Application linéaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.29 Noyau d�une application linéaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9

5.30 Injectivité d�une application linéaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.31 Image d�une application linéaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.32 Rang d�une application linéaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.33 Endomorphisme, Isomorphisme, Automorphisme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.34 Projecteur: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.35 Symétrie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.36 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

XI ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 209

5.37 1-ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D�ORDRE 1: . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.37.1 Exemple: �x3 � 1

�y0 = y2 + x2y � 2x

1-ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D�ORDRE 2 à COEFFICEINTS

CONSTANTS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

5.38 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

5.39 Le corrigé des éxercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

XII Les Matrices. 225

5.40 Matrices associées à une application linéaire dans le cas des espaces de dimen-

sions �nies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5.41 Propriétés des matrices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

5.42 Opérations sur les matrices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

5.43 Inverse d�une matrice carrée: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

5.43.1 Inversion d�une matrice par la méthode de GAUSS: . . . . . . . . . . . . 234

5.43.2 Inversion d�une matrice par la notion du déterminant: . . . . . . . . . . . 236

5.44 Changement de base. Matrices semblables: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

5.45 La matrice associée dans un changement de base: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.46 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

10

5.47 Université de Tlemcen AnnéeUniversitaire

: 2010 - 2011. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

11

Chapitre 1

Logique élémentaire- Quelques types

des raisonnements-Théorie des

ensembles

1.1 LOGIQUE

Vous savez par expérience qu�un cours de mathématiques est constitué d�une suite d�énoncés,

appelés dé�nitions ou propositions. Les dé�nitions sont posées a priori et les propositions

doivent être démontrées à l�aide de dé�nitions ou d�autres propositions déja établies. C�est

cette démarche, qui consiste à passer avec logique, les di¤érentes étapes d�un raisonnement

mathématique. Il nous a cependant paru utile de dégager quelques règles de logique universelle.

1.1.1 PROPOSITIONS

Une proposition un énoncé (une assertion) dont on peut a¢ rmer sans ambiguïté s�il est vrai

ou faux. Par exemple 2 >1 est une proposition vraie;p2 est un nombre rationnel, est une

proposition fausse; mais A � B n�est pas une proposition car on n�a pas des données sur les

deux ensembles A et B.

Par suite on note une proposition vraie par "V" ou "1", et une proposition fausse par "F"

ou "0".

12

1.1.2 NÉGATION D�UNE PROPOSITION

Si P est une proposition, on note la négation de P par non P ou �P , qui est vraie si P est fausse

et fausse si P est vraie.

1.1.3 CONNECTEURS LOGIQUES

À deux propositions P et Q, on peut associer une troisième, qui est dé�nit par un connecteur

logique entre ces deux propositions.

Conjonction

On appelle conjonction de deux propositions P et Q, la proposition notée P ^Q qui est vraie,

si P et Q sont vraies et fausse dans les autres cas. Deux propostions sont incompatibles, si

leur conjonction est fausse.

Disjonction

Une disjonction de deux propositions, est noté par P _Q, et elle est vraie si l�un des deux est

vraie.

Implication

L�implication de deux propositions P et Q, est la proposition (non P ) ou Q, notée P ) Q

(qui se lit P implique Q), qui est fausse dans le seul cas où P est vraie et Q est fausse.

Équivalence

Deux propositions sont dites équivalentes, ce qu�on note P () Q, si elles sont toutes les

deux vraies, ou toutes les deux fausses. En examinant la proposition P ) Q et Q) P .

13

Ces formules sont réduits dans le tableau suivant:

P Q �P P ^Q P _Q P ) Q P () Q

1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 1

1.1.4 LES QUANTIFICATEURS

Soit un ensemble E et une propriété déterminée P . On peut se poser les deux questions

suivantes:

a) Existe-t-il des éléments de E qui possèdent cette propriété?

b) Dans l�a¢ rmative, la propriété appartient-elle à tous les éléments?

Pour formuler les réponses à ces deux questions on introduit deux symboles appelés quan-

ti�cateurs. Ce sont:

Quanti�cateur existentiel

Il s�écrit 9 et signi�e: il existe au moins un élément de E ayant la propriété P . Par exemple

l�écriture

9x 2 R tel que: x2 + x� 2 = 0

signi�e qu�il existe au moins un nombre réel tel que: x2 + x� 2 = 0:

Quanti�cateur universel

Qui s�écrit 8 et signi�e que tout élément de E véri�e P . Par exemple l�écriture

8x 2 R tel que: x2 + 2x+ 1 = (x+ 1)2

signi�e que pour tout nombre réel véri�e l�identité écrite.

Dé�nition 1.1 Une tautologie est une proposition qui est vraie dans tous les cas.

14

Exemple 1.1 Véri�er que la proposition:

(P ) Q) _ (Q) P )

est une tautologie.

P Q P ) Q Q) P (P ) Q) _ (Q) P )

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 1 1 0 1

0 0 1 1 1

1.2 QUELQUES TYPES DES RAISONNEMENTS

Il est important de trouver un moyen ou une méthode pour répondre à un certain problème,

pour cela on s�inspire à quelques techniques ou raisonnements.

1.2.1 LE RAISONNEMENT PAR L�ABSURDE

généralement, la recherche d�une réponse à un problème s�apuie sur les hypothèses donnés ou

les théorèmes connus, mais parfois le chemin direct est di¢ cille à véri�er. On s�inspire donc

sur le raisonnement par l�absurde, qui propose que la négation du problème voulu est vraie,

et par suite on arrive à une contradiction avec les hypothèses donnés, ou l�un des théorèmes

connus, ou bien l�un des axiomes.... C�est à dire qu�on a proposer est fausse, ce qui a¢ rme que

le problème voulu est vraie. Autrement dit:

(P ) Q)()��Q) une contradiction

�:

Exemple 1.2 Montrons que:

n2 est pair) n est pair

15

par l�absurde supposons que:

n n�est pas pair ) n est impair) n = 2k + 1

) n2 = 2�2k2 + 2k

�+ 1

= 2p+ 1

) n2 est impair, contradiction avec l�hypothèse.

) ce qu�on a proposer est fausse

) n est pair.

1.2.2 LE CONTRAPOSÉE

On appelle contraposée d�une implication P ) Q l�implication (non Q) non P ). Autrement

dit si on a non Q implique non P , alors par hypothèse on a P , c�est-à-dire, on a pas non Q,

alors on a Q.

Exemple 1.3 Montrons que:

8x; y 2 R x 6= y ) 3x+ 2 6= 3y + 2

En e¤et:

3x+ 2 = 3y + 2) x = y c�est le contraposée.

1.2.3 LE RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

On utilise le raisonnement par récurrence dans le cas d�une relation ou formule qui depend d�un

indice n 2 N. Alors pour montrer qu�une propriété est vraie pour tout entier n supérieur ou

égal à un entier n0, on véri�e qu�elle est hériditaire ( c�est-à-dire que si elle est vraie pour un

entier quelconque, alors elle est vraie pour son suivant). Il su¢ t alors qu�elle soit vraie pour

l�entier n0 pour en déduire qu�elle est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à un entier n0.

Exemple 1 Montrons que quel que soit l�entier naturel n, l�entier 32n � 2n est divisible par

7.(Rn)

Par récurrence montrons que (Rn) est vraie pour tout n 2 N.

16

Si n = 0, 30 � 20 = 0 = 0:7) 30 � 20 est divisible par 7.) R0 est vraie.

Supposons que (Rn) est vraie (l�hypothèse de récurrence), et montrons que (Rn+1) l�est aussi,

c�est-à-dire:

32(n+1) � 2n+1 est divisible par7:

En e¤et:

32(n+1) � 2n+1 = 2:�32n � 2n

�+ 7:32n

= 2:7:k + 7:32n (l�hypothèse de récurrence)

= 7�2:k + 32n

�= 7:k0

) 32(n+1) � 2n+1 est divisible par7:

Conclusion:

8n 2 N; 32n � 2n est divisible par 7.

1.3 THÉORIE DES ENSEMBLES

Un ensemble est constiué d�objets matériels, ou de phénomènes, ou de signes, ou d�identités

abstraites, rassemblés en vertu d�une propriété commune.

Un ensemble est une entité d�une nature di¤érente de celle des éléments qui le composent:

un ensemble de points n�est pas un point, même s�il ne contient qu�un point.

Certains ensembles particulièrement importants sont désignés par des lettres déterminées.

Signalons:

N = f0; 1; 2; 3; 4; 5; :::g ;

Z = f0;�1;�2;�3; :::g ;

Q, ensemble des nombres rationnels: fractions positives ou négatives;

R, ensemble des nombres réels;

17

C, ensemble des nombres complexes.

D�une autre façon on peut désigner un ensemble ou une partie en précisant les propriétés

particulières P véri�ées par un élément x de cette partie, par exemple:

fx; x 2 R; 1 � x � 5g

VOCABULAIRES ET NOTATIONS:

Si a est un élément de l�ensemble E, on écrit a 2 E, on énonce " a élément de E " ou encore

" a appartient à E ". La négation de l�énoncé précédent se note a =2 E. Notons qu�un ensemble

qui ne contient aucun élément est dit l�ensemble vide, noté: ?.

1.3.1 Inclusion-sous ensemble

Soient E, F deux ensemble. Si tous les éléments d�un ensemble E appartiennent à un ensemble

F on dit que E est inclus dans F , ou bien E est un sous ensemble de F .

Exemple 1.4 N � R:

Exemple 1.5 ? � E, avec E est un ensemble quelconque.

Preuve: Soit a 2 ?) a 2 E est vraie car la première proposition est fausse, ce qui a¢ rme

que l�implication est vraie.

1.3.2 Egalité de deux ensembles

Soient E, F deux ensemble. Pour montrer que E = F , on montre que E � F et F � E.

1.3.3 Ensemble des parties

On appelle ensemble des parties d�un ensemble E, et l�on désigne par p (E), l�ensemble dont

les éléments sont les parties de E. On a ? 2 p (E) ; E 2 p (E).

Exemple 1.6 E = f1; 2; 3g, alors: p (E) = f?; f1g ; f2g ; f3g ; f1; 2g ; f1; 3g ; f2; 3g ; Eg :

18

1.3.4 Intersection

On appelle intersection d�une famille de parties, A, B, C, par exemple, le sous-ensemble formé

par les éléments appartenant à chacune des parties considérées. On désigne cette intersection

par la notation A \ B \ C. Elle peut se réduire à la partie vide, en particulier si des sous-

ensembles sont disjoints. On a alors:

x 2 A \B ) x 2 A et x 2 B

1.3.5 Réunion

L�ensemble de tous les éléments appartenant au moins à l�une des parties A, B, C, est dit la

réunion de ces parties, notée:A[ B [ C. On a alors:

x 2 A [B ) x 2 A ou x 2 B

1.3.6 Partition

On réalise une partition d�un ensemble E en classant les éléments de E dans des sous ensembles

disjoints E1; E2; E3; ..., tels que tout élément de E soit classé. On la note par: P (E) :En

particulier on a:

P (E) = E1 [ E2 [ E3 [ :::

et Ei \ Ej = ?, 8i 6= j

Exemple 2 E = f1; 2; 3g, alors:P (E) = ff1g ; f2g ; f3gg

ou bien P (E) = ff1; 2g ; f3gg...

1.3.7 Complémentaire

Le complément d�un ensemble E dans un ensemble F , est l�ensemble dans la réunion avec E

est égale à F , et l�intersection avec E est égale à l�ensemble vide. On le note: CEF ou bien �E.

19

Donc on a:

E [ �E = F

et E \ �E = ?

1.3.8 Ensemble produit

On appelle produit de deux ensembles E et F l�ensemble des couples ordonnés du type (x; y)

avec x 2 E et y 2 F , noté E � F:

1.3.9 Di¤érence

La di¤érence entre deux ensemble E et F est l�ensemble:

E r F = fx 2 E avec x =2 Fg

1.3.10 Di¤érence symétrique

La di¤érence symétrique entre deux ensemble E et F est l�ensemble:

E4F = (E r F ) [ (F r E)

= (E [ F )r (E \ F )

= f(x 2 E avec x =2 F ) ou bien (x 2 F avec x =2 E)g

1.3.11 Exemple d�application

Soient E et F deux sous ensembles de G, montrons que:

�E [ �F =��E�\ �F

�1) montrons que:

�E [ �F ��E�\ �F

�

20

Soit x 2 �E [ �F ) x 2 �E ou x 2 �F ) x 2 G et x =2 E ou x 2 G et x =2 F .

) x 2 G et x =2 E ou x =2 F:

) x 2 G et x =2 E \ F

) x 2��E�\ �F

�2 d�une façon similaire on montre que:

��E�\ �F

�� E [ �F

1.4 Exercice

Exercice 01: P , Q, R sont trois propositions.

(1) Véri�er les lois de Morgan:

1) �P �_ �Q, �P ^ �Q 2) �P �̂ �Q, �P _ �Q

(2) Les propositions suivantes sont elles des tautologies?

a) [P ) Q], �P _Q

b) [P ) Q],��Q) �P

�c) [P ^Q] _R, [Q) R]

d) [P ) (Q ^R)], [(P ) Q) ^ (P ) R)].

Exercice 02: Pour n 2 N�; Montrer que:

1) Si n2 est pair, alors n est pair.

2) Si 2n � 1 est un nombre premier alors n est premier:

3) Si x et y sont di¤érents alors les nombres (x+ 1) (y � 1) et (x� 1) (y + 1) sont di¤érents.

4) a et p sont deux entiers naturels; montrer que l�on a :

( p premier et p divise a2 )) p divise a:

21

5)p2 est un nombre irrationnel. Déduire que:

p2 +

p3 est irrationnel.

Exercice 03: Montrer par récurrence que:

1) 8n 2 N; 4n + 6n� 1 est un multiple de 9.

2) 8n 2 N�;nXk=1

k (k + 1) (k + 2) =1

4n (n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) :

3) 8n 2 N�; 2n�1 � n!: avec n! = n (n� 1) (n� 2) :::1 et 0! = 1

Exercice 04: A;B et C sont trois parties d�un ensembleE. Montrer que:

1) A [B = A \ C , B � A � C.

2) A � B , CBE � CAE , A [B = B

3) CA[BE = CAE \ CBE

4) B = C , (A \B = A \ C et A [B = A [ C )

5) (A nB) n C � A n (B [ C) :

6) On suppose que:A \B = A [B:A-t-on B = C:

Exercice 05: Soient E un ensemble, A;B 2 P (E) :Résoudre dans P (E) les équations suivantes:

1) X [A = B et 2) X \A = B

3) X �A = B et 4) X 4A = B

Exercice 06: Soient E un ensemble non vide, et P (E) l�ensemble de ses parties. On suppose que card

E = n:Montrer par récurrence que:

card P (E) = 2n:

1.5 Solution des exercices

Exercice 01: P et Q étant deux proposition:

22

(1) Véri�ons les lois de Morgan:

P Q �P �Q P _Q �P �_ �Q �P ^ �Q P _Q, �P ^ �Q

1 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

0 1 1 0 1 0 0 1

0 0 1 1 0 1 1 1

P Q �P �Q P ^Q �P �̂ �Q �P _ �Q �P �̂ �Q, �P _ �Q

1 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1 1

0 0 1 1 0 1 1 1

(2) Les propositions suivantes sont elles des tautologies?

Une tautologie est une proposition qui est vrai dans tous les cas.

P Q �P �Q P ) Q �P _Q �Q) �P

1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

la suite du tableau

[P ) Q], �P _Q [P ) Q],��Q) �P

�1 1

1 1

1 1

1 1

23

P Q R P ^Q Q) R Q ^R P ) Q P ) R [P ^Q] _R

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 1 1 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1 0

0 0 1 0 1 0 1 1 1

0 0 0 0 1 0 1 1 0

la suite du tableau

P ) (Q ^R) (P ) Q) ^ (P ) R) c) d)

1 1 1 1

0 0 0 1

0 0 1 1

0 0 0 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 0 1

Ce qui implique que: les propositions a), b) et d) sont des tautologies mais b) n�est

pas une tautologie.

Exercice 02: Pour n 2 N�; Montrons par un raisonnement par l�absurde que:

(1) Si n2 est pair, alors n est pair.

Supposons que: n n�est pas pair ) n est impair ) 9k 2 N tel que: n = 2k + 1 ) n2 =

(2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2�2k2 + 2k

�+ 1

= 2m+ 1 avec m = 2k2 + 2k 2 N) n2 est impair (contradiction avec l�hypothèse).

(2) Si 2n � 1 est un nombre premier alors n est premier:

24

Supposons que n n�est pas premier) 9a; b 2 N avec b 6= 0 tel que: n = a �b , (a; b) 6= (n; 1)

et (a; b) 6= (1; n) :

Alors 2n � 1 = 2ab � 1 = (2a)b � 1 = [(2a)� 1] [P (2a)] avec degP (2a) = b � 1. Mais

[(2a)� 1] 6= 2n � 1 et [(2a)� 1] 6= 1

) 2n�1 =M �[P (2a)] avecM 6= 2n�1 etM 6= 1) 2n�1 n�est pas premier (contradiction

avec l�hypothèse).

(3) Si x et y sont di¤érents alors les nombres (x+ 1) (y � 1) et (x� 1) (y + 1) sont di¤érents.

Supposons que (x+ 1) (y � 1) = (x� 1) (y + 1) ) xy � x + y � 1 = xy + x � y � 1 )

2y = 2x) x = y (contradiction avec l�hypothèse).

(4) a et p sont deux entiers naturels; montrer que l�on a :

( p premier et p divise a2 )) p divise a:

Si p premier et p divise a2 ) 9k 2 N tel que: a2= k � p) a � a= k � p

)

8<: a divise p et k divise a contradiction avec le fait que p est premier.

ou bien: pdivise a et adivise k) p divise a:

(5) si p est premier alorspp est un nombre irrationnel.

Supposons par l�absurde que:pp est un nombre rationnel) 9a; b 2 N , (a; b) = 1 avec

b 6= 0 et pp = ab ) p =

�ab

�2 ) p � b2 = a2

) p divise a2 mais p premier) p divise a) a = k � p, k 2 N) b2 = p � k2 ) p divise b2,

mais p premier) p divise b

) p 6= 1 est un diviseur commun de a et b contradiction avec (a; b) = 1 ) pp est un

nombre irrationnel.

(6)p2 est un nombre irrationnel. Déduire que:

p2 +

p3 est irrationnel.

D�après (5)p2 est un nombre irrationnel. Supposons que

p2 +

p3 est rationnel)

1p2+p32 Q)

p2 -p3 2 Q

la somme des deux nombres) 2p2 2 Q )

p2 2 Q contradiction)

p2 +

p3 est irra-

tionnel.

25

Exercice 03: Montrons par récurrence que:

1) 8n 2 N; 4n + 6n� 1 est un multiple de 9.

2) 8n 2 N�;nXk=1

k (k + 1) (k + 2) =1

4n (n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) :

3) 8n 2 N�; 2n�1 � n!: avec n! = n (n� 1) (n� 2) :::1 et 0! = 1

1) 8n 2 N; 4n + 6n� 1 est un multiple de 9.(Rn)

Si n = 0, 40 � 6 � 0� 1 = 0 = 0:9) 40 � 6 � 0� 1 est un multiple de 9 ) R0 est vraie.

Supposons que (Rn) est vraie pour un n 2 N (l�hypothèse de récurrence), et montrons que

(Rn+1) l�est aussi, c�est-à-dire:

4(n+1) + 6 (n+ 1)� 1 est un multiple de 9:

En e¤et:

4(n+1) + 6 (n+ 1)� 1 = 4 � 4n + 6n+�1 + 6

= 9:k + 3:4n + 6 (l�hypothèse de récurrence)

= 9:k + 3 (9k � 6n+ 1) + 6 = 9 (k + 3k � 2n+ 1)

) 4(n+1) + 6 (n+ 1)� 1 est un multiple de 9:

Conclusion:

8n 2 N; 4n + 6n� 1 est un multiple de 9.

2) 8n 2 N�;nXk=1

k (k + 1) (k + 2) = 14n (n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) : (Rn)

Si n = 1;1Xk=1

k (k + 1) (k + 2) = 1 (2) (3) = 6 et 14n (n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) =141 (2) (3) (4) =

6) R1 est vraie.

Supposons que (Rn) est vraie pour un n 2 N� (l�hypothèse de récurrence), et montrons que

26


n+1Xk=1

k (k + 1) (k + 2) =1

4(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) (n+ 4)

En e¤et:

n+1Xk=1

k (k + 1) (k + 2) =nXk=1

k (k + 1) (k + 2) + (n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)

=1

4n (n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) + (n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)

=1

4(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) (n+ 4)

Conclusion:

8n 2 N�;nXk=1

k (k + 1) (k + 2) =1

4n (n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) :

3) 8n 2 N�; 2n�1 � n!: (Rn) avec n! = n (n� 1) (n� 2) :::1 et 0! = 1

Pour n = 1; 21�1 = 20 = 1 � 1! = 1) R0 est vraie.

Supposons que (Rn) est vraie pour un n 2 N� (l�hypothèse de récurrence), et montrons que


2n � (n+ 1)!

En e¤et:

2n = 2:2n�1 � 2:n! � (n+ 1) :n! = (n+ 1)!

Conclusion:

8n 2 N�; 2n�1 � n!:

Exercice 04: A;B et C sont trois parties d�un ensembleE. Montrons que:

(1) A [B = A \ C , B � A � C.

") " Montrons que: A [B = A \ C ) B � A � C

a) B � A, si x 2 B ) x 2 A [B ) x 2 A \ C ) x 2 A) B � A

b) A � C, si x 2 A) x 2 A [B ) x 2 A \ C ) x 2 A et x 2 C ) A � C

) B � A � C

27

"( "B � A � C ) A [B = A \ C

a) A [B � A \ C; si x 2 A [B )

8<: x 2 A) x 2 C

ou x 2 B ) x 2 A) x 2 C) x 2 A \ C

b) A \ C � A [B, si x 2 A \ C ) x 2 A) x 2 A [B

(2) A � B , CBE � CAE , A [B = B

a) Montrons que: A � B , CBE � CAE

En e¤et:

") "si x 2 CBE ) x 2 E et x =2 B ) x 2 E et x =2 A car A � B ) x 2 CAE

"( "si x 2 A) x =2 CAE ) x =2 CBE ) x 2 B

b) Montrons que: CBE � CAE , A [B = B

") "1) A [B � B?

si x 2 A [B )

8<: x 2 A) x =2 CAE ) x =2 CBE ) x 2 B

ou x 2 B) x 2 B

2)B � A [B évident dans tous les cas.

"( "CBE � CAE?

si x 2 CBE ) x =2 B ) x =2 A [B ) x =2 A) x 2 CAE :

(3) CA[BE = CAE \ CBE

"� "CA[BE � CAE \ CBE ?

si x 2 CA[BE ) x =2 A [B ) x =2 A et x =2 B ) x 2 CAE et x 2 CBE ) x 2 CAE \ CBE

"� " CAE \ CBE � CA[BE

si x 2 CAE \ CBE ) x 2 CAE et x 2 CBE ) x =2 A et x =2 B ) x =2 A [B ) x 2 CA[BE :

(4) B = C , (A \B = A \ C et A [B = A [ C )

") " Montrons que: (A \B = A \ C et A [B = A [ C )?

si B = C ) A \B = A \ C et A [B = A [ C

"( " Montrons que: B = C?

"� "si x 2 B ) x 2 A [B ) x 2 A [ C

28

)

8<: x 2 A) x 2 A \B car on a x 2 B ) x 2 A \ C ) x 2 C

ou x 2 C) x 2 C

"� " si x 2 C ) x 2 A [ C ) x 2 A [B

)

8<: x 2 A) x 2 A \ C car on a x 2 C ) x 2 A \B ) x 2 B

ou x 2 B) x 2 B

(5) (A nB) n C � A n (B [ C) :

si x 2 (A nB) n C ) x 2 (A nB) et x =2 C ) x 2 A et x =2 B et x =2 C ) x 2 A et

(x =2 B et x =2 C)

) x 2 A et x =2 B [ C ) x 2 A n (B [ C)

(6) On suppose que:A \B = A [ C:A-t-on B = C:

Non car par exemple: A = f1; 2; 4g ; B = f1; 2; 4g et C = f1; 2g on a: A\B = A[C:mais

B 6= C:

Exercice 05: Soient E un ensemble non vide, et P (E) l�ensemble de ses parties. On suppose que card

E = n:

Montrer par récurrence que:

card P (E) = 2n;8n 2 N�:

Par récurrence:

1ère étape: Pour un ensemble qui contient un seul élément par exemple: E = fag ) P

(E) = f?; fagg

) card P (E) = 21 = 2

donc la relation est vraie pour n = 1

2ème étape: supposons que pour un ensemble An qui contient n éléments alors: card P

(An) = 2n

29

et montrons que pour un ensemble An+1 qui contient n + 1 éléments alors: card P

(An+1) = 2n+1

En e¤et: si on a un ensemble An+1 qui contient n + 1 éléments alors: l�ensemble des

parties contient les sous ensembles

qui ont un lien avec les n premiers éléments qui sont 2n sous ensembles et on ajoute les

mêmes sous enembles mais qui contients

l�élément d�ordre (n+ 1) à chaque fois.) card P (An+1) = 2n + 2n = 2n+1:

conclusion:

card P (E) = 2n;8n 2 N�:

Exercice 06: Soient E un ensemble, A;B 2 P (E) :Résoudre dans P (E) les équations suivantes:

(1) X [A = B et (2) X \A = B

(3) X �A = B et (4) X 4A = B

(1) X [A = B ) A � B ) X = CAB [ Y avecY � A

Alors l�ensemble des solutions est �1 =�X = CAB [ Y avec Y 2 P (A)! ensemble des parties de A

(2) X \A = B ) B � A) X = B [ Y avecY � CAE

Alors l�ensemble des solutions est �2 =�X = B [ Y avec Y 2 P

�CAE�! ensemble des parties de CAE

(3) X �A = B ) A \B = ?) X = B [ Y avecY � A

Alors l�ensemble des solutions est �3 = fX = B [ Y avec Y 2 P (A)! ensemble des parties de Ag

(4) X 4A = B ) X = (B �A) [ (A \B) :

30

Chapitre 2

Relations d�équivalence- Relations

d�ordre

2.1 RELATIONS D�ÉQUIVALENCE

2.1.1 NOTION DE RELATION BINAIRE

On appelle relation de E vers F tout procédé associant à des éléments de E des éléments de

F .

Soit < une relation de E vers F . Si x 2 E est en relation avec y 2 F , on notera:

x<y

L�ensemble des couples (x; y) 2 E � F véri�ant une relation < est appelé le graphe de <.

Si E = F , une relation de E vers F est appelée relation binaire sur E ( ou dans E). Par

exemple l�égalité est une relation binaire sur tout ensemble E.

Propriétés des relations binaires dans un ensemble

Soit < une relation binaire dans un ensemble E et x; y; z des éléments de E.

Re�exivité < est ré�exive si:

8x 2 E x<x

31

Exemple 3 Soit < la relation dé�nie sur Z par:

x<y , 3 divise (x� y)

(On rappelle que a divise b, 9k 2 Z : b = ka).

Alors on a: pour tout x 2 Z, x�x = 0 = 0 � 3, donc 3 divise (x� x), d�où x<x, et par suite

< est ré�exive.

Transitivité < est transitive si:

8x; y; z 2 E x<y et y<z ) x<z

Exemple 4 Soit < la relation dé�nie sur N� N par:

�x; x0

�<�y; y0

�, x+ x0 = y + y0

Alors on a: pour tout (x; x0) 2 N� N, x+ x0 = x+ x0, d�où (x; x0)< (x; x0), et par suite <

est ré�exive.

Symétrie < est symétrique si:

8x; y 2 E x<y ) y<x

Exemple 5 Soit < la relation dé�nie sur R par:

x<y , (x� y) est un multiple de 2

Alors on a: 8x; y 2 R; x<y , (x� y) est un multiple de 2 ) (y � x) est un multiple de 2

) y<x, et par suite < est symétrique.

Antisymétrie < est antisymétrique si:

8x; y 2 E x<y et y<x) x = y

32

Exemple 6 Soit < la relation dé�nie sur N� par:

a<b, a divise b

Alors on a: 8a; b 2 N�; a<b, a divise b) 9k1 2 N� tel que:b = k1 � a, d�autre part on a:

b<a , b divise a) 9k2 2 N�telque : a = k2 � b

) a = k2 � k1 � a

) k2 � k1 = 1) k2 = k1 = 1

) a = b

et par suite < est antisymétrique.

2.1.2 RELATION D�ÉQUIVALENCE

Dé�nition

Une relation dé�nie dans un ensemble E est une relation d�équivalence si elle est:

| ré�exive,

| symétrique,

| transitive.

Si x<y, avec < est une relation d�équivalence. Alors on dit que x est équivalent à y modulo

<.

Exemple 2.1 Soit < la relation dé�nie sur Z par:


Classe d�équivalence

Une classe d�équivalence d�un élément x donné est l�ensemble des éléments y équivalents à

cet élément notée: _x ou cl (x) ou bien C (x) :

33

Exemple 7 Soit < la relation dé�nie sur Z par:


alors:

_2 = fx 2 Z tel que: x<2g

x<2 , 3 divise (x� 2)

, 9k 2 Z : x� 2 = k � 3

) x = k � 3 + 2

) _2 = f:::;�7;�4;�1; 2; 5; 8; :::g

Ensemble quotient

L�ensemble des classes d�équivalence modulo < se nomme ensemble quotient de E par < et

se note E< ou E /<:

L�ensemble quotient constitue une partition de E:

En e¤et si x 2 E, _x 6= ? puisque < est ré�exive et x 2 _x:

Et on a: [ _x = E; x 2 E:

En�n si _x 6= _y ) _x\ _y = ? car s�il existe un élément a 2 _x\ _y ) a<x et y<a) x<y ) _x = _y

(contradiction).

Remarque 2.1 Si a 2 _x alors _a = _x:

2.2 RELATION D�ORDRE

Dé�nition 2.1 Une relation dé�nie dans un ensemble E est une relation d�ordre si elle est:

| ré�exive,

| antisymétrique,

| transitive.

34

Exemple 8 Soit < la relation dé�nie sur N� par:

p<q , (9n 2 N� tel que pn = q) :

En e¤et:

a) La ré�exivité:

on a: p1 = p) p<p) < est ré�exive.

b) L�antisymétrie:

si: p<q et q< p)8<: (9n1 2 N� tel que pn1 = q) et

(9n2 2 N� tel que qn2 = p)) qn1n2 = q ) n1n2 = 1) n1 = n2 = 1

) p = q ) < est antisymétrique.

b) La transitivité:

si: p<q et q< r )8<: (9n1 2 N� tel que pn1 = q) et

(9n2 2 N� tel que qn2 = r)) pn1n2 = r ) (9m = n1n2 2 N� tel que pm = r)

) p< r ) < est transitive.

conclusion: < est une relation d�ordre.

2.2.1 L�ordre total et l�ordre partiel

Dé�nition 2.2 Soit < une relation d�ordre dé�nie sur un ensemble E, alors si pour tout x; y 2

E, on a ou bien x<y ou y<x, on dira que l�ordre est total, si non c�est à dire

9�; � 2 E tel que on a ni �<� ni �<�

35

alors < est un ordre partiel.

Exemple 2.2 Soit < la relation dé�nie sur N� par:

p<q , (9n 2 N� tel que pn = q) :

< est un ordre partiel car:

pour � = 2 et � = 3 on ni �<� ni �<�:

2.2.2 MAJORANT,MINORANT

Dé�nition 2.3 Soit E un ensemble muni d�une relation d�ordre <, alors M est un majorant

de E, si 8x 2 E; x<M . D�autre part m est un minorant de E, si 8x 2 E;m<x.

Exemple 2.3 Dans I = [2; 5[ muni d�une relation d�ordre < dé�nie par:

x<y , x � y

l�ordre est total et on a par exemple:

7 est un majorant de I et � 3 est un minorant de I.

2.2.3 La borne supérieure, la borne inférieure

Dé�nition 2.4 Soit E un ensemble muni d�une relation d�ordre <, alors la borne supérieure

d�un ensemble E est le plus petit des majorant, notée SupE. D�autre part la borne inférieure

est le plus grand des minorants, notée Inf E.


x<y , x � y

SupI = 5et Inf I = 2 .

36

2.2.4 Maximum, minimum

Dé�nition 2.5 Soit E un ensemble muni d�une relation d�ordre <, alors si la borne supérieure

d�un ensemble E appartient à E, alors l�élément maximal (maximum) ou dit le plus grand

élément de l�ensemble existe et il est égal à la borne supérieure de E, si non alors le maximum

n�existe pas: D�autre part si la borne inférieure d�un ensemble E appartient à E, alors l�élément

minimal (minimum) ou dit le plus petit élément de l�ensemble existe et il est égal à la borne

inférieure de E; si non le minimum n�existe pas.

On note le maximum par: MaxE et le minimum par: MinE


x<y , x � y8<: SupI = 5 =2 I )MaxI n�existe pas et

Inf I = 2 2 I )Min I = Inf I = 2 .

2.3 Exercice

Exercice 01: On dé�nit dans R� la relation R par:

x R y () x2 � 1

x2= y2 � 1

y2

(1) Montrer que R est une relation d�équivalence.

(2) Déterminer la classe d�équivalence de a 2 R�.

Exercice 02: On dé�nit dans R� la relation R par: x R y () xy > 0


(2) Déterminer cl (1) et cl (�2) : En déduire la classe d�équivalence de a 2 R�.

Exercice 03: soit S la relation dans R dé�nie par:

a S b , a3 � b3 = a� b

37

(1) Montrer que S est une relation d�équivalence.

(2) Discuter suivant la valeur de m le nombre d�éléments contenus dans la classe de m .

Exercice 04: Soit R la relation binaire dé�nie sur Z� N� par:

(x; y)R�x 0; y 0

�, xy 0 � x 0y = 0:


(2) Déterminer cl ((1; 2)) et cl ((�1; 2)) :

Exercice 05 : Dans p (E), ensemble des parties de E 6= ?; R est dé�nie par:

A R B ,�A = B ou A = CBE

�(1) Montrer que R est une relation d�équivalence.

(2) Déterminer cl (?) ;en déduire cl (E) :

(3) A-t-on cl (A \B) = cl (A) \ cl (B) pour A;B dans p (E)?justi�er.

Exercice 06: Soit � la relation dé�nie sur N� par:

x � y , 9 n 2 N tel que : x n = y .

(1) Montrer que � est une relation d�ordre dans N�:

(2) Cet ordre est-il total ?

(3) Soit l�ensemble B = f1; 4; 8g : Déterminer s�ils existent, Max A et Min A pour l�ordre

�:

Exercice 07: Soit dans R2 la relation dé�nie par:

(x; y) ��x 0; y 0

�, x � x 0 et y � y 0:

38

(1) Montrer qu�il s�agit d�une relation d�ordre. L�ordre est-il total ?

(2) Préciser deux minorants, deux majorants, bornes inférieure et supérieure de la partie:

A = f(1; 2) ; (3; 1)g :

(3) La partie A possède-t-elle un plus grand élément ? un plus petit élément ?.

Exercice 08: On dé�nit dans Z la relation S par:

a S b, a � b+ 1

(1) Véri�er que 0 S 1 et 1 S 0:Donner une conclusion?

(2) Soit R la relation dé�nie sur Z par:

a R b, a h b+ 1

Montre que R est une relation d�ordre dans Z:



x R y () x2 � 1

x2= y2 � 1

y2

(1) Montrons que < est une relation d�équivalence dans R�.

a) < est-elle ré�exive?

< est ré�exive, 8x 2 R�; x < x:

8x 2 R�; x2 � 1

x2= x2 � 1

x2) x <x) < est ré�exive

b) < est-elle symétrique?

39

< est symétrique, 8 (x; y) 2 R� � R�, x < y ) y < x:

8 (x; y) 2 R� � R�; x <y ) x2 � 1

x2= y2 � 1

y2

) y2 � 1

y2= x2 � 1

x2) y<x

) < est symétrique :

c) < est-elle transitive?

< est transitive,

8 (x; y; z) 2 R� � R� � R�; x <y et y<z ) x <z:

8 (x; y; z) 2 R� � R� � R�; x <y et y<z

) x2 � 1

x2= y2 � 1

y2et y2 � 1

y2= z2 � 1

z2

) x2 � 1

x2= z2 � 1

z2) x <z:

Conclusion : < est une relation d�équivalence dans R�:

2) Déterminons la classe d�équivalence de a 2 R�.

_a = fx 2 R�=x <ag alors: x <a , x2 � 1x2= a2 � 1

a2) x4 � 1 =

�a2 � 1

a2

�x2 )

x4 ��a2 � 1

a2

�x2 � 1 = 0

0n pose t = x2 ) t2 ��a2 � 1

a2

�t� 1 = 0)4 =

�a2 � 1

a2

�2 � 4=�a2 � 1

a2� 2��a2 � 1

a2+ 2�

alors: 1/ Si 4 = 0 )�a2 � 1

a2

�2 � 4 = 0 ) a2 � 1a2= �2 ) t =

��a2� 1

a2

�2 ) t = 1ou

t = �1 qui ne convient pas car t > 0

) x = �1) _a = fa; 1;�1g :

1. 2/ Si 4 < 0) alors on a un élément unique dans la classe de a) _a = fag.

3/ Si 4 > 0 ) t1 =

�a2� 1

a2

��p4

2 ou bien t2 =

�a2� 1

a2

�+p4

2 alors on a 5 éléments

dans la classe de a

) _a =�a;pt2;�

pt2;pt1;�

pt1.

40


x R y () x

y> 0

(1) Montrons que < est une relation d�équivalence dans R�.

a) < est-elle ré�exive?

< est ré�exive, 8x 2 R�; x < x:

8x 2 R�; xx= 1 > 0) x <x) < est ré�exive


< est symétrique, 8 (x; y) 2 R� � R�, x < y ) y < x:

8 (x; y) 2 R� � R�; x <y ) x

y> 0) y

x> 0) y<x

) < est symétrique


< est transitive,

8 (x; y; z) 2 R� � R� � R�; x <y et y<z ) x <z:

8 (x; y; z) 2 R� � R� � R�; x <y et y<z ) x

y> 0et

y

z> 0

) x et y ont le même signe et y et z ont le même signe et x 6= 0

) x et z ont le même signe et x 6= 0) x z � 0) x <z ) < est transitive

Conclusion : < est une relation d�équivalence dans R�:

(2) Déterminons la classe d�équivalence de 1.

_1 = fx 2 R�=x <1g :

x <1 ) x

1> 0) x > 0) _1 = ]0;+1[

41

b) Déterminons la classe d�équivalence de �2.

_2 = fx 2 R�=x < (�2)g :

x <1 ) x

�2 > 0) x < 0) � _2 = ]�1; 0[

(3) Soit a 2 R�, alors _a =

8<: ]0;+1[ si a > 0

]�1; 0[ si a < 0


a S b , a3 � b3 = a� b

(1) Montrons que S est une relation d�équivalence.

a) S est-elle ré�exive?

S est ré�exive, 8a 2 R; a S a:

8a 2 R;) a3 � a3 = a� a = 0) a Sa) S est ré�exive

b) S est-elle symétrique?

S est symétrique, 8 (a; b) 2 R� R, a < b) b < a:

8 (a; b) 2 R� R; a <b) a3 � b3 = a� b)

) b3 � a3 = b� a) b Sa) S est symétrique.

c) S est-elle transitive?

S est transitive, 8 (a; b; c) 2 R� R� R; aSb et bSc) a Sc:

8 (a; b; c) 2 R� R� R;

a <b ) 8a 2 R;) a3 � b3 = a� b

et bSc ) 8a 2 R;) b3 � c3 = b� c

) a3 � c3 = a� c) a Sc) S est transitive

42

2) Discuter suivant la valeur de m le nombre d�éléments contenus dans la classe de m .

cl (m) =fa 2 R= mSag

mSa, m3 � a3 = m� a

) (m� a) (m2 + am+ a2) = (m� a)

) (a�m) (a2 +ma+m2) = (a�m))8<: a = m

ou a2 +ma+m2 = 1) a2 +ma+m2 � 1 = 0conclusion: pour 4 = m2 � 4

�m2 � 1

�= 4� 3m2 =

�2�

p3m� �

2 +p3m�

1/ Si 4 = 0) m = 2p3ou m = � 2p

3alors on a deux éléments dans la classe

de m.

2/ Si 4 < 0) m 2i�1;� 2p

3

h[i2p3;+1

halors on a un élément unique dans la

classe de m.

3/ Si 4 > 0) m 2i� 2p

3; 2p

3

halors on a 3 éléments dans la classe de m.

Exercice 04: Soit R la relation binaire dé�nie sur Z� N� par:

(x; y)R�x0; y0

�, xy 0 � x 0y = 0:


a) R est-elle ré�exive?

R est ré�exive, 8 (x; y) 2 Z� N�; (x; y)R (x; y)?

8 (x; y) 2 Z� N� ) xy � x y = 0) (x; y)R (x; y)) R est ré�exive

b) R est-elle symétrique?

R est symétrique, 8 (x; y) ; (x0; y0) 2 Z� N�, (x; y)R (x0; y0)) (x0; y0)R (x; y)?

soient (x; y) ;�x0; y0

�2 Z� N�; si (x; y)R

�x0; y0

�) xy 0 � x 0y = 0)

) x 0y � xy 0 = 0)�x0; y0

�R (x; y)) R est symétrique.

43

c) R est-elle transitive?

R est transitive, 8 (x; y) ; (x0; y0) ; (x00; y00) 2 Z� N�; (x; y)R (x0; y0) et (x0; y0)R (x00; y00))

(x; y)R (x00; y00) :


�; (x00; y00) 2 Z� N�;

(x; y)R�x0; y0

�) xy 0 � x 0y = 0) x0 =

xy 0

ycar y 2 N�

et�x0; y0

�R�x00; y00

�) x0y00 � x00y0 = 0) xy 0

yy00 � x00y0 = 0

) x

yy00 � x00 = 0) xy00 � yx00 = 0

) (x; y)R�x00; y00

�) R est transitive

(2) Déterminer cl ((1; 2)) et cl ((�1; 2)) :

cl ((1; 2)) = f(x; y) 2 Z� N�; (x; y)R (1; 2)g

(x; y)R (1; 2) , 2x� y = 0) cl ((1; 2)) = fx (1; 2) ; x 2 Rg

et pour:

cl ((�1; 2)) = f(x; y) 2 Z� N�; (x; y)R (�1; 2)g

(x; y)R (�1; 2) , 2x+ y = 0) cl ((�1; 2)) = fx (1;�2) ; x 2 Rg

Exercice 05 : Dans p (E), ensemble des parties de E 6= ?; R est dé�nie par:

A R B ,�A = B ou A = CBE

�(1) Montrer que R est une relation d�équivalence.

< est ré�exive, 8A 2 p (E) ; A < A:

on a: A = A) A <A) < est ré�exive


44

< est symétrique, 8A;B 2 p (E), A < B ) B < A?

soient A;B 2 p (E) ; A <B )�A = B ou A = CBE

�)

�B = A ou B = CAE

�) B<A

) < est symétrique :


< est transitive,

8A;B;C 2 p (E) ; A <B et B<C ) A <C:

8A;B;C 2 p (E) ; A <B et B<C )�A = B ou A = CBE

�et�B = Cou B = CCE

�

)

8>>>>>><>>>>>>:

A = B et B = C ) A = C

A = B etB = CCE ) A = CCE

A = CBE et B = C ) A = CCE

A = CBE etB = CCE ) A = C

)�A = C ou A = CCE

�

) A <C:

Conclusion : < est une relation d�équivalence dans p (E) :

(2) Déterminer cl (?) ;en déduire cl (E) :

cl (?) = fA 2 p (E) =A<?g

A<? ,�A = ? ou A = C?E

�) A = ? ou A = E

cl (?) = f?; Eg et puisque E 2 cl (?)) cl (E) = f?; Eg

(3) A-t-on cl (A \B) = cl (A) \ cl (B) pour A;B dans p (E)?justi�er.

non car pour: A = ? et B = f1g on a: cl (A \B) = cl (?) = f?; Eg

mais cl (A) \ cl (B) = cl (?) \ cl (f1g) 6= f?; Eg car f1g =2 f?; Eg

45

donc: cl (A \B) 6= cl (A) \ cl (B)

Exercice 06: Soit � la relation dé�nie sur N� par:

x � y , 9 n 2 N tel que : x n = y .

(1) Montrer que � est une relation d�ordre dans N�:

a) � est-elle ré�exive?

� est ré�exive, 8x 2 N�; x � x?

8x 2 N� ) 9 n =1 2 N tel que : x 1 = x) x � x) � est ré�exive

b) � est-elle antisymétrique?

� est antisymétrique, 8x; y 2 N�, x � y et y � x) x = y?

soient x; y N�; si x�y et y�x ) 9 n1 2 N tel que : x n1 = y

et 9 n2 2 N tel que : yn2 = x ) ( yn2)n1 = x n1 = y

) n1n2 = 1) n1 = n2 = 1

) x = y ) � est antisymétrique.

c) � est-elle transitive?

�est transitive, 8x; y; z 2 N�; x � y et y � z ) x � z:

soient x; y; z 2 N�;

x�y et y�z ) 9 n1 2 N tel que : x n1 = y

et 9 n2 2 N tel que : y n2 = z ) (x n1)n2 = z

9n = n1n2 2 N tel que : x n = z

) x � z ) � est transitive

(2) Cet ordre est-il total ?

46

L�ordre n�est pas total car pour les deux entiers f2; 3g on a ni 2 �3 ni 3 � 2:

(3) Soit l�ensemble B = f1; 4; 8g : Déterminer s�ils existent, Max B et Min B pour l�ordre

�:

M est un majorant de B , 8x 2 B; x � M )

8>>><>>>:1 �M ) 9 n1 2 N tel que : 1 n1 = M

4 �M ) 9 n2 2 N tel que : 4 n2 =M

8 �M ) 9 n3 2 N tel que : 8 n3 = M

Alors les seul majorant est M = 1 d�après la première équation

) SupB = 1)Max B = 1

et on a m est un minorant de B , 8x 2 B;m � x

)

8>>>>>><>>>>>>:

m �1) 9 n1 2 N tel que : m n1 = 1) m 2 N

m �4) 9 n2 2 N tel que : m n2 = 4) m = 2; 4

m �8) 9 n3 2 N tel que : m n3 = 8) 2; 8

) m = 2( l�intersection entre les trois cas)) InfB = 2 =2 B )Min B n�existe pas.

Exercice 07: Soit dans R2 la relation dé�nie par:

(x; y) ��x 0; y 0

�, x � x 0 et y � y 0:

(1) Montrer qu�il s�agit d�une relation d�ordre. L�ordre est-il total ?

a) � est-elle ré�exive?

� est ré�exive, 8 (x; y) 2 R2; (x; y) � (x; y)?

8 (x; y) 2 R2 ) x � x et y � y ) (x; y) � (x; y)) � est ré�exive

b) � est-elle antisymétrique?

� est antisymétrique, 8 (x; y) ; (x0; y0) 2 R2, (x; y) � (x0; y0) et (x0; y0) � (x; y)) (x; y) =

47

(x0; y0)?


�2 R2; si (x; y) �

�x0; y0

�) x � x 0 et y � y 0

et si�x0; y0

�R (x; y) ) x 0 � x et y 0 � y ) x = x0 et y = y0

) (x; y) =�x0; y0

�)� est antisymétrique.

c) � est-elle transitive?

� est transitive, 8 (x; y) ; (x0; y0) ; (x00; y00) 2 R2; (x; y) � (x0; y0) et (x0; y0) � (x00; y00) )

(x; y) � (x00; y00) :


�; (x00; y00) 2 R2;

(x; y) ��x0; y0

�) x � x 0 et y � y 0

et�x0; y0

��

�x00; y00

�) x0 � x00 et y0 � y00

) x � x00 et y � y00

) (x; y) ��x00; y00

�)� est transitive

conclusion: � est une relation d�ordre qui est partiel car pour les deux couples:

(2; 3) et (4; 1) on a ni (2; 3) � (4; 1) ni (4; 1) � (2; 3) :

(2) Préciser deux minorants, deux majorants, bornes inférieure et supérieure de la partie:

A = f(1; 2) ; (3; 1)g :

(M1;M2) est un majorant deA) 8 (x; y) 2 A; (x; y)� (M1;M2))

8>>><>>>:(1; 2) � (M1;M2)) 1 �M1 et 2 �M2

(3; 1) � (M1;M2) ) 3 �M1 et 1 �M2

) (M1;M2) 2 R avec 3 �M1 et 2 �M2

) SupA = (3; 2) =2 A)MaxA n�existe pas.

