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CHAPITRE 02 LES METHODES DE DIMENSIONNEMENT DES ECRANS

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CHAPITRE 02

LES METHODES DE DIMENSIONNEMENT DES ECRANS DE

SOUTENEMENT

2-1 Rappels sur les pressions latrales de la terre : L'analyse de la pression latrale des terres est d'un aspect trs important en mcanique des sols.

Les applications sont trs diverses et s'tendent du dimensionnement des ouvrages de

soutnement jusqu' l'tude de la stabilit des pentes et des talus. Les hypothses gnralement

admises sont un tat de dformation plane et un comportement rigide-parfaitement plastique car

l'coulement par cisaillement se produit contrainte constante.

2-1-1 Catgories de pression latrale de la terre : Il y a trois catgories de pression latrale de la terre et chacune dpend du mouvement prouv

par le mur vertical sur lequel la pression agit. Les trois catgories sont:

Etat de repos du sol.

Etat de pousse du sol (Pression active de la terre).

Etat de bute du sol (Pression passive de la terre).

Figure.2-1- Dveloppement des pressions actives et passives de la terre


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2-1-1-1 Etat de repos du sol : L'tat des contraintes dans le sol n'est pas hydrostatique: la contrainte horizontale ou latrale

n'est pas gale la contrainte verticale. En mcanique des sols, la contrainte latrale totale est

dfinie en fonction de la contrainte verticale totale par la relation:

h = K v O K est dit coefficient de la pression des terres. Puisque les contraintes totales peuvent

changer selon le degr de saturation du sol, le coefficient K n'est pas constant pour un sol

donn. C'est pour cette raison que nous crivons cette relation en termes de contraintes

effectives: 'h = K0 'v K0 est le coefficient des terres au repos. Il est indpendant de l'tat de saturation du massif.

Il est constant pour une mme couche de sol et une mme masse volumique. De ce fait,

ce coefficient est trs important pour l'analyse de stabilit et la conception des diffrents

ouvrages. Lorsque le sol subit des dformations, on parle de coefficient de pression latrale tout

court. La variation de ce coefficient en fonction des dformations latrales est montre ci-contre

figure.2-1. On peut remarquer que la dformation latrale ncessaire la mobilisation de la

pousse passive est beaucoup plus grande

(2 4 % pour les sables denses, de 10 15 % pour les sables lches) que la dformation

ncessaire la mobilisation de la pression active (de l'ordre de 0,25 et 1 % respectivement).

Le coefficient K0 peut tre dtermin exprimentalement par un essai triaxial pendant lequel

on empche toute dformation latrale. D'autres parts, on peut trouver des relations analytiques

donnant K0 en fonction des proprits du sol.

A titre d'exemple, Jaky propose la relation (1944): K0 = 1 - sin '

Mayne et Kulhawy proposent l'expression suivante pour les sols sur consolids en phase

d'expansion seulement: K0 = (1 - sin ) (rsc) sin '

Lexpression la mieux adapte au sable de Fontainebleau est celle de Meyerhof [1976]


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Selon les points A et M de la figure 2-2

Figure 2-2- Evolution du coefficient K0 lors dun cycle chargement, dchargement, rechargement

Les mesures ralises en centrifugeuse [Gaudin, 1999] ont galement montr que le

coefficient K0 pouvait tre dtermin partir de lindice de densit du sol I

d selon

lexpression suivante

La valeur de K0 peut galement tre obtenue sur la base de la thorie lastique. Si un

chantillon cylindrique de sol est sollicit par la contrainte vertical v, et l'effort

horizontal h la dformation latrale L peut tre exprim :

O E : Module de Young, : Coefficient de Poisson

Pour que cette dformation latrale soit nulle (matriau au repos) il faut que le rapport

Et


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2-1-1-2 Etat de pousse du sol (Pression active de la terre) :

Figure 2-3- Pression active de la terre

Le soutnement s'oppose au mouvement du massif de sol. Dans ce cas, le massif exerce sur

chaque lment de surface de l'ouvrage une action appele pression active ou pousse. Les

tudes exprimentales, montrent que cette pression active est fonction de la densit, de l'angle

de frottement interne, de la cohsion, du coefficient de frottement du massif de sol sur le mur,

de la rigidit de l'ouvrage de soutnement et du mode de son dplacement possible, de la forme

de la surface libre du massif et de l'inclinaison de l'cran sur la vertical. Pour que la pression

des terres sur le soutnement concide avec le niveau de la pousse, il est ncessaire qu'un

certain dplacement puisse se produire. Le tableau 2-1 donne les dplacements ncessaires pour

le dveloppement de la pousse dans les sables et les argiles. Lorsque la pousse minimale

s'tablit, une partie du massif se dplace lgrement et se spare des restes par une faible bande

Types de sol Dplacement du mur

Sables 0.001H 0.004H

Argiles 0.01H 0 0.04H

Tableau 2-1- Dplacement du mur ncessaire pour une pousse


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2-1-1-3 Etat de bute du sol (Pression passive de la terre) :

Figure 2-4- Pression passive (bute) de la terre

Le soutnement exerce un effort sur le massif, dans ce cas, le massif oppose sur chaque lment

de surface de louvrage une pression passive ou bute.

Des dplacements importants de lordre de 1 1/3 de la hauteur du mur selon la nature et la

compacit des sols sont indispensables pour mobiliser la rsistance maximale, bien suprieure

celui qui conduit la pousse minimale. Le tableau 2-2 donne les dplacements ncessaires

pour produire une bute. La bute maximale dpend des mmes paramtres que la pousse. La

ligne de rupture par cisaillement dlimite une zone de massif en mouvement beaucoup plus

importante que la pousse.

La pousse et la bute correspondent deux tats extrmes dquilibre de rupture du massif

dun sol.

Types de sol Dplacement du mur

Sable dense 0.005H

Sable meuble 0.01H

Argile tendre 0.01H

Argile molle 0.05H

Tableau 2-2- Dplacement du mur ncessaire pour une pression passive


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2-1-2 Equilibres de pousse et de bute :

Pour qu'il y ait quilibre de pousse ou de bute, il faut qu'il y ait dplacements figure.2-5

grossirement de l'ordre de (H/1000) pour mobiliser la pousse et suprieur (H /100) pour

mobiliser la bute.

