OPTIMALISATION ANALYTIQUE D E S ANTENNES CASSEGRAIN DE R]~VOLUTION

par

Claude CARDOT

Ing6nieur en chef des t616communications (e. d.) *

R ~ s u ~ . - - Aprds avoir rappeld comment se pose le probl~me de l' optimalisation des syst~mes de rdflecteurs Cassegrain de rdvolution emplogds dans les tdldcommunieations par satellites, et comment ce probl~me est actuellement rdsolu, l'auteur propose une nouvelle mdthode ayant l'avantage de fournir des surfaces enti~rement analytiques el permetlant un calcul et un dimensionnement faciles de l'ensemble de l'antenne, ceci en eontrepartie d'incon-

vdnients dent on dtudie l'influence et qui s'avdrent ndgligeables.

PLAN, - - 1 : Introduction. �9 2 : Posit ion du prob l~me 2.1. Rendement d'une antemze; 2.2. Principe de l'optimalisation par l'optique gdomdtrique; 2.3. Rdsolution actuelle du probl~me. �9 3 : Notat ions. �9 4 Principe du calcul pour une source rayonnant une onde sph~rique. �9 5 : Ddterminat ion du couple de r~flecteurs 5.1 Couple de rdflecteurs paraboliques ; 5.2, Calcul de la mdridienne du grand rdflec- teur ; 5.3. Calcul de la mdridienne du petit rdfleeteur. �9 6 : Execution pra t ique des calculs, influence

des erreurs . �9 7 : Conclusion. Annexe. Bibliographic (4 r6f.).

I. INTBODUCTION

Une grande majori t6 des s tat ions de t616communi- cations par satellites ut i l isent des an tennes Cassegrain de r6volution, pour lesquelles le param~tre crit ique est le rappor t : ga in / temp6ra ture de bru i t (G/T)

la fr6quence de r6ception ( t ra je t satellite-terre).

L 'op t imal i sa t ion de ce param6tre r6sulte d ' un compromis entre l ' augmen ta t i on du gain et celle de la t emp6ra tnre de brui t . Pour arriver au meilleur compromis, il fau t rechercher une i l luminat ion uni- forme du plan de sortie de l ' an t enne , pour accroitre le r endemen t d ' i l luminat ion , tou t en ayant une source den t le r a y o n n e m e n t d6croisse for tement vers les bords, afin de r6duire l '~nergie de d6bordement (spillover) au tour du pet i t r6flectenr : cette 6nergie de d6bordement contr ibue, en effet, fi r6duire le gain

et fi augmente r la t emp6ra ture de brui t .

Le probl~me de l 'opt imal isa t ion du trac6 des m6ri- diennes consiste donc h d6terminer celles-ci pour obtenir sur le p lan de sortie une i l luminat ion aussi uniforme que possible ~ par t i r d ' u n d iagramme de source pr imaire qui est :

- - d6termin6 exp6r imenta lement , --- fo r tement d6croissant vers les herds.

Ce probl~me se r6sout en premiere approx imat ion ea u t i l i san t l 'op t ique g6om6trique, c'est-~-dire que l 'on ob t ien t une solution a sympto t ique valable ~ la fr6quence infinie. I1 n 'exis te pas, ~ notre connaissance,

de p rogramme de calcul qui permet te d 'opt imal iser

le trac6 des m6ridiennes en fonct ion d ' un calcul exact d 'opt ique physique, ceci, en raison de la grande com- pl icat ion in t rodui te par l 'ex6cution d 'une double

in tegrat ion de surface (une par r6flecteur) dans le

domaine vectoriel et en r6gion de Fresnel.

2. POSITION DU PtlOBLI~lYIE

2.1. Rendement d'une antenne.

On sait (cf. n o t a m m e n t [1], formule (1)) que si l 'on suppose que le p lan de sortie d ' une an tenne est 6clair6, dans l ' approx imat ion scalaire, par une loi d ' i l lumina t ion en champ f(r) de r6volut ion ( r = distance h l 'axe), le gain dans l 'axe est :

4,~ [S~sf(r)ds] z (2.1.1) Go - k 2 fSsf~(r)ds '

S 6 tant la surface active du plan d ' o u v e r t u r e ;

et le r endemen t d ' i l lumina t ion :

Go [~Ssf(r)ds] 2 (2.1.2) p = 47:S1;~ S j ~ s f 2 ( r ) d s �9

L'expression (2.1.2) v a u t l 'un i t6 si et seulement si f(r) est constante .

Toutefois, il est int6ressant de noter, en r u e de l '6valuat ion de l ' influence des 6carts par rappor t la loi uniforme, que la formule (2.1.2) est relativement

peu sensible aux 6carts par rappor t h l a d i t e loi. Si nous supposons, par exemple, que la fract ion m

de la surface active du plan d 'ouver tu re soit h u n

6clairement 1 4 e, le reste, soit la f ract ion 1 - - m de la surface 6tant fi l '6clairement unit6, on t ire a is6ment

de (2.1.2) la valeur du r endemen t dans ce cas :

m(1 - - m)e ~ (2.1.3) p = 1 - 1 + 2 me -+- me 9" '

* Chef du groupe de Math6matiques appliqu6es, division des Applications ~lectroniques des Laboratoires de Marcoussis (Centre de recherche�9 de la CO:~IPA.GNIE G]~Nt~RA.LE D'I~LECTIIICITF.).

37

2/12

et cette formule donne, pour le cas typ ique off la moitid de la sur[ace de l'ouverture s'~carterait de 1 d6cibel de l'aulre moili~ (soit : e = 0,122 et : m = 0,5), la valeur :

= 0,9967, ou 10 lOgl0 p = - - 0,014 d B ,

ce qui correspond h une perte de r cndemen t n6gligeable dans le bi lan g6n6ral d ' une antenne .

2.2. P r i n c i p e de l'optimaliaation par l'optique g6om6trique.

Un syst6me Cassegrain classique (au sens optique) se compose de deux surfaces s t igmatiques :

- - si la source rayonne une onde plane, le pe t i t miroir est u n parabolo~de de r6volution, le grand miroir

6galement, les foyers de ces surfaces 6 tant confondus;

si la source rayonne une onde sph6rique centr6e en un poin t r ce qui est le cas g6n6ral, le pe t i t miroir est un hyperboloide d o n n a n t de �9 une image stig- mat ique en F (O et F 6rant les foyers du pet i t miroir) ; le grand miroir est un paraboloide de foyer F.

U n tel syst~me r6alise une correspondance entre rayons conjugu6s (~ chaque rayon d 'entr6e issu de la source correspond un rayon de sortie) ; les intensit6s de champ correspondantes sent :

- - proport ionnelles pour un syst6me de deux para- boloides ;

6clairement de sortie - - dans le rappor t : = kcosZO/2,

6clairement incident 0 6 tant l ' incl inaison du rayon d 'entr6e sur l 'axe, k une constante de normal isa t ion, darts le cas d ' u n sys- t~me parabolo~de-hyperboloide (cf. [2] , formule (4)).

I1 en r6sulte que l ' ob ten t ion du r endemen t uni t6 exigerait dans un syst~me classique :

- - p o u r une source r a y o n n a n t une onde plane, que celle-ci soit d ' in tensi t6 constante ,

- - pour une source r a y o n n a n t une onde sph6rique, que celle-ci a i t une ampl i tude proport iounelle 1/cos~ (0/2).

Outre que de telles sources sent irr6alisables, leur emploi serait impossible dans une an t enne de t616- communica t ions spatiales en raison de l '6nergie de d6bordement qu'elles p rovoquera ien t au tour du pet i t miroir.

Le principe de l 'op t imal i sa t ion est de r6aliser deux surfaces qui sen t s6par6ment as t igmatiques ;

- - l ' o n d e rayonn6e par la source donne, apr6s

r6flexion sur le pe t i t miroir , une onde ast igmatique, eompor t an t en ehaque poin t deux locales ;

- - une onde plane t o m b a n t en sens inverse sur le grand miroir donne apr~s r6flexion une onde qui est,

de m6me, as t igmat ique ;

- - pour deux points eonjugu6s des deux miroirs, les foeales d6flnies par ehaeune de ees deux r6flexions se t rouven t aux m6mes points sur le r ayon intermd- diaire, de telle sorte que l'ensemble des deux rdflexions successives constilue un systdme stigmatique ;

C. CARDOT [ANNALES DES TELECOMMUNICATIONS

- - l ' emplacement des focalcs interm6diaires et leur espaeement 6 tan t variables avee le po in t consid6r6, le coefficient de t ransmiss ion le long de chaque rayon

est, lui aussi, var iable avee le r ayon consid6r6, de telle sorte qu ' i l est possible, h par t i r d ' une source a y a n t un d iagramme d ' i l lumina t ion quelconque, d 'ob ten i r une i l luminat ion uniforme du plan de sortie d o n n a n t le r endemen t uni t6 dans la formule (2.1.2).