(m1;m2) est un minorant deA) 8 (x; y) 2 A; (m1;m2) � (x; y))

8>>><>>>:(m1;m2) � (1; 2)) m1 � 1 et m2 � 2

(m1;m2) � (3; 1) ) m1 � 3 et m2 � 1

) (m1;m2) 2 R avec m1 � 1 et m2 � 1) InfA = (1; 1) =2 A)MinA n�existe pas.

48

Exercice 08: On dé�nit dans Z la relation S par:

a S b, a � b+ 1

(1) Véri�er que 0 S 1 et 1 S 0:Donner une conclusion?

0 � 1 + 1) 0 S 1et 1 � 0 + 1) 1 S 0 alors la relation n�est pas antisymétrique.

(2) Soit R la relation dé�nie sur Z par:

a R b, a h b+ 1

Montrons que R est une relation d�ordre dans Z:

a) R est-elle ré�exive?

R est ré�exive, 8a 2 Z; a R a?

8a 2 Z; a h a+ 1) aRa) R est ré�exive

b) R est-elle antisymétrique?

R est antisymétrique, 8a; b 2 Z, a Rb et b Ra) a = b?

soient a; b 2 Z; si aRb et bRa) a h b+ 1

et b h a+ 1 ) (a� b) < (b� a)

) (a� b) � 1 < (a� b) � (�1)

alors si (a� b) 6= 0) 1 < (�1) (contradiction)

) a = b) R est antisymétrique.

c) R est-elle transitive?

49

�est transitive, 8a; b; c 2 Z; a R b et b R c) a R c?

soient a; b; c 2 Z;

a R b et b R c ) a h b+ 1) a � b

et b h c+ 1 ) b � c) a � c

) a < c+ 1) R est transitive

Conclusion: R est une relation d�ordre.

50

Chapitre 3

Les applications

3.1 NOTION D�APPLICATION

Étant donné deux ensembles E et F on dé�nit une application de E dans F en se donnant une

règle permettant de faire correspondre à tout élément de E un élément déterminer de F . Cette

règle est considérée comme un opérateur, noté f; T; ::: Si a 2 E, f (a) désigne le transformé de

a et représente donc un élément de F , et on note:

f : E ! F

x 7�! f (x) = y

On dit que y est fonction de x. E est l�ensemble de départ, F l�ensemble d�arrivée. L�élément

y associé à x est l�image de x par f .

Exemple 3.1

f : R! R

x 7�! f (x) = 6x+ 3

51

3.2 ÉGALITÉ DE DEUX APPLICATIONS

Pour montrer que deux applications f et g sont égales, on montre qu�elles ont le même ensemble

de départ E, et le même ensemble d�arrivée F et que

8x 2 E; f (x) = g (x)

Exemple 3.2 Soit E un ensemble. Pour toute partie X de E, on note 'X l�application de E

dans f0; 1g dé�nie par:

'X (t) =

8<: 1 si t 2 X

0 si non

'X est appelée application caractéristique de X.

Exemple 9 Montrons que:

8A;B 2 P (E) ; 'A\B = 'A � 'B

En e¤et:

On sait que 'A\B et 'A � 'B ont même ensemble de départ E et même ensemble d�arrivé

f0; 1g, il su¢ t de montrer que:

8t 2 E;'A\B (t) = ('A � 'B) (t)

On distingue les cas suivants:

F si t 2 (A \B)) 'A\B (t) = 1, et ('A � 'B) (t) = ('A) (t) � ('B) (t) = 1 �1 = 1 (car t 2 A

et t 2 B),

F si t 2 (ArB)) 'A\B (t) = 0, et ('A � 'B) (t) = ('A) (t) � ('B) (t) = 1 �0 = 1 (car t 2 A

et t =2 B),

F si t 2 (B rA) ) 'A\B (t) = 0, et ('A � 'B) (t) = N ('A) (t) � ('B) (t) = 0 � 1 = 1 (car

t =2 A et t 2 B),

F si t =2 (A [B)) 'A\B (t) = 0, et ('A � 'B) (t) = ('A) (t) � ('B) (t) = 0 �0 = 0 (car t =2 A

et t =2 B).

52

Donc, pour tout t 2 E;'A\B (t) = ('A � 'B) (t)

et par suite 'A\B = 'A � 'B:

3.3 COMPOSÉE DE DEUX APPLICATIONS

Soient f une application d�un ensemble E dans un ensemble F et g une application de F dans

un ensemble G. Alors le composée de ces deux application est

g � f : E ! G

x 7! (g � f) (x) = g (f (x))

Exemple 3.3

f : N! N et g : N! N

x 7! f (x) = 2x x 7! g (x) =

8<: x2 si x est pair

x+12 si x est impair

Alors:

f � g : N! N

x 7! f (g (x)) =

8<: x si x est pair

x+ 1 si x est impair

et g � f : N! N

x 7! g (f (x)) = g (2x) = x car 2x = y est un entier pair

Remarque 3.1 Dans le cas général:

g � f 6= f � g (voir l�exemple).

53

3.4 IMAGE D�UNE PARTIE

Soient f une application d�un ensemble E dans un ensemble F et A une partie de E. Alors

l�image de A par f est dé�nie par:

f (A) = ff (x) ; x 2 Ag

Exemple 3.4

f : R! R+

x 7! f (x) = jxj et A = f�1; 1;�2; 2;�3; 3g

On a donc:

f (A) = f1; ; 2; 3g

3.5 INJECTIVITÉ

Soit f une application d�un ensemble E dans un ensemble F: Par dé�nition:

f est injective , 8x1; x2 2 E; x1 6= x2 ) f (x1) 6= f (x2)

ou bien : f (x1) = f (x2)) x1 = x2 (le contraposé)

Exemple 3.5

f : R! R et g : R! R+

x 7! f (x) = 2x x 7! g (x) = jxj

Alors:

f est injective car: 8x1; x2 2 R; x1 6= x2 ) 2x1 6= 2x2 ) f (x1) 6= f (x2)

mais g n�est pas injective car par exemple : 2 6= �2 mais f (2) = f (�2) :

54

3.6 SURJECTIVITÉ

Soit f une application d�un ensemble E dans un ensemble F:Alors:

f est surjective , 8y 2 F;9x 2 E tel que: f (x) = y

c�est à dire chaque élément de l�ensemble d�arrivé admet un antécédent.

Exemple 3.6

f : R! R et g : N! N

x 7! f (x) = jxj x 7! g (x) =


x+12 si x est impair

Alors:

f n�est pas surjective car si y 2 R�, 8x 2 R; : f (x) = jxj 6= y;

mais g est surjective car : 8y 2 N;9x = 2y 2 N avec

f (x) = f (2y) =2y

2= y

3.7 BIJECTIVITÉ

Soit f une application d�un ensemble E dans un ensemble F:Alors:

f est bijective , f est injective et surjective.

, 8y 2 F;9!x 2 E tel que: f (x) = y

Exemple 3.7

f : R+ ! R+

x 7! f (x) = jxj

Exemple 10 f est bijective.

55

3.8 BIJECTION RÉCIPROQUE

Soit f une application bijective d�un ensemble E dans un ensemble F . Alors l�application

réciproque f�1 est dé�nie de F dans E, qui a pour chaque élément y, on associe un élément

unique x.

Exemple 3.8

f : R! R

x 7! f (x) = 3x+ 5

Exemple 11

y = 3x+ 5) x =y � 53

) f�1 : R! R

y 7! y � 53

3.9 IMAGE RÉCIPROQUE D�UNE PARTIE

Soient f une application d�un ensemble E dans un ensemble F et B une partie de E. Alors

l�image réciproque de B par f est dé�nie par:

f (B) = fx 2 E; f (x) 2 Bg

Exemple 3.9

f : R+ ! R+

x 7! f (x) = jxj et B = f1; 2; 3g

On a donc:

f�1 (B) = f1; ; 2; 3g

56

3.10 INVOLUTION

une involution est une bijection d�un ensemble E sur lui-même, qui est égale son inverse, c�est

à dire:

8x 2 E f (x) = f�1 (x)

) f [f (x)] = x ou bien: f � f = I

ou I est l�application identité : 8x 2 E I (x) = x:

3.11 PROPRIÉTÉS DES APPLICATIONS

Si A;B 2 P (E) alors:

A � B ) f (A) = f (B)

En e¤et: si y 2 f (A)) 9x 2 A tel que, f (x) = y

) 9x 2 B tel que, f (x) = y car: A � B

) y 2 f (B)) f (A) � f (B) :

de même pour : f (B) � f (A) :

et on a:

f (A [B) = f (A) [ f (B)

f (A \B) � f (A) \ f (B)

L�égalité n�ayant lieu que si f est injective.

57

Exemple 3.10

A = f0; �g ; B = f0; 3�g et f (x) = cosx

) f (A) = f1;�1g ; f (B) = f1;�1g

f (A \B) = f1g et f (A) \ f (B) = f1;�1g

) f (A) \ f (B) f (A \B) (f n�est pas injective).

3.12 Exercices

Exercice 01: Soit E un ensemble. Pour toute partie X de E, on note 'X l�application de E dans f0; 1g

dé�nie par:

8t 2 E; ('X (t) = 1), (t 2 X) :

'X est appelée application caractéristique de X:

(1) Montrer que: 8A;B 2 P (E) ; 'A\B = 'A :'B :

(2) En déduireque: 'A = ('A )2 :

(3) ' �A = 1� 'A :

(4) 'A[B = 'A + 'B � 'A :'B :

Exercice 02: On considère les deux applications de N dans N dé�nies pour tout x 2 N, respectivement

par:

f (x) = 2x; g (x) =


x + 12 si x est impair

Déterminer les applications u = g � f et v = f � g .

Exercice 03: f : E ! F une application, A � E et B � E:

(1) Montrer que: f (A [B) = f (A) [ f (B) .

(2) a) Montrer que: f (A \B) � f (A) \ f (B) .

b) Donner un exemple pour lequel f (A \B) 6= f (A) \ f (B) :

58

c) Montrer que si f est injective alors: f (A \B) = f (A) \ f (B) .

Exercice 04:

(1) Montrer que f de R dans ]�1; 1[ dé�nie par:

f (x) =x

1 + jxj est bijective et déterminer sa réciproque.

(2) Soit g l�application de R dans l�intervalle [�1; 1] dé�nie par:

f (x) = sin (�x)

a) Cette application est-elle injective? est-elle surjective? est-elle bijective?

b) Montrer que la restriction de f à��12 ;

12

�est une bijection de

��12 ;

12

�sur ]�1; 1[ .

Exercice 05: Les applications suivantes sont elles injectives, surjectives, bijectives ?

f : R� ! R b) g : Z! N c) h : R+ ! R+

x 7! sinx

xx 7! jxj � [x] x 7!

px

Exercice 06: Soit f de [0; 1[ dans[1;+1[ dé�nie par:

f (x) =1p1� x2

:

(1) Montrer que f est une application et qu�elle est bijective.

(2) Dé�nir alors l�application réciproque.

Exercice 07: Soit h l�application de R dans R dé�nie par: h (x) = 4xx2+1

:

(1) Véri�er que pour tout réel a non nul on a: h (a) = h�1a

�:

l�application h est-elle injective? Justi�er.

(2) Soit f la fonction dé�nie sur l�intervalle I = [1;+1[ par f (x) = h (x) :

59

a) Montrer que f est injective.

b) Véri�er que: 8x 2 I; f (x) � 2:

c) Montrer que f est une bijection de I sur ]0; 2] et trouver f�1 (x) :

Exercice 08 : Soit f : R! R dé�nie par: f (x) = xx2+1

:

(1) Calculer f (2) et f�12

�: f est-elle injective?

(2) Résoudre dans R : f (x) = 2: f est-elle surjective?

(3) Déterminer f (R) :(Indication: utiliser (x+ 1)2 � 0 et (x� 1)2 � 0):

Exercice 09: Soient E;F;G trois ensembles et f : E ! F , g : F ! G deux applications:

(1) Montrer que: g � f est injective ) f est injective.

(2) Montrer que: g � f est surjective ) g est surjective.

(3) f et g sont bijectives ) g � f est bijective et (g � f)�1 = f �1 � g�1.

Exercice 10: Soient E;F;G trois ensembles, on considère f et g deux applications quelconques de E

dans F et h une application injective de F dans G: montrer que:

h � f = h � g ) f = g :

Exercice 11 : Soient A et B 2 P (E) et f : P (E) ! P (A)� P (B) dé�nie par:

f (X) = (X \A; X \B) :

(1) Montrer que f est injective si et seulement si A [B = E .

(2) Montrer que f est surjective si et seulement si A \B = ;.

(3) Donner une condition nécessaire et su¢ sante pour que f soit bijective.Déterminer f �1:

60


Exercice 01: Soit E un ensemble. Pour toute partie X de E, on note 'X l�application de E dans f0; 1g

dé�nie par:

8t 2 E; ('X (t) = 1), (t 2 X) :

'X est appelée application caractéristique de X:

(1) Montrons que: 8A;B 2 P (E) ; 'A\B = 'A :'B :

'A\B : E ! f0; 1g et 'A :'B : E ! f0; 1g car: 0 � 0 = 0; 0 � 1 = 1 � 0 = 0 et 1 � 1 = 1:

Montrons alors que: 8t 2 E; 'A\B (t) = 'A (t) :'B (t)?

'A\B (t) =

8<: 1 si t 2 A \B

0 si t =2 A \B=

8<: 1 si t 2 A et t 2 B

0 si t =2 A ou t =2 B

et 'A (t) :'B (t) =

8>>>>>><>>>>>>:

1 si t 2 A et t 2 B

0 si t 2 A ou t =2 B

0si t =2 A ou t 2 B

0si t =2 A ou t =2 B

=

8<: 1 si t 2 A et t 2 B

0 si t =2 A ou t =2 B= 'A\B (t) )

'A\B = 'A :'B :

(2) En déduireque: 'A = ('A )2 :

On a: 'A\A = ('A )2d�après (1) mais: 'A\A = 'A car: A \A = A) 'A = ('A )

2 :

(3) ' �A = 1� 'A :

' �A (t) =

8<: 1 si t 2 �A

0 si t =2 �A=

8<: 0 si t 2 A

1 si t =2 Aet 1�'A =

8<: 1� 1 si t 2 A

1� 0 si t =2 A=

8<: 0 si t 2 A

1 si t =2 Ade plus: ' �A (t) : E ! f0; 1g et 1� 'A : E ! f0; 1g ) ' �A = 1� 'A :

(4) 'A[B = 'A + 'B � 'A :'B :

'A[B =

8<: 1 si t 2 A [B

0 si t =2 A [B=

8<: 1 si t 2 A ou t 2 B

0 si t =2 A et t =2 B:

61

'A (t)+'B (t)�'A (t) :'B (t) =

8>>>>>><>>>>>>:

1 + 0� 0 si t 2 A et t =2 B

0 + 1� 0 si t =2 A ou t 2 B

0 + 0� 0si t =2 A ou t =2 B

1 + 1� 1si t 2 A ou t 2 B

=

8<: 1 si t 2 A ou t 2 B

0 si t =2 A et t =2 B=

'A[B (t) :

et on a: 'A[B : E ! f0; 1g et 'A (t) + 'B (t)� 'A (t) :'B (t) : E ! f0; 1g

) 'A[B = 'A + 'B � 'A :'B :

Exercice 02: On considère les deux applications de N dans N dé�nies pour tout x 2 N, respectivement

par:

f (x) = 2x; g (x) =


x + 12 si x est impair

Déterminons les applications u = g � f et v = f � g .

u : N ! N

x 7! u (x) = g � f (x) = g [f (x)] = g (2x) = 2x2 = x:

et v : N ! N

x 7! v (x) = f�g (x) = f [g (x)] =

8<: f�x2

�si x est pair

f�x+12

�si x est impair

=

8<: x si x est pair

x+ 1 si x est impair6=

g � f (x) :

Exercice 03: f : E ! F une application, A � E et B � E:

(1) Montrons que: f (A [B) = f (A) [ f (B) .

a) f (A [B) � f (A) [ f (B)?

Soit y 2 f (A [B)) 9x 2 A [B tel que: f (x) = y

) 9x 2 A ou 9x 2 B tel que: f (x) = y

) ( 9x 2 A tel que: f (x) = y) ou (9x 2 B tel que: f (x) = y)

) y 2 f (A) ou y 2 f (B) ) y 2 f (A) [ f (B) :

b) y 2 f (A) [ f (B)) y 2 f (A) ou y 2 f (B)

) ( 9x 2 A tel que: f (x) = y) ou (9x 2 B tel que: f (x) = y)

) 9x 2 A ou 9x 2 B tel que: f (x) = y

) 9x 2 A [B tel que: f (x) = y ) y 2 f (A [B) :

62

(2) a) Montrons que: f (A \B) � f (A) \ f (B) .

Soit y 2 f (A \B)) 9x 2 A \B tel que: f (x) = y

) 9x 2 Aet 9x 2 B tel que: f (x) = y

) ( 9x 2 A tel que: f (x) = y) et (9x 2 B tel que: f (x) = y)

) y 2 f (A) et y 2 f (B) ) y 2 f (A) \ f (B) :

b) Donner un exemple pour lequel f (A) \ f (B) � f (A \B) :

1. On pose: A = f0; 1g et B = f0;�1g avec: f (x) = jxj :

f (A) = f0; 1g et f (B) = f0; 1g ) f (A) \ f (B) = f0; 1g

et A \B = f0g ) f (A \B) = f0g

conclusion: f (A) \ f (B) � f (A \B) :

c) Montrer que si f est injective alors: f (A \B) = f (A) \ f (B).

Il su¢ t de montrer que: f (A) \ f (B) � f (A \B)

y 2 f (A) \ f (B)) y 2 f (A) et y 2 f (B)

) ( 9x1 2 A tel que: f (x1) = y) et (9x2 2 B tel que: f (x2) = y)

et puisque f est injective alors: x1 = x2 = x

) 9x 2 A et 9x 2 B tel que: f (x) = y

) 9x 2 A \B tel que: f (x) = y ) y 2 f (A \B) :

Exercice 04:

(1) Montrer que f de R dans ]�1; 1[ dé�nie par:

f (x) =x

1 + jxj est bijective et déterminer sa réciproque.

a) f est elle injective?

8x1; x2 2 R, si f (x1) = f (x2)) x1 = x2?

Soient x1; x2 2 R, si f (x1) = f (x2)) x11 + jx1j =

x21 + jx2j

63

)

8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:

x11 + x1

= x21 + x2

si x1 � 0 et x2 � 0) x1 = x2

x11 + x1

= x21 � x2

si x1 � 0 et x2 � 0

ne convient pas que dans le cas où x1; x2 ont le même signe

x11 � x1

= x21 + x2

si x1 � 0 et x2 � 0

ne convient pas que dans le cas où x1; x2 ont le même signe

x11 � x1

= x21 � x2

si x1 � 0 et x2 � 0x1 = x2

) x1 = x2 ) f est

injective.

b) f est elle surjective?

Montrons que: 8y 2 ]�1; 1[ ;9x 2 R tel que: f (x) = y

� Si y 2 ]�1; 0[) x < 0) x1 �x = y ) x = y

1+y < 0 qui existe si: y 2 ]�1; 0[

� Si y 2 [0; 1[) x > 0) x1 +x = y ) x = y

1�y < 0 qui existe si: y 2 [0; 1[

conclusion: f est une application bijective avec:

f�1 : ]�1; 1[! R

y 7!

8<:y1�y si y 2 [0; 1[y1+y si y 2 ]�1; 0[

:

(2) Soit g l�application de R dans l�intervalle [�1; 1] dé�nie par:

g (x) = sin (�x)

a) Cette application est-elle injective? est-elle surjective? est-elle bijective?

1) g n�est pas injective car: si x1 = 0 et x2 = 2; x1 6= x2 mais: g (x1) = g (x2) = 0:

2) �1 � sin (�x) � 1) G est surjective

3) g n�est pas bijective car elle n�est pas injective.

b) Montrer que la restriction de g à��12 ;

12

�est une bijection de

��12 ;

12

�sur ]�1; 1[ .

Soit h la restriction de g à��12 ;

12

�) h :

��12 ;

12

�! ]�1; 1[x 2

x 7! h (x) = sin (�x)

1) h est surjective car: si x 2��12 ;

12

�) �1 < sin (�x) < 1:

2) il reste à montrer que: h est injective?

Soient x1; x2 2��12 ;

12

�, si h (x1) = h (x2) ) sin (�x1)� sin (�x2) = 0

64

) 2 sin�� (x1�x2)2

�cos�� (x1+x2)2

�= 0

)

8<: sin�� (x1�x2)2

�= 0) x1 = x2

cos�� (x1+x2)2

�= 0) x1 + x2 = 1 cas qui n�est pas possible.

) h est injective) h

est bijective.

Exercice 05: Les applications suivantes sont elles injectives, surjectives, bijectives ?

a) f : R� ! R b) g : Z! N c) h : R+ ! R+

x 7! sinx

xx 7! jxj � [x] x 7!

px

a)- f n�est pas injective car: x1 = 2�; x2 = 4�, x1 6= x2 mais f (x1) = f (x2) = 0:

- Pour surjective: si on pose l�application h (x) = sinx � x ) h0 (x) = cosx � 1 ) h0

(x) � 0) h est décroissante

) le seul cas pour que h (x) = 0 quand x = 0 donc pour y = 1, 8x 2 R�; sinx 6= x )sinxx 6= 1) f (x) 6= 1

Alors f n�est pas surjective.

b) g : Z! N

x 7! jxj � [x]

[x] désigne la partie entière qui est paer dé�nition: max y avec y 2 Z et y � x:

- g n�est pas injective car: x1 = 1; x2 = 2, x1 6= x2 mais f (x1) = f (x2) = 0:

- Pour surjective: on a pour x 2 Z+; g (x) = 0 et si x 2 Z�; g (x) = �x� x = �2x 2 N est

qui pair

) 8y = 2k + 1 (impair);8x 2 Z; g (x) 6= y: Alors g n�est pas surjective.

c) h : R+ ! R+

x 7!px

Soient x1; x2 2 R+; h (x1) = h (x2) )px1 =

px2 ) x1 = x2 car h est strictement

croissante) h est injective.

Pour surjective: 8y 2 R+;9x 2 R+ tel que: y =px (il su¢ t de prendre x = y2)) h est

surjective) h est bijective.

65

Exercice 06: Soit f de [0; 1[ dans[1;+1[ dé�nie par:

f (x) =1p1� x2

:

(1) Montrer que f est une application et qu�elle est bijective.

f est une application , 8x 2 [0; 1[ ;9y 2 [1;+1[ tel que: f (x) = y?

f 0 (x) = x

(1�x2)32� 0 car x 2 [0; 1[ ) f est croissante en plus on a: f (0) = 1 et lim

x!1f

(x) = +1

) f [0; 1[ = [1;+1[ d�où f est une application.

- f est injective car: 8x1; x2 2 [0; 1[ ; f (x1) = f (x2)) 1p1�x21

= 1p1�x22

) x21 = x22 ) x1 =

x2:

- f est surjective car: 8y 2 [1;+1[ ;9x 2 [0; 1[ tel que: f (x) = y ) 1p1�x2 = y ) x =

py2�1y 2 [0; 1[car y � 1:

(2) Alors l�application réciproque est:

f�1 : [1;+1[! [0; 1[

y 7! f�1 (y) =

py2 � 1y

:

Exercice 07: Soit h l�application de R dans R dé�nie par: h (x) = 4xx2+1

:

(1) Véri�er que pour tout réel a non nul on a: h (a) = h�1a

�:

h (a)� h�1a

�= 4a

a2+1� 4 1

a

( 1a)2+1= 0) h (a) = h

�1a

�:

1. l�application h est-elle injective? Justi�er.

h n�est pas injective car pour: x1 = 2 et x2 = 12 on a: x1 6= x2 mais d�après (1) h (2) = h�

12

�:

(2) Soit f la fonction dé�nie sur l�intervalle I = [1;+1[ par f (x) = h (x) :

a) Montrons que f est injective:

66

Montrons que: 8x1; x2 2 R, si f (x1) = f (x2)) x1 = x2?

En e¤et: si f (x1) = f (x2) ) 4x1x21+1

= 4x2x22+1

) (x1 � x2) (1� x1x2) = 0 ) x1 = x2 ou

x1 =1x2cas qui n�est pas possible

pour: x1; x2 2 [1;+1[ sauf si x1 = x2 ) f est injective:

1. b) Véri�er que: 8x 2 I; f (x) � 2:

f (x)� 2 = �2(x�1)21+x2

� 0) f (x) � 2:

1. c) Montrer que f est une bijection de I sur ]0; 2] et trouver f�1 (x) :

On a: f est injective en plus:

- f est surjective car: 8y 2 ]0; 2] ;9x 2 [1;+1[ tel que: f (x) = y ) 4xx2+1

= y )

yx2 � 4x+ y = 0

4 = 16� 4y2 � 0 car: y 2 ]0; 2]) x1 = 2 + 2p4� y2 ou x2 = 2� 2

p4� y2 une solution

qui ne convient pas

) x = 2 + 2p4� y2 qui existe 8y 2 ]0; 2]) f est bijective.

(2) Alors l�application réciproque est:

f�1 : ]0; 2]! [1;+1[

y 7! f�1 (y) = 2 + 2p4� y2:

Exercice 08 : Soit f : R! R dé�nie par: f (x) = xx2+1

:

(1) Calculer f (2) et f�12

�: f est-elle injective?

f (2) = f�12

�= 2

5 ) f n�est pas injective car: x1 6= x2 mais f (2) = f�12

�:

(2) Résoudre dans R : f (x) = 2: f est-elle surjective?

f (x) = 2 , xx2+1

= 2 , 2x2 � x + 2 = 0 ) 4 = �15 < 0 ) l�ensemble des solutions est

vide (;).

Donc pour y = 2;8x 2 R; f (x) 6= 2) f n�est surjective

67

(3) Déterminer f (R) :(Indication: utiliser (x+ 1)2 � 0 et (x� 1)2 � 0):

on a: (x+ 1)2 � 0 et (x� 1)2 � 0) x2 + 1 � �2x et x2 + 1 � 2x) �12 �

xx2+1

� 12 ) f

(R) =��12 ;12

�:

Exercice 09: Soient E;F;G trois ensembles et f : E ! F , g : F ! G deux applications:

(1) Montrer que: g � f est injective ) f est injective.

Supposons par l�absurde que f n�est pas injective) 9x1; x2 2 E avec x1 6= x2 et f (x1) = f

(x2)) g [f (x1)] = g [f (x2)]

car g est une application alors g � f (x1) = g � f (x2) ) g � f n�est pas injective.

(contradiction)) f est injective.

(2) Montrer que: g � f est surjective ) g est surjective.

g�f est surjective) 8z 2 G;9x 2 E tel que: g�f (x) = z ) g [f (x)] = z ) 9y = f (x) 2 F

car f est une application et g (y) = z

alors g est surjective.

(3 ) f et g sont bijectives ) g � f est bijective et (g � f)�1 = f �1 � g�1.

Si f et g sont bijectives. Montrons alors que:g �f est injective ensuite qu�elle est surjective?

Pour injective:

Soient x1; x2 2 E avec x1 6= x2 ) f (x1) 6= f (x2) car f est injective) g [f (x1)] 6=

g [f (x2)]car g est injective) g � f est injective .

Pour surjective:

8z 2 G;9y 2 F tel que: g (y) = z car g est surjective) 9x 2 E tel que: g [f (x)] = z car f

est surjective) g � f (x) = z ) g � f est surjective.

En plus si ona: h � k = Id ) k = h�1, ce qui fait pour notre exercice: (g � f)�1 =�f�1 � g�1

�� (g � f) = f�1 � Id � f = Id) (g � f)�1 = f �1 � g�1.

Exercice 10: Soient E;F;G trois ensembles, on considère f et g deux applications quelconques de E

dans F et h une application injective de F dans G: montrer que:

h � f = h � g ) f = g :

68

Par l�absurde: supposons que: f 6= g ) 9x 2 E et f (x) 6= g (x) ) 9x 2 E tq: h

[f (x)] 6= h [g (x)] car h est injective

) 9x 2 E tq: h � f (x) 6= h � g (x)) h � f 6= h � g

Exercice 11 : Soient A et B 2 P (E) et f : P (E) ! P (A)� P (B) dé�nie par:

f (X) = (X \A; X \B) :

(1) Montrer que f est injective si et seulement si A [B = E .

") "hyp: f est injective

Pb: A [B = E

"� " evident car A et B 2 P (E) :

"� "Par l�absurde supposons que E n�est pas inclu dans A [B alors: 9x 2 E et x =2 A [B

) 9x 2 E et x =2 A et x =2 B ) fxg\A = fxg\B = ; ) f (fxg) = (fxg \A; fxg \B) =

(;; ;) = f (;) avec ; 6= fxg

) f n�est pas injective (contradiction), ce qui implique que: A [B = E:

"( "hyp: A [B = E

Pb: f est injective

Soient X1; X2 2 P (E) avec f (X1) = f (X2)

) (X1 \A; X1 \B) = (X2 \A; X2 \B)) X1 \A = X2 \A et X1 \B = X2 \B

) (X1 \A)[ (X1 \B) = (X2 \A)[ (X2 \B)) X1 \ (A [B) = X2 \ (A [B) (la distrib-

utivité)

) X1 \ (E) = X2 \ (E)) X1 = X2 ) f est injective.

(2) Montrer que f est surjective si et seulement si A \B = ;.

") "hyp: f est surjective

Pb: A \B = ;

"� " evident car l�ensemble vide est inclu dans chaque ensemble.

69

"� "Par l�absurde supposons que A\B n�est pas inclu dans ; alors: 9x 2 A\B ) fxg\A =

fxg = fxg \B

Mais (fxg ; ;) 2 P (A)� P (B) alors 8Y 2 P (E) on a: f (Y ) = (Y \A; Y \B) 6= (fxg ; ;)

car x 2 B

) f n�est pas surjective:

"( "hyp: A \B = ;

Pb: f est surjective

Supposons que f n�est pas surjective) 9 (Y1; Y2) 2 P (A)� P (B) et (Y1; Y2) 6= f (X) ;8X 2

P (E)

) (Y1; Y2) 6= (X \A; X \B) ;8X 2 P (E) , en particulier si X = Y1 [ Y2) (Y1; Y2) 6= ((Y1 [ Y2) \A; (Y1 [ Y2) \B),maisY1 2 P (A) ; Y2 2 P (B) et A \B = ;

) (Y1; Y2) 6= (Y1 \A; Y2 \B) = (Y1; Y2))contradiction) f est surjective.

(3) Donner une condition nécessaire et su¢ sante pour que f soit bijective.Déterminer f �1:

une condition nécessaire et su¢ sante pour que f soit bijective est: A[B = E et A\B =

; ) A = CBE :

On a: f (X) = (X \A; X \B) = (Y1; Y2) 2 P (A)� P (B)

) X \A = Y1 et X \B = Y2 et puisque A [B = E ) f�1 (Y1; Y2) = X = Y1 [ Y2:

70

Chapitre 4

Suites numériques.

4.1 DÉFINITIONS

On appelle suite d�éléments de E une application d�un sous ensemble A = fn0; n0 + 1; � � �g

de N vers E. On la note:

u : A! E

n 7! u (n) = un

un est appelé terme général de la suite u, que l�on note aussi (un)n�n0 :

Considérons les deux suites (un)n�0 ; (vn)n�1, dé�nies par:

un = 2 +5

n+ 1; vn =

pn+ 1:

On deux types de suites:

1. Une suite dé�nie par un terme général qui est dé�ni par un indice n.

Exemple 12

un =1

n2 + 1; vn = sinn:

2. Une suite récurrente:

C�est une suite qui est dé�nie par une relation entre ces termes d�ordre n; n� 1; n+ 1; � � �

71

Exemple 13 8<: u0 = 2

un =pun�1 + 1:

Remarque 14

(un)n2N = (vn)n , un = vn 8n 2 N

4.2 QUELQUES CARACTÈRES DES SUITES

4.2.1 Suites monotones

Pour étudier la monotonie d�une suite on calcul la valeur suivante:

un+1 � un pour tout n 2 N:

Donc on a les cas suivants:

1) si un+1 � un � 0; 8 n 2 N alors la suite est dite croissante.

2) si un+1 � un > 0; 8 n 2 N alors la suite est dite strictement croissante.

3) si un+1 � un � 0; 8 n 2 N alors la suite est dite décroissante.

4) si un+1 � un < 0; 8 n 2 N alors la suite est dite strictement décroissante.

5) si un+1 � un = 0; 8 n 2 N alors la suite est dite constante.

D�une autre manière on peut calculer la valeur:

un+1un

= l pour tout n 2 N:

72

Alors on a:

1) si l � 1; 8 n 2 N alors la suite est dite croissante.

2) si l > 1; 8 n 2 N alors la suite est dite strictement croissante.

3) si l � 1 ; 8 n 2 N alors la suite est dite décroissante.

4) si l < 1 ; 8 n 2 N alors la suite est dite strictement décroissante.

5) si l = 1; 8 n 2 N alors la suite est dite constante.

Exemple 15 8<: u0 = 2

un = 2� 1un�1

:

Alors on a:

un+1 � un = 2�1

un� un = �

(un � 1)2

un< 0; 8 n 2 N car un > 0:

donc la suite est décroissante.

4.2.2 Suites bornées

- Une suite (un) est majorée s�il existe M 2 R tel que un �M; 8 n 2 N:

- Une suite (un) est minorée s�il existe m 2 R tel que m � un; 8 n 2 N:

- Une suite (un) est bornée si elle est majorée et minorée à la fois.

Exemple 16 8<: u0 = 2

un = 2� 1un�1

:

Montrons par récurrence que:

un > 1; 8 n 2 N

En e¤et: pour n = 0, on a:u0 = 2 > 1:

Supposons que: un > 1 pour un n �xé et montrons que:un+1 > 1:

73

on a:

un+1 = 2�1

un> 2� 1 = 1

Conclusion 17

un > 1; 8 n 2 N c�est à dire (un) est minorée par 1:

4.3 NATURE D�UNE SUITE

4.3.1 Suites convergentes

Dé�nition 18 Une suite (un) est dite convergente si sa limite l existe et elle est égale à une

constante unique.

Exemple 19

un =1

n) lim

n!+1un = 0:

4.3.2 Suites divergentes

Dé�nition 20 Une suite (un) est dite divergente si sa limite l est égale à l�in�nie ou bien

deux limites ou plus.

Exemple 21

1) un = n) limn!+1

un = +1:

2) vn = (�1)n

=

8<: 1 si n = 2k

�1 si n = 2k + 1k 2 N

la limite n�existe pas car on a le cas d�indice pair et l�indice impair.

4.4 THÉORÈME FONDAMENTAUX

Proposition 22 1) Une suite croissante majorée est une suite convergente.

2) Une suite décroissante minorée est une suite convergente.

74

Exemple 23 8<: u0 = 2

un = 2� 1un�1

:

Proposition 24 (un) est décroissante minorée par 1 ou bien 0, alors elle est convergente.

Remarque 25 Si on a une suite décroissante minorée par une constante �, ou bien croissante

majorée par �; alors la limite n�est pas nécéssairement �:

Exemple 26 8<: u0 = 2

un = 2� 1un�1

:

(un) est décroissante minorée par� = 0, donc pour déterminer la limite passant à la formule

de récurrence:

un = 2� 1

un�1) lim

n!+1un = lim

n!+1

�2� 1

un�1

�) l = 2� 1

l) l2 � 2l + 1 = 0

) (l � 1)2 = 0) l = 1 6= �:

4.5 PROPRIÉTÉ FONDAMENTALES

1) Si (un) est convergente ) elle est bornée.

2)

Si limn!+1

un = l alors limn!+1

junj = jl j :

3)

limn!+1

un = 0 , limn!+1

junj = 0:

75

4.6 THÉORÈME D�ENCADREMENT (RÈGLE DES DEUX

GENDARMES)

Soient (un) et (vn) deux suites convergentes vers la même limite et (wn) une suite telle que:

un � wn � vn ou bien un < wn < vn

Alors la suite (wn) est convergente sa limite est égale à l.

Exemple 27 Dans un cercle unité on a:

x cosx � sinx � x � 1

) cosx � sinx

x� 1

) limx!0

cosx � limx!0

sinx

x� 1

) 1 � limx!0

sinx

x� 1

) limx!0

sinx

x= 1:

4.7 SOUS-SUITES

On appelle une sous-suite (suite extraite ou bien suite partielle) d�une suite (un)n2N, la

suite (vk) dé�nie par:

vk = u(s(k));8k 2 N

avec:

s : N! N

k 7! s (k)

est une application d�indice strictement croissante.

Exemple 28 La suite (u2k)k2N ;�resp (u2k+1)k2N

�est une sous suite de (un)n2N :

76

4.8 Suites adjacentes:

(Un)n2N et (Vn)n2N sont dites deux suites adjacentes si et seulement si:

1) (Un)n2N est une suite croissante,

2) (Vn)n2N est une suite décroissante,

3) limn!+1 (Vn � Un) = 0;

4) Un � Vn;8n 2 N:

4.9 Exercices:

Exercice 01: Calculer U1; U2 et U3 dans les cas suivants:

1)Un =1n+1 sinn

�2 2) Un =

5�7�9��(5+2n)4�7�10��(4+3n) 3)Un =

1n3Pnk=1 k

2:

Exercice 02: Calculer les limites suivantes:

1) limn !+1

�11:2 +

12:3 + :::+

1n:(n+1)

�; 2) lim

n !+1n3+7

n2pn2+1

; 3) limn !+1

pn2 + 9�

pn2 + 4

4) limn !+1

n12�n

13

n15�n

16; 5) lim

n !+1n2 sinn

�2 ; 6) lim

n !+1n+ 3

p1� n3; 7) lim

n !+1sin2 n �cos3 n

n

8) limn !+1

2n+3n

an ; a 2 R; 9) limn !+1

np3� sin2 n; 10) lim

n !+1n3+2n

3n .

Exercice 03: (Un) est dé�nie par: Un = ln (1 + Un�1) avec U0 i 0 .Chercher la limite de Un:

Exercice 04: a) Soit (Un) une suite croissante, montrer que la suite (Vn) = U1+U2+::::+Unn est croissante.

b) Si (Un) est une suite convergente peut-on en déduire que (Vn) l�est aussi.

Exercice 05: Posons U1 = 14 ; U2 =

1:3422!

et 8n � 3; Un = 1:3:5::::(2n�1)4n:n!

Montrer l�inégalité Un+1Un < 1

2 : En déduire la limite de la suite (Un) .

Exercice 06 : Soient (Un)n � 2 et (Vn)n � 1 deux suites telles que:

Un =n+ 7

n� 1 et Vn =n+ 2

n

(1) Montrer que (Vn)n � 1 est une sous-suite de (Un)n � 2 .

77

(2) Soit (bn)n 2 N une suite dé�nie par bn =2�5n3:5n+1 trouver une suite (an)n 2 N telle que bn en

soit extraite.

Exercice 07 : Soit q un nombre réel tel que jqj h 1:1) Montrer que: limn !+1

qn = 0.

2) Soit Sn = q + q2 + q3 + :::+ qn; calculer (1� q)Sn puis limn !+1

Sn .

Exercice 08 : On considère la suite dé�nie par:8<: U0 = 2

Un+1 =12Un +

1Un

n 2 N

(1) Montrer que Un ip2 pour tout n � 0 et que (Un) est strictement décroissante:

(2) Calculer limn !+1

Un .

(3) On pose Vn = Un �p2: Montrer que: Vn+1 =

(Vn)2

2Unet en déduire que: Vn+1 <

(Vn)2

2

8n 2 N:

(4) Montrer que: 0 < Vn < 122n�1 8n 2 N:

Exercice 09 : Soit a 2 R et (Un)n 2 N une suite dé�nie par:8<: U0 = a

Un+1 =4Un + 2Un + 5 ; n 2 N:

(1) Pour quelles valeurs dea la suite (Un)n 2 N est-elle constante ?

(2) Montrer que s�il existe n0 2 N� tel que Un0 = �2; alors Un0�1 = �2 .

(3) En déduire que si U0 6= �2 , alors 8n 2 N; Un 6= �2:

(4) On suppose que U0 6= �2 et on pose : 8n 2 N; Vn = Un � 1Un + 2 .

a)Véri�er que (Vn)n 2 N est une suite géométrique. b)

En déduire l�expression de Un en fonction de n et de V0: c)

Etudier alors la convergence de la suite (Un)n 2 N :

78

Exercice 10: On considère la suite dé�nie par:8<: U0 = 1

Un+1 =12Un +

32Un

n 2 N

(1) Montrer que Un i 0 pour tout n � 0:

(2) On suppose que la suite Un est convergente, quelle est la valeur l de sa limite ?

(3) Montrer que Un � l i0 pour tout n � 1:( Remplacer l par sa valeur).

(4) En déduire que (Un) est décroissante.

(5) Conclure.

Exercice 11 : Posons:

8n � 1 Xn = 1 +1

1!+1

2!+ :::+

1

n!et Yn = Xn +

1

n!

Montrer que les suites (Xn)n 2 N et (Yn)n 2 N sont adjacentes et que leur limite commune

est un nombre irrationnel.

Exercice 12 : ·Etant donné les nombres a et b véri�ant 0 ha h b, on considère les deux suites:

Un =pUn�1Vn�1 et Vn =

Un�1 + Vn�12

avec U0 = a et V0 = b

Montrer que ces deux suites convergent et admettent même limite.

4.10 Solutions des exercices:

Exercice 01: Calculer U1; U2 et U3 dans les cas suivants:

1)Un =1n+1 sinn

�2 ) U1 =

12 ; U2 = 0 et U3 = �

14

2) Un =5�7�9��(5+2n)4�7�10��(4+3n) ) U1 =

5�74�7 ; U2 =

5�7�94�7�10 et U3 =

5�7�9�114�7�10�13

3)Un =1n3

nPk=1

k2 ) U1 = 1; U2 =58 et U3 =

1427

79


1) limn !+1

�11:2 +

12:3 + :::+

1n:(n+1)

�, on a: 1

n:(n+1) =1n�

1n+1 ) lim

n !+1

�11:2 +

12:3 + :::+

1n:(n+1)

�= lim

n !+1

�1� 1

2 +12 �

13 + :::+

1n �

1n+1

�= limn !+1

(1� 1n+1) = 1

2) limn !+1

n3+7n2pn2+1

= limn !+1

n3�1+ 7

n3

�n3q1+ 1

n2

= 1

3) limn !+1

pn2 + 9�

pn2 + 4 = lim

n !+1

pn2+9�

pn2+4p

n2+9+pn2+4

�pn2 + 9 +

pn2 + 4

�= limn !+1

n2+9�n2�4pn2+9+

pn2+4

= limn !+1

5pn2+9+

pn2+4

= 0

4) limn !+1

n12�n

13

n15�n

16= limn !+1

n12

n15

�1�n

13�

12

�1�n

16�

15= limn !+1

n12

n15= limn !+1

n12� 15 = +1

5) limn !+1

n2 sinn

�2 n�existe pas car pour les deux sous suites:

Xk = 4k ! +1 quand k ! +1 et Yk = 4k + 1! +1 quand k ! +1

mais: limn !+1

Xk2 sinXk

��2

�= 0 6= lim

n !+1Yk2 sinYk

��2

�= +1 par contre si la limite existe

elle est unique

6) limn !+1

n+ 3p1� n3 on a: a3 + b3 = (a+ b)

�a2 � ab+ b2

�) (a+ b) = a3+b3

(a2�ab+b2)

alors: limn !+1

n+ 3p1� n3 = lim

n !+1n3+1�n3

n2�n(1�n3)13+(1�n3)

23= limn !+1

1

n2

1��1n3�1� 13+�1n3�1� 23

! =0

7) limn !+1

sin2 n �cos3 nn = lim

n !+1sin2 nn � cos3 n

n = 0

( on utilise: limn !+1

Un � Vn = 0 si limn !+1

Un = 0 et Vn est bornée)

8) limn !+1

2n+3n

an = limn !+1

�3n

an

� �2n

3n + 1�=

8>>>>>><>>>>>>:

n�existe pas si a = �3

1 si a = 3

0 si jaj > 3

1si jaj < 3

; a 2 R

9) limn !+1

np3� sin2 n = lim

n !+1e1nln(3�sin2 n) = 1

( on utilise: limn !+1

Un � Vn = 0 si limn !+1

Un = 0 et Vn est bornée)

10) limn !+1

n3+2n

3n = limn !+1

n3

3n = limn !+1

e3 ln(n)�n ln 3 = limn !+1

en�3ln(n)n�ln 3

�= 0.

Exercice 03: (Un) est dé�nie par: Un = ln (1 + Un�1) avec U0 i 0 .

80

Chercher la limite de Un:

on pose: f (x) = ln (1 + x) � x ) f 0 (x) = � x1+x < 0 ) 8n 2 N�; Un < Un�1 ) Un est

décroissante

puisque elle est minorée par 0) (Un) est convergente) limn !+1

Un = limn !+1

ln (1 + Un�1)

) l = ln (1 + l)) l = 0:

Exercice 04: a) Soit (Un) une suite croissante, montrer que la suite (Vn) = U1+U2+::::+Unn est croissante.

Vn+1 � Vn =�U1+U2+::::+Un+1

n+1

��U1+U2+::::+Un

n

�= n(U1+U2+::::+Un+1)�(n+1)(U1+U2+::::+Un)

n(n+1)

=nUn+1�(U1+U2+::::+Un)n(n+1) > 0 car: Un+1 > Uk, 8k 2 f1; :::; ng ) Vn est croissante.

b) Si (Un) est une suite convergente peut-on en déduire que (Vn) l�est aussi.

Si (Un) est une suite convergente) (Un) est majoée par M car elle est croissante

) (Vn) =U1+U2+::::+Un

n � M+M+::::+Mn =M

conclusion: Vn est croissante majorée par M ) (Vn) converge.

Exercice 05: Posons U1 = 14 ; U2 =

1:3422!

et 8n � 3; Un = 1:3:5::::(2n�1)4n:n!

Montrons l�inégalité Un+1Un < 1

2 :

Un+1Un � 1

2 =(2n+1)4(n+1) �

12 =

(2n+1)�2(n+1)4(n+1) = � 1

4(n+1) < 0)Un+1Un < 1

2 :

En déduire la limite de la suite (Un) .Un+1Un < 1

2 < 1) (Un) est décroissante et puisque (Un) est minorée par 0

) (Un) converge. Par suite on pose: limn !+1

Un = �) limn !+1

Un+1Un < lim

n !+112 )

�� <

12

si � 6= 0) 1 < 12 contradiction) � = 0 car:� � 0:

Exercice 06 : Soient (Un)n � 2 et (Vn)n � 1 deux suites telles que:

Un =n+ 7

n� 1 et Vn =n+ 2

n

(1) Montrer que (Vn)n � 1 est une sous-suite de (Un)n � 2 .

Si Vn = U'(n) ) n+2n = '(n)+7

'(n)�1 ) (n+ 2) (' (n)� 1) = n (' (n) + 7) ) ' (n) = 8n+22 =

4n+ 1

qui est une sous suite croissante en fonction de n) (Vn)n � 1 est une sous-suite de (Un)n � 2 :

81

(2) Soit (bn)n 2 N une suite dé�nie par bn =2�5n3:5n+1 trouver une suite (an)n 2 N telle que bn en

soit extraite.

an =2�n3:n+1 ; n 2 N:

Exercice 07 : Soit q un nombre réel tel que jqj h 1:1) Montrons que: limn !+1

qn = 0.