Figure 2-5- Dplacements ncessaires la mobilisation des tats limites de pousse et bute

2-1-2-1 Equilibre de pousse :

Le sol pousse sur l'cran et le met en pousse. Le sol se dplacera jusqu' ce que la Contrainte

effective horizontale initiale h0 diminue, le sol se dcomprime, pour atteindre une valeur

limite a (quilibre actif ou infrieur) infrieure h0. Par rapport ltat initial,

la contrainte v0 tant constante, la contrainte horizontale h0 diminue jusqu ce que

le cercle de Mohr devienne tangent la droite de Mohr-Coulomb pour une valeur de h = a

figure.2-6. Le sol est ltat de pousse ; la contrainte de pousse est relie la contrainte

verticale v0, dans le cas dun cran vertical sans frottement

sol-cran, par le coefficient de pousse Ka (a comme actif).


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Figure 2-6- Etat limite de pousse du sol (sans talus = 0, et sans frottement sol-cran = 0)

2-1-2-2 Equilibre de bute : L'cran pousse sur le sol et le met en bute. Le sol se dplacera jusqu' ce que la contrainte

horizontale initiale h0 augmente, le sol se comprime, pour atteindre une valeur limite p

(quilibre passif ou suprieur) suprieure h0. Par rapport ltat initial, la contrainte v0

tant constante, la contrainte horizontale h0 augmente jusqu ce que le cercle de Mohr

devienne tangent la droite de Mohr-Coulomb pour une valeur de h = p figure.2-7. Le sol

est ltat de bute la contrainte de bute est relie la contrainte verticale v, dans le cas

dun cran vertical sans frottement sol-cran, par le coefficient de bute Kp (p comme

passif).

Figure 2-7 : Etat limite de bute du sol (sans talus = 0, et sans frottement sol-cran = 0)


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2-1-3 Facteurs intervenant dans la distribution de la pression des terres : Les tudes de diffrents auteurs (Rowe (1952-55), Blum (1931), Terzaghi (1953)) montrent que

les facteurs intervenant dans la distribution de la pression des terres sur lcran sont :

1. La densit du massif, nature du sol et sa stratification.

2. Langle de frottement interne du sol.

3. La cohsion C.

4. Angle de frottement sol-cran .

5. La flexibilit de lcran.

6. Linclinaison de lcran.

7. Le mode de son dplacement et de sa dformation possible.

8. La rigidit de systme dtais.

9. Lhistoire des contraintes subies par le sol.

10. Lintensit de la surcharge.

11. Les conditions aux limites.

12. Les conditions cinmatiques.

2-1-4 Choix de langle de frottement sol-cran :

Langle de frottement entre le sol et le parement arrire du mur dpend des facteurs suivants :

La rugosit du parement.

Langle de frottement interne du sol .

Le tassement relatif entre le mur et le sol.

Linclinaison de la surface.

En premire approximation on peut dterminer cet angle de frottement en fonction de

ltat de surface du parement, comme il est indiqu dans le tableau 2-3.

Lorsque louvrage de soutnement a tendance tasser plus que le sol retenu, ce qui est le

cas, par exemple, dun mur plaqu contre un talus de dblai, langle est alors ngatif. Le

tassement relatif entre le sol et le mur joue ainsi un rle important.

Dans tous les cas courants de murs rugueux en bton ou en maonnerie, la valeur de 2/3

est celle retenir.


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Angle de l'interface en fonction de l'tat de surface du parement

Let de surface du parement

Angle de frottement

sol-mur

Surfaces trs lisses ou lubrifies

Surface peu rugueuse (bton lisse, bton trait Surface

rugueuse (bton, bton projet , maonnerie , acier..

Murs caissons .

Parements fictifs inclins des murs cantilevers

= 0

= 1/3

= 2/3

2/3

=

Tableau 2-3- Angle du frottement sol mur en fonction de ltat de surface du parementure

2-1-5 Influence du frottement :

Si on prend en compte le frottement du mur avec le sol , on observe une inclinaison des efforts

de pousse et de bute figure 2-8.

Soit l'angle de frottement du mur avec le sol :

En pousse, le sol a tendance descendre : la force est incline vers le bas et

h = Ka v cos a

En bute au contraire, le sol est pouss vers le haut : la force est incline vers le haut

et h = Kp v cos p

Il en rsulte une inclinaison dans les directions opposes :

Lors de la projection des efforts pour crire l'quilibre en moment, l'angle tant le mme en

pousse et en bute, un facteur en cos affectent les pousses des terres mais pas pour le tirant

ou la contrebute.

Pour l'criture de l'quilibre en force, seuls les coefficients de pousse et de bute sont

affects par l'angle, les rsultantes demeurent horizontales : les valeurs sont donc galement

modifies.

Par consquent les efforts tranchants dans la paroi et donc les moments

flchissant sont galement affects.

En pratique, on prend souvent l'hypothse a = 0 et p = -/2. Ceci n'affecte que peu les

efforts structurels observs : empiriquement, l'influence du frottement du rideau se rvle donc

faible,


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Figure 2-8 : Cas du mur avec frottement

2-1-6 Le cas particulier des crans souples :

La caractrisation de la souplesse dune paroi reste difficile. Le taux de dformation dfinissant

les crans flexibles varie en effet selon les auteurs de 5% de la hauteur totale pour Packshaw

[1948] 0,26% pour Bros [1972]. Malgr cela, la rpartition triangulaire classique des forces

de pressions a rapidement t mise dfaut dans le cas des ouvrages dont la dformation entre

appuis paraissait importante. A partir danalyses empiriques sur le dimensionnement des

palplanches en bois, lingnieur danois Christiani (dbut XXe

sicle) a voqu lhypothse

dune redistribution des pressions de pousse des zones situes entre appuis (qui subissaient un

important dplacement) vers les zones situes au niveau des appuis (dont les dplacements

restaient faibles).

Cette redistribution a t observe exprimentalement par Stroyer en 1935 et attribue par

Terzaghi [1943] un effet de vote conduisant un report des pressions de pousse, par la

mobilisation du cisaillement au sein du sol, des zones les moins rigides (entre appuis) vers les

zones les plus rigides (sur appuis). La pousse rsultante reste nanmoins inchange.