I1 faut noter cependan t que ce r6sul ta t n ' es t acces- sible que pour une source a y a n t un d iagramme de r a y o n n e m e n t qui soit de r6volution. Dans le cas contraire, qui est le cas g6n6ral en pra t ique (en raison du caraet~re veetoriel du r a y o n n e m e n t de la source),

unc certaine var ia t ion subsistera, proport ionnel le h la diff6renee entre le d iagramme r6el et le d iagramme

moyen de r6volution pour lequel l ' a n t e n n e sera adapt6e. La n6eessit6 de pouvoir util iser l ' a n t e n n e en polari- sation eirculaire ne permet pas d 'envisager de rfiduire ce r6sidu d 'erreur.

2.3. R6solution aciuelle du problSme.

Le probl6me que nous venons de poser a 6 t 6 r6solu par plusieurs auteurs , parmi lesquels Claydon [2].

Les solutions consis tent ~ 6crire les qua t re 6quat ions du syst6me sous forme diff6rentielle, et ~ int6grer pas h pas le syst~me ob tenu au moyen d ' u n programme

appropri6. La fonction d ' i l lumina t ion est in t rodui te au d6but du calcul, par le catalogue de ses valeurs, avcc u n pas suffisamment serr6 pour garant i r la pr6- cision du r6sultat.

La m6thode que nous allons exposer ici permet d ' abou t i r au m~me r6sul ta t par voie analyt ique, la fonct ion d ' i l lumina t ion 6 tant repr6sent6e par une

approx imat ion polynomiale . Cette m6thode est valable dans le eas, reneontr6 en prat ique, off l ' iuel inaison maximale des rayons p a r t a n t de la source pour se r6fl6ehir sur le pet i t r6fleeteur demeure assez faible pour que ee premier faiseeau inc ident soit dans les

condit ions de l ' approx imat ion de Gauss, m6me si les faiseeaux r6fldehis qui su ivent sent , eux, h grande ouverture .

Compar~e aux m6thodes ant6rieures, la pr6sente m6thode comporte les avantages et les inconv6nients su ivants :

1. le nombre de donn6es h introduire en ddbut de calcul est tr~s faible (coefficients d ' u n polyn6me, au lieu d ' un catalogue de valeurs) ;

2. aucun probl~me d ' in te rpo la t ion ni de lissage ne

se pose ;

3. les donn6es d e sortie (trac6 des m~ridiennes)

peuven t 6tre obtenues avee tou te la pr6eision du eal- eula teur et avee un pas aussi serr6 qu ' i l est n6eessaire,

sans reprise de programme. Des programmes d'it6- ra t ion simples pe rme t t en t de sortir les valeurs eorres- p e n d a n t h u n pas cons tan t sur une queleonque des variables de sor t i e ;

4. les d6riv6es exactes des fonct ions trouv6es sen t

38 - -

t. 26, n ~ 1-2, 1971]

disponibles en m6me t emps que les fonct ions elles- m6mes ;

5. t o u s l e s 616ments de la g6omdtrie du syst6me sont e x a c t e m e n t calculables h p a r t i r de qua t r e para - m6tres de d6par t , h savoi r :

- - diambt re des deux rdflecteurs,

- - focale de la pa rabo le de mei l leure a p p r o x i m a t i o n du g rand miro i r (ou r a p p o r t t /D, ou fl~che du grand miroir) ,

- - angle du faisceau conique 6mis pa r la source et in terceptd pa r le p e t i t r6flecteur (dans le cas d 'une source 6 m e t t a n t des ondes sph6riques) ;

6. pa r contre , la m6thode compor te deux causes d ' e r reur (et deux seulement) :

- - 6 c a r t en t re la fonct ion d ' i l l umina t ion exp6ri- m e n t a l e m e n t relev6e et l ' a p p r o x i m a t i o n po lynomia le ;

- - e r r e u r r6su l tan t de r a p p r o x i m a t i o n de Gauss sur le faisceau d 'entr6e.

Nous mon t rons ci-apr~s que ces deux erreurs peu- ven t fac i lement 6tre rendues assez faibles pour n ' avo i r aucune influence s ignif icat ive sur les per formances de l ' adr ien optimalis6.

O P T I M A L I S A T I O N A N A L Y T I Q U E D E S ANTENNES C A S S E G R A I N

X

3 /13

(30

, . Y

Fxo. 2. - - Gdomdtr ie du sys t~me de deux r6f lecteurs para- bolique et hyperbolique.

E l l e s i n d i q u e n t l a d 6 f i n i t i o n d e s p a r a m ~ t r e s e m -

p l o y 6 s .

3. N O T A T I O N S

Nous d6signerons pa r parabolique une m6ridienne a s t i gma t ique voisine d 'une pa rabo le et, de m6me, pa r hyperbolique une m6ridienne a s t igma t ique voisine d ' une hype rbo le (en earaetbres romains , ces mots conserveron t leur sens usuel).

Les figures 1 et 2 d6finissent la g6om6trie du syst~me darts le eas de deux r6fleeteurs paraboliques et dans le eas d 'une combina ison parabole-hyperbole respec-

t i vemen t .

m __~- 0o

': \

1 \

o -- L / 2 �9 0' F

FIo. 1. - - G6om6trie du syst~me de deux r6fleeteurs para- boliques.

Le grand r6flecteur est d6fini pa r les va leurs de X e t de Y, coordonn6es du po in t M dans un sys t~me d ' axes a y a n t son origine au sommet O du grand miroir . L ' a x e O Y coincide avec l ' axe de r6volu t ion des r6flecteurs.

Darts le cas de la figure 1, le pe t i t r6flecteur est d6fini pa r les coordonn6es cart6siennes x 1, Yl du p o i n t P dans un syst~me d ' a x e parall~les aux pr6c6dents , a y a n t pour origine le sommet O' du pe t i t r6flecteur.

Dans lc cas de la figure 2, le p e t i t r6flecteur est d6fini pa r ses coordonn6es polaires , r et 0 avec, pour origine, le centre de phase (I) de la source. On en d6dui t i n s t a n t a n 6 m e n t l ' 6qua t ion de la m6rid ienne en coor- donn6es cart~siennes, dans le meme sys t~me que prdcddemment .

Le pr incipe m~me de la m6thode utilis6e, te l le qu 'el le est expos6e au p a r a g r a p h e qui suit , en t ra ine que lcs deux cas cor respondan ts aux figures 1 et 2 sont a consid6rer s imul tandment .

%. PRINCIPE DU CALCUL POUR UNE SOURCE

RAYONNANT UNE ONDE SPHI~.RIQUE

A pa r t i r de la loi d ' i l lumina t ion en puissance, W(0) donn6e, on d6termine un couple de r6fleeteurs para- boliques, opt imal is6s pour une onde plane dont la loi d'illumination serait, en ]onction de la distance ?t l'axe (xl) la m$me que la loi W(0) et don t les d iam~tres sera ient eeux qui sont imposds pour les deux rfflee- teurs . Ces deux r6flecteurs sont obtenus pa ram6t r i -

- - 3 9 - -

4/13

quemen t en fonct ion de x 1 , h pa r t i r d ' une approx i - ma t ion po lynomia le de W(Xl).

Darts le cas d 'une source r a y o n n a n t une onde plane , la d6 te rmina t iou de l ' an t enne est termin6e. Dans le cas d 'une source r a y o n n a n t une onde sph6rique, on con- serve du calcul pr6c6dent la d6finit ion pa ram6t r ique du grand r6flecteur, et l 'on d6termine alors le r6flecteur hyperbolique conjugu6 du grand r6flecteur obtenu, pour une posi t ion donn6e du centre de phase (I) de la source, c 'es t -h-dire r6a l i sant le s t igmat i sme en (I) du faisceau a s t igma t ique p r o d u i t pa r la rdflexion d 'une ondc plane sur le grand miroir .

