Notes de cours

Rappel : Les polygones, le périmètre et l’aire

4.1 Le système international d’unités (SI)

4.2 L’aire d’un triangle, d’un rectangle et d’un parallélogramme

4.3 L’aire d’un trapèze et d’un losange

4.4 Le carré et la racine carrée d’un nombre et l’aire d’un carré

4.5 L’aire de polygones réguliers et de polygones décomposables

Annexe A : Retour sur les formules d’aire

NomNomNomNom : : : : ________________________________________ GroupeGroupeGroupeGroupe :::: _______

2

RappelRappelRappelRappel :::: Les polygones, le périmètre et l’aireLes polygones, le périmètre et l’aireLes polygones, le périmètre et l’aireLes polygones, le périmètre et l’aire

PérimètrePérimètrePérimètrePérimètre

Qu’est-ce que c’est : le périmètre mesure le CCOONNTTOOUURR d’une figure.

L'unité de mesure est l’uuuuuuuunnnnnnnniiiiiiiittttttttéééééééé (m, cm, m, etc.)

Exemples : Clôture d’un terrain, le cadre d’une photo, un ruban autour d’un cadeau, des moulures installées dans le salon, etc.

AireAireAireAire

L'aire mesure la surface.

L'unité de mesure est le ccccccccaaaaaaaarrrrrrrrrrrrrrrréééééééé (m2, cm2, mm2)

Exemples : La peinture sur les murs, de la céramique au plancher, une surface à trouer, etc.

Le carré

Le rectangle

Le triangle

Le trapèze Le losange

Le parallélogramme

Le

pentagone

L’hexagone

3

Les propriétés Les propriétés Les propriétés Les propriétés

Référence : http://www.netmaths.net/Docs#891FE7408

Exemples :

4

4444.1.1.1.1 Le système international d’unités (SI)Le système international d’unités (SI)Le système international d’unités (SI)Le système international d’unités (SI)

Changement d’unitésChangement d’unitésChangement d’unitésChangement d’unités Pour changer vos unités, vous pouvez utiliser une échelle les mettant en

relation et vous permettant de déterminer où placer la virgule.

IMPORTANTIMPORTANTIMPORTANTIMPORTANT

Vérifiez que vos unités soient toujours les mêmes dans une même

figure.

Démarche :

�� UUUUUUUUnnnnnnnniiiiiiiittttttttééééééééssssssss ddddddddeeeeeeee lllllllloooooooonnnnnnnngggggggguuuuuuuueeeeeeeeuuuuuuuurrrrrrrr:::::::: mmmmmmmmeeeeeeeessssssssuuuuuuuurrrrrrrreeeeeeeessssssss eeeeeeeennnnnnnn uuuuuuuunnnnnnnneeeeeeee ddddddddiiiiiiiimmmmmmmmeeeeeeeennnnnnnnssssssssiiiiiiiioooooooonnnnnnnn

km hm dam m dm cm mm

�� UUUUUUUUnnnnnnnniiiiiiiittttttttééééééééssssssss dddddddd’’’’’’’’aaaaaaaaiiiiiiiirrrrrrrreeeeeeee:::::::: mmmmmmmmeeeeeeeessssssssuuuuuuuurrrrrrrreeeeeeee eeeeeeeennnnnnnn ddddddddeeeeeeeeuuuuuuuuxxxxxxxx ddddddddiiiiiiiimmmmmmmmeeeeeeeennnnnnnnssssssssiiiiiiiioooooooonnnnnnnnssssssss

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

5

Exemples :

1. Transforme les unités des mesures suivantes*.

a) 20 m = cm

b) 850 dm = cm

c) 4560 cm2 = m2

d) 4,5 km2 = m2

e) 45 m2 = ___________________ cm2

f) 0,65 dam2 = dm2

g) 34 200 cm = dam

h) 3,25 hm = m

i) 40 860 m2 = hm2

j) 540 mm2 = dm2

k) 4086 dm = hm

l) 1,67 km = m

* Aide-toi des échelles suivantes.

km hm dam m dm cm mm

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

x 10 x 10 x 10

÷10 ÷ 10 ÷ 10

x 100 x 100 x 100

÷100 ÷ 10 0 ÷ 100

6

4.2 4.2 4.2 4.2 L’aire d’un triangle, d’un rectangle et d’un parallélogrammeL’aire d’un triangle, d’un rectangle et d’un parallélogrammeL’aire d’un triangle, d’un rectangle et d’un parallélogrammeL’aire d’un triangle, d’un rectangle et d’un parallélogramme

L’aire d’un triangleL’aire d’un triangleL’aire d’un triangleL’aire d’un triangle

FormuleFormuleFormuleFormule :::: 2

h x bA = , o ù b = base et h = hauteur

À noterÀ noterÀ noterÀ noter ::::

La hauteur et la base d’un triangle sont toujours perpendiculaires

Exemple :

Trouve l’aire de chacun des triangles suivants.

a) b)

L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un rectanglerectanglerectanglerectangle