Si q = 0) limn !+1

qn = 0:

Si q 6= 0

Montrons que: 8" > 0;9�" 2 N tel que: 8n � �" ) jqnj � "

jqnj � ") jqjn � ") n ln (jqj) � ln ") n � ln "ln(jqj) car: ln (jqj) < 0

Alors il su¢ t de poser: �" = max�0;hln "ln(jqj)

i�:

2) Soit Sn = q + q2 + q3 + :::+ qn; calculer (1� q)Sn puis limn !+1

Sn .

(1� q)Sn = (1� q)�q + q2 + q3 + :::+ qn

�= q � qn+1 = q (1� qn)

) limn !+1

Sn = limn !+1

q 1�qn

1�q =q1�q :

Exercice 08 : On considère la suite dé�nie par:8<: U0 = 2

Un+1 =12Un +

1Un

n 2 N

(1) Montrons que Un ip2 pour tout n � 0 (Rn)n2N

Par récurrence: U0 = 2ip2) R0 est vraie

Supposons que: (Rn) est vraie pour un n 2 N et montrons que: (Rn+1) est vraie ç-à-d:

Un+1 ip2?

En e¤et: Un+1 �p2 = 1

2Un +1Un�p2 = U2n+2�

p2Un

2Un=(Un�

p2)2

2Un>0.

Montrons que: (Un) est une suite décroissante.

Un+1� Un = 12Un +

1Un� Un = 1

Un� 1

2 Un =2�U2n2Un

< 0 car: Un ip2

) (Un) est une suite décroissante.

(2) Calculons: limn !+1

Un .

82

(Un) est une suite décroissante minorée par:p2, donc c�est une suite convergente.

On a: Un+1 = 12Un +

1Un) lim

n !+1Un+1 = lim

n !+1

�12Un +

1Un

�) � = 1

2� +1� ) � =

p2

car: Un ip2

(3) On pose Vn = Un �p2: Montrer que: Vn+1 =

(Vn)2

2Unet en déduire que: Vn+1 <

(Vn)2

2

8n 2 N:

Vn+1 = Un+1 �p2 = 1

2Un +1Un�p2 =

(Un�p2)2

2Un= (Vn)

2

2Unet puisque: Un i

p2

) Vn+1 =(Vn)

2

2Un< (Vn)

2

2p2) Vn+1<

(Vn)2

2 8n 2 N:

(4) Montrons que: 0 < Vn < 122n�1 8n 2 N:

Puisque: Un ip2) Vn > 0 et parsuite: Vn+1<

(Vn)2

2 8n 2 N:

) Vn <(Vn�1)

2

2 <

�(Vn�2)

2

2

�22 = (Vn�2)

4

222�1 < � � � < (Vn�n)

2n

22n�1 < 1

22n�1 car: V0 < 1:

Exercice 09 : Soit a 2 R et (Un)n 2 N une suite dé�nie par:8<: U0 = a

Un+1 =4Un + 2Un + 5 ; n 2 N:

(1) Pour quelles valeurs dea la suite (Un)n 2 N est-elle constante ?

(Un) est une suite constante, 8n 2 N; Un+1 = 4Un + 2Un + 5 = Un

) 4Un + 2 = Un (Un + 5)) U2n + Un � 2 = 0) Un = �2 ou Un = 1) a = 1 ou a = �2

(2) Montrer que s�il existe n0 2 N� tel que Un0 = �2; alors Un0�1 = �2 .

s�il existe n0 2 N� tel que Un0 = �2)4Un0�1 + 2

Un0�1 + 5 = �2) Un0�1 = �2:

(3) En déduire que si U0 6= �2 , alors 8n 2 N; Un 6= �2:

Par l�absurde supposons qu�il existe n 2 N;tel que Un = �2

) Un�1 = �2) � � � ) U0 = �2 (d�après (2))

donc contrdiction car: U0 6= �2) 8n 2 N; Un 6= �2:


83

Remarque: Vn est bien dé�nie car (3)) 8n 2 N; Un 6= �2:

a) Véri�er que (Vn)n 2 N est une suite géométrique.

Vn+1Vn

=

Un+1 � 1

Un+1 + 2

Un � 1Un + 2

= 12 ) (Vn)n 2 N est une suite géométrique de raison

12 . b)

En déduire l�expression de Un en fonction de n et de V0:

Vn =12nV0 et Vn =

Un � 1Un + 2 ) Un =

2Vn+11�Vn =

2 12nV0+1

1� 12nV0= 2V0+2n

2n�V0

c) Etudier alors la convergence de la suite (Un)n 2 N :

Si U0 = a = 1) 8 n 2 N; Vn = 0) 8n 2 N; Un = 1

Si U0 = a 6= 1) 8 n 2 N; limn !+1

Un = 1 .

Exercice 10 (supp): On considère la suite dé�nie par:

8<: U0 = 1

Un+1 =12Un +

32Un

n 2 N

(1) Montrer que Un i 0 pour tout n � 0:

Montrons par récurrence que: 8n 2 N : Un > 0::::: (An)

Pour n = 0 on a: U0 = 1 > 0 ) (A0) est vraie. Supposons que (An) est vraie pour un

n 2 N .

et montrons que(An+1) est vraie ç-a-d:Un+1 > 0?

en e¤et: :Un+1 = 12Un +

32Un

> 0

D�où Un > 0:8n 2 N:

(2) On suppose que la suite Un est convergente, quelle est la valeur l de sa limite ?

Si Un est convergente) limn !+1

Un+1 = limn !+1

�12Un +

32Un

�) l = 1

2 l +32l ) l =

p3

car l = �p3 ne convient pas.

(3) Montrer que Un � l i0 pour tout n � 1:( Remplacer l par sa valeur).

Montrer que Un �p3i 0 pour tout n � 1:::: (Bn)

Montrons par récurrence que: 8n 2 N� : Un �p3 > 0::::: (Bn)

84

Pour n = 1 on a: U1 = 2 >p3 ) (B1) est vraie. Supposons que (Bn) est vraie pour un

n 2 N:

et montrons que(Bn+1) est vraie ç-a-d:Un+1 �p3 > 0?

en e¤et: :Un+1 = 12Un +

32Un

�p3 =

(Un�p3)2

2Un> 0

D�où Un >p3:8n 2 N:

(4) En déduire que (Un) est décroissante.

Un+1 � Un = 12Un +

32Un

� Un =(p3+Un)�(

p3�Un)

2Un< 0 car: Un >

p3:8n 2 N ) (Un) est

décroissante.

(5) Conclure.

Puisque (Un) est une suite décroissante minorée par:p3, donc c�est une suite convergente

et limn !+1

Un =p3 .

Exercice 11 : Posons:

8n � 1 Xn = 1 +1

1!+1

2!+ :::+

1

n!et Yn = Xn +

1

n!

Montrer que les suites (Xn)n 2 N et (Yn)n 2 N sont adjacentes et que leur limite commune

est un nombre irrationnel.

(1) Montrons que les suites (Xn)n 2 N et (Yn)n 2 N sont adjacentes?

(a) On a: Yn �Xn = 1n! ) Yn � Xn;8n 2 N; et lim

n !+1(Yn �Xn) = 0

(b) Xn+1 �Xn = 1(n+1)! > 0) Xn est croissante.

(c) Yn+1 � Yn = 1(n+1)! �

1n! +

1(n+1)! =

2(n+1)! �

1n! =

8<: 0 si n = 1

2�n(n+1)! < 0 si n � 2

) Yn+1 � Yn � 0) Yn est décroissante.

Conclusion: (Xn)n 2 N et (Yn)n 2 N sont deux suites adjacentes avec:

limn !+1

Yn = limn !+1

Xn = � et Xn < � < Yn;8n 2 N:

85

(2) Supposons par l�absurde que � 2 Q ) 9a; b 2 N et b 6= 0 avec � = ab ) Xn <

ab <

Yn;8n 2 N:

) Xb <ab < Yb (n = b)) b!Xb < b!

ab < b!Yb )M < (b� 1)!a < M +1 avecM = b!Xb 2 N

Donc contradiction car on a un entier naturel compris entre deux entiers consécutifs) � =2

Q:

Exercice 12 : ·Etant donné les nombres a et b véri�ant 0 ha h b, on considère les deux suites:

Un =pUn�1Vn�1 et Vn =

Un�1 + Vn�12

avec U0 = a et V0 = b

Montrer que ces deux suites convergent et admettent la même limite.

(1) Montrons que: Un > 0 et Vn > 0;8n 2 N: � � � (<n)

Par récurrence: U0 = a > 0 et V0 = b > 0 ) <0 est vraie. Supposons que (<n) est

vraie pour un n 2 N:

et montrons que (<n+1) est vraie ç-à-d: Un+1 > 0 et Vn+1 > 0?

Un+1 =pUnVn > 0 et Vn+1 = Un+Vn

2 > 0) Un > 0 et Vn > 0;8n 2 N:

(2) Montrons que: Vn � Un;8n 2 N

On a: Vn � Un = Un�1+Vn�12 �

pUn�1Vn�1 =

�pUn�1�

pVn�1

�22 � 0;8n 2 N:

(3) Etudions la monotonie de chaque suite:

On a: Vn � Un ) Un �Vn � U2n )pUn � Vn � Un ) Un+1 � Un;8n 2 N) Un est une suite

croissante.

Par suite: Vn � Un ) 2 Vn � Vn+Un ) Vn � Vn+1;8n 2 N) Vn est une suite décroissante.

(4) On a: Un est une suite croissante et majorée par b alors elle converge, et Vn est une suite

décroissante

et minorée par a alors elle converge.

(5) Si on pose: limn !+1

Un = � et limn !+1

Vn = � ) limn !+1

Un = limn !+1

pUn�1Vn�1 et

limn !+1

Vn = limn !+1

Un�1+Vn�12

) � =p�� et � = �+�

2 ) � = � donc les deux suites sont adjacentes.

86

Partie IV

Fonctions numériques

d�une variable réelle.

87

4.10.1 1.1 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS

1) On appelle fonction numérique réelle, sur un ensemble E, toute application de E dans

R: Et on note l�ensemble de ces fonctions par: F (E;R) :

2) Deux fonctions f et g de E dans R sont égales si f (x) = g (x) pour tout x élément de

E.

3) Pour chaques deux fonctions de F (E;R) et � 2 R on a:

(f + g) (x) = f (x) + g (x) et (�f) (x) = �f (x) :

4) Une fonction f est dite majorée dans E s�il existe une constante M 2 R qui véri�e:

8x 2 E; f (x) �M:

5) Une fonction f est dite minorée dans E s�il existe une constante m 2 R qui véri�e:

8x 2 E;m � f (x) :

6) Une fonction f est dite bornée dans E si elle est majorée et minorée à la fois.

7) Une fonction f est dite croissante dans E si et seulement si:

8x1; x2 2 E;x1 � x2 ) f (x1) � f (x2)

et elle est strictement croissante si au lieu de � on a < :

8) Une fonction f est dite décroissante dans E si et seulement si:

8x1; x2 2 E;x1 � x2 ) f (x1) � f (x2)

et elle est strictement décroissante si au lieu de � on a > :

9) Une fonction monotone (resp. strictement monotone) est une fonction qui est ou

bien croissante ou bien décroissante (resp. strictement croissante ou bien strictement décrois-

sante).

88

10) Une fonction f est dite constante dans E si et seulement si:

8x1; x2 2 E;x1 6= x2 ) f (x1) = f (x2)

11) Une fonction f est dite périodique dans E de période T si et seulement si:

9T > 0; 8x 2 E; f (x+ T ) = f (x)

Exemple 29 f (x) = cosx est une fonction périodique de période 2�:

4.10.2 1.2 LIMITE ET CONTINUÉTÉ

Theorem 30 La limite d�une fonction f en un point x0 si elle existe alors elle est unique et

elle est égale à la limite à droite et la limite à gauche. Et on écrit:

limx!x0

f (x) = limx!x+0

f (x) = limx!x�0

f (x) = l:

1.2.1 CONTINUÉTÉ

Soit f une fonction dé�nie en un point x0 de E. On dit que f est continue en x0 si et seulement

si f est continue à droite et à gauche de x0 c�est à dire:

limx!x0

f (x) = limx!x+0

f (x) = limx!x�0

f (x) = f (x0)

Exemple 31

f : R! R

x ! f (x) =

8<: sinxx si x 6= 0

1 si x = 0

alors puisque :

limx!0

sinx

x= 1 = f (0) alors f est continue en 0:

et elle est continue dans R; car le seul problème est le point 0:

89

1.2.2 PROPRIÉTÉS SUR LES FONCTIONS CONTINUES

Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné [a; b] :

1) est bornée dans [a; b] :

2) atteint son minimum m = inf f (x)et son maximum M = max f (x) pour x 2 [a; b].

3) atteint au moins une fois toute valeur strictement comprise entre m et M:

1.2.3 Lien entre les fonctions discontinues et les suites

Soient f une fonction dé�nie sur une partie E de R et a un point de E:

Alors on a le résultat suivant:

si f est continue en a) 8xn une suite avec xn ! a qd n! +1 on a f (xn)! f (a)

Le contraire s�il existe xn ! a qd n ! +1 on a f (xn) 9 f (a) alors la fonction est dite

discontinue.

Exemple 32 Soit f la fonction de R dans Z dé�nie par: f (x) = E [x] où E [x] désigne la

partie entière de x (E [x] = max (y) ;y 2 Z avec y � x).

Montrons que f n�est pas continue en tout point de Z:

Soit a 2 Z, et considérons la suite(xn)n dé�nie par:xn = a� 1n :

On a:

limn!+1

xn = a et f (xn) = a� 1

) limn!+1

f (xn) = a� 1 6= a = E [a] = f (a)

donc f est discontinue en a 2 Z:

4.10.3 1.3 THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIARES

Le théorème des valeurs intermédiares est un outil pour résoudre les équations de type:

f (x) = 0

90

Theorem 33 ( théorème des valeurs intermédiares) Soit f une fonction continue dans

un intervalle [a; b] avec a; b 2 R, telle que:

f (a) � f (b) < 0

c�est à dire f (a) et f (b) ont deux signes opposés. Alors il existe une constante � 2 ]a; b[ tel

que:

f (�) = 0

Exemple 34 Soit f :R! R dé�nie par f (x) = cospx

Montrons que l�équation: f (x) = 0 admet une solution dans ]0; 10[ :

En e¤et: la valeur qui est prés de 10 tel que sont cos est connu est: �2:

alors on a: f��2�= �1 et f (0) = 1) f

��2�� f (0) < 0 de plus f est continue.

D�après le théorème des valeurs intermédiares, il existe une constante � 2�0; �2

�� ]0; 10[

tel que:

f (�) = cosp� = 0:

Remarque 35 On la même chose si a = �1 ou b = +1 sauf au lieu de:

f (a) � f (b) < 0 on a:�lim

x!�1f (x)

��lim

x!+1f (x)

�< 0 ou bien�

limx!�1

f (x)

�� b < 0 , ou bien a �

�lim

x!+1f (x)

�< 0:

par suite on trouve le même résultat.

4.10.4 1.4 Le PROLONGEMENT PAR CONTINUÉTÉ

Supposons que f est une fonction dé�nie dans R�fag : Alors comme question peut-on prolonger

par continuété la fonction f sur R? C�est à dire; existe elle une autre fonction qui dépend de

la fonction f et qui est dé�nie sur R?

Pour répondre à cette question on suit les démarches suivantes:

1) On calcul la limite de la fonction f au point a, par suite on a les cas suivants:

91

a) La limite est égale à l�in�ni, ç-à-d:

limx!a

f (x) = �1 ou bien limx!a

f (x) = +1:

Exemple 36 f:R� f0g ! R avec f (x) = 1x

b) La limite à gauche est di¤érente à la limite à droite:

limx!a�

f (x) 6= limx!a+

f (x) :

Exemple 37 f:R� f0g ! R avec f (x) =

8<: x lnx si x > 0

sinxx si x < 0

0 = limx!0�

f (x) 6= limx!0+

f (x) = 1:

c) Dans le calcul de lalimite on trouve deux limite ou plus.

Exemple 38 f:R � f0g ! R avec f (x) = cos�1x

�. La fonction cos est périodique et cos (1)

n�existe pas, car:

si xn = 2n� et yn = 2n� + � alors limn!+1

xn = limn!+1

yn = +1

mais limn!+1

f (xn) 6= limn!+1

f (yn) et la limite d�une fonction si elle existe elle est unique.

d) On trouve une limite constante unique:

limx!a�

f (x) = limx!a+

f (x) = �:

2) En déduire le prolongement par continuété s�il existe?

Dans les cas a),b) et c) le prolongement par continuété n�existe pas et là on termine la

preuve.

Mais dans le cas d) le prolongement par continuété de la fonction f existe et il est de la

92

forme:

F : R! R

x 7!

8<: f (x) si x 6= a

� si x = a:

Alors dans ce cas la fonction F est dé�nie dans R et elle est continue.

Exemple 39 f:R� f0g ! R avec f (x) = sinxx

limx!0

sinx

x= 1

le prolongement par continuété de la fonction f existe et il est de la forme:

F : R! R

x 7!

8<: sinxx si x 6= 0

1 si x = 0:

4.10.5 2.1 DÉRIVATION

2.1.1 Dé�nition

Soient I un intervalle de R, x0 un point de I, et une fonction f : I ! R: On dit que f est

dérivable en x0, s�il existe un nombre réel unique � tel que:

limx!x0

f (x)� f (x0)x� x0

= �

� est appelé dérivée de f au point x0 est noté f 0 (x0) :

La fonction est dérivable dans tout l�intervalle I quand elle est dérivable en tout point x0

de I:

D�autre part si on pose: x� x0 = h alors on a:

limh!0

f (x0 + h)� f (x0)h

= �

93

Exemple 40 Trouver la dérivée de f (x) = sinx en utilisant la dé�nition de la dérivée.

En un point x0:

f 0 (x0) = limx!x0

f (x)� f (x0)x� x0

= limx!x0

sinx� sinx0x� x0

= limx!x0

2sin�x�x02

�cos�x+x02

�x� x0

= limx!x0

sin�x�x02

��x�x02

� � cos�x+ x02

�= cosx0 , car: lim

x!x0

sin�x�x02

��x�x02

� = 1

Alors 8x 2 R; (sinx)0 = cosx:

Proposition 41 (1) Si f n�est pas continue en un point x0, alors elle n�est pas dérivable en

ce point.

Proposition 42 (2) Une fonction f : I ! R est dérivable en point x0 si et seulement si elle

admet en ce point des dérivées à droite limx!x+0

f (x)� f (x0)x� x0

!et à gauche

limx!x�0

f (x)� f (x0)x� x0

!égales à �:

2.1.2 Quelques propriétés sur les fonctions dérivables

Proposition 43 Etant donnés un intervalle I et deux fonctions f : I ! R et g : I ! R

dérivables en un point x0 de I, alors:

1) f + g est dérivable en x0 et (f + g)0 (x0) = f 0 (x0) + g0 (x0) :

2) a � f est dérivable en x0 et (a � f)0 (x0) = a � f 0 (x0) ;8a 2 R:

3) f � g est dérivable en x0 et (f � g)0 (x0) = f 0 (x0) � g (x0) + f (x0) � g0 (x0) :

4) Si g (x0) 6= 0; donc fg est dérivable en x0 et

�fg

�0(x0) =

f 0(x0)�g(x0) � f(x0)�g0(x0)(g(x0))

2 :

2.1.3 Dérivée d�une fonction composée

Proposition 44 Soient f : I ! J et g : J ! R et x0 un point de I:

Si la fonction f est dérivable en x0 et si g est dérivable en f (x0) alors g � f est dérivable

94

en x0 et on a:

(g � f) 0 (x0) = f0 (x0) �

�g0 (f (x0))

�Exemple 45

[sin (f (x))]0 = f 0 (x) � cos (f (x))

2.1.4 Dérivée d�une fonction réciproque

Proposition 46 Soient f : I ! J une fonction bijective, x0 un élément de I et y0 = f (x0)

l�élément de J . Pour que f �1 est dérivable en y0 il faut et il su¢ t que:

f est dérivable en x0; f 0 (x0) non nul et f �1 est continue en y0: Alors:

�f �1�0 (y0) = 1

f 0 (x0)=

1

(f 0 � f �1) (y0)

Exemple 47 On note la fonction réciproque de sinx par arcsinx alors la dérivée de est:

(arcsinx)0 =1

(sin y)0=

1

cos y=

1p1� sin2 y

=1p

1� sin2 (arcsinx)=

1p1� x2

Remarque 48 Toujours on donne le résultat en fonction de la première variable de la fonction

réciproque donnée.

2.1.5 Dérivées d�ordre supérieure

On note les dérivées d�ordre supérieure d�une fonction f qui est dérivable dans I un intervalle

de R par: f (n) : I ! R véri�ant:

i) f (0) = f:

ii) f (k+1) =�f (k)

�0, pour tout k = 0; 1; :::; n� 1:

4.10.6 2.2 FONCTION DE CLASSE Cn

Proposition 49 Une fonction de classe Cn, est une fonction continue et admet des dérivées

continues jusqu�à l�ordre n. Et on dit également que f est n fois continûement dérivable.

Nous alons envisager ici la méthode pratique pour étudier la classe d�une fonction.

1) Si n = 0 :

95

dans ce cas on a pas une fonction de classe C0 mais on écrit une fonction de classe C (I)

c�est les fonctions continues dans un intervalle I:

2) Si n = 1 (fonction de classe C1 (I)):

Une fonction de classe C1 (I) est une fonction continue et la première dérivée de cette

fonction existe et continue en tout point de I.

a) Existence

Pour étudier l�existence de la première dérivée on utilise la dé�nition de la dérivée en tout

point x0 de I ç�est à dire on calcul:

limx!x0

f (x)� f (x0)x� x0

= �

Alors on les cas suivants:

i) Si � = �1 ou bien � est égale deux limites ou plus ou bien la limite à gauche est di¤érente

à la limite à droite, alors la limite n�existe pas et donc la fonction n�est pas de classe C1:

ii) Si � est égale à une constante unique alors la limite existe et on passe à l�étude de la

continuété de la dérivée.

b) Continuété de la première dérivée

Pour étudier la continuété de la première dérivée en x0 on calcul f 0 (x) ensuite on calcul:,

limx!x0

f 0 (x) = � alors si � 6= �

Donc la première dérivée n�est pas continue ce qui permet de dire que f n�est pas de classe C1:

Par contre si:

� = �

Alors la première dérivée est continue ce qui permet de dire que f est de classe C1:

3) Si n = 2 (fonction de classe C2 (I)):

Une fonction de classe C2 (I) est une fonction telle que ça dérivée est de classe C1 (I) : Donc

on fait le même travail que le deuxième cas mais on utilise f 0 au lieu de f .

Remarque 50 Si f n�est pas de classe Cn (I), alors elle n�est pas de classe Ck (I), 8k � n+1:

96

Exemple 51 Soit la fonction f , dé�nie sur R par:

f (x) =

8<: x2 sin 1x si x 6= 0

0 si x = 0

Etudier la classe de f?

1) La continuété de f?

La fonction est continue dans R�:

Et en x = 0, on a:

limx!0

x2 sin1

x= 0 car lim

x!0x2 = 0 et sin

1

xest bornée.

= f (0) :

Donc f est continue dans R:

2) f est elle de classe C1?

La fonction f est dérivable dans R�, mais le seul problème est le point 0.

i) Existence de la 1ère dérivée en 0?

limx!0

f (x)� f (0)x� 0 = lim

x!0x sin

1

x= 0) existe.

ii) La continuété de la 1ère dérivée en 0?

f 0 (x) = 2x sin1

x�cos 1

x) lim

x!0f 0 (x) n�existe pas, donc la 1ère dérivée n�est pas continue en 0.

Conclusion: f n�est pas de classe C1:

4.10.7

4.10.8 2.3 THÉORÈME DE ROLLE

Theorem 52 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b], dérivable sur ]a; b[

et telle que: f (a) = f (b) :

Alors il existe une constante c 2 ]a; b[ telle que: f 0 (c) = 0:

97

Exemple 53 Pour montrer que l�équation sinx + cosx = 0 admet au moins une solution

dans l�intervalle ]0; �[. On utilise la fonction f (x) = ex sinx � 1 qui est continue dans [0; �],

dérivable dans ]0; �[ et f (0) = f (�) = �1 : Donc d�après ROLLE 9c 2 ]0; �[ telle que: f0 (c) = 0) ec sin c+ ec cos c = 0) sin c+ cos c = 0:

4.10.9 2.4 THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS

Theorem 54 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b], dérivable sur ]a; b[ : Alors il

existe une constante c 2 ]a; b[ tel que:

f (b)� f (a) = (b� a) f 0 (c) :

Exemple 55 Montrons l�inégalité suivante:

8x 2 ]0; 1[ , arcsinx < xp1� x2

.

On applique le théorème des accroissements �nis sur la fonction arcsinx dans [0; x] � [0; 1] :

Alors il existe une constante c 2 ]0; x[ tel que:

f (x)� f (0) = (x� 0) f 0 (c) ; :f 0 (c) =1p1� c2

:

Mais :1p1� c2

<1p1� x2

car:c < x:

) arcsinx <xp1� x2

:

4.10.10 2.5 THÉORÈME DE L�HÔPITAL

Theorem 56 Soient f et g deux fonctions dérivables au voisinage de x0 2 ]a; b[ :

Si limx!x0

f (x) = A et limx!x0

g (x) = B où A;B sont tous les deux nuls

ou tous les deux in�nis, g0 (x) 6= 0 pour x voisin de x0, et si limx!x0

f 0 (x)

g0 (x)existe alors:

limx!x0

f (x)

g (x)= lim

x!x0

f 0 (x)

g0 (x):

98

Exemple 57

limx!0

e2x � 1x

= limx!0

2e2x

1= 2:

99

Formules de Taylor.

100

Chapitre 5

Développements limités.

On peut généraliser le théorème des accroissements �nis par une formule dite de Taylor, qui est

un outil surtout dans le calcul des limites des fonctions ou on a des formes indéterminées.

5.1 1 Formules de Taylor

5.1.1 1.1 Théorème des acroissement �nis

Theorem 58 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b], dérivable sur ]a; b[ : Alors il

existe une constante c 2 ]a; b[ tel que:

f (b)� f (a) = (b� a) f 0 (c) :

5.1.2 1.2 Théorème des acroissement �nis généralisés

Theorem 59 Soient f et g deux fonctions continues sur [a; b], dérivables sur ]a; b[ avec g 0ne

s�annule pas sur ]a; b[, alors il existe une valeur c de ]a; b[ telle que:

f (b)� f (a)g (b)� g (a) =

f 0 (c)

f 0 (c):

101

5.1.3 1.3 Formule de Taylor-Lagrange

Soit f de classe Cn sur [a; b], n+ 1 fois dérivable sur ]a; b[, alors il existe une valeur c de ]a; b[

telle que:

f (b) =nXp=0

(b� a)p

p!f (p) (a) +

(b� a)n+1

(n+ 1)!f (n+1) (c) :

= f (a) + (b� a) f 0 (a) + :::+(b� a)n

n!f (n) (a) +

(b� a)n+1

(n+ 1)!f (n+1) (c) :

Cette formule est connue par la formule de Taylor-Lagrange à l�ordre n. De plus le terme(b�a)n+1(n+1)! f

(n+1) (c) est appelé reste de Lagrange.

Remarque 60 Si on pose: n = 0 dans la formule de Taylor-Lagrange, on trouve l�égalité des

accroissements �nis.

5.1.4 1.4 Formule de Taylor-Young

Soit f dé�nie sur un intervalle I, admettant en un point a 2 I des dérivées jusqu�à l�ordre n.

Alors il existe un voisinage V de a et une fonction " : V ! R tels que:

8x 2 V; f (x) =nXp=0

(x� a)p

p!f (p) (a) + (x� a)n " (x) et lim

x!a" (x) = 0:

= f (a) + (x� a) f 0 (a) + :::+(x� a)n

n!f (n) (a) + (x� a)n " (x) et lim

x!a" (x) = 0:

C�est la formule de Taylor avec un reste de Young ((x� a)n " (x) ) :

5.1.5 1.5 Formule de Maclaurin

C�est la formule de Taylor-Lagrange avec b = x; a = 0 et c = �x avec 0 < � < 1, c�est à dire:

8x 2 I, f (x) =nXp=0

xp

p!f (p) (0) +

xn+1

(n+ 1)!f (n+1) (�x) avec 0 < � < 1:

102

5.2 2. Développements limités

Dé�nition 61 Soit f une fonction dé�nie au voisinage d�un point x0, sauf peut-être en x0.

On dit que f admet un développement limité (D.L) d�ordre n au voisinage de x0 s�ils existes

des nombres réels a0; a1; ..., an et une fonction " tels que pour tout élément x 2 I � R :

f (x) = a0 + a1 (x� x0) + :::+ an (x� x0)n + (x� x0)n " (x� x0) ,

avec limx!x0

" (x� x0) = 0:

on pose : P (x) = a0 + a1 (x� x0) + :::+ an (x� x0)n

c�est la partie régulière du D.L, et elle est unique.

(x� x0)n " (x� x0) est le reste du D.L, on peut l�écrire o ((x� x0)n) ;

avec limx!x0

o ((x� x0)n)(x� x0)n

= 0

- Si x0 = 0 on a:

f (x) = a0 + a1x+ :::+ anxn + xn" (x) , avec lim

x!0" (x) = 0:

-Si x0 = �1 on pose dans la formule du D.L au voisinage de 0; X = 1x , et on aura:

f (x) = a0 + a11

x+ :::+ an

1

xn+1

xn"

�1

x

�,

avec limx!�1

"

�1

x

�= 0:

On peut déterminer la formule du D.L à l�aide de la formule de taylor-Young, alors sous les

hypothèses de la formule de Taylor on a:

f (x) = a0 + a1 (x� x0) + :::+ an (x� x0)n + (x� x0)n " (x� x0) ,

avec limx!x0

" (x� x0) = 0:

avec : a0 = f (0) et ak =f (k) (x0)

k!où 1 � k � n:

103

5.2.1 2.1 Principaux développement limité

Les fonctions suivantes admettent un D.L au voisinage de 0:

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ :::++

xn

n!+ o (xn) avec

limx!0

o (xn)

xn= 0;8x 2 R: (ordre n)

sinx = x� x3

3!+x5

5!+ :::+ (�1)p x2p+1

(2p+ 1)!+ o

�x2p+1

�avec

limx!0

o�x2p+1

�x2p+1

= 0;8x 2 R: (ordre 2p+1)

cosx = 1� x2

2!+x4

4!+ :::+ (�1)p x

2p

(2p)!+ o

�x2p�avec

limx!0

o�x2p�

x2p+1= 0;8x 2 R: (ordre 2p)

(1 + x)m = 1 +mx+m (m� 1)

2!x2 + :::+

m (m� 1) ::: (m� p+ 1)p!

xp + o (xp) ;

8x 2 ]�1;+1[ ;m 2 R� N

et si m 2 N alors: (1 + x)m =mXk=0

Ckm xk:

ln (1 + x) = x� x2

2+x3

3+ :::+ (�1)n�1 x

n

n+ o (xn)

5.2.2 2.2 Propriétés des développements limités

2.2.1 Parité

Si f est une fonction paire (resp impaire) alors dans la partie régulière du D.L on a que les

puissances paires (resp impaires).

2.2.2 Continuité

Si f admet un D.L d�ordre n de partie régulière a0 + a1x+ :::+ anxn alors

limx!0

f (x) = a0 d�où f est continue en 0 ou est prolongeable par continuité en 0.

104

2.2.3 Dérivabilité

Si f admet un D.L d�ordre n de partie régulière a0+a1x+ :::+anxn (n � 1) alors f est dérivable

en 0 et f 0 (0) = a1:

5.2.3 2.3 Opérations sur les développements limités

Soit f une fonction qui admet un D.L à l�ordre n de partie régulière Pn et g une autre fonction

qui admet un D.L à l�ordre m de partie régulière Qm avec c = min (n;m) alors:

1) Somme:

f + g admet un D.L à l�ordre c de partie régulière Pc +Qc:

2) Produit:

f � g admet un D.L à l�ordre c de partie régulière Rc, obtenue en ne conservant dans

Pn �Qm que les monômes de degré p avec p � c :

3) Produit par un scalaire:

�� f admet un D.L à l�ordre n de partie régulière � � Pn:

4) Quotient:fg admet un D.L à l�ordre s de partie régulière RS qui est la division suivant les puissances

croissantes de f par g:

5) composée:

f �g admet un D.L à l�ordre c de partie régulière Rc, obtenue en ne conservant dans Pn�Qmque les monômes de degré p avec p � c :

5.3 Exercice:


1) limx!+1

1

2ln�1 + x2

�� lnx 2) lim

x!+1x�e�

px 3) lim

x!0+(ln (sinx)� lnx)

4) limx!0

nsinnx

sinmx5) limx!0+

xx � 1x

6) limx!a

cosx� cos ax� a

7) limx!+1

px�

pa+

px� ap

x2 � a28)m;n 2 N étudier lim

x!0

p1 + xn �

p1� xm

xn

105

Exercice 02 : Trouver le domaine de dé�nition des fonctions suivantes: f (x) =q

2+3x5�2x ; g (x) =

ln (4x+ 3) ; h (x) =px2 � 2x� 5

Exercice 03: Soient:h (x) =px2 + 1; g (x) = ln (x+ h (x)) ; f (x) = g (x)

x :

(1) Montrer que:h (x) > �x 8x 2 R, en déduire Df :

(2) Calculer g (x) + g (�x) et en déduire que g est impaire et que f est paire.

(3) Véri�er que:px2 + 1h 0 (x) + x h (x) = x+ x

px2 + 1:

Exercice 04: Soit f : R+ ! Rune fonction dé�nie par: f (x) = ln(1+x)x si x 6= 0 et f (0) = 1

Montrer que f est continue en 0.

Exercice05: Soit f : R! Rune fonction dé�nie par: f (x) = cosx�1x si x 6= 0 et f (0) = 0


Exercice06: Soit f : R! Rune fonction dé�nie par: f (x) = x� [x] ; [] est la partie entière.

Montrer que f est discontinue en tout point de Z.

Exercice 07: Peut-on prolonger par continuité sur R les fonctions suivantes:

f (x) = sinx sin1

x; g (x) =

1

1� x �2

1� x2 ; h (x) =1

xln

�ex + e�x

2

�

Exercice 08: Soit f : ]0;+1[! R une fonction dé�nie par: f (x) = 1x � lnx:

L�équation f (x) = 0 admet-elle une solution?

Exercice 09:(supp) Soit f : [0; 2�]! R une fonction dé�nie par: f (x) =e�x sinx �x cosx:

L�équation f (x) = 0 admet-elle une solution dans ]0; 2�[?

Exercice 10: En utilisant la dé�nition de la dérivée, trouver la dérivée f 0de f dans les cas suivants

(préciser sur quel ensemble f est dérivable):

a)f (x) =2

(x� 3)2b) (supp) g (x) =

p1 + x2 c)h (x) = sin 2x:

106

Exercice 11: Démontrer qu�entre deux racines réelles de ex sinx = 1, il existe au moins une racine réelle

de ex cosx = �1:

Exercice 12:(supp) Calculer en utilisant la règle de l�hôpital les limites suivantes:

limx!0

e2x � 1x

; limx!1

1 + cos�x

x2 � 2x+ 1 ; limx!0ln (cos 3x)

ln (cos 2x)

Exercice 13: Soit la fonction :

f :R! R; x 7! f (x) =

8<: x2 log jx j si x 6= 0

0 si x = 0

(1) Etudier la continuité de la fonction f sur R:

(2) Etudier la dérivabilité de la fonction f sur R:

(3) La fonction f est-elle de classe C 1? de classe C 2? Justi�er.

Exercice 14:(supp) Soit la fonction :

f :R! R; x 7! f (x) =

8<: x sin 1x si x 6= 0

0 si x = 0



(3) Les mêmes questions pour la fonction:

g :R! R; x 7! g (x) =

8<: x2 sin 1x si x 6= 0

0 si x = 0

b) g est-elle de classe C2?

107

Exercice 15: Soient:

f : R! R et g :R! R

x 7! sinx5 x 7! sin 5px

Montrer que f est dérivable en 0 et que g ne l�est pas .

Exercice 16: Déterminer f (n) (x) dans les cas suivants: a) f (x) = cosx; b) f (x) = sinx; c)(supp)

f (x) = 11�x :

Exercice 17:

(1) Soit n 2 N�: Appliquer le théorème des accroissements �nis à la fonction:

fn : [n; n+ 1]! R

x 7! log x

(2) En déduire la nature de la suite de terme général: Un = 1 + 12 +

13 + :::+

1n

Exercice 18:(supp) (1) Etudier la dérivabilité de la fonction:

f (x) = x

px2 � 2x+ 1x� 1 si x 6= 1 , f (1) = 1

(2) Determiner a; b tels que: la fonction f dé�nie sur R�+ par:

f (x) =px si 0 � x � 1 , f (x) = ax2 + bx+ 1 si non

soit dérivable sur R�+:

Exercice20:

(1) Montrer que:

8x � 0; x� x2

2� log (1 + x) � x� x

2

2+x3

3

(on ne calculera qu�une seule dérivée pour chaque inégalité).

108

(2) En déduire que :

limx !0

log (1 + x)

x= 1:

Exercice 21: (supp) Soit f : R! Rune fonction périodique de période T > 0:

(1) On suppose que f a une limite en +1, montrer que f est constante.

(2) On suppose que f monotone, montrer que f est constante.

5.4 Solutions des exercices:


109

1)

1) limx!+1

1

2ln�1 + x2

�� lnx = lim

x!+1ln

p(1 + x2)

x

!

= limx!+1

ln

0@xq�

1x2+ 1�

x

1A = limx!+1

ln

s�1

x2+ 1

�!= 0

2) limx!+1

x�e�px = lim

x!+1e� lnxe�

px = lim

x!+1e� lnx�

px = lim

x!+1epx�2� ln

pxp

x�1�= 0

3) limx!0+

(ln (sinx)� lnx) = limx!0+

ln

�sinx

x

�= 0 car: lim

x!0+

�sinx

x

�= 1

4) limx!0

nsinnx

sinmx= limx!0

nnx

mx

sinnxnx

sinmxmx

=n2

mcar:

sin y

y! 0 qd: y ! 0

5) limx!0+

xx � 1x

= limx!0+

ex lnx � 1x

= limx!0+

�ex lnx � 1

�lnx

x lnx= limx!0+

lnx = �1

car : limx!0+

�ex lnx � 1

�x lnx

= limy!0

(ey � 1)y

= e0 = 1 par dé�nition de la dérivée.(5.1)

6) limx!a

cosx� cos ax� a = � sin a par dé�nition de la dérivée.

7) limx!+1

px�

pa+

px� ap

x2 � a2= lim

x!+1

px

x

1�papx+p1� a

xq1� a2

x2

= limx!+1

1px= 0 (5.2)

8) limx!0

p1 + xn �

p1� xm

xn= lim

x!0

p1 + xn �

p1� xm

xn�p1 + xn +

p1� xmp

1 + xn +p1� xm

(5.3)

= limx!0

xn � xm

xn�p1 + xn +

p1� xm

� = limx!0

1� xm�n�p1 + xn +

p1� xm

� (5.4)

=

8>>><>>>:12 si m > n

0 si m = n

�1 si m < n

(5.5)

Exercice 02 : Trouver le domaine de dé�nition des fonctions suivantes: f (x) =q

2+3x5�2x ; g (x) =

ln (4x+ 3) ; h (x) =px2 � 2x� 5

1) Df =nx 2 R=2+3x5�2x � 0 et 5� 2x 6= 0

oalors: 2+3x5�2x � 0 , 2 + 3x � 0 et 5� 2x > 0 ou

2 + 3x � 0 et 5� 2x < 0

110

, x � �23 et x <

52 ou x � �

23 et x >

52 , x 2

��23 ;52

�2) Dg = fx 2 R=4x+ 3 > 0g , x 2

��34 ;+1

�:

3) Dh =�x 2 R=x2 � 2x� 5 � 0

, x 2

��1; 1�

p6�[�1 +

p6;+1

�Exercice 03: Soient:h (x) =

px2 + 1; g (x) = ln (x+ h (x)) ; f (x) = g (x)

x :

(1) Montrer que:h (x) > �x 8x 2 R, en déduire Df :

Soit x 2 R; h (x) + x =px2 + 1 + x > 0 si x � 0 et h (x) + x = 1p

x2+1�x > 0 si x < 0

Alors: 8x 2 R; h (x) + x > 0) Df = R�:

(2) Calculer g (x) + g (�x) et en déduire que g est impaire et que f est paire.

g (x)+g (�x) = ln (x+ h (x))+ ln (�x+ h (�x)) = lnh�p

x2 + 1 + x��p

x2 + 1� x�i=

ln 1 = 0

) g (x) = �g (�x)) g est impaire.

(3) Véri�er que:px2 + 1h 0 (x) + x h (x) = x+ x

px2 + 1:

px2 + 1h 0 (x) + x h (x) =

px2 + 1h0 (x) + xh (x) =

px2 + 1 2x

2px2+1

+ xpx2 + 1 = x +

xpx2 + 1

Exercice 04: Soit f : R+ ! Rune fonction dé�nie par: f (x) = ln(1+x)x si x 6= 0 et f (0) = 1


limx!0

f (x) = limx!0

ln (1 + x)

x= limx!0

ln (1 + x)� ln (1 + 0)x� 0

=1

1 + 0car la dérivée de

ln (1 + x)

xest

1

1 + x

= 1 = f (0)) f est continue en 0:

Exercice05: Soit f : R! Rune fonction dé�nie par: f (x) = cosx�1x si x 6= 0 et f (0) = 0

111


limx!0

f (x) = limx!0

cosx� 1x

= limx!0

cosx� cos 0x� 0

= � sin 0 car la dérivée de cosx est sinx

= 0 = f (0)) f est continue en 0:

Exercice06: Soit f : R! Rune fonction dé�nie par: f (x) = x� [x] ; [] est la partie entière.

Par dé�nition: [x] = max� avec � � x et � 2 Z:

Montrer que f est discontinue en tout point de Z.

Théorème: Si

limx!x0

f (x) = � avec: � est une constante unique

) 8Xn une suite avec xn ! x0 qd n! +1

alors limn!+1

f (xn) = �

Pour notre problème soit x0 2 Z, on f (x0) = x0 � [x0] = 0

Mais si on pose: xn = x0 � 1n qui ont des valeurs à gauche de x0 ) [xn] = x0 � 1

et on a:

limn!+1

f (xn) = limn!+1

xn � [xn] = limn!+1

x0 �1

n� x0 � 1 = 1 6= f (x0)

) f est discontinue en tout point de Z:

Exercice 07: Peut-on prolonger par continuité sur R les fonctions suivantes:

f (x) = sinx sin1

x; g (x) =

1

1� x �2

1� x2 ; h (x) =1

xln

�ex + e�x

2

�

1) f : R� ! R et f (x) = sinx sin 1x

limx!0

f (x) = limx!0

sinx sin1

x= 0 car lim

x!0sinx = 0 et � 1 � sin 1

x� 1

112

Alors le prolongement par continuité sur R existe et il est de la forme:

F : R! R

x 7! F (x) =

8<: sinx sin 1x si x 6= 0

0 si x = 0

2) g : R� f1;�1g ! R

limx!�1

g (x) = limx!�1

1

1� x �2

1� x2 = �1

Alors le prolongement par continuité n�existe pas.

3) h : R� ! R

limx!0

h (x) = limx!0

1

xln

�ex + e�x

2

�= limx!0

ln�ex+e�x

2

�� ln

�e0+e�0

2

�x� 0

=

�e0 � e�0

2

�= 0 car:

�ex + e�x

2

�0=

�ex � e�x

2

�

Alors le prolongement par continuité sur R existe et il est de la forme:

H : R! R

x 7! H (x) =

8<:1x ln

�ex+e�x

2

�si x 6= 0

0 si x = 0

Exercice 08: Soit f : ]0;+1[! R une fonction dé�nie par: f (x) = 1x � lnx:

L�équation f (x) = 0 admet-elle une solution?

limx!0

f (x) = limx!0

1

x(1� x lnx) = +1 et lim

x!+1f (x) = �1

Alors la fonction f est continue dans ]0;+1[ en plus:

hlimx!0

f (x)i �

limx!+1

f (x)

�< 0

113

d�après le théorème des valeurs intermédiare: 9c 2 ]0;+1[ tel que: f (c) = 0:

Exercice 09:(supp) Soit f : [0; 2�]! R une fonction dé�nie par: f (x) =e�x sinx �x cosx:

L�équation f (x) = 0 admet-elle une solution dans ]0; 2�[?

On a: f (�) = � et f (2�) = �2�; Alors la fonction f est continue dans [0; 2�] en plus:

[f (�)] [ f (2�)] < 0

d�après le théorème des valeurs intermédiare: 9c 2 ]0; 2�[ tel que: f (c) = 0:

Exercice 10: En utilisant la dé�nition de la dérivée, trouver la dérivée f 0de f dans les cas suivants

(préciser sur quel ensemble f est dérivable):

a)f (x) =2

(x� 3)2b) (supp) g (x) =

p1 + x2 c)h (x) = sin 2x:

Par dé�nition:

f 0 (x0) = limx!x0

f (x)� f (x0)x� x0

= limh!0

f (x0 + h)� f (x0)h

En un point x0 on a:

1)

f 0 (x0) = limh!0

f (x0 + h)� f (x0)h

= limh!0

2(x0+h�3)2

� 2(x0�3)2

h

= limh!0

2

(x0�3)2�(x0+h�3)2

(x0+h�3)2(x0�3)2

h= limh!0

2

2(x0�3)h+h2(x0+h�3)2(x0�3)2

h

=4

(x0 � 3)3

Alors: 8x 2 R� f3g on a : f 0 (x) = 4(x�3)3 :

114

2)

f 0 (x0) = limx!x0

f (x)� f (x0)x� x0

= limx!x0

p1 + x2 �

p1 + x20

x� x0

= limx!x0

p1 + x2 �

p1 + x20

x� x0= limx!x0

x2 � x20x� x0

�p1 + x2 +

p1 + x20

�= lim

x!x0

x+ x0�p1 + x2 +

p1 + x20

� = x0p1 + x20

Alors: 8x 2 R on a : g 0 (x) = xp1+x2

:

3)

f 0 (x0) = limx!x0

f (x)� f (x0)x� x0

= limx!x0

sin 2x� sin 2x0x� x0

= limx!x0

2sin�2x�2x0

2

�cos�2x+2x0

2

�x� x0

= limx!x0

2sin (x� x0)x� x0

� cos (x+ x0)

= 2 cos 2x0 , car: limx!x0

sin (x� x0)x� x0

= 1

Alors: 8x 2 R on a : h 0 (x) = 2 cos 2x

Exercice 11: Démontrer qu�entre deux racines réelles de ex sinx = 1, il existe au moins une racine réelle

de ex cosx = �1:

ex sinx = 1 , sinx = e�x. Alors si on pose: f (x) = sinx � e�x la fonction est continue

et dérivable dans R.

Donc si on deux racines de f (x)) f (a) = f (b) = 0, d�aprés le théorème de Rolle,

9c 2 R telle que: f 0 (c) = 0 ) cos c + e�c = 0 ) cos c = �e�c ) ec cos c = �1 d�où

l�existence de la racine.

Exercice 12:(supp) Calculer en utilisant la règle de l�hôpital les limites suivantes:

limx!0

e2x � 1x

; limx!1

1 + cos�x

x2 � 2x+ 1 ; limx!0ln (cos 3x)

ln (cos 2x)

limx!0

e2x � 1x

= limx!0

2e2x

1= 2; lim

x!1

1 + cos�x

x2 � 2x+ 1 = limx!1

�� sin�x2x� 2 = lim

x!1

��2 cos�x2

=�2

2

115

limx!0

ln (cos 3x)

ln (cos 2x)= limx!0

�3 sin 3xcos 3x�2 sin 2xcos 2x

=3

2limx!0

3x sin 3x3x

2x sin 2x2x

=9

4:


f :R! R; x 7! f (x) =

8<: x2 log jx j si x 6= 0

0 si x = 0


Remarque: Dans R� la fonction est bien dé�nie et elle est de classe C 2:

Pour x = 0 :

limx!0

x2 log jx j = 0 = f (0)

Alors f est une fonction continue en 0.


