nombres congruentspar Merry-Laure Boukoko (2n d e), Aw aCissoko (2nde), Nam Doan-Dinh (1°S), KarimKaabeche (2nde), Myriam Medjidi (2nde), SamirMedjkane (TC), Erol Noksan (TC), MathieuSarthe-Moureou (1°ES), du lycée Georg e sBraque d’Argenteuil (95)

enseignante : Joëlle Richard

chercheur : Michèle Vergne

Compte-rendu de l’exposé par les parrains du groupe :

lycée J.Jaurès

— Cet exposé m’a permis de me rappeler l’exposé deM. Barsky qui a eu lieu l’année dernière au lycée JeanJaurès [NDLC : on ne dirait pas … à moins que laTerre entière n’ait assisté à cet exposé.]

— De bonnes recherches, quelques résultats, cela m’abeaucoup intéressé. Cela traitait de trouver les diffé-rentes manières de trouver des nombres congruents.[NDLC : cette NDLC est donc un discours sur un dis-cours sur un discours sur les mathématiques !]

lycée A.Kastler

Très difficile à comprendre.Je ne suis qu’en 2de !!

quels sont les nombres congruents ?

Existe-t-il des nombres entiers Squi sont desaires d’un triangle rectangle dont les côtésseraient mesurés par des nombres rationnels ?On sait qu’un nombre rationnel est un entierou un quotient de deux entiers. A u t r e m e n tdit, S étant un entier, a, b, c étant rationnels,on aurait simultanément :

Evidemment, il en existe !

• si a = 3, b = 4, c = 5, on a 32 + 42 = 52 etl’aire Sdu triangle correspondant est :

• si , on a bien

et l’aire Sdu triangle correspondant est :

De tel s nombres, dont 5 et 6 sont desexemples, sont appelés n o m b res congru e n t s.Y en a-t-il d’ autres ? Sont-ils nombreux ?Comment les trouver ?Peut-on savoir si unnombre donné est congruent ?

les triplets pythagoriciens

Dans notre quête des nombres congruents,nous avons été confrontés à l’ uti lisation deces fameux nombres a, b, c tel s quea2 + b2 = c2. Si a, b, c sont entiers, on lesappelle triplets pythagoriciens(ou TP). Peut-on trouver facilement ces triplets ?

On peut tout d’ abord remarquer que si l ’onconnait un TP (a, b, c) on en obtient une infi-nité en multipliant chacun des entiers a, b, cpar un entier k. En effet, si a2 + b2 = c2, alors(ka)2 + (kb)2 = (kc)2.

S = 12

a b et a2 + b 2 = c2

S = 12

× 3 × 4 = 6

a = 32

, b = 203

, c = 416

32

2 + 20

3

2 = 41

6

2

S = 12

× 32

× 203

= 5

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Congrès “MATh.en.JEANS” les 7, 8, 9 mai 1994

exemple

A partir du triplet (3, 4, 5), on obtient,en prenant k = 2 : (6, 8, 10),en prenant k = 3 : (9, 12, 15)

tous les TP !

Diophante (III° s. av. J.C.) nous a laissé heu-reusement une méthode qui permet d’obtenirt o u s l es triplets primi ti fs pythagorici ens,c’est-à-dire les triplets (a, b, c) dans lesquelsa, b, c n’ont pas de diviseur commun. Vo i c icette méthode :

On choisit deux entiers m et n de parité diffé-rente et sans diviseurs communs, et tels quem> n. a, b, c sont obtenus par les égalités :

a = m2 - n2

b = 2 m nc = m2 + n2

On a bien :

(m2 -n2)2 + (2mn)2 = m4 + n4 - 2m2n2 + 4m2n2

= (m2 + n2)2

En donnant à m et n toutes les valeurs pos-sibles, on engendre tous les triplets primitifspythagoriciens.

m n b = a = c =2mn m2-n2 m2 + n2

2 1 4 3 53 2 12 5 134 3 24 7 255 2 20 21 275 4 40 9 416 5 60 11 617 6 84 13 858 7 112 15 1138 5 80 39 898 3 48 55 734 1 8 15 176 3 36 27 45… … … … …

[extrait du tableau qu’onpeut alors former]

Voici maintenant une parenthèse originaleconcernant les TP ; c’est un calcul qui nous aété suggéré au cours de la recherche par JeanBrette du Palais de la découverte ; i l faitappel à la trigonométrie.

Un cercle trigonométrique est un cercleorienté, de centre O et de rayon 1.

Si M est un point de ce cercle, repéré parl’angle θ, on a :

Reprenons le triplet célèbre (3, 4, 5) :

32 + 42 = 52

en divisant par 52 :

3/5 et 4/5 peuvent être considérés comme lecosinus et le sinus d’un même angle θ :

Multiplions θ par 2 :

A

B

H

KM

θ

O

OH = cos θ

OK = sin θ

cos2 θ + sin2 θ = 1

35

2 + 4

5

2 = 1

OH = 35

; OK = 45

OH2 + HM

2 = OM

2 = 1

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Congrès “MATh.en.JEANS” les 7, 8, 9 mai 1994

On sait que :

formules connues detrigonométrie

On obtient ici :

d’où :

ce qui entraîne 72 + 242 = 252. Voilà donc unnouveau triplet pythagoricien : (7, 24, 25).