Une fois d6termin6e l ' a p p r o x i m a t i o n po lynomia le de W(xl) on commence, en fair , a v a n t de poursu ivre le calcul, pa r d6 te rminer les 616ments de la g6om6trie du syst6me. Les pa ram6t re s impos6s sont ordinaire- men t :

X m = rayon radiodlectrique du grand r6flecteur (6gal au rayon phys ique diminu6 de la la rgeur de l ' anneau de garde),

Ym = fl6che du grand r6flecteur, que l 'on d6dui t s implement de la d i s tance focale de la pa rabo le de meil leure a p p r o x i m a t i o n du grand r6flecteur (cf. formule (5.3.12)),

x m = rayon du p e t i t r6flecteur,

0m = demi-angle au s o m m e t du c fne d6fini p a r le centre de phase (I) de la source et le bord ext r6me du p e t i t r6flecteur.

A pa r t i r de ces pa ram6t res , on calcule les pa ram6t res n~cessaires au calcul ou h la cons t ruc t ion de l ' an tenne , h savoir :

les param~tres intermddiaires n~cessaires au calcul,

k2 = F]/ : r a p p o r t des d is tances locales, pour les r ayons een t raux , des deux miro i rs paraboliques (6gales fi la moit i6 du r a y o n des spheres surosculatr ices aux centres des miroirs) ,

L = double de la d i s tance des sommets de ces mi- roirs ;

les param~tres ndcessaires ~ la construction de l' antenne,

l = 0~),

L' = 2 • OO', OO' 6 tan t ici la d i s tance des sommets des miroirs d6finit ifs (parabolique et hyperbolique).

Le calcul sera donc organis6 en t rois ~tapes :

1. d~fini t ion de l ' a p p r o x i m a t i o n po lynomia le ,

2. d6finit ion des pa ram~t res ,

3. calcul des m6ridiennes.

Les dquations utilis~es sont , dans chaque cas, au nombre de qua t r e 6quat ions ind6pendantes :

- - une 6quat ion e x p r i m a n t l'unilormit~ de l'~clai- rement du p lan de sortie,

- - deux 6quat ions e x p r i m a n t les lois de Descartes lors des r6flexions en M et en P,

- - u n e 6quat ion e x p r i m a n t le stigmatisme du

C. C A B D O T [ANNALES DES TELI~COMMUNIC&TIONS

syst~me, c 'es t -~-dire la cons tance du chemin op t ique pour tous les syst~mes de r ayons conjugu~s.

5. D I ~ T E B M I N A T I O N D U C O U P L E D E P ~ F L E ~ T E U R S

5 . 1 , C o u p l e de r 6 f l e c t e u r s paraboliques.

Les ~quat ions du syst~me sont :

(5.1.1) X d X = klW(Xl) x 1 d x l ,

(uniformit~ d '~c la i rement du p lan de sortie), k t e s t une cons tan te de normal i sa t ion ,

d Y (5.1.2) d X -- t g ~ , (loi de Descar tes en M) (*),

dgl (5.1.3) dx I t g a , (loi de Descar tes en P),

X - - x 1 - - L[2 (condi t ion de stig- (5.1.4) Yl- - Y + sin2~ mat i sme)

(Pp + P M - Mm = L---- cons tan te , figure 1).

La condi t ion (5.1.4) a d m e t la forme 6quivalente su ivante , ob tenue pa r une au t re 6valua t ion de la longueur PM :

L]2 + Yl - - Y (5.1.5) Yl - - Y d_ = L]2

' cos 2~x

I1 n 'ex is te que deux 6quat ions ind~pendantes pa rmi les t rois ~quations (5.1.3), (5.1.4) e t (5.1.5), car le passage de (5.1.4) h (5.1.5) fa i t i n t e rven i r la loi de Descar tes en P. Nous pouvons donc remplace r (5.1.4) pa r (5.1.5) e t r6soudre le syst~me p a r r a p p o r t h Xl, Yl, compte t enu de (5.1.3), sous la forme :

d Y x l = X - - L d--X'

L ( d Y ~ 2 ~]1 = Y - - -2-- \ ~ l i / '

que l ' 6qua t ion (5.1.3) nous p e r m e t de remplace r pa r le sys tbme 6quiva lent :

dYl (5.1.6) X = X 1 -~ L dx---~-'

L (/ dy 1 (5.1.7) r = v, + y \ - ~ / " .

L'ensemble des t rois ~quat ions (5.1.1), (5.1.6) et (5.1.7) d6 te rmine X, Y e t Yz en fonct ion de x t (gt n ' e s t qu 'un in term6dia i re de calcul, qu ' i l n ' y a pas lieu de calculer, sau l s ' i l s ' ag i t d ' une source r a y o n n a n t nne onde plane , auquel cas le calcul se te rmine h c e

stade).

Relalion entre X el x I - choix du polyndme de base ~(x).

Pour int6grer l ' 6qua t ion (5.1.1), nous d6terminerons un po lyn6me ~b(xl) r6a l i sant la mei l leure approx i - ma t ion de la va leur normalis6e de X[x~, c 'es t -h-dire que l 'on aura , k 2 6 tan t une cons tan te de normal i sa t ion :

x = k~Xl ~b(x0,

d dX = h- 2 ~ [x 1 ~b(xl)] dx 1 ,

* Snells's law pour les auteurs anglo-saxons : sin i ---- sin r.

- - 4 0 - -

t. 26, n ~ 1-2, 1 9 7 1 ] OPTIMALISATION ANALYTIQUE

avec $(0) = 1, d 'o~, si W(Xl) est elle-m~me norma- lisde (W (0) = 1) :

d *~V(Xl) : ~9(.rl) ~ [Xl + (21 ) ] ,

o u e n c o r e :

~2 ( 5 . 1 . 8 ) ~ (Xl ) - - / X I x Xu (Ix.

X 1 ' o

Le po lyn6me ~ d tan t un po lynSme pair , on calcu- lera sa meil leure a p p r o x i m a t i o n de degr~ 2 n h pa r t i r de n + 1 va leurs de la fonct ion f lguran t au second membre de (5.1.8). Ces va leurs cor responden t h des accroissements dgaux de Xl ~ et la d~ te rmina t ion des coefficients de ~b(x) s 'op~re au moyen de la mdthode ddrivde des po lyn6mes de Lagrange , telle qu 'el le est exposde h l ' annexe 1.

Le po lyn6me ~(x) d tan t ddtermind, on calculera la fonct ion :

d (5.J.9) W(x) = ~(x) -~x Ix ~(x)] ,

et l 'on v~rifiera que cet te fonet ion reprodui t , avec une a p p r o x i m a t i o n sa t i s fa isante (c 'es t -h-dire n~gli- geable d e v a n t l ' impr~cis ion des mesures) la fonct ion exp~r imenta le W(0) r ep rdsen tan t la loi d ' i l l umina t ion en pnissance de la source. On passe de W(0) h W(x 0 pa r le changemen t d'~chelle :

01 X 1

Om Xm

les va lcurs de 0m et de x m ( rayon du pe t i t r~flecteur) d tan t imposdes.

La v~rification ci-dessus est indispensable car, pour cer ta ines formes de la loi d ' i l l umina t ion \V(01), il peu t a r r ive r qu 'une a p p r o x i m a t i o n po lynomia le excel lente de la fonct ion ~(x), au sens des moiudres carrds, compor t e une erreur p roh ib i t ive sur la ddriv~e de cet te fonct ion et, pa r consdquent , sur la fonet ion d ' i l lumina t ion W pour laquel le l ' an t enne se t r o u v e r a adapt~e. Le cas dchdant, en t r a v a i l l a n t en mode conver- sa t ionnel avec un calcula teur , on re touchera les coefficients de ~?(x) jusqu 'h ob ten i r une fonct ion W(x) sa t i s fa i san te pa r la formule (5.1.9).

Le degrd 2 n du po lyn6me pai r $ est d i r ec t emen t lid au p r ix du calcul et au degrd d ' a p p r o x i m a t i o n ob tenu en consequence.

Pour des fonct ions d ' i l l umina t ion usue l lement rencontrdes , un po lyn6me ~ du 10 e degr~ (6 coeffi- cients) p e r m e t d ' ob t en i r une a p p r o x i m a t i o n meil leure que 0,5 dB sur t ou t e l ' an tenne , h l ' excep t ion des v ing t derniers cent im~tres du r a y o n radiodlect r ique, off elle p e u t a t t e ind re 2 dB (cn ra ison de la faiblesse de l ' i l l umina t ion darts ce t te zone).

L ' a p p r o x i m a t i o n que nous venons d ' i nd ique r ddfini t l ' e r reur consid~r~e ci-dessus au w 2.3.6 : elle est n~gli- geable d e v a n t les erreurs de d~ te rmina t ion de la fonct ion W(0) (obtenue p a r in tegra t ion des mesures effectudes dans le p lan E et le p l an H de la sonrce).

