Cours 1: Ondes en Sciences dela Terre

• Introduction aux ondes (sismique, ondes de pression,

ondes électromagnétiques, ondes de tsunami)

• Onde acoustique ( onde de pression)

• Onde de tsunami ( onde de gravité)

• Source d’une onde

• Onde plane

• Vitesse de phase-vitesse de groupe (quelques exemples

simples- GPS)

Quelques exemples d’ondes

• Ondes sismiques– Prospection pétrolière– Imagerie du sous-sol– Imagérie de la Terre

• Ondes acoustiques– Imagerie du sous-sol– Imagerie non-destructive des batiments– Imagerie médicale

• Ondes électromagnétiques– Radio communications– Radar– Positionnement

A la base de la propagation

• Echange/interaction entre deux réservoirs– Energie cinétique/potentielle

– Energie magnétique/electrique

• L’un génère une vitesse ( dérivée en temps),l’autre génére un gradient ( dérivé dansl’espace)… évolution/propagation dansl’espace lorsque le temps avance

En mécanique…

• Deux ondes possibles

• Ondes acoustiques/sismiques– Energie potentielle liée à la déformation de la

matière ( compression, cisaillement, modificationde tension)

– Ondes sismiques, son (ondes acoustiques etinfrasons)

• Ondes de gravité– Energie potentielle liée au déplacement de la

matière dans la gravité terrestre

– Ondes de tsunami, vagues, etc

Ondes de pression• Oscillations entre énergie cinétique et énergie de compression

• On considère un tube de section S dans lequel se trouve un fluide compressible

• La perturbation est représenté par les variables u(x,t) et p(x,t), qui donne ledéplacement et la pression sur un plan initialement à la position x

• C’est une vibration longitudinale ( le déplacement est dans la direction depropagation)

U(x+dx)U(x)

x X+dx

État d’équilibre P = P0

État perturbé

P(x,t)=P0+p(x,t) P(x+dx,t)=P0+p(x+dx,t)

Bilan des forces (1/3)

• ! est le coefficient d’incompressibilité dugaz, dP et dV les variations de volume parrapport à l’état d’équilibre

• Quel coefficient d‘incompressibilité– Isotherme? Adiabatique?

!

"0Sdx

d2u

dt2

= S(p(x) # p(x + dx))

1

$= #

1

V

dV

dP ?

• Si les oscillations se font rapidement devant letemps de diffusion de la chaleur, la chaleurgénérée (ou perdue) par la compression (oudécompression) du gaz n’a pas le temps dediffuser– Cas des ondes sismiques dans la terre, des ondes

acoustiques dans la basse atmosphère, des ondesdans les cristaux, etc

– Dans certains cas, la chaleur a le temps de diffuser, etécrire la seconde équation n’est plus possible.Il fautalors faire aussi le bilan de l’énergie thermique

Bilan des forces (2/3)

!

1

"= #

1

V

dV

dP adiabatique

Bilan des forces (3/3)

!

V0

= Sdx

dV =V (t) " V0

= S(u(x + dx, t) + dx " u(x, t) " dx)

= S#u

#xdx

P = p

!

"0

# 2u

#t 2= $

#p(x)

#x

p = $%#u

#x

D’oùEquation du mouvement - à modifier si d’autres forces sontprises en compte

Equation constitutive- à modifier si la milieu ne réagitpas de façon adiabatique…

Etapes intermédiaires…

Equation d’onde

!

"0

# 2u

#t 2=#

#x($#u

#x)

!

" 2u

"t 2= c

2 "2u

"x 2

c2

=#

$0

D’où, uniquement si le milieu est homogène

Équation des ondes

Vitesse de propagation

Ne pas oublier….• La source

• Spatialement peut être– ponctuelle (non nulle uniquement en un point, ex explosion,

petit séisme, etc)– De taille finie ( ex, un grand séisme)– Délocalisée (par exemple, la turbulence dans le soleil)

!

" 2u

"t 2= c

2 "2u

"x 2+f (x, t)

#0

Source d’un grand séisme ( Hokkaido, Japon, 25/09/2003, Ms=8.1)

Ne pas oublier….• La source

• Temporellement peut être– A: De durée très courte ( explosion)– B: De durée finie (impact et pénétration d’une météorite)– C: De durée infinie ( séisme…?)!

