New Chapitre I: Introduction à la thermodynamique: les outils …aamouche.e-monsite.com/medias/files/chapitre1thermo-les... · 2017. 4. 11. · 3 II. Fonction de plusieurs variables

Chapitre I:Introduction à la thermodynamique: les outils

mathématiques et historique

Ahmed Aamouche

CP1, Semestre 2, Module Thermodynamique

ENSA Marrakech

Université Cadi Ayyad

Avril 2017

Ahmed Aamouche (ENSA, UCA) Chapitre I: Introduction à la thermodynamique: les outils mathématiques et historiqueAvril 2017 1 / 23

Outline

1 Différentielle ?

2 I. Différentielle d’une fonction d’une variable

3 II. Fonction de plusieurs variables

4 III. Formes différentielles

5 IV. Historique

6 Bibliographie


Différentielle ?Définition : Dérivée simple

La dérivée au point (f (x0

), x0

) de la fonction f (x) qui est "continue etdérivable"est définie par :

f

0(x) = limx

0

!0

f (x + x0

)� f (x)x + x

0

� x = limx0

!0

f (x + x0

)� f (x)x

0

(1)

La dérivée en un point d’une fonction est un nombre. C’est le rapport de lahauteur f (a+ h)� f (a) sur la largeur h. C’est donc la tangente de l’angle que faitla tangente à la fonction f (x) au point (f (a), a) avec l’horizontale.Définition : DifférentielleLa différentielle au point (f (a), a) de la fonction f est définie par :

df (a) = f 0(a) dx (2)

où la notation "d" de Leibniz signifie différentielle ou petite différence.


I. Différentielle d’une fonction d’une variableExemple 1.

Fonction f+g a.f f(g) f.g 1f

f

g

Dérivée f 0 + g 0 a.f 0 g 0f 0(g) f 0.g + f .g 0 � f0

f

2

f

0g�f .g 0f

2

de même :Fonction f ↵

pf e

f ln(f )Dérivée ↵f ↵�1f 0 f

0

2

pf

f

0e

f

f

0

f

Dans un plan (x,y) ou (x , f (x)), les valeurs de f (x) décrivent une courbe (C ) àune dimension. Dans ce cas la dérivée de f (x) par rapport à x au point P , s’écrit :

f

0(x)|P

=

df

dx

�

P

⌘�f

�x

�

P

(3)

C’est la pente de la courbe C en ce point P (tangente à la courbe (C) au pointP).


I. Différentielle d’une fonction d’une variable

Dans un plan (x,y) ou (x , f (x)), les valeurs de f (x) décrivent une courbe (C ) àune dimension. Dans ce cas la dérivée de f (x) par rapport à x au point P , s’écrit :

f

0(x)|P

=

df

dx

�

P

⌘�f

�x

�

P

(4)

C’est la pente de la courbe C en ce point P (tangente à la courbe (C) au point P).

Physiquement :La dérivée de f(x) par rapport à x mesure le taux de variation de f(x) sous unchangement de x. Ce taux est instantané ou local.Ahmed Aamouche (ENSA, UCA) Chapitre I: Introduction à la thermodynamique: les outils mathématiques et historiqueAvril 2017 5 / 23

II. Fonction de plusieurs variables1. Définition

Soient n variables réelles indépendantes x1

, x2

, x3

, ..., xn

.f fonction des n variables réelles associé à (x

1

, x2

, x3

, ..., xn

) dans

II. Fonction de plusieurs variables2. Dérivées partielles

On appelle dérivée partielle d’une fonction par rapport à l’une des variables x, lanouvelle fonction obtenue en dérivant par rapport à x et on considèrant toutes lesautres variables comme des constantes. Soit :

f

0(x , y) = limx

0

!0

f (x + x0

, y)� f (x , y)x + x

0

� x (8)

Ou bien :f

0x

(x , y) = limx

0

!0

f (x + x0

, y)� f (x , y)x + x

0

� x (9)