Pou r rddui re l ' e r reur sur les bords , U y a a v a n t a g e h disposer de la fonet ion W(0) j u squ 'h une va leur sup~rieure d ' env i ron 10 %, ~ 0m, de mani~re h ce

DES .kNTENNES CASSEGRAIN 5/12 que le bord de l ' an t enne se t rouve h l ' in t~r ieur de l ' in te rva l le d ' a j u s t e m e n t du po lynSme et non h sa l imite.

Nous donnons au chap i t re su ivan t un exemple de d~termina t ion de ~(x) h pa r t i r d 'une fonct ion d ' i l lu- ruinat ion rdelle, avec indica t ion de l ' a p p r o x i m a t i o n rdalisde sur ~(x) et sur W(x).

5 .2 . C a l c u l de l a m 6 r i d i e n n e d u g r a n d r6flec- teur.

~?(x) d tan t connu, le grand rdflecteur est ddtermin~ par les dquat ions su ivantes :

(5.2.1) X - k2x I ~(Xl) ,

(5.2.2) y , dy 1 X - - x l dx 1 L '

1 Z xl [k 2 ~ (x ) - - 1] x (5.2.3) g l - L dx

L (/ dy I \/2 (5.2.4) Y = y~ + ~ - , \ - ~ x l / .

L'dqua t iou (5.2.3) p e r m e t d ' ob t en i r gl sous forme de po lyn6me et l ' dqua t ion (5.2.4) donne alors Y.

L 'ensemble des t rois valeurs X, Y, Y' d~finit un dldlnent de con tac t de la mdridienne du grand rdflec- teur et servira ensui te au calcul de l 'd ldment de con tac t conjugu~ du p e t i t rdflecteur hgperbolique. Pour le cas par t icu l ie r d 'une source r a y o n n a n t une onde plane , on obt ien t , h ce s tade , les valeurs de x 1 , Yl, Y' = Y ' l , qui ddfinissent l 'd ldment de con tac t conjngud du p e t i t rdflecteur parabolique et le calcul est terminal.

5.2.1. D~termination des param~tres.

Le calcul des formules (5.2.1) h (5.2.4) n~cessite la connaissance des param~tres in term~diai res k 2 et L.

Ces pa ram~t res sont calculds en fonct ion des va leurs impos~es de :

Xm = r ayon du p e t i t r~flecteur,

Xm = r ayon radio~lect r ique du grand r~flecteur,

Ym = fl~che du grand rdflecteur.

Ym est lu i -mdme g~ndralement d~fini pa r la donnde de la d is tance focale F i de la pa rabo le de mei l leure a p p r o x i m a t i o n souhait~e pour le grand r6flecteur.

Pour des lois d ' i l l umina t ion fo r t ement d6croissantes vers les bords , telles qu 'on en uti l ise pour r6aliser les an tennes froides, l 'cxp~rience mon t re que la mdri- dienne opt imalis~e s '~carte de =t= 25 m m environ de pa r t et d ' a u t r e de sa parabo le de mei l leure approx i - mat ion , ponr des rayons d ' an t ennes voisins de 12,50 m, l ' dcar t d t an t posi t i f pros du centre et ndgat if vers le bord.

On ob t i end ra donc Ym h par t i r de la d is tance focale F i imposde pour la pa rabo le de mei l leure approx i - ma t ion (et co r re spondan t h la va leur prescr i te de f /D) et p renan t , en m~tres :

x~ (5.2.5) Ym -- 0,025 ,

4 F~

(dans le cas d 'une an tenne de 25 m de d iamdtre) ,

41

6 /12 c. CARDOT

cette valeur 6rant celle qui correspondra au moindre d~ba t t emen t des v6rins de pos i t ionnement des pan- neaux r6fiecteurs, h par t i r de la parabole de r6f6rence impos6e).

Ces trois param~trcs 6 tant connus, on calculera :

d~(Xm)---- d~m,

et ~P(Xm) -- OPm, �9 6tant le polyn6me :

/o x r = ~(u) u du ,

(le premier terme de q> est x~/2 puisque ~(0) = 1).

La quanlil~ ~ m a pour dimension : m~lre carr&

On a, d~s lors, en repor tan t dans los ~quations (5.2.1) h (5.2.4) pr~e6dentes, les valeurs relatives au bord de l ' an t enne :

X m (5.2.6) X m = k~ X m ~ m , d ' o h : /% = Xm ~m '

k~ 6tant connu, on a :

( dYl~ : kxm +m - - Xm d x 1 / m L :

~ X m L ( dy~ ~ ~ k Xm ~ Y~ : ~ . du~ + - 5 - \ ~ / ~ - Z - r - - f f ~ +

L ( k ~ - - l ) ~ x ~ ~ 2 L ~

D'ofl :

I,'r m + (.rm~/2) (kt~m - - 2) kqlm (5.2.7) L =

Ym

5.2.2. D~termination de la m~ridienne de Pan- neau de garde .

Les donn~es fournies par le present calcul, effeetu6 sur les bases de l 'opt ique g6om6trique, ne ddfinissent pas le profil h donner h l 'anneau de garde, c'est-h-dire

la couronne annula i re comprise entre le diam~tre

radio~lectrique et le diam~tre physique du grand r~flecteur existant , couronne qui a pour rSle de dimi- nuer l '6nergie de d6bordement au tour du grand r~fiecteur du fait de la diffraction. Selon l 'opt ique g6om6trique, cet anneau n 'es t pas ~elair6 et son profil est indifferent.

Compte term des donn~es de l 'exp4rience, et no tam- m e n t des mesures effectu6es sur maquet tes en ondes mill im~triques, it appara i t que la meilleure solution consiste h prolonger par la parabole t angen te la m~ridienne optimalis6e du grand r6flecteur h par t i r du po in t off il n ' y a plus de rayon conjugu6 fourni par l 'opt ique g~om6trique.

Cette solution est preferable h u n prolongement ana ly t ique des polynSmes utilis6s, en raison du fai t

que ceux-ci peuven t pr6senter des irr6gularit6s tr~s

rap idement eroissantes en dehors de leur interval le

d ' a ju s t emen t ou pros des fronti~res de celui-ei.

5.3. Calcul de la m6ridienne du petit r6flec- teur (Fig. 3).

Le grand r6flecteur 6 tan t connu pat" X , Y et Y' en ehaque point , nous pouvons en d6duire, par la

X

[ANNAI.ES DES TIgLI~EOMMUNICATIONS

1 , J i n i _ co

M (X, Y)

~ - - - k ' / 2 - - ~

\ Fro. 3 . - D6termination de la m6ridienne du r6fleeteur

h!Iperbolique.

condit ion de constance du chemin optique, le pe t i t r~flecteur conjugu6 eor respondant /~ un emplacement arbi t ra i re ([) du centre de phase et i~ une valeur arbl- traire du chemin optique constant .

Ces deux param~tres arbi traires seront d6termin~s par los condit ions :

- - le rayon conjugu6 de X m est x m (rayon impos~ du pet i t r6flecteur) ;

- - l 'angle 0m a une va leur impos~e (qui r6sulte des propri~t~s radio61eetriques de la source, et qui est fix6e pour conserver une valeur acceptable h l '~nergie de d~bordement au tour du pe t i t miroir).

D~lermination de l e t L ' .

La figure 3 nous permet d'~crire les relations sui- vantes si l 'on suppose que P e t M sont les points extremes des deux m6ridiennes conjugu~es :

(I)p ~ (I)n + n p ,

o u :

X m

(5.3.1) tg0m -- Ym - - l +

avec : am = are tg y t m .

On a done : Xm - - Xm

(5.3.2) l = Y m + tg 2 ~m

X m - - x m

tg 2 ~m '

Xf/~

tg 0m "

La condi t ion de constance du chemin opt ique est :

(I)P + PM q Mm = L ' - - l = ffPO' + 0 ' 0 ,

et elle donne, pour les points extr6mes des m6ridiennes :

xm X m - - x m (5.3.3) L ' = l - - Y m + ~ +

sin 0m sin 2 ~m

Les 6quat ions (5.3.2) et (5.3.3) ddfinissent l et L '

et p e r m e t t e n t le calcul de la m~ridienne du pet i t

r6flecteur.

