Notions élémentaires d’asservissement

Commander

Control input OutputPROCESS

Sortie : variable à contrôler température du bain,position de l’avion …

Entrée SortieSYSTEME

Ordres Consigne , but fixé

Action de commande : Action susceptible de changer l’état du système à commander.

Commander

Réglage de la température d’un four

ActionneurTc = 100°C

Ts = Tc

Système de réglage

Ts

Commander : exemple

Réglage de la température d’un four

Débit du gaz combustible

Ts

SortieEntrée

Tc = 100°C Tc

SISO

Système S.I.S.O.

SISO

Système M.I.M.O.

Commander

Réglage de la température d’un four

ActionneurTc = 100°CDébit

d’entrée

Ts = Tc

Système de réglage

Ts

perturbation

Commander : exemple

Réglage de la température d’un four

Débit du gaz combustible

Ts

SortieEntrée

Sortie : variable à contrôler température de sortie.

Tc = 100°C

Perturbations : entrée secondaire

• variable aléatoire dont on ne connaît pas forcément l’origine

• variable prévisible liée au fonctionnement du système

z : débit d’entrée

Commander : exemple

Réglage de la température d’un four

z : débit d’entrée, température extérieure…

Ts

Commander : exemple

Réglage de la température d’un four

z : débit d’entrée, température extérieure…

Ts

Commander : exemple

Réglage de la température d’un four

Actionneur

Tc = 100°C

Système de réglage

Ts

perturbation

Débit d’entrée

-+

Ts

Commander : exemple

Réglage de la température d’un four

T-+

Tm

Schéma fonctionnel

Z

TsTC

Commander

Plus généralement…

Chaîne d’action

X

Chaîne de réaction

-+

+

-ye = xc - xr

xr

xC

Chaîne de retour

utilisationOrgane d’affichage

yc

Signal de retour y

Signal d’erreur

Chaîne d’action

Commander

Plus généralement…

Modéliser

Résolution de l’équation différentielle

Recherche deXc(p) = ℒ[xc(t)]

Recherche dexs(t) = ℒ-1[Xs(p)]

Calcul de : Xs(p) = H(p) . Xc(p)Xc(p)

xc(t) xs(t)

Xs(p)

Transformée de Laplace

H(p) = Xs(p) / Xc(p)

Transformée de Laplace

est la fonction de transfert du système,C’est la « trace » des équations différentielles

dans le domaine fréquentiel.

Sa connaissance suffit en général pour avoir une idée du comportement du système.

Transformée de LaplaceQuelques formules indispensables

F p

p

t p 0limf t lim p.F p

t 0 plimf t lim p.F p

a. F(p)

f(t) F(p)

— théorème de la valeur initiale :

p F(p) – f(0+)

— théorème de la valeur finale :

— intégrale : t

0f t dt

— dérivée : df t

dt

— produit par une constante réelle :

a.f(t)

Fonction de transfert

d’un système linéaire

n2

0 1 2s s s n2 sc nd d da a a adt d

t t t t .....x x x x xt t

td

.

Cas général (pour nous) :

2 n0 1 2S S S SC nX X Xp p p p ....X a a p a p a p pX

Système linéaire = équation différentielle à coefficients constants

Transformée de Laplace :

Fonction de transfert

d’un système linéaire

Système linéaire = équation différentielle à coefficients constants

Fonction de transfert :

2 n

0 1 2

S

nC

1H p

a a p a p ...

p

p .

X

a pX

n2

0 1 2s s s n2 sc nd d da a a adt d

t t t t .....x x x x xt t

td

.

Fonction de transfert

d’un système linéaire

Fonction de transfert :

α

S2

C 1 2n α

n

X p C 1H p

X p p 1 a ' p a ' p .... a ' p

(exposant du terme de plus bas degré) est la classe du système, elle conditionne sa précision.

n (exposant du terme de plus bas degré) est l’ordre du système, il conditionne sa stabilité.

Cas des systèmes bouclés

+ -

XS(p)(p)

Xr(p)

XC(p)H(p)

K(p)

SX p H p pε

SrX p K p X p

C rX pp X pε

S

C

X p H pT p

X p 1 H p K p

Fonction de transfert en boucle fermée :

+ -

XS(p)(p)

Xr(p)

XC(p)H(p)

K(p)

S

C

X pT p

X pFormule de Black :

rBO

c

X pT p H p K p

X p Fonction de transfert en boucle ouverte :

Cas des systèmes bouclés

F 1 H p K p Facteur de régulation :

H p

1 H p K p

Evaluer les performances

entrée impulsion de Dirac : réponse impulsionnelle,

entrée échelon : réponse indicielle ,

entrée rampe ,

entrée sinusoïdale : réponse harmonique (diagramme de Bode)

cX p 1

c

1X p

p

c 2

1X p

p

Im (H)

Re (H)

M1

r1

Diagrammes de Nyquist de H(j)

1H jω

1 jω

1 21

1H jω

1 ω

r1=

1Arg H jω

b1r1sin =

= r1cos a1

Im (H)

Re (H)

Diagrammes de Nyquist de H(j)