FormuleFormuleFormuleFormule :::: A = b

Exemple :

Trouve l’aire de chacun des rectangles suivants.

a)

L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un parallélogrammeparallélogrammeparallélogrammeparallélogramme

FormuleFormuleFormuleFormule :::: A = b

La hauteur est le segment perpendiculaire

qui joint les deux côtés parallèles

Exemple :

Trouve l’aire de chacun des parallélogrammes

a)

7

A = b ⋅⋅⋅⋅ h, o ù b = base et h = hauteur

Trouve l’aire de chacun des rectangles suivants.

b)

parallélogrammeparallélogrammeparallélogrammeparallélogramme

A = b ⋅⋅⋅⋅ h, o ù b = base et h = hauteur

segment perpendiculaire

deux côtés parallèles

parallélogrammes suivants.

b)

h = hauteur

8

4.4.4.4.3333 L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un trapèze et d’un losangetrapèze et d’un losangetrapèze et d’un losangetrapèze et d’un losange

L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un trapèzetrapèzetrapèzetrapèze

FormuleFormuleFormuleFormule :::: 2

hb)(BA

⋅+= où B = grande base, b = petite base et h = hauteur

Le trapèze possède deux bases qui sont parallèles

deux à deux.

La hauteur est le segment qui relie ces deux bases.

Exemple :

Trouve l’aire de chacun des trapèzes suivants.

a) b)

9

L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un losangelosangelosangelosange

FormuleFormuleFormuleFormule :::: 2

DdA = où D = grande diagonale et d = petite diagonale

Exemple :

Trouve l’aire de chacun des losanges suivants.

a) b)

10

4.4 Le carré et la racine carrée d’un nombre et l’aire d’un carréLe carré et la racine carrée d’un nombre et l’aire d’un carréLe carré et la racine carrée d’un nombre et l’aire d’un carréLe carré et la racine carrée d’un nombre et l’aire d’un carré

Le carré d’un Le carré d’un Le carré d’un Le carré d’un nombrenombrenombrenombre Le carré d’un nombre correspond au produit de deux facteurs égaux.

2 fois

� 4² est une autre façon d’écrire: 4 x 4

� Symboles possibles sur la calculatrice :

� Les bases peuvent être positives ou négatives.

Exemples :

1. Identifie, pour chacune des expressions suivantes, la base, l’exposant ainsi que la puissance.

a) 3² = 9 Base : ______ Exposant : ______ Puissance : ______ b) 24 = 16 Base : ______ Exposant : ______ Puissance : ______

2. Trouve la puissance de chacune des expressions suivantes.

EEEEEEEExxxxxxxxeeeeeeeemmmmmmmmpppppppplllllllleeeeeeee :::::::: 4444444422222222 ======== 44444444 xxxxxxxx 44444444 ======== 1111111166666666

a) 3³ = _____________ = ______ b) 104 = ____________ = _____

c) 25 = _____________ = ______ d) 5³ = ____________ = ______

4² = 16 BBAASSEE

EEXXPPOOSSAANNTT

PPUUIISSSSAANNCCEE

11

LLLLa racinea racinea racinea racine carré d’un nombrecarré d’un nombrecarré d’un nombrecarré d’un nombre Exemple :

� 3 est la RACINE CARRÉE de 9, car 3 ² = 9

� Donc, √9 = 3

À noterÀ noterÀ noterÀ noter :

Il est important de comprendre que tout nombre positif possède deux

racines carrées, une positive et l’autre négative.

√100 = ± 10, car on sait que :

10 x 10 = 10² = 100 ETETETET (-10) x (-10) = (-10)² = 100

Exemples : √25 = √49 =

√20 = √132 =

= 4 RRAADDIICCAANNDDEE

RRAADDIICCAALL

RRAACCIINNEE CCAARRRRÉÉEE

12

LLLL’aire d’un ’aire d’un ’aire d’un ’aire d’un carrécarrécarrécarré

FormuleFormuleFormuleFormule :::: A = c² où c = mesure du côté

Exemple :

Trouve l’aire de chacun des carrés suivants.

a) b)

4.5 L’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposables

Polygone régulier convexePolygone régulier convexePolygone régulier convexePolygone régulier convexe

Définition d’un polygone

Exemples : Voici des polygones : Ici, ce ne sont pas des polygones Définition d’un polygone convexe

Exemples :

Polygone convexe

13

L’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposables

Polygone régulier convexePolygone régulier convexePolygone régulier convexePolygone régulier convexe

RAPPELRAPPELRAPPELRAPPEL

: Figure géométrique plane, formée d’une suite de segments, délimitant ainsi un contour fermé.

Ici, ce ne sont pas des polygones :

Définition d’un polygone convexe : Polygone dont toutes les diagonales sont situées à l’intérieur de ce dernier.