Nous op~rerons ce ealeul en d~ te rminan t le para-

m~tre interm~diaire const i tu6 par l 'angle ~ = (I)PM, qui permet de ealculer r ap idemen t r = (I)P et 0, c 'est-h-dire les eoordonn6es polaires de P avec (I)

- - 42

t . 26 , n ~ 1-2 , 1971]

pour origine, dont on d6dui t les coordonn6es eart6- siennes de l'616ment de contac t du pet i t miroir en P, dans un syst~me d 'axes a y a n t O' pour origine, soit : x, y, y ' .

On sortira du calcul, en outre, la valeur de 0 qui pe rmet t r a d '6valuer l 'e r reur commisc du fair de l ' approximat ion de Gauss (cf. 2.3.7), par le d6faut

de lin6arit6 de la correspo~dance entre x l , ou 01 et 0. La figure 3 donne :

O n = Y - - I ,

n M = X ,

&off, en p ro je tan t sur la direction perpendiculaire h P M :

Of = (Y - - l) sin 2 ~ + X cos 2 ~ ,

O P T I M A L I S A T I O N A N A L Y T I Q U E D E S A N T E N N E S C A S S E G R A I N 7/12

Les formules (5.3.4) h (5.3.9) pe rmc t t en t le calcul coinplet de la m6ridienne du pet i t r6flecteur.

6. E X I ~ , C U T I O N P B A T I Q U E D E S C A L C U L S I N F L U E N C E D E S E R R E U R S

Le tableau I r6sume l 'ex6cution pra t ique des calculs correspondants ~ une an t enne parabole-hgperbole, de diam6tre radio~lectrique 25 m, associ6e h une source d ' i l lumina t ion pour laquelle le demi-angle au sommet du faisceau conique i l luminan t l e pet i t r6flecteur est limit6 fi Om= 11 ~ et le rayon du pet i t miroir est fix6

1,60 m.

: : 2

O~ ~ ] dB

O I 0

1 I 0,2 - - n

2 I 0,7 - - n

3 I 2,5

~ , 5,2 3,810,358 5,7 6,410,249

6 1 6,4 8,8 0,179 ~ [

" ' 7 ,5-11~4 -0 ,~22

-8-i 9,6 1 ~ - . 9 / 0 , 0 ~ - 91 11,8 14,3 0,051

15,2 111 16,7 19 0.017 1~2-i 16,9 - - 2 ~ 2 - - 1 0 ~ -

Tableau [

3 4 5 6 7

. 7 dB W M ~P Wp I WM " R

~ 0,940 - - 0,07 0,933 0,762

0:552 0,401 i § 0,48 0,38 0,264 t -~ 0,26- 0,252

0,178 ] - - 0,02 0,173 0,124 I ~ 0,05 0,121-

o,o82 i + o, 7 o,os- %,047 - - 0,39 0,047 0 , 0 ~ - - - 0,23 _ 0,025-

0.023 I + 1,3 0,023 0.0131 0

8 i 9 1 1 0 / 1 1 12_ 13 14 15 lOlogxo lOlogxo-] " ~ - - - - - - d,. / d J~ i~P-~- lOl~

WR/W p WRIWMI ~ ! xl "vm Tr • 10 W R

~ ~ ~ o - ~ - - ~ - - o o - ~ 1 - ~ -~,6-6- 0,145- ~ , ~ 0~,985-~ - '3 0,5-

0,291 _21 0,65 ~ 1 ~0~39,39 ~ - 0,436 _ 0~,~._1904 0,878 - - 26._ 2,6

~ , ~ 8 ~ 0,582 0 , 8 1 5 0,804 - - 11 4,2 ~ - + O , O 5 ! ~ 0,727 0 , ~ ~ [ - - - 1 6 - -

~0 ,~55 / 0 , 7 ~ 0,873 0,66 0,659 I - - 1 7,5 ~ o ~ V - I ~ O ~ ~ , 3 C 1,018 ~ ~ . 5 ~ ~ %,14-

~r -O,~51 /1~- ]~ ,164 ~ ~ ~ l 11~02-

~ 3 9 ~ ~ ~ --0,4999- --- O- 12,9--

0 + 1 , 3 i 12,5 I 1 , ~ ~ o ~ ~ / 1 7 ~

ct, de m6me, en p ro je tan t sur PM :

Mf -- X sin 2 ~ - - (Y - - l) cos 2 ~ .

La condit ion de constance du chemin optique s'6crit :

L ' - - l = (I)P + P M - - M m = (I)P + Pf + f M - - M m ,

et le triangle rectangle (I)Pf donne :

(I)f sin ~ -- tg ~ qbP + Pf -- 1 ~ cos ~ - 2 - "

On tire de ces trois 6quations :

tg ~ (I)t' - ~ - = L ' - - l + Mm - - Mf '

0 U :

(5.3.4)

(5.3.5) ou r =

(5.3.6)

(5.3.7)

(5.3.8)

(5.3.9)

(Y - - /)sin2:r + X c o s 2:r = 2 arc tg L ' + ( Y - - I) (1 + cos 2~) - - X sin 2~ '

Of r - -

sin ~ '

( Y - - l ) sin 2 o ~ + X c o s 2o~ sin ~

0 = ~ - - 2 ~ ,

x = r sin 0 ,

g = r cos 0 + l - - L ' [ 2 ,

g x ' = t g ( : ( - 0 /2 ) .

Les colonnes 2 et 3 sont les mesures effectu6es en laboratoire, d o n n a n t le champ fourni par la source, exprim6 ell d6cibels au-dessous de la valeur corres-

p o n d a n t h l 'axe, dans chacun des plans E et H, pour chaque valeur de 01 f igurant en colonnc 1.

Pour obtenir ~ par t i r de ces chiffrcs la valour de la

puissance moyenne en fonction de 01, on a suppos6, ce que l 'exp6rience confirme en premiere approxi-

mat ion , que l ' in tensi t6 de champ varie de fa~on sinu- so,dale entre les valeurs correspondant au plan E et au p lan H.

Ceci conduit , a y a n t calcul6 pour chaque valeur de 01 les puissances WE et WH mesur6es dans les plans E et H, h prendre pour puissance moyenne corres- p o n d a n t h l 'angle consider6 :

3 1 ~/WE WH WM = -~-(WE ~- WH)-; ~

Ces valeurs sont indiqu6es en colonne 4.

Par appl ica t ion de la formule (5.1.8), on en tirc

par in t6grat ion les valeurs de la fonction normalis6e ~M(X 0 qui f igurent ~ la colonne 12, les valeurs cor- respondantes de x 1 f igurant en colonne 11 (x 1 est

propor t ionnel h 01, de telle sorte que 0m = 11 ~ cor- responde h x I = 1,6 m, diam~tre impos6 du pet i t miroir).

43 - -

8/~2 L ' in t e rva l l e d ' a j u s t e m e n t des po lyn6mes est pr is

de 0 1 = 0 o ~ 0 1 ~ 12 o ( x = 1,745). Consid~rant ~(x~) comme un po lyn6me en x~ et

che rchan t une a p p r o x i m a t i o n du 10" degr~ en x~, on d~termine pa r in te rpo la t ion cubique entre les valeurs de la colonne 12 les valeurs de ~M(Xl) corres- p o n d a n t aux six va leurs :

x = 0, 0,781, 1,104, 1,352, 1,56, 1 ,745,

don t les carr~s sont en progress ion ar i thm~t ique . Ces six va leurs t r a d u i s e n t scules le r~sul ta t des mesures num~riques effectu~es sur la source d ' i l lumina t ion . On les i n t rodu i t dans la formulc co r re spondan t h n = 5 dans le p a r a g r a p h e 2.1, annexe 1, ce qui fourn i t le po lyn6me :

§ 0,5278 ~ 0,2411 x~ ~ ( x ) = 1 - - 0,7336 x I x~ - -

s __ 5,655.10-3 x~O + ~,824.10 -~ x 1

don t les va leurs sont dans la colonne 13, ainsi que l '~car t en mil l iemes (colonne 14) en t re ~M(Xl) et son a p p r o x i m a t i b n po lynomia l e ~/p(Xl).

La formulb (5.1.9) appl iqu~e fi ce po lyn6me fourn i t la fonct ion ~p(x ) f iguran t en colonne 5. L '~ca r t ent re cet te fonct ibn et la fonct ion expdr imenta le WM repr~sente l'erreur rdsullant de l'approximalion poly- nomiale, qui e s t repor t~e en ddcibels dans la eolonne 6, e t repr~scnt !e sur la figure 4.