Pour x = 0 :

limx!0

f (x)� f (0)x� 0 = lim

x!0x log jx j = 0

Alors la fonction est dérivable en 0.

(3) La fonction f est-elle de classe C 1? de classe C 2? Justi�er.

f 0 (x) =

8<: 2x log x+ x si x > 0

2x log�x� x si x < 0= 2x log jx j+ jx j si x 6= 0

limx!0

f 0 (x) = limx!0

2x log jx j+ jx j = 0 = limx!0

f (x)� f (0)x� 0 (5.6)

Alors la première dérivée existe et elle est continue, donc f est de classe C 1 dans R: Pour

la classe C 2?

limx!0

f 0 (x)� f 0 (0)

x� 0 = limx!0

2 log jx j+ jx jx= �1

Ce qui implique que f n�est pas de classe C 2 dans R:

116

Exercice 14:(supp) Soit la fonction :

f :R! R; x 7! f (x) =

8<: x sin 1x si x 6= 0

0 si x = 0


Remarque: Dans R� la fonction est bien dé�nie et elle est dérivable:

Pour x = 0 :

limx!0

x sin1

x= 0 = f (0)

�car:� 1 � sin 1

x� 1 et lim

x!0x =0

�

Alors f est une fonction continue en 0.

(2) :

Pour x = 0 :

limx!0

f (x)� f (0)x� 0 = lim

x!0sin

1

xn�existe pas.

Alors la fonction n�est pas dérivable en 0.

(3) Les mêmes questions pour la fonction:

g :R! R; x 7! g (x) =

8<: x2 sin 1x si x 6= 0

0 si x = 0

(1) Etudier la continuité de la fonction g sur R:

Remarque: Dans R� la fonction est bien dé�nie et elle est de classe C2:

Pour x = 0 :

limx!0

x2 sin1

x= 0 = f (0)

�car:� 1 � sin 1

x� 1 et lim

x!0x2 =0

�

Alors g est une fonction continue en 0.

(2) :

117

Pour x = 0 :

limx!0

f (x)� f (0)x� 0 = lim

x!0x sin

1

x= 0.

�car:� 1 � sin 1

x� 1 et lim

x!0x =0

�

Alors la fonction est dérivable en 0.

b) g est-elle de classe C1?

f 0 (x) = 2x sin1

x� sin 1

x) lim

x!0f 0 (x) n�existe pas

Donc g n�est pas de classe C1, alors elle n�est pas de classe C2:


f : R! R et g :R! R

x 7! sinx5 x 7! sin 5px

Montrer que f est dérivable en 0 et que g ne l�est pas .

limx!0

f (x)� f (0)x� 0 = lim

x!0

sinx5

xlimx!0

x4�sinx5

x5

�= 0

Alors f est dérivable en 0:

limx!0

g (x)� g (0)x� 0 = lim

x!0

sinx15

xlimx!0

x�45

sinx

x15

15

!= +1

Alors g n�est pas dérivable en 0:

Exercice 16: Déterminer f (n) (x) dans les cas suivants: a) f (x) = cosx; b) f (x) = sinx; c)(supp)

118

f (x) = 11�x :

a) f 0 (x) = � sinx; f 00 (x) = � cosx; f (3) (x) = sinx; f (4) (x) = cosx

) f (n) (x) =

8>>>>>><>>>>>>:

cosx si n = 4k; k 2 N

� sinx si n = 4k + 1; k 2 N

� cosx si n = 4k + 2; k 2 N

sinx si n = 4k + 3; k 2 N

= cos�x+ n

�

2

�:

b) f 0 (x) = cosx; f 00 (x) = � sinx; f (3) (x) = � cosx; f (4) (x) = sinx

) f (n) (x) =

8>>>>>><>>>>>>:

sinx si n = 4k; k 2 N

cosx si n = 4k + 1; k 2 N

� sinx si n = 4k + 2; k 2 N

� cosx si n = 4k + 3; k 2 N

= sin�x+ n

�

2

�:

c) f 0 (x) =1

(1� x)2; f 00 (x) =

2

(1� x)3; f (3) (x) =

2 � 3(1� x)4

;

Donc par récurrence on trouve:

f (n) (x) =n!

(1� x)n+1:

Exercice 17:

(1) Soit n 2 N�: Appliquer le théorème des accroissements �nis à la fonction:

fn : [n; n+ 1]! R

x 7! log x

La fonction: log x est continue dans [n; n+ 1] et dérivable dans ]n; n+ 1[ alors d�après le

119

théorème des accroissement �nis, il existe un c 2 ]n; n+ 1[ tel que:

fn (n+ 1)� fn (n) = (n+ 1� 1) fn 0 (c)

) log (n+ 1)� log (n) = 1

c;8n 2 N�:

(2) En déduire la nature de la suite de terme général: Un = 1 + 12 +

13 + :::+

1n

log (2)� log (1) =1

c1� 1; c1 2 ]1; 2[

log (3)� log (2) =1

c2� 1

2; c2 2 ]2; 3[

� � �

log (n+ 1)� log (n) =1

cn� 1

n; cn 2 ]n; n+ 1[

Par la somme des deux membres on obtient:

log (n+ 1)� log (1) =nXk=1

1

ck�

nXk=1

1

k= Un

Passant à la limite on trouve:

limn!+1

log (n+ 1) = +1 � limn!+1

Un ) limn!+1

Un = +1:

Exercice 18:(supp) (1) Etudier la dérivabilité de la fonction:

f (x) = x

px2 � 2x+ 1x� 1 si x 6= 1 , f (1) = 1

Si x 6= 1 alors la fonction est dérivable. Pour x = 1

limx!1+

f (x)� f (1)x� 1 = lim

x!1+

xpx2�2x+1x�1 � 1x� 1 = lim

x!1+

x

p(x�1)2x�1 � 1x� 1

= limx!1+

x (x� 1)� 1x� 1 = +1

Alors f n�est pas dérivable au point 1.

120

(2) Determiner a; b tels que: la fonction f dé�nie sur R�+ par:

f (x) =px si 0 � x � 1 , f (x) = ax2 + bx+ 1 si non

soit dérivable sur R�+: Le seul problème est le point 1

limx!1+

f (x)� f (1)x� 1 = lim

x!1+ax2 + bx+ 1� a� b� 1

x� 1 = limx!1+

ax2 + bx� a� bx� 1 = lim

x!1+(x� 1) (ax+ b+ a)

(x� 1) = 2a+b

limx!1�

f (x)� f (1)x� 1 = lim

x!1�

px� 1x� 1 = lim

x!1�1px+ 1

=1

2

Alors pour que f soit dérivable au point 1, en particulier sur R�+: il su¢ t que: 2a+ b = 12 :

Exercice19:

(1) Montrer que:

8x � 0; x� x2

2� log (1 + x) � x� x

2

2+x3

3

(on ne calculera qu�une seule dérivée pour chaque inégalité).

En e¤et si on pose:

f (x) = x� x2

2� log (1 + x) et g (x) = log (1 + x)� x+ x

2

2� x

3

3

On trouve:

f 0 (x) = 1� x� 1

1 + x=(1 + x) (1� x)� 1

1 + x=�x21 + x

� 0 si x � 0

) f est une fonction décroissante) f (x) � f (0) = 0;8x � 0

et:

g 0 (x) =1

1 + x� 1 + x� x2 =

1 + (1 + x)��1 + x� x2

�1 + x

=x3

1 + x� 0

) g est une fonction croissante) g (x) � g (0) = 0;8x � 0

121

Conclusion:

8x � 0; x� x2

2� log (1 + x) � x� x

2

2+x3

3

(2) En déduire que :

limx !0

log (1 + x)

x= 1:

On a:

8x � 0; x� x2

2� log (1 + x) � x� x

2

2+x3

3

) 8x � 0; 1� x2� log (1 + x)

x� 1� x

2+x2

3

d�après la régle d�encadrement on trouve:

limx !0

log (1 + x)

x= 1:

Exercice 20: (supp) Soit f : R! Rune fonction périodique de période T > 0:

(1) On suppose que f a une limite en +1, montrer que f est constante.

On a:

f (x+ T ) = f (x) ;8x 2 R

On pose:

limx!+1

f (x) = �

Supposons par l�absurde qu�il existe a 2 R tel que: f (a) 6= �;la suite an = a + nT tend vers

+1 et f (an) = f (a) ce qui donne:

limn!+1

f (an) = f (a) = � contradiction avec: f (a) 6= �) 8a 2 R; f (a) = �:

(2) On suppose que f monotone, montrer que f est constante.

1) Si f est strictement croissante) 8x < y ) f (x) < f (y) mais il existe un n 2 N tel que:

x+ nT > y ) f (y) < f (x+ nT ) = f (x)) f (x) < f (y) < f (x) d�où la contradiction.

122

2) Si f est strictement décroissante) 8x < y ) f (x) > f (y) mais il existe un n 2 N tel

que: x+ nT > y ) f (y) > f (x+ nT ) = f (x)) f (x) > f (y) > f (x) d�où la contradiction.

Donc la fonction est constante.

123

Partie V

Les nombres complexes.

124

Les propriétés essentielles des nombres complexes ont été étudiées en terminale. On se

limitera à quelques rappels et des techniques de calcul.


1) Soient x et y deux nombres réels quelconques, le couple (x; y) est appelé nombre complexe,

et on le note par: z = x+ iy ( c�est l�écriture algébrique de z). Le x désigne la partie réelle

du nombre complexe z, par contre le y est la partie imaginaire,

et le i est le nombre imaginaire qui véri�e (i)2 = �1. L�ensemble des nombres complexes

est noté C:

2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, le point M d�abscisse x et d�ordonnée y

est l�image du nombre complexe z.

On dit encore que M a pour a¢ xe z:

3) Module. Argument

Le nombre complexe z étant di¤érent de (0; 0), l�angle � est un argument de z. Il est dé�ni

à 2k� près. On note:

arg (z) = 2k� (2�)

Le module de z est la norme du vecteur OM: On le désigne par:

� = jzj = jjOM jj

et on a:

x = � cos � et y = � sin �

ce qui donne : � =px2 + y2 d�où l�écriture trigonométrique:

z = � � ei� = � � (cos � + i sin �) :z 6= 0:

125

4) Par suite on a les propriétés suivantes:

1) jz1 � z2j = jz1j � jz2j et arg (z1 � z2) = arg (z1) + arg (z2) (2�)

2)

��z1z2�� =

jz1jjz2j

� et arg�z1z2

�= arg (z1)� arg (z2) (2�)

3) jznj = jzjn et arg (zn) = n arg (z) (2�)

5) Nombres complexes conjugués

Le conjugué d�un nombre complexe z = x+ iy est dé�ni par: �z = x� iy et on a:

j�zj = jzj et arg (�z) = � arg (z) (2�) si z est non nul.

et comme propriété on a:

z1 + z2 = z1 + z2 , z1 � z2 = z1 � z2 et z � �z = x2 + y2:

5.4.2 1.2 CALCUL D�UN MODULE ET L�ARGUMENT D�UNE PUIS-

SANCE D�UN NOMBRE COMPLEXE

Pour calculer le module et l�argument d�une puissance d�un nombre complexe, on calcul d�abord

le module et l�argument de ce nombre, puis on écrit ce nombre sous la forme trigonométrique,

et on l�élève à la puissance voulue.

Exemple 62 Calculer le module et l�argument du nombre complexe z =�1 + i

p3�19:

On a:

�1 + i

p3�

= 2

1

2+ i

p3

2

!= 2 � ei

�3

)��1 + ip3�� = 2 et arg �1 + ip3� = �

3[2�]

d0où z = 219 � ei19�3 = 219 � ei

18�3+�3 = 219 � ei

�3

) jzj = 219 et arg (z) = �

3[2�] :

126

5.4.3 1.3 SIMPLIFICATIOND�UNRAPPORTDENOMBRES COMPLEXES

Pour simpli�er un rapport de nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur

par l�expression conjuguée du dénominateur.

Exemple 63 Simpli�er le nombre complexe z = 3+5i(1�i)(2+3i)

Alors:

z =3 + 5i

(1� i) (2 + 3i) =(3 + 5i) (1 + i) (2� 3i)

(1� i) (2 + 3i) (1 + i) (2� 3i)

=(3 + 5i) (2� 3i+ 2i+ 3)

2 � 13 =(3 + 5i) (5� i)

26

=(15� 3i+ 25i+ 5)

26=20 + 22i

26=10

13+11i

13:

5.4.4 1.4 NATURE D�UN NOMBRE COMPLEXE

Soit z = x+ iy; x et y 2 R un nombre complexe.

1.4.1 Un nombre complexe réel

On dit que z est un nombre réel si l�un des cas suivants est véri�es:

1) Si la partie imaginaire est nulle.

2) Si z est égal à son conjugué.

3) L�argument de z est congru à 0 modulo �:

Exemple 64 Soit z = i�1+ei�

1�ei��avec � =2 2�Z:En e¤et:

�z = �i�1 + e�i�

1� e�i�

�= �i � e

i�

ei�

�1 + e�i�

1� e�i�

�= i

�1 + ei�

1� ei�

�= z

) z est un nombre réel.

127

1.4.2 Un nombre complexe non nul imaginaire pur

z 6= 0 est un nombre imaginaire pur si l�un des cas suivants est véri�es:

1) Si la partie réelle est nulle.

2) Soit z est égal à l�opposé de son conjugué.

3) L�argument de z est congru à �2 modulo �:

Exemple 65 Soit z = i+ 12i on a alors:

�z = �i+ 1

�2i = �z

) z est un nombre imaginaire pur.

5.4.5 1.5 RACINES CARRÉES D�UN NOMBRE COMPLEXE

Pour déterminer les racines carrées d�un nombre complexe z = x+ iy, on cherche les nombres

� et � tels que:

(�+ i�)2 = x+ iy

d�où le système:

8>>><>>>:�2 � �2 = x

�2 + �2 =px2 + y2 (équation entre les deux modules)

2�� = y:

ce qui permet de dé�nir �2 et �2 puis �; � en utilisant le signe entre � et �:

Exemple 66 Calculer les racines carrées de z = 3� 4i:

128

On résout le système suivant:

8>>><>>>:�2 � �2 = 3

�2 + �2 = 5

2�� = �4:

) 2�2 = 8) �2 = 4

et �2 = 1 mais �� < 0

d�où les racines sont : z1 = 2� i et z2 = �2 + i .

5.4.6 1.6 RACINES n-IÈMES D�UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL

Pour trouver l�ensemble des racines n-ièmes de z 6= 0, on commence d�abord par le mettre sous

forme trigonométrique, en suite on cherche une racine n-ième, puis on multiplie par les racines

n-ièmes de l�unité�1 = ei2k�

�uk = e

i 2k�n avec k = f0; 1; 2; :::; n� 1g :

Exemple 67 Trouver les racines cubiques de z = 4p2 (1 + i) :

En e¤et:

1) La forme trigonométrique de z est :

z = 4p2 (1 + i) = 8

p2

2+ i

p2

2

!= 8 � ei

�4 :

2) Une racine n-ième de z est :

z0 = (8)13 � ei

�12 = 2 � ei

�12 :

3) d�où les racines cubiques de z :

zk = z0 � uk

= 2 � ei�12 � ei

2k�3

= 2 � ei(�12+ 2k�

3 )

avec k = f0; 1; 2g :

129

5.4.7 1.7 FACTORISATION D�UN POLYNÔME RÉEL

Remarque 68 Quand on cherche à factoriser un polynôme réel P et qu�on a trouvé une racine

imaginaire z, alors �z est aussi une racine de P:

Exemple 69 Factoriser le polynôme: P = z3 � z2 + z � 1:

Comme z1 = i est une racine alors z2 = �i est aussi une racine et par suite par la méthode

d�identi�cation on trouve la troisième racine.

P = (z � i) (z + i) (z � 1) :

5.4.8 1.8 LA FORMULE D�EULER

La formule d�Euler est l�écriture des deux fonction cos inus et sinus en fonction des fonctions

exponentielle qui est utile pour linéariser les expressions

sous la forme cosm x sinn x avec m;n 2 N et dans le chapitre des intégrales par exemple.

Alors on a:

8� 2 R; cos � = ei� + e�i�

2et sin � =

ei� � e�i�2i

:

Exemple 70 Linéariser cosx sin2 x:

cosx sin2 x =eix + e�ix

2��eix � e�ix

2i

�2= �1

8

�ei3x � eix � e�ix + e�i3x

�= �1

4(cos 3x� cosx) :

5.4.9 1.9 LA FORMULE DE MOIVRE

Pour calculer cos (nx) et sin (nx) en fonction de puissances de cosx et sinx, on utilise la formule

de moivre:

8� 2 R;8n 2 Z;�ei��n= ein�:

130

Exemple 71

cos 5x = Re�e5ix

�et sin 5x = Im

�e5ix

�donc : (cosx+ i sinx)5

= cos5 x� 10 cos3 x sin2 x+ 5 cosx sin4 x+ i�5 cos4 x sinx� 10 cos2 x sin3 x+ sin5 x

�)

8<: cos 5x = cos5 x� 10 cos3 x sin2 x+ 5 cosx sin4 x

sin 5x = 5 cos4 x sinx� 10 cos2 x sin3 x+ sin5 x:

5.4.10 1.10 SIMPLIFICATION DE SOMMES DE COSINUS OU BIEN SI-

NUS

Pour simpli�er une somme de cosinus (resp. de sinus) on introduit les fonctions exponentielles

qui est par suite une somme d�une suite géomérique.

Simpli�er:

Sn = 1 + cosx+ cos 2x+ :::+ cosnx:

En e¤et:

Sn =

nXk=0

cos kx = Re

nXk=0

ei(kx) = Re

nXk=0

e(ix)k

c�est une suite géométrique dans le premier terme est 1 et de raison eix: Alors:

1) si x 2 2�Z) Sn = n+ 1

2)si x =2 2�Z) Sn = Re

"1� eix(n+1)1� eix

#

= Re

"ei(

nx2 ) �

sin (n+1)x2

sin x2

#

= cos�nx2

��sin (n+1)x2

sin x2:

De même:nXk=0

sin kx = sin�nx2

��sin (n+1)x2

sin x2:

131

5.5 Exercices:

Exercice 01: Déterminer le module et un argument des nombres complexes:

a)1 + ip3; 2� 2i:

(supp) b) 3 + ip3; � 1 + i

p3;

��1 + i 1p

3

�6; cos (��) + i sin� pour � 2 R:

Exercice 02: Résoudre dans C :

z2 � 2z (cos � + i sin �) + 2i sin � (cos � + i sin �) = 0; � étant un paramètre réel.

Exercice 03:

(1) Calculer les deux sommes:

a) Un = 1 + a cos � + a2 cos 2� + :::+ an cosn �:

b) Un = 1 + a sin � + a2 sin 2� + :::+ an sinn �:

et leurs limitesU et V lorsque n! +1.

(2) Quelle condition faut-il imposer à z pour que:jz + 5j = jz � i j?

Exercice 04: a) Déterminer les racines cubiques de:

z1 = 1 + i, (supp)et z2 =1 + i

p3

1� ip3

b) Si t 2 R, déterminer les racines ni�emes de z3 = 1+it1�it :

Exercice 05: Résoudre dans C:

z2 + z + 1 = 0; (supp)z2 + z � 1 = 0; (supp) 4z2 � 10z + 4 = 0; (supp) z2 = z � 2

z4 = 1; (supp) z + 2 + z2 = 3z; (supp)�z2 � �z + 1 = 0; (supp)z4 + z2 � 12 = 0:

132

Exercice 06: Montrer que pour tout � 2 R, le nombre complexe z = 1+�i1��i est de module1: Pour quels

z 2 C, existe-t-il � 2 R tel que: z = 1+�i1��i

133

Partie VI

Structures algébriques.

134

Les notions qui suivent présentent de l�intérêt sur le plan terminologique que structurel

avant d�aborder l�étude des espaces vectoriels.


1.1.1 Loi de composition interne

Soient E et F deux ensembles non vides, et f une application de E �E dans F . Si f (E � E)

est inclus dans E, alors f est une loi de composition interne sur E: Qu�on la note:

x � y ou x | y ou x ? y:::

Exemple 72 L�addition et la multiplication sont des lois de composition internes sur N;Z;Q;R

et C mais la soustraction n�est pas interne sur N:

1.1.2 Commutativité

Une loi de composition interne � sur E est dite commutative si:

pour tout x; y 2 E; x � y = y � x:

Exemple 73 L�intersection et la réunion sont des lois de composition internes commutatives

sur l�ensemble des parties d�un ensemble.

1.1.3 Associativité

Soit � une loi de composition interne dé�nie sur un ensemble E. � est associative ssi:

pour tout x; y; z 2 E; x � (y � z) = (x � y) � z:

Exemple 74 La composition des applications est une loi de composition interne associative.

Par contre la loi de composition � dé�nie dans Q par:

x � y = x+ y

2n�est pas associative.

135

1.1.4 Elément neutre

Soit � une loi de composition interne dé�nie sur un ensemble E. e est un élément neutre

pour la loi � dans l�ensemble E ssi:

8x 2 E; x � e = e � x = x:

Si, on outre, la loi � est commutative, il su¢ t de montrer que:

8x 2 E; x � e = x ou bien e � x = x:

Exemple 75 1 est un élément neutre de la multiplication dans R:

Proposition 76 Si l�élément neutre existe alors il est unique.

Preuve: Supposons par absurde qu�ils existent deux élément neutres e1; e2 avec e1 6= e2:

Par dé�nition de l�élément neutre on a:

8x 2 E; x � e1 = x) e2 � e1 = e2

et 8x 2 E; e2 � x = x) e2 � e1 = e1

) e1 = e2:

1.1.5 Elément symétrique

Soit � une loi de composition interne dé�nie sur un ensemble E et admettant un élément neutre

e.

Deux éléments x et x0 sont symétriques pour la loi � si:

x � x0 = x0 � x = e:

136

Si, on outre, la loi � est commutative, il su¢ t de trouver x0 2 E tel que:

x � x0 = e ou bien x0 � x = e

Exemple 77 Le symétrique de x dans Z muni de l�addition est:(�x) :

Proposition 78 Si la loi � est associative, alors si l�élément symétrique existe il est unique.

1.1.6 Elément régulier

On dit que � est un élément régulier pour une loi � de composition interne dé�nie sur un

ensemble E s�il véri�e:

8x; y 2 E; (x � � = y � �)) x = y

et 8x; y 2 E; (� � x = � � y)) x = y

Si, on outre, la loi � est commutative, il su¢ t de véri�er l�un des deux implication.

Exemple 79 Dans C muni de l�addition, tout élément est régulier.

1.1.7 Distributivité

Soient � et 4 deux lois de composition internes sur un ensemble E. Alors � est distributive

par rapport à 4 ssi:

8x; y; z 2 E; x � (y4 z) = (x � y)4 (x � z)

et (y4 z) � x = (y � x)4 (z � x)

Si, on outre, la loi � est commutative, il su¢ t de montrer l�un des deux égalité.

Exemple 80 La multiplication est distributive par rapport à l�addition dans C.

1.1.8 Partie stable

Soit � une loi de composition interne dé�nie sur un ensemble E:

Une partie A est dite stable de E pour la loi �, si pour tout x; y 2 A; x � y 2 A:

137

Exemple 81 L�ensemble des entiers naturels pairs est stable pour l�addition, par contre l�ensemble

des entiers impairs n�est pas stable pour l�addition car:

(3) + (5) = 8 qui est pair.

1.1.9 Loi de composition externe

Soient E;F; trois ensembles non vides, et f une application de � E dans F:

f est une loi de composition externe sur E à opérateurs dans , ssi:

8� 2 ; x 2 E ) f (�; x) 2 E:

f (�; x) est souvent notée : � � x:

Exemple 82 Dans l�ensemble des vecteurs la multiplication par un scalaire est une loi de

composition externe.

5.5.2 1.2 Structure de groupe

1.2.1 Dé�nition d�un groupe

Un ensemble Gmuni d�une loi de composition interne � est un groupe si on a les trois propriétés

suivantes:

1- � est associative.

2- G admet un élément neutre correspond à �.

3- Chaque élément de G possède un symétrique par rapport à �.

Si de plus: � est commutative alors le groupe est dit un groupe commutatif ou bien un

groupe abélien.

Exemple 83 (Z;+) est un groupe commutatif.

1.2.2 Propriétés des groupes

Les dé�nitions précédentes découlent les propriétés suivantes:

1- L�élément neutre d�un groupe est unique.

138

Preuve: Par absurde supposons qu�ils existent deux élément neutre e1 et e2 alors:

e1 � e2 = e1 car e2 est un élément neutre,

et e1 � e2 = e2 car e1 est un élément neutre,

alors : e1 = e2:

2- Le symétrique d�un élément est unique, noté x�1:

3-

8x 2 G;8y 2 G;�x�1

��1= x et (x � y)�1 = y�1 � x�1:

1.2.3 Sous-groupe

Soit (G; �) un groupe. Une partie H non vide de G muni de la loi � est dite un sous-groupe

ssi:

1- H contient l�élément neutre.

2-

8x 2 H;8y 2 H; x � y 2 H:

3-

8x 2 H; x�1 2 H:

Exemple 84 On appelle le centre d�un groupe G l�ensemble dé�nie par:

C = fx 2 G tel que: 8y 2 G;x � y = y � xg :

Montrons alors que: (C; �) est un sous-groupe de G:

1- On a: 8x 2 G;x � e = e � x) e 2 C:

139

2- 8x1 2 C;8x2 2 C; alors:

8y 2 G; (x1 � x2) � y = x1 � (x2 � y) (l�associativité),

= x1 � (y � x2) ( x1 2 C),

= (x1 � y) � x2 (l�associativité),

= (y � x1) � x2 ( x1 2 C),

= y � (x1 � x2) (l�associativité),

) x1 � x2 2 C:

3-

8x 2 C;8y 2 G; x�1 � y =�y�1 � x

��1=�x � y�1

��1( car: x 2 C)

= y � x�1 ) x�1 2 C:

Conclusion: (C; �) est un sous-groupe de G:

1.2.4 Propriétés des sous-groupes

1- l�intersection des sous-groupes est un sous groupe, mais la réunion n�est pas un sous-groupe.

Pour la preuve il su¢ t d�utiliser les propriétés des sous-groupes. Mais pour le contre exemple:

On a:

(2Z;+) ; (3Z;+) sont deux sous-groupe de Z:

Par contre : (2Z;+) [ (3Z;+) n�est pas un sous-groupe de Z

car : 2; 3 2 (2Z;+) [ (3Z;+) mais 2 + 3 = 5 =2 (2Z;+) [ (3Z;+) :

140

1.2.5 Homomorphisme de groupes

Soient (G; �) et (G0;4) deux groupes, un homomorphisme f de (G; �) vers (G0;4) est une

application:

f : G! G0

x 7! f (x) = x0

telle que:

8x 2 G, 8y 2 G f (x � y) = f (x)4 f (y)

Exemple 85

f :�R�+;�

�! (R;+)

x 7! f (x) = lnx:

est un homomorphisme.

5.5.3 1.3 Structure d�anneau

(A; �;4) est un anneau si:

1) (A; �) est un groupe commutatif.

2) 4 posséde un élément neutre et elle est associative.

3) La loi 4 est distributive sur la loi �.

Si de plus la loi 4 est commutative, l�anneau est commutatif.

5.5.4 1.4 Corps

1.4.1 élément inversible

Un élément x 2 K est inversible par rapport à la loi 4 s�il existe un élément y 2 K telle que:

x4 y = y4 x = e2 ; (e2 est l�élément neutre par rapport à 4)

141

1.4.2 Structure d�un corps

On dit que (K; �;4) est un corps si:

1) (K; �;4) est un anneau.

2) Tout élément distinct de e (opération �) est inversible pour la loi 4.

Si de plus 4 est commutative, on parle de corps commutatif.

Exemple 86 (R;+;�) est un corps commutatif, mais (Z;+;�) n�est pas un corps.

5.6 Exercices

Exercice 01: Donner le D.L à l�ordre 3 et à l�ordre 4 au voisinage de 0 de f dans les cas suivants:

(1) f (x) = 2 + x2 � 2x3 + 5 x4

(2) f (x) = 11+x

(3) f (x) = ln�1 + 3x2

�(4) f (x) = ex

4 �x3 � x� 1

�Exercice 02: (1) Calculer le développement limité à l�ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction f dans

les cas suivants:

a) f (x) = ex sinx; b) f (x) = ln(1+x)cosx c) f (x) = (1 + cosx)

px+ 1 d) f (x) =

px2 + e�x

(2) Calculer le développement limité à l�ordre 2 au point x=1 de la fonction g dé�nie par:

g (x) =lnx

x2:

Exercice 03:

(1) Calculer le développement limité à l�ordre 2 au point x=0 de la fonction f dé�nie par:

f (x) = ln (1 + x) + 3p1 + x

142

(2) En utilisant la notion du D.L, calculer les limites suivantes:

limx!0

(1 + x)1x ; lim

x!0+

�1

x

�tanx; (Supp) lim

x!0

9 3p1 + x+ x2 � 3x� 9

x3

(Supp) limx!+1

e1x � cos 1x

1�q1� 1

x2

; (Supp) limx!0

cosxp1+x

� 1x

(3) Calculer le développement limité à l�ordre 3 au point 0 puis interpréter pour le prolonge-

ment par continuité, la dérivabilité, la position par rapport à la tangente dans les cas

suivants:

a) f (x) =ex � 1x

b) (supp) f (x) =ln (1 + x)

sinx

(4) (supp) Calculer le développement limité à l�ordre 2 au point 0 de la fonction f dé�nie par:

f (x) =ln (1 + x)� x+ x2

x

x

En déduire que f se prolonge en une fonction g continue et dérivable sur ]�1;+1[ : Donner

les valeurs de g (0) et g 0 (0) :

(5) Calculer le développement limité à l�ordre 3 au point 0 de la fonction g dé�nie par:

g (x) =�1 + x+ x2

� 1x

Exercice 04: Sur R� f1g on dé�nit la loi � comme suit:

x � y = x+ y + xy

(1) Véri�er que � est une loi de composition interne.

(2) Montrer que (R� f1g ; �) est un groupe commutatif.

(3) Résoudre l�équation: 2 � 3 � x � 5 = 5 � 3:

Exercice 05: Soit (G; �) un groupe, H1;H2 deux sous groupes de G.

143

(1) Montrer que H1 \H2 est aussi un sous groupe de G:

(2) Donner un exemple où H1 [H2 n�est pas un sous groupe de G:

(3) On note C = fx 2 G;8y 2 G; x � y = y � xg le centre de G: Montrer que C est un sous

groupe de G:

Exercice 06:

(1) Exprimer sin 2x et cos 2x en fonction de tanx:

(2) calculer les réels x et y tels que arcsinx = 2arctan 34 et arccos y = 2arctan34 :

Exercice 07: Simpli�er les expressions suivantes:

sin (2 arcsinx) ; cos (2 arcsinx) ; cos (3 arctanx) et cos2�1

2arctanx

�

Exercice 08:

(1) Véri�er que: Si a+ b 6= �2 + k�; k 2 Z; alors tan (a+ b) =

tan a+tan b1�tan a tan b :

(2) Montrer que: 2 arctan�p1 + x2 � x

�+ arctanx = �

2 :

Exercice 09: Montrer que pour tout x 2 R; sin (arctanx) = xp1+x2

:

Exercice 10: Montrer que si x et y 2 R avec xy 6= 1 :

arctanx+ arctan y = arctan

�x+ y

1� xy

�+ k�

avec : k =

8>>><>>>:0 si xy < 1

1 si xy > 1 , x > 0 et y > 0

�1 si xy > 1 , x < 0 et y < 0

5.7 Le corrigé:

Exercice 01: Donner le D.L à l�ordre 3 et à l�ordre 4 au voisinage de 0 de f dans les cas suivants:

144

(1) f (x) = 2 + x2 � 2x3 + 5 x4

f (x) = 2 + x2 � 2x3 + x3" (x) avec " (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 3).

f (x) = 2 + x2 � 2x3 + 5 x4 ( à l�ordre 4). ( le reste est nul)

(2) f (x) = 11+x on a:

f 0 (x) =�1

(1 + x)2; f 00 (x) =

2

(1 + x)3; f (3) (x) = � 2:3

(1 + x)3et f (4) (x) =

2:3:4

(1 + x)5

Alors:f (x) = 1� x+ x2 � x3 + x3"1 (x) avec "1 (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 3).

:f (x) = 1� x+ x2 � x3 + x4 + x4"2 (x) avec "2 (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 4).

(3) f (x) = ln�1 + 3x2

�la notion du composé

On a: ln (1 + u) = u� 12u2 + 1

3u3 � 1

4u4 + u4" (u) avec " (u)! 0 qd u! 0 ( à l�ordre 4).

) f (x) = 3x2 + x3"1 (x) avec "1 (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 3).

et f (x) = 3x2 � 12

�3x2�2+ x4"1 (x) = 3x

2 � 92x4 + x4"1 (x) avec "2 (x)! 0 qd x! 0 ( à

l�ordre 4).

(4) f (x) = ex4 �x3 � x� 1

�la notion du produit

On a: eu = 1 + u+ 12!u

2 + 13!u

3 + 14!u

4 + u4" (u) avec " (u)! 0 qd u! 0 ( à l�ordre 4).

) ex4= 1 + x4 + x4" (x)! 0 qd u! 0 ( à l�ordre 4).

) f (x) = �1� x+ x3 +x3"1 (x) avec "1 (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 3).

et f (x) = �1� x+ x3 � x4 +x4"2 (x) avec "2 (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 4).

Exercice 02: (1) Calculer le développement limité à l�ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction f dans

les cas suivants:

a) f (x) = ex sinx; on a: ex = 1+ x+ 12!x

2 + x2"1 (x) avec "1 (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre

2).

et sinx = x+ x2"2 (x) avec "2 (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 2).

) f (x) = x+ x2 + x2" (x) avec " (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 2).

145

b) f (x) = ln(1+x)cosx , on a: ln (1 + x) = x� 1

2x2 + x2"1 (x) avec "1 (x)! 0 qd x! 0 ( à

l�ordre 2).

et cosx = 1� 12x2 + x2"2 (x) avec "2 (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 2),

alors après la division suivant les puissances croissantes on trouve:

f (x) = x� 12x2 + x2" (x) avec " (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 2).

c) f (x) = (1 + cosx)px+ 1 , on a: (1 + cosx) = 2 � 1

2x2 + x2"1 (x) avec "1 (x) ! 0 qd

x! 0 ( à l�ordre 2),

etpx+ 1 = 1+ 1

2x�18x2+x2"2 (x) avec "2 (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 2), (la notion

du produit)

) f (x) = 2 + x� x2

4 �x2

2 + x2" (x) = 2 + x� 3x2

4 + x2" (x) avec " (x)! 0 qd x! 0 ( à

l�ordre 2).

d) f (x) =px2 + e�x; on a: eu = 1 + u + 1

2!u2 + u2"1 (u) avec "1 (u) ! 0qd u ! 0 ( à

l�ordre 2).

) e�x = 1� x+ 12!x

2 + x2"2 (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 2)

) x2 + e�x = 1� x+ 32x2 + x2"2 (x) avec "2 (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 2)

mais:p1 + u = 1 + 1

2u �18u2 + u2"3 (x) avec "3 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l�ordre 2), la

notion du composé

f (x) = 1+ 12

��x+ 3

2x2�� 18x2+x2" (x) = 1+�x

2 +58x2+x2" (x) avec " (x)! 0 qd x! 0

( à l�ordre 2).

(2) Calculer le développement limité à l�ordre 2 au point x=1 de la fonction g dé�nie par:

g (x) =lnx

x2:

lnx = (x� 1) � 12 (x� 1)

2 + (x� 1)2 "1 ((x� 1)) avec "1 ((x� 1)) ! 0 qd x ! 1 ( à

l�ordre 2).

et x2 = 1 + 2 (x� 1) + (x� 1)2 + (x� 1)2 "2 ((x� 1)) avec "2 ((x� 1)) ! 0 qd x ! 1 ( à

l�ordre 2).

alors après la division suivant les puissances croissantes de (x� 1) on trouve:

g (x) = (x� 1)� 52 (x� 1)

2 + (x� 1)2 " ((x� 1)) avec " ((x� 1))! 0 qd x! 1 ( à l�ordre

2).

146

Exercice 03:

(1) Calculer le développement limité à l�ordre 2 au point x=0 de la fonction f dé�nie par:

f (x) = ln (1 + x) + 3p1 + x

On a: ln (1 + x) = x� 12x2 + x2"1 (x) avec "1 (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 2)

et 3p1 + x=1+1

3x� 19x2+x2"2(x)

avec "2 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l�ordre 2) ce qui implique

que:

f (x) = 1 + 43x�

1118x

2 + x2" (x) avec " (x)! 0 qd x! 0 ( à l�ordre 2)

(2) En utilisant la notion du D.L, calculer les limites suivantes:

limx!0

(1 + x)1x ; lim

x!0+

�1

x

�tanx; (Supp) lim

x!0

9 3p1 + x+ x2 � 3x� 9

x3

(Supp) limx!+1

e1x � cos 1x

1�q1� 1

x2

; (Supp) limx!0

cosxp1+x

� 1x

En e¤et:

limx!0

(1 + x)1x = lim

x!0e1xln(1+x) = lim

x!0e1x [x�

12x2+x2"(x)] = e

limx!0+

�1

x

�tanx= lim

x!0+etanx ln( 1x) = lim

x!0+e� tanx lnx

= limx!0+

e�(x+x2"(x)) lnx = 1

(3) Calculer le développement limité à l�ordre 3 au point 0 puis interpréter pour le prolonge-

ment par continuité, la dérivabilité, la position par rapport à la tangente dans les cas

suivants:

a) f (x) =ex � 1x

b) (supp) f (x) =ln (1 + x)

sinx

ex � 1x

=

�1 + x+ 1

2!x2 + 1

3!x3 + 1

4!x4 + x4" (x)

�� 1

x= 1+

1

2!x+

1

3!x2+

1

4!x3+x3" (x) avec " (x)! 0 qd x! 0

147

Alors f est prolongeable par continuité avec:

F : R! R

x 7!

8<: ex�1x si x 6= 0

1 si x = 0est le prolongement de f:

qui est dérivable dans R en particulier en 0 avec F 0 (0) = 12! =

12 . En plus l�équation de

la tangente est: y = 12x+ 1 mais:

ex�1x = 1 + 1

2!x+13!x

2 + 14!x

3 + x3" (x) avec " (x) ! 0 qd x ! 0 donc puisque le terme

d�ordre 2 est positif alors le graphe de la fonction est au-dessus de la tangente.

(4) (supp) Calculer le développement limité à l�ordre 2 au point 0 de la fonction f dé�nie par:

f (x) =ln (1 + x)� x+ x2

x

x

En déduire que f se prolonge en une fonction g continue et dérivable sur ]�1;+1[ : Donner

les valeurs de g (0) et g 0 (0) :

(5) Calculer le développement limité à l�ordre 3 au point 0 de la fonction g dé�nie par:

g (x) =�1 + x+ x2

� 1x

g (x) =�1 + x+ x2

� 1x = e

1xln(1+x+x2)

On a: ln (1 + u) = u� 12u2 + 1

3u3 � 1

4u4 + u4" (u)! 0 qd u! 0 ( à l�ordre 4), donc si on

pose: u = x+ x2

on trouve: ln�1 + x+ x2

�= x+ x2

2 �23x3+ x4

4 +x4"1 (x) (on tronque que les termes d�ordre

� 4)

) 1x ln

�1 + x+ x2

�= 1+ x

2 �23x2+ x3

4 + x3"1 (x) mais: eu = 1+ u+ 1

2!u2+ 1

3!u3+ u3"2 (u)

avec "2 (u)! 0 qd u! 0 ( à l�ordre 3).

) e1xln(1+x+x2) = e1+

x2� 23x2+x3

4+x3"1(x) = e e

x2� 23x2+x3

4+x3"1(x)

Donc il su¢ t de remplaçer dans le D.L de eu le u par�x2 �

23x2 + x3

4

�(on tronque que les

termes d�ordre � 3)

148

) g (x) = e�1 + x

2 �1324x

2 � 116x

3 + x3" (x)�

Exercice 04: Sur R� f1g on dé�nit la loi � comme suit:

x � y = x+ y � xy

(1) Véri�er que � est une loi de composition interne.

Montrons que: 8x; y 2 R� f1g alors: x � y 2 R� f1g , x+ y � xy 6= 1

Si x + y � xy = 1 ) x + y � xy � 1 = 0 ) (1� x) (y � 1) = 0 ) x = 1 ou y = 1

(contradiction)

Alors � est une loi de composition interne.

(2) Montrer que (R� f1g ; �) est un groupe commutatif.

a) Montrons que � est associative, 8x; y; z 2 R� f1g; (x � y) � z = x � (y � z)?

Soient x; y; z 2 R� f1g ; (x � y) � z = (x+ y � xy) � z = (x+ y � xy) + z � (x+ y � xy) z

et x � (y � z) = x � (y + z � yz) = x + (y + z � yz) � x (y + z � yz) (par identi�cation des

deux résultats)

) (x � y) � z = x � (y � z)

b) Montrons que � est commutative, 8x; y 2 R� f1g; x � y = y � x

Soient x; y 2 R� f1g ;x � y = x+ y � xy = y + x� yx = y � x

Alors � est une loi commutative.

c) Montrons que � admet un élément neutre, 9e 2 R � f1g tel que 8x 2 R � f1g; x � e =

e � x = x?

Puisque � est commutative alors il su¢ t de montrer que: x � e = x

x � e = x, x+ e� xe = x) e (1� x) = 0) e = 0 car x 2 R� f1g

d) Montrons que chaque élément x 2 R � f1g admet un élément symétrique noté x�1 tel

que: x � x�1 = x�1 � x = e = 0

149

Puisque � est commutative alors il su¢ t de résoudre l�équation x � x�1 = 0, x+ x�1 � x

x�1 = 0, x+ x�1 (1� x) = 0) x�1 = xx�1

qui est bien dé�ni car x 2 R� f1g :

Conclusion: (R� f1g ; �) est un groupe commutatif.

(3) Résoudre l�équation: 2 � 3 � x � 5 = 5 � 3:( utilisant la notion de l�élément symétrie)

2 � 3 � x � 5 = 5 � 3, 3 � x � 5 = 2 � 5 � 3, x � 5 = 32 � 2 � 5 � 3, x = 3

2 � 2 � 5 � 3 �54

, x = 32 � (�3) � 3 �

54 , x = 3

2 � 9 �54 , x = (�3) � 54 = 2

Exercice 05: Soit (G; �) un groupe, H1;H2 deux sous groupes de G.

(1) Montrer que H1 \H2 est aussi un sous groupe de G:

a) Montrons que H1 \H2 contient l�élément neutre?

H1;H2 sont deux sous groupes de G et l�élément neutre de G unique) e 2 H1 et e 2 H2 )

e 2 H1 \H2.

b) Montrons que: 8x 2 H1 \H2;8y 2 H1 \H2 ) x � y 2 H1 \H2?

Soient x; y 2 H1 \H2 ) x; y 2 H1 et x; y 2 H2 ) x � y 2 H2 et x � y 2 H2 car H1;H2 sont

deux sous groupes de G ) x � y 2 H1 \H2:

c)

2-Montrons que: 8x 2 H1 \H2 ) x�1 2 H1 \H2?

Soit x 2 H1 \H2 ) x 2 H1 et x 2 H2 puisque l�élément symétrique est unique et H1;H2sont deux sous groupes de G

alors: x�1 2 H1 et x�1 2 H2 ) x�1 2 H1 \H2:

Conclusion: H1 \H2 est aussi un sous groupe de G:

(2) Donner un exemple où H1 [H2 n�est pas un sous groupe de G:

Si on pose: G = Z;H1 = f2k; k 2 Zg et H2 = f3k; k 2 Zg : Alors: (G;+) est un groupe et

H1 , H2 sont deux sous groupes de G:

Alors: 22 H1 [ H2 et 32 H1 [ H2 mais: 2+3=5=2 H1 [ H2 ) H1 [ H2 n�est pas un sous

groupe de G:

150

(3) On note C = fx 2 G;8y 2 G; x � y = y � xg le centre de G: Montrer que C est un sous

groupe de G:

a) Montrons que: e 2 C?

8y 2 G; e � y = y � e = y ) e 2 C

b) Montrons que: 8x1; x2 2 C ) x1 � x2 2 C?

Soient x1; x2 2 C et y 2 G) (x1 � x2) � y = x1 � (x2 � y) car � est associative

= x1 � (y � x2) car x2 2 C

=(x1 � y) � x2 car � est associative

=(y � x1) � x2 car x2 2 C

=y � (x1 � x2) car � est associative) x1 � x2 2 C

c) Montrons que: 8x 2 C ) x�1 2 C?

utilisant le fait que: (a � b)�1 = b�1 � a�1 et�a�1��1

= a

x�1 � y =�y�1 � x

��1=�x � y�1

��1 car x 2 C=y � x�1 ) x�1 2 C

Conclusion: C est un sous groupe de G:

Exercice 06:

(1) Exprimer sin 2x et cos 2x en fonction de tanx:

sin 2x = 2 sinx cosx =2 sinx cosx

cos2 x+ sin2 x=

2 sinx cosxcos2 x

cos2 x+sin2 xcos2 x

=2 sinxcosx

1 + sin2 xcos2 x

=2 tanx

1 + tan2 x

cos 2x = cos2 x� sin2 x = cos2 x� sin2 xcos2 x+ sin2 x

=cos2 x�sin2 x

cos2 xcos2 x+sin2 x

cos2 x

=1� sin2 x

cos2 x

1 + sin2 xcos2 x

=1� tan2 x1 + tan2 x

(2) calculer les réels x et y tels que arcsinx = 2arctan 34 et arccos y = 2arctan34 :

151

arcsinx = 2arctan 34 ) sin arcsinx = sin�2 arctan 34

�=

2 tan arctan 34

1+tan2 arctan 34

= 234

1+ 916

= 2425 :

arccos y = 2arctan 34 ) cos arccos y = cos�2 arctan 34

�=

1�tan2 arctan 34

1+tan2 arctan 34

=1� 9

16

1+ 916

= 725

Exercice 07: Simpli�er les expressions suivantes:

sin (2 arcsinx) ; cos (2 arcsinx) ; cos (3 arctanx) et cos2�1

2arctanx

�

1) sin (2 arcsinx) = 2 (sin arcsinx) (cos arcsinx)

mais:

(cos arcsinx) =p1� sin2 arcsinx =

p1� x2 ) sin (2 arcsinx) = 2x

p1� x2

2) cos (2 arcsinx) =

q1� sin2 (2 arcsinx) =

p1� 4x2 (1� x2)

3) cos (3 arctanx) on a: cos 3u = 4 cos3 u� 3 cosu (formule de Moivre)

et

1 + tan2 u =1

cos2 u) cosu =

�1p1 + tan2 u

mais si on pose: u = arctanx est compris entre ��2 et

�2 : Donc cosu > 0 d�où:

cos arctanx =+1p

1 + tan2 [arctanx]=

1p1 + x2

) cos (3 arctanx) = 4 cos3 (arctanx)� 3 cos (arctanx )

=4

(1 + x2)32

� 3 1

(1 + x2)12

=1� 3x2

(1 + x2)32

pour:

cos2�1

2arctanx

�on a : cos2 z =

1 + cos 2z

2

) cos2�1

2arctanx

�=1 + cos (arctanx)

2

=1 + 1p

1+x2

2=

p1 + x2 + 1

2p1 + x2

152

Exercice 08:

(1) Véri�er que: Si a+ b 6= �2 + k�; k 2 Z; alors tan (a+ b) =

tan a+tan b1�tan a tan b

tan (a+ b) =sin (a+ b)

cos (a+ b)=cos a sin b+ sin a cos b

cos a cos b� sin a sin b

=cos a sin b+sin a cos b

cos a cos bcos a cos b�sin a sin b

cos a cos b

=tan b+ tan a

1� tan a tan b

(2) Montrer que: 2 arctan�p1 + x2 � x

�+ arctanx = �

2 :

Calculons: la dérivée de: 2 arctan�p1 + x2 � x

�+ arctanx�

2 arctan�p1 + x2 � x

�+ arctanx

�0= 2

(p1+x2�x)

0

1+(p1+x2�x)

2 = 2xp1+x2

�1

1+(p1+x2�x)

2+1

1+x2= 2

xp1+x2

�1

1+1+x2+x2�2xp1+x2

+

11+x2

=

x�p1+x2p

1+x2p1+x2(

p1+x2�x)

+ 11+x2

= � 11+x2

+ 11+x2

= 0 ) 2 arctan�p1 + x2 � x

�+ arctanx = �

avec� = cste:(pour x = 0) � = �2 :

Exercice 09: Montrer que pour tout x 2 R; sin (arctanx) = xp1+x2

En e¤tet: posons y = arctanx, donc y 2��2 ;�2

�et x = tan y

Il s�ensuit que

xp1 + x2

=tan yp1 + tan2 y

=tan yq

1cos2 y

= jcos yj tan y = cos y tan y = sin y = sin (arctanx)

Exercice 10: Montrer que si x et y 2 R avec xy 6= 1 :

arctanx+ arctan y = arctan

�x+ y

1� xy

�+ k�

avec : k =

8>>><>>>:0 si xy < 1

1 si xy > 1 , x > 0 et y > 0

�1 si xy > 1 , x < 0 et y < 0

153

Il su¢ t de poser la fonction:

f : R��1

y

�! R

x 7! arctanx+ arctan y � arctan�x+ y

1� xy

�

après calcul:

f 0 (x) = 0 si x 6= 1

y) f est constante dans

��1; 1

y

�[�1

y;+1

�

1) Si x < 1y

limx!�1

f (x) = ��2+ arctan y � arctan

��1y

�

= ��2+ arctan y � arctan

�1

y

�=

8<: �� si y < 0

0 si y > 0

donc:

f (x) =

8<: 0 si xy < 1 et y > 0

�� si xy > 1 et y < 0donc nécessairement x < 0

1) Si x > 1y

limx!+1

f (x) =

8<: � si y < 0

0 si y > 0

donc:

f (x) =

8<: 0 si xy < 1 et y < 0

� si xy > 1 et y > 0donc nécessairement x > 0

Conclusion:

f (x) =

8>>><>>>:�� si xy > 1 et y < 0 et x < 0

0 si xy < 1

� si xy > 1 et y > 0 et x > 0

154

Partie VII

Espaces vectoriels:

155

5.8 Introduction:

Sur les vecteurs, au sens de la géométrie élémentaire, c�est-à-dire tels qu�on les rencontre en

physique élémentaire, on a pu dé�nir deux types d�opération : l�addition et la multiplication

par un réel. Dans ce chapitre, nous allons généraliser ces notions en leur donnant une portée

plus abstraite, donc plus vaste.