Cet effet de vote a par la suite t caractris plus prcisment en fonction des spcificits de

louvrage et du type dappuis [Delattre, 1999]. Les mthodes permettant de le prendre en

compte dans le dimensionnement des ouvrages nen restent pas moins trs empiriques et sont

peu appliques dans la pratique. Citons pour mmoire celle de Terzaghi et Peck [1967] qui

donne une estimation de la rpartition des efforts sur les appuis, sans toutefois prciser la

rpartition des pressions de pousse sur lcran.


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Dans le cas des crans souples autostables (sans appui), aucune thorie ou observation

exprimentale ne fait allusion un quelconque effet de vote. Notons simplement que plusieurs

travaux, notamment ceux de Rowe [1952], Terzaghi [1953] et Tschebotarioff [1944] ont montr

que la rpartition des pressions dpendait de nombreux paramtres (caractristiques du sol,

gomtrie de lcran, ventuelles surcharges) mais surtout de la cinmatique de louvrage, cest

dire de la faon dont il se dplace. Dans le cas des crans autostables dont la souplesse peut

modifier la cinmatique, la rpartition des pressions peut tre modifie.

2- 2 Dimensionnement dcran de soutnement :

Le dimensionnement des crans de soutnement pour rsister la pousse des terres

quils doivent retenir est un problme classique de lingnierie civile et militaire qui a intress

de nombreux scientifiques ds le dbut du XVIIIe sicle. Une discussion des premiers travaux

sur ce sujet (dont Bullet 1691, Gautier 1717, Couplet 1726 et 1727, Blidor 1729, Gadroy

1746, Rondelet, 1767) est prsente par Heyman (Heyman 1972). Verdeyen donne galement

quelques repres historiques concernant le dveloppement de la mcanique des sols, dans

lequel les crans de soutnement prennent une place importante (Verdeyen 1959).Les

modles de calcul cits par exemple par lEurocode 7-1 (2004) sont les modles analytiques,

semi-empiriques ou numriques. Sil nexiste pas de modle de calcul fiable pour un tat limite

particulier, on peut aussi se servir dessais de chargement ou de la mthode observationnelle.

Le choix de la mthode reste alors assez libre.

Delattre (2001) distingue cinq familles de mthodes de calcul des crans de soutnement

1- Les mthodes dites classiques , faisant appel des calculs analytiques de la

pousse et de la bute des terres,

2- La mthode du coefficient de raction, prenant en compte une certaine interaction

sol-structure,

3- La mthode des lments finis, dveloppe partir des annes 1970,

4- Les mthodes empiriques et semi-empiriques, sappuyant sur un rfrentiel qui

tient compte du comportement observ des ouvrages,

5- Les mthodes de calcul de ltat limite ultime, fondes sur des thories de

plasticit.


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2-2-1 les mthodes dites classiques : faisant appel des calculs analytiques de la pousse et de la bute des terres,

Plusieurs thories permettent de calculer les coefficients de pousse et de bute

dun sol pulvrulent ( C = 0). On mentionne les principales par ordre chronologique.

2-2-1-1 Mthode de Coulomb :

Charles Augustin Coulomb (1736 - 1806) a t dabord un ingnieur du gnie militaire avant

de devenir plus tard un physicien encore plus clbre par ses mmoires sur llectricit et le

magntisme entre 1785 et 1791.Son premier ouvrage important fut, en tant que

Lieutenant en Premier du Gnie , la construction de 1764 1772 la Martinique du

fort Bourbon. A son retour en mtropole en 1773 il publie lAcadmie des Sciences un

important mmoire de mcanique applique intitul : Sur une application des rgles de

Maximis & Minimis quelques Problmes de Statique, relatifs lArchitecture. (Par

M. Coulomb, Ingnieur du Roi).

Ce mmoire est destin dterminer, autant que le mlange du Calcul et de la Physique

peuvent le permettre, linfluence du frottement et de la cohsion, dans quelques problmes de

Statique. Aprs avoir expriment la rsistance des piliers de maonnerie en pierres, il tudie la

pression des terres et des revtements. Coulomb (1776) qui, le premier, a mis au point une

mthode de calcul des murs de soutnement. A lheure actuelle, la mthode de Coulomb

est universellement employe, principalement aux Etats-Unis, en raison de sa simplicit

thorique et pratique.

La thorie de Coulomb repose sur deux hypothses :

- Le sol se rompt suivant une surface de rupture plane mais souligne bien figure 2-9

- La force agissant sur le mur a une direction connue. En dautre terme cela signifie que

langle de frottement entre lcran et le mur est connu ; Ces deux hypothses faites, la

force agissante sur le mur est calcule par de simples considrations dquilibre statiques

partir dune rgle dextremum.


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Figure 2-9 : Equilibre du coin de Coulomb

On suppose que la surface de rupture potentielle est un plan (coin de Coulomb) passant par

le pied de lcran et faisant un angle avec lhorizontale.

On fait lhypothse que la contrainte de cisaillement = tg est compltement mobilise le

long de ce plan. Le coin de Coulomb se comporte de faon rigide-plastique, ce qui nest pas le

cas gnralement surtout si lcran est de grande hauteur.

La raction totale du sol R sur lequel glisse le coin de Coulomb est donc incline de

langle sur la normale au plan de rupture.

En application de la mthode de Coulomb, on calcule la pousse en supposant que = 0

Coulomb a dfini les coefficients de pression de terre actifs et passifs respectivement par les

expressions :

2-1

2-2

O :

: Angle de frottement interne du sol.

: Angle de frottement sol cran.

: Inclinaison du mur avec lhorizontale. : inclinaison de la surface du sol avec lhorizontale.


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Dans les problmes passives si > /3, la courbure de la surface de rupture derrire le mur doit

tre tenue en compte, do lquation (2.2) mne une surestimation de la pression de terre.

Trs vite ce mode de calcul est mis en dfaut tant sur le plan exprimental que sur le plan

thorique, dans la validit des suppositions de sa thorie Coulomb na pay aucune

attention du tout au mode de mouvement du mur et a suppos que la distribution de pression

latral de la terre ait t simplement hydrostatique, il avait restreint lapplication des rgles

de Maximis et Minimis dans le cas de la pousse des familles de surfaces

de ruptures planes.

La discussion de cette hypothse fondamentale la fin du 19ime sicle, a t

acceptable pour ltude de la majorit des problmes de pousse poss par lingnieur.

Elle reste encore largement accepte un sicle plus tard.