C’est la dérivée partielle de f par rapport à x au point (x,y) on la note :

F

0(x) =

✓@f (x , y)

@x

◆

y=conts

(10)


II. Fonction de plusieurs variables2. Dérivées partielles premières

f

0x

(x , y) = limx

0

!0

f (x + x0

, y)� f (x , y)x + x

0

� x (11)

C’est la dérivée partielle de f par rapport à x au point (x,y) on la note :

F

0(x) =

✓@f (x , y)

@x

◆

y=conts

(12)

Exemple.2

f (x , y) = x2 sin(y)� y (13)

Comme x et y sont indépendants :✓@f (x , y)

@x

◆

y=conts

= 2x sin(y) (14)✓@f (x , y)

@y

◆

x=conts

= x2 cos(y)� 1 (15)


II. Fonction de plusieurs variables3. Dérivées partielles secondes

Remarque : D’après l’exemple 2. on peut noter :

g(x , y) = 2x sin(y), et h(x , y) = x2 cos(y)� 1

On peut dériver à nouveau ces fonctions par rapport à x et y.@g

@x

�

y

=@

@x

✓@f

@x

◆=

@2f

@x2= 2 sin(y)

De même :@h

@y

�

x

=@

@y

✓@f

@y

◆=

@2f

@y2= �x2 sin(y)






@x

�

y

=@

@x

✓@f

@x

◆=

@2f

@x2= 2 sin(y)

De même :@h

@y

�

x

=@

@y

✓@f

@y

◆=

@2f

@y2= �x2 sin(y)






@x

�

y

=@

@x

✓@f

@x

◆=

@2f

@x2= 2 sin(y)

De même :@h

@y

�

x

=@

@y

✓@f

@y

◆=

@2f

@y2= �x2 sin(y)


II. Fonction de plusieurs variables4. Dérivées partielles mixtes

Dérivons maintenant g(x , y) par rapport à y et h(x , y) par rapport à x on auradonc :

@

@x

✓@f

@y

◆=

@2f

@x@y= 2x cos(y)

@

@y

✓@f

@x

◆=

@2f

@y@x= 2x cos(y)

Exercice.1 : Calculer les dérivées partielles secondes et mixtes de la fonctionsuivante :

f (x , y) = x3ey + sin2(y) + 3x .@2f

@x2,

@2f

@y2,

@2f

@x@y,

@2f

@y@x


II. Fonction de plusieurs variables4. Dérivées partielles mixtes

Dérivons maintenant g(x , y) par rapport à y et h(x , y) par rapport à x on auradonc :

@

@x

✓@f

@y

◆=

@2f

@x@y= 2x cos(y)

@

@y

✓@f

@x

◆=

@2f

@y@x= 2x cos(y)

Exercice.1 : Calculer les dérivées partielles secondes et mixtes de la fonctionsuivante :

f (x , y) = x3ey + sin2(y) + 3x .@2f

@x2,

@2f

@y2,

@2f

@x@y,

@2f

@y@x


II. Fonction de plusieurs variables5. Théorème de SCHWARTZ

Si les dérivées partielles secondes mixtes f ”xy

et f ”yx

sontcontinues

au voisinage de M0

(x0

, y0

)on a :

f

”xy

(x0

, y0

) = f ”yx

(x0

, y0

) (16)

Ceci est donc une condition nécessaire d’exactitude de la forme différentielle. Uneforme différentielle vérifiant cette condition nécessaire est dite fermée.


