MTH6301 – Planification et analyse d’expériences ...€¦ · Ils reposent sur un fichier de données. Ils doivent être ... (sta) et en format Excel (xls) sur le site WEB du

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Bernard Clément, PhD 2011 page 1

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Les exercices N1, N 2,…sont numériques. Ils reposent sur un fichier de données. Ils doivent être résolus à l’aide d’un logiciel statistique comme STATISTICA. Les données sont disponibles en fichier de format Statistica (sta) et en format Excel (xls) sur le site WEB du cours MTH6301 Planification et analyse statistique d’expériences http://www.cours.polymtl.ca/mth6301/MTH6301-exercices.htm

N1 Expérience à un facteur nom du fichier des données : Fluide Source : D. G. Montgomery, Design and Analysis of Experiments, 7th ed., 2008, p. 117

Effectuer une analyse statistique comparative de 4 types de fluides servant à l’isolation dans les réseaux électriques. La variable de réponse est la vie utile (en heures) du fluide. Elle fut mesurée avec des tests accélérés à 35 Kv. Le tableau des résultats des tests est :

type durée en heures A 17,6 18,9 16,3 17,4 20,1 21,6 B 16,9 15,3 18,6 17,1 19,5 20,3 C 21,4 23,6 19,4 18,5 20,5 22,3 D 19,3 21,1 16,9 17,5 18,3 19,8

a) Les fluides diffèrent –ils globalement? Employez un seuil alpha de 0,05. b) Effectuez une analyse des résidus. Les hypothèses de base sont-elles respectées? c) Effectuez un test de comparaison multiple (2 à 2) des fluides. Employez la méthode de Tukey (HSD). d) Quel fluide devrait-on choisir si on veut maximiser la vie utile?

N2 Expérience à un facteur nom du fichier des données : Isolant Source : D. G. Montgomery, Design and Analysis of Experiments, 7th ed., 2008, p. 118

Une expérience fut conduite pour étudier l’efficacité de 5 matériaux isolants. Des tests à haut voltage furent réalisés afin d’accélérer le temps pour l’obtention d’une panne. La variable de réponse est le temps pour obtenir la première panne (minutes). Voir le tableau des données de 4 échantillons de chaque matériau. Matériau temps panne

1 1 2 4 18 2 2 5 7 29 3 110 157 178 194 4 880 1256 4355 5276 5 495 7040 5307 10050

a) Les 5 matériaux ont-ils le même effet sur le temps moyen de la panne? b) Faire une analyse des résidus. c) Faire le graphique du log(moyenne) vs log(écart type). d) Transformer la variable de réponse et refaire une autre analyse pour comparer les matériaux. e) Comparer les matériaux à l’aide du test non paramétrique Kruskall-Wallis.

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Exercices numériques

http://www.cours.polymtl.ca/mth6301/MTH6301-exercices.htm

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2 N3 Transformations des variables dans les modèles de régression nom du fichier des données : WireBonding Source : R.H. Myers, D.C. Montgomery, Response Surface Methodology, 1995, p. 68

Le fichier réfère au processus « wire bonding » employé dans l’industrie électronique. Il contient 19 observations sur 6 variables d’entrée X et une variable de réponse Y. Les 6 variables X sont des caractéristiques dimensionnelles de l’opération de raccord du circuit dans le boîtier (module). La variable de réponse mesurée est une caractéristique pour la qualité de l’opération de soudage des fils : Y : « pull strength of a wire bond ». a) Effectuez une analyse de régression multiple entre Y et les 6 X :

équation de prédiction, tableau d’analyse de la variance, tests de signification global, tests de signification sur les coefficients, analyse des résidus.

b) Chaque variable X varie sur un intervalle (a, b) avec un système d’unités : a ≤ X ≤ b Où a = min(X) b = max (X) On transforme (opération de codage) les variables X en de nouvelles variables U sans unités dans un intervalle de variation commun (-1, +1) : -1 ≤ U ≤ 1 On obtient les variables U par la transformation suivante :

U = (X – m) / d où m = (a + b)/2 et d = (b – a) /2 Refaire l’analyse de régression entre Y et les 6 U.

c) Comparez le résultat des analyses a) et b)

observ x1 die height

x2 post

heighth

x3 loop

height

x4 wire

length

x5 bond

width die

x6 bond width

post

y-pull strength

1 5,2 19,6 29,6 94,9 2,1 2,3 8,0 2 5,2 19,8 32,4 89,7 2,1 1,8 8,3 3 5,8 19,6 31,0 96,2 2,0 2,0 8,5 4 6,4 19,4 32,4 95,6 2,2 2,1 8,8 5 5,8 18,6 28,6 86,5 2,0 1,8 9,0 6 5,2 18,8 30,6 84,5 2,1 2,1 9,3 7 5,6 20,4 32,4 88,8 2,2 1,9 9,3 8 6,0 19,0 32,6 85,7 2,1 1,9 9,5 9 5,2 20,8 32,2 93,6 2,3 2,1 9,8

10 5,8 19,9 31,8 86,0 2,1 1,8 10,0 11 6,4 18,0 32,6 87,1 2,0 1,6 10,3 12 6,0 20,6 33,4 93,1 2,1 2,1 10,5 13 6,2 20,2 31,8 83,4 2,2 2,1 10,8 14 6,2 20,2 32,4 94,5 2,1 1,9 11,0 15 6,2 19,2 31,4 83,4 1,9 1,8 11,3 16 5,6 17,0 33,2 85,2 2,1 2,1 11,5 17 6,0 19,8 35,4 84,1 2,0 1,8 11,8 18 5,8 18,8 34,0 86,9 2,1 1,8 12,3 19 5,6 18,6 34,2 83,0 1,9 2,0 12,5

