様々な振動ー身近な三角関数

May 22,  2013

周波数が10倍違う２つの波を足すと、随分違った波になる

７月３１日（水）が最終講義の予定です。レポートは８月９日（金）までに提出して下さい。

紙としてレポートを提出することも可能です（理学部総合研究棟（Ｈ棟）H426室）

メールへの添付ファイルとしてレポートを提出することも可能です。その際はファイル名は

学部・学年・氏名として下さい。ファイル形式はワード、パワーポイント、エクセル、pdfなど

のメジャーなものが望ましいです。

shimoda@phys.sci.osaka‐u.ac.jp

レポート課題

高等学校を卒業したばかりの、物部理（もののべおさむ）君を紹介しましょう。物部君

は充分な読み書きの能力を備えており、自分の意見をきちんと述べることが出来る好青

年です。物部君は高等学校では物理を選択していません。そのためか、物理は難しいも

のと考えており、物理に関係する話が出ると、急に無関心を装います。こういうときには、

「物理なんか知らなくても生きていける」と心の中でつぶやいています。

その物部君に、以下のどちらかのテーマについて語りかけ、物部君を感動させて下さ

い。物部君は話がわからなくなると、すぐ居眠りを始めてしまいますので注意して下さい。

１．物理学とはどのようなものなのかをわかりやすく説明し、あなた自身がこれから物理

学や科学とどのようにつきあっていこうと思っているのかを、熱く語って下さい。

２．原子力発電とはどのようなものかをわかりやすく説明し、私達は原子力発電とどのよ

うにつきあっていけば良いのか、あなたの考えを熱く語って下さい。

外・１・女（部分）

外・１・女（部分）

経・１・男（部分）

外・１・女（部分）

外・１・女（部分）

外・１・男（部分）

法・１・男？（留学生）

外・１・女

外・１・男（部分）

ふたつの振り子が緩く結合した場合の振幅の時間変化

時間 →

振れ

の大

きさ

→連成振り子

聴講生・女

どんなものでも力をかけて離すとゆさゆさと揺れますが、その振動数を固有振動数と言います。

この振動数に近い振動数で揺さぶるとエネルギーを吸収して大きく振動します。揺れ幅が大きすぎれば建物は壊れます。

法・１・女

米国ワシントン州のタコマに新設計によるつり橋が完成したが、完成後わずか4ヶ月のち、1940年11月7日に毎秒19m/sの横風のために崩壊してしまった。幸い、人名の損傷はなかった。横風による橋の自励振動が原因であった。たった風速19m/sという風によってね

じれ振動が生じ、その振幅が増大してケーブルが破断され、遂には落下してしまった。しかし風による力を考慮に入れた設計がなされており、計算上では風速60m/sまで耐えられるはずだった。 この事故には風と橋の共振が関係している。もっとも、風が周期的に吹

いていたわけではない。風が吹くことで橋の周りに渦ができて、その渦からの周期的な力とタコマ橋のねじれ振動が共振を起こしてしまった。（渦励振）

共振（resonance)

タコマ橋の崩落（4分13秒）

http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs

橋の長さ方向の振動とねじれの振動の固有振動数一致しないように設計する

1964年1937年1966年1940年

ねじれの振動

長さ方向の振動

外・１・女（部分）

地球が自転しているために、私達には遠心力とコリオリの力が働いています。そのことは実感しにくいのですが、力の効果を長時間にわたって検出できるフーコーの振り子を見れば、私達が回転するものの上にいることを理解できます。

理学部物理系総合研究棟の玄関にあるフーコーの振り子を見に行こう

三角関数を考える

人・１・男（部分）

バネにつるした物体の運動は「単振動（harmonic oscillation）」と呼ばれますが、釣り合いの位置からのズレに比例した力が働くという方程式を満たす解は円軌道上を一定の速さで動く物体の位置を一つの軸に射影したものと同じ関数になります。それは三角関数。