Si maintenant on multiplie θ par 3 :

On sait que :

f o r m u l e sconnues det r i g o n o m é-trie

On obtient ici :

ce qui donne naissance au triplet pythagori-cien : (117, 44, 125).

On a donc successivement les triplets(3, 4, 5)(7, 24, 25)(117, 44, 125)

On remarque que chacun des entiers c est unepuissance de 5.Si on continue l’opération, onaura la succession des résultats suivants :à θ correspond le triplet (3, 4, 5) c = 5à 2θ correspond (7, 24, 25) c = 52

à 3θ correspond (117, 44, 125) c = 53

…et vraisemblablementà nθ correspondra c = 5n

Par cette méthode trigonométrique, à partirdu triplet (3, 4, 5) on a obtenu les TP dont letroi sième terme est une pui ssance de 5.C’était une des c u r i o s i t é srencontrées dansnotre recherche et que nous voul ions fairepartager.

Mais revenons à ce qui nous occupe.

Ouvrez vos yeux et appréciez une méthodepour obtenir des nombres congruents. Vo i c id’abord un exemple :

Si a = 9, b = 40, c = 41 :

D’autre part :

Divisons par 62 :

On obtient donc un triangle rectangle à côtésrationnels :

Calculons son aire S’ :

S’ est un nombre entier : il est congruent.

cos 2θ = 2 cos2 θ - 1

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

cos 2θ = 2 × 35

2 - 1 = - 7

25

sin 2θ = 2 × 35

× 45

= 2425

- 725

2 + 24

25

2 = 1

cos 3θ = cos3 θ - 3 cos θ sin2 θ

sin 3θ = 3 cos2 θ sin θ - sin3 θ

cos 3θ = 35

3 - 3 × 3

5 × 4

5

2 = - 117

125

sin 3θ = 3 × 35

2 × 4

5 - 4

5

3 = 44

125

S = 12

a b = 12

× 9 × 40 = 180 = 5 × 62

92 + 402 = 412

96

2 + 40

6

2 = 41

6

2

96

, 406

, 416

S' = 12

× 96

× 406

= 5

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Congrès “MATh.en.JEANS” les 7, 8, 9 mai 1994

D’une manière générale, si a2 + b2 = c2 (a, b,c entiers) et si l’aire Sde ce triangle rectanglede côtés a, b, c peut s’écrire sous la forme

S= k2 × R (Ret k entiers)

alors on peut diviser par k2 l’égalité a2 + b2 =c2 ; on obtient :

Ce nouveau triangle à côtés rationnels

a pour aire :

R est un entier. S’ = R est donc aussi unnombre congruent.Or, grâce à la méthode deDiophante, nous pouvions avoir tous les tri-plets pythagoriciens :

a = k (m2 - n2 )b = k (2 mn)c = k (m2 + n2 )

m et n étant, rappelons-le, des entiers de pari-tés différentes, sans diviseurs communs, avecm > n, et k étant un entier quelconque. L’aireSdu triangle rectangle correspondant est :

S= k2 m n (m2 - n2 ). Sest congruent.

Mai s aussi R = m n (m2 - n2 ) est aussicongruent. Et si on débarasse R des ses divi-seurs carrés, on obtient un nouveau nombrec o n g r u e n t .En faisant varier m et n, nousobtenons ai nsi une i nf i ni té de nombrescongruents.

On a donc, grâce à ces formules, une bonnequanti té de nombres congruents ; mais lachasse à ces nombres est loin d’être terminée.Des mathématiciens travaillent encore sur cep r o b l è m e .Une des pistes de recherche a étél’utilisation de courbes dites elliptiques.

Nous avons vu que si R est un nombrecongruent, alors il existe m, n, k’ tels que :

m n (m2 - n2 ) = k’ 2 R (1)

On peut poser :

D’où :

valeur que l’on reporte dans (1) :

et

D’où :

soit, en simplifiant par n4 R :

D’où : Y2 = X3 - R2 X

ak

2 + b

k

2 = c

k

2

ak

, bk

, ck

S' = 12

× ak

× ck

= 12

× ab

k 2

= S

k 2 = k

2 R

k 2 = R

S = 12

a b = 12

× k 2 × (2mn)(m2 - n2)

X = - R nm

et Y = k' R2

m2

k' = Y m2

R2

m n (m2 - n2) = Y2 m4

R4 × R

m = - R nX

- R n2

X R2 n2

X 2 - n2 = Y

2

R3 × R

4 n4

X 4

- R2

X 3 + 1

X = Y

2

X 4

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Congrès “MATh.en.JEANS” les 7, 8, 9 mai 1994

On peut tracer les courbes représentatives deces fonctions :

On sait que si R est congruent, il y a sur cettecourbe des points P de coordonnées ration-nelles X et Y.

Bien sûr, cette étude nous dépasse. N o u ssavons que des critères existent pour recon-naître un nombre congruent, mais c’ est unproblème très difficile, et, croyons-nous, pasencore complètement résolu.

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