Polygone convexe Polygone concave

L’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposables

: Figure géométrique plane, formée d’une suite de segments,

: Polygone dont toutes les diagonales sont situées

Propriétés des polygones convexesPropriétés des polygones convexesPropriétés des polygones convexesPropriétés des polygones convexes

Un polygone régulierrégulierrégulierrégulier convexe est un polygone qui répond aux contraintes suivantes :

1) Tous les côtés sont congrus

2) Tous les angles sont congrus

14

Propriétés des polygones convexesPropriétés des polygones convexesPropriétés des polygones convexesPropriétés des polygones convexes

convexe est un polygone qui répond aux contraintes

Tous les côtés sont congrus

Tous les angles sont congrus

convexe est un polygone qui répond aux contraintes

Noms des polygones réguliersNoms des polygones réguliersNoms des polygones réguliersNoms des polygones réguliers

Nombre de côtés

(n)

Nom du polygone régulier

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

Noms des polygones réguliersNoms des polygones réguliersNoms des polygones réguliersNoms des polygones réguliers

Nom du polygone Dessin

Somme des angles

intérieurs

Mesure de chaque angle

intérieur

16

Quelques énoncésQuelques énoncésQuelques énoncésQuelques énoncés sur lessur lessur lessur les polygones régulierspolygones régulierspolygones régulierspolygones réguliers

� La somme des angles intérieurs d’un polygone est toujours égale à

S = (n – 2) ⋅ 180°

� La somme des angles extérieurs d’un polygone est de 360°

� La mesure d’un angle au centre et d’un extérieur est toujours la même

� Dans un polygone régulier, il y a autant ‘axes de symétrie que de côtés

� L’hexagone est le seul polygone régulier qui est formé de triangles

équilatéraux

17

Le périmètre d’un polygone régulierLe périmètre d’un polygone régulierLe périmètre d’un polygone régulierLe périmètre d’un polygone régulier

La définition d’un polygone régulier facilite considérablement le

calcul de son périmètre. En effet, dans un polygone régulier, dans un polygone régulier, dans un polygone régulier, dans un polygone régulier, tous les tous les tous les tous les

côtés sont isométriquescôtés sont isométriquescôtés sont isométriquescôtés sont isométriques. Par conséquent, on obtient le périmètre en

multipliant le nombre de côtés par la mesure du côté.

P = n c

Exemples :

a) Trouve le périmètre d’un heptagone régulier dont la mesure du côté est de 5 m.

b) Trouve la mesure du côté d’un hexagone régulier dont le périmètre est de 72 mm.

c) Quel polygone régulier a comme périmètre 150 dm et comme mesure de côté 30 dm ?

18

L’apothème d’un polygone régulierL’apothème d’un polygone régulierL’apothème d’un polygone régulierL’apothème d’un polygone régulier

L’apothème d’un polygone régulier est le segment reliant le centre d’un

polygone régulier au milieu d’un des côtés de ce polygone.

Exercice : Identifie l’apothème dans chaque figure.

19

L’aire d’un polygone régulierL’aire d’un polygone régulierL’aire d’un polygone régulierL’aire d’un polygone régulier

FormuleFormuleFormuleFormule :::: 2

n a cA =

où n = nombre de côtés c =mesure du côté a = apothème

Exemples : Calcul l’aire du polygone suivant en utilisant la formule de l’aire.

Exemples :

a) Calcule l’aire d’un octogone régulier de 3 cm de côté et dont l’apothème mesure environ 3,6 cm.

Aire = ________

b) Quelle est la surface occupée par un pentagone de 8 m de côté et dont l’apothème est de 9 m ?

Aire = ________

20

L’aire de polygonesL’aire de polygonesL’aire de polygonesL’aire de polygones décomposabledécomposabledécomposabledécomposablessss Pour calculer l’aire d’un polygone décomposable, on le décompose en

polygones plus simples.

Exemple : Calcul l’aire des polygones suivants.

a)

Réponse : _______________

21

FFoorrmmeess EExxeemmpplleess PPéérriimmèèttrree AAiirree

Le carré

PP == 44 cc c = mesure du côté

AA == cc²² c = mesure du côté

Le rectangle

PP == 22 ((bb ++ hh)) b = base h = hauteur

AA == bb hh b = base h = hauteur

Le parallélogramme

PP == 22 ((bb ++ aa)) b = base a = côté adjacent

AA == bb hh

b = base h = hauteur

Le losange

PP == 44 cc c = mesure du côté

2

DdA =

D = grande diagonale d = petite diagonale

Le trapèze

PP== BB ++ bb ++ aa ++ dd

B = grande base b = petite base a = côté adjacent d = autre côté adj.

2

hb)(BA

⋅+=

B = grande base b = petite base h = hauteur

Le polygone régulier

PP == nn cc n = nombre de côtés c = la mesure du côté

2

n a cA =

c =mesure du côté a = apothème n = nombre de côtés

Le triangle

PP == aa ++ bb ++ cc

2

h x bA =

b = base h = hauteur

22

FFoorrmmuulleess ddee ppéérriimmèèttrree eett aaiirree

Le cercle

CC == 22 ππ rr r = rayon

AA == ππ rr²² r = rayon