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3 N4 Plan factoriel complet avec 5 facteurs - semiconducteur nom du fichier de données : Semiconducteur Source : D. G. Montgomery, Design and Analysis of Experiments, 7th ed., 2008, p. 117

L’expérience a pour but d’augmenter le rendement dans la fabrication de semi conducteurs. La variable de réponse est Y = Yield (%). Les facteurs et leurs modalités ont :

A : aperture setting (small, large) B : exposure time (-20% en dessous du nominal, 20% au dessous du nominal) C : development time (30s, 45s) D: mask dimension (small, large) E: etch time (14.5 min, 15.5 min)

run type A aperture

B exposure

time (% nominal)

C develop time

(sec)

D Mask

dimension

E etch time

(min)

Yield (%)

1 factoriel small -20 30 Small 14,5 7 2 factoriel large -20 30 Small 14,5 9 3 factoriel small 20 30 Small 14,5 34 4 factoriel large 20 30 Small 14,5 55 5 factoriel small -20 45 Small 14,5 16 6 factoriel large -20 45 Small 14,5 20 7 factoriel small 20 45 Small 14,5 40 8 factoriel large 20 45 Small 14,5 60 9 factoriel small -20 30 Large 14,5 8 10 factoriel large -20 30 Large 14,5 10 11 factoriel small 20 30 Large 14,5 32 12 factoriel large 20 30 Large 14,5 50 13 factoriel small -20 45 Large 14,5 18 14 factoriel large -20 45 Large 14,5 21 15 factoriel small 20 45 Large 14,5 44 16 factoriel large 20 45 Large 14,5 61 17 factoriel small -20 30 Small 15,5 8 18 factoriel large -20 30 Small 15,5 12 19 factoriel small 20 30 Small 15,5 35 20 factoriel large 20 30 Small 15,5 52 21 factoriel small -20 45 Small 15,5 15 22 factoriel large -20 45 Small 15,5 22 23 factoriel small 20 45 Small 15,5 45 24 factoriel large 20 45 Small 15,5 65 25 factoriel small -20 30 Large 15,5 6 26 factoriel large -20 30 Large 15,5 10 27 factoriel small 20 30 Large 15,5 30 28 factoriel large 20 30 Large 15,5 53 29 factoriel small -20 45 Large 15,5 15 30 factoriel large -20 45 Large 15,5 20 31 factoriel small 20 45 Large 15,5 41 32 factoriel large 20 45 Large 15,5 63 33 centre small 0 37,5 Small 15 68 34 centre large 0 37,5 Small 15 74 35 centre small 0 37,5 Large 15 76 36 centre large 0 37,5 Large 15 70

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a) Effectuez une analyse complète des données du plan factoriel complet de 32 essais en excluant les essais au centre : tableau des effets, ANOVA, graphique Pareto, effets sur échelle demi gaussienne, analyse des résidus, modèle de prédiction avec les effets significatifs, graphique de la réponse, conditions optimales (max) de la réponse Y. b) Refaire l’analyse en a) avec une transformation de la variable Y. c) Refaire l’analyse en incluant les 4 essais au centre et un test de courbure.

N5 Plan fractionnaires avec 7 facteurs nom du fichier des données : Épaisseur Source : D. J Wheeler, Understanding Industrial Experimentation, 2nd ed., 1990, p. 208

Facteurs A: poids pastilles B : durée vulcanisation C : temps du moulage D : température plaque E : pression F : type caoutchouc G : vitesse presse

Variable de réponse Y : épaisseur

y1, y2 répétitions de l’essai

Ybar = (y1 + y2) / 2 moyenne de Y

s2 = (y1 - ybar)2 + (y2 - ybar)2 variance de (y1 , y2)

tableau des données essai A B C D E F G y1 y2 Ybar s2

1 - - - - - - - 31,0 28,0 29,5 4,5 2 - - - + + + + 28,0 26,0 27,0 2,0 3 - + + + + - - 27,0 27,0 27,0 0,0 4 - + + - - + + 30,0 28,0 29,0 2,0 5 + + - - + + - 25,0 26,0 25,5 0,5 6 + + - + - - + 35,0 30,0 32,5 12,5 7 + - + + - + - 29,0 29,0 29,0 0,0 8 + - + - + - + 28,0 28,0 28,0 0,0

a) Faire une carte de contrôle Ybar&S.

Quelle est l’estimation de σ (sigma) avec la carte? b) Faire une analyse de la variance et interpréter le résultat.

Quelle est l’estimation de σ avec l’analyse de la variance? c) Faire la liste des effets principaux et des interactions confondues.

N6 Plan central composite - optimisation simultanée de 4 variables de réponse nom du fichier des données : OptContraintes Source : R.H. Myers, D.C. Montgomery, Response Surface Methodology, 1995, p. 277

Une expérience a été conduite afin d’étudier les effets de 3 facteurs sur 4 variables de réponse. Les facteurs sont représentés par les variables de codage X1, X2, X3 :

X1 : niveau « hydrated silica » X2 : « silane coupling agent » X3 : « sulfur » Les variables de réponse Y sont :

Y1 : indice d’abrasion PICO Y2 : module Y3 : élongation Y4 : dureté

Les essais de l’expérience furent basés sur un plan central composite.