5.9 Dé�nition d�un espace vectoriel:

On dit qu�un ensemble E est un espace vectoriel ( ou possède une structure d�espace vectoriel)

sur un corps commutatif | ( le plus souvent R ou C) si on peut dé�nir sur les éléments de E

(appelés vecteur) deux opérations, ou lois de composition:

5.9.1 L�addition: (notée +)

Cette opération interne fait de (E,+) un groupe abélien.

5.9.2 Une opération externe, la multiplication par un élément de | :

Cette loi externe (produit noté �u) possédant les propriétés suivantes:

8�; � 2 |; 8u; v 2 E :

� (u+ v) = �u+ �v (distributivité sur E)

(�+ �)u = �u+ �u (distributivité sur |)

� (�u) = (��)u

1:u = u (1 étant l�élément unité de |)

5.10 Exemples:

Les ensembles suivants possèdent des structures d�espaces vectoriels sur R (éventuellement C):

l�ensemble des polynômes à une variable, de degré inférieur ou égal à n;

l�ensemble des fonctions continues sur un intervalle I;

l�ensemble des suites réelles ou complexes;

156

par contre l�ensemble des polynômes à une variable, de degré égal à n 2 N� n�est plus un

espace vectoriel car le polynôme nul ( l�élément neutre) n�est plus de degré n.

5.11 Propriétés immédiates des opérations dans un espace vec-

toriel:

Des axiomes de dé�nition, il résulte:

1) 8u 2 E; 0:u = 0E :(0E est l�élément neutre de E).

2) 8� 2 |; �:0E = 0E :

3) 8� 2 |;8u 2 E;�:u = 0E =) � = 0 ou u = 0E :

4) 8u 2 E; (�1)u = �u:

5) 8 (�; �) 2 |2 8u 2 E � f0Eg �u = �u) � = �:

6) 8� 2 |� 8 (u; v) 2 E2 �u = �v ) u = v:

5.12 Sous -espaces vectoriels:

On appelle sous-espace vectoriel (on note s.e.v)d�un espace vectoriel E, sur un corps |,

toute partie de E qui possède la structure d�espace vectoriel sur |. Pour qu�une partie non vide

F d�un espace vectoriel E soit un sous-espace de E, il faut et il su¢ t que toute combinaison de

deux vecteurs de F soit un vecteur de F , c�est à dire:

1) F 6= ?

2) 8u; v 2 F; u+ v 2 F

3)8� 2 |;8u 2 F; �u 2 F

5.12.1 Exemples:

1) l�ensemble des suites convergentes est un sous-espace de l�ensemble des suites réelles ou

complexes.

2) A = f(x; y; z) ;x = y = zg est un sous-espace de R3:

157

3) B = f(x; y; 1)g n�est pas un sous-espace de R3 car (x; y; 1) 2 B mais 3 (x; y; 1) =

(3x; 3y; 3) =2 B:

Proposition 87 Si F est un s.e.v de E alors il contient l�élément neutre de E.

Preuve: F est un s.e.v de E ) F 6= ?) 9u 2 F ) si � = 0 alors d�après 3) 0E 2 F:

Remarques:

0 est l�élément neutre de R:

(0; 0) est l�élément neutre de R2:

(0; 0; 0) est l�élément neutre de R3:

Le polynôme nul est l�élément neutre de l�ensemble des polynômes.

La fonction nulle est l�élément neutre de l�ensemble des fonctions.

Donc d�après la proposition pour montrer que F 6= ? c�est pratique de voir l�élément neutre

par exemple (0; 0; 0) =2 B ) B n�est pas un s.e.v de R3.

5.13 Intersection et la réunion de deux sous-espaces:

-L�intersection de deux sous-espaces vectoriels (et donc d�un nombre �ni) de E est un s.e.v de

E.

En e¤et: soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E alors:

1) 0E 2 F et 0E 2 G) 0E 2 F \G) F \G 6= ?:

2) 8u; v 2 F \G) u 2 F; v 2 F et u 2 G; v 2 G) u+ v 2 F et u+ v 2 G car F et G sont

tous les deux des s.e.v de E ) u+ v 2 F \G:

3) 8� 2 |;8u 2 F \G) u 2 F et u 2 G) �u 2 F et �u 2 G) �u 2 F \G:

Conclusion: F \G est un s.e.v de E:

-Par contre la réunion de deux sous-espaces vectoriels de E n�est plus un s.e.v de E:En e¤et:

Exemple1: Soient A = f(x; 0) ; x 2 Rg et B = f(0; y) ; y 2 Rg deux s.e.v de R2car par

exemple pour l�ensemble A on a:

1) (0; 0) 2 A) A 6= ?:

2) 8u; v 2 A) u = (a; 0) ; v = (b; 0)) u+ v = (a+ b; 0) 2 A:

158

3) 8� 2 R;8u 2 A) u = (a; 0)) �u = (�a; 0) 2 A:

Conclusion: A est un s.e.v de R2:

de même pour l�ensemble B:

Alors u = (1; 0) 2 A � A[B et v = (0; 2) 2 B � A[B mais u+v = (1; 2) =2 A[B ) A[B

n�est pas un s.e.v de R2:

Exemple2: Soient E = f2k; k 2 Zg et F = f3k; k 2 Zg deux s.e.v de Z car par exemple

pour l�ensemble E on a:

1) 0 2 E ) E 6= ?:

2) 8u; v 2 E ) u = 2k; v = 2k0 ) u+ v = 2 (k + k0) 2 E:

3) 8� 2 Z;8u 2 E ) u = 2k ) �u = 2 (�K) 2 E:

Conclusion: E est un s.e.v de Z:

de même pour l�ensemble F:

Alors u = 2 2 E � E [ F et v = 3 2 F � E [ F mais u+ v = 5 =2 E [ F )

E [ F n�est pas un s.e.v de Z:

5.14 Somme de sous-espaces. Somme directe:

5.14.1 Somme de sous-espaces:

Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E alors la somme de F et G est dé�ne par:

F +G = fu 2 E tel que u = u1 + u2 avec u1 2 F et u2 2 Gg

5.14.2 Somme directe:

On dit que la somme F +G est directe, ou encore que F et G sont supplémentaires vis-à-vis de

E, si la décomposition u = u1 + u2 d�un élément quelconque de E en somme de deux éléments

de F et G est unique. Et on note:

E = F �G

159

autrement on a:

E = F �G,

8>>><>>>:E = F +G

et

F \G = f0Eg

Exemple: Dans R3les deux s.e.v suivants:

F = f(x; y; z) ;x = y = zg et G = f(x; y; 0) ;x; y 2 Rg

sont supplémentaires. En e¤et:

a) On a: R3 = F +G car

1) F � R3 et G � R3 ) F +G � R3:

2)8u 2 R3; u = (x; y; z) = (z; z; z) + (x� z; y � z; 0) 2 F +G) R3 � F +G

b) 1) on 0E 2 F et 0E 2 G car F et G sont deux s.e.v de E ) 0E 2 F \G) f0Eg � F \G:

2) si u 2 F \G) u 2 F et u 2 G) u = (x; x; x) et u = (x; y; 0)) x = y et x = 0

) u = (0; 0; 0) ) F \G � f0Eg :

5.15 Famille de vecteurs d�un espace vectoriel:

5.15.1 1) Dépendance:

Une famille (ai)1�i�nde vecteurs d�un |-espace vectoriel (E;+; :) est liée ou linéairement dépen-

dants s�il existe �1; �2; :::; �n 2 | non tous nuls tels que,

�1a1 + �2a2 + :::+ �nan = 0E :

Exemple:

Dans E = R2 [x] (l�espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égale à 2

et à coe¢ cients réels), les fonctions f1; f2; f3

dé�nies pour tout x 2 R par:

f1 (x) = x2 + 1; f2 (x) = x

2 � 1 et f3 (x) = x2: sont liées.

160

En e¤et: soient �1; �2; �3 2 R tels que:�1f1 + �2f2 + �3f3 = 0)

8<: �1 + �2 + �3 = 0

�1 � �2 = 0

d�où �1 = �2 = ��32 il y a donc une in�nité de solutions

��3

2 ;��32 ; �3

�avec �3 réel

arbitraire par exemple:(1; 1;�2) :

5.15.2 2) Indépendance:

Une famille (ai)1�i�nde vecteurs d�un |-espace vectoriel (E;+; :) est libre ou linéairement in-

dépendants si pour tout �1; �2; :::; �n 2 | ,

�1a1 + �2a2 + :::+ �nan = 0E =) �1 = �2 = ::: = �n = 0:

Exemple:

Dans R3 les vecteurs A = (0; 1; 3) ; B = (2; 0;�1) et C = (2; 0; 1) sont libres car:

8�; �; 2 R �A+ �B + C = 0)

8>>><>>>:2� + 2 = 0

� = 0

3�� + = 0

) � = � = = 0

5.15.3 3) Famille génératrice ou systéme générateur:

Une famille de vecteurs (a1; a2; :::; an) d�un |-espace vectoriel (E;+; :) est dite génératrice de

E ou engendre E si tout élément u de E est combinaison linéaire de (a1; a2; :::; an) c�est-à-dire:

8u 2 E;9�1; �2; :::; �n 2 | tels que u = �1:a1 + �2:a2 + :::+ �n:an:

Exemple:

Dans R2 les deux vecteurs u = (2; 3) et v = (�1; 5) est une famille génératrice car:

8w 2 R2 9�1; �2 2 R tel que: w = (x; y) = �1u+ �2v = �1 (2; 3) + �2 (�1; 5) = (2�1 � �2; 3�1 + 5�2)

)

8<: 2�1 � �2 = x

3�1 + 5�2 = y)

8<: �1 =5x+y13

�2 =�3x+2y13

donc (�1; �2 ) existe pour tout (x; y) 2 R2:

161

5.15.4 4) Base:

Une famille de vecteurs (a1; a2; :::; an) d�un |-espace vectoriel (E;+; :) est une base de E si elle

est à la fois libre et génératrice.

Exemple:

Dans R3 les vecteurs u = (2; 3; 0) ; v = (1;�1; 1) et w = (�1; 3; 5) forment une base de R3:

5.15.5 5) Dimension d�un espace vectoriel:

La dimension �nie n d�un espace vectoriel E, est le nombre maximum de vecteurs que peut

renfemer un système libre extrait de E; et on note dimE = n; par convention on pose:

dim (f0Eg) = 0: Autrement dit la dimension d�un espace vectoriel E est le nombre de vecteurs

qui forment la base de E. Si le nombre des éléments d�un système libre de E n�est pas majoré,

on dit que E est de dimension in�nie.

Remarque: si F est un s.e.v d�un espace vectoriel E de dimension n alors:

F � E ) dimF � dimE

Exemple: dimR2 = 2

5.15.6 6) Rang d�un système de vecteurs:

On appelle rang d�un système de p vecteurs (u1; u2; :::; up) de E, avec dimE = n, la dimension

r du sous-espace vectoriel (u1; u2; :::; up). En d�autres termes, r est le nombre maximum de

vecteurs que peut comporter un système libre extrait du système donné.

5.15.7 7) Lien entre la dimension et la somme directe:

Dans les espaces de dimensions �nies on a la formule:

dim (F +G) = dimF + dimG� dim (F \G)

162

Dans le cas de la somme directe, F \G = f0Eg, donc:

dim (F �G) = dimF + dimG

En�n pour montrer que de sous espaces vectoriels de dimensions �nies sont supplémentaires

vis-à-vis de E, c�est à dire:

E = F �G,

8>>><>>>:dimE = dimF + dimG

et

F \G = f0Eg

Exemple: Dans R3les deux s.e.v suivants:

F = f(x; y; z) ;x = y = zg et G = f(x; y; 0) ;x; y 2 Rg sont supplémentaires.

En e¤et:

8u 2 F; u = (x; x; x) = x (1; 1; 1)) (1; 1; 1) est une base de F ) dimF = 1

8v 2 F; v = (x; y; 0) = x (1; 0; 0) + y (0; 1; 0)) f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0)g engendre G et libre car:

� (1; 0; 0) + � (0; 1; 0) = 0) � = � = 0) f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0)g est une base de G

) dimG = 2) dimR3 = dimF + dimG = 3

Le reste de la preuve est déja fait.

5.16 Sous-espace engendré par un ensemble:

Dé�nition 88 Soit A une partie d�un espace vectoriel E. On dé�nis le sous-espace vectoriel

engendré par un ensemble A, le plus petit sous-espace vectoriel contenant l�ensemble A. Et on

le note: S (A).

Exemples:

1) si A est un s.e.v de E alors: S (A) = A:

163

2) S (?) = f0Eg :

5.17 Exercice:

Exercice 01: Les sous-ensembles suivants sont-ils des s-ev de R2?

1) A =��x; x2

�;x 2 R

1) 2) B = f(x; ax+ b) ;x 2 Rg , a et b sont des paramètres réels.

3) C =�(x; y) ;x 2 R; y 2 R x2 + y2 � 1

Exercice 02: Soit:

E =�(x; y; z) 2 R3 avec: x2 + 2y2 + z2 + 2y (x+ z) = 0

E ainsi dé�ni est-il un sous espace vectoriel de R3? Si oui donner sa dimension.


E1 =�(a; b; c) 2 R3; a = c

et E2 =

�(a; b; c) 2 R3; a+ b+ c = 0

et E3 = f(0; 0; c) ; c 2 Rg :

(1) Montrer que: Ei; i = 1; 2; 3 sont des s.ev de R3:

(2) Montrer que:R3 = E1 + E2 , R3 = E2 + E3 et R3 = E1 + E3:

(3) Dans quel cas la somme est directe.

Exercice 04: Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:

E1 =�(a+ b; b� 3a; a) 2 R3= a; b 2 R

et E2 =

�(c;�2c; c) 2 R3= c 2 R

:

avec E2 est un s-ev de R3:

(1) Montrer que E1 est un s-ev de R3:

(2) Déterminer une base B1 de E1 et une base B2 de E2:

(3) En déduire dimE1 et dimE2:

164

(4) Montrer que: R3 = E1 + E2:

(5) Déduire si la somme est directe ou non.

5.18 Le corrigé:

Exercice 01: Les sous-ensembles suivants sont-ils des s-ev de R2?

1) A =��x; x2

�;x 2 R

2) B = f(x; ax+ b) ;x 2 Rg , a et b sont des paramètres réels.

3) C =�(x; y) ;x 2 R; y 2 R x2 + y2 � 1

1) A =

��x; x2

�;x 2 R

n�est pas un sous espace vectoriel car (2; 4) ; (3; 9) 2 A mais

(2; 4) + (3; 9) = (5; 13) =2 A:

2) B = f(x; ax+ b) ;x 2 Rg

1er cas: Si b 6= 0 on a (0; 0) =2 B alors B n�est pas un sous espace vectoriel car chaque s.e.v

contient l�élément neutre de l�espace.

2ème cas: Si b = 0

B = f(x; ax) ;x 2 Rg

a) (0; 0) 2 B ) B 6= ?

b) Si v1; v2 2 B ) v1 = (x1; ax1) et v2 = (x2; ax2)) v1 + v2 = (x1 + x2; a (x1 + x2)) 2 B

c) Si v1 2 B;� 2 R) �v1 = (�x1; a (�x1)) 2 B

Alors B est un sous espace vectoriel de R2:

3) C =�(x; y) ;x 2 R; y 2 R x2 + y2 � 1

n�est pas un s.e.v de R2

Car: (1; 0) 2 C mais 4� (1; 0) = (4; 0) =2 C:

Exercice 02: Soit:

E =�(x; y; z) 2 R3 avec: x2 + 2y2 + z2 + 2y (x+ z) = 0

E ainsi dé�ni est-il un sous espace vectoriel de R3? Si oui donner sa dimension.

x2+2y2+ z2+2y (x+ z) = 0, x2+ y2+2yx+ z2+ y2+2yz = 0, (x+ y)2+(y + z)2 =

0, x = �y et z = �y

) E =�(�y; y;�y) 2 R3 avec: y 2 R

165

1) a) (0; 0; 0) 2 E ) E 6= ?

b) Si v1; v2 2 E ) v1 = (�y1; y1;�y1) et v2 = (�y2; y2;�y2)) v1+v2 = (� (y1 + y2) ; (y1 + y2) ;� (y1 + y2)) 2

E

c) Si v 2 E;� 2 R) �v = (� (�y) ; (�y) ;� (�y)) 2 E

Alors E est un s.e.v de R3:

2) Si v 2 E alors v = (�y; y;�y) = y (�1; 1;�1) ce qui implique que le vecteur (�1; 1;�1)

engendre E:

Puisque on a qu�un seul vecteur alors B = f(�1; 1;�1)g est une base de E ) dimE = 1:


E1 =�(a; b; c) 2 R3; a = c

et E2 =

�(a; b; c) 2 R3; a+ b+ c = 0

et E3 = f(0; 0; c) ; c 2 Rg :

(1) Montrer que: Ei; i = 1; 2; 3 sont des s.ev de R3:

Pour E1 par exemple:

a) (0; 0; 0) 2 E1 ) E1 6= ?

b) Si v1; v2 2 E1 ) v1 = (x1; y1; x1) et v2 = (x2; y2; x2)) v1+v2 = (x1 + x2; (y1 + y2) ; x1 + x2) 2

E1

c) Si v 2 E1; � 2 R) �v = (�x; �y; �x) 2 E1Alors E1 est un s.e.v de R3:

De même pour les deux dernier cas.

(2) Montrer que: R3 = E1 + E2 , R3 = E2 + E3 et R3 = E1 + E3:

a) Montrons que: R3 = E1 + E2?

On a: E1 � R3 et E2 � R3 ) E1 + E2 � R3

Si v 2 R3 ) v = (x; y; z) = (�; �; �) + (�; �;�� ) = (�+ �; � + �; �� ) )8>>><>>>:x = �+ �

y = � + �

z = ��

166

Il su¢ t de prendre par exemple: � = 0) � = y )

8<: x = �+ �

z = �� y) � = 1

2 (x+ y + z))

� = 12 (x� y � z)

D�où v = (x; y; z) =�12 (x+ y + z) ; 0;

12 (x+ y + z)

�+�12 (x� y � z) ; y;�

12 (x� y � z)� y

�2

E1 + E2

b) Montrons que: R3 = E1 + E3?

On a: E1 � R3 et E3 � R3 ) E1 + E3 � R3

Si v 2 R3 ) v = (x; y; z) = (x; y; x) + (0; 0; z � x) 2 E1 + E3:

c) Montrons que: R3 = E2 + E3?

On a: E3 � R3 et E2 � R3 ) E2 + E3 � R3

Si v 2 R3 ) v = (x; y; z) = (x; y;�x� y) + (0; 0; z + x+ y) 2 E2 + E3:

D�où R3 = E1 + E2 , R3 = E2 + E3 et R3 = E1 + E3:

(3) Dans quel cas la somme est directe.

A) Il su¢ t de véri�er si on a E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g?

a) (0; 0; 0) 2 E1 \ E2:

b) Si v 2 E1 \ E2 ) v 2 E1 et v 2 E1 ) v = (a; b; a) et v = (a; b;�a� b)) a = �a� b)

b = �2a

Donc par exemple (1;�2; 1) 2 E1 \ E2 ) E1 \ E2 6= f(0; 0; 0)g

ce qui implique que la somme n�est pas directe.

B) Il su¢ t de véri�er si on a E2 \ E3 = f(0; 0; 0)g?

a) (0; 0; 0) 2 E2 \ E3:

b) Si v 2 E2 \ E3 ) v 2 E2 et v 2 E3 ) v = (a; b;�a� b) et v = (0; 0; c) ) a = b = c =

0) v = (0; 0; 0)

) E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g

ce qui implique que la somme est directe.

C) Il su¢ t de véri�er si on a E1 \ E3 = f(0; 0; 0)g?

a) (0; 0; 0) 2 E1 \ E3:

b) Si v 2 E1 \ E3 ) v 2 E2 et v 2 E3 ) v = (a; b; a) et v = (0; 0; c) ) a = b = c = 0 )

v = (0; 0; 0)

167

) E1 \ E3 = f(0; 0; 0)g

ce qui implique que la somme est directe.


E1 =�(a+ b; b� 3a; a) 2 R3= a; b 2 R

et E2 =

�(c;�2c; c) 2 R3= c 2 R

:

(1)( Montrons que E1 est un s-ev de R3?:

a) E1 6= ;?

(0; 0; 0) 2 E1 ) E1 6= ;

b) 8 u1; u2 2 E1 ) u1 + u2 2 E1?

Soient u1; u2 2 E1 ) u1 = (a1 + b1; b1 � 3a1; a1) et u2 = (a2 + b2; b2 � 3a2; a2)

) u1 + u2 = ((a1 + a2) + (b1 + b2) ; (b1 + b2)� 3 (a1 + a2) ; (a1 + a2)) 2 E1

c) 8 u 2 E1;8� 2 R) �u 2 E1?

Soient u 2 E1 et � 2 R) u = (a+ b; b� 3a; a)

) �u = (�a+ �b; �b� 3�a; �a) 2 E1

Conclusion: E1 est un s-ev de R3:

(2) Déterminons une base B1 de E1 et une base B2 de E2:

a)

u 2 E1 ) u = (a+ b; b� 3a; a) = a (1;�3; 1) + b (1; 1; 0)

alors B1 = f(1;�3; 1) ; (1; 1; 0) g engendre E1: mais:

� (1;�3; 1) + � (1; 1; 0) = (0; 0; 0)) � = � = 0

alors les deux vecteurs de B1 sont linéairements indépendants.

Ce qui implique que B1 = f (1;�3; 1) ; (1; 1; 0)g est une base de E1:

b)

168

u 2 E2 ) u = (c;�2c; c) = c (1;�2; 1)

alors B2 = f (1;�2; 1)g engendre E2: mais:

� (1;�2; 1) = (0; 0; 0)) � = 0

Ce qui implique que B2 = f (1;�2; 1)g est une base de E2:


dimE1 = 2 et dimE2 = 1:


a)" �" E1 � R3 et E2 � R3 ) E1 + E2 � R3:

b) "�" soit u 2 R3 ) u = (x; y; z) = (a+ b; b� 3a; a) + (c;�2c; c)

)

8>>><>>>:x = a+ b+ c

y = b� 3a� 2c

z = a+ c

)

8>>><>>>:b = x� z

y = x� z � a� 2z ) a = �y + x� 3z

c = z � a = z � (�y + x� 3z) = �x+ y + 4z

) u = (x; y; z) = (2x� y � 4z;�2x+ 3y � 8z;�y + x� 3z)+

(�x+ y + 4z;�2 (�x+ y + 4z) ;�x+ y + 4z)

2 E1 + E2 d�où: R3 = E1 + E2:

(5) On déduire que: R3 = E1 � E2:

(a)

dimE1 = 2 et dimE2 = 1

) dimE1 + dimE2 = 3 = dimR3 = 3

ou bien on a : R3 = E1 + E2::

169

(b) :

E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g car: f(0; 0; 0)g � E1 \ E2

car E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels.

De plus si: u 2 E1 \ E2 ) u = (a+ b; b� 3a; a) et u = (c;�2c; c)

)

8>>><>>>:a+ b = c

b� 3a = �2c

a = c

)

8>>><>>>:b = 0

a = 0

c = 0

)

8<: R3 = E1 + E2

E1 \ E2 = f(0; 0; 0)gou bien

8<: dimE1 + dimE2 = dimR3

E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g

la somme est directe�R3 = E1 � E2

�:

170

Partie VIII

Méthodes d�intégration:

171

Si F (x) est une fonction dont la dérivée F 0 (x) = f (x) sur un certain intervalle de l�axe

des x, alors F (x) est appelée primitive ou intégrale indé�nie de f (x). L�intégrale indé�nie

d�une fonction donnée n�est pas unique; par exemple, x2; x2 + 4 et x2 + 7 sont toutes des

intégrales indé�nies de

f (x) = 2x, car elles sont décrites par la formule F (x) = x2 + C, où C est une constante

arbitraire, appelée constante d�intégration.

Le symboleRf (x) dx désigne lintégrale indé�nie de f (x) : Ainsi,

R2x dx = x2 + C:

172

5.19 Formules fondamentales d�intégration:

Un certain nombre des formules ci-dessous découlent immédiatement des formules courantes de

dérivation, donc on a les propriétés et les formules suivantes:

1:

Zd

dx[f (x)] dx = f (x) + C , C 2 R:

2:

Z[f (x) + g (x)] dx =

Z[f (x)] dx+

Z[g (x)] dx:

3:

Z� [f (x)] dx = �

Z[f (x)] dx; � 2 R:

4:

Zxm dx =

xm+1

m+ 1; m 6= 1:

5:

Zdxx

= ln jxj+ C:

6:

Zexdx = ex + C:

7:

Zaxdx =

Zex ln adx =

ax

ln a+ C; a > 0; a 6= 1:

8:

Zsinx dx = � cosx+ C:

9:

Zcosx dx = sinx+ C:

10:

Ztanxdx = ln jsecxj+ C:avec secx = 1

cosxet cos ecx =

1

sinx

11:

Zcot an x dx = ln jsinxj+ C:

12:

Z1

cos2 xdx = tanx+ C:

13:

Z1

sin2 xdx = � cot an x+ C:

14:

Zdxpa2 � x2

= arcsinx

a+ C:

15:

Zdx

xpx2 � a2

=1

aarcsec

x

a+ C:

173

16:

Zdx

a2 + x2=

1

aarctan

x

a+ C:

17:

Zdxpx2 + a2

= ln�x+

px2 + a2

�+ C:

18:

Zdxpx2 � a2

= ln��x+px2 � a2�� + C:

5.19.1 Formule de changement de variable:

Pour calculer une primitiveRf (x) dx, il est souvent utile de remplacer la variable x par une

nouvelle variable u, et ce en écrivant x comme fonction g (u), ce qui nous ramènes à trouver une

formule fondamentale. Par substitution, nous avons x = g (u) et dx = g0 (u) du: L�équation:

Zf (x) dx =

Zf (g (u)) g0 (u) du:

s�applique et s�appelle la formule de changement de variable.

Exemple 5.1 Pour calculer l�intégraleR(x+ 3)11 dx, remplaçons x+ 3 par u. Ce qui donne

x = u� 3)dx = du)

Z(x+ 3)11 dx =

Z(u)11 dx =

1

12u12 + C =

1

12(x+ 3)12 + C:

5.19.2 Formule de réduction:

Deux formules simples nous permettent de calculer plus rapidement les primitives.

La première est donnée par:

Zf 0 (x) [f (x)]m dx =

1

m+ 1[f (x)]m+1 + C m 6= �1

Exemple 5.2 Z(lnx)2

xdx =

Z1

x(lnx)2 dx =

1

3(lnx)3 + C

La seconde est: Zf 0 (x)

f (x)dx = ln jf (x)j+ C

174

Exemple 5.3 Zcot an xdx =

Zcosx

sinxdx = ln jsinxj+ C:

5.20 Intégration par parties:

Remarque 5.1 On utilise l�intégration par parties dans le cas où la fonction à intégrer est une

fonction élémentaire ou produit des fonctions élémentaires suivantes:

Fonctions trigonométriques, Polynômes,

Fonctions inverses des fonctions trigonométriques, ln(f (x)) ; e f (x); :::

Ou bien dans les formules de réduction qui introduits pour chaque intégrale une nouvelle inté-

grale, de même forme que l�intégrale initiale, mais ayant un exposant réduit ou augmenté.

Exemple 5.4

1:

Z �x2 � a2

�mdx =

x�x2 � a2

�m2m+ 1

� 2ma2

2m+ 1

Z �x2 � a2

�m�1dx; m 6= �1

2

2:

Zcosm x sinn x dx = � cosm�1 x sinn�1 x

m+ n+m� 1m+ n

Zcosm�2 x sinn x dx, m 6= �n

5.20.1 Intégration par parties:

Si u et v sont des fonctions dérivables de x,

d (uv) = u dv + v du

) udv = d (uv)� v du

)Zu dv = uv �

Zv du

ou:

Zf (x) g0 (x) dx = f (x) g (x)�

Zf 0 (x) g (x) dx

avec : f (x) = u et g0 (x) dx = dv

) du = f 0 (x) dx et v = g (x)

175

C�est la formule de l�intégration par parties. Deux règles générales se dégagent:

1: La partie prise comme dv doit être aisément intégrable.

2:

Zv du ne doit pas être plus complexe que

Zu dv:

Exemple 5.5 Calculer:

I =

Zln�x2 + 2

�dx

Par parties on pose:

f (x) = ln�x2 + 1

�et g0 (x) = 1

) f 0 (x) =2x

x2 + 2et g (x) = x

I =

Zf (x) g0 (x) dx = f (x) g (x)�

Zf 0 (x) g (x) dx

= x ln�x2 + 1

��Z

2x2

x2 + 2dx

= x ln�x2 + 1

��Z �

2� 4

x2 + 2

�dx

= x ln�x2 + 1

��Z2 dx+ 2

Z1�

xp2

�2+ 1

dx

= x ln�x2 + 1

�� 2x+ 2

p2 arctan

xp2+ C

176

5.21 Intégrales trigonométriques:

5.21.1 Les identités trigonométriques:

Dans ce chapitre, pour calculer les intégrales trigonométriques, on utilise les identités suivantes:

1: sin2 x+ cos2 x = 1; 2: 1 + tan2 x =1

sin2 x

3: 1 + cot an2x =1

sin2 x; 4: sin2 x =

1

2(1� cos 2x)

5: cos2 x =1

2(1 + cos 2x) , 6: sinx cosx =

1

2sin 2x

7: sinx cos y =1

2[sin (x� y) + sin (x+ y)]

8: sinx sin y =1

2[cos (x� y) + cos (x+ y)]

9: cosx cos y =1

2[cos (x� y) + cos (x+ y)]

10: 1� cosx = 2 sin21

2x

11: 1 + cosx = 2 cos21

2x;

12: 1� sinx = 1� cos��2� x�

Par la suite on applique les deux règles:

1: PourZcosm x sinn x dx : si m est impair, on pose u = cosx: Si n est impair, on pose u = sinx:

2: PourZtanm x secn x dx : si n est pair, on pose u = tanx: Si m est impair, on pose u = secx:

avec secx =1

sinx:

Exemple 5.6 (A)

1er cas: les intégrales de types:Zsinn x dx ou

Zcosn x dx avec n est un entier pair.

Dans ce cas on utilise la forme linéaire de sin2 x ou cos2 x c�est- à- dire: les deux formules

4 et 5, pour obtenir des formules fondamentales.

177

Exemple 5.7 (1)

Zsin2 x dx =

Z1

2(1� cos 2x) dx = 1

2x� 1

4sin 2x+ C

Exemple 5.8 (2)

Zcos4 x dx =

Z �cos2 x

�2dx =

Z �1

2(1 + cos 2x)

�2dx

=1

4

Z �1 + 2 cos 2x+ cos2 2x

�dx

=1

4

Zdx+

1

2

Zcos 2x dx+

1

4

Zcos2 2x dx

=x

4+1

4sin 2x+

1

4

Zcos2 2x dx

mais dansZcos2 2x dx on pose : t = 2x) dt = 2dx ) dx =

dt2

)Zcos2 2x dx =

1

2

Zcos2 t dt

=1

2

Z1

2(1 + cos 2t) dt

=1

4

Zdt+

1

4

Zcos 2tdt

=t

4+1

6sin 2t+ C1

=2x

4+1

6sin 4x+ C1

)Zcos4 x dx =

x

4+1

4sin 2x+

1

4

�2x

4+1

6sin 4x+ C1

�+ C2

=x

4+1

4sin 2x+

x

8+1

24sin 4x+ C

=3x

8+1

4sin 2x+

1

24sin 4x+ C

Exemple 5.9 (B)

2�eme cas: les intégrales de types:Zsinn x dx ou

Zcosn x dx avec n est un entier impair.

178

Alors dans les deux cas on pose: n = n� 1 + 1 ensuite on utilise la 1ère formule c�est à dire:

sin2 x+ cos2 x = 1 pour l�indice n� 1 qui est une puissance paire, ce qui permet de donner

une intégrale de type formule de réduction.

Zf 0 (x) [f (x)]m dx:

Exemple 5.10 (1)

Zsin3 x dx =

Zsin2 x sinx dx =

Z �1� cos2 x

�sinx dx =

Zsinx dx+

Zcos2 x (� sinx) dx

= � cosx+ 13cos3 x+ C:

Exemple 5.11 (2)

Zsin5 x dx =

Zsin4 x sinx dx =

Z �1� cos2 x

�2sinx dx

=

Zsinx dx�

Zcos4 x (� sinx) dx+ 2

Zcos2 x (� sinx) dx

= � cosx+ 15cos5 x+

2

3cos3 x+ C:

Exemple 5.12 (C)

3�eme cas: les intégrales de types:Zsinn x � cosm x dx avec

l�un des deux indices (n;m) est un entier impair.

C�est pratiquement la même chose comme l�exemple(B), on applique la même méthode pour

l�indice impair, mais si les deux

sont impairs alors le meilleurs choix est le plus petit.

179

Exemple 5.13 (1)

Zsin3 x � cos4 x dx =

Zsin2 x � cos4 x sinx dx =

Z �1� cos2 x

�� cos4 x sinx dx

= �Zcos4 x (� sinx ) dx+

Zcos6 x (� sinx ) dx

= �15cos5 x+

1

7cos7 x+ C:

Exemple 5.14 (2)


Z �sin2 x

�2 � cos7 x sinx dx =Z �

1� cos2 x�2 � cos7 x sinx dx

= �Zcos7 x (� sinx ) dx�

Zcos11 x (� sinx ) dx+ 2

Zcos9 x (� sinx ) dx

= �18cos8 x� 1

12cos12 x+

2

10cos10 x+ C:

Exemple 5.15 (D)

4�eme cas: les intégrales de types:Zsinn x � cosm x dx avec

les deux indices (n;m) sont des entiers pairs.

On applique la forrmule suivante: sinx cosx = 12 sin 2x et la forme linéaire de cos inus ou sinus.

Exemple 5.16 (1)


1

16

Z(sin 2x)4 dx =

1

32

Zsin4 t dx

qui est de type (A).

180

Exemple 5.17 (2)

Zsin4 3x � cos2 3x dx =

Z �sin2 3x � cos2 3x

�sin2 3x dx =

1

8

Zsin2 6x (1� cos 6x) dx

=1

8

Zsin2 6x dx� 1

8

Zsin2 6x cos 6x dx

=1

16

Z(1� cos 12x) dx� 1

8

Zsin2 6x cos 6x dx

=1

16x� 1

192sin 12x� 1

144sin3 x+ C:

Remarque 89 On applique les mêmes méthodes dans le cas des intégrales qui contients les

fonctions: tanx; cot anx; secx; cos ecx:

Exemple 5.18

Ztan5 x dx =

Ztan3 x tan2 xdx =

Ztan3 x

�sec2 x� 1

�dx

=

Ztan3 x sec2 xdx�

Ztan3 x dx

=

Ztan3 x sec2 xdx�

Ztanx

�sec2 x� 1

�dx

=1

4tan4 x� 1

2tan2 x+ ln jsecxj+ C:

5.22 Subtitutions trigonométriques:

Quelques intégrales contient l�un des facteurs suivants:

pa2 � b2x2;

pa2 + b2x2 ou

pb2x2 � a2

mais aucun autre facteur irrationnel, dont on peut la remplacer par une nouvelle intégrale qui

est trigonométrique après un chagement de variable.

1. Si la fonction à intégrer contient un facteurpa2 � b2x2, on pose x = a

b sin z et on obtient:

ap1� sin2 z = a cos z:

2. Si la fonction à intégrer contient un facteurpa2 + b2x2, on pose x = a

b tan z et on obtient:

ap1 + tan2 z = a sec z:

3. Si la fonction à intégrer contient un facteurpb2x2 � a2, on pose x = a

b sec z et on obtient:

181

apsec2 z � 1 = a tan z:

Exemple 5.19 (1)

I1 =

Zdx

x2p4 + x2

on pose:x = 2 tan z )dx = 2 sec2 z dz,p4 + x2 = 2 sec z d�où:

I1 =

Z2 sec2 z dz

(4 tan2 z) (2 sec z)=1

4

Zsec z

tan2 zdz =

1

4

Zsin�2 z cos z dz

= � 1

4 sin z+ C = �

p4 + x2

4x+ C:

Exemple 5.20 (2)

I2 =

Zx2px2 � 4

dx

on pose:x = 2 sec z )dx = 2 sec z tan z dz,px2 � 4 = 2 tan z d�où:

I2 =

Z4 sec2 z (2 sec z tan z) dz

2 tan z= 4

Zsec3 z dz

= 2 sec z tan z + 2 ln j2 sec z + tan zj+ C

=1

2xpx2 � 4 + 2 ln

��x+px2 � 4��+ C:Exemple 5.21 (3)

I3 =

Z p9� 4x2x

dx

on pose:x = 32 sin z )dx =

32 cos z dz,

p9� 4x2 = 3 cos z d�où:

I3 = 3

Zcos2 z dzsin z

= 3

Z1� sin2 zsin z

dz

= 3

Zcos ec z � 3

Zsin z dz

= 3 ln jcos ecz � cot an zj+ 3 cos z + C:

= 3 ln

��3�p9� 4x2x

��+p9� 4x2 + C

182

5.23 Intégration par fractions partielles:

Théoriquement tout polynômes à coe¢ cients réels peut s�exprimer comme produit de facteurs

linéaires réels de la forme ax+ b et d�autre quadratiques de la forme ax2 + bx+ c:

Un polynôme quadratique�ax2 + bx+ c

�est réductible ssi 4 = b2 � ac � 0 et il est

irréductible ssi 4 < 0 ( Dans ce cas les racines ne sont pas réelles).

5.23.1 Fraction rationnelle:

Une fraction rationnelle est une fonction H (x) = f (x)g(x) , où f (x) et g (x) sont des polynômes. Si

le degré f (x) est inférieur au degré de g (x), on dit queH (x) est une fraction rationnelle propre,

autrement, on dit que H (x) est impropre. Dans ce cas on peut exprimer H (x) comme la somme

d�un polynôme et d�une fraction rationnelle propre par la méthode de la division euclidienne.

Alors pour intégrer une fraction rationnelle H (x) = f (x)g(x) on suit les étapes suivantes:

La division euclidienne:

Il faut ramener l�intégrale à une intégrale d�une fraction propre si non on utilise la division

euclidienne si la fraction est impropre ce qui donne deux intégrales la 1�ere est polynômiale et

l�autre est une intégrale d�une fraction propre.

Intégration des fractions rationnelles propres:

Si H (x) = f (x)g(x) avec le degré f (x) est inférieur au degré de g (x).

1�ere étape: La décomposition du dénominateur:

On décompose le dénominateur comme produit des facteurs qui sont parmis les types suiv-

ants:

1- Facteurs linéaires distincts:Un facteur linéaire est de la forme: ax+ b:

2- Facteurs linéaires répétés:Un facteur linéaire répété qui est de la forme: (ax+ b)n avec n 2 N et n � 2:

3-Facteurs quadratiques distincts:C�est un facteur de la forme ax2 + bx+ c en plus il est irréductible.

183

4- Facteurs quadratiques répétés:C�est un facteur de la forme

�ax2 + bx+ c

�n avec n 2 N et n � 2 de plus ax2 + bx + c estirréductible.

2�eme étape: La décomposition en éléments simples:

C�est l�écriture d�une fraction rationnelle propre comme somme d�éléments simples qui sont

en général de la forme:

A1a1x+ b1

;B1

(c1x+ d1)n ;

�1x+ �1a2x2 + b2x+ c2

, et�2x+ �2

(a3x2 + b3x+ c3)m :

d�une façon que les dénominateurs des éléments simples sont tous les cas possibles tel que sont

dénominateur commun est g (x) :

Exemple 5.22

x

(x+ 1) (x� 1)2 (x2 + x+ 1) (x2 + x+ 3)2=

A1x+ 1

+A2x� 1 +

A3

(x� 1)2

+ax+ b

x2 + x+ 1+

cx+ d

x2 + x+ 3+

ex+ f

(x2 + x+ 3)2

Remarque 5.2 Le nombre d�éléments simples est la somme des puissances des facteurs qui

forment le dénominateur. De plus il faut calculer les constantes (A1; ; A2; A3; a; b; c; d; e et f)

par la méthode du dénominateur commun et l�identi�cation avec le numérateur du fraction

rationnelle.

3�eme étape: Le calcul de l�intégrale de chaque élément simple:

On a quatre types d�intégrales:

1- ZA1

a1x+ b1dx =

A1a1ln (a1x+ b1) + C;C 2 R

2- ZB1

(c1x+ d1)n dx =

B1c1 (�n+ 1)

(c1x+ d1)�n+1 + C;C 2 R

3-

Z�1x+ �1

a2x2 + b2x+ c2dx = � ln

�a2x

2 + b2x+ c2�+ � arctan (�x+ �) + C;C�; �; �; � 2 R

184

Exemple 5.23 Calculer l�intégrale:

I =

Z4x+ 3

2x2 + x+ 3dx =

1

2

Z4x+ 3

x2 + x2 +

32

dx

=4

2

Zx+ 3

4

x2 + x2 +

32

dx =Z

2x+ 32

x2 + x2 +

32

dx

=

Z2x+ 1

2 + 1

x2 + x2 +

32

dx

=

Z2x+ 1

2

x2 + x2 +

32

dx+Z

1

x2 + x2 +

32

dx

= ln

�x2 +

x

2+3

2

�+

Z1

x2 + x2 +

32

dx

pour l�intégrale:

J =

Z1

x2 + x2 +

32

dx =Z

1

x2 + x2 +

116 +�

116 +

32

dx

=

Z1�

x+ 14

�2+ 23

16

dx =16

23

Z1�

x+ 14

�2+ 23

16

dx

=16

23

Z1�

4x+1p23

�2+ 1

dx

on pose : y =4x+ 1p23

) dx =

p23

4dx

) J =4p23

Z1

y2 + 1dy =

4p23arctan y + C1; C1 2 R

=4p23arctan

�4x+ 1p23

�+ C1; C1 2 R

) I = ln

�x2 +

x

2+3

2

�+

4p23arctan

�4x+ 1p23

�+ C;C 2 R

4-

Z�2x+ �2

(a3x2 + b3x+ c3)mdx =

1

m+ 1

�a3x

2 + b3x+ c3��m+1

+

Z�

(a3x2 + b3x+ c3)mdx avec m 6= 1 .

pour l�intégrale:

Z�

(a3x2 + b3x+ c3)mdx, �

Zdy

(y2 + 1)mavec m 6= 1 (Les substitutions trigonométriques).

185

5.24 Divers changements de variable:

Si la fonction à intégrer contient des radicaux de la forme:

1- npax+ b, alors le changement de variable consiste à poser ax+ b = zn pour obtenir une

fraction rationnelle.

2-px2 + ax+ b avec un4 < 0, alors le changement de variable consiste à poser x2+ax+b =

(z � x)2 pour obtenir une fraction rationnelle.

3-p(a+ x) (b� x), alors le changement de variable consiste à poser(a+ x) (b� x) = (a+ x)2 z2

ou (a+ x) (b� x) = (b� x)2 z2 pour obtenir une fraction rationnelle.

4- Si la fonction à intégrer contient des facteurs cosinus ou sinus dans le numérateur ou bien

dans le dénominateur, alors on pose:

x = 2arctan z ) dx =2dz1 + z2

avec : sinx =2z

1 + z2et cosx =

1� z21 + z2

:

Remarque 5.3 On peut trouver des changements de variables qui sont suggérés par la forme

de la fonction à intégrer.

Exemple 5.24 (1)

I =

Zx5p1� x3dx

on pose : 1� x3 = z2 ) 3x2dx = �2z dz

I =

Zx3p1� x3x2 dx =

Z �1� z2

�z

��23z dz

�= �2

3

�z3

3� z

5

5

�+ C = � 2

45

�1� x3

� 32�2 + 3x3

�+ C:

186

Exemple 5.25 (2) Dans l�intégrale:

J =

Z px� x2x4

dx , on pose: x =1

z

on trouve : J = �Zzpz � 1 dz

ensuite on pose : z � 1 = t2:

J = �2"(1� x)

52

5x52

+(1� x)

32

3x32

#+ C:

Pour les premiers changements de variables on propose les exemples suivants:

Exemple 5.26 (1)

I1 =

Zdx

(x� 2)px+ 2

On pose: x+ 2 = z2 ) dx = 2z dz

I1 =

Z2z dz

z (z2 � 4) =1

2ln

��z � 2z + 2

��+ C=

1

2ln

��px+ 2� 2px+ 2 + 2

��+ CExemple 5.27 (2)

I2 =

Zdx

xpx2 + x+ 2

alors on pose:

x2 + x+ 2 = (z � x)2 ) x =z2 � 21 + 2z

) dx =2�z2 + z + 2

�(1 + 2z)2

dz etpx2 + x+ 2 =

z2 + z + 2

1 + 2z

) I2 =1p2ln

��z �p2

z +p2

��+ C = 1p2ln

��px2 + x+ 2 + x�

p2p

x2 + x+ 2 + x+p2

��+ CExemple 5.28 (3)

I3 =

Zxdx

(5� 4x� x2)32

On pose: �5� 4x� x2

�= (5 + x) (1� x) = (1� x)2 z2

187

Alors:

x =z2 � 51 + z2

, dx =12z dz

(1 + z2)2etp5� 4x� x2 = (1� x) z = 6z

1 + z2

D�où:

I3 =1

18

�z +

5

z

�+ C =

5� 2x9p5� 4x� x2

+ C

Exemple 5.29 (4)

I4 =

Zdx

1 + sinx� cosx

On pose:

x = 2arctan z ) dx =2dz1 + z2

avec : sinx =2z

1 + z2et cosx =

1� z21 + z2

:

) I4 =

Zdz

z (1 + z)= ln

�� z

1 + z

��+ C= ln

�� tan x21 + tan x2

��+ C5.25 Intégration des fonctions hyperboliques:

On a:

ch x =ex + e�x

2et sh x =

ex � e�x2

avec : ch2x� sh2x = 1

188

D�où les formules d�intégration qui découlent directement des formules de dérivation.