" 2u

"t 2= c

2 "2u

"x 2+f (x, t)

#0

f

t

f

t

f

t

A B CRupture

Nouvelétatd’équilibre

Ne pas oublier

• Les conditions aux limites– L’équation des ondes n’est pas valable sur

les frontières du milieu ( pas de dérivationpossible)

– Milieu infini ( pas de conditions auxlimites), demi-infini ou fini ( conditionsimposées sur les frontières)

Type de conditions aux limites

• Rigide: déplacement nul dans le sens dumouvement)

• Libre: pas de forces exercées

• Radiative– Les ondes sont rayonnées et sortent du système

• Autres…

!

u(xL, t) = 0

!

p(xL , t) = "#$u

$x= 0

D’autres équations à 1D

• Guide d’onde (câble co-axial)

• variables q (~u),V (~p)

• L= inductance par unité de longueur

• Q=capacitance par unité de longueur!

Ldxdi

dt= V (x + dx, t) " V (x, t)

dQ = CdxV+dQ

-dQ

i

i V

• Comme les électrons vont dans le sensinverse du courant

• D’où

!

Ldx"i

"t="V

"x

d ˙ Q = Cdx"V

"t= i(x + dx, t) # i(x) =

"i

"xdx

!

" 2i

"t 2= c

2 "2i

"x 2

c2

=C

L

Equation d’une corde• Exemple de mouvement transversal (le mouvement

se fait perpendiculairement à la direction depropagation)

• Autres exemples transversaux: ondes decisaillement des séismes, dites S

T0

"(x,t)

!

µdx" 2v

"t 2= F(x + dx, t) # F(x, t)

F = T0 sin$ % T0$

$(x, t) =v(x + dx, t) # v(x, t)

dx="v

"xV(x,t)

V(x+dx,t)

Corde vibrante

• Equation d’onde

• Conditions aux limites

!

" 2v

"t 2= c

2 "2v

"x 2

c2 =

T0

µ

!

F = T0

"u

"x

Exemple de condition auxlimites hybride…

ressort

Masse

!

M" 2u

"t 2= #ku # T

0

"v

"x

u(t) = v(x0, t)

V(x,t)

U(t)

Onde de gravité

• La force de rappel n’est plus la compressionmais la gravité

• Les ondes de gravité– Océan: tsunami

– Atmosphère

Tsunami d’Indonésie, 26/12/2004

• Tsunami de moins d’un m en haute mer

• Amplitude maximum de 35 m a Sumatra

• Longue rupture (30 min) sur une longueurde faille de près de 1000km

• Période du tsunami de 13 min

• Profondeur moyenne de l’océan indien de3500 m

Imagerie des retraits de vagues• Ex Image Quickbird à Kalutara, Sri Lanka

(4 heures après le séisme)

Phase de retrait Seconde phase de retrait > 30 minutes

Onde de gravité: équation

h(x)

p(x) p(x+dx)

H(x+dx)

• onde longitudinale ( vitesse v)

• fluide incompressible ( eau)=> surpression = poids de lahauteur d’eau

• Relation de la dynamique +conservation de la masse

v(x)

p=#gh

Surface équilibre

Profondeur d’eau d

!

Equation du mouvement

"d#v

#t= d"gh(x, t) $ d"gh(x + dx, t)

Conservation de la masse

v(x, t) * d $ v(x + dx, t) * d =#h

#tdt

!

"v

"t= #g

"h

"x"h

"t= #

"(vd)

"xd' où

" 2h

"t 2="

"xc2 "h

"x

$

% & '

( )

avec c2

= gd

Propagation• La vitesse de propagation des ondes est ~

– d : profondeur d'eau• Ralentissement près des côtes : ondes plus courtes

– augmentation des amplitudes par conservation del'énergie…

!

gd

Onde de gravité existent aussi pour l’atmosphère

Equation différente..