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Déterminez les conditions sur les facteurs afin de satisfaire les objectifs suivants : Y1 > 120 Y2 > 1000 400 < Y3 < 600 60 < Y4 < 75

N7 Plan de mélange nom du fichier des données : Mélange Source :

Une expérience fut conduite afin de définir la combinaison de 3 ingrédients A, B, C afin de maximiser un indice de saveur d’une nouvelle céréale. L’indice de saveur est mesurée sur une échelle de 0 à 5 où 5 représente une saveur très désirable et 0 représente une saveur non désirable. Les données de l’expérience Y représentent le score moyen d’un groupe de personnes ayant évalué les différents prototypes de céréales. Effectuez une analyse complète des données. Formulez une recommandation.

essai X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3 Y4 1 -1 -1 -1 103 490 640 62,5 2 1 -1 -1 120 860 410 65,0 3 -1 1 -1 117 800 570 77,5 4 1 1 -1 139 1090 380 70,0 5 -1 -1 1 102 900 470 67.5 6 1 -1 1 132 1289 270 67,0 7 -1 1 1 132 1270 410 78,0 8 1 1 1 198 2294 240 74,5 9 - 1,633 0 0 102 770 590 76,0

10 1,633 0 0 154 1690 260 70,0 11 0 - 1,633 0 96 700 520 63,0 12 0 1,633 0 163 1540 380 75,0 13 0 0 - 1,633 116 2184 520 65,0 14 0 0 1,633 153 1784 290 71,0 15 0 0 0 133 1300 380 70,0 16 0 0 0 133 1300 380 68,5 17 0 0 0 140 1145 430 68,0 18 0 0 0 142 1090 430 68,0 19 0 0 0 145 1260 390 69,0 20 0 0 0 142 1344 390 70,0

test A B C Y 1

1 0 0 4,80 2 1 0 0 4,90 3 0 1 0 1,38 4 0 1 0 1,18 5 0 0 1 2,58 6 0 0 1 2,90 7 0,5 0,5 0 1,92 8 0,5 0,5 0 1,78

9 0,5 0,5 0 1,76 10 0 0,5 0,5 2,25 11 0 0,5 0,5 2,43 12 0 0,5 0,5 2,46 13 0,5 0 0,5 2,86 14 0,5 0 0,5 3,16 15 0,5 0 0,5 3,25

Plan 23

essais axiaux

essais centre

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6 N8 Plan fractionnaire avec 4 facteurs - amélioration d’un procédé nom du fichier des données : Électronique Source :

On veut étudier l’effet de 4 facteurs A, B, C, D sur la force Y du lien entre un circuit intégré et un substrat métallique sur lequel il est déposé. On conduit un plan d’expérimentation fractionnaire de 8 essais défini par D = ABC où chaque facteur varie à 2 modalités. Le tableau 1 définit l’information sur les facteurs.

Tableau 1 : facteurs, modalités et coût nom unité (1) modalités (2) augmentation

coût si on change de - à +

– actuelles)

+

A type d’adhésif - D2 A H3 E - 10% B matériau conducteur - cuivre nickel + 10% C temps de cuisson minute 90 120 + 10% D recouvrement après cuisson - étain argent - 5%

Tableau 2 : données et calculs préliminaires

Facteurs Réponses Statistiques essai A B C D Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 YBAR LOGS SB

1 - - - - 73,0 73,2 72,8 72,2 76,2 73,48 0,45 37,32

2 - - + + 87,8 86,4 86,9 87,9 86,4 87,08 -0,31 38,80

3 - + - + 80,5 81,4 82,6 89,3 82,1 83,18 1,26 38,38

4 - + + - 79,8 77,8 81,3 79,8 78,2 79,38 0,34 37,99

5 + - - + 85,2 85,0 80,4 85,2 83,6 83,88 0,72 38,47

6 + - + - 78,0 75,5 83,1 81,2 79,9 79,54 1,07 38,00

7 + + - - 78,4 72,8 80,5 78,4 67,9 75,60 1,64 37,52

8 + + + + 90,2 87,4 92,9 90,0 91,1 90,32 0,69 39,11

moyenne 81,56 0,73 38,20

Y1, Y2, Y3, Y4, Y5 résultats des essais YBAR = (1/5) Σ Yi moyenne de l’essai

S = [(1/4) Σ (Yi – YBAR)2]0,5 écart type de l’essai LOGS = LOG(S) log naturel de S (base e) SB = - 10 Log [(1/5) Σ Yi -2] rapport signal-bruit

L’objectif de l’étude est de formuler une recommandation d’opération afin de maximiser la force Y et de minimiser la variabilité de Y.

A) Analyse de Y a1) Identifiez les effets significatifs et les facteurs critiques. a2) Écrire une équation de prédiction de la force Y basée seulement sur les effets significatifs identifiés. Calculez la force maximale atteinte Ymax avec cette équation. a3) Quelle est l’augmentation (en %) de la force en si on la compare avec la force des conditions actuelles d’opération (essai no 1)? a4) Quelle serait votre recommandation pour le choix des modalités des facteurs A, B, C, D

afin de maximiser la force en vous basant sur cette équation? Remarque : il y a plusieurs solutions qui seront utilisées dans la partie D).

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7 B) Analyse de LOG(S) b1) Quels sont les trois principaux facteurs qui contribuent le plus à la variabilité de s

Employé un modèle à effets principaux seulement. b2) À quelles valeurs des facteurs A, B, C, D faudrait-il opérer afin de minimiser le plus

la variabilité du procédé? Il y a deux solutions basées sur les trois principaux facteurs. Ces deux solutions seront utilisées à la question C).