1:

Zsh x dx = ch x+ C 2:

Zch x dx = sh x+ C

3:

Zth x dx = ln ch x+ C 4:

Zcoth x dx = ln jsh xj+ C

5:

Zsech2 x dx = th x+ C 6:

Zcosech2 x dx = �coth x+ C

7:

Zsech x th x dx = � sech x+ C 8:

Zcosech x coth x dx = sh x+ C

9:

Z1p

x2 + a2dx = sh�1

x

a+ C 10:

Z1p

x2 � a2dx = ch�1

x

a+ C , x > a > 0

11:

Z1

a2 � x2 dx =1

ath�1

x

a+ C , x2 < a2 12:

Z1

x2 � a2 dx = �1

acoth�1

x

a+ C , x2 > a2

Remarque 5.4 On peut utiliser les deux formules exponentielles pour calculer les intégrales

qui contient ch x et sh x:

5.26 Exercice:

Exercice 01: Calculer les intégrales indé�nies suivantes:

1:

Ze1x

x2dx 2:

Ze3 cos 2x sin 2x dx 3:

Zx+ 2p4x� x2

dx

4:

Zarcsinx dx (supp)5:

Zx2 sinx dx (supp)6:

Zx3e2x dx

7:

Zsin5 x dx 8:

Zcos4 x dx 9:

Zsin7 x cos4 x dx 10:

Zsin2 x cos4 x dx

11:

Zx+ 1

x2 � 2x+ 5dx 12:

Z2x� 1

(x� 1)2 (x2 + 1)dx 13:

Z2x3 + x+ 1

x2 � x� 2 dx

14:

Z1

1 + sinx� cosxdx 15.Z

1

5 + 4 sinxdx

Exercice 02:

189

(1) Calculer les intégrales dé�nies suivantes:

I = :

Z �4

0

cosx

sinx+ cosxdx et J = :

Z �4

0

sinx

sinx+ cosxdx

(2) Soit

In =

Z1

(1 + x2)ndx .

Déterminer une relation entre In et In+1:

Exercice 03: Soit:

I = :

Z �2

0

cos2 x


Z �2

0

sin2 x

sinx+ cosxdx

(1) Sans calculerI et J , montrer que I = J:

(2) Véri�er que 8x 2 R, cosx+ sinx =p2 cos

�x� �

4

�(3) En déduire que I + J =

p2

Z �4

0

dxcosx :

(4) Calculer I + J . En déduire I et J:

Exercice 04: Soit f (x) = �23 (1� x)

p1� x

(1) Véri�er que 8x < 1; f 0 (x) =p1� x:

(2) Soit In = :Z 1

0xnp1� x dx.

a) Calculer I0:

b) Déterminer une relation entre In et In�1 pour n 2 N�

c) En déduire In en fonction de n:

Exercice 05:(supp)

(1) Calculer l�intégrale indé�nie suivante:

A =

Zcos2 x sin4 x dx

190

(2) Soient les intégrales dé�nies:

I =

�Z0

x2 cos2 xdx ; J =

�Z0

x2 sin2 xdx

Calculer: I +J et I �J (sans calcul de I et J). En déduire I et J:

(3) Soit f une fonction continue sur [0; 1] :

(a) Montrer, en utilisant un changement de variable, que:

Z �

0x f (sinx) dx =

�

2

Z �

0f (sinx) dx

(b) En déduire la valeur de:

I =

Z �

0

x sinx

1 + cos2 xdx

5.27 Le corrigé des exercices:

1. 1)I1 =Rex (ex + 1)4 dx on pose: y = ex + 1

) dy = exdx) I1 =Ry4 dy = 1

5y5 + c = 1

5 (ex + 1)5 + c:

2) I2 =R (1+x)2p

xdx on pose: y =

px ) dy = 1

2pxdx ) I2 = 2

R �1 + y2

�2dy =2R �1 + 2y2 + y4

�dy = 2y + 4

3y3 + 2

5y5 + c

= 2px+ 4

3 (px)3+ 2

5 (px)5+ c:

3) I3 =R

x+3p1�x2 dx =

�12

R �2xp1�x2 dx +3

R1p1�x2 dx =-

p1� x2 + 3arcsinx+ c.

4) I4 =R(1 + tanx)2 dx =

R �1 + tan2 x

�dx

+2Rtanxdx = tanx� 2

R � sinxcosx dx = tanx� 2 ln jcosxj+ c:

5) I5 =Rarctanx dx; par parties on pose: f (x) = arctanx et g0 (x) = 1

d�où: f 0 (x) = 11+x2

dx et g (x) = x) I5 = f (x) g (x)�Rf 0 (x) g (x) dx

= x arctanx�R

x1+x2

dx = x arctanx� 12

R2x1+x2

dx = x arctanx� 12 ln

�1 + x2

�:

6) I6 =Rx2 sinx dx; par parties on pose: f (x) = x2 et g0 (x) = sinx

191

d�où: f 0 (x) = 2xdx et g (x) = � cosx) I6 = f (x) g (x)�Rf 0 (x) g (x) dx

= �x2 cosx+ 2Rx cosxdx , calculons la 2�emeintégrale par parties:

on pose: h (x) = x et k0 (x) = cosx) h 0 (x) = dx et k (x) = sinx

)Rx cosxdx = h (x) k (x)�

Rh 0 (x) k (x)dx =x sinx�

Rsinxdx

) I6 = �x2 cosx+ 2 (x sinx+ cosx) + c:

7) I7 =Rcos 4x e2xdx on pose: y = 2x)dy = 2dx) I7 =

12

Rcos 2y eydy

par parties on pose: f (y) = cos 2y et g0 (y) = ey ) f 0 (y) = -2sin 2ydy et g (y) = ey

) I7 =12

�f (y) g (y)�

Rf 0 (y) g (y) dy

�= 1

2

�ey cos 2y + 2

Rey sin 2ydy

�calculons la 2�emeintégrale par parties:

On pose: h (y) = sin 2y et k0 (y) = ey ) h 0 (y) = 2 cos 2y dy et k (y) = ey

)Rey sin 2ydy = h (y) k (y)�

Rh 0 (y) k (y)dy = ey sin 2y -2

Rey cos 2y dy

= ey sin 2y -4 I7 ) I7 =12 [e

y cos 2y + 2 (ey sin 2y � 4I7)]

) I7 =15

�12 (e

y cos 2y) + (ey sin 2y)�:

8) I8 =Rcos5 x dx =

Rcos4 x cosxdx =

R �cos2 x

�2cosxdx =

R �1� sin2 x

�2cosxdx

=R �1� 2 sin2 x+ sin4 x

�cosxdx =

Rcosxdx� 2

Rsin2 x cosxdx+

Rsin4 x cosxdx

=sinx� 23 sin

3 x+ 15 sin

5 x+ c:

9) I9 =Rsin4 x dx =

R �sin2 x

�2dx = R �12(1� cos 2x)�2dx = 14

R �1� 2 cos 2x+ cos2 2x

�dx

=14

Rdx� 1

4

R2 cos 2xdx+ 1

4

Rcos2 2xdx = x

4 �14 sin 2x+

14

Rcos2 2xdx

On pose dansRcos2 2xdx, y = 2x)dy = 2dx)

Rcos2 2xdx = 1

2

Rcos2 ydy = 1

2

R �12 (1 + cos 2y)

�dy

=14

Rdy + 1

4

Rcos 2ydy = y

4 +18 sin 2y + c =

x2 +

18 sin 4x+ c

) I9 =x4 �

14 sin 2x+

14

�x2 +

18 sin 4x

�+ c = 3

8x�14 sin 2x+

132 sin 4x+ c:

10) I10 =Rsin9 x cos4 xdx =

Rsin8 x cos4 x sinxdx =

R �1� cos2 x

�4cos4 x sinxdx

=R �1� 2 cos2 x+ cos4 x

�2cos4 x sinxdx =

R ��1� 2 cos2 x

�2+ 2

�1� 2 cos2 x

�cos4 x+ cos8 x

�cos4 x sinxdx

=R �1� 4 cos2 x+ 4 cos4 x+ 2 cos4 x� 4 cos6 x+ cos8 x

�cos4 x sinxdx

192

=Rcos4 x sinxdx�4

Rcos6 x sinxdx+6

Rcos8 x sinxdx�4

Rcos10 x sinxdx+

Rcos12 x sinxdx

=�15 cos

5 x+ 47 cos

7 x� 69 cos

9 x+ 411 cos

5 x� 113 cos

13 x+ c:

11) I11 =Rcos2 x sin4 x dx =

Rcos2 x sin2 x sin2 xdx =

R �12 sin 2x

�2 �12 (1� cos 2x)

�dx

=18

Rsin2 2xdx� 1

16

Rsin2 2x (2 cos 2x)dx = 1

8

Rsin2 2xdx� 1

16 �13 sin

3 2x

0n pose dans:Rsin2 2xdx, y = 2x)dy = 2dx)

Rsin2 2xdx = 1

2

Rsin2 ydy = 1

2

R �12 (1� cos 2y)

�dy

=14

Rdy � 1

4

Rcos 2ydy = y

4 �18 sin 2y + c =

x2 �

18 sin 4x+ c

) I11 =x16 �

164 sin 4x�

148 sin

3 2x+ c:

12) I12 =R

1x2p4+x2

dx = 12

R1

x2q1+(x2 )

2dx, alors on pose: x2 = tan y )dx =

2cos2 y

dy

) I12 =R

1

4 tan2 yp1+tan2 y

2cos2 y

dy=12

R1

4 sin2 Y

cos2 y

p1+tan2 y

2cos2 y

dy = 12

R1

sin2 y 1cos y

dy =

12

Rsin�2 y cos y dy

=�12 sin

�1 x+ c:

13) I13 =R

x2px2�4 dx =

12

Rx2q(x2 )

2�1dx, alors on pose: x2 =

1cos y )dx =

2 sin ycos2 y

dy

) I13 =12

R 4cos2 yr�1

cos y

�2�1

2 sin ycos2 y

dy=4R 1

cos4 y

tan y sin ydy = 4Rcos�3 ydy

Calculons cette intégrales par parties: f (y) = 1cos y et g0 (y) = 1

cos2 y) f 0 (y) = sin y

cos2 ydy

et g (y) = tan y

) I13 = 4Rcos�3 ydy = 4

�f (y) g (y)�

Rf 0 (y) g (y) dy

�= 4

h1

cos y tan y �R sin2 ycos3 y

dyi

= 4

�1

cos y tan y �R (1�cos2 y)

cos3 ydy

�=4�

1cos y tan y �

R (1�cos2 y)cos3 y

dy

�= 4

h1

cos y tan y �14I13 +

R1

cos ydyi) 2I13 = 4

h1

cos y tan y +R

1cos ydy

iCalculons:

R1

cos ydy on pose: y = 2arctan z )dy = 21+z2

dz et cos y = 1�z21+z2

)R

1cos ydy

=R1+z2

1�z2 �2

1+z2dz

=2R

11�z2dz =

R11�zdz +

R11+zdz = � ln (1� z) + ln (1 + z) + c = � ln

�1� tan y2

�+

ln�1 + tan y2

�+ c

) 2I13 = 4h

1cos y tan y +� ln

�1� tan y2

�+ ln

�1 + tan y2

�+ ci

) I13 = xq�

x2

�2 � 1+�2 ln 1� tan arctanq(x2 )2�12

!+2 ln

1 + tan

arctanq(x2 )

2�12

!+ c

193

ou bien dans:R

1cos ydy =

R 1+sin y

cos2 y1+sin ycos y

dy = ln��1+sin ycos y

��+c) 2I13 = 4h

1cos y tan y + ln

��1+sin ycos y

��+ ci) I13 = x

q�x2

�2 � 1 + ln ��x2 +q�x2�2 � 1��+ c:Remarque: On peut trouver par la première méthode I13 = x

q�x2

�2 � 1 + ln ��x2 +q�x2�2 � 1��+ c:En e¤et: 2I13 = 4

h1

cos y tan y +� ln (1� z) + ln (1 + z) + ci

) I13 = 2h

1cos y tan y + ln

�1+z1�z

�+ ci= 2

h1

cos y tan y + ln�1+2z+z2

1�z2�+ ci

=2h

1cos y tan y + ln

�1+z2

1�z2 +2z1�z2

�+ cimais: tan y = 2z

1�z2 et1

cos y =1+z2

1�z2

) I13 = xq�

x2

�2 � 1 + ln ��x2 +q�x2�2 � 1��+ c:14) I14 =

Rx2p2x�x2 dx =

Rx2p

1�(x�1)2dx on pose: x � 1 = sin y )dx = cos ydy etq

1� (x� 1)2 = cos y

) I14 =R (sin y+1)2

cos y cos y dy =Rdy + 2

Rsin y dy + 1

2

R(1� cos 2y)dy = 3

2y � 2 cos y �14 sin 2y + c

=32 arcsin (x� 1)� 2

p2x� x2 � 1

2 sin y cos y + c

=32 arcsin (x� 1)� 2

p2x� x2 � 1

2 (x� 1)p2x� x2 + c:

15) I15 =R

x+12x2�2x+5 dx =

14

R4x+4

2x2�2x+5 dx =14

R4x�2+62x2�2x+5 dx =

14

R4x�2

2x2�2x+5 dx +

64

R1

2x2�2x+5 dx

=14 ln

��2x2 � 2x+ 5��+ 68

R1

x2�x+ 52

dx; de plus:x2 � x+ 52 = 0)4 < 0

) x2�x+ 52 = x

2�x+ 14�

14+

52 =

�x� 1

2

�2+ 94 ) I15 =

14 ln

��2x2 � 2x+ 5��+ 34

R1

(x� 12)

2+ 94

dx

=14 ln

��2x2 � 2x+ 5�� + 34� 94

R1

49(x�

12)

2+1

dx = 14 ln

��2x2 � 2x+ 5�� + 13

R1

( 2x�13 )2+1

dx; on

pose: y = 2x�13

)dy = 23dx ) I15 =

14 ln

��2x2 � 2x+ 5�� + 13 �

32

R1

y2+1dy = 1

4 ln��2x2 � 2x+ 5�� +

12 arctan y + c

=14 ln

��2x2 � 2x+ 5��+ 12 arctan

�2x�13

�+ c:

16) I16 =R

2x�1x2(x�1)2(x2+1) dx

La décomposition en éléments simples ) 2x�1x2(x�1)2(x2+1) =

ax +

bx2+ c

x�1 +d

(x�1)2 +ex+fx2+1

194

) 2x�1x2(x�1)2(x2+1) =

ax +

bx2+ c

x�1 +d

(x�1)2 +ex+fx2+1

=ax(x�1)2(x2+1)+b(x�1)2(x2+1)+cx2(x�1)(x2+1)+dx2(x2+1)+(ex+f) x2(x�1)2

x2(x�1)2(x2+1)

Par identi�cation si on pose: x = 0 ) b = �1, x = 1 ) 2d = 1 et si x = i ) �2e = �1

et 2f = 2

pour x = 2) 3 = 10a� 5 + 20c+ 10 + 8) a+ 2c = �1

pour x = �1) �3 = �8a� 8� 4c+ 1 + 2) �4a� 2c = 1) a = 0 et c = �12

) I16 = �R

1x2dx� 1

2

R1x�1 dx+

12

R1

(x�1)2 dx+R 1

2x+1

x2+1dx

) I16 =1x �

12 ln (x� 1) +

12 (x� 1) +

14

R2xx2+1

dx+R

1x2+1

dx

) I16 =1x �

12 ln (x� 1) +

12 (x� 1) +

14 ln

�x2 + 1

�+ arctanx+ c:

17) I17 =R2x3+x+1x2�x�2 dx)

2x3+x+1x2�x�2 = 2x+ 2 +

7x+5x2�x�2

) I17 =R �

2x+ 2 + 7x+5x2�x�2

�dx = x2 + 2x+ 7

2

R2x�1x2�x�2dx+

172

R1

x2�x�2dx

=x2 + 2x+ 72 ln

��x2 � x� 2��+ 172

R1

(x�2)(x+1)dx

=x2 + 2x+ 72 ln

��x2 � x� 2��+ 172

R 13

(x�2)dx+172

R � 13

(x+1)dx

=x2 + 2x+ 72 ln

��x2 � x� 2��+ 176 ln jx� 2j �

176 ln jx+ 1j+ c:

18) I18 =R

15+4 cosx dx;on pose: x = 2arctan z )dx =

21+z2

dz et cosx = 1�z21+z2

) I18 =R

1

5+4 1�z2

1+z2

21+z2

dz =R

29+z2

dz = 29

R1

1+( z3)2 dz on pose: y = z

3

)dy = 13dz ) I17 =

23

R1

1+y2dy = 2

3 arctan y + c

=23 arctan

�z3

�+ c = 2

3 arctan�tan x

23

�+ c:

19) Le même changement de variable que l�intégrale 18) avec: sinx = 2z1+z2

) I19 =R

11+sinx�cosx dx =

R 21+z2

1+ 2z1+z2

= 1�z21+z2

dz =R

21+z2+2z=(1�z2)dz =

R2

2z2+2zdz

=R

1z(z+1)dz =

R�z dz +

R �z+1dz =

R1zdz �

R1z+1dz = ln jzj � ln jz + 1j+ c:

20) I =R

sinxsinx+cosxdx on peut appliquer la méthode 18)

2�ememéthode: on pose J =R

cosxsinx+cosxdx

) I + J = x et J � I = ln jsinx+ cosxj ) I = 12 (x� ln jsinx+ cosxj) + c:

195

Exercice 02:supp 1) I1 =R 1�1

arctanx1+x2

dx si on pose: y = arctanx) dy = 11+x2

dx et si: x = �1) y = ��4 ;

x = 1) y = �4 ) I1 =

R �4

��4y dy = 1

2y2��4��4= 0

Remarque: On a une symétrie dans l�intégrale I1 et puisque I1 = 0 alors la fonction est

impaire

) arctan (�x) = � arctanx:

4) I4 =R 1�1

sinxp3+x2

dx puisque la fonction à intégrer est impaire) I4 = 0:

2) I2 =R �3�4

sin5 xcosx dx =

R �3�4

(1�cos2 x)2sinx

cosx dx =R �3�4

(1�2 cos2 x+cos4 x) sinxcosx dx

=�R �3�4

(� sinx)cosx dx+ 2

R �3�4cosx (� sinx) dx�

R �3�4cos3 x (� sinx) dx

=� ln (cosx) + cos2 x� 14 cos

4 x��3�4= � ln

�cos �3

�+ cos2 �3 �

14 cos

4 �3��

� ln�cos �4

�+ cos2 �4 �

14 cos

4 �4

�= � ln 12 +

14 �

14 �

116 �

�� ln

p22 +

12 �

14 �

14

�:

3) I3 =R 10

13+x2

dx = 13

R 10

1

1+�

xp3

�2dx on pose: y = xp3) dy = 1p

3dx

avec: x = 0) y = 0 et x = 1) y = 1p3) I3 =

1p3

R 1p3

01

1+y2dy

= 1p3arctan yj

1p3

0 = 1p3arctan 1p

3:

Exercice 03: On a:

I =

Z �2

0

cos2 x

sinx+ cosxdx et J =

Z �2

0

sin2 x

sinx+ cosxdx

1) I�J =R �20

cos2 x�sin2 xsinx+cosx dx =

R �20 (cosx� sinx)dx = sinx+ cosxj

�20 = 1�1 = 0) I = J

2) Véri�ons que: 8x 2 R; cosx+ sinx =p2 cos

�x� �

4

�En e¤et: 8x 2 R;

p2 cos

�x� �

4

�=p2�cosx cos �4 + sinx sin

�4

�=p2�cosx

p22 + sinx

p22

�=cosx+ sinx:

3) En déduire que: I + J =p2R �40

dxcosx

I + J =R �20

cos2 x+sin2 xsinx+cosx dx =

R �20

1sinx+cosxdx =

R �20

1p2 cos(x��

4 )dx d�après 2)

) I + J = 1p2

R �20

1cos(x��

4 )dx on pose: y = x� �

4 ) dy =dx) I + J = 1p2

R �4

��4

1cos ydy

= 2p2

R �40

1cos ydy car la fonction est paire

=p2R �40

1cosxdx

4) I + J =p2R �40

1cosxdx on pose: x = 2arctan z )dx =

21+z2

dz et cosx = 1�z21+z2

196

et quand: x = 0) z = 0 et si x = �4 ) z = tan �8

)R �40

1cosxdx=

R tan �8

01+z2

1�z2 �2

1+z2dz=2

R tan �8

01

1�z2dz =R tan �

80

11�zdz +

R tan �8

011+zdz

= � ln (1� z) + ln (1 + z)jtan�8

0 = ln�1+z1�z

��tan �8

0= ln

�1+tan �

81�tan �

8

�Alors:

8<: I � J = 0

I + J =p2 ln

�1+tan �

81�tan �

8

� ) I = J = 1p2ln�1+tan �

81�tan �

8

�:

Exercice 04: Soit f (x) = �23 (1� x)

p1� x

1) 8x < 1; f (x) = �23 (1� x)

p1� x = �2

3 (1� x)32 ) f 0 (x) = �2

3 �32 � (�1) (1� x)

12 =

p1� x:

2) Soit In =R 10 x

np1� x dx

a) I0 =R 10

p1� x dx = �2

3 (1� x)p1� x

��10= 2

3

D�autre part par parties dans In on pose: k (x) = xn et h0 (x) =p1� x

) k0 (x) = nxn�1 et h (x) = �23 (1� x)

p1� x

) In = k (x) � h (x)j10 �R 10 k

0 (x) � h (x) dx

) In = � nxn�1 � 23 (1� x)p1� x

��10+ 2

3nR 10 x

n�1 (1� x)p1� x� dx

=23nR 10 x

n�1p1� x� dx� 23nR 10 x

np1� x� dx = 2

3n (In�1 � In)

)�1 + 2

3n�In =

23nIn�1:

b) On a:�1 + 2

3

�I1 =

23I0�

1 + 232�I2 =

232I1�

1 + 233�I3 =

233I2

�

�

��1 + 2

3 (n� 1)�In�1 =

23 (n� 1) In�2

et�1 + 2

3n�In =

23nIn�1

)�1 + 2

3

�I1�1 + 2

32�I2�1 + 2

33�I3 � � �

�1 + 2

3 (n� 1)�In�1

�1 + 2

3n�In

197

=23I0

232I1

233I2 � � �

23 (n� 1) In�2

23nIn�1

)�1 + 2

3

� �1 + 2

32� �1 + 2

33�� 1 + 2

3 (n� 1)� �1 + 2

3n�In

=23I0

232

233 � � �

23 (n� 1)

23n =

�23

�n+1n! � I0

) 537393 � � �

2n+13 In =

�23

�n+1n! � I0 ) 5 � 7 � 9 � � � (2n+ 1) In = 1

9 � 2n+1 � n!

Exercice 02:


I = :

Z �4

0

cosx


Z �4

0

sinx

sinx+ cosxdx

(2) Soit

In =

Z1

(1 + x2)ndx .

Déterminer une relation entre In et In+1:

Exercice 05:(supp)

(1) Calculer l�intégrale indé�nie suivante:

A =

Zcos2 x sin4 x dx

(2) Soient les intégrales dé�nies:

I =

�Z0

x2 cos2 xdx ; J =

�Z0

x2 sin2 xdx

Calculer: I +J et I �J (sans calcul de I et J). En déduire I et J:

(3) Soit f une fonction continue sur [0; 1] :

(a) Montrer, en utilisant un changement de variable, que:

Z �

0x f (sinx) dx =

�

2

Z �

0f (sinx) dx

198

(b) En déduire la valeur de:

I =

Z �

0

x sinx

1 + cos2 xdx

199

Partie IX

Applications linéaires:

200

5.28 Application linéaire:

Dé�nition 90 Soient E, F deux |-espaces vectoriels et f une application de E dans F . Alors

f est linéaire, si les propriétés suivantes sont satisfaites:

1) 8x; y 2 E on a f (x+ y) = f (x) + f (y) :

2)8x 2 E , 8� 2 | on a f (�x) = � f (x) :

ou encore:

8x; y 2 E;8�; � 2 | on a f (�x+ �y) = � f (x) + � f (y) :

Exemple: l�application de R3 dans R2 dé�nie par:

f (x; y; z) = (x� y; y + 2z)

est une application linéaire.

5.29 Noyau d�une application linéaire:

Dé�nition 91 Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans

F . Alors pour trouver le noyau de f , on résout l�équation f (x) = 0F :

Ainsi:

ker f = fx 2 E; f (x) = 0F g

qui est un sous-espace vectoriel de E.

Exemple: l�application de R3 dans R2 dé�nie par:

f (x; y; z) = (x� y; y + 2z)

est une application linéaire. Alors le noyau de f est:

ker f = fu 2 E; f (u) = 0R2g

201

Soit u = (x; y; z) 2 R3. On a:

u 2 ker f , f (u) = (0; 0), (x� y; y + 2z) = (0; 0)

,

8<: x� y = 0

y + 2z = 0()

8<: x = y

z = �y2

() u = y

�1; 1;�1

2

�

et donc ker f est le s.e.v engendré par le vecteur�1; 1;�1

2

�noté:

ker f = V ect

��1; 1;�1

2

��

5.30 Injectivité d�une application linéaire:

Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F . Notons que

f est injective si et seulement si:

8x1; x2 2 E; x1 6= x2 ) f (x1) 6= f (x2) : ou bien f (x1) = f (x2)) x1 = x2

Mais pour les applications linéaires, il su¢ t de montrer que: ker f = f0Eg :

En fait on a:

f est injective, ker f = f0Eg :

Exemple:

Soit f l�application linéaire de R2 dans R2 dé�nie par:

f (x; y) = (x� y; y + x)

Alors f est injective car:

u = (x; y) 2 ker f , f (u) = 0R2 :, (x� y; y + x) = (0; 0)

,

8<: x� y = 0

y + x = 0, x = y = 0

donc ker f = f(0; 0)g, et par suite f est injective.

202

5.31 Image d�une application linéaire:

Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F . L�image de f

est l�ensemble de toutes les images des éléments de E par f . Ainsi:

Im f = ff (u) , u 2 Eg :

De plus si (e1; e2; :::; en) est une base de E, alors Im f = V ect ff (e1) ; f (e2) ; :::; f (en)g c�est

à dire le sous-espace engendré par les vecteurs f (e1) ; f (e2) ; :::; f (en) :

Exemple:

Soient E un R-espace vectoriel de dimension 3, B =�~i; ~j; ~k

�une base de E et f

l�endomorphisme de E dé�ni par:

f�~i�= � ~i+ ~k; f

�~j�= ~j + ~k , f

�~k�= ~i +~j:

Alors l�image de f est dé�nie comme suit:

Im f = V ectnf�~i�; f�~j�; f�~k�o

mais f�~k�= f

�~j�� f

�~i�

) Im f = V ectnf�~i�; f�~j�o

=nx�� ~i+ ~k

�+ y

�~j + ~k

�; x; y 2 R

o

5.32 Rang d�une application linéaire:

Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F . Le rang d�une

application linéaire est la dimension de l�iimage de cette application. On a:

rg f = dim (Im f) :

de plus si E est de dimension �nie, on a le théorème du rang:

dimE = rg f + dim (ker f) :

Exemple:

203

Soit f : R2 ! R2 l�application linéaire dé�nie par: f (x; y) = (4x� 2y; 6x� 3y) : Alors on

a :

Im f = ff (x; y) ;x; y 2 Rg = f(4x� 2y; 6x� 3y) ;x; y 2 Rg

= f(2x� y) (2; 3) ;x; y 2 Rg = f� (2; 3) ;� 2 Rg

= V ect f(2; 3)g

le vecteur (2; 3) est une base de Im f , et par suite rg f = 1:

5.33 Endomorphisme, Isomorphisme, Automorphisme:

Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F .

Si f est bijective, alors f est dite un isomorphisme.

Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E.

Un automorphisme est une isomorphisme de E dans E.

Exemple:

Soit f : R2 ! R2 l�application dé�nie par: f (x; y) = (x� y; x+ y) : Alors f est un

automorphisme.

5.34 Projecteur:

Soit f un endomorphisme d�un |�espace vectoriel. On dira que f est un projecteur, si l�on a:

f � f = f

ou bien : Im f et ker f sont supplémentaires et que: 8x 2 Im f ,f (x) = x:

On dira que f est la projection sur Im f parallèlement à ker f .

Exemple:

Soit f : R2 ! R2 l�application linéaire dé�nie par: f (x; y) = (4x� 2y; 6x� 3y) : Alors on

204

a :

(f � f) (u) = f (f (u)) = f (x; y) = f (4x� 2y; 6x� 3y)

= (4x� 2y; 6x� 3y) = f (u)

et par suite f est un projecteur.

5.35 Symétrie:

Soit f un endomorphisme d�un |�espace vectoriel. On dira que f est une symétrie, si l�on a:

f � f = IdE

ou bien : ker (f � IdE) et ker (f + IdE) sont supplémentaires :

On dira que f est la symétrie de E par rapport à ker (f � IdE)et parallèlement à ker (f + IdE).

Exemple:

Soit f : R2 ! R2 l�application linéaire dé�nie par: f (x; y) = (y; x) : Alors on a :

(f � f) (u) = f (f (u)) = f (y; x) = (x; y)

et par suite f est une symétrie.

5.36 Exercice:

Exercice 01:

(1) On considère les applications suivantes dé�nies de R2 dans R2. Lesquelles sont linéaires?

a) f : (x; y) 7! (x+ 2y; 2x� y) ;

b) g : (x; y) 7! (x+ 2y; 2x� y + 1) ;

c) h : (x; y) 7! (x+ y; 2xy) ;

d) k : (x; y) 7!�x+ y; x� y2

�:

205

(2) Soit f l�application de R [X] dans R [X] dé�nie par: f (P ) = P (1);

montrer que f est une application linéaire. ( R [X] : est l�espace vectoriel des polynômes

à coe¢ cients réels et dans le cas général Rn [X] : est l�espace vectoriel des polynômes de

degré inférieur ou égal à n et à coe¢ cients réels ).

Exercice 02:

(1) Trouver les noyaux des applications linéaires suivantes:

a) f (x; y) = (4x� 3y; 5x+ 4y) :

b) g (x; y) = (6x� 4y; 9x� 6y) :

(2) La même question pour les applications de R3 dans R3 dé�nies par:

a) h (x; y; z) = (x+ y + z; y; z) :

b) k (x; y; z) = (y + z; x+ y + z; x) :

Exercice 03:

(1) Soit f l�application linéaire de R3 dans R2 dé�nie par:

f (x; y; z) = (x� 2y; x+ y + 2z)

f est-elle injective?

(2) La même question pour les applications de R3 dans R3 dé�nies ci-dessous:

a) h (x; y; z) = (x+ y + z; y; z) :

b) k (x; y; z) = (y + z; x+ y + z; x) :

Exercice 04:

(1) Déterminer les images des applications linéaires de R2 dans R2 suivantes:

a) f (x; y) = (4x� 3y; 5x+ 4y) :

b) g (x; y) = (6x� 4y; 9x� 6y) :

206

(2) Soit f l�application de R3 [X] dans R3 [X] dé�nie par: f (P ) = P +(1�X)P 0.

Déterminer l�image de cette application linéaire.

Exercice 05:

(1) Soit E un espace vectoriel de dimension 3 dont�~i; ~j; ~k

�est une base. On considère

l�endomorphisme f de E dé�ni par:

f�~i�= � ~i+ 2~k; f

�~j�= ~j + 2~k; f

�~k�= 2 ~i+ 2 ~j:

Déterminer le rang de f:

(2) Soit E3 le R-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, et soit f

l�application dé�nie sur E3 par:

f (P ) = X2 P 00 � 4X P 0 + 6P:

Déterminer le rang de f:

Exercice 06: Le plan vectoriel V2 étant rapporté à une base�~i; ~j

�, on considère l�application linéaire

de V2 dans V2 dé�nie par:

f�~i�=1

2~i� 1

4~j; f

�~j�= � ~i+ 1

2~j:

(1) Démontrer que f est un projecteur.

(2) Déterminer l�image et le noyau de f .

(3) Véri�er que Im f et ker f sont supplémentaires dans V2 et que:

8x 2 Im f; f (x) = x:

Exercice 07: Soient E un R-espace vectoriel de dimension 2, (e1; e2) une base de E et f l�endomorphisme

de E dé�ni par:

f (e1) = 2e1 � e2; f (e2) = 3e1 � 2e2:

207

(1) Démontrer que f est une symétrie.

(2) Trouver E1 = ker (f � IdE) et E2 = ker (f + IdE) :

208

Partie X

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

209

Dans ce chapitre nous allons apprendre à résoudre les cas les plus élémentaires des équations

di¤érentielles du premier ordre et du second ordre à coe¢ cients constantes

Dé�ntion:

De nombreux problèmes d�origine physique, économique, etc. Conduisent à rechercher une

fonction y d�une variable réelle x sachant qu�il existe une relation entre x, y et les dérivées y(n)

avec n � 1. Une telle relation est dite équation di¤érentielle d�ordre n et elle est de la forme:

f�x; y; y0; y00; :::; y(n)

�= 0 où f est une fonction.

5.37 1-ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D�ORDRE 1:

Une équation di¤érentielle d�ordre 1 est une équation de la forme:

f�x; y; y0

�= 0 avec y0 =

dydx:

A-ÉQUATIONS Á VARIABLES SÉPARABLES

( OU SÉPARÉES) :

Soient I et J deux intervalles de R, f : I ! R et g : J ! R deux fonctions continues. Une

équation di¤érentielle à variables séparables est du type:

y0 =f (x)

g (y):

Ce qui implique que:

dydx

=f (x)

g (y)) g (y) dy = f (x) dx

)Zg (y) dy =

Zf (x) dx+ c, c 2 R:

Exemple:

y0�x2 � 1

�� 2xy = 0

) dydx

�x2 � 1

�� 2xy = 0

210

) dyy=

2x

(x2 � 1)dx

)Zdyy=

Z2x

(x2 � 1)dx

) ln jyj = ln��x2 � 1��+ ln c; c 2 R�+

) y = c1�x2 � 1

�où c1 2 R�

B-ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES HOMOGÈNE EN X ET Y:

C�est une équation du type:

y0 = f�yx

�On introduit la fonction auxiliaire x 7! t = y

x ; on a y = t x et y0 = t0x+t: Finallement on a une

équation à variables séparables:

t0 =dtdx

=f (t)� t

x

) dtf (t)� t =

dxx

Exemple:

211

(2x+ y) dx� (4x� y) dy = 0

) dydx

=(2x+ y)

(4x� y)

) y0 =dydx

=

�2 + y

x

��4� y

x

�on pose :t =

y

x) y = t x) y0 = t0x+ t

) t0x+ t =(2 + t)(4� t)

) t0x =(2 + t)(4� t) � t =

t2 � 3t+ 2(4� t)

) (4� t)t2 � 3t+ 2dt =

dxx

après résolution on a : ln jxj+ ln c = ln (t� 2)2

jt� 1j3; c 2 R�+

) (t� 2)2

jt� 1j3= k x où k 2 R�

) (y � 2x)2 = k (y � x)3 où k 2 R�

Ainsi toutes les solutions de l�équation donnée sont dé�nies par:

(y � 2x)2 = k (y � x)3 où k 2 R�

C-ÉQUATION LINÉAIRE:

C�est une équation de la forme:

y0 = a (x) y + b (x) (1)

où a (x) et b (x) sont deux fonctions continues sur un intervalle I:

L�équation:

y0 = a (x) y (2)

est l�équation -homogène- ou -sans second membre- associée à (1).

Ainsi, la solution générale de (1) est la somme d�une solution particulière de cette équation

212

(1) et de la solution générale de l�équation homogène associée (2). Si on ne connaît aucune

solution apparente de (1): on résout (2) , et on obtient sa solution générale y = �y1, où � est

une constante et y1 = eA, A étant une primitive de a (x) sur I. Par suite on fait varier la

constante. Posant, dans (1),

y (x) = � (x) y1 (x) on obtient:

�0 (x) y1 (x) + � (x) y01 (x) = a (x)� (x) y1 (x) + b (x)

) �0 (x) y1 (x) = b (x)

car y1 est une solution de (2).

d�ou la connaissance de �0, et celle de � par intégration.

Cette technique est connue sous le nom, de méthode de variation de le constante.

Exemple1: ( la solution particulière)

L�équation:

y0 cosx+ y sinx = 1 x 2i��2;�

2

h, est linéaire. (1)

Une solution évidente de étant x 7! y0 (x) = sinx et une solution apparente de l�équation

homogène étant x 7! y1 (x) = cosx; la solution générale de (1) est:

i��2;�

2

h! R

x 7! sinx+ � cosx (� 2 R)

Remarquons que ces solutions sont valables sur R:

Exemple2: ( la méthode de la variation de la constante)

L�équation:

y0 + 2x y = 2x e�x2

x 2 R, est linéaire. (1)

Une solution de l�équation homogène y0 +2x y = 0 étant x 7! y1 (x) = �e�x2 . Employons la

213

méthode de de la variation de la constante et reportons dans (1) y (x) = � (x) e�x2

) �0 (x) = 2x

) � (x) =

Z2xdx

) � (x) = x2 + k où k 2 R

Ainsi

y =�x2 + k

�e�x

2où k 2 R

est une solution générale de l�équation (1).

D-ÉQUATION DE BERNOULLI:

Une équation de la forme:

y0 = a (x) y + b (x) y� (x 2 I) où � 2 R (1)

où a (x) et b (x) sont deux fonctions continues sur un intervalle I:

Cette équation est linéaire pour � = 0 et � = 1. Dans le cas général, en l�écrivant:

y0y�� = a (x) y1�� + b (x)

donc si on pose: z = y1��; on est alors ramené à une équation linéaire:

z0 = (1� �) [a (x) z + b (x)]

Exemple:

xy0 + y = y2 lnx

y�2xy0 + y�1 = lnx (E)

214

c�est une équation de Bernoulli, alors on fait le changement: z = y�1 d�où

z0 = � y0

y2

En remplaçant dans l�équation (E), on obtient

z0 � 1

xz = � lnx

x

qui est une équation di¤érentielle linéaire d�ordre 1 avec seconde membre.

La résolution de l�équation sans seconde membre

z0 � 1

xz = 0

donne

z (x) = c x où c 2 R

Par suite, en utilisant la méthode de la variation de la constante, on obtient pour c (x), l�équation

c0 (x) = � lnxx2

En intégrant par partie, on trouve:

c (x) =1

xlnx+

1

x+ k où k 2 R

Ainsi la solution générale de l�équation linéaire est donnée par

z (x) =

�1

xlnx+

1

x+ k

�x

et puisque z = y�1 alors la solution générale de (E) est

y (x) =1

lnx+ kx+ 1où k 2 R

215

E-ÉQUATION DE RICCATI:

elle est de la forme:

y0 = a (x) y2 + b (x) y + c (x) (x 2 I) où � 2 R (1)

où a (x), b (x) et c (x) sont trois fonctions continues sur un intervalle I:

On ne peut la résoudre que si on en connaît a priori une solution particulière y1:on pose

alors y = y1 + z; z étant une nouvelle fonction inconnue, d�où

(1), z0 = a (x) z2 + d (x) z

C�est une équation de Bernoulli qui se ramène à une équation linéaire en posant 1z = u:

5.37.1 Exemple: �x3 � 1

�y0 = y2 + x2y � 2x

1-ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLES D�ORDRE 2 à COEFFICEINTS

CONSTANTS:

Une équation di¤érentielle d�ordre 2 à coe¢ cients constants est une équation de la forme

ay00 + by0 + cy = f (x) (1*)

où a; b et c sont des constantes réelles, et f : I ! R une fonction dé�nie et continue dans un

intervalle I de R:

L�équation (1*) est dite une équation di¤érentielle d�ordre 2 à coe¢ cients constants avec

second membre ( f (x) ). A lors pour résoudre l�équation (1*) il faut suivre les deux étapes

suivantes:

1ère étape: la résolution de (1*) sans second membre:

Soit l�équation

ay00 + by0 + cy = 0 (2*)

Comme remarque la résolution des équations linéaires sans seconde membre donne toujours une

216

seule solution y1; par contre pour les équation de type (2*) on trouve deux solutions y1 et y2:

En e¤et pour résoudre (2*) il faut trouver au premier lieu une équation équivalente à (2*) dite

équation caractéristique associée à (2*) en remplace y(n) par rn:

ar2 + br + c = 0 (3*)

Par suite on calcul le 4 et on trouve l�un des cas suivants

Le signe de 4 les solutions de (3*) Les solutions de (2*)

4 > 0 deus solutions réelles r1 et r2 y1 + y2 = c1er1x + c2e

r2x = c1z1 + c2z2

4 = 0 une racine double r0 y1 + y2 = (c1x+ c2) er0x = c1z1 + c2z2

4 < 0 deus solutions complexes r1 et r2 y1 + y2 = c1 cos�xe�x + c2 sin�xe

�x

avec r1 = �+ i� et r1 = �+ i� = c1z1 + c2z2

2ème étape: la résolution de (1*) avec second membre:

Il reste à trouver la troisième solution de l�équation (1*), pour cela on peut appliquer l�un

des deux méthodes suivantes:

1ère Méthode: Méthode de la solution particulière.

On peut utiliser cette méthode dans le cas où le second membre est l�un des fonctions suiv-

antes: polynôme, sinus, cosinus, exponentielle, ou somme ou produit entre ces quatre fonctions.

D�où les régles suivantes:

Le type du seconde membre La solution particulière

polynôme polynôme

sinus contient le cosinus ainsi que le sinus

cosinus contient le cosinus ainsi que le sinus

exponentielle exponentielle

2ème Méthode: Méthode de la variation de la constante.

On remarque que chaque solution de l�équation sans seconde membre est de la forme: c1z1+

c2z2, alors la recherche de la solution de l�équation avec seconde membre par cette méthode est

de la forme y3 = c1 (x) z1 + c2 (x) z2 où c1 (x), c2 (x) sont des fonctions inconnues, dérivables

217

véri�ant la condition supplémentaire

c01 (x) z1 + c02 (x) z2 = 0

On utilise le fait que y3 est une solution de (1*) on obtient l�équation

c01 (x) z01 + c

02 (x) z

02 = f (x)

D�où le système 8<: c01 (x) z1 + c02 (x) z2 = 0

c01 (x) z01 + c

02 (x) z

02 = f (x)

ce qui permet de trouver c01 (x) et c02 (x) : Par intégration on trouve c1 (x) et c2 (x), ce qui donne

le y3:

Conclusion: La solution générale est:

Y = y1 + y2 + y3

5.38 Exercice:

Exercice 01: Résoudre les équations suivantes:

(1) x y0lnx = (3 lnx+ 1) y

(2) y0= x tan y (3)x2 y

0= x2 + y2 � x y

(4) (supp) (tan y)xy0+�2x2 � 1

�= 0; (5) (supp )

�1 + x2

�2y0 + 2x+ 2x y2 = 0

(6) (supp ) x y0 � y = x

�1� e�

yx

�Exercice 02: Résoudre les équations suivantes:

(1) y0+ y = cosx+ sinx (2) y

0 � 1x y =

x1+x2

(3) (supp) y0+ (tanx) y = 1

cosx (4) (supp) x y0+ y = arctanx

218


y" � 5 y0 + 6 y = x2 + e3x ( par la méthode de la variation de la constante ).

y" � y

0+ y = sinx ( la solution particulière)

y"+ 2 y

0+ y = xe�x (par la méthode de la variation de la constante).

Exercice 04:(supp) Résoudre les équations suivantes:

x y0+ y = x y3

3y0cosx� y sinx� y4 = 0

x2�y0+ y2

�= xy � 1 sachant que 1

x est une solution particulière.

Exercice 05: (supp) Résoudre les équations suivantes:

y" � 6 y0 + 6 y = (x+ 1 ) e3x ( par la méthode de la variation de la constante ).

y" � y

0+ y = x sinx (par la méthode de la variation de la constante).

y"+ 2 y

0+ y = x2 + sinxe�3x ( la solution particulière)

5.39 Le corrigé des éxercices:


(1) x y0lnx = (3 lnx+ 1) y

(2) y0= x tan y (3)x2 y

0= x2 + y2 � x y

(4) (supp) (tan y)xy0+�2x2 � 1

�= 0; (5) (supp )

�1 + x2

�2y0 + 2x+ 2x y2 = 0

(6) (supp ) x y0 � y = x

�1� e�

yx

�

219

Solution:

(1) x y0lnx = (3 lnx+ 1) y , x

dy

dxlnx = (3 lnx+ 1) y

, dy

y=3 lnx+ 1

x lnxdx , c�est une équation à variables séparables

,Zdy

y=

Z3

xdx+

1

x lnxdx

, ln jyj = 3 ln jxj+ ln jln jxjj+ c; c 2 R�

, jyj = ec jxj3 ln jxj , y = k jxj3 ln jxj ; k 2 R

(2) y0= x tan y , dy

tan y= xdx, cos y

sin ydy = xdx, ln jsinxj = x2

2+ c

, jsinxj = ecex2

2 , x = arcsin

�ke

x2

2

�; k 2 R et � 1 � ke

x2

2 � 1:

(3)x2 y0= x2 + y2 � x y , dy

dx= 1 +

�yx

�2� y

xc�est une équation homogène.

on pose : t =y

x) y = t x) y 0 = t 0x+ t

) t 0x+ t = 1 + t2 � t

) dt

dxx = 1 + t2 � 2t) dt

1 + t2 � 2t =dx

x)Z

dt

(1� t)2=

Zdx

x

) 1

1� t = ln jxj+ c; c 2 R, t = 1� 1

ln jxj+ c ; c 2 R:


(1) y0+ y = cosx+ sinx (2) y

0 � 1x y =

x1+x2

(3) (supp) y0+ (tanx) y = 1

cosx (4) (supp) x y0+ y = arctanx

(1) y0+ y = cosx+ sinx

220

1�ere- étape: La solution de l�équation sans seconde membre.

y0 + y = 0) dy

dx= y

) dy

y= dx)

Zdy

y= �

Zdx

) ln jyj = �x+ c; c 2 R

y1 = k e�x; k 2 R solution de l�équation sans seconde membre.

2�eme- étape: La solution de l�équation avec seconde membre.

y0 � y = cosx+ sinx (1)

par la méthode de la solution particulière:

y2 = c1 cosx+ c2 sinx est une solution particulière de (1) :

) y02 + y2 = cosx+ sinx

) �c1 sinx+ c2 cosx + c1 cosx+ c2 sinx = cosx+ sinx

)

8<: �c1 + c2 = 1

c1 + c2 = 1) c2 = 1 et c1 = 0) y2 = sinx

conclusion: la solution générale est dé�nie par:

y = k e�x + sinx; k 2 R:

y0 � 1

xy =

x

1 + x2


y0 � 1

xy = 0) dy

dx=y

x

) dy

y=dx

x)Zdy

y=

Zdx

x

) ln jyj = ln jxj+ c; c 2 R

y1 = k x ; k 2 R solution de l�équation sans seconde membre.

221

2�eme- étape: La solution de l�équation avec seconde membre.

y0 � 1

xy =

x

1 + x2: (1)

par la méthode de la variation de la constante:

y2 = k (x) x est une solution particulière de (1) :

) y02 �1

xy2 =

x

1 + x2

) k 0 (x) x + k (x) x � k (x) x = x

1 + x2

) k 0 (x) =1

1 + x2

)Zk 0 (x) dx =

Z1

1 + x2dx) k (x) = arctanx

) y2 = x arctanx


y = y1 = k x+ x arctanx ; k 2 R:



y" � y

0+ y = sinx ( la solution particulière)

y"+ 2 y

0+ y = xe�x (par la méthode de la variation de la constante).