Vitesse de propagation de quelques dizaines de m/s

Résolution de l’équation d’onde

• Cas homogène• Une équation particulière, car invariante si le

temps ou la direction sont renversées

• Conséquence:– les ondes se propagent de la même façon de

droite à gauche que de gauche à droite– Si le temps est renversé, les ondes font le chemin

inverse• Renversement temporel (technique utilisée en médecine)

!

" 2v

"t 2# c

2 "2v

"x 2= 0

!

x " #x

t " #t

• Similarité avec

D’où

Changement de variable

X=x+ct, Y=x-ct

D’où

!

a2" b

2= (a " b)(a + b)

!

" 2v

"t 2# c

2 "2v

"x 2= (

"

"t# c

"

"x)("

"t+ c

"

"x)v = 0

!

"

"x="X

"x

"

"X+"Y

"x

"

"Y=

"

"X+"

"Y

"

"t="X

"t

"

"X+"Y

"t

"

"Y= c

"

"X# c

"

"Y

"

"t# c

"

"x= #2c

"

"Y

"

"t+ c

"

"x= 2c

"

"X

• L’équation s’écrit alors

• Et à comme solutionU = F(X)+G(Y)= F(x-ct)+G(x+ct)

Où F et G sont deux fonctions quelconques.

Comment trouver les fonctions?

!

" 2u

"X"Y= 0

Conditions initiales• Equation d’onde = équation différentielle du

second degrés– Deux conditions initiales nécessaire

• A t=0

• donc!

uo(x) = F(x) + G(x)

vo(x) = "c ˙ F (x) + c ˙ G (x)

!

1

cvo(z)

0

x

" dz = G(x) # F(x)

F(x) = 12(u

o(x) #

1

cvo(z)

#$

x

" dz)

et G(x) = 12(u

o(x) +

1

cvo(z)

#$

x

" dz)

Exemple 1Déplacement initial

(Pa est la fonction porte, nulle en dehorsde l’interval -a/2, a/2)

!

u0(x) = P

a(x)

!

F(x) =Pa(x)

2;G(x) =

Pa(x)

2

u(x, t) =Pa(x " ct)

2+Pa(x + ct)

2

!

t = a4c

!

t = a2c

!

t = ac

Exemple 2vitesse initiale

!

v0(x) = P

a(x)

!

G(x) =v0

2c(1

2+x

2Pa(x)) = "F(x)

!

t = a2c

G

F!

t = 0

État final n’est pas l’état initial… déformation statique

Conditions aux limites• Les conditions aux limites vont générer des réflexions

de l’onde mais la solution va rester une solutiongénérale sous la forme

u=F(x-ct)+G(x+ct)

Avec 0=F(xl-ct)+G(xl+ct)

F(x-ct)Surface rigide

F(x-ct)Réflexion: génération d’uneonde réfléchie G

G(x+ct)

G(x+ct)=-F(2xl-x-ct)

G(x)=-F(2xl-x)

Surface libre

• Pour une surface libre, nous avons

!

"

"xF(x

l# ct) +

"

"xG(x

l+ ct) = 0

soit si $ = xl

+ ct

˙ G ($) + ˙ F (2xl# $) = 0

G($) = F(2xl# $)

F(x-ct) Surface libre

F(x-ct)

G(x+ct)

G(x+ct)=+F(2xl-x-ct)

G(x)=-F(2xl-x)

L’amplitude à lasurface libre estdoublée

u=F+G

Energie• Les ondes ont deux réservoirs d’énergie et cette

énergie se propage donc• Exemple: corde

– Energie cinétique par unité de longueur

– Variation de l’énergie potentielle de tension par unitéde longueur

!

Wp = T0"l

avec l = dx

l'( )2

= dx( )2

+ dx#v

#x

$

% &

'

( )

2

;"l = l' * l =

1

2dx

#v

#x

$

% &

'

( )

2

Wp = T0"l =

1

2T0dx

#v

#x

$

% &

'

( )

2

!

Wc

=1

2µdx

"v

"t

#

$ %

&

' (

2

Energie et Flux d’énergie

• Pour une onde progressive Wc=Wp

• Le flux d’énergie est différent et c’est avec le flux que doiventse faire des raisonnements de conservation de l’énergie

t

t+dt$x=cdt

!

"c = cWc

"p = cWp