Nlle Caledonie S 19 Nov- 2015

7/25/2019 Nlle Caledonie S 19 Nov- 2015

1/5

A . P . M . E . P .

Dure : 4 heures

Baccalaurat S Nouvelle-Caldonie19 novembre 2015

E XE RC IC E 1 7 pointsCommun tous les candidats

Une usine produit de leau minrale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dansune bouteille est infrieur 6,5 mg par litre, on dit que leau de cette bouteille esttrs peu calcaire.Dans cet exercice. les rsultats approchs seront arrondis au millime.

Partie A

Leau minrale provient de deux sources, notes source A et source B .La probabilit que leau dunebouteille prleve au hasarddans la production dune journe de la source A soit trs peu calcaire est 0, 17. La probabilit que leau dunebouteille prleve au hasard dans la production dune journe de la source B soittrs peu calcaire est 0,10.La source A fournit 70% de la production quotidienne totale des bouteilles deau etla source B le reste de cette production.Onprlve au hasardune bouteille deau dans la production totale de la journe.Onconsidre les vnements suivants : A : La bouteille deau provient de la source A B : La bouteille deau provient de la source B S : Leau contenue dans la bouteille deau est trs peu calcaire .

1. Dterminer la probabilit de lvnement A S .2. Montrer que la probabilit de lvnement S vaut 0,149.3. Calculer la probabilit que leau contenue dans une bouteille provienne de

la source A sachant quelle est trs peu calcaire.4. Le lendemain dune forte pluie, lusine prlve un chantillon de 1000 bou-

teilles provenant de la source A. Parmi ces bouteilles, 211 contiennent deleau trs peu calcaire.Donner un intervalle permettant destimer au seuil de 95% la proportion debouteilles contenant de leau trs peu calcaire sur lensemble de la produc-tion de la source A aprs cette intemprie.

Partie B

On note X la variable alatoire qui, chaque bouteille prleve au hasard dans laproduction dune journe de la source A, associe le taux de calcium de leau quellecontient. On suppose que X suit la loi normale de moyenne 8 et dcart-type 1,6.On note Y la variable alatoire qui, chaque bouteille prleve au hasard dans laproduction dune journe de la source B, associe le taux de calcium quelle contient.On suppose que Y suit la loi normale de moyenne 9 et dcart-type .

1. Dterminer la probabilit pour que le taux de calcium mesur dans une bou-teille prise au hasard dans la production dune journe de la source A soitcompris entre 6,4 mg et 9,6 mg.

2. Calculer la probabilit p ( X 6,5).


2/5

Baccalaurat S A.P.M.E.P.

3. Dterminer sachant que la probabilit quune bouteille prleve au hasarddans la production dune journe de la source B contienne de leau trs peucalcaire est 0,1.

Partie C

Le service commercial a adopt pour les tiquettes des bouteilles la forme reprsen-te ci-dessous dans un repre orthonorm du plan.La forme decestiquettes estdlimite par laxe desabscisseset la courbe C dqua-tion y = a cosx avec x 2 ;

2 et a un rel strictement positif.Un disque situ lintrieur est destin recevoir les informations donnes aux acheteurs. On considre le disque de centre le point A de coordonnes 0 ;

2 et derayon a 2 . On admettra que ce disque se trouve entirement en dessous de la courbeC pour des valeurs de a infrieures 1,4.

1. Justier que laire du domaine compris entre laxe des abscisses, les droitesdquation x = 2 et x =

2 , et la courbe C est gale 2a units daire.

2. Pour des raisons esthtiques, on souhaite que laire du disque soit gale lairede la surfacegrise. Quellevaleur faut-il donnerau rela pour respectercette contrainte?

A

C

2

2O

a


Pour chaque rel a , on considre la fonction f a dnie sur lensemble des nombres

rels R par

f a (x ) = ex a 2x + ea .

1. Montrer que pour tour rel a , la fonction f a possde un minimum.2. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle ce minimum est le plus petit pos-

sible?

Nouvelle-Caldonie Wallis-et-Futuna 2 19 novembre 2015


3/5



Soient x , y et z trois nombres rels. On considre les implications (P 1) et (P 2) sui-vantes :

(P 1) (x + y + z = 1) x 2 + y 2 + z 2 13

(P 2) x 2 + y 2 + z 213

(x + y + z = 1)

Partie A

Limplication (P 2) est-elle vraie?

Partie B

Dans lespace, on considre le cube ABCDEFGH , reprsent ci-dessous, et on d-nit le repre orthonorm A ;

AB ,

AD ,

AE .

A

B C

D

E

F G

H

1. a. Vrier que le plan dquation x + y + z = 1 est le plan (BDE ).b. Montrer que la droite ( AG ) est orthogonale au plan (BDE ).c. Montrer que lintersection de la droite ( AG ) avec le plan (BDE ) est le

point K de coordonnes 13 ; 13 ;

13 .