C) Analyse du rapport signal bruit SB Effectuer l’analyse du rapport signal bruit.

D) Recommandation finale En vous basant seulement sur les analyse de y et de log(s), proposer une recommandation finale sur le choix des modalités d’opération du procédé. Quelle sera alors l’augmentation (ou la diminution) sur le coût d’opération? Quelle sera l’augmentation (%) de Y? Quelle sera la diminution (%) de s? Répondre à cette question en complétant le tableau 3

Tableau 3 Facteur

Modalités A B C D Ybar

ou Y

s essai

Actuelles - - - - 73,48 1,57 1

Maximum de y - Minimum de s - Max y et min s -

variation coût total = % augmentation de y = % diminution de s =

N9 Plan factoriel complet - étude du fini de surface nom du fichier des données : Surface Source :

Un plan factoriel complet de 8 essais a été réalisé pour étudier l’effet de 3 facteurs sur la qualité du fini de surface d’un nouveau type d’acier mesuré par la l’absence de défauts. À chaque essai, 4 pièces ont été produites et les données suivantes ont été obtenues. L’objectif de l’expérience est de minimiser les défauts de surface.

Facteurs nombre de défauts essai X1 X2 X3 essai pièce 1 pièce 2 pièce 3 pièce 4

1 588 4 64 1 50 50 55 50 2 588 4 32 2 145 150 100 110 3 588 8 64 3 160 160 155 160 4 588 8 32 4 180 200 190 195 5 1182 4 64 5 60 60 60 55 6 1182 4 32 6 25 35 35 30 7 1182 8 64 7 160 160 160 160 8 1182 8 32 8 80 70 70 80

a) Peut-on dire que les 4 pièces produites à chaque essai constituent des réplications du plan factoriel complet? Expliquer.

b) Calculer tous les 7 effets associés aux 3 facteurs de l’expérience. c) Traduire tous ces effets dans une équation de prédiction de la variable de réponse. d) Calculer un tableau d’analyse de la variance et effectuer les tests de signification. e) Tracer un diagramme d’éboulement (Pareto) avec les sommes de carrés. f) Identifier les facteurs critiques pour contrôler la variable de réponse et réviser le modèle de c) g) Quels sont les choix optimaux des facteurs pour réaliser l’objectif de l’expérience?

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8 N10 Plan fractionnaire - étude en fiabilité nom du fichier des données : Fiabilité Source :

Un test de fiabilité est réalisé afin d’éliminer des composants électroniques qui tomberaient en panne durant la période de mortalité infantile. L’appareil permet de contrôler 4 paramètres (facteurs).

facteur unité domaine A : température ºC 80 125 B : taux du cycle thermique ºC / min 5 20 C : humidité % 15 95 D : vibration sinusoïdale aléatoire g 3 6

Le plan fractionnaire choisi est de 8 essais. Il est défini par la relation D = ABC. La variable de réponse est le nombre de défauts de soudures électriques sur une carte de 1000 points de soudure. Le plan fut répété 2 autres fois.

Nombre de défauts essai A B C D Y1 Y2 Y3

1 - - - - 9 17 12 2 - - + + 21 37 42 3 - + - + 29 35 38 4 - + + - 17 10 15 5 + - - + 32 41 33 6 + - + - 21 17 19 7 + + - - 12 14 18 8 + + + + 33 27 47

L’objectif est de déterminer la combinaison optimale des facteurs de contrôle afin de maximiser le nombre de défauts ce qui éliminerait les pièces susceptibles de mortalité infantile. Faites une recommandation pour le choix des paramètres d’opération du procédé de test.

N11 Plan factoriel complet - étude sur la présence de fissures nom du fichier de données : Fissures Source : R.H. Myers, D.C. Montgomery, Response Surface Methodology, 1995, p.128

Étude des fissures d’un composant pouvant résulter à une panne fatale de moteur. Utilisation d’un plan factoriel complet 24 de 4 facteurs à 2 modalités (-, +) avec une répétition (n = 2). Les facteurs sont :

A Température de remplissage B Contenu en titanium C Traitement chaleur D Quantité de grains de raffinage

La variable de réponse Y est la longueur de la fissure mesurée en mm.

A B C D traitement Y1 Y2 - + - + - + - + - + - + - + - +

- - + + - - + + - - + + - - + +

- - - - + + + + - - - - + + + +

- - - - - - - - - + + + + + + +

1 (1) 2 a 3 b 4 ab 5 c 6 ac 7 bc 8 abc 9 d 10 ad 11 bd 12 abd 13 cd 14 acd 15 bcd 16 abcd

1,71 1,42 1,35 1,67 1,23 1,25 1,46 1,29 2,04 1,86 1,79 1,42 1,81 1,34 1,46 1,38

1,91 1,48 1,53 1,55 1,38 1,26 1,42 1,27 2,19 1,85 1,95 1,59 1,92 1,29 1,53 1,35

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9 N11(suite) Plan factoriel complet - étude sur la présence de fissures

a) Calculer tous les effets. Quels sont les effets significatifs importants? b) Effectuer une analyse de la variance. (ANOVA) c) Quels sont les facteurs qui ont une influence sur la présence de fissure? d) Effectuer une analyse des résidus. e) Des facteurs affectent-ils la dispersion de Y? f) Proposer une recommandation pour opérer le procédé.