位置 x

時刻 t

場所を固定して眺める１秒間に振動する回数を振動数と呼びHz という単位で表す。

時間を固定して眺める山から山までの距離を波長と呼ぶ・

地震波や津波は「やって来る」

空間軸でも時間軸でも振動している 波が進む

フーリエ級数

周期：Ｔf1 = 1/T：基本周波数fn = nxf1 ：n倍周波数

どんな波（周期関数）も三角関数の重ねあわせで表すことが出来る

基本波＋３倍波＋５倍波＋７倍波で矩形波に近くなった！

ジョセフ・フーリエJoseph Fourier 1768 – 1830 フランス

高調波

音色とは？

時間

振幅

音叉

フルート

クラリネット

何が違う？

オーボエ

クラリネット

フーリエ分解（スペクトル分析）

倍音はこうして発生

音を周波数分解（スペクトル分解）してみよう

時間

音の強さ

音の高さ

スペアナ（スペクトラム・アナライザー）

４４０Ｈｚ 19

多数の周波数の音を用意し、それぞれの音の強さを調整して重ね合わせれば、任意の音程と音色を作ることができる

これがディジタル音楽：CDなど

頭がしびれるテレビスペシャル「名曲は数学で出来ている！」（2013年2月15日放送） 48秒

音程とは？？

なぜ弦の張り具合と弦の太さで音の高さが変わる？

弦の長さ

弦の張力

弦の密度

節の数+1

頭がしびれるテレビスペシャル「名曲は数学で出来ている！」（2013年2月15日放送） 1分55秒

音楽を考える：ペンタトニックスケールとは

この５つの音を発見したのはピタゴラス

頭がしびれるテレビスペシャル「名曲は数学で出来ている！」（2013年2月15日放送） 3分02秒

ドの音とソの音で合唱するとミの音に聞こえる？！

純正律（just intonation）とは？

ド レ ミ ファ ソ ラ シ ド

周波数が整数比になっている

４ ５ ６

音を同時に出すと調和

４ ５ ６

平均律（equal temperament）とは？

フランスの神学者 マラン・メルセンヌ（Marin Mersenne, 1588‐ 1648）が提唱

隣の音の周波数比が等しいので移調が可能！

←これを440Hzと決めよう

純正律のドとソの音を重ねると

ド ソ

ミ

こんな公式があることは本を見れば良い

確かにミの音が聞こえる！その強さがドの周波数の4分の1の周波数で変化するが、とても感知できないだろう

話が変わってGPSや携帯電話

ここでも三角関数が不可欠

一つの周波数を多人数が使うにはどうすれば良いかCDMAという技術

そもそも、アナログ信号をディジタル化する時点でフーリエ級数（周波数分解）を必ず使う

GPS（Global Positioning System）とは？

宇宙の灯台を創れ！魔法の衛星ＧＰＳの開発秘話：NHKコズミックフロント（2013年5月16日放送）

日本が2010年9月に打ち上げたGPS衛星「みちびき」

（1分46秒）

宇宙の灯台を創れ！魔法の衛星ＧＰＳの開発秘話：NHKコズミックフロント（2013年5月16日放送）

（1分49秒）

GPSの原理：電波の到達時間の差を利用

原理は単純しかし、これを思いつき、実現するには優れた能力と集中力が必要

多数の衛星をどうやって識別する？携帯電話でおなじみのCDMA（Code Division Multiple Access）方式

ここでもフーリエの偉業が応用されている

宇宙の灯台を創れ！魔法の衛星ＧＰＳの開発秘話：NHKコズミックフロント（2013年5月16日放送）

（3分27秒）

JAXAが作った iPhone アプリケーションソフトもある

無理数が組み合わさって調和する、数学の世界はおもしろい

「文系」のこの人の作品 ぼくの記憶は８０分しかもたない

数学にシンパシーを感じるには

こういう作品を味わってみてはいかが？

級数展開をすると

博士：寺尾聰

家政婦：深津絵里

息子（ルート）：吉岡秀隆

（４分）

博士の愛した数式 原作：小川洋子

博士：寺尾聰

家政婦：深津絵里 その息子（ルート）：吉岡秀隆

２００７年５月１９日放映から４分だけ

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波を重ね合わせると

津波の高さはなぜ40メートル近くにもなったのか

位相という概念：足し合わせと打ち消し合い

波の重ね合わせ

BOSE ノイズキャンセリング・ヘッドホン

２つの波の干渉（interference)

MIT Demonstration Physics より （1分40秒） 強め合ったり弱め合ったり

ポール・リード・スミスのギター（ハムバッキングピックアップ）とMesa Boogie のアンプ

カルロス・サンタナ（Carlos Santana）

SONGS(2013年2月23日放送） 6分35秒

共振を使っている（フィードバック）