14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiques

Tunis, Tunisie, 28 août 2004

Première journée : 28 août 2004 Durée : 4 h 30 INSTRUCTIONS

1. Les instruments de calcul et autres documents tels que notes manuscrites ou extraits de livres ne sont pas autorisés en salle d’examen.

2. Seuls les stylos, crayons, règles et compas peuvent être utilisés.

Exercice 1 Soit n un entier naturel. Montrer qu’on ne peut pas trouver d’entier naturel m tel que

3n2 + 3n + 7 = m3. Exercice 2 Le nombre 356973244 −+− est-t-il entier ? Exercice 3 Les nombres a1 ; a2 ; …… ; a268 sont écrit sur un cercle. Toute somme de 20 nombres qui se suivent sur le cercle est 75. On sait que a17 = 3, a83 = 4 et a144 = 9. Trouver a210.

14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiques Tunis, Tunisie, 28 août 2004

Deuxième journée : 28 août 2004 Durée : 4 h 30

Exercice 4 Trois nombres réels vérifient les deux propriétés suivantes : P1) le carré de leur somme est égale à la somme de leurs carrés ; P2) le produit des deux premiers est égal au carré du troisième. Trouver ces nombres. Exercice 5 Chacun des chiffres : 1 ; 3 ; 7 et 9 figure au moins une fois dans la représentation décimale de l’entier naturel n. montrer que l’on peut permuter les chiffres de n pour obtenir un multiple de 7. Exercice 6 Un quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle de diamètre [AB]. Supposons que la droite (AB) et (CD) se coupe en I , la droite (AD) et (BC) en J, la droite (AC) et (BD) en K. soit N un point de [AB]. Montrer que la droite (IK) est perpendiculaire à la droite (JN) si et seulement si N est le milieu de [AB].