N12 Plan complet 26 - optimisation simultanée de 3 réponses nom du fichier de données : Tissu Source : G.E.P. Box, N. R. Draper, Response Surfaces, Mixture, and Ridge Analysis, 2nd ed., 2007, p. 100

Lors de la fabrication d’un tissu, il est important d’obtenir un produit ayant pour but d’obtenir une:

teinte (« HUE « ) spécifique (ou nominale) visée de 20 brillance (« BRIGHTNESS « ) spécifique visée de 26 résistance (« STRENGHT « ) maximale (au moins 11,5)

Déterminer les changements à faire aux variables de procédé si les spécifications du client changent selon les valeurs nominales désirées de HUE et de BRIGHTNESS. Six (6) variables de procédé furent identifiées pouvant affecter les trois (3) variables de réponses Y1 = STREN, Y2 = HUE, Y3 = BRIGH Les variations des variables de procédé furent maintenues assez faibles pour ne pas trop provoquer des perturbations importantes du procédé de fabrication. Il n’y avait pas d’effet de courbure important tel que démontré par des essais additionnels au centre de l’espace expérimental. Ces essais ne sont pas fournis dans le tableau. On avait une forte présomption que les effets d’interaction étaient faibles en comparaison des effets principaux.

Un plan expérimental factoriel complet 26 sans répétition (n = 1) de 64 essais fut employé. Le tableau des données suit. On aurait pu faire les essais avec un plan fractionnaire de 32 ou 16 essais.

Variable de codage facteur nom min max codage min max

A Polysilfide index 6 7 XA = (A – 6,5) / 0,5 -1 1

B Reflux rate 150 170 XB = (B – 160) / 10 -1 1 C Moles polysulfide 1,8 2,4 XC = (C – 2,1) / 0,3 -1 1

D Time (min) 24 36 XD = (D – 30) / 6 -1 1

E Solvent (cm3) 30 42 XE = (E – 36) / 6 -1 1 F Température (°C) 120 130 XF = (F – 125) / 5 -1 1

réponse objectif

Y1 Strenght maximiser (au moins 11,5) Y2 Hue nominal de 20 Y3 Brightness nominal de 26

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10 a) Analyser chacune des 3 variables de réponse avec des modèles ayant au plus

des interactions d’ordre 3. b) Déterminer des modèles avec effets principaux seulement basés sur le même ensemble de

facteurs (variables) communs. Remarque : inclure une (des) variable dans un modèle même si elle(s) ne sont pas significatives pour une réponse en autant qu’elle est significative dans une autre variable de réponse.

c) Déterminer des conditions optimales pour opérer le procédé.

Tableau : plan 26 ordre

std ordre essai

XA Polysul

XB Reflux

XC Moles

XD Time

XE Solvent

XF Temp

Y1 STREN

Y2 HUE

Y3 BRIGH

1 26 -1 -1 -1 -1 -1 -1 3,4 15 36 2 3 1 -1 -1 -1 -1 -1 9,7 5 35 3 11 -1 1 -1 -1 -1 -1 7,4 23 37 4 5 1 1 -1 -1 -1 -1 10,6 8 34 5 42 -1 -1 1 -1 -1 -1 6,5 20 30 6 18 1 -1 1 -1 -1 -1 7,9 9 32 7 41 -1 1 1 -1 -1 -1 10,3 13 28 8 14 1 1 1 -1 -1 -1 9,5 5 38 9 17 -1 -1 -1 1 -1 -1 14,3 23 40

10 27 1 -1 -1 1 -1 -1 10,5 1 32 11 19 -1 1 -1 1 -1 -1 7,8 11 32 12 56 1 1 -1 1 -1 -1 17,2 5 28 13 23 -1 -1 1 1 -1 -1 9,4 15 34 14 8 1 -1 1 1 -1 -1 12,1 8 26 15 32 -1 1 1 1 -1 -1 9,5 15 30 16 7 1 1 1 1 -1 -1 15,8 1 28 17 46 -1 -1 -1 -1 1 -1 8,3 22 40 18 13 1 -1 -1 -1 1 -1 8,0 8 30 19 58 -1 1 -1 -1 1 -1 7,9 16 35 20 38 1 1 -1 -1 1 -1 10,7 7 35 21 43 -1 -1 1 -1 1 -1 7,2 25 32 22 55 1 -1 1 -1 1 -1 7,2 5 35 23 6 -1 1 1 -1 1 -1 7,9 17 36 24 64 1 1 1 -1 1 -1 10,2 8 32 25 22 -1 -1 -1 1 1 -1 10,3 10 20 26 4 1 -1 -1 1 1 -1 9,9 3 35 27 16 -1 1 -1 1 1 -1 7,4 22 35 28 47 1 1 -1 1 1 -1 10,5 6 28 29 63 -1 -1 1 1 1 -1 9,6 24 27 30 51 1 -1 1 1 1 -1 15,1 4 36 31 20 -1 1 1 1 1 -1 8,7 10 36 32 29 1 1 1 1 1 -1 12,1 5 35 33 62 -1 -1 -1 -1 -1 1 12,6 32 32 34 1 1 -1 -1 -1 -1 1 10,5 10 34 35 37 -1 1 -1 -1 -1 1 11,3 28 30 36 61 1 1 -1 -1 -1 1 10,6 18 24 37 44 -1 -1 1 -1 -1 1 8,1 22 30 38 24 1 -1 1 -1 -1 1 12,5 31 20 39 59 -1 1 1 -1 -1 1 11,1 17 32 40 60 1 1 1 -1 -1 1 12,9 16 25 41 35 -1 -1 -1 1 -1 1 14,6 38 20 42 50 1 -1 -1 1 -1 1 12,7 12 20 43 48 -1 1 -1 1 -1 1 10,8 34 22 44 36 1 1 -1 1 -1 1 17,1 19 35 45 21 -1 -1 1 1 -1 1 13,6 12 26 46 9 1 -1 1 1 -1 1 14,6 14 15 47 33 -1 1 1 1 -1 1 13,3 25 19 48 57 1 1 1 1 -1 1 14,4 16 24 49 10 -1 -1 -1 -1 1 1 11,0 31 22 50 39 1 -1 -1 -1 1 1 12,5 14 23 51 25 -1 1 -1 -1 1 1 8,9 23 22 52 40 1 1 -1 -1 1 1 13,1 23 18