En revanche, lhypothse de planit des surfaces de rupture est remise en cause pour

ltude de la bute, il est ainsi montr que ladoption des lignes brises, darcs de

cercles, darcs spirales logarithmiques, de combinaisons de surfaces planes et darcs de cercles,

pour la modlisation de surfaces de rupture, permet dobtenir des Minimis de la

valeur de rsistance en bute infrieure ceux donnes par des surfaces planes.

2-2-1-2 Mthode de Rankine : En plus des hypothses suivantes :

- Sol semi-infini, homogne, isotrope,

- Condition de dformation plane,

- Courbe intrinsque de Mohr-Coulomb

- Massif surface libre plane,

Rankine (1857) avait rajout l'hypothse que la prsence d'un cran ne modifie pas la

rpartition des contraintes dans le massif.

Cas gnral :

Avec cette hypothse, on peut dterminer la rpartition des contraintes de pousse (ou de bute)

le long d'un plan OD, dans le cas d'un sol pesant pulvrulent (, ) non surcharg.

Cas particuliers :

La mthode de Rankine peut prendre en compte des surcharges uniformes rparties sur toute la

surface du sol. Cependant, il est impossible de raliser un calcul littral dans trois cas simples

reprsents sur la figure 2-10.


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Pour ces situations, la solution communment adopte consiste calculer les contraintes

appliques au mur en l'absence de surcharge et y superposer les efforts dus la seule

surcharge et calculs par la formule lastique de Boussinesq. Cette approche n'est pas

pleinement satisfaisante, le principe de superposition ne pouvant tre appliqu en toute rigueur.

Une alternative pouvant tre trouve dans la rsolution numrique du problme, avec un

algorithme d'lments finis par exemple.

Figure 2-10- Calcul lastique des contraintes horizontales apportes sur un cran par des surcharges (d'ap. Schlosser)

Les surcharges correspondant ces 3 cas sont donnes par les formules suivantes :

2-2-1-3 Mthode de Boussinesq :

Boussinesq (1882) a amlior la thorie de Rankine en prenant l'interaction relle entre

le sol et l'cran, c'est--dire en choisissant la valeur de l'angle de frottement sol-cran. Dans

cet quilibre, Boussinesq considre une premire zone o on a l'quilibre de Rankine

se raccordant une seconde zone o il tient compte des conditions aux limites sur l'cran

figure 2-11


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FIGURE 2-11- Equilibres de Boussinesq et de Rankine.

Boussinesq garde les rsultats de Rankine concernant la rpartition des contraintes sur l'cran :

- L'obliquit des contraintes est constante le long de l'cran OD, elle est choisie et fixe

- La rpartition des contraintes sur l'cran est triangulaire :

Si Boussinesq avait bien pos le problme, il n'a t rsolu qu'en 1948 par Caquot et Kerisel

qui en ont donn la dmonstration suivante.

On travaillera en coordonnes polaires, pour lesquelles les quations dquilibre

divt + F = 0 scrivent :

r : Contrainte normale radiale

: Contrainte normale orthoradiale

: Contrainte de cisaillement


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Le systme des deux quations diffrentielles a t intgr par Caquot et Krisel, les calculs

tant amliors par ABSI pour donner des tables compltes de pousse et bute fournissant les

coefficients Ka et Kp. Le problme est dtermin par les conditions aux frontires :

- surface libre : contraintes nulles

- sur lcran : obliquit impose de la contrainte.

Entre la surface libre et la premire ligne de glissement on a un quilibre de Rankine et entre la

premire ligne de glissement et lcran un quilibre de Boussinesq.

Le trac des lignes de glissement montre que les lignes de glissement diffrent peu de lignes

droites dans le cas dquilibre de pousse, par contre elles sen loignent fortement dans le cas

dquilibre de bute.

2-2-1-4 Terzaghi (1936) :

Cette ambigut est la base dune critique svre du travail de Rankine par Terzaghi en 1936.

Selon lui, le fait dadmettre quun dplacement ngligeable suffise atteindre un tat de

rupture actif ou passif (comportement rigide-plastique du sol) va contre toutes les observations

in situ qui mettent en vidence la prsence dun tat intermdiaire, appel tat au repos. Daprs

lui, des dformations qui dpendent des proprits lastiques du sol sont ncessaires pour

atteindre les tats de rupture.

En particulier, les dformations ncessaires pour atteindre un tat passif ne sont pas

envisageables dans les conditions relles.

Dans sa prise de position, Terzaghi critique galement la thorie de Coulomb.

Il dnonce surtout la gnralisation de son utilisation, au mme titre que lutilisation de la

thorie de Rankine, pour le dimensionnement des ouvrages de soutnement, sans

distinction du type de structure. Meem avait dj mis en cause lapplication de ces

thories aux parois de fouilles tayes, car les efforts mesurs in situ dans les tais ne

concidaient pas avec les valeurs prvues par le calcul (Meem 1908).

Selon Terzaghi, les hypothses la base de la thorie de Coulomb ne sont que rarement


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valables dans les cas pratiques. Le fait dadmettre une surface de rupture plane est une

limitation, mais cest principalement lhypothse sur la distribution des pousses le long du

mur, admise arbitrairement triangulaire, qui est discute. Elle dpend selon lui du mode de

dplacement du mur (rotation ou translation) et de ses conditions dappuis (mur de soutnement

ou paroi de fouille taye). Cet article de Terzaghi est surtout intressant au niveau de sa

perception de linteraction sol-structure qui est beaucoup plus avance et prcise que chez

Coulomb ou Rankine. La figure 2-12, tire de ce document, rsume les progrs raliss par

Terzaghi ce sujet. Elle prsente lvolution de lintensit et de la position de la rsultante de la

pousse des terres agissant contre un mur de soutnement, premirement lorsque le mur

est en rotation par rapport sa base, et deuximement lorsque le mur se dplace par

translation.

Figure 2-12- Coefficient de pousse latrale des terres contre un mur vertical et position du

point dapplication de la rsultante (selon Terzaghi 1936a). Distinction du mode

de dplacement du mur

Selon lui, la pousse des terres dpend de lintensit et du mode de dplacement du mur de

soutnement. Lorsque le mur se dplace, la pousse diminue depuis la pousse au repos

pour atteindre progressivement un plateau. La courbe exprimant lintensit de la pousse en

fonction du dplacement varie selon le mode de dplacement admis pour le mur mais la valeur

finale est identique pour les deux modes et correspond la pousse active de Rankine.