2. Le triangleBDE est-il quilatral?3. Soit M un point de lespace.

a. Dmontrer que si M appartient au plan (BDE ), alors AM 2 = AK 2 + MK 2.b. En dduire que si M appartient au plan (BDE ), alors AM 2 AK 2.

c. Soientx , y et z des rels quelconques.Enappliquant le rsultat de la ques-tion prcdente au point M de coordonnes (x ; y ; z ), montrer que lim-plication (P 1) est vraie.

E XE RC IC E 4 5 pointsCandidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit

On considre deux suites de nombres rels (d n ) et (a n ) dnies par d 0 = 300,a 0 = 450 et, pour tout entier naturel n 0

d n + 1 =12d n

+ 100

a n + 1 =

12d n

+12a n

+

70



4/5


1. Calculer d 1 et a 1.2. On souhaite crire un algorithme qui permet dafcher en sortie les valeurs

de d n et a n pour une valeur entire de n saisie par lutilisateur.Lalgorithme suivant est propos :

Variables : n et k sont des entiers naturelsD et A sont des rels

Initialisation : D prend la valeur 300 A prend la valeur 450Saisir la valeur den

Traitement : Pourk variant de 1 n

D prend la valeur D 2

+ 100

A prend la valeur A 2

+D 2

+ 70Fin pour

Sortie : AfcherD Afcher A

a. Quels nombres obtient-on en sortie de lalgorithme pour n = 1 ?Ces rsultats sont-ils cohrents avec ceux obtenus la question 1. ?

b. Expliquer comment corriger cetalgorithme pour quil afche les rsultatssouhaits.

3. a. Pour tout entier naturel n , on pose e n = d n 200.Montrer que la suite (e n ) est gomtrique.

b. En dduire lexpression ded n en fonction de n .

c. La suite (d n ) est-elle convergente? Justier.4. On admet que pour tout entier naturel n ,

a n = 100n 12

n + 110

12

n + 340.

a. Montrer que pour tout entier n suprieur ou gal 3, on a 2n 2 (n + 1)2.b. Montrer par rcurrence que pour tout entier n suprieur ou gal 4,

2n n 2.c. En dduire que pour tout entier n suprieur ou gal 4,

0 100n 12

n 100n

.

d. tudier la convergence de la suite (a n ).

E XE RC IC E 4 5 pointsCandidats ayant suivi lenseignement de spcialit

Un organisme propose un apprentissage de langues trangres en ligne. Deux ni-veauxsont prsents : dbutant ou avanc. Au dbutde chaque mois, un internautepeut sinscrire, se dsinscrire ou changer de niveau.On souhaite tudier lvolution sur le long terme, de la frquentation du site partirdun mois not 0.Des relevs de la frquentation du site ont conduit aux observations suivantes :

Au dbut du mois 0, il y avait 300 internautes au niveau dbutant et 450 auniveau avanc.



5/5


Chaque mois, la moiti des dbutants passe au niveau avanc, lautre moitireste au niveau dbutant et la moiti des avancs ayant termin leur forma-tion, se dsinscrit du site.

Chaque mois, 100 nouveaux internautes sinscrivent en dbutant et 70 enavanc.

On modlise cette situation par deux suites de nombres rels (d n ) et (a n ). Pour tourentier naturel n , d n et a n sont respectivement des approximations du nombre dedbutants et du nombre davancs au dbut du mois n .Pour tout entier naturel n , on note U n la matrice colonne

d n a n

.

On pose d 0 = 300, a 0 = 450 et, pour tout entier n 0

d n + 1 =12d n

+ 100

a n + 1 =12

d n +12

a n + 70

1. a. Justier lgalit a n + 1 =1

2d n +

1

2a n + 70 dans le contexte de lexercice.

b. Dterminer les matrices A et B telles que pour tout entier naturel n ,

U n + 1 = AU n + B .

2. Dmontrer par rcurrence que pour tout entier naturel n 1, on a

A n =12

n (I 2 + nT ) o T =

0 01 0 et I 2

=1 00 1 .

3. a. Dterminer la matrice C qui vrie lgalitC = AC + B .

b. Pour tout entier n 0, on pose V n = U n 200340 .

Montrer que pour tout entier naturel n ,

V n + 1 = AV n .

c. On admet que pour tout entier n 1, V n = A n V 0.En dduire que pour tout entier naturel n 1,

U n =100

12

n + 200

100n 12

n + 110

12

n + 340

4. a. On admet que pour tout entier n 4, 2n n 2.En dduire que pour tout entier n 4,

0 100n 12

n 100n

.

b. En utilisant les questions prcdentes, que peut-on prvoir pour lvolu-tion de la frquentation du site sur le long terme?


Documents

Nlle Caledonie S 19 Nov- 2015