suite suite

Version 2011


11 53 30 -1 -1 1 -1 1 1 7,6 28 20 54 31 1 -1 1 -1 1 1 8,6 20 20 55 28 -1 1 1 -1 1 1 11,8 18 20 56 49 1 1 1 -1 1 1 12,4 11 36 57 52 -1 -1 -1 1 1 1 13,4 39 20 58 15 1 -1 -1 1 1 1 14,6 30 11 59 34 -1 1 -1 1 1 1 14,9 31 20 60 53 1 1 -1 1 1 1 11,8 6 35 61 2 -1 -1 1 1 1 1 15,6 33 16 62 12 1 -1 1 1 1 1 12,8 23 32 63 45 -1 1 1 1 1 1 13,5 31 20 64 54 1 1 1 1 1 1 15,8 11 20

N13 Plan fractionnaire - étude sur la courbure d’un substrat nom du fichier de données : Courbure Source: D. G. Montgomery, Design and Analysis of Experiments, 7th ed., 2008, p. 351

Un plan fractionnaire de 16 essais avec 6 facteurs A, B, C, D, E, F et une variable de réponse : Y = indice de courbure (104 inch / inch)

Plan fractionnaire de 16 essais pour 6 facteurs A B C D E F

essai

Lamination Temperature

(°C)

Lamination

Time (sec)

Lamination

Pressure (ton)

Firing Temperatur

e (°C)

Firing Cycle Time (hr)

Firing Dew Point

(°C)

1 55 10 5 1580 17,5 20 2 75 10 5 1580 29,0 26 3 55 25 5 1580 29,0 20 4 75 25 5 1580 17,5 26 5 55 10 10 1580 29,0 26 6 75 10 10 1580 17.5 20 7 55 25 10 1580 17.5 26 8 75 25 10 1580 29,0 20 9 55 10 5 1620 17.5 26 10 75 10 5 1620 29,0 20 11 55 25 5 1620 29,0 26 12 75 25 5 1620 17.5 20 13 55 10 10 1620 29,0 20 14 75 10 10 1620 17.5 26 15 55 25 10 1620 17.5 20 16 75 25 10 1620 29,0 26

essai Y1 Y2 Y3 Y4 Ybar (moyenne) S (écart type)

1 167 128 149 185 157,25 24,42 2 62 66 44 20 48,00 20,98 3 41 43 42 50 44,00 4,08 4 73 71 39 30 55,75 25,02 5 47 47 40 89 55,75 22,41 6 219 258 147 296 230,00 63,64 7 121 90 92 86 97,25 16,03 8 255 250 226 169 225,00 39,42 9 32 23 77 69 50,25 26,73

10 78 158 60 45 85,25 50,34 11 43 27 28 28 31,50 7,68 12 186 137 158 159 160,00 20,08 13 110 66 101 158 113,75 31,12 14 65 109 126 71 92,75 29,51 15 155 158 145 145 150,75 6,75 16 93 124 110 133 115,00 17,45

a) Comment les facteurs E et F ont-ils été définis à partir des facteurs A, B, C, D? b) Établir la liste de toutes les chaînes d’interaction doubles et les effets confondus.

Quelle est la résolution du plan? c) Effectuer l’analyse de Y.

Version 2011


12 d) Effectuer l’analyse de S.

On vise pour de Y un valeur nominale τ = 100. On utilise le critère MSD (τ = 100) = s2 + (Ybar - 100)2

e) Effectuer l’optimisation du procédé à l’aide du critère minimum de MSD. f) Effectuer l’optimisation du procédé à l’aide du critère maximum du rapport signal-bruit SB. g) Comparer les solutions e) et f).

N14 Plan fractionnaire - étude d’un procédé de moulage par injection nom du fichier de données : Moulage Source : R.H. Myers, D.C. Montgomery, Response Surface Methodology, 1995, p.152

Étude de 6 facteurs avec un plan fractionnaire 26 -2 de 16 essais et 4 essais au centre. Facteurs A : température moule B : vitesse vis C : temps d’attente D : durée cycle E : taille ouverture F : pression Réponse Y : rétrécissement

a) Effectuer une analyse de la réponse Y avec un modèle approprié. On retient les deux facteurs X1, X2 les plus importants et un propose le modèle

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β12X1*X2 b) Effectuer l’analyse du modèle. c) Tester si le modèle a un manque d’ajustement. d) Effectuer une analyse des résidus du modèle.

plan A B C D E = ABC F = BCD Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

factoriel factoriel factoriel factoriel factoriel factoriel factoriel factoriel factoriel factoriel factoriel factoriel factoriel factoriel factoriel factoriel centre centre centre centre

- + - + - + - + - + - + - + - + 0 0 0 0

- - + + - - + + - - + + - - + + 0 0 0 0

- - - - + + + + - - - - + + + + 0 0 0 0

- - - - - - - - + + + + + + + + 0 0 0 0

- + + - + - - + - + + - + - - + 0 0 0 0

- - + + + + - - + + - - - - + + 0 0 0 0

6 10 32 60 4

15 26 60 8

12 34 60 16 5

37 52 29 34 26 30

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13 N15. Exercice de tamisage et d'optimisation

Cet exercice est basé sur l’utilisation d’un simulateur de processus qui devra être installé sur votre ordinateur. Les informations nécessaires pour installer le simulateur sont décrites en premier. La description de l’exercice vient ensuite.