Ce dernier rsultat peut tre montr dans le cas dun mur parfaitement lisse par la


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thorie de la plasticit. La position de la rsultante varie galement en fonction du mode

de dplacement.

Terzaghi introduit donc deux notions nouvelles, reprsentes sur la figure 2-13

Premirement, la rponse du sol ne peut pas tre dcrite seulement par les deux tats de rupture

active et passive. La pousse des terres varie entre ces deux valeurs en fonction du dplacement

du mur. Il mentionne aussi que ltat actif est obtenu pour des dplacements

relativement faibles alors que ltat passif ncessite des dplacements importants.

Deuximement, le mode de dplacement du mur a une influence sur lintensit et la

distribution des pousses. A ce sujet, il voque aussi quil existe une diffrence entre un

mur de soutnement en maonnerie rigide et une paroi taye souple. La rigidit du sol et

les conditions dappui de la structure ont une influence sur les pousses des terres contre la

structure.

Figure 2-13- Progrs raliss par Rankine et Terzaghi dans la perception

de linteraction sol-structure

Terzaghi crira ensuite un certain nombre douvrages de rfrence (dont Terzaghi 1951 et

Terzaghi et al. 1996, 1re dition 1948), dans lesquels il applique ces principes pour valuer les

pressions des terres sur diffrents types de soutnement.

Lors de lapplication de diffrentes thories des cas pratiques (dont celles de Coulomb et de

Rankine), il insiste sur le fait que les hypothses doivent tre justifies et vrifies,

particulirement celles concernant les proprits du sol, la rugosit de la structure et

ltat de dformation admis dans le sol (plastique ou non). Cela le conduit proposer des

approches diffrentes suivant le type de structure dimensionner, en fonction de la rigidit et

des conditions dappui de la structure. Il distingue ainsi, entre autres, les murs de soutnement,

les blindages de fouilles et les parois ancres souples et rigides.


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2-2-1-5 Mthodes de Krey et Blum :

Krey (rapport par Bica et Clayton, [1989]) a tabli les premires hypothses sur la rpartition

des forces de pressions sur un cran encastr dans le sol et soumis un effort en tte.

Il considre notamment que, pour la partie en fiche, la partie suprieure mobilise la bute

devant lcran et la partie infrieure derrire lcran

Figure 2.14a. La transition entre ces deux tats est suppose linaire. La hauteur en fiche

est alors dtermine en crivant lquilibre en moments et en efforts de la paroi.

Ces hypothses ont t reprises peu aprs par Blum [1931] qui suppose que la transition entre

les tats dquilibre limite en fiche seffectue selon une rpartition plus nuance

figure 2.14b, La pente du profil de pression au voisinage du point de rotation reste dterminer,

mais Blum montre que le dimensionnement de louvrage dpend peu de la valeur de cette pente

et que ladoption dun schma simplifi figure 2.14c, qui simplifie la rsolution

mathmatique du problme, est suffisant pour dimensionner louvrage. Sur ce schma

simplifi, les pressions du sol au-dessous du centre de rotation sont assimiles une force

ponctuelle qui sapplique au niveau de ce dernier.

Figure 2-14- Schma de calcul lquilibre limite adopt par Krey (a) et par Blum (b) et (c)

Une tude paramtrique mene par Blum montre que ce schma simplifi conduit une

sous-estimation de la fiche denviron 20%. Lextrapolation de ces rsultats aux crans

de soutnement autostables, simplement encastrs, conduit Blum prconiser le

dimensionnement de louvrage avec le diagramme simplifi en appliquant une majoration

forfaitaire de 20% de la fiche ainsi calcule.


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2-2-2 Mthode du coefficient de raction : prenant en compte une certaine interaction sol-structure,

Dans la plupart des cas, les ouvrages en parois moules dans le sol sont dimensionns partir

de la mthode dite aux coefficients de raction (galement appele parfois mthode

lastoplastique).

Figure 2-15- Modlisation du comportement du sol p = k.y

Figure 2-16- Schmatisation du comportement de parois simplement encastres dans le sol

En France, la mthode du coefficient de raction a t utilise partir des annes 1970 et elle a

t relativement vite intgre dans des logiciels spcialiss (Delattre, 2001).Le succs de cette

mthode, particulirement en France, peut tre expliqu entre autres pays. Les rsultats de

lessai pressiomtrique sont utiliss pour dterminer le coefficient de raction horizontal du sol,


44

kh. La mthode de calcul aux coefficients de raction permet de dterminer les efforts et

dformations dans un cran de soutnement fich dans le sol, aux diffrentes phases des

travaux et dexploitation. La mthode repose sur une modlisation simplifie de laction du sol

sur lcran : cette action est rduite, en chaque point de lcran, gauche et droite, une

pression horizontale, lie au dplacement du niveau considr par une loi de raction. Les lois

de raction utilises, couramment mais abusivement dsignes par le terme de

lois lastoplastiques , sont des lois de mobilisation linaire avec paliers de pousse et de

bute, dont le domaine pseudo-lastique est caractris par le coefficient de raction kh (Delattre

et al. 2000). Lun des dfauts de cette mthode est la difficult de dterminer le coefficient de

raction, qui nest pas un paramtre intrinsque du sol mais dpend non seulement de la nature

du sol mais aussi de la gomtrie de lcran et du systme de support, entre autres. Des

propositions pour sa dtermination ont t faites par Balay (1984), Monnet (1994), Schmitt

(1995, 1998) et Simon (1995) pour ne citer que les principaux contributeurs. Pour de plus

amples renseignements sur cette mthode, ses conditions d'application et la dtermination des

paramtres de calcul, on pourra utilement se rapporter la note d'information technique du

LCPC de Juillet 1984 intitule Recommandations pour le choix des paramtres de calcul des

crans de soutnement par la mthode aux modules de raction.