II. Fonction de plusieurs variablesExemple.3 f (x , y) = exyCalculer les dérivées partielles premières et secondes

dérivées partielles premières :

@f

@x= yexy ,

@f

@y= xexy

dérivées partielles secondes :

@2f

@x2=

@

@x

@f

@x

�=

@

@x[yexy ] = y2exy

@2f

@y2=

@

@y

@f

@y

�=

@

@y[xexy ] = x2exy

@2f

@y@x=

@

@y

@f

@x

�=

@

@y[yexy ] = exy + yxexy

@2f

@x@y=

@

@x

@f

@y

�=

@

@x[xexy ] = exy + xyexy

Théorème de Schwartz vérifié


II. Fonction de plusieurs variablesExemple.3 f (x , y) = exyCalculer les dérivées partielles premières et secondesdérivées partielles premières :

@f

@x= yexy ,

@f

@y= xexy


@2f

@x2=

@

@x

@f

@x

�=

@

@x[yexy ] = y2exy

@2f

@y2=

@

@y

@f

@y

�=

@

@y[xexy ] = x2exy

@2f

@y@x=

@

@y

@f

@x

�=

@


@2f

@x@y=

@

@x

@f

@y

�=

@





@f

@x= yexy ,

@f

@y= xexy


@2f

@x2=

@

@x

@f

@x

�=

@

@x[yexy ] = y2exy

@2f

@y2=

@

@y

@f

@y

�=

@

@y[xexy ] = x2exy

@2f

@y@x=

@

@y

@f

@x

�=

@


@2f

@x@y=

@

@x

@f

@y

�=

@





@f

@x= yexy ,

@f

@y= xexy


@2f

@x2=

@

@x

@f

@x

�=

@

@x[yexy ] = y2exy

@2f

@y2=

@

@y

@f

@y

�=

@

@y[xexy ] = x2exy

@2f

@y@x=

@

@y

@f

@x

�=

@


@2f

@x@y=

@

@x

@f

@y

�=

@




II. Fonction de plusieurs variables6. Fonctions composées :

Cas d’une seule variable : f (x) = g(h(x)) = goh(x)

Dérivée :

df

dx

=dg

dh

.dh

dx

= g 0(h(x))h0(x)

Exemple.4

f (x) = ecos(x), g(x) = ex , h(x) = cos(x)f

0(x) = � sin(x)ecos(x)



Cas d’une seule variable : f (x) = g(h(x)) = goh(x)Dérivée :

df

dx

=dg

dh

.dh

dx

= g 0(h(x))h0(x)

Exemple.4





Cas d’une seule variable : f (x) = g(h(x)) = goh(x)Dérivée :

df

dx

=dg

dh

.dh

dx

= g 0(h(x))h0(x)

Exemple.4





Cas de deux variables : f (x , y) = g(h(x , y), k(x , y))

Dérivée selon x :

@f

@x=

@g

@h.@h

@x+

@g

@k.@k

@x

Dérivée selon y :

@f

@y=

@g

@h.@h

@y+

@g

@k.@k

@y

Exemple.5 voir TD1



Cas de deux variables : f (x , y) = g(h(x , y), k(x , y))Dérivée selon x :

@f

@x=

@g

@h.@h

@x+

@g

@k.@k

@x

Dérivée selon y :

@f

@y=

@g

@h.@h

@y+

@g

@k.@k

@y

Exemple.5 voir TD1




@f

@x=

@g

@h.@h

@x+

@g

@k.@k

@x

Dérivée selon y :

@f

@y=

@g

@h.@h

@y+

@g

@k.@k

@y

Exemple.5 voir TD1




@f

@x=

@g

@h.@h

@x+

@g

@k.@k

@x

Dérivée selon y :

@f

@y=

@g

@h.@h

@y+

@g

@k.@k

@y

Exemple.5 voir TD1


III. Formes différentielles1. Différentielles et fonctions à plusieurs variables :

On appelle forme différentielle à deux variables indépendantes x et y touteexpression de la forme :

�f = P(x , y)dx + Q(x , y)dy (17)

De même on appelle forme différentielle à trois variables indépedantes x, y et ztoute expression de la forme :

�f = P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz (18)

avec P , Q et R sont des fonctions quelconques.2.Forme différentielle totale exacteOn dit que la forme différentielle �f est une forme différentielle totale exacte si etseulement si :