0HH jω

1 jω

π

2 0

02

20 0

HH p

p p1 2m

ω ω

π 0

1

02 3

2 32 30 0 0

HH p

p p p1 a a a

ω ω ω

3π

2 0

H0

axe réel

ax

e i

ma

gin

air

e

Diagrammes de Nyquist de différents systèmes

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

From: U(1)

To

: Y

(1)

Classe 1, ordre 2

Classe 0, ordre 2

Classe 0, ordre 2

Diagrammes de Nyquist de différents systèmes

Classe 0, ordre 1

pulsation (rad/s)

Pha

se (d

egré

s) G

ain

(dB

)

Diagrammes de Bode de différents systèmes

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40From: U(1)

10-2 10-1 100 101-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

To: Y

(1)

temps en s

Am

plit

ud

e

Réponses impulsionnelles de H(p)= 1/[1+2m(p/wc)+ (p/wc)(p/wc)] avec m=mk

0 15 30 45 60 75 90-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1From: U(1)

To

: Y

(1)

m = 0,133

m = 0,2

m = 0,4

m = 2

m = 6

m = 4

Réponses impulsionsionnelles de différents 2ème ordres

2

20 0

1H p

p p1 2m

ω ω

temps en s

Am

plitu

deRéponses indicielles de H(p)= 1/[1+2m(p/wc)+ (p/wc)(p/wc)] avec m=mk

0 15 30 45 60 75 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2From: U(1)

To:

Y(1

)m = 0,133

m = 0,2

m = 0,4

m = 2

m = 4

m = 6

Réponses indicielles de différents 2ème ordres

2

20 0

1H p

p p1 2m

ω ω

m = 0,133

m = 0,2

m = 0,4

m = 2

m = 6

m = 4

Réponses de différents 2ème ordres à une rampe

2

20 0

1H p

p p1 2m

ω ω

pulsation (rad/s)

Pha

se (

degr

és)

Gai

n (d

B)

Diagramme de Bode de H(p)= 1/[1+2m(p/wc)+ (p/wc)(p/wc)] avec m=mk

-100

-50

0

50From: U(1)

10-2 10-1 100 101 102-200

-150

-100

-50

0

To:

Y(1

)

m = 0,2m = 0,133

m = 0,4

m = 2m = 6

m = 4

Diagrammes de Bode de différents 2ème ordres 2

20 0

1H p

p p1 2m

ω ω

axe réel

axe

imag

inai

re

Diagramme de Nyquist de H(p)= 1/[1+2m(p/wc)+ (p/wc)(p/wc)] avec m=mk

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0From: U(1)

To:

Y(1

)

m = 0,133

m = 0,2

m = 0,4

m = 2 m = 4

Diagrammes de Nyquist de différents 2ème ordres

m = 6 2

20 0

1H p

p p1 2m

ω ω

temps en s

Am

plit

ud

e

Réponses impulsionnelles de différents systèmes

0 5 10 15 20 25 30 35

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

From: U(1)

To

: Y

(1)

Réponses impulsionnelles de différents systèmes

Classe 1, ordre 2

Classe 0, ordre 2

Classe 0, ordre 2

Classe 0, ordre 1

1

H pp 1 p

2

1H p

p 0,2p 1

2

1H p

p 2p 1

1

H pp 1

temps en s

Am

plit

ud

e

Réponses indicielles de différents systèmes

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

From: U(1)

To

: Y

(1)

Réponses indicielles de différents systèmes

Classe 1, ordre 2

Classe 0, ordre 2

Classe 0, ordre 1

Classe 0, ordre 2

1

H pp 1 p

2

1H p

p 2p 1

1H p

p 1

2

1H p

p 0,2p 1

+ -

XS(p)(p)

Xr(p)

XC(p)H(p)

K(p)

BF

Réponses à une rampe de différents systèmes

Classe 1, ordre 2

Classe 0, ordre 2

Classe 0, ordre 1

Classe 0, ordre 2

pulsation (rad/s)

Pha

se (

degr

és)

Gai

n (d

B)

Diagrammes de Bode de différents systèmes

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40From: U(1)

10-2 10-1 100 101-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

To:

Y(1

)

Classe 1, ordre 2 Classe 0, ordre 2

Classe 0, ordre 1

Classe 0, ordre 2

Diagrammes de Bode de différents systèmes

1

H pp 1 p

2

1H p

p 0,2p 1

1H p

p 1

2

1H p

p 2p 1

Réponses indicielles en boucle fermée des systèmes précédents

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4From: U(1)

To:

Y(1

)

Classe 1, ordre 2

Classe 0, ordre 2

Classe 0, ordre 2Classe 0,

ordre 1

+ -

XS(p)(p)

Xr(p)

XC(p)H(p)

K(p)

BO

Réponses indicielles en boucle fermée des systèmes précédents

Time (sec.)

Am

plit

ud

e

Step Response

0 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

From: U(1)

To

: Y

(1)

Classe 0,

ordre 1

Classe 0, ordre 2

axe réel

ax

e i

ma

gin

air

eDiagrammes de Nyquist de différents systèmes

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

From: U(1)

To

: Y

(1)

Classe 1, ordre 2

Classe 0, ordre 2

Classe 0, ordre 2

Diagrammes de Nyquist de différents systèmes

Classe 0, ordre 1