2-2-3 Mthode des lments finis : dveloppe partir des annes 1970, La mthode des lments finis est un outil trs gnral qui permet de trouver une solution

numrique tout problme que lon peut dcrire laide dquations aux drives partielles sur

un domaine fini. Diffrentes extensions permettent par ailleurs de prendre en compte des

discontinuits spatiales ou temporelles des solutions recherches, des domaines dextension

infinie, etc. Elle offre la possibilit

de prendre en compte des modles de comportement trs sophistiqus, plus ralistes que ceux

pris en compte par des mthodes plus traditionnelles, et il est donc naturel quelle ait suscit un

grand intrt de la part des ingnieurs de la gotechnique et du gnie civil. Ainsi, aprs des

premires applications aux barrages

[Clough et Woodward, 1967], aux excavations

[Chang et Duncan, 1970] et aux murs de soutnement [Duncan et Clough, 1971 ; Clough et

Duncan, 1971], lutilisation de la mthode des lments finis pour le calcul des crans de

soutnement a dbut dans les annes 1970 [Bjerrum et al. 1972 ; Egger, 1972 ; Clough et al.

1972 ;


45

Palmer et Kenney, 1972]. Ces premires analyses ont t suivies defforts importants pour

examiner de manire systmatique les apports potentiels de la mthode des lments finis

au calcul des ouvrages gotechniques en gnral et des ouvrages de soutnement en

particulier [Duncan, 1994 ; Gens, 1995].la mise en uvre de la mthode et ont limit son

emploi.

Les mthodes de calcul traditionnelles prsentent en effet linconvnient majeur de ne traiter

valablement que des formes douvrages trs particulires, pour lesquelles des solutions

particulires ont t dgages [Delattre, 2002 ; Delattre et Marten, 2003]. Ainsi, pour ne citer

que les limites demploi les plus videntes

- La gomtrie du terrain ne peut tre prise en compte de faon rigoureuse que dans

quelques configurations ; ainsi, les contraintes de pousse ou de bute du sol ne sont exprimes

que pour les configurations douvrages dans lesquelles le terrain naturel est limit par un plan,

horizontal ou inclin, les interfaces entre couches du sol sont parallles au terrain et louvrage

connat une cinmatique particulire ;

-Les interactions du soutnement avec dautres composantes de louvrage ne peuvent tre prises

en compte que par un torseur deffort applicable au soutnement, ce qui ne permet pas de

rendre compte des formes dinteraction complexes comme celles qui sont dues aux ouvrages

avoisinants ;

la modlisation dun soutnement au voisinage dune fondation, dun tunnel ou dun autre

soutnement reste ainsi inaccessible aux mthodes traditionnelles. De la mme faon,

linteraction du soutnement avec dautres composantes de louvrage, comme des murs en

retour, par exemple, reste toujours laborieuse ;

- La modlisation de linteraction du sol avec la structure reste insuffisamment explicite et fait

appel des notions qui restent largement discutes, telles que le coefficient de raction.

Figure 2-17- relations mises en jeu par la modlisation des crans de soutnement


46

2-2-4 Mthodes empiriques et semi-empiriques : sappuyant sur un rfrentiel qui tient compte du comportement observ des ouvrages,

En Allemagne, la mthode du coefficient de raction est rarement applique dans

lingnierie quotidienne. La mthode de calcul utilise habituellement pour le dimensionnement

des crans de soutnement est de type semi-empirique. La pousse est calcule analytiquement

daprs la norme DIN 4085 (1987), qui sappuie sur les rgles classiques de Coulomb et

Rankine. Sil est probable que les mouvements du soutnement attendus natteindront pas les

mouvements ncessaires pour activer ltat limite de la pousse (paroi rigide, tirants pr-

contraints), la norme DIN se rfre aux recommandations de lEAB4 (1994) et demande la

prise en compte dune pousse majore . Dans un deuxime temps, la pousse est

redistribue selon le type de soutnement et les conditions dappui. La figure 2.18 montre

la redistribution de la pousse pour des crans continus, cest dire des rideaux de palplanches,

des parois moules ou des parois de pieux fors (qui, contrairement aux parois berlinoises,

forment tous un cran continu en fiche). Ces diagrammes ont t tablis laide de nombreuses

donnes exprimentales, provenant lorigine principalement de chantiers de mtro. ct de

lEAB, il existe dautres recommandations nationales, par exemple lEAU (1996) relatif aux

ouvrages de rives, ainsi que des recommandations locales (par exemple les Stadtbahn-

Richtlinien Francfort-sur-le-Main). Une fois les sollicitations dtermines, les efforts dans

lcran sont calculs en considrant lcran comme une poutre, appuye dune part sur la bute

et dautre part sur les appuis. Lors de ces calculs, il est possible de considrer la partie en fiche

comme un systme appuy sur des ressorts, linstar de la mthode du coefficient de raction


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(Figure 2-18- Figures de redistribution pour des rideaux de palplanches et des parois en bton coul en place donnes par les rgles

EAB (3me dition, 1994).

Les notions signifient : eh = pousse horizontale, e tant la notation pour Erddruck

en allemand eho, ehu = pousses maximale et minimale, o = oben (haut) et u = unten (bas) H = profondeur de la fouille H=

hauteur de la pousse effective jusquau point dintersection obtenu par la diffrence pousse moins bute effective u = partie de

Hen dessous du fond de la fouille hk = niveau de lappui ze = point dapplication de la force rsultante de la pousse

La flche pointille en fiche symbolise la rsultante de la bute effective.


48

2-2-5 Mthodes de calcul de ltat limite ultime : fondes sur des thories de plasticit.

Plusieurs mthodes permettent de calculer les crans de soutnements ltat limite

ultime

O le rideau est ancr en tte et simplement but en pied

O le rideau nest pas ancr en tte, mais rsiste uniquement par un bon

encastrement dans le sol de fondation.

Travaux de Brinch Hansen (1953)

2-2-5-1 Rideau ancr, simplement but en pied (BUTEE SIMPLE) :

La plus immdiate des mthodes de calcul des crans de soutnement, et probablement la

premire pour le dimensionnement des crans de soutnement, tels les rideaux de palplanches,

s'est inspire de la thorie des murs de soutnement rigides.

Hypothses

Dans cette approche,

Le rideau ou cran de soutnement est suppos rigide ;

Il est soumis aux forces de pousse et bute de Rankine ;

Le pied est libre de se dplacer, la tte tourne autour de l'ancrage.

Dans cette situation, le mcanisme de rupture est celui d'une rotation autour du point d'ancrage.

Figure 2-19- Mcanisme de rupture d'un cran simplement but, d'aprs Delattre (2001)


49

Figure 2-20 - Cinmatique d'un cran rigide ancr et distribution rsultante des pressions

(Cas dun terrain frottant homogne).