@P

@y=

@Q

@x(19)

df = P(x , y)dx + Q(x , y)dy �! �f = df



@f

@x= P(x , y) et

@f

@y= Q(x , y) (20)

@P

@y=

@Q

@x(21)

df = P(x , y)dx + Q(x , y)dy �! �f = dfDonc on peut écrire :

df =@f

@xdx +

@f

@ydy (22)

Exercice.2 Calculer la différentielle totale de :

f (x , y) =x

2 � y2

x

2 + y2

Rép :

df =4xy

(x2 + y2)2(ydx � xdy)



@f

@x= P(x , y) et

@f

@y= Q(x , y) (20)

@P

@y=

@Q

@x(21)

df = P(x , y)dx + Q(x , y)dy �! �f = dfDonc on peut écrire :

df =@f

@xdx +

@f

@ydy (22)

Exercice.2 Calculer la différentielle totale de :

f (x , y) =x

2 � y2

x

2 + y2

Rép :

df =4xy

(x2 + y2)2(ydx � xdy)


III. Formes différentielles2. Intégration d’une forme différentielle exacte :

On considère une forme différentielle :

df = P(x , y)dx + Q(x , y)dy

et on se demande si on peut "l’intégrer", c’est-à-dire s’il existe et si on peutdéterminer une fonction f dont la différentielle coïncidera avec celle étudiée.

df est exacte , @P(x , y)@y

=@Q(x , y)

@x(23)

La forme différentielle df est dite exacte s’il existe une fonction f telle que df soitsa différentielle, On peut naïvement écrire

Zdf = f =

Z

x

P(x , y)dx +

Z

y

Q(x , y)dy (24)

Cela n’est vrai que si P(x , y) n’est fonction que de x et Q(x , y) que de y.



Zdf = f =

Z

x

P(x , y)dx +

Z

y

Q(x , y)dy + C te (25)

Cela n’est vrai que si P(x , y) n’est fonction que de x et Q(x , y) que de y.Example.6 : Soit la forme diff. suivante :

df = 2xdx � dyy

Cette forme est une diff. totale exacte puisque :

@(2x)@y

= 0 =@(�1/y)

@x

L’intégration donne :

f (x , y) =

Zdf =

Z2xdx �

Zdy

y

= x2 � ln(y) + C te



Zdf = f =

Z

x

P(x , y)dx +

Z

y

Q(x , y)dy + C te (25)

Cela n’est vrai que si P(x , y) n’est fonction que de x et Q(x , y) que de y.Example.6 : Soit la forme diff. suivante :

df = 2xdx � dyy

Cette forme est une diff. totale exacte puisque :

@(2x)@y

= 0 =@(�1/y)

@x

L’intégration donne :

f (x , y) =

Zdf =

Z2xdx �

Zdy

y

= x2 � ln(y) + C te



Zdf = f =

ZP(x , y)dx +

ZQ(x , y)dy + C te (26)

Cas général

il y a une méthode, qu’on peut illustrer sur l’exemple de la forme différentielle

df =dx

y

+ (1 � xy

2

)dy

On vérifie tout d’abord que la forme est bien une D.T. E.,en effet :

@(1/y)@y

= � 1y

2

=@(1 � x/y2)

@x

Méthode ?



Zdf = f =

ZP(x , y)dx +

ZQ(x , y)dy + C te (26)

Cas généralil y a une méthode, qu’on peut illustrer sur l’exemple de la forme différentielle

df =dx

y

+ (1 � xy

2

)dy

On vérifie tout d’abord que la forme est bien une D.T. E.,en effet :

@(1/y)@y

= � 1y

2

=@(1 � x/y2)

@x

Méthode ?