Description du simulateur de processus SimWare SimWare est un simulateur de processus artificiels pour générer des données. Le simulateur Blood Analysis qui sera employé pour faire cet exercice.

Installation du simulateur SimWare fichiers transmis

fichier 1 : SimulProcess-instal-1.exe (3,6 Go) fichier 2 : SimulProcess-instal-2.exe (0,26 Go) fichier 3 : SimWare User’s Manual-2.pdf manuel d’utilisation du programme

(copie du Help) installation

exécuter le fichier 1 installation de SimWare sur votre ordinateur numéro de série : SW-abcd-efghjk (sera transmis par courriel)

exécuter le fichier 2 application d’un correctif (patch) au programme Remarque : SimWare contient plusieurs plans d’expériences à 2 et 3 modalités.

Ne pas employer ces plans pour faire l’exercice mais ceux générés avec STATISTICA.

Blood Analysis contient 7 facteurs d’input X

Les données générées peuvent être exportées

Version 2011


14 Description de l’exercice

- But de l’exercice : étude de tamisage et d’optimisation du processus Blood Analysis - Uutiliser STATISTICA pour générer les plans d’expériences et analyser les données - Utiliser SimWare pour générer les données qui seront exportées vers EXCEL et

STATISTICA

Partie A : tamisage des 7 facteurs

A1. générer avec STATISTICA, un plan fractionnaire à 2 modalités pour tamiser les facteurs; A2. préciser les valeurs employées (- et + ) du plan pour chacun des facteurs; A3. analyser la structure des effets confondus : ne pas aller au delà des interactions doubles; A4. générer avec SimWare, 2 observations pour chacun des traitements du plan ci-haut; A5. conserver les données générées en format EXCEL (****.xls) et importer les dans

STATISTICA; A6. effectuer l'analyse statistique des données.

remarque : le but n'est pas d'obtenir un modèle de prédiction mais plutôt d'identifier le ou les facteurs critiques qui affectent la réponse.

PARTIE B : optimisation de la réponse avec les facteurs critiques

L’objectif est de maximiser la réponse (optical density). L’espace expérimental choisit est:

- on fixe les variables non critiques (l’étape 6) à leur limite inférieure de leur espace;

- on varie les variables critiques (étape 6) dans tout leur espace respectif.

B1. Générer un plan d'expérimentation pour les variables critiques selon un des plans suivants et préciser les critères à la base de votre choix:

Plan 1 : factoriel complet à 3 modalités sans aucune répétition (n = 1) Plan 2 : Box-Behnken Plan 3 : Central Composite

remarque : certains traitements seront répétés avec le choix 2 et le choix 3. Dans le cas du plan 3, les valeurs - 1 et +1 et les valeurs radiales des variables de codage seront choisies le plus près possible des valeurs possibles que le simulateur permet. (raison : incréments possibles de chaque variable avec le simulateur SimWare.)

B2. Effectuer l'analyse de vos données avec STATISTICA

- modéliser avec une fonction appropriée; - déterminer les conditions qui maximisent la réponse à l'intérieur de l’espace ou à la frontière de l'espace expérimental. Ne pas extrapoler à l’extérieur de l’espace. - produire un ou plusieurs graphiques de visualisation de la réponse; - prédiction de la réponse: donner / préciser

l’équation de prédiction la valeur maximale de la réponse un intervalle de prédiction à 95% autour de la valeur maximale les valeurs optimales des variables critiques une région autour des valeurs critiques ou la variable de réponse change

peu (±5%)

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15 N16 Plan fractionnaire - étude sur la conservation d’un produit alimentaire

nom du fichier de données : Viscosité Source: G.E.P. Box, N. R. Draper, Response Surfaces, Mixture, and Ridge Analysis, 2nd ed. 2007, p. 268

Étude sur l’ajout d’additifs à un produit alimentaire pour assurer la conservation dans le temps. Facteurs X1 : température (oF ) de préchauffage – intervalle de variation : 175 à 205

X2 : % additif A – intervalle de variation 0,0 à 0,14 X3 % additif B – intervalle de variation 0,0 à 0,3 X4 % additif C – intervalle de variation 0,0 à 1,5 X5 % additif D – intervalle de variation 0,0 à 0,03 X1, X2, X3, X4, varient à 3 modalités de codage (-1, 0,1) X5 varie à 5 modalités de codage (-2, -1, 0, 1, 2)

Plan fractionnaire 35-2 de 27 essais sur les 5 facteurs X1, X2, X3, X4, X5 Réponse Yt : viscosité mesuré en centiPoise (Cp) après t jours t = 0, 3, 6, 9

tableau des données

facteur Yt viscosité au temps

t = 0, 3, 6, 9

Essai Ordre

exécution X1 X2 X3 X4 X5 Y0 Y3 Y6 Y9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