A la rupture, le mur est en rotation autour de l'ancrage (ou tirant), plac proximit du haut du

rideau. On peut donc considrer qu'il y a mobilisation complte des pressions des terres

passives d'un ct du mur et actives de l'autre : on parle alors de rideau ancr et simplement

but en pied. La figure 2-19 montre la rpartition de la pression des terres.

On notera qu'en pratique le tirant n'est pas tout en haut de la paroi, par consquent, la partie de

sol au dessus du tirant n'est pas en pousse. Cependant, Fourrie et Potts (1988)

ont tudi numriquement l'influence de la position de l'ancrage et en ont conclu

que l'hypothse de mobilisation totale des pressions actives (ou pousse) des terres reste

acceptable si le tirant est situ dans le tiers suprieur de l'excavation.

Le problme se rsout en crivant :

l'quilibre horizontal en force : T + F p =F a

la nullit du moment autour de l'ancrage : F a [2/3(H +d) B ]=F p [2/3d + H B]

avec les rsultantes de pousse des terres F a = Ka '(D+H)2/2 et F p= K p 'D2 /2

Le problme est statiquement dtermin : l'quation en moment est un polynme de 3 degr en

D avec une seule racine relle positive. L'quilibre horizontal des efforts permet ensuite le

calcul de la force T appliquer au tirant.

Cas de la prsence d'eau :

Nous avons jusqu'ici suppos implicitement que le matriau tait sec. Dans le cas ou de l'eau est

prsente dans le massif, le calcul doit la prendre en compte.

La stabilit de l'ouvrage se calcule alors en incluant les efforts dus l'eau et calculs

sparment, comme indiqu sur la figure 2-21. S'il y a coulement d'eau dans le massif, il

faudra commencer par rsoudre le problme hydraulique


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Figure 2-21- Cas de l'cran en prsence d'eau (adapt de Potts)

2-2-5-2 Rideau non ancr en tte et encastr en pied :

Un rideau non ancr, battu dans un sol pulvrulent, subit une rotation autour dun point O situ

dans sa partie en che. La gure 2-22 montre les dplacements du rideau et les efforts normaux

correspondants. Le calcul est fait par la mthode de Rankine, partir des hypothses

simplicatrices suivantes (gure 2-23) :

Le sol des deux cts du rideau, au-dessus du point de rotation O, est en tat dquilibre

limite ;

Les efforts de contrebute sont quivalents une force horizontale Fc applique au

niveau du centre de rotation O.

On prend gnralement une hauteur de contrebute gale 20 % de la hauteur de bute z0

Cela rduit les inconnues du problme au nombre de deux :

la hauteur de bute Z0 ;

la force de contrebute Fc.

Elles peuvent alors tre calcules par les quations de la statique traduisant lquilibre du

rideau. La valeur de Z0 est dtermine en crivant lquilibre des moments autour du point O,

ce qui donne une quation du troisime degr en Z0 , analogue celle donnant la valeur de

la che D par la formule


51

Figure 2-22 Calcul ltat limite dun rideau encastr, non ancr (sol pulvrulent)

Figure 2-23 Hypothses admises pour le calcul dun rideau non ancr

La che du rideau a alors pour expression :

La force de contre-bute Fc sobtient en crivant quen projection horizontale la rsultante

gnrale des forces sexerant sur le rideau est nulle, soit :

Pour tenir compte dun coefcient de scurit par rapport lquilibre limite ainsi

calcul, on considre que la moiti de la bute est mobilise, ce qui, dans les calculs,

conduit remplacer Kp par 1/2 Kp . Il est alors possible de dterminer la valeur maximale du

moment chissant dans le rideau partir du diagramme des pressions de gure 2-23, et de

choisir un type de palplanche dinertie convenable.


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2-2-5-3 Travaux de Brinch Hansen (1953) :

Jusqualors, la dmarche adopte pour le dimensionnement des ouvrages de

soutnement, quil bas sur des mthodes thoriques ou semi-empiriques, fait intervenir la

structure dans une seconde tape aprs avoir estim les pressions de contact auxquelles elle est

soumise.

Celles-ci sont dans certains cas values sur la base dobservations faites ltat de

service, lorsque les dplacements de la structure sont relativement faibles et que le sol est

proche dun tat au repos. La vrification de la scurit structurale du mur ou de la paroi de

soutnement est donc effectue sur la base dhypothses qui ne sont pas forcment

vrifies lors dune rupture par dfaillance interne de la structure. La cinmatique avec

laquelle sont dtermines les pressions de contact nest en effet pas

forcment compatible avec les modes de rupture de la structure. Ceci est

particulirement le cas pour les parois tayes ou ancres pour lesquelles diffrents

modes de rupture peuvent tre envisags : rupture dun tai ou dun ancrage, rupture de la

paroi par flexion ou par effort tranchant, rupture globale par glissement, . La

cinmatique de rupture dans le sol et les pressions de contact diffrent par consquent selon le

mode de rupture considr.

Brinch Hansen propose en 1953 une mthode gnrale, systmatique et innovante pour

valuer la pousse des terres contre des ouvrages de soutnement en tenant compte de la

cinmatique de rupture du systme sol-structure (Brinch Hansen 1953).

Figure 2-24- Modes de rupture possibles pour une paroi ancre et fiche avec ou sans formation de rotules plastiques

dans la structure (figure tire de Steenfelt et al.1981)


53

Le calcul de lintensit et de la distribution des pressions de contact contre une paroi de

soutnement est effectu en fonction du mode de rupture admis pour la structure. Dans une

premire tape, la mthode consiste construire un mcanisme de rupture dans le sol, appel

figure de rupture et compos de lignes de rupture, de surfaces ou zones de rupture et de zones

lastiques, qui est compatible avec le mode de rupture de la structure. Par certaines

simplifications, Brinch Hansen propose ensuite une dmarche systmatique, base sur les

conditions dquilibre, pour dterminer les pressions de contact contre les diffrentes parties

de la paroi. La figure 2-24, tire dun article faisant rfrence la mthode de Brinch

Hansen, prsente diffrents modes de rupture possibles pour une paroi ancre et fiche.