Méthode

1. On commence à intégrér P(x , y) par rapport à x. On obtient alors f (x , y) à uneconstante près QUI DÉPEND de y et uniquement de y ! Ici

f (x , y) =x

y

+ g(y)

2. On différentie cette fonction par rapport à l’autre variable, puis on l’identifieavec Q(x , y). Ici on obtient :

@f (x , y)

@y= � x

y

2

+ g 0(y) = Q(x , y) = 1 � xy

2

3. On peut alors intégrer la fonction constante en fonction de y. Ici, on a

g

0(y) = 1 soit g(y) = y + C te

4. En général la C te se détermine avec les conditions initiales

Soit : f (x , y) =x

y

+ y + C te



Méthode1. On commence à intégrér P(x , y) par rapport à x. On obtient alors f (x , y) à uneconstante près QUI DÉPEND de y et uniquement de y ! Ici

f (x , y) =x

y

+ g(y)


@f (x , y)

@y= � x

y

2

+ g 0(y) = Q(x , y) = 1 � xy

2


g

0(y) = 1 soit g(y) = y + C te


Soit : f (x , y) =x

y

+ y + C te



Méthode1. On commence à intégrér P(x , y) par rapport à x. On obtient alors f (x , y) à uneconstante près QUI DÉPEND de y et uniquement de y ! Ici

f (x , y) =x

y

+ g(y)


@f (x , y)

@y= � x

y

2

+ g 0(y) = Q(x , y) = 1 � xy

2


g

0(y) = 1 soit g(y) = y + C te


Soit : f (x , y) =x

y

+ y + C te


IV. Historique

La thermodynamique est l’étude de la conversion de l’énergie entre deuxformes, chaleur et travail. Que veut dire "chaud" exactement ? Peut-on lemesurer ?Réfexions Gréce Antique : la nature du Feu ? ? ?Au XVII ieme siècle :

IC’est la température, dont on se fait plus facilement une idée que de la

chaleur, qui est d’abord le centre d’intérêt.

ILa conception du thermomètre soulève en effet de nombreux problèmes

d’ingénierie et de physique : comment lier cette idée de "température" à un

phénomène observable directement, de façon prévisible et reproductible ?

Le grand essor des machines thermiques, au début du XIX ieme siècle, prend lascience de court. Il faudra attendre une trentaine d’années avant que lathéorie ne rattrape la pratique et que l’on établisse une vision cohérente de lathermodynamique permettant, par exemple, de prévoir le rendement d’unmoteur.


IV. Historique

La thermodynamique est l’étude de la conversion de l’énergie entre deuxformes, chaleur et travail. Que veut dire "chaud" exactement ? Peut-on lemesurer ?

Réfexions Gréce Antique : la nature du Feu ? ? ?Au XVII ieme siècle :








IV. Historique

La thermodynamique est l’étude de la conversion de l’énergie entre deuxformes, chaleur et travail. Que veut dire "chaud" exactement ? Peut-on lemesurer ?Réfexions Gréce Antique : la nature du Feu ? ? ?

Au XVII ieme siècle :I

C’est la température, dont on se fait plus facilement une idée que de la







IV. Historique









IV. Historique









IV. Historique









IV. Historique

En 1865, le physicien allemand Rudolf Clausius explicita les grandes bases dece que l’on commence à appeler "thermodynamique" : c’est ce que nousconnaissons aujourd’hui sous le nom des deux principes.L’écossais James Clerk Maxwell et l’autrichien Ludwig Boltzmannréconcilieront la thermodynamique avec la physique des particules entravaillant au niveau microscopique et traitant les systèmes en désordre.

Figure – Type de Systèmes Appareil de Joule


IV. Historique

En 1865, le physicien allemand Rudolf Clausius explicita les grandes bases dece que l’on commence à appeler "thermodynamique" : c’est ce que nousconnaissons aujourd’hui sous le nom des deux principes.

L’écossais James Clerk Maxwell et l’autrichien Ludwig Boltzmannréconcilieront la thermodynamique avec la physique des particules entravaillant au niveau microscopique et traitant les systèmes en désordre.