1 26 5

22 3

24 7

20 2

25 6

21 4

23 8

19 9

27 11 12 13 14 15 16 17 18 10

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0

-1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 2 0

9,8 30,2 17,5 12,5

512,5 655,0 342,5 1020,0 82,5 19,0 9,3

27,5 270,0 282,5 172,5 172,5 45,8 77,5

195,8 33,0 20,0

337,5 70,0 83,8 40,0

287,5 67,5

7,5 35,0 17,5 10,0

1950,0 670,0 262,5 1050,0 145,0 22,0 5,8

22,5 237,5 710,0 237,5 155,0 52,5 62,5

262,5 22,5 15,0

117,5 147,5 62,5 40,0

450,0 77,5

12,5 22,5 12,5 7,5

2070,0 450,0 410,0 970,0 162,5 17,5 5,0

15,0 337,5 650,0 210,0 257,5 62,5 70,0 252,5 15,0 17,5 105,0 60,0 132,5 22,5 482,5 45,0

41,5 45,1 20,1 12,5

3030,0 1700,0 322,5

1230,0 145,0 25,0 12,5 20,0 717,5 547,5 190,0 435,0 57,5 113,8 276,3 27,5 17,5 177,5 147,5 105,0 60,0 495,0 107,5

Remarques

Y0, Y3, Y6, Y9 ne sont pas des réplications de Y car elles sont dépendantes dans le temps. Le temps est un facteur enfoui dans la réponse, c’est un facteur « within factor ». Les autres facteurs X, X2, X3, X4, X5 sont des « between factor ». Ces données constituent un exemple de « repeated measures » où la même unité

expérimentale est mesurée à plusieurs reprises (généralement dans le temps).

Stratégies d’analyse

Faire une pour chaque variable Y0, Y3, Y6, Y9 et rassembler les résultats. Transformer Y0, Y3, Y6, Y9 en de nouvelles caractéristiques.

Par exemple, des pentes a1, a2, a3,…, a26 provenant de Yi = a0 + ai t i = 1, 2,…, 26 t = 0, 3, 6, 9 en fonction du temps.

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Faire l’analyse des pentes ai. Transformer Y0, Y3, Y6, Y9 en de nouvelles variables indépendantes W1, W2,..,

par une analyse en composantes principales et effectuer l’analyse de W1, W2,.. une à une.

Considérer le vecteur Y0, Y3, Y6, Y9 de variables dépendantes avec une structure de variance-covariance Σ.

Analyses a) Pour chaque valeur de t = 0, 3, 6, 9 ajuster le modèle quadratique (1)

Y = β0 + β1X1 + … + β5X5 + β12 X1X2 + …+ β45X4X5 + β11X12 +…+ β55X5

2 (1)

b) Pour chaque valeur de t = 0, 3, 6, 9 ajuster le modèle (2) pour log(Y)

log Y = γ0 + γ2 X2 + γ3 X3 + γ5 X5 + γ34X3X4 (2)

la transformation logarithmique de Y est suggérée à cause des grandes variations de Y

c) Ajuster un modèle global (3) indépendant de t

Y = φ0 + φ2 X2 + φ3 X3 + φ5 X5 + φ34 X3X4 (3)

On vise 800 ≤ Y ≤ 1000. Existe-t-il des combinaisons de X1, X2, X3, X4, X5 qui permettent d’obtenir des valeurs de Y dans cette zone?

d) Analyse en mesures répétées Calculer la matrice de corrélation de Y0, Y3, Y6, Y9. Effectuer une analyse de variance multidimensionnelle (MANOVA) avec le

temps comme un facteur enfoui (« within factor ») dans les réponses Y.

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N17 Plan factoriel complet 34 – Étude sur la performance de sites WEB nom du fichier de données : Sites WEB source : H. Zang, Wayne State University

On a étudié l’influence de 4 facteurs sur la performance d’un site WEB. On a choisi de faire varier les facteurs selon 3 modalités. La performance fut mesurée par le nombre de changements (swap) de pages (Y). Le tableau suivant définit les facteurs et leurs modalités.

modalité Facteur Nom 1 2 3 A Algorithme lruv fifo rand D Deck group freqy alpha P Programme petit medium grand M Mémoire (nb pages) 16 20 24

On a réalisé un plan complet de 81 essais. La variable de réponse Y varie entre 32 et 23134 (ratio 723) au cours des 81 essais. On considère 2 transformations pour Y : Y_log10(Y) et Y_rang = rang de Y Le tableau suivant présente quelques résultats de l’expérience. Tableau des données

test A D P M Y_nb ch. pages

Y_log10 (ch pages) Y_rang

1 lruv group petit 16 538 2,73 36 2 lruv group petit 20 48 1,68 2 3 lruv group petit 24 32 1,51 1

80 rand alpha grand 20 8834 3,95 72 81 rand alpha grand 24 1728 3,24 50

A) Effectuez une analyse de la variance de Y_log10 avec le module ANOVA de Statistica.

i. Employez un modèle incluant jusqu’aux interactions triples. Représenter graphiquement la variable de réponse avec les interactions triples.

ii- Refaire avec un modèle incluant jusqu’aux interactions doubles. B) Refaire l’analyse de Y_log10 avec le design approprié du module DOE de Statistica.

Employez un modèle incluant jusqu’aux interactions doubles. C) Comparer les résultats des analyses A)ii et B). D) Proposer une conclusion sur les résultats de cette expérience.

Documents

MTH6301 – Planification et analyse d’expériences ...€¦ · Ils reposent sur un fichier de données. Ils doivent être ... (sta) et en format Excel (xls) sur le site WEB du