222


y 00 � 5 y 0 + 6 y = 0 (5)

l�équation caractéristique est donnée par : r2 � 5r + 6 = 0)4 = 1

) r1 = 2 et r2 = 3

d�où la solution de (5) est dé�nie par : y1 = c1e2x + c2e

3x; c1; c2 2 R

2�eme- étape: La solution de l�équation avec seconde membre. (2points)

1ére méthode: la méthode de la solution particulière:

y2 = ax2 + bx+ c; est une solution de (4)

) y200 � 2 y20 + y2 = x

2 + 1

) (2a)� 2 (2ax+ b) +�ax2 + bx+ c

�= x2 + 1

)

8>>><>>>:a = 1

b� 4a = 0

c� 2b+ 2a = 1

) fa = 1; b = 4 et c = 7

) y2 = x2 + 4x+ 7

223

2ème méthode: la méthode de la variation de la constante:

y2 = (c1 (x) x+ c2 (x)) ex est une solution de (4)

) y200 � 2 y20 + y2 = x

2 + 1

)

8<: (c01 (x) x+ c02 (x)) e

x = 0

c01 (x) xex + c01 (x) e

x + c02 (x) ex = x2 + 1

)

8<: c01 (x) =�x2 + 1

�e�x

c02 (x) =��x� x3

�e�x

des intégrations par parties : )

8<: c1 (x) =��3� 2x� x2

�e�x

c2 (x) =�x3 + 3x2 + 7x+ 6

�e�x

) y2 = x2 + 4x+ 7

224

Partie XI

Les Matrices.

225

Le but de ce chapitre est de trouver un moyen pour résoudre un système de n équation où

n est un entier naturel assez grand, c�est la notion des matrices.

Dans le cas général on repésente une matrice M par:

M =

0BBBBBBBBBBBB@

a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

am1 am2 : : : amn

1CCCCCCCCCCCCA2Mm;n

qu�on peut la simpli�er par:

M =

0BBBBBBBBBBBBBBB@

:

:

:

: : : aij : : :

:

:

:

1CCCCCCCCCCCCCCCA2Mm;n

où Mm;n est l�ensemble des matrices qui contient m lignes et n colonnes, de plus chaques

aij represente le coe¢ cient de la matrice M qui se trouve dans la i � �eme ligne et la j � �eme

colonne. Dans le cas où i = j , les aii sont les éléments de la diagonale de M:

226

5.40 Matrices associées à une application linéaire dans le cas

des espaces de dimensions �nies.

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions �nes avec: dimE = n et dimF = m:

Choisissons dans E une base BE ; dans F une base BF dé�nies par:

BE = (e1; e2; :::; en)

BF = (f1; f2; :::; fm)

Soit ' une application linéaire de E dans F . Alors la matrice associée à ' par rapport à BE et

BF qu�on note M (';BE ; BF ) est obtenue comme suit:

la i � �eme colonne de M (';BE ; BF ) représente les coordonnées de ' (ei) dans la base

BF = f1; f2; :::; fm; en e¤et:

' (e1)' (e2) :::::::' (en)

M (';BE ; BF ) =

0BBBBBBBBBBBB@

a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

am1 am2 : : : amn

1CCCCCCCCCCCCA

f1

f2

:

:

:

fm

car:

' (e1) = a11f1 + a21f2 + :::+ am1fm

' (e2) = a12f1 + a22f2 + :::+ am2fm

:::

' (en) = a1nf1 + a2nf2 + :::+ amnfm

Exemple 5.30 Soit'l�application linéaire de R3 dans R2 qui à (x; y; z) associe (x� 2y + z; 2x+ y + 3z),

227

alors la matrice de f relativement aux bases canoniques de R3 et R2est:

M =

0@ 1 � 2 1

2 1 3

1A f1

f2

' (e1) ' (e1) ' (e1)

car:

e1 = (1; 0; 0) ; e2 = (0; 1; 0) ; e3 = (0; 0; 1) ; f1 = (1; 0) et f2 = (0; 1)

de plus : ' (e1) = (1; 2) = 1:f1 + 2:f2 ,' (e2) = (�2; 1) = �2:f1 + 1:f2

et ' (e3) = (1; 3) = 1:f1 + 3:f2:

5.41 Propriétés des matrices:

Soit M une matrice dé�nie par:

M =

0BBBBBBBBBBBB@

a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

am1 am2 : : : amn

1CCCCCCCCCCCCA2Mm;n

1- Une matrice est nulle si 8 (i; j) ; aij = 0 avec 1 � i � m et 1 � j � n de plus c�est la

matrice associée à l�application nulle (8u 2 E;' (u) = 0F ) :

2- Deux matrices A et B sont égales si: aij = bij avec 1 � i � m et 1 � j � n avec les aij(resp. bij) représentent les coe¢ cients de A (resp. B).

3- La matrice unité notée I est la matrice dont les aij = 0 si i 6= j et aij = 1 si i = j:

4- Le transposée d�une matrice A noté tA est la matrice dont les lignes sont les colonnes de

A et les colonnes sont les lignes de A:

5- Une matrice est dite triangulaire supérieure (resp. inférieure) si: aij = 0 si i > j

228

(resp. aij = 0 si i < j) :

6- Une matrice diagonale est une matrice qui est à la fois triangulaire supérieure et trian-

gulaire inférieure dont les éléments de la diagonales s�appelles les pivots.

Exemple 5.31 Si:

A =

0BBB@1 2 3

4 5 6

7 8 9

1CCCA)t A =

0BBB@1 4 7

2 5 8

3 6 9

1CCCA :De plus on a: t

�tA�= A:

5.42 Opérations sur les matrices:

Soient A et B deux matrices dé�nies par:

A =

0BBBBBBBBBBBBBBB@

:

:

:

: : : aij : : :

:

:

:


et B =

0BBBBBBBBBBBBBBB@

:

:

:

: : : bij : : :

:

:

:

1CCCCCCCCCCCCCCCA2Mk;l

229

1- La somme de ces deux matrices est dé�nie si: m = k et n = l et elle est donnée par:

A+B =

0BBBBBBBBBBBBBBB@

:

:

:

: : : aij + bij : : :

:

:

:


Exemple 5.32

A =

0BBB@1 1 1

4 4 4

6 6 6

1CCCA et B =

0BBB@2 2 2

3 3 3

8 8 8

1CCCA

alors : A+B =

0BBB@3 3 3

7 7 7

14 14 14

1CCCA :

2- Le produit d�une matrice A par un scalaire � avec:

A =

0BBBBBBBBBBBBBBB@

:

:

:

: : : aij : : :

:

:

:


230

est la matrice:

�A = A =

0BBBBBBBBBBBBBBB@

:

:

:

: : : �aij : : :

:

:

:


Exemple 5.33 Si:

A =

0BBB@1 1 5

4 6 2

3 1 0

1CCCA) �A =

0BBB@� � 5�

4� 6� 2�

3� � 0

1CCCA :

De plus on a: t (A+B) =t A+t B et t (�A) = �tA:

3- La multiplication de deux matrices A et B dé�nie par:

A =

0BBBBBBBBBBBBBBB@

:

:

:

: : : aij : : :

:

:

:


et B =

0BBBBBBBBBBBBBBB@

:

:

:

: : : bij : : :

:

:

:

1CCCCCCCCCCCCCCCA2Mk;l

231

est possible c�est-à-dire: A � B si n = k autrement dit le nombre de colonnes de la première

matrice A est égale le nombre de lignes de la deuxième matrice B:

Alors on a:

A �B = C =

0BBBBBBBBBBBBBBB@

:

:

:

: : : cij : : :

:

:

:

1CCCCCCCCCCCCCCCA2Mm;l

c�est-à-dire le nombre de lignes de la matrice C est le nombre de lignes de A et le nombre de

colonnes de C est le nombre de colonnes de B; avec chaque cij est la multiplication de la i�eme

ligne de A par la j�eme colonne de B mais terme à terme d�où:

cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + :::+ aimbmj

=

mXk=1

aikbkj :

Exemple 5.34 Si:

A =

0BBB@1 1 1

2 4 3

6 1 3

1CCCA 2M3;3 et B =

0BBB@2 1

3 3

0 1

1CCCA 2M3;2

) A �B =

0BBB@5 5

16 17

15 12

1CCCA 2M3;2:

Et on a: t (A �B) =t B �t A et dans le cas général la multiplication n�est pas permutative (

A �B 6= B �A) car des fois A �B existe mais B �A n�existe pas:

232

5.43 Inverse d�une matrice carrée:

On peut représenter un système d�équation sous la forme matricielle d�où:

8>>>>>><>>>>>>:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + :::+ a1nxn = y1

a21x1 + a22x2 + a13x3 + :::+ a2nxn = y2

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::

an1x1 + an2x2 + an3x3 + :::+ annxn = yn

, AX = Y

avec:

A =

0BBBBBBBBBBBB@

a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

an1 an2 : : : ann

1CCCCCCCCCCCCA; X =

0BBBBBBBBBBBB@

x1

x2

:

:

:

xn

1CCCCCCCCCCCCAet Y =

0BBBBBBBBBBBB@

y1

y2

:

:

:

yn

1CCCCCCCCCCCCA:

Alors pour chercher X il su¢ t d�inverser la matrice A et on a:

AX = Y , X = A�1Y car: A �A�1 = I:

Pour cela les deux questions qui doit se poser sont l�existence et la méthode de la recherche

de l�inverse de la matrice carrée A noté A�1:

Dans un premier pas si A est la matrice associée à une application ' alors:

A inversible, ker (') = f0Eg , ker (A) = f0Eg :

ou bien:

A inversible , les vecteurs colonnes de A sont indépendants

, les vecteurs lignes de A sont indépendants.

De plus on a:

(A �B)�1 = B�1 �A�1 et�tA��1

=t�A�1

�:

233

5.43.1 Inversion d�une matrice par la méthode de GAUSS:

Pour déterminer l�inverse de la matrice A par la méthode de GAUSS il su¢ t d�appliquer des

combinaisons linéaires simultanément à A et I qui transforment A en I et I en A�1:

Exemple 5.35 Calculer l�inverse de la matrice:

A =

0BBB@1 2 1

3 1 2

�1 4 2

1CCCA

234

En e¤et:

Le type d�opération sur

la ligne (L)A! I !

1 2 1

3 1 2

�1 4 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

L1

L2 ��31

�L1

L3 ��11

�L1

1 2 1

0 �5 �1

0 6 3

1 0 0

�3 25 0

1 0 1

L1 ��2�5

�L2

L2

L3 ��6�5

�L2

1 0 35

0 �5 �1

0 0 95

�15

425 0

�3 25 0

�135

1225 1

L1 �� 3595

�L3

L2 ��195

�L3

L3

1 0 0

0 �5 0

0 0 95

�1615 0 �1

3

�5815

1425

13

�135

1225 1

L11

L2�5L395

1 0 0

0 1 0

0 0 1

�1615 0 �1

3

5875 � 14

125 � 115

�139

1245

59

d�où:"

IA�1 =

0BBB@�1615 0 �1

3

5875 � 14

125 � 115

�139

1245

59

1CCCAAlors le principe est de rendre les constantes qui se trouvent en dehors de la diagonale est

égales à zéro colonne par colonne, donc pour la constante 3 qui se trouve dans la deuxième

ligne et la première colonne on a l�opération:

L2 ��31

�L1

la ligne ou se trouve la constante moins la constante sur le pivot (a11) fois la ligne du pivot

235

donc dans la première étape on élimine les deux constantes de la première colonne en utilisant le

premier pivot, par contre dans la deuxième étape on élimine les deux constantes de la deuxième

colonne en utilisant le deuxième pivot, dans la troisième étape on élimine les deux constantes de

la troisième colonne en utilisant le troisième pivot, et dans chaque cas on utilise l�étape l�avant

dernière. Finalement pour trouver I il su¢ t de diviser chaque ligne sur la constante qui se

trouve dans la ligne.

5.43.2 Inversion d�une matrice par la notion du déterminant:

Les déterminants:

Le déterminant d�ordre 2:

Si A est une matrice d�ordre 2 dé�nie par:

A =

0@ a b

c d

1A

Alors le déterminant de A noté detA=

�� a b

c d

�� est donné par la formule: ad� cb:Le déterminant d�ordre 3:

Si A est une matrice d�ordre 3 dé�nie par:

A =

0BBB@a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

1CCCA

Alors le déterminant de A noté detA=

��a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

�� est donné par la formule: a11a22a33 +a11a22a33 + a11a22a33

�a11a22a33 � a11a22a33 � a11a22a33 :

On peut obtenir ce développement par deux méthodes:

236

1- La règle de SARRUS:

Si detA=

��a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

�� alors la règle de SARRUS consiste à répéter, au-dessous dutableau précédent, les deux premières lignes, et à a¤ecter du signe + les produits obtenus

parallèlement à la diagonale principale

��a11

a22

a33

��, du signe - ceux obtenus parallèlement

à la diagonale non principale

��a13

a22

a31

��:��

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

��2- Le développement d�un déterminant suivant une rangée:

Dans le cas général c�est-à-dire: A 2Mn;n on a:

A =

0BBBBBBBBBBBBBBB@

:

:

:

: : : aij : : :

:

:

:

1CCCCCCCCCCCCCCCA) detA = 4 =

��

:

:

:

: : : aij : : :

:

:

:

:

��Donc chaque déterminant d�ordre n est donné par une somme de n déterminant d�ordre n� 1,

237

et il peut donc être développé de 2n façons suivant une de ses rangées, sous la forme:

detA =nXj=1

aij Xij développement suivant la ligne i:

ou bien:

detA =nXi=1

aij Yij développement suivant la colonne j:

avec:

Xij = (�1)i+j4ij , qui est le cofacteur de aij :

4ij étant le mineur de aij , déterminant d�ordre n� 1 obenu en supprimant dans 4 la ligne et

la colonne contenant aij :

La répartition des signes à prendre devant les mineurs est alternée à partir du signe + de

a11; par exemple un déterminant d�ordre 6:��

+ � + � + �

� + � + � +

+ � + � + �

� + � + � +

+ � + � + �

� + � + � +

��:

Exemple 5.36 Calculer le déterminant de

A =

0BBB@1 2 1

3 1 2

�1 4 2

1CCCA

detA =

��1 2 1

3 1 2

�1 4 2

�� = +1�� 1 2

4 2

�� 3�� 2 1

4 2

��+ (�1)�� 2 1

1 2

��c�est un développement suivant la première colonne.

= 2� 8� 12 + 12� 4 + 1 = �9:

238

Remarque 5.5 Dans l�étape l�avant dernière de la méthode GAUSS. A est sous la forme

diagonale

0BBB@1 0 0

0 �5 0

0 0 95

1CCCAdonc on trouve le même résultat detA = �9 on multipliant les éléments de la diagonale.

3- Propriétés des déterminants:

A est dite singulière si et seulement si detA = 0

A est dite régilière si et seulement si detA 6= 0

det (�A) = �n det (A) ;det�tA�= detA ,det (A �B) = detA � detB

det (A �B) = det (B �A) et det�A�1

�=

1

det (A):

Inversion d�une matrice:

Pour qu�une matrice A est inversible il su¢ t que: detA 6= 0 de plus on a:

A�1 =1

detA�t (com A)

avec (com A) est la comatrice de A obtenue en remplaçant chaque élément de A par son

cofacteur (Xij =(�1)i+j4ij , est le cofacteur de aij):

Exemple 5.37 (1) Dans le cas d�ordre 2:

0@ a c

b d

1A�1 = 1

ad� bc

0@ d �c

�b a

1A

239

Exemple 5.38 (2) Soit la matrice:

A =

0BBB@1 2 1

3 1 2

�1 4 2

1CCCA d�après les calculs qu�on fait:detA = 9

com A =

0BBB@�6 �8 13

0 3 �6

3 1 �5

1CCCA)t comA =

0BBB@�6 0 3

�8 3 1

13 �6 �5

1CCCA

) A�1 =1

detA�t (com A) =

0BBB@�69 0 3

9

�89

39

19

139

�69

�59

1CCCA :

5.44 Changement de base. Matrices semblables:

Soit, dans un espace vectoriel E de dimension n, deux bases:

B = (e1; e2; :::; en) et B0 =�e01; e

02; :::; e

0n

�On veut étudier le lien entre les coordonnées d�un vecteur u de E dans les deux bases B et B0

en utilisant les propriétés des matrices.

Si les vecteurs e0j sont dé�nies dans la base B par la formule: e0j =

nPi=1�ijei; alors la matrice

de passage de la base B à la base B0

est donnée par:

P =

0BBBBBBBBBBBB@

�11 �12 : : : �1n

�21 �22 : : : �2n

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

�n1 �n2 : : : �nn

1CCCCCCCCCCCCA

240

Alors si on pose:

X =

0BBBBBBBBBBBB@

x1

x2

�

�

�

xn

1CCCCCCCCCCCCAet X 0 =

0BBBBBBBBBBBB@

y1

y2

�

�

�

yn

1CCCCCCCCCCCCAles deux matrices d�un vecteur u dans B et B0: D�où les résultats suivants:

X = P �X 0 ou bien X 0 = P�1 �X

Exemple 5.39 Soit l�espace R3 muni de deux bases:

B = (e1; e2; e3) et B0 =�e01; e

02; e

03

�avec:

e1 = (1; 0; 0) ; e2 = (0; 1; 0) ; e3 = (0; 0; 1) ; e01 = (2; 3; 0) ; e

02 = (1;�1; 1) et e03 = (�1; 3; 5)

)

P =

0BBB@2 1 �1

3 �1 3

0 1 5

1CCCAe1

e2

e3

(c�est la matrice de passage de B à B0:

e01 e02 e03

car par exemple: e01 = (2 � e1) + (3 � e2) + (0 � e3) ; alors il su¢ t de poser les vecteurs e01; e02; e03sous la forme vertical.

Alors si le vesteur X1 =

0BBB@1

5

7

1CCCA dans la base B ) dans B0; X 01 = P

�1X1:

241

Et si le vecteur X 02 =

0BBB@�1

2

4

1CCCA dans la base B0 ) dans B;X2 = PX 02:

En e¤et:

detP = 2

�� 1 3

1 5

�� 3�� 1 �1

1 5

��+ 0�� 1 �1

�1 3

�� = �34

et : comA =

0BBB@�8 �15 �3

�6 10 �2

0 �9 �5

1CCCA)t comA =

0BBB@�8 �6 0

�15 10 �9

�3 �2 �5

1CCCA

P�1 =1

34

0BBB@8 6 0

15 �10 9

3 2 5

1CCCAAlors:

X 01 = P

�1X1 =1

34

0BBB@8 6 0

15 �10 9

3 2 5

1CCCA0BBB@1

5

7

1CCCA =

0BBB@3834

2834

4834

1CCCAet:

X2 = PX02 =

0BBB@2 1 �1

3 �1 3

0 1 5

1CCCA0BBB@�1

2

4

1CCCA =

0BBB@�4

7

22

1CCCA5.45 La matrice associée dans un changement de base:

Dans un endomorphisme:

Soit A1 la matrice associée à un endomorphisme f dans la base B1: Alors la matrice associée

à f dans un changement de base B2

est donnée par la formule:

A2 = P�1 �A1 � P

où P est la matrice de passage de la base B1 à la base B2:

242

1. Exemple 5.40 On considère l�application linéaire dé�nie par:

f : R3 ! R3

(x; y; z) 7! f (x; y; z) = (2x� y + z; 3x� y � 3z; 3x+ y + z)

(1) Déterminer la matrice M associée à f relativement a la base canonique de R3.

(2) Soient B1 = fu1; u2; u3g une base de R3 avec u1 = (2;�1;�2) ; u2 = (1; 0;�1) et u3 =

(3; 1; 2) :

a) Trouver la matrice de passage P de la base canonique de R3 à la base B1:

b) Trouver la matrice de passage Q de la base B1 à la base canonique de R3.

c) Si V est de composante

0BBB@1

�1

3

1CCCA dans la base canonique, déterminer alors les composantesde V dans la base B1:

d) Trouver la matrice N associée à f relativement a la base B1 .

Solution:

(1) La base canonique de R3 est: B = fe1; e2; e3g avec e1 = (1; 0; 0) ; e2 = (0; 1; 0) et e3 =

(0; 0; 1)

alors:

f (e1) = f (1; 0; 0) = (2; 3; 3)

f (e2) = f (0; 1; 0) = (�1;�1; 1)

f (e3) = f (0; 0; 1) = (1;�3; 1)

243

ce qui implique que:

M =

0BBB@2

3

3

�1

�1

1

1

�3

1

1CCCAe1

e2

e3

f (e1) f (e1) f (e1)


(3; 1; 2) :

a) la matrice de passage P de la base canonique de R3 à la base B1:

P =

0BBB@2 1 3

�1 0 1

�2 �1 2

1CCCAe1

e2

e3

u1 u2 u3

b) la matrice de passage Q de la base B1 à la base canonique de R3

Q = P�1 =1

detP�t (comP )

suivant la 2�eme ligne on a : detP = � (�1)

�� 1 3

�1 2

�� 1�� 2 1

�2 �1

��= 5

244

et

comP =

0BBB@1 0 1

�5 10 0

1 �5 1

1CCCA

t (comP ) =

0BBB@1 �5 1

0 10 �5

1 0 1

1CCCA

) Q =

0BBB@15 �1 1

5

0 2 �115 0 1

5

1CCCA

c) Si VB=

0BBB@1

�1

3

1CCCA dans la base canonique, déterminons alors les composantes de VB1

dans la base B1:

VB1 = Q � VB

=

0BBB@15 �1 1

5

0 2 �115 0 1

5

1CCCA �0BBB@

1

�1

3

1CCCA

=

0BBB@95

�545

1CCCA

245

d) Trouvons la matrice N associée à f relativement a la base B1:

on a: N = Q �M � P

=

0BBB@15 �1 1

5

0 2 �115 0 1

5

1CCCA �0BBB@2 �1 1

3 �1 �3

3 1 1

1CCCA �0BBB@

2 1 3

�1 0 1

�2 �1 2

1CCCA

=

0BBB@15 �1 1

5

0 2 �115 0 1

5

1CCCA �0BBB@

3 1 7

13 6 2

3 2 12

1CCCA

=

0BBB@1CCCA

Dans une application linéaire dé�nie de E dans F:

Soit A1 la matrice associée à une application linéaire f dé�nie de E muni d�une base B1 dans

F qui est muni de la base B2.

Alors après le changement de base dans E par B01 et dans F par B02: On a les deux matrices

de passages de B1 vers B01 qu�on

la note par P et de B2 vers B02 notée Q Alors la matrice associée à f dans ces changements

de bases

est donnée par la formule:

A2 = Q�1 �A1 � P

1. Exemple 5.41 On considère l�application linéaire dé�nie par:

f : R3 ! R2

(x; y; z) 7! f (x; y; z) = (2x� y + z; 3x� y � z)

(1) Déterminer la matrice M1 associée à f relativement aux bases canoniques de R3 et R2.


246

(3; 1; 2)

et B02 = fe01; e02g avec e01 = (1; 3) et e02 = (2; 5) une base de R2 :


b) Trouver la matrice de passage Q de la base canonique de R2 à la base B02:

c) Trouver la matrice de passage P�1 de la base B01 à la base canonique de R3.

d) Trouver la matrice de passage Q�1 de la base B02 à la base canonique de R2.

e) Si V1 est de composante

0BBB@1

�1

3

1CCCA dans la base canonique, déterminer alors les com-

posantes de V1 dans la base B01:

f) Si V2 est de composante

0@ 1

7

1A dans la base B02, déterminer alors les composantes de V2

dans la base canonique :

g) Trouver la matrice M2 associée à f relativement aux bases B01 et B02 .

5.46 Exercice:

Exercice 01: On considère l�application de R3 dans R3 dé�nie par:

f (x; y; z) = (2x� 6z; y + 5z; x� 3z)

(1) Montrer que f est une application linéaire.

(2) trouver le noyau de f (ker f) :

(3) Déduire dim (ker f) et dim (Im f) :

Exercice 02: Répondre par vrai ou faux et justi�er votre réponse:

1) A2 = I ) A = �I 2) A2 = 0) A = 0 3) A2 = A) A = I ou A = 0:

4) supp A diagonale ) A �B = B �A 5) supp A �B = B �A ) A �t B =t B �A

247

6) supp A �B = B �A et A�1existe) A�1 �B = B �A�1

Exercice 03: Soit A une matrice carrée

1) Montrer que: si A4 = 0 alors (I �A)�1 = I + A+ A2 + A3. Dans ce cas (I +A) est-elle

inversible?

Si oui donner son inverse.

2) Supp: Montrer que: si An+1 = 0 alors (I �A)�1 = I+A+ � � �+An. Dans ce cas (I +A) est-elle

inversible?

Si oui donner son inverse.

Exercice 04: 1) Calculer l�inverse de la matrice A =

0BBB@1 2 �1

�1 2 3

4 5 2

1CCCA par la méthode de GAUSS et

par la notion de la comatrice.

2) Déterminer le rang de la matrice suivante:

C =

0BBB@1 1 3 5

1 2 5 9

2 3 8 14

1CCCAExercice 05: On considère l�application linéaire dé�nie par:

f : R2 ! R2

(x; y) 7! f (x; y) = (2x� y; 3x� 5y)

(1) Trouver la matrice M associée à f relativement à la base canonique

B de R2 :

(2) Soit B1 = fu1; u2g une base de R2 avec u1 = (2;�1) ; u2 = (5; 3) :


248

b) Trouver la matrice de passage Q de la base B1 à la base canonique de R2 :

c) Si V1 est de composante

0@ 2

7

1A dans la base canonique, déterminer alors les composantes

de V dans la base B1:

d) Déduire la matrice N associée à f relativement à la base B1:

Exercice 05: On considère l�application linéaire dé�nie par:

f : R3 ! R3

(x; y; z) 7! f (x; y; z) = (2x� y + z; 3x� y � z; 4x+ y + z)

(1) Trouver la matrice M associée à f relativement à la base canonique B de R3 :

(2) Soit B1 = fu1; u2; u3g une base de R3 avec u1 = (2;�1;�2) ; u2 = (1; 0;�1) et u3 =

(3; 1; 2) :


b) Si V est de composante

0BBB@1

�1

3


c) Trouver la matrice N associée à f relativement à la base B1:


f : R2 ! R3

(x; y) 7! f (x; y) = (x; y; x+ y)

Soient B2 = fe1; e2g et B3 = fu1; u2; u3g les bases canoniques

de R2 et R3:

(1) Donner la matrice M associée à f relativement aux bases B2 et B3:

249

(2) Soient C2 = fv1; v2g une base de R2 avec v1 = (1; 1) ; v2 = (�1; 0) et C3 = fw1; w2; w3g

une base de R3

avec w1 = (0; 1; 3) ; w2 = (�1; 0; 1) et w3 = (�2;�1; 0) :

a) Trouver la matrice de passage P de la base B2 à la base C2:

b) Déterminer la matrice de passage Q de la base B3 à la base C3.

c) Si V est de composante

0BBB@1

5

2

1CCCA dans la base B3, déterminer alors les composantes de V

dans la base C3:

d) Trouver la matrice N associée à f relativement aux bases C2 et C3:

5.47 Université de Tlemcen AnnéeUniversitaire

: 2010 - 2011.

Faculté des sciences Le: 17 - 02- 2011

Tronc Commun LMD ST-SM Epreuve Finale

Module: MATH 1 Sujet n�1 Durée: 1h 30

Exercice 01: (9pts) Soient (Un) et (Vn) deux suites dé�nies par:8<: U0 = 3

Un+1 =Un+Vn2

et

8<: V0 =12

Vn+1 =Un+1+Vn

2

(1) (1 pt) Montrer par récurrence que: 8n 2 N, Vn � Un:

(2) (1 pt) (Un) est-elle croissante ou décroissante? justi�er votre réponse.

(3) (1 pt) (Vn) est-elle croissante ou décroissante? justi�er votre réponse.

(4) (1 pt) En déduire que les suites (Un) et (Vn) sont convergentes.

250

(5) (1 pt) En déduire que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.

(6) On dé�nit la suite (Wn) par: Wn = Vn � Un:

a) (1 pt) Montrer que (Wn) est une suite géométrique.

b) (1 pt) calculer la limite de (Wn) par deux méthodes di¤érentes.

(7) Soit la suite (Tn) dé�nie par:

Tn =Un + 2Vn

2

a) (1 pt) Etudier la monotonie de la suite (Tn)n2N :

b) (1 pt) En déduire:

limn!+1

Un et limn!+1

Vn:

EXERCICE 02: (7pts) Soit la suite (Un) dé�nie par:

U0 =1

2; Un+1 =

r1 + Un2

pour tout n � 0:

(1) (1 pt+1 pt) Montrer que: 8n 2 N : Un i 0 et Un h 1:

(2) (1 pt) (Un) est-elle croissante ou décroissante? justi�er votre réponse.

(3) (0.5 pt) En déduire que la suite (Un) est convergente.

(4) (1 pt) Démontrer que, pour tout n 2 N, on a:

jUn+1 � 1j �1

2jUn � 1j

(5) (1 pt) En déduire que, pour tout n 2 N, on a:

jUn � 1j ��1

2

�njU0 � 1j

(6) (1.5 pt) En déduire de (5) la limite de la suite (Un)n2N :

251

EXERCICE 03: (4pts) Soit f une fonction dé�nie par:

8<: x2 lnxx+1 si x > 0

sinx� x si x � 0

(1) (1 pt) Donner l�ensemble de dé�nition de la fonction f:

(2) (1.5 pt) Cette fonction est-elle continue pour x = 0?

(3) (1.5 pt) Est-elle dérivable pour x = 0?

UniversitédeTlemcen AnnéeUniversitaire :

2010 - 2011.

Faculté des sciences Tronc

Commun LMD ST-SM Epreuve Finale

Module: MATH 1 Sujet n�1 "Le corrigé"

Exercice 01: Soient (Un) et (Vn) deux suites dé�nies par:8<: U0 = 3

Un+1 =Un+Vn2

et

8<: V0 =12

Vn+1 =Un+1+Vn

2

(1) Montrons par récurrence que: 8n 2 N, Vn � Un:

Pour n = 0 on a: 12 < 3) V0 < U0: (0.25 pt)

Supposons que: Vn � Un pour un n 2 N et montrons que: Vn+1 � Un+1:

Vn+1 � Un+1 = Un+1+Vn2 � Un+1 = Vn�Un+1

2 = Vn2 �

Un+Vn4 = Vn�Un

4 � 0 d�après l�hypothèse

de récurrence. (0.75 pt)

Conclusion: 8n 2 N, Vn � Un:

(2) (1 pt) (Un) est-elle croissante ou décroissante?

Un+1 � Un = Un+Vn2 � Un = Vn�Un

2 � 0 d�après (1)) (Un) est décroissante.

(3) (1 pt) (Vn) est-elle croissante ou décroissante?

252

Vn+1 � Vn = Un+1+Vn2 � Vn = Un+1�Vn

2 = Un+Vn4 � Vn

2 = Un�Vn4 � 0 d�après (1)) (Vn) est

croissante.

(4) (1pt) En déduire que les suites (Un) et (Vn) sont convergentes.

- (Un) est une suite décroissante minorée par V0 ) (Un) est convergente

(on pose: l1 sa limite).

- (Vn) est une suite croissante majorée par U0 ) (Vn) est convergente (on pose: l2 sa limite).

(5) En déduire que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.

- On a: 8n 2 N, Vn � Un:(0.25pt)

- En plus: (Un) est une suite décroissante et (Vn) est une suite croissante . (0.25pt)

- Dans la relation de récurrence on a: (0.5pt)

Un+1 =Un + Vn

2) lim

n!+1Un+1 = lim

n!+1Un + Vn

2

l1 =l1 + l22

) l1 = l2:

Alors les deux suites sont adjacentes.

(6) On dé�nit la suite (Wn) par: Wn = Vn � Un:

a) (1pt) Montrons que (Wn) est une suite géométrique.

Wn+1

Wn=

Vn+1 � Un+1Vn � Un

=Un+1+Vn

2 � Un+1Vn � Un

=Vn�Un+1

2

Vn � Un=

Vn�Un+Vn2

2

Vn � Un=

Vn�Un4

Vn � Un=1

4:

Alors (Wn) est une suite géométrique de raison 14 :

b) calculer la limite de (Wn) par deux méthodes di¤érentes.

a) (0.5pt)

limn!+1

Wn = limn!+1

(Vn � Un) = l1 � l2 = 0 car: l1 = l2

253

b) (0.5pt)

Wn =

�1

4

�nW0 ) lim

n!+1Wn = 0:

(7) Soit la suite (Tn) dé�nie par:

Tn =Un + 2Vn

2

a) (1pt) Etudier la monotonie de la suite (Tn)n2N :

Tn+1 � Tn = Un+1+2Vn+12 � Un+2Vn

2 =Un+Vn

2+2

Un+1+Vn2

2 � Un+2Vn2

=Un+Vn

2+2

Un+Vn2 +Vn2

2 � Un+2Vn2 = 0;8n 2 N

Alors Tn est une suite constante.

b) (1pt) En déduire:

limn!+1

Un et limn!+1

Vn:

On a: Tn = T0 = U0+2V02 =

3+2� 12

2 = 2)

limn!+1

Un + 2Vn2

=l1 + 2l12

= 2) l1 = l2 =4

3:

EXERCICE 02: Soit la suite (Un) dé�nie par:

U0 =1

2; Un+1 =

r1 + Un2

pour tout n � 1:

(1) Montrer que: 8n 2 N : Un i 0 et Un h 1:

a) Un > 0::::: (An)

Pour n = 0 on a: U0 = 12 > 0 ) (A0) est vraie....(0.25). Supposons que (An) est vraie

pour un n 2 N:

et montrons que(An+1) est vraie ç-a-d:Un+1 > 0?

en e¤et: :Un+1 =q

1+Un2 > 0 (0.75pt)

D�où Un > 0, 8n 2 N:

254

b) Un < 1::::: (Bn)

Pour n = 0 on a: U0 = 12 < 1 ) (B0) est vraie....(0.25). Supposons que (Bn) est vraie

pour un n 2 N:

et montrons que(Bn+1) est vraie ç-a-d:Un+1 < 1?

en e¤et: :Un+1� 1 =q

1+Un2 � 1 =

Un�12q

1+Un2

+1<0 (0.75pt)

D�où Un < 1::8n 2 N:

(2) (1pt) (Un) est-elle croissante ou décroissante?

(Un)n 2N est croissante, car:

Un+1 � Un =

r1 + Un2

� Un =1+Un2 � U2nq1+Un2 + Un

=�2U2n + Un + 1q

1+Un2 + Un

� 0 car 0<Un < 1: (après l�étude du polynôme)

(3) (0.5 pt) En déduire que la suite (Un) est convergente.

La suite (Un)n 2N est convergente car elle est croissante majorée par 1:

(4) (1 pt) Démontrer que, pour tout n 2 N, on a:

jUn+1 � 1j �1

2jUn � 1j

jUn+1 � 1j =

��r1 + Un2

� 1�� =

��Un�12q

1+Un2 + 1

�� 1

2jUn � 1j

car:1q

1+Un2 + 1

� 1:

(5) (1 pt) En déduire que, pour tout n 2 N, on a:

jUn � 1j ��1

2

�njU0 � 1j

255

D�après (4)

jUn � 1j �1

2jUn�1 � 1j �

�1

2

�2jUn�2 � 1j � ��

�1

2

�njUn�n � 1j =

�1

2

�njU0 � 1j :

(6) (1.5 pt) En déduire de (5) la limite de la suite (Un)n2N :

jUn � 1j ��1

2

�njU0 � 1j ) lim

n!+1jUn � 1j � lim

n!+1

�1

2

�njU0 � 1j = 0

) limn!+1

jUn � 1j = 0) limn!+1

Un � 1 = 0) limn!+1

Un = 1

EXERCICE 03: Soit f une fonction dé�nie par:

8<: x2 lnxx+1 si x > 0

sinx� x si x � 0

(1) (1pt) L�ensemble de dé�nition de la fonction f est: Df = R:

(2) (1.5pt) Cette fonction est-elle continue pour x = 0?

limx!0+

x2 lnx

x+ 1= 0 et lim

x!0�(sinx� x) = f (0) = 0

) limx!0+

f (x) = limx!0�

f (x) = f (0) = 0

Alors f est continue en 0.

(3) (1.5pt) Est-elle dérivable pour x = 0?

La dérivée à droite:

limx!0+

f (x)� f (0)x� 0 = lim

x!0+x lnx

x+ 1= 0

La dérivée à gauche:

limx!0�

f (x)� f (0)x� 0 = lim

x!0�sinx� x

x= limx!0�

sinx

x� 1 = 0

) limx!0+

f (x)� f (0)x� 0 = lim

x!0�f (x)� f (0)

x� 0

Alors f est dérivable en 0.

Université de Tlemcen Année Universitaire : 2007-2008

256

Faculté des sciences MATH 2

Tronc Commun LMD ST-SM

Contrôle continu

Mai 2008 �Durée : 1 h 30.

N-B : Inscrire le numéro de groupe sur la copie d�examen.****************************************************

Questions de cours: ( sur 6 points) (1) Donner la forme générale d�une équation di¤érentielle linéaire du premier ordre.

(2) Résoudre l�équation :

x y0+ y = arctanx

(3) Donner la forme générale d�une équation di¤érentielle linéaire du 2ème ordre à coef-

�cients constants.


y"+ 2 y

0+ y = 4 x2:

Exercice 01: ( sur 5.5 points) Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:

F = f(x; y; z) ;x = y = zg G = f(x; 0; z) ;x 2 R , z 2 Rg

(1) Montrer que F et G sont des s-ev de R3:

(2) F et G sont-ils supplémentaires?:

Exercice 02:( sur 8.5 points) Calculer les intégrales indé�nies suivantes:

1)

Z1

x (x� 1)2 (x2 + 1)d x .

2)

Zd x

cosx� sinx+ 1

257

3)

Zd x

x2 + 2x+ 2

1. (1) Donner la forme générale d�une équation di¤érentielle linéaire du premier ordre.

A(x) y0+B(x) y = C(x) .....(0.25).

avec A(x) ; B(x) et C(x) sont des fonctions continues sur I � R ..........(0.25).


x y0+ y = arctanx

Sans seconde membre:......(1 point).

Avec seconde membre:......(1.25 point).

Conclusion..........(0.25)

(3) Donner la forme générale d�une équation di¤érentielle linéaire du 2ème ordre à coef-

�cients constants.

Ay"+B y

0+ C y = f (x) : ou y

"+B y

0+ C y = f (x) : .....(0.25).

avec A ;B et C sont des constantes (A 6= 0 ....(0.25)) et f (x) est une fonction

continue sur I � R ..........(0.25).


y"+ 2 y

0+ y = 4 x2:

Sans seconde membre:......(1 point).

Avec seconde membre:......(1 point).

Conclusion..........(0.25)

Exercice 01: ( sur 5.5 points) Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:

F = f(x; y; z) ;x = y = zg G = f(x; 0; z) ;x 2 R , z 2 Rg

258

(1)

F 6= ?........(0.25) + (0.25) sur la preuve

:::u1 + u2 ......(0.25)+ (0.25) sur la preuve

::::�u..........(0.25)+ (0.25) sur la preuve, de même pour G:

(2)

F \G = f(0; 0; 0)g ........(0.25)

" � " ......(0.25) + " � "......(0.5)

R3 = F +G........(0.25)

" � " ......(0.25) + " � "......(0.5)

Conclsion: la somme est directe......(0.25) ) F et G sont supplémentaires.....(0.25)

259

Exercice 02:( sur 8.5 points) Calculer les intégrales indé�nies suivantes:

1)

Z1

x (x� 1)2 (x2 + 1)d x .

la décomposition en éléments simples.....(0.25 + 0.25 + 0.25 +0.25)

calcul des 4 constantes.......(0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 +0.25)

calcul des 3 intégrales......(0.25 + 0.25 + 0.25+0.25+0.25 )+ ( 0.25 sur la cste)

2)

Zd x

cosx� sinx+ 1 :

t = tanx

2...........(0.25)

x = 2arctan z............(0.25)

dx =2

1 + z2dz............(0.25)

cosx =1� z21 + z2

............( 0.5 )

sinx =2z

1 + z2................(0.5 )Z 2

1+z2dz

1�z21+z2

.� 2z1+z2

+ 1=

Z2dz

1� z2 � 2z + 1 + z2 = :la réponse en z = :la réponse en x

(0.25 + 0.25 + 0.5 + 0.25) + ( 0.25 sur la cste)

3)

Zd x

(x2 + 2x+ 2):Z

d x

(x2 + 2x+ 1 + 1)...........(0.25)Z

d x

(x+ 1)2 + 1...........(0.25)

On pose : y = x+ 1) dx = dy..........(0.25) + (0.25)Zd y

y2 + 1= arctan y + c , c 2 R..........(0.25)

= arctan (x+ 1) + c , c 2 R..........(0.25)


Faculté des sciences MATH 1 Tronc

Commun LMD ST-SM Contrôle continu (Le rattrapage)

260

19 Janvier 2011 �Durée : 1 h 30.

Exercice 01:

(1) Soit E un ensemble sur lequel est dé�nie une relation binaire < qui est:

transitive et 8x 2 E, x n�est pas en relation avec lui même par la relation <:

1. On dé�nit sur E une autre relation dé�nie par::

a b, a <b ou a = b

est-elle une relation d�ordre?

(2) Dans Z� on dé�nit la relation = par:

x = y , a divise b ou b divise a:

caractériser l�ensemble quotient Z�== s�il existe?

(3) Dans P (N), ensemble des parties de N, on dé�nit la relation d�ordre � par:

8 (A;B) 2 P (N)� P (N) ; A � B , B � A

(a) Cet ordre est-il total ? Just�er.

(b) Montrer que P (N) admet un majorant et un minorant relativement à l�ordre �.

(4) Soit la relation d�ordre dé�nie sur N� par:

x y , 9 n 2 N tel que : x n = y .

Soit l�ensemble A = f1; 4; 8g : Déterminer s�ils existent, Max A et Min A pour l�ordre :

Exercice 02:

261

Soit la fonction: f : R! ]�1; 1[ dé�nie par:

x 7! f (x) =x

1 + jxj :

f est-elle injective? surjective? bijective? Justi�er et si oui déterminer la fonction inverse

(réciproque).

Exercice 03: Soient a et x des nombres réels. Montrer par l�absurde que:

Si [a 6= 0 et que l�on a jx� aj < a] alors [x 6= 0 et le signe de x est le signe de a]:

.

Barème: Ex 01 : 11 pts ; Ex 02: 5 pts ;

Ex 03: 4 pts .



Commun LMD ST-SM Contrôle continu Le rattrapage" Le corrigé"

04 Juin 2011 �Durée : 1 h 30.

Exercice 01: (5points) Calculer les intégrales indé�nies suivantes:

1)I1 =

Zdx

1� 2 sinx+ cosx .

On pose : x = 2arctan z ) dx =2

1 + z2dz; sinx =

2z

1 + z2, cosx =

1� z21 + z2

et z = tanx

2

) I1 =

Z 21+z2

dz

1� 2 � 2z1+z2

+ 1�z21+z2

=

Zdz

z2 � 2z + 1 =Z

dz

(z � 1)2= � 1

z � 1 + c; c 2 R

) I1 = �1

tan x2 � 1+ c; c 2 R

262

2) I2 =

Z2x+ 6

3x2 + x+ 1dx =

1

3

Z6x+ 18

3x2 + x+ 1dx =

1

3

Z6x+ 1 + 17

3x2 + x+ 1dx

=1

3

Z6x+ 1

3x2 + x+ 1dx+

17

3

Z1

3x2 + x+ 1dx

=1

3ln�3x2 + x+ 1

�+17

9

Z1

x2 + x3 +

13

dx

=1

3ln�3x2 + x+ 1

�+17

9

Z1

x2 + x3 +

136 �

136 +

13

dx

=1

3ln�3x2 + x+ 1

�+17

9

Z1�

x+ 16

�2+ 11

36

dx

=1

3ln�3x2 + x+ 1

�+17

9� 3611

Z1�

6x+1p11

�2+ 1

dx

on pose: t = 6x+1p11) dt = 6p

11dx)

I2 =1

3ln�3x2 + x+ 1

�+17

9� 3611�p11

6arctan

�6x+ 1p11

�+ c; c 2 R

=1

3ln�3x2 + x+ 1

�+

34

3p11arctan

�6x+ 1p11

�+ c; c 2 R

Exercice 02: (15 points)

(1) Soit f : R! R tel que: f (x) = x+ ex une fonction bijective.

On note g son application réciproque qui est indé�niment dérivable sur R:

a) (3 points) Sans calculer g trouver les valeurs de g (1) ; g0 (1) et g00 (1) :

On remarque que: f (0) = 1) g (1) = 0: En plus on a: g0 (y) = 1f 0(x) =

1f 0(g(y)) ) g0 (1) =

1f 0(0) =

12 :

De même: g00 (y) = �f 00(g(y))�g0(y)(f 0(g(y)))2

) g00 (1) = �f 00(0)

(f 0(0))3= �8

b) (1point) En déduire le développement limité de g au point 1 à l�ordre 2.

Le Dl est: 12 (x� 1)� 4 (x� 1)2 + o (x� 1)2 :

263

(2) (3points) Déterminer a; b 2 R� pour qu�au voisinage de 0:

arctanx� x� ax3

1 + bx2= o

�x5�

On a: arctanx = x� x3

3 +x5

5 + o�x5�et x�ax

3

1+bx2= x� (a+ b)x3+ b (a+ b)x5+ o

�x5�par

la division suivant les puissances croissantes.

arctanx� x�ax31+bx2

= o�x5�,

8<: a+ b� 13 = 0

b (a+ b)� 15 = 0

) a = �415 et b =

35 :

(3) Soit f une fonction de classe C2 sur [0; 1], f (0) = 0:

a) (1point) Ecrire la formule de Mac-Laurin de f à l�ordre 1:

f (x) = f (0) + f 0 (0) x+x2

2f 00 (�x) ; 0 < � < 1;8x 2 [0; 1] :

b) (3points) En déduire la limite de la suite (Un)n �1 dé�nie par le terme général:

Un =

nXk=1

f

�k

n2

�; n � 1:

On:

0 <k

n2� 1;8n � 1 et 8k 2 f0; 1; :::; ng

) f

�k

n2

�=k

n2f 0 (0) +

k2

2n4f 00��k

n

�)

nXk=1

f

�k

n2

�=f 0 (0)

n2

nXk=1

k +f 00 �� kn�2n4

nXk=1

k2

=f 0 (0)

n2� n (n+ 1)

2+f 00 �� kn�2n4

� n (n+ 1) (2n+ 1)6

) limn!+1

Un =f 0 (0)

2:

Indication:nXk=1

k =n (n+ 1)

2et

nXk=1

k2 =n (n+ 1) (2n+ 1)

6:

264

(4) (2points+2points) Calculer les limites suivantes en utilisant la notion du développement limité.

a) limx!+1

�ax + bx

2

� 1x

, b) limx!1

�tan

�x

4

�tan �x2:

limx!+1

�ax + bx

2

� 1x

= e1xln�ax+bx

2

�=

8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

a si b = a

limx!+1

e

1xln

ax

1+( ba)x

2

!= limx!+1

e

1xln

ax

1+( ba)x

2

!

= lim eln a�1xln 2+ 1

x(ba)

x

= ax!+1

si b < a

= b si a < b

= max (a; b) :

b = limx!1

�tan

�x

4

�tan �x2

on pose: y = x� 1

) b = limy!0

etan(�y2+�2 ) ln(tan(

�y4+�4 ))

= limy!0

e� cot an(�y2 ) ln

�1+tan

�y4

1�tan �y4

�

= limy!0

e� 2�y

�1+tan

�y4

1�tan �y4�1�= limy!0

e� 4 tan

�y4

�y = e�1 car: tan� w � au V (0) :

Barème: Ex 01 : 5pts ; Ex 02: 15pts.