0,~ ~\~+0,48d3

Y.

i ''3 B 5 Odegr~s 10 0 ~

FIG. 4. - - Erreur miale trait plein, fonction exp~rimentale WM (0), trait poin-

tillS, approximation polynomiale W~ (x).

r~sultant de l'approximation polyno-

On cons ta te que ce t te e r reur est de signe a l tern6 et qu 'e l le ne d6passe pas 0,5 dB sauf h l ' ex t r~me bord de l ' an t enne off elle a t t e i n t 1,3 dB (en ra ison de la faiblesse de l ' i l l umina t ion dans ce t te zone). L ' a p p r o x i - ma t ion est sa t i s fa i san te et il n ' y a pas lieu, dans ee cas, d 'op6rer un a j u s t e m e n t suppl~menta i re .

Les formules du p a r a g r a p h e 5 p e r m e t t e n t , h p a r t i r de ~p(Xl) e t des pa ram~t re s impos6s, de calculer compl~ temen t l ' an tenne .

Dans ce t ab l eau I, nous avons repor t6 les r6sul ta t s su ivan ts de ce calcul :

C. C A R D O T [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

- - dans la colonne 10, la va leur de X, c 'es t -h-di re le r ayon sur le g rand r~flecteur co r r e spondan t h u n r ayon issu de la source en fa i san t l ' angle 0 avec l ' axe ;

- - dans la colonne 7, la fonct ion W~t qui se d~dui t de Wp en t e n a n t compte de l ' e r reur r~su l tan t de l ' a p p r o x i m a t i o n de Gauss : l ' angle 0 fourni en fin de calcul pa r la formulc 5.3.6 n ' e s t pas e xa c t e me n t ~gal /~ l ' angle 01 de la colonne 1.

II existe une non-l in~ari t~ de 6 % au m a x i m u m dans la cor respondance en t re les deux angles. Pour chaque va leur de 0, l ' a n t e n n e est donc adapt~e ~ la puissance qui cor respond h 0 (et non ~ 01) dans la fonct ion Wp(0). Ces valeurs , ob tcnues pa r in terpo- la t ion, sen t report~es en colonne 7.

L ' e r r eu r en d~cibels en t re WR et Wp repr~sente l'erreur due (1 l'approximalion de Gauss. On voi t qu 'el le cst tou jours n~gat ive et ne d~passe pas 0,25 dB.

Dans la colonne 9 se t r ouve repor t~e l'erreur lolale var iab le en t re - - 0,53 d B e t + 1,23 dB h l ' ex t r~me bord de l ' an tenne . On cons ta te une compensa t ion par t ie l le entre les deux erreurs.

Lc calcul du r e n d e m e n t d ' i l l umina t ion effectu~ sur le p l an d ' ouve r tu r e (compte t enu des rayons f igurant colonne 10) donne, dans ces condi t ions , pa r app l ica t ion de la formule (2.1.1) :

p = 0 ,996, 10 lOgl0P----- - - 0,016 d B .

On vo i t que la pe r t e de gain due h la t echn ique de calcul est tr~s faible ; elle est sens ib lement ~gale celle qui r~sulte, darts le f onc t i onnemen t de l ' an t enne r~elle, du f a i l que le d i a g r a m m e de r a y o n n e m e n t n ' e s t pas de r~volut ion ( - - 0,017 dB dans le cas present , si l ' an t enne ~tai t adap t~e sur WM sans aucune erreur).

De surcroIt , ces deux per tes de gain ne s ' a j o u t e n t nu l lement , mais se compensent partiellemenl dans une large mesure. En effet, la puissance W~ pour laquel le l ' an t enne se t rouve r6el lement adapt~e se t rouve pres- que tou jours comprise entre les va leurs co r re spondan t h la puissance dans le p lan E et h la puissance dans le p lan H : d a n s la colonne 15, on a report~ : - - 10 loglo WR et l ' on cons ta te que, sauf pour les angles 01 = 1 ~ ct 0 = 3 ~ , le chiffre de la colonne 15 est compris en t re ceux des colonnes 2 et 3.

En fai t , le calcul de la pe r t e de gain r6elle de Fan- t enne opt imal is6e selon la pr~sente m~thode, c'est-/~- dire, adapt~e ~ WR, donne - - 0,019 riB, alors que la pe r t e de gain d 'une an t enne p a r f a i t e m e n t adapt6e

WM sera i t - - 0,017 dB.

U ressor t de la compara i son de ces chiffres que, si l 'on effectue une a p p r o x i m a t i o n po lynomia le du 10 �9 degr~ sur ~(xl) , l ' inf luence p ropre des deux causes d ' e r reu r inh6rentes h la pr6sente m6thode de calcul se r6dui t h 0,002 dB, c 'es t -h-di re une va leur n6gligeable dans le brian du G/T de l ' an tenne .

Execution pratique des calculs en oue de la fabrication des surfaces rd/ldchissanles.

Les fabr ican t s de surfaces r~fl~chissantes souha i ten t , pour les n~cessit6s de leur usinage, que lcs m~ridicnnes soient d~finies chacune pa r la l is te des va leurs de y

- - 4 4 - -

t. 26, n ~ 1-2, 1971]

ou Y pour des valeurs de x ou de X en progression arilhm~lique, de raison Ax ou AX.

L 'ensemble des ~quations (5.2.1) /t (5.2.4) et (5.3.5)

(5.3.9) qui d~finissent les m~ridiennes en fonct ion du param~tre x] n ' e s t ~v idemment pas susceptible d 'une r6solution inverse par voie ana ly t ique permet- t a n t d ' expr imer y en fonction de x ou Y en fonction de X.

I1 est donc n~cessaire, pour r~soudre le probl~me pra t ique pos~ par l 'usinage, d'effectuer une r~solution par i t6rat ion sur chaque valeur de sortie de x ou de X, h une approx imat ion r fix~e h l 'avance.

Ceci suppose l 'usage d ' u n calculateur p o u v a n t

t rai ter s imu l t an6men t l 'ensemble des ~quations du probl~me, et l '~criture d ' u n programme d ' i t6ra t ion

p e r m e t t a n t de sortir les points correspondant h la s6rie d~sir~e des valeurs de x ou de X.

O P T I M A L I S A T I O N A N A L Y T I Q U E DES A N T E N N E S CASSEGRAIN

Le programme FORTRAN IV que nous donnons, uti l isable sur ordinateur (*) r6sout le plus compliqu6 de ces deux probl~mes, celui du calcul de la surface du pet i t r6flecteur (hyperbolique).

L'organ igramme en est repr6sent6 figure 5. Le

module de pr6cision r est pris 6gal i~ 1 micron, compte tenu de la pr6cision d 'usinage.

La correspondance entre les variables FORTRAN du programme et les variables utilis6es dans I 'Stude pr~c6dente est la suivante :

9/12 Notat ions des variables Variables FORTRAN

Coefficients de k2~?p(xl) A(1) h A(6)

L GDL

L p GLPM

l F E T L

Xm XM

Pas d 'accroissement : Ax M

Module de pr6cision de l'itS- ra t ion : r EPSIL

Rang du poin t calcul6 t, J

Nombre d ' i t6rat ions K

Valeur utilis~e de .v~ x,x2

Valeur pr~c6dente x l

xt 2 XQ

Yl Yl

Y' = d Y / d X YPM

~r (radians) ALPHA

(radians) BETA

0 (radians) TETA

0 (degr6s) TETDEG

.r P E T X , Z( J )

y P E T Y , Y ( J )

r R (*) 360/50 IBM.

Life: A 1 ... A6, L, L', I, Xm, AX,~___]

I I ~ l " J : l ; k : l . ] initialisation

I

~ 2 Ik ARRET (8) X I :0 X 2 =1,65 I

", 5; (E trop faible) = l 5

k ~ 50 -~

Augmenter k I Calculer X, Y, Y', x, y, Oavec x I = X 2 [

j 10

t .I Enregistrer x et y I non

J RemplacerX2Par(X2-X1),/2 ]

non 6

test d'it~ration

test de pr6cision Remplacer X1 par X 2

Remplacer X 2 pal 2~ 2 - X]

.non _ . / X~Xm ~ > test de fin decalcul 7

;_~ Imprimer les 8 r6sultats enregistr6s

Augmenter A.j de 1; k ~ 1 I

FIG. 5. - - Organigramme du programme Fortran 6tabli pour le calcul du r6flecteur Cassegrain avec un pas constant e n x .

- - 4 5

10/12

Programme FORTRAN

C. CARDOT [ANNALES DES rrIs

7. CONCLUSIONS

DIMENSION A(6),Z(600),Y(600)

READ(9,1)A,GDL,GLPM,PETL,XM

1 FORMAT(6E10.0)

CALL FDATA(M,EPSIL)

WRITE(6,4)

4 FORMAT(///,5(5X,tXI,8x,tyI,7x))

x l = 0 .