IV. Historique




IV. Historique




Bibliographie

Thermodynamique : Fondements et applications, avec exercices et problèmes

résolus ; Auteur : Pérez, Romulus ; Edition Masson (1997) ; Paris ; Reédité parDunod (2001) ; ISBN : 9782100055548.Thermodynamique, exercices et problèmes de physique ; Auteur : Grécias,Pierre ; Edition Tec&Doc, Paris (1997) ; ISBN : 2743003227.Les bases de la thermodynamique, cours et exercices corrigés ; Auteurs :Jean-Noël Foussard, Edmond Julien, Stéphane Mathé, HubertDebellefontaine ; Collection : Sciences Sup, Dunod (2015) ; ISBN :9782100721313.Thermodynamics : An Engineering Approach ; Auteurs : Yunus A. Cengel etMichael A. Boles ; Editeur : McGraw-Hill Professional (2014) ; ISBN :9780073398174.Polycopie Cours de Thermodynamique FSSM, Auteurs : L. Alimoussa, B.Benhamou, H. Bellakhder, L. Bchir, A. Lahrouni (2004).


Bibliographie


résolus ; Auteur : Pérez, Romulus ; Edition Masson (1997) ; Paris ; Reédité parDunod (2001) ; ISBN : 9782100055548.

Thermodynamique, exercices et problèmes de physique ; Auteur : Grécias,Pierre ; Edition Tec&Doc, Paris (1997) ; ISBN : 2743003227.Les bases de la thermodynamique, cours et exercices corrigés ; Auteurs :Jean-Noël Foussard, Edmond Julien, Stéphane Mathé, HubertDebellefontaine ; Collection : Sciences Sup, Dunod (2015) ; ISBN :9782100721313.Thermodynamics : An Engineering Approach ; Auteurs : Yunus A. Cengel etMichael A. Boles ; Editeur : McGraw-Hill Professional (2014) ; ISBN :9780073398174.Polycopie Cours de Thermodynamique FSSM, Auteurs : L. Alimoussa, B.Benhamou, H. Bellakhder, L. Bchir, A. Lahrouni (2004).


Bibliographie


résolus ; Auteur : Pérez, Romulus ; Edition Masson (1997) ; Paris ; Reédité parDunod (2001) ; ISBN : 9782100055548.Thermodynamique, exercices et problèmes de physique ; Auteur : Grécias,Pierre ; Edition Tec&Doc, Paris (1997) ; ISBN : 2743003227.

Les bases de la thermodynamique, cours et exercices corrigés ; Auteurs :Jean-Noël Foussard, Edmond Julien, Stéphane Mathé, HubertDebellefontaine ; Collection : Sciences Sup, Dunod (2015) ; ISBN :9782100721313.Thermodynamics : An Engineering Approach ; Auteurs : Yunus A. Cengel etMichael A. Boles ; Editeur : McGraw-Hill Professional (2014) ; ISBN :9780073398174.Polycopie Cours de Thermodynamique FSSM, Auteurs : L. Alimoussa, B.Benhamou, H. Bellakhder, L. Bchir, A. Lahrouni (2004).


Bibliographie


résolus ; Auteur : Pérez, Romulus ; Edition Masson (1997) ; Paris ; Reédité parDunod (2001) ; ISBN : 9782100055548.Thermodynamique, exercices et problèmes de physique ; Auteur : Grécias,Pierre ; Edition Tec&Doc, Paris (1997) ; ISBN : 2743003227.Les bases de la thermodynamique, cours et exercices corrigés ; Auteurs :Jean-Noël Foussard, Edmond Julien, Stéphane Mathé, HubertDebellefontaine ; Collection : Sciences Sup, Dunod (2015) ; ISBN :9782100721313.Thermodynamics : An Engineering Approach ; Auteurs : Yunus A. Cengel etMichael A. Boles ; Editeur : McGraw-Hill Professional (2014) ; ISBN :9780073398174.

Polycopie Cours de Thermodynamique FSSM, Auteurs : L. Alimoussa, B.Benhamou, H. Bellakhder, L. Bchir, A. Lahrouni (2004).


Bibliographie




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