Un fait intressant est que selon Brinch Hansen, le mode de rupture peut tre choisi

lors dun dimensionnement. Ceci est normalement vrai pour une solution statiquement

admissible au sens de la thorie de la plasticit. La mthode de Brinch Hansen ne remplit

cependant pas rigoureusement les conditions requises par cette thorie.

Brinch Hansen est le premier intgrer directement le comportement de la structure la ruine

dans le calcul des pousses des terres. Il assure ainsi une compatibilit cinmatique

entre le sol et la structure ltat limite ultime, ce qui conduit une reprsentation

plus raliste du comportement du systme sol-structure. Linteraction sol-structure joue

donc un rle prpondrant dans son approche.

Par contre, cette mthode qui se base sur des considrations la rupture fait partie de la

catgorie des mthodes dquilibre limite. Elle ne renseigne pas sur les tats

intermdiaires et les dplacements ncessaires pour atteindre ltat de rupture admis ne peuvent

pas tre valus.

2-3 Les mthodes actuelles :

Les mthodes utilises actuellement reposent toutes sur les hypothses tablies par Krey puis

par Blum. Elles se sont par la suite diffrencies selon la pratique et lintrt que les diffrents

praticiens leur ont portes. Ainsi, si les mthodes franaises nont pas volu depuis

leur tablissement, les mthodes anglo-saxonnes ont connu quelques dveloppements, la

thorie de lquilibre limite restant trs prise par les gotechniciens de ces pays. Le

prsent paragraphe prsente donc les deux mthodes franaises et les derniers

dveloppements des mthodes anglaises et amricaines.


54

La premire mthode franaise est celle rapporte par Josseaume [1974]. Elle suppose

un diagramme des pressions rparties comme indiqu sur la figure 2-25a. La hauteur sur

laquelle sexercent les efforts de contrebute est gale 20 % de la hauteur de bute f0. Ces

efforts de contrebute sont ramens un effort ponctuel C appliqu au niveau du point de

rotation O.

Lcriture des quations dquilibres en forces et en moments selon ce schma conduit la

rsolution dun systme de deux quations o he et f0 sont les inconnus. Ces mmes quations

conduisent la dtermination de leffort de contrebute C ainsi quau moment de flexion dans

la paroi.

La seconde mthode franaise est luvre de Houy [1976]. Elle repose sur le mme schma

dquilibre mcanique et consiste dterminer la fiche et le moment maximal partir

dabaques de dimensionnement fonctions respectivement de langle de frottement interne et du

moment de flexion au niveau du fond de fouille. Ces deux mthodes conduisent

sensiblement aux mmes rsultats.


55

Figure 2-25- Mthodes classiques de dimensionnement des parois autostables lquilibre limite

La mthode anglaise, rapporte par Padfield et Mair [1984], repose sur le diagramme

de pressions prsent sur la figure 2-25b. Elle se diffrencie des mthodes franaises par

la forme du diagramme de pressions et notamment par la prise en compte complte de

la contrebute. La condition dquilibre limite est dfinie par la hauteur en fiche d juste

ncessaire pour assurer lquilibre de la paroi et par les coefficients Ka et Kp. La

hauteur dexcavation limite hl est alors dfinie par lexpression suivante :


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La mthode amricaine repose sur lhypothse de base de Krey et considre une rpartition

linaire des pressions comme indiques sur la figure 2-25c. Le calcul repose sur la

dtermination de la hauteur en fiche d pour une hauteur libre he donne. La rsolution passe par

la dtermination de quatre inconnues : y, d, q1 et q2. Deux quations sont issues de

lquilibre de la paroi. Les deux autres quations sont dfinies en faisant lhypothse que (i) la

bute limite est pleinement mobilise sous le fond de fouille (le gradient de la pente

du diagramme est alors (Kp-Ka)) et (ii) la valeur de q2 est suppose maximale et gale la

bute sur la hauteur totale de lcran moins la pousse sur la partie en fiche.

La mthode de King est une adaptation de la mthode amricaine gnrale. La bute

nest plus pleinement mobilise dans la partie en fiche, les valeurs de P1 et P2 sont

alors indpendante de Ka et Kp. Elles sont par contre lies lune lautre par les

relations entre triangles similaires. La quatrime inconnue est alors dfinie par et

dtermine partir dabaques que King a tablis partir dessais exprimentaux sur modles

rduits centrifugs [King & McLoughlin, 1992].

Les mthodes prsentes ici ne prennent pas en compte lintroduction des coefficients

de scurit qui sont gnralement laisss lapprciation du projeteur et varient selon les pays.

Les rgles usuelles prconisent le plus souvent de majorer la hauteur en fiche (de 20 ou 30%),

de rduire le coefficient de bute ou la bute totale.

2-4 Conclusion :

Nous n'aspirons pas ici tirer des leons gnrales sur le dimensionnement des ouvrages de

soutnement que nous avons dcrits, ni dclarer qu'une des mthodes est la bonne . Nous

nous contenterons modestement de refermer cette introduction par quelques remarques

conclusives :

La mthode aux coefficients de raction, mthode aujourdhui la plus utilise, semble

montrer ses limites. Les avances faites sur la dtermination des paramtres, et

notamment du coefficient de raction, ne peuvent masquer le manque de fondement thorique

de la mthode. Son utilisation est justifie essentiellement par le fait que les sollicitations

issues du calcul sont gnralement surabondantes et conduisent ainsi un supplment de

scurit ( lexception notable de certains ouvrages butons).


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Cette mthode prsente l'avantage de pouvoir tre utilise pas pas en menant un calcul

pour chaque tape de la construction. Elle permet donc d'intgrer l'historique de la ralisation.

La mthode des lments finis semble la mthode la mieux approprie ltude

des problmes de soutnement. Elle permet de modliser le comportement de lensemble

des lments intervenant dans le comportement de louvrage (sol, cran, eau, surcharges)

ainsi que les diffrents couplages entre ces lments.

La mthode de Blum suppose un encastrement et donc des fiches plus longues. En

pratique, elle fournit en effet des valeurs de fiches plus importantes que dans le cas du rideau

simplement but, mais avec des valeurs de moments maximums moins importantes, ce qui se

traduit par des profils mtalliques plus lgers.

La diversit des mthodes de dimensionnement et des rsultats qu'elles fournissent doit

rappeler au concepteur d'ouvrage qu'elles ne sont pas des recettes exactes dont l'application

scrupuleuse serait suffisante.

Documents

mur73.pdf