J : l

2 PETXI= I*M

x2=1.65

K--0

10 x = x 2

K-- 'K+I

IF(K--50)5,6,6

5 xQ= x**2

GDX-- (((((A(6)*XQ +A(5)) *XQ +A(4))*XQ+A(3))* XQ+A(2))*XQ+A(1))*X

y l : (((((A(6)*XQ/12.+A(5)/10.)*XQ-}-A(4)/S.) *

XQ+ A(3)/6.)*XQ+A(2)/4.)l *XQ+A(1)--I.)/(2.)*

1 XQ/GDL

YPM= (GDX--X)/GDL

GDY~ Y1 + GDL*YPM**2/2.

ALPHA= 2.*ATAN(YPM)

BETAs2. *ATAN(((GDY--PETL)*SIN(ALPHA)+ODX *

COS(ALPHA))/GLPM + (GDY--

1 PETL)*(1. + COS(ALPHA))--GDX*SIN(ALPHA)))

R = ((GDY--PETL) *SIN(ALPHA)-I- GDX *COS(ALPHA))/ SIN(BETA)

TETA~ BETA--ALPHA

PETX~ R*SIN(TETA)

PETY= R*COS(TETA)-~- PETL---GLPM/2

TETDEG= TETA .180./3.1415926

IF(ABS(PETX-PETX1)--EPSlL)6,6,12

12 IF(PETXl-PETX)9,6,11

9 X2=(X2+xl ) /2 .

G0 TO 10

11 x 2 = x 2 + x 2 - - x l

x l = ( x l + x 2 ) / 2 .

GO TO 10

6 J = J + l

Z(J)= PETX

Y(J)~PETY

IF(ODX--XM)7,8,8

7 I = I + 1

GO TO 2

8 WHITE(6,3)(Z(K),Y(K),K~ I, J)

3 FORMAT(/5(2F9.5,4X))

STOP

I1 ressort des calculs pr6c6dents et de l 'exemple concret qui a 6t6 trait6, que la m6thode ana ly t ique d 'opt imal isa t ion des an tennes Cassegrain de r6volut ion condui t /~ une facilit6 plus grande dans le dimension- nemen t pr6alable de l ' an tenne , et offre la possibilit6 d'6crire de programmes simples fournissant les grandeurs n6cessaires h l 'usinage des surfaces r6fl6-

chissantes. I1 a 6t6 proc6d6 ~ une comparaison avec la m6thode

d ' in t6gra t ion pas h pas, avec les memes param~tres de d6part : cette comparaison a fourni une concor- dance tr6s satisfaisante entre les m6ridiennes obtenues par les deux proc6d6s.

Les erreurs inh6rentes aux approximat ions effectu6es pour la raise en oeuvre de la m6thode aua ly t ique demeuren t n6gligeables dans le bi lan g6n6ral du gain de l ' an tenne .

Cette dtude a dt~ effeclude darts le cadre du march~

C N E T (~ Per/ectionnement des grandes antennes de

tdldcommunications spatiates }~, dent l'exgcution a ~td

suivie par M. l'Ing~nieur #ngral des t~l~communica-

lions F. Job, assistd par M M . Houssin et Poilevin,

Ing~nieurs en chef des t~l~communications, que l'auteur

esl heureux de remercier ici de leur collaboration

constructive.

ANNEXE 1

D6termination explicite, aelon la m6thode de Lagrange, des polyn6mes de degr6 rt prenant n + 1 valeurs preacrites arbitraires pour n + 1

valeurs 6quidistantes de la variable r6elle

1. La m~thode de Lagrange permet de d6terminer un polyn6me Pn(x) de degr6 n qui p rend n + 1 valeurs prescrites :

Yo ,...Yn pour n + 1 va leur : x o ,...xn de la variable.

Cette m6thode consiste ~ ~crire : i = n

(1) Pn(x) = E p,(x) gi , i=0

chacun des polyn6mes p,(x) 6 tant de degr6 n, va l an t 1 pour x = x, et z6ro pour x = x 1, i # ].

On obt ien t r ap idemen t les Pl sous la forme :

II (x - - xj)

(2) P t (X) - - H (x~ - - xr 1 = O . . . . i - - l , i + l , n , j~ei

cette formule 6rant valable quels que soient les x~. Pour les probl~mes d ' in terpola t ion , les polyn6mes

p,(x) sont laiss6s sous la forme (2) qui se prete bien au calcul. Par contre, p o u r les probl6mes d 'approxi-

ma t ion polynomiale , il est int6ressant , dans le cas part iculier oh les x~ fo rment une progression ari th- m6tique, de disposer de formules explicites d o n n a n t les coefficients de Pn(x) en fonct ion de Yo, . . .Yn.

2. Nous all0ns expliciter ces formules j u s q u ' a u 5 e degr6, dans le cas off x o = 0 (formules lat~rales),

- - 46

t . 26, n ~ 1-2, 1971]

en i n d i q u a n t c o m m e n t pousse r p lus loin le calcul .

P o u r les degr6s pairs , n = 2 e t n = 4, nous donnons ,

en ou t re , les f o rmu le s p o u r le cas off xe = 0 ( fo rmules

cenlr~es).

L e pas d 'accro i s semenl de la variable est pr i s dgal d

l ' u n i t d ; p o u r un pas q u e l e o n q u e , on e f fec tue ra un

c h a n g e m e n t d '6chel le de la va r i ab le sur le p o l y n 6 m e

Pn(x) o b t e n u .

2.1 F o r m u l e s latdrales (Fig. 1.A).

n ~ 1 ,

Y = ( Y ~ - - Yo) x + Yo.

0 1 2 3 n

O P T I M A L I S A T I O N A N A L Y T I Q U E D E S A N T E N N E S C A S S E G R A I N 11/12

Fro. A 1. - - Formules latdrales.

n = 2 ,

y o - - 2 y ~ + Y ~ x ~ + Y = 2

~ X

x + Yo �9 - - 3Yo + 4 y ~ - - y z

n = 3 ,

- - Yo + 3 Yl - - 3 y~, ~- Ya x a _~ Y = 6

6Yo--15yl§ 12y~--3y a 6 x2 + - 1 1 y ~ 2 4 7 1 7 6 x ~ go 6 ' "

n ~ 4 ,

Yo- -4y l+6ye- -4Ya+Ya x4 § Y = 24

- - 1 0 y o § 3 6 y t - - 4 8 y 2 + 2 8 y a - - 6 Y 4 xs + 24

35y o - 1 0 4 y 1 + l 1 4 y ~ - - 5 6 y a + 11 Y4x ~ + 24

- - 5 0 y o § 9 6 Y l - - 7 2 Y 2 + 3 2 y a - - 6 y 4 x + Yo �9 24

n ~ 5 ,

--Yo + 5 Y l - - 1 0 y 2 + 10Ya--5Y4§ x5 § Y ~ 120

15Yo- -70Y1+ 130Y2--120Ya+ 5 5 y 4 - - 1 0 Y 6 xa + 120

- - 85 go + 355 Yl- - 590 Y2 + 490 Ya-- 205 Y4 + 35 Y5 ~ a �9 . §

120

--274Yo + 600Yl - - 600 Ye + 400ya--150Y4 -t- 24y5

120

225 go - - 770 Yl § 1070 Y2-- 780 Ya + 305 Ya--50 Y5 x 2 §

x t- Yo �9 120

n u m 6 r a t e u r de c h a q u e pt(x) p e u t s 'o l ) ten i r en d i v i s a u t

le p o l y n 6 m e de degr~ n + 1 :

x(x - - 1)(x - - 2) ... (x - - n)

pa r (x - - i) e t en n o r m a l i s a n t le r6su l ta t .