Commun LMD ST-SM Contrôle continu Le rattrapage

04 Juin 2011 �Durée : 1 h 30.


1)

Zdx

1� 2 sinx+ cosx .

265

2)

Z2x+ 6

3x2 + x+ 1dx :







arctanx� x� ax3

1 + bx2= o

�x5�




Un =nXk=1

f

�k

n2

�; n � 1:

Indication:nXk=1

k =n (n+ 1)

2et

nXk=1

k2 =n (n+ 1) (2n+ 1)

6:


a) limx!+1

�ax + bx

2

� 1x

, b) limx!1

�tan

�x

4

�tan �x2:


266



Commun LMD ST-SM Contrôle continu Le rattrapage" Le corrigé"

04 Juin 2011 �Durée : 1 h 30.


1)I1 =

Zdx

1� 2 sinx+ cosx .

On pose : x = 2arctan z ) dx =2

1 + z2dz; sinx =

2z

1 + z2, cosx =

1� z21 + z2

et z = tanx

2

) I1 =

Z 21+z2

dz

1� 2 � 2z1+z2

+ 1�z21+z2

=

Zdz

z2 � 2z + 1 =Z

dz

(z � 1)2= � 1

z � 1 + c; c 2 R

) I1 = �1

tan x2 � 1+ c; c 2 R

2) I2 =

Z2x+ 6

3x2 + x+ 1dx =

1

3

Z6x+ 18

3x2 + x+ 1dx =

1

3

Z6x+ 1 + 17

3x2 + x+ 1dx

=1

3

Z6x+ 1

3x2 + x+ 1dx+

17

3

Z1

3x2 + x+ 1dx

=1

3ln�3x2 + x+ 1

�+17

9

Z1

x2 + x3 +

13

dx

=1

3ln�3x2 + x+ 1

�+17

9

Z1

x2 + x3 +

136 �

136 +

13

dx

=1

3ln�3x2 + x+ 1

�+17

9

Z1�

x+ 16

�2+ 11

36

dx

=1

3ln�3x2 + x+ 1

�+17

9� 3611

Z1�

6x+1p11

�2+ 1

dx

267

on pose: t = 6x+1p11) dt = 6p

11dx)

I2 =1

3ln�3x2 + x+ 1

�+17

9� 3611�p11

6arctan

�6x+ 1p11

�+ c; c 2 R

=1

3ln�3x2 + x+ 1

�+

34

3p11arctan

�6x+ 1p11

�+ c; c 2 R





On remarque que: f (0) = 1) g (1) = 0: En plus on a: g0 (y) = 1f 0(x) =

1f 0(g(y)) ) g0 (1) =

1f 0(0) =

12 :

De même: g00 (y) = �f 00(g(y))�g0(y)(f 0(g(y)))2

) g00 (1) = �f 00(0)

(f 0(0))3= �8


Le Dl est: 12 (x� 1)� 4 (x� 1)2 + o (x� 1)2 :


arctanx� x� ax3

1 + bx2= o

�x5�

On a: arctanx = x� x3

3 +x5

5 + o�x5�et x�ax

3

1+bx2= x� (a+ b)x3+ b (a+ b)x5+ o

�x5�par

la division suivant les puissances croissantes.

arctanx� x�ax31+bx2

= o�x5�,

8<: a+ b� 13 = 0

b (a+ b)� 15 = 0

) a = �415 et b =

35 :



f (x) = f (0) + f 0 (0) x+x2

2f 00 (�x) ; 0 < � < 1;8x 2 [0; 1] :

268


Un =

nXk=1

f

�k

n2

�; n � 1:

On:

0 <k

n2� 1;8n � 1 et 8k 2 f0; 1; :::; ng

) f

�k

n2

�=k

n2f 0 (0) +

k2

2n4f 00��k

n

�)

nXk=1

f

�k

n2

�=f 0 (0)

n2

nXk=1

k +f 00 �� kn�2n4

nXk=1

k2

=f 0 (0)

n2� n (n+ 1)

2+f 00 �� kn�2n4

� n (n+ 1) (2n+ 1)6

) limn!+1

Un =f 0 (0)

2:

Indication:nXk=1

k =n (n+ 1)

2et

nXk=1

k2 =n (n+ 1) (2n+ 1)

6:


a) limx!+1

�ax + bx

2

� 1x

, b) limx!1

�tan

�x

4

�tan �x2:

limx!+1

�ax + bx

2

� 1x

= e1xln�ax+bx

2

�=

8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

a si b = a

limx!+1

e

1xln

ax

1+( ba)x

2

!= limx!+1

e

1xln

ax

1+( ba)x

2

!

= lim eln a�1xln 2+ 1

x(ba)

x

= ax!+1

si b < a

= b si a < b

= max (a; b) :

269

b = limx!1

�tan

�x

4

�tan �x2

on pose: y = x� 1

) b = limy!0

etan(�y2+�2 ) ln(tan(

�y4+�4 ))

= limy!0

e� cot an(�y2 ) ln

�1+tan

�y4

1�tan �y4

�

= limy!0

e� 2�y

�1+tan

�y4

1�tan �y4�1�= limy!0

e� 4 tan

�y4

�y = e�1 car: tan� w � au V (0) :




Commun LMD ST-SM Contrôle continu Sujet 1

21 Mai 2011 �Durée : 1 h 30.


1)

Zdx

1� 2 sinx+ cosx .

2)

Zsin4 x cos2 x dx :

3)

Zx+ 6

x2 + x+ 1dx .


E1 =�(a; b; b� a) 2 R3= a; b 2 R

et E2 =

�(a; b;�a) 2 R3= a; b 2 R

:



270



(4) Est ce que: R3 = E1 + E2? justi�er votre réponse.

(5) Déterminer E1 \ E2:


Exercice 03: (1) Citer les développements limités à l�ordre 4 au voisinage de 0 des fonctions suivantes:

(1) f (u) = sinu , (2) g (u) = ln (1 + u)

(2) Déduire les développements limités à l�ordre 3 au voisinage de 0 des fonctions:

k (x) = ln (1 + sinx) ; h (x) = esinx et L (x) =�sinx

x

� 1x2

:

Barème: Ex 01 : pts ; Ex 02: pts ; Ex 03: pts.


Faculté des sciences MATH 2Tronc Commun LMD ST-SM Contrôle continu Sujet 1

21 Mai 2011 �Durée : 1 h 30.

Exercice 01: (8 points) Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:

E1 =�(a; b; b� a) 2 R3= a; b 2 R

et E2 =

�(a; b;�2a) 2 R3= a; b 2 R

:

avec E2 s-e-v de R3:

(1) (1point) Montrer que E1 est un s-e-v de R3:

(2) (2points) Déterminer une base B1 de E1 et une base B2 de E2:

271

(3) (1point) En déduire dimE1 et dimE2:

(4) (2points) A-t-on: R3 = E1 + E2? Justi�er votre réponse.

(5) (1point) Déterminer E1 \ E2:

(6) (1point) Déduire si la somme est directe ou non.

Exercice 02: (12 points) (1) (1.5 point+1.5 point) Citer les développements limités à l�ordre 4 au voisinage de

0 des fonctions suivantes:

(1) f (u) = sinu (2) g (u) = ln (1 + u) :

(2) (2points+2 points) Calculer les développements limités à l�ordre 3 au voisinage de


k (x) = ln (1 + sinx) h (x) = esinx

(3) (3points) Calculer le développement limité à l�ordre 3 au point 0 de la fonction M

dé�nie par:

M(x) =�1 + x+ x2

� 1x :

(4) (2points) Calculer l�intégrale indé�nie suivante:

Zxdx

(2� x)2:



Commun LMD ST-SM Contrôle continu - Sujet 1 - Le Corrigé.

21 Mai 2011 �Durée : 1 h 30.

272

Exercice 01: (8 points) Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:

E1 =�(a; b; b� a) 2 R3= a; b 2 R

et E2 =

�(a; b;�2a) 2 R3= a; b 2 R

:

avec E2 s-e-v de R3:

(1) (1point) Montrons que E1 est un s-e-v de R3:

a) E1 6= ;?

(0; 0; 0) 2 E1 ) E1 6= ;:

b) 8 u1; u2 2 E1 ) u1 + u2 2 E1?

Soient u1; u2 2 E1 ) u1 = (a1; b1; b1 � a1) et u2 = (a2; b2; b2 � a2)

) u1 + u2 = ((a1 + a2) ; (b1 + b2) ; (b1 + b2)� (a1 + a2)) 2 E1

c) 8 u 2 E1;8� 2 R) �u 2 E1?

Soient u 2 E1 et � 2 R) u = (a; b; b� a)

) �u = (�a; �b; �b� �a) 2 E1


(2) (2points) Déterminons une base B1 de E1 et une base B2 de E2:

a)

u 2 E1 ) u = (a; b; b� a) = a (1; 0;�1) + b (0; 1; 1)

alors B1 = f(1; 0;�1) ; (0; 1; 1) g engendre E1: mais:

� (1; 0;�1) + � (0; 1; 1) = (0; 0; 0)) � = � = 0


Ce qui implique que B1 = f (1; 0;�1) ; (0; 1; 1)g est une base de E1:

b)

273

u 2 E2 ) u = (a; b;�2a) = a (1; 0;�2) + b (0; 1; 0)

alors B2 = f (1; 0;�2) ; (0; 1; 0)g engendre E2: mais:

� (1; 0;�2) + � (0; 1; 0) = (0; 0; 0)) � = � = 0


Ce qui implique que B2 = f (1; 0;�2) ; (0; 1; 0)g est une base de E2:

(3) (1 point) En déduire dimE1 et dimE2:


(4) A-t-on: R3 = E1 + E2? Justi�er votre réponse.

a) (0,5 point) " �" E1 � R3 et E2 � R3 ) E1 + E2 � R3:

b) (1.5 point) "�" soit u 2 R3 ) u = (x; y; z) = (a; b; b� a) + (�; �;�2�)

)

8>>><>>>:x = a+ �

y = b+ �

z = b� a� 2�

) pour b = 0 par exemple on trouve

8>>><>>>:� = �x� z

a = 2x+ z

� = y

) u = (x; y; z) = (2x+ z; 0;�2x� z) + (�x� z; y; 2x+ 2z)

2 E1 + E2 d�où: R3 = E1 + E2:

(5) (1point) Déterminons E1 \ E2:

si : u 2 E1 \ E2 ) u = (a; b; b� a) et u = (a; b;�2a)

b� a = �2a) a = �b) E1 \ E2 = f(�b; b; 2b) ; b 2 Rg = fb (�1; 1; 2) ; b 2 Rg

(6) (1point) Déduire si la somme est directe ou non.

274


) dimE1 + dimE2 = 4 6= dimR3 = 3

ou bien

E1 \ E2 6= f(0; 0; 0)g

ce qui implique que la somme n�est pas directe.

Exercice 02: (12 points) (1) (1.5 point+1.5 point) Citer les développements limités à l�ordre 4 au voisinage

de 0 des fonctions suivantes:

(1) f (u) = sinu (2) g (u) = ln (1 + u) :

En e¤et:

f (u) = sinu = u� u3

6 + u4"1 (u) avec lim

u!0"1 (u) = 0

g (u) = ln (1 + u) = u� u22 +

u3

3 �u4

4 + u4"2 (u) avec lim

u!0"2 (u) = 0

(2) (2points+2points) Calculer les développements limités à l�ordre 3 au voisinage de


k (x) = ln (1 + sinx) ; h (x) = esinx

En e¤et:

k (x) = ln (1 + sinx) =

�x� x

3

6

�� x

2

2+x3

3+ x3"3 (x) avec lim

x!0"2 (x) = 0

= x� x2

2+x3


x!0"2 (x) = 0

275

et

h (x) = esinx on a: eu = 1 + u+u2

2+u3

6+ u3"4 (u) avec lim

u!0"4 (u) = 0

) esinx = 1 +

�x� x

3

6

�+x2

2+x3


u!0"5 (u) = 0

= 1 + x+x2


u!0"5 (u) = 0

(3) (3points) Calculer le développement limité à l�ordre 3 au point 0 de la fonction M

dé�nie par:

M(x) =�1 + x+ x2

� 1x :

M(x) =�1 + x+ x2

� 1x = e

1xln(1+x+x2)

On a: ln (1 + u) = u� 12u2 + 1

3u3 � 1

4u4 + u4" (u)! 0 qd u! 0 ( à l�ordre 4), donc si on

pose: u = x+ x2

on trouve: ln�1 + x+ x2

�= x+ x2

2 �23x3+ x4

4 +x4"1 (x) (on tronque que les termes d�ordre

� 4)

) 1x ln

�1 + x+ x2

�= 1+ x

2 �23x2+ x3

4 + x3"1 (x) mais: eu = 1+ u+ 1

2!u2+ 1

3!u3+ u3"2 (u)

avec "2 (u)! 0 qd u! 0 ( à l�ordre 3).

) e1xln(1+x+x2) = e1+

x2� 23x2+x3

4+x3"1(x) = e e

x2� 23x2+x3

4+x3"1(x)

Donc il su¢ t de remplaçer dans le D.L de eu le u par�x2 �

23x2 + x3

4

�(on tronque que les

termes d�ordre � 3)

)M (x) = e�1 + x

2 �1324x

2 � 116x

3 + x3" (x)�

1. (4) (2points) Calculer l�intégrale indé�nie suivante:

Zxdx

(2� x)2:

Zxdx

(2� x)2=

Zx� 2 + 2dx(2� x)2

=

Zdx

(x� 2)+2Z

dx

(2� x)2= ln jx� 2j+ 2

2� x+c; c 2 R


276


Commun LMD ST-SM Contrôle continu

08 Mai 2010 �Durée : 1 h 30.

Exercice 01: (1) Ecrire en fonction de x les deux fonctions: cos (arcsinx) et sin (arccosx) :

(2) Résoudre dans R l�équation:

arcsinx = arcsin4

5+ arcsin

3

5

(3) Montrer que:

arccosx+ arcsinx =�

2:


E1 =�(a+ b; b� 3a; a) 2 R3= a; b 2 R

et E2 =

�(c;�2c; c) 2 R3= c 2 R

:








1) I1 =

Zsin2 3x dx .

2) I2 =

Zx+ 3

x2 � x+ 5 dx:

277

3) I3 =

Zdx

1 + sinx� cosx en utilisant le changement de variable: x = 2arctan z:

4) I4 =

Zcos 2x e3xdx .

Barème: Exercice 01: 5pts ; Exercice 02: 7pts ; Exercice 03: 8pts.




Contrôle continu ( Le corrigé)

Exercice 01: (1) (2points) Ecrire en fonction de x les deux fonctions: cos (arcsinx) et sin (arccosx) :

on a : cos2 y + sin2 y = 1) cos y = �q1� sin2 y

puisque � �2

� (arcsinx) � �

2) cos (arcsinx) � 0

) cos (arcsinx) =

q1� sin2 (arcsinx) =

p1� x2

de même : sin y = �p1� cos2 y ) sin (arccosx) =

p1� cos2 arccosx

) sin (arccosx) =p1� x2 car: 0 � (arccosx) � �

(2) (2points) Résoudre dans R l�équation:

arcsinx = arcsin4

5+ arcsin

3

5

On a : sin (a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b

) sin arcsinx = x = sin

�arcsin

4

5+ arcsin

3

5

�= sin

�arcsin

4

5

�� cos

�arcsin

3

5

�+ cos

�arcsin

4

5

�� sin

�arcsin

3

5

�=

4

5�r1� 9

25+

r1� 16

25� 35=16

25+9

25= 1) x = 1:

278

(3) (1point) Montrer que:

arccosx+ arcsinx =�

2:

Si on pose : f (x) = arccosx+ arcsinx

) f 0 (x) =�1p1� x2

+1p1� x2

= 0

) f (x) = c, c est une constante, mais f (0) =�

2

) f (x) = arccosx+ arcsinx =�

2:


E1 =�(a+ b; b� 3a; a) 2 R3= a; b 2 R

et E2 =

�(c;�2c; c) 2 R3= c 2 R

:


(1)(1 point) Montrons que E1 est un s-ev de R3?:

a) E1 6= ;?

(0; 0; 0) 2 E1 ) E1 6= ;

b) 8 u1; u2 2 E1 ) u1 + u2 2 E1?

Soient u1; u2 2 E1 ) u1 = (a1 + b1; b1 � 3a1; a1) et u2 = (a2 + b2; b2 � 3a2; a2)

) u1 + u2 = ((a1 + a2) + (b1 + b2) ; (b1 + b2)� 3 (a1 + a2) ; (a1 + a2)) 2 E1

c) 8 u 2 E1;8� 2 R) �u 2 E1?

Soient u 2 E1 et � 2 R) u = (a+ b; b� 3a; a)

) �u = (�a+ �b; �b� 3�a; �a) 2 E1


(2) (2 points) Déterminons une base B1 de E1 et une base B2 de E2:

a)

u 2 E1 ) u = (a+ b; b� 3a; a) = a (1;�3; 1) + b (1; 1; 0)

279


� (1;�3; 1) + � (1; 1; 0) = (0; 0; 0)) � = � = 0



b)

u 2 E2 ) u = (c;�2c; c) = c (1;�2; 1)


� (1;�2; 1) = (0; 0; 0)) � = 0




(4) (1.5 point) Montrer que: R3 = E1 + E2:

a)" �" E1 � R3 et E2 � R3 ) E1 + E2 � R3:

b) "�" soit u 2 R3 ) u = (x; y; z) = (a+ b; b� 3a; a) + (c;�2c; c)

)

8>>><>>>:x = a+ b+ c

y = b� 3a� 2c

z = a+ c

)

8>>><>>>:b = x� z

y = x� z � a� 2z ) a = �y + x� 3z

c = z � a = z � (�y + x� 3z) = �x+ y + 4z

) u = (x; y; z) = (2x� y � 4z;�2x+ 3y � 8z;�y + x� 3z)+

(�x+ y + 4z;�2 (�x+ y + 4z) ;�x+ y + 4z)

2 E1 + E2 d�où: R3 = E1 + E2:

(5) On déduire que: R3 = E1 � E2:

280

(a) (0.5)


) dimE1 + dimE2 = 3 = dimR3 = 3

ou bien on a : R3 = E1 + E2::

(b) (1point) sur l�intersection:

E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g car: f(0; 0; 0)g � E1 \ E2


De plus si: u 2 E1 \ E2 ) u = (a+ b; b� 3a; a) et u = (c;�2c; c)

)

8>>><>>>:a+ b = c

b� 3a = �2c

a = c

)

8>>><>>>:b = 0

a = 0

c = 0

)

8<: R3 = E1 + E2

E1 \ E2 = f(0; 0; 0)gou bien


E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g


�:

Exercice 03:

(1) (2 points)

I1 =Zsin2 3x dx on pose: y = 3x) dy = 3dx

) I1 =1

3

Zsin2 y dy

=1

3

Z1

2(1� cos 2y) dy

=1

6

Z(1� cos 2y) dy

=1

6

Zdy � 1

6

Zcos 2y dy

=1

6y � 1

12sin 2y + c =

1

2x� 1

12sin 6x+ c

281

(2) (2 points)

2) I2 =

Zx+ 3

x2 � x+ 5 dx:

=1

2

Z2x+ 6

x2 � x+ 5 dx

=1

2

Z2x� 1 + 7x2 � x+ 5 dx

=1

2

Z2x� 1

x2 � x+ 5 dx +7

2

Z1

x2 � x+ 5 dx

mais:

k =

Z1

x2 � x+ 5 dx =Z

1

x2 � x+ 14 �

14 + 5

dx

=

Z1�

x� 12

�2+ 19

4

dx

=4

19

Z1

419

�2x�12

�2+ 1

dx

=4

19

Z1�

2x�1p19

�2+ 1

dx

on pose :2x�1p19= y )dx =

p192 dy

) k =4

19�p19

2

Z1

y2 + 1dy

=2p19arctan y + c1

=2p19arctan

�2x� 1p19

�+ c1

conclusion:

I2 =1

2log�x2 � x+ 5

�+

7p19arctan

�2x� 1p19

�+ c; ; c 2 R

282

(3) (2points)

3) I3 =

Zdx

1 + sinx� cosx en utilisant le changement de variable: x = 2arctan z

on pose : x = 2arctan z ) z = tanx

2) dx =

2

1 + z2dz

sinx =2z

1 + z2et cosx =

1� z21 + z2

:

) I3 =

Z 21+z2

1 + 2z1+z2

� 1�z21+z2

dz = 2Z

1

2z + 2z2dz

=

Z1

z (1 + z)dz =

Z1

zdz �

Z1

(1 + z)dz

= ln jzj � ln j1 + zj+ c = ln�� z

1 + z

��+ c = ln �� tan x21 + tan x2

��+ c(4) (2 points)

I4 =

Zcos 2x e3xdx

Par parties on pose : f (x) = cos 2x et g 0 (x) = e3x

) f 0 (x) = �2 sin 2x dx et g (x) = 1

3e3x

) I4 = f (x) g (x)�Zf 0 (x) � g (x) dx

) I4 =1

3cos 2x � e3x + 2

3

Zsin 2x � e3xdx

Une autre fois par parties on pose : h (x) = sin 2x et k 0 (x) = e3x

) h 0 (x) = 2 cos 2x dx et k (x) =1

3e3x

) I4 =13 cos 2x �e

3x + 23

�h (x) � k (x)�

Rh 0 (x) � k (x) dx

�

) I4 =13 cos 2x �e

3x + 23

�13 sin 2x � e

3x � 23

Rcos 2x � e3xdx

�) I4 =

13 cos 2x �e

3x + 29 sin 2x � e

3x � 49I4

) I4 =913

�13 cos 2x � e3x + 2

9 sin 2x � e3x�+ c

Université de Tlemcen Année Universitaire:2008-2009

283

Faculté des sciences Le: 13 - 09- 2009. Tronc

Commun LMD ST-SM Examen de Rattrapage

Module: MATH 2 Durée: 1h.30

Exercice 01: (1) Déterminer le développement limité à l�ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction:

f (x) = ln (1 + x) :

(2) La même question pour la fonction:

g (x) = ln (cosx ) :

(3) Déduire le développement limité à l�ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction:

k (x) = e ln(cosx ):


I1 =

Z1

x2 � 2x+ 5dx et I2 = :Z

1

3 + cosxdx

Exercice 03: Résoudre l�équation suivante:

y 0 � y = ex arctanx .


f : R3 ! R3

(x; y; z) 7! f (x; y; z) = (2x� y + z; 3x� y � z; 4x+ y + z)

(1) Trouver la matrice M associée à f relativement à la base canonique B de R3 :

284

(2) Soit B1 = fu1; u2; u3g une base de R3 avec u1 = (2;�1;�2) ; u2 = (1; 0;�1) et u3 =

(3; 1; 2) :


b) Si V est de composante

0BBB@1

�1

3


c) Trouver la matrice N associée à f relativement à la base B1:

Barème: EX1: 4 pts EX2: 4 pts EX3: 4 pts EX4: 8 pts.




Rattrapage ( Le corrigé)

Exercice 01: (1) (1 point)

ln (1 + x) = x� x2

2+x3

3+ o

�x3�

aveco�x3�! 0 qd x! 0

(2) (0.5pt +1pt)

on a : cosx = 1� x2

2+ o

�x3�

) ln (cosx) = �x2

2+ o

�x3�:

285

(3) (0.5pt + 1pt)

on a : eu = 1 + u+u2

2+u3

6+ o

�x3�

) k (x) = e ln(cosx )

= 1� x2

2+ o

�x3�

Exercice 02:

(1) (2 points)

I1 =

Z1

x2 � 2x+ 5 dx =Z

1

x2 � 2x+ 1 + 4 dx

=

Z1

(x� 1)2 + 4dx

=1

4

Z1

14 (x� 1)

2 + 1dx

=1

4

Z1�

x�12

�2+ 1

dx

on pose : x�12 = y )dx = 2dy

) k =2

4

Z1

y2 + 1dy

=1

2arctan y + c1

=1

2arctan

�x� 12

�+ c1; c1 2 R

(2) (2 points)

286

I2 =

Z1

3 + cosxdx

on pose : x = 2arctan z ) z = tanx

2

) dx =2

1 + z2dz et cosx =

1� z21 + z2

) L =

Z 21+z2

3� 1�z21+z2

dz

=

Z2

3 (1 + z2)� 1 + z2 dz

=

Z2

4z2 + 2dz =

Z1�p

2z�2+ 1

dz

=1p2arctan

�p2z�+ c; c 2 R

=1p2arctan

�p2 tan

x

2

�+ c; c 2 R

Exercice 03:

1) y0 � y = ex arctanx: c�est une équation linéaire du premier ordre.

1�ere- étape: La solution de l�équation sans seconde membre. (1point)

y0 � y = 0) dydx

= y

) dyy= dx)

Zdyy=

Zdx

) ln jyj = x+ c; c 2 R

y1 = k ex; k 2 R solution de l�équation sans seconde membre.

2�eme- étape: La solution de l�équation avec seconde membre. (3points)

y0 � y = ex arctanx: (1)

287


y2 = k (x) ex est une solution particulière de (1) :

) y02 � y2 = ex arctanx

) k 0 (x) ex +k (x) ex -k (x) ex =ex arctanx

) k 0 (x) = arctanx)Zk 0 (x) dx =

Zarctanx dx

par partie on pose:

f (x) = arctanx! f 0 (x) =1

1 + x2

g 0 (x) = 1! g (x) = x

) k (x) = x arctanx�Z

x

1 + x2dx

) k (x) = x arctanx� 12ln�1 + x2

�+ �; � 2 R

) y2 =

�x arctanx� 1

2ln�1 + x2

�+ �

�ex ; � 2 R


y =

�x arctanx� 1

2ln�1 + x2

�+ �

�ex ; � 2 R:


f : R3 ! R3

(x; y) 7! f (x; y; z) = (2x� y + z; 3x� y � z; 4x+ y + z)

Soient B = fe1; e2; e3g la base canonique de R3:

288

(1)(1.5point) Donner la matrice M associée à f relativement à la base B:

f (e1) = (2; 3; 4) ; f (e2) = (�1;�1; 1) ; f (e3) = (1;�1; 1)

) M =

0BBB@2 �1 1

3 �1 �1

4 1 1

1CCCAe1

e2

e3

f (e1) f (e2) f (e3)


(3; 1; 2) :

a)(1point) Trouver la matrice de passage P de la base B à la base B1:

P =

0BBB@2 1 3

�1 0 1

�2 �1 2

1CCCAe1

e2

e3u1 u2 u3

b)(3.5points) Si V est de composante

0BBB@1

�1

3

1CCCA dans la base B, déterminer alors les composantes de V

dans la base B1:

VB1 = P�1 VB

289

calculons alors la matrice inverse de P :

detP = 2

�� 1 �1

1 1

��+ 1�� 3 �1

4 1

��+ 1�� 3 �1

4 1

�� = 0 + 7 + 7 = 14

la comatrice : com P =

0BBB@1 0 1

�5 10 0

1 �5 1

1CCCA)t (com P ) =

0BBB@1 �5 1

0 10 �5

1 0 1

1CCCA

) P�1 =1

detP

t

(com P )) P�1 =

0BBB@114 � 5

14114

0 1014 � 5

14

114 0 1

14

1CCCA

VB1 = P�1 VB =

0BBB@114 � 5

14114

0 1014 � 5

14

114 0 1

14

1CCCA0BBB@

1

�1

3

1CCCA =

0BBB@914

�2514

414

1CCCAc)(2points) Trouver la matrice N associée à f relativement à la base B1:

N = P�1MP =

0BBB@114 � 5

14114

0 1014 � 5

14

114 0 1

14

1CCCA0BBB@2 �1 1

3 �1 �1

4 1 1

1CCCA0BBB@

2 1 3

�1 0 1

�2 �1 2

1CCCA

=

0BBB@114 � 5

14114

0 1014 � 5

14

114 0 1

14

1CCCA0BBB@3 1 7

9 4 6

5 3 15

1CCCA =

0BBB@�3714 �16

14 � 814

6514

2514 �15

14

814

414

2214

1CCCA





290


E1 =�(3a+ b; b� a; a) 2 R3= a; b 2 R

et E2 =

�(c;�2c; 5c) 2 R3= c 2 R

:







I1 =

Z1

x2 � 4x+ 7dx , I2 = :Zcos4 x dx et I3 = :

Zsinx

sinx+ cosxdx

Exercice 03: 1) Répondre par vrai ou faux et justi�er votre réponse:

(1pt) 1) A2 = A) A = I ou A = 0

(1pt) 2) A diagonale ) A �B = B �A

(1pt) 3) A �B = B �A et A�1 existe) A�1 �B = B �A�1

2)(2pts) Calculer l�inverse de la matrice:

X =

0BBB@1 2 �1

�1 7 3

4 5 2

1CCCAExercice 03: Résoudre les équations suivantes:

(1) y 0 + 2 y = e�2x arctanx .

(2) y 00 + 2y 0 + y =�x2 + 1

�: cosx

291

Barème: EX1: 4 pts EX2: 5 pts EX3: 5 pts EX4: 6 pts.



Commun LMD ST-SM Examen de Rattrapage (Le corrigé)



E1 =�(3a+ b; b� a; a) 2 R3= a; b 2 R

et E2 =

�(c;�2c; 5c) 2 R3= c 2 R

:


(1)(1 point) Montrons que E1 est un s-ev de R3?:

a) E1 6= ;?

(0; 0; 0) 2 E1 ) E1 6= ;

b) 8 u1; u2 2 E1 ) u1 + u2 2 E1?

Soient u1; u2 2 E1 ) u1 = (3a1 + b1; b1 � a1; a1) et u2 = (3a2 + b2; b2 � a2; a2)

) u1 + u2 = (3 (a1 + a2) + (b1 + b2) ; (b1 + b2)� (a1 + a2) ; (a1 + a2)) 2 E1

c) 8 u 2 E1;8� 2 R) �u 2 E1?

Soient u 2 E1 et � 2 R) u = (3a+ b; b� a; a)

) �u = (3�a+ �b; �b� �a; �a) 2 E1


(2) (1 points) Déterminons une base B1 de E1 et une base B2 de E2:

a)

u 2 E1 ) u = (3a+ b; b� a; a) = a (3;�1; 1) + b (1; 1; 0)

292


� (3;�1; 1) + � (1; 1; 0) = (0; 0; 0)) � = � = 0



b)

u 2 E2 ) u = (c;�2c; 5c) = c (1;�2; 5)


� (1;�2; 5) = (0; 0; 0)) � = 0




(4) (1pt) On déduire que: R3 = E1 � E2:

(a)


) dimE1 + dimE2 = 3 = dimR3 = 3

293

(b) :

E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g car: f(0; 0; 0)g � E1 \ E2


De plus si: u 2 E1 \ E2 ) u = (3a+ b; b� a; a) et u = (c;�2c; 5c)

)

8>>><>>>:3a+ b = c

b� a = �2c

a = 5c

)

8>>><>>>:b = 0

a = 0

c = 0

)


E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g


�:


I1 =

Z1

x2 � 4x+ 7dx , I2 = :Zcos4 x dx et I3 = :

Zsinx

sinx+ cosxdx

1) (1.5 pt)I1 =Z

1

x2 � 4x+ 7dx =Z

1

(x� 2)2 + 3dx=

1

3

Z1�

x�2p3

�2+ 1

dx=

on pose : x�2p3= y )dx =

p3dy

) I1 =1p3

Z1

y2 + 1dy

=1p3arctan y + c1

=1p3arctan

�x� 2p3

�+ c1

294

(2) (2 points)

I =Zcos4 x dx =

Z �cos2 x

�2dx

=

Z �1

2(1 + cos 2x)

�2dx

=1

4

Z �1 + 2 cos 2x+ cos2 2x

�dx

=1

4

Zdx+

1

2

Zcos 2x dx+

1

4

Zcos2 2x dx

mais:

si on pose t = 2x dans:Zcos2 2x dx

)Zcos2 2x dx =

1

2

Zcos2 t dt

=1

2

Z1

2(1 + cos 2t) dt

=1

4t+

1

8sin 2t+ c1

=1

2x+

1

8sin 4x+ c1

alors:

I =1

4x+

1

4sin 2x+

1

4

�1

2x+

1

8sin 4x

�+ c; c 2 R

=3

8x+

1

4sin 2x+

1

32sin 4x+ c; c 2 R

(3) (1.5 point)

I3 = :

Zsinx

sinx+ cosxdx

Si on pose : I4 = :

Zcosx

sinx+ cosxdx

alors :

8<: I3 + I4 = x

I4 � I3 = ln (sinx+ cosx)

) I3 =1

2[x� ln (sinx+ cosx)] :

295

Exercice 03: Répondre par vrai ou faux et justi�er votre réponse:

1) A2 = A) A = I ou A = 0 (1pt)

C�est faux car pour A =

0@ 1 0

0 0

1A on a:A2 = A maisA 6= I et A 6= 0

2) A diagonale) A �B = B �A (1 pt)

C�est faux car si: A =

0@ a 0

0 b

1A et B =

0@ �1 1

1 0

1A on a:

A �B =

0@ �a a

b 0

1A et B �A =

0@ �a b

a 0

1A) A �B 6= B �A avec A est une matrice diagonale.

3) A �B = B �A et A�1 existe) A�1 �B = B �A�1 (1pt)

Si A �B = B �A et A�1 existe) A�1 �B = A�1 �B �A �A�1 = A�1 �A �B �A�1 = B �A�1

cqfd.

2)(2pts) Calculer l�inverse de la matrice:

X =

0BBB@1 2 �1

�1 7 3

4 5 2

1CCCA

detX =

�� 7 3

5 2

��+�� 2 �1

5 2

��+ 4�� 2 �1

7 3

�� = 60X�1 =

1

detX

t

comX

296

comX =

0BBB@�1 14 33

�9 6 1

13 �2 9

1CCCA

) X�1 =1

60

0BBB@�1 �9 13

14 6 �2

33 1 9

1CCCAExercice 03: Résoudre les équations suivantes:

(1) y 0 + 2 y = e�2x arctanx .

(2) y 00 + 2y 0 + y = cosx

(1)

y 0 + 2 y = e�2x arctanx .


y0 + 2y = 0) dydx

= �2y

) dyy= �2dx)

Zdyy= �

Z2dx

) ln jyj = �2x+ c; c 2 R

y1 = k � e�2x; k 2 R solution de l�équation sans seconde membre.

2�eme- étape: La solution de l�équation avec seconde membre. (1.75point)

y 0 + 2 y = e�2x arctanx : (1)

297


y2 = k (x) � e�2x est une solution particulière de (1) :

) y02 ��2y2 = e�2x arctanx

) k 0 (x) � e�2x -2k (x) e�2x + 2k (x) e�2x =e�2x arctanx

) k 0 (x) = arctanx)Zk 0 (x) dx =

Zarctandx

par partie on pose:

f (x) = arctanx! f 0 (x) =1

1 + x2

g 0 (x) = 1! g (x) = x

) k (x) = x arctanx�Z

x

1 + x2dx

) k (x) = x arctanx� 12ln�1 + x2

�+ �; � 2 R

) y2 =

�x arctanx� 1

2ln�1 + x2

�+ �

�� e�2x ; � 2 R

conclusion (0.25 pt): la solution générale est dé�nie par:

y =

�x arctanx� 1

2ln�1 + x2

�+ �

�� e�2x ; � 2 R:

(2)

y 00 + 2y 0 + y = cosx . (3)


y 00 + 2 y 0 + y = 0 (4)

l�équation caractéristique est donnée par : r2 + 2r + 1 = 0)4 = 0

) r0 = �1 est une racine double

d�où la solution de (4) est dé�nie par :

y1 = (c1 + c2x) e�x; c1; c2 2 R

298

2�eme- étape: La solution de l�équation avec seconde membre. (1.75point)

la méthode de la solution particulière:

y2 = (a cosx+ b sinx) ; est une solution de (3)

) y200 + 2 y2

0 + y2 = cosx

) (�a+ 2b+ a) cosx+ (b� 2a+ b) sinx = cosx

) b =1

2; a = 0

) y2 =1

2sinx

Conclusion: (0.25) la solution générale est dé�nie par:

y = y1 + y2 :


Faculté des sciences Le: 23 - 09- 2010 Tronc


Module: MATH 1 Durée: 1h 30


a S b , a3 � b3 = a� b

(1) (1.5pt) Montrer que S est une relation d�équivalence.

(2) (2.5pts) Discuter suivant la valeur dem le nombre d�éléments contenus dans la classe

de m .


g :R! R; x 7! f (x) =

8<: x2 sin 1x si x 6= 0

0 si x = 0

(1) (1.5pt) Etudier la continuité de la fonction f sur R:

299

(2) (1.5 pt) Etudier la dérivabilité de la fonction f sur R:

(3) (1.5pt) f est-elle de classe C 1?

Exercice 03:

(1) (2pts) Montrer que: si n 2 N�; 2n � 1 est un nombre premier alors n est premier:

(2) Soit g : ]0;+1[! R une fonction dé�nie par: g (x) = 1x � lnx:

a) (1.5 pt) L�équation g (x) = 0 admet-elle une solution?

b) (1.5 pt) Cette solution est-elle unique? justi�er votre réponse.

Exercice 04: Soit a 2 R et (Un)n 2 N une suite dé�nie par:8<: U0 = a

Un+1 =4Un + 2Un + 5 ; n 2 N:

(1) (1.5 pt) Pour quelles valeurs dea la suite (Un)n 2 N est-elle constante ?

(2) (1.5 pt) Montrer que s�il existe n0 2 N� tel que Un0 = �2; alors Un0�1 = �2 .

(3) (1.5 pt) En déduire que si U0 6= �2 , alors 8n 2 N; Un 6= �2:

(4) ( 2pts) On suppose que U0 6= �2 et on pose : 8n 2 N; Vn = Un � 1Un + 2 .

Véri�er que (Vn)n 2 N est une suite géométrique. Barème:

EX1:4 pts EX2: 4.5 pts EX3: 5pts EX4: 6.5 pts.

Examen de Rattrapage (solution)


a S b , a3 � b3 = a� b

(1) Montrons que S est une relation d�équivalence.

a) S est-elle ré�exive? (0.5pt)

300

S est ré�exive, 8a 2 R; a S a:

8a 2 R;) a3 � a3 = a� a = 0) a Sa) S est ré�exive

1. b) S est-elle symétrique? (0.5pt)

S est symétrique, 8 (a; b) 2 R� R, a < b) b < a:

8 (a; b) 2 R� R; a <b) a3 � b3 = a� b)

) b3 � a3 = b� a) b Sa) S est symétrique.

1. c) S est-elle transitive? (0.5pt)

S est transitive, 8 (a; b; c) 2 R� R� R; aSb et bSc) a Sc:

8 (a; b; c) 2 R� R� R;

a <b ) 8a 2 R;) a3 � b3 = a� b

et bSc ) 8a 2 R;) b3 � c3 = b� c

) a3 � c3 = a� c) a Sc) S est transitive

1. (2) Discuter suivant la valeur de m le nombre d�éléments contenus dans la classe de m .

cl (m) =fa 2 R= mSag(0.25 pt)

mSa, m3 � a3 = m� a (0.25 pt)

) (m� a) (m2 + am+ a2) = (m� a)

) (a�m) (a2 +ma+m2) = (a�m))8<: a = m

ou a2 +ma+m2 = 1) a2 +ma+m2 � 1 = 0

conclusion:(2 pts) pour 4 = m2 � 4�m2 � 1

�= 4� 3m2 =

�2�

p3m� �

2 +p3m�

1/ Si 4 = 0) m = 2p3ou m = � 2p

3alors on a deux éléments dans la classe

de m.

301

2/ Si 4 < 0) m 2i� 2p

3; 2p

3

halors on a un élément unique dans la classe de m.

3/ Si 4 > 0 ) m 2i�1;� 2p

3

h[i2p3;+1

halors on a 3 éléments dans la classe

de m.


g :R! R; x 7! f (x) =

8<: x2 sin 1x si x 6= 0

0 si x = 0


f est continue et dérivable dans R�car f est bien dé�nie. (0.5)

f est continue en 0 ssi:

limx!0

f (x) = f (0) (0.5)

limx!0

f (x) = limx!0

x2 sin1

x

= 0 car limx!0

x2 = 0 et sin1

xest bornée. (0.5)

= f (0)

(2) (1.5 pt) Etudier la dérivabilité de la fonction f sur R:

f est dérivable dans R�

pour x = 0 on a:

limx!0

f (x)� f (0)x� 0 = lim

x!0x sin

1

x= 0) f est dérivable en 0.

(3) (1.5pt) f est-elle de classe C 1?

f 0 (x) = 2x sin1

x� cos 1

x

) limx!0

f 0 (x) n�existe pas

) f n�est pas de classe C1:

302

Exercice 03:

(1) (2 pts) Montrons que: si n 2 N�; 2n � 1 est un nombre premier alors n est premier:

par l�absurde supposons que n n�est pas premier

) 9a; b 2 N avec a 6= 1 et a 6= n et n = a:b

) 2n � 1 = 2(a:b) � 1 = (2a)b � 1

= (2a � 1) :�(2a)b�1 + :::+ 1

�= X:Y avec X 6= 1 car a 6= 1

et X 6= 2n � 1 car a 6= n) 2n � 1 n�est pas premier.

(2) Soit g : ]0;+1[! R une fonction dé�nie par: g (x) = 1x � lnx:

a) L�équation g (x) = 0 admet-elle une solution?

La fonction g (x) est continue dans]0;+1[ (0.5 pt)

limx!0

g (x) = +1 et limx!+1

g (x) = �1�limx!0

g (x) : limx!+1

g (x) < 0

�(0.5 pt)

d�après le théorème des valeurs intermédiares 9x0 2 ]0;+1[ = g (x0) = 0 (0.5 pt)

b) (1.5 pt) Cette solution est-elle unique? justi�er votre réponse.

g0 (x) = � 1x2� 1

x < 0 ) g est strictement décroissante) la solution est unique.

Exercice 04: Soit a 2 R et (Un)n 2 N une suite dé�nie par:8<: U0 = a

Un+1 =4Un + 2Un + 5 ; n 2 N:

(1) (1.5 pt) Pour quelles valeurs dea la suite (Un)n 2 N est-elle constante ?

(Un)n 2 N est une suite constante, 8n 2 N; Un+1 = Un = a

, 4a + 2

a + 5= a, a = 1 ou a = �2

303

(2) (1.5 pt) Montrer que s�il existe n0 2 N� tel que Un0 = �2; alors Un0�1 = �2 .

Supposons qu�il existe n0 2 N� tel que Un0 = �2; alors Un0 =4Un0�1 + 2

Un0�1 + 5 = �2

) Un0�1 = �2:

(3) (1.5 pt) En déduire que si U0 6= �2 , alors 8n 2 N; Un 6= �2:

par l�absurde supposons 9n 2 N; Un = �2) Un�1 = �2) :::) U0 = �2 (d�après (2))


Véri�er que (Vn)n 2 N est une suite géométrique bien dé�nie.

1) (1 pt) (Vn)n 2 N est une suite qui est dé�nie car d�après (3)

U0 6= �2 , alors 8n 2 N; Un 6= �2:

2) (1 pt)

Vn+1Vn

=

Un+1 � 1Un+1 + 2

Un � 1Un + 2

=

4Un + 2Un + 5

� 14Un + 2Un + 5

+ 2

Un � 1Un + 2

=

3(Un � 1)6(Un + 2)

Un � 1Un + 2

=1

2

donc c�est une suite géométrique de raison 12 : Barème:

EX1: 4 pts EX2: 4.5 pts EX3: 5pts EX4: 6.5 pts .


Faculté des sciences Le: 07 - 05- 2009 Tronc


Module: MATH 1 Durée: 1h 30

Inscrire le numéro du groupe s.v.p.

*********************************

Exercice 01: (1) a) Montrer par récurrence que:8n 2 N :nX

k = 0

k2 = n (n +1)(2n +1)6

b) Sachant que:nX

k = 0

k = n (n +1)2

304

déduire la somme: Sn =nX

k = 0

k (n� k).

(2) Calculer la limite suivante:

limx!0

1

xsin

1

x

(3) Calculer les racines cubiques de: z = �1 + ip3

Exercice 02: On dé�nit dans R la relation R par:

x R y () x2 � x = y2 � y


(2) Donner _0 et _1:

(3) Déterminer la classe d�équivalence de a 2 R.

Exercice 03: On considère la suite réelle dé�nie par:

U0 = 2; Un+1 =1

3(2Un + 5) 8 n 2 N:

(1) Calculer: U1 ; U2:

(2) Montrer que:

8n 2 N : Un < 5 .

(3) (Un) est-elle croissante ou décroissante? justi�er votre réponse.

(4) En déduire que (Un)n 2N est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 04: Soit f (x) = x� e� x:�on donne e�1 ' 0:37

�a) Montrer que l�équation f (x) = 0 admet au moins une solution dans l�intervalle]0; 1[ :

b) Cette solution est-elle unique? justi�er votre réponse.

1. Barème: EX1: 7 pts EX2: 5.5 pts EX3: 4.5pts EX4: 3pts.

305

Université de Tlemcen Année

Universitaire:2006-2007


Tronc Commun LMD ST-SM Examen de Rattrapage

Module: MATH 1 Durée: 2h

Exercice 01: (1) Soient E un ensemble,A;B 2 P (E) :Résoudre dans P (E) l�équation suivante:

X \ A = B:

(2) Soit A1et A2 deux parties de E .

a) Montrer que:

f (A1 \A2) � f (A1) \ f (A2) :

b) Donner un exemple qui prouve que le sens de l�inclusion est stricte. i.e:

f (A1) \ f (A2) n�est pas inclu dans f (A1 \A2) :

Exercice 02: (1) Déterminer le développement limité à l�ordre 2 au voisinage de 1 de lnx:

(2) En déduire limx!1

x1

x�1

(3) Calculer la dérivée de: h (x) = arctan 1x ; x 2 R�:

Exercice 03: Soit f :[a; b]! [a; b] une fonction continue.

(1) En considérant la fonction g : g (x) = f (x)� x, montrer que f admet un point �xe.

i.e:

9 x 2 [a; b] : f (x) = x

(2) Montrer que le point �xe est unique dans chacun des cas suivants:

a) f est décroissante.

306

b)

9k 2 [0; 1[ ;8x; y 2 [a; b] : jf (x)� f (y)j � k jx� yj

Exercice 04: (1) Soit A =f(x; ax+ b) ; x 2 Rg ; a et b sont des paramètres réels.

A est-il un sous-ev de R2?

1. (2) Soient E un K-ev, F et G deux s-ev de E:

F [ G est -il un s-ev de E ?

Barème: EX1: 5.5 pts EX2: 3 pts EX3: 6 pts EX4:

5.5 pts.



Tronc Commun LMD ST-SM Examen de Rattrapage

Module: MATH 2 Durée: 2h

Exercice 01: (1) Calculer les intégrales indé�nies suivantes:

1)

Zarctan x dx

2)

Zx+ 1

x2 � 2x+ 5dx


I =

�4Z0

cosx

cosx + sinxdx

J =

�4Z0

sinx

cosx + sinxdx

307

Exercice 02:

Calculer l�intégrale K =ZZ

ex + y dx dy sur le carré:

D = f(x; y) = jxj + jyj � 1g

Exercice 03: Résoudre l�équation suivante:

y "� 2 y 0 + 2 y = e x + x

( utiliser la méthode de la solution particulière)

Exercice 04: Soit f : R2 ! R2 dé�nie par:

f (x; y) = (x+ 3y ; 2x+ 2y )

Considérons les vecteurs de R2 :

u1 = (1; 2) et u2 = (�1; 3)

1) Véri�er que f est linéaire et que fu1; u2g est une base de R2:

2) Ecrire la matrice associée à f dans la base canonique de R2:

3) Trouver la matrice associée à f dans la base fu1; u2g :

1. Barème: EX1: 7 pts EX2: 4 pts EX3: 4 pts EX4: 5 pts.

308

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MR, MESSIRDI BACHIR Enseignant aux dØpartement …g-elec-sba.weebly.com/uploads/1/4/1/7/14171617/cours_math1math2.pdf · Table des MatiŁres I MR, MESSIRDI BACHIR " Enseignant aux