E n a d o p t a n t c o m m e nous l ' a v o n s fai t , p o u r d6no-

m i n a t e u r c o m m u n des p o l y n 6 m e s i n t r o d u i t s le p lus

g r and d ' e n t r e eux , soi t : n! les coeff icients des n u m 6 -

r a t e u r s son t des en t ie r s a i j a p p a r a i s s a n t a v e c des s ignes

a l ternds , c ' e s t -h -d i re que si nous posons :

1 ~ ( - - 1 ) n + i + i a i j y i x n - J , i , ] = 0 , 1 . . . . n ,

Y -- n! o o

les a~j c o n s t i t u e n t p o u r c h a q u e n une m a t r i c e d ' e n t i e r s

posi t i fs d ' o r d r e n + 1 d o n t les c inq p remi6res son t :

0

- 1 4 6 4 16]

n = 3 : 11 18 9 n = 4 : 3 5 1 0 4 1 1 4 5 6 1 1 ,

o , 6 0 0 24 0 0 0 ol

1 5 10 10 5 1 :

15 70 130 120 55 10

85 355 590 490 205 35 n : 5 :

225 770 1070 780 305 50

274 600 600 400 150 24

120 0 0 0 0 0

P o u r une v a l e u r q u e l c o n q u e de n, Oll c o n s t r u i t

a i s6men t la m a t r i c e [a/j] d ' o r d r e n + 1 c o r r e s p o n d a n t e

au m o y e n de l ' a l g o r i t h m e su ivan t , qui r6sul te di rec-

t e m e n t de la d6f in i t ion des pi(x) de la f o r m u l e (1).

L a p remi6re l igne se compose des u + 1 coeff ic ients

du b i n 6 m e :

ao j = CJ n

La p remi6re co lonne se compose des va l eu r s abso lues

des n o m b r e s de S t i f l ing de p remi6re esp6ee :

q(n +l - -m) ~J n q-t

[ q (n+ l - i )] a ~ 0 t t ' l Z + l J �9

d6finis dans [3I, pa r 24.1.3 e t t abu l6s en 24.3, p. 833, j u s q u ' h n = 24).

(Ces n o m b r e s ne s o n t a u t r e s que les s o m m e s des

p r o d u i t s m h m des en t ie rs inf6rieurs ou dgaux h n.)

A p a r t i r de la p r e m i e r e l igne e t de la p r e m i e r e co lonne

on d 6 t e r m i n e un coeff ic ient q u e l c o n q u e du t a b l e a u pa r la f o rmu le :

a i i : aoj(ar - - /ai_l ,]) ,

I1 est a insi possible de cons t ru i r e le t a b l e a u des a~j

p o u r n q u e l c o n q u e . U n e v6r i f i ca t ion i m m e d i a t e de

l ' a l g o r i t h m e est que la dern i6re l igne est de la f o rme :

hi, 0, ... 0 (ce qu i e x p r i m e le fa i t que le t e r m e c o n s t a n t

de Pn(x) es t go)-

2.2 E x t e n s i o n de ces / o rmu les pour n quelconque.

I1 r6sul te de la d6f in i t ion des pi(x) p a r la f o r m u l e (2),

dans le cas off les x~ f o r m e n t u n e p rog res s ion a r i th -

m 6 t i q u e : 0, 1, 2, . . .n, que les coeff ic ients qu i f igu ren t

a u x n u m 6 r a t e u r s des fo rmu le s p r6c6den tes p e u v e n t

6tre calcul6s p a r un a l g o r i t h m e de r6eur rence : le

2.3 F o r m u l e s centrdes (Fig. 2.A).

Ces fo rmules n ' e x i s t e n t que p o u r n pair . N o u s les

- - 4 7 - -

12/12

Y-n I y . Y-I Yn YO l " - , Y-2 ~ Y l . , ' ~

l -v" I I / -n - 2 -1 0 1 2 n

FIG. A 2. - - Formules centrdes.

C. CARDOT

y =

[ANNALES DES T]EL~COMMUNICATIONS

Y-z- -4Y-~+ 6Yo ~4y~§ x 4 § 24

- - 2 Y - ~ + 4 Y - ~ - - 4 Y l + 2Y2 x3 + 24

--y_2-F 1 6 y _ t - - 3 0 y o § 16y~--y~ 32 2 § 24

2Y--2--16Yl § 16Y1--2Y2x 24 + Yo �9

Manuscril recu le 26 aottl 1970.

exp l i c i t ons ici sous la m 6 m e fo rme que p r d c d d e m m e n t

p o u r n = 2 e t n = 4.

C o n f o r m d m e n t h l ' u s age , nous op6re rons le change -

m e n t de n o t a t i o n c o n s i s t a n t h fa i re v a r i e r l ' i nd ice de

- - n h v, c ' e s t -h -o i r e que nous pose rons :

x n - n ; ... x o = 0 ; x n ~ n (Fig. 2.A)

n = 2 ,

Yl - - 2 Yo § Yl x2 _~ - - Y-1 + Yl Y = 2 2 x § Yo.

1 l - - 4 ,

B I B L I O G R A P H I E

[1] RuzE (J.). Antenna tolerance theory. A review (Aper~u de la thdorie sur les tol@ances relatives aux antennes). Proc. I.E.E.E., U. S. A. (avril 1966), ,54, n ~ pp, 633- 6~0.

[2] CLAYDOn (B.). A s tudy of the performance of Casse- grain aerials {Etude des performances des antennes Cassegraip). Marconi Re~,iew, G.B. (2 e tr imestre 1967), 30, n ~ 165, pp. 98-115.

[3] ABRAMOWITZ (M.), STEGUN (I. A.). Handbook of mathe- matical functions (Recueil des fonctions mathdma- tiques). Nat. Bur. of Standards, Appl. Math Series, n ~ 55, 1964.

C O M P T E S R E N D U S D E L I V R E S

A la d6couverte de l ' espace- temps

et de la phys ique relativiste *

de E. F. T A Y L O R et J. A. WHEELER

A p r o p o s de la relativitd, nous ferons d 'abord les remarques suivantes : cette doctrine, dminemment clas- sique, couronnement de la mdcanique rationnelle, n 'a rien perdu de son intdr6t ; elle n 'a pas de rivale dans le domaine des grandes dnergies, et la technique des accdl@ateurs de particules ne saurait s'en passer. D'ailleurs, si elle a vu le jour au ddbut de ce si~cle, son dtude est aujourd 'hui beaucoup plus facile qu'autrefois : d6s le commencement de la propddeutique, on expose des thdories trbs grin@ales relatives aux K-modules et aux espaces vectoriels, de sorte que les diff@ents espaces de la relativitd, restreinte ou gdndrale, paraissent tout naturels aux dtudiants. Mais i] importe aussi de faire un examen critique des bases exp@i- mentales de cette thdorie physique, et de montrer la place qu'elle t ient dans la science contemporaine. Tel est l 'obje t de cet ouvrage, off l 'appareil mathdmat ique est rdduit fi quelques ddveloppements tr~s simples, concernant la t ransformation de Lorentz et ses principales applications, ainsi que les fondements de la relativitd grin@ale. On y t rouvera des rdf@ences bibliographiques qui se rappor tent

des v@ifications exp@imentales rdcentes. Les coordonndes d 'espace-temps sont introduites d 'une

mani6re pittoresque, ainsi que le principe d'inertie. Du point de rue philosophique, on reconnaitra que la logique et le sens commun finissent par s 'accorder, lorsque la cri- t ique a fait son oeuvre, et telle sera la prdoccupation domi- nante des auteurs au cours du livre. On insiste sur le sens de l 'observateur et de l 'observation, qui, notons-le, est parfai tement ddterministe. Suivent les ddfinitions de l ' interval le d 'espace-temps, de la ligne d'univers, du cSne isotrope bien connu, puis la t ransformation de Lorentz et un certain hombre de ses applications importantes.

Les notions d'dnergie et de quanti td de mouvement s 'unifient sous le symbolisme d 'un quadrivecteur, ou ten- seur d 'espace-temps du premier ordre, ce qui conduit aux consdquences cdl6bres ddcouvertes par Einstein, telles que la variat ion de la masse en fonction de la vitesse et l ' iner t ie de l'dnergie. Ajoutons que plusieurs applications de l 'effet MSssbauer, ddcouvert en 1958, apportent ~t la relativitd des v@ifications exp@imentales remarquables.

Viennent ensuite des consid@ations sur le principe de relativitd gdndrale, aussi vivantes que les prdcddentes.

Ajoutons que ce livre propose aux lecteurs un certain nombre d'exercices de calcul, qui ont pour but dvident de ddtourner les dtudiants des pi6ges qui entourent la rela- tivitd, surtout darts les ddveloppements apparemment simples du ddbut.

P. POINCELOT.

* Traduit de l'am6ricain par C. Roux. Ed. Dunod, Paris (1970); 1 vol. 15 x 22; vii-311 p. ; 138 fig., 15 tabl., bibl. (nombr. rdf.). - - Prix : 28 F. - - Ouvrage resu en service de presse annonc6 dans le Bulletin signaldlique des ldldcommuni- cations (octobre 1970) sous la cote L 10 644.

48 - -