C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 995–998, 2001Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations

Optique diffractive périodique à phases courbes

Éric DUMAS

Irmar, campus Beaulieu, Université Rennes-1, 35042 Rennes cedex, FranceCourriel : dumas@maths.univ-rennes1.frURL : http://www.maths.univ-rennes1.fr/~dumas

(Reçu le 23 mars 2001, accepté le 2 avril 2001)

Résumé. On donne des approximations BKW à trois échelles pour des solutions de systèmeshyperboliques non linéaires à coefficients variables, et on montre la stabilité de cesdéveloppements asymptotiques. Les profils satisfont des équations de transport le long desrayons à l’échelle la plus lente, et de Schrödinger (à coefficients variables), traduisant ladiffraction transverse, à l’échelle intermédiaire. 2001 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS

Periodic diffractive optics with curved phases

Abstract. We give 3-scales WKB asymptotics for nonlinear hyperbolic systems with variable coeffi-cients. Our profiles are transported, at the slower scale, along the rays of geometric op-tics, and are diffracted, at the intermediate scale, according to some (variable coefficients)Schrödinger equation. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicalesElsevier SAS

1. Introduction

On s’intéresse à un système hyperbolique quasi linéaire,

L(x,u, ∂)u= ∂tu+d∑j=1

Aj(x,u)∂ju= 0, oùx= (t, y) ∈Ω⊂ R1+d. (1)

Hypothèse 1. – Les coefficientsAj(x,u) sont des matriceshermitiennes, C∞ surΩ×R2N . De plus, lesvaleurs propresλk(x, ξ) du linéarisé (en0)

L1(x, ξ) := ξ0 +d∑j=1

ξjAj(x,0)

sont à multiplicitéconstante enx, ξ.

Note présentée par Gilles LEBEAU.

S0764-4442(01)01973-5/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 995

É. Dumas

On cherche des solutions régulières du problème de Cauchy associé à (1)oscillantes, à trois échelles(développement asymptotique dansC∞(Ω)) :

uε ∼ε→0

ε∑n0

εn/2un

(x,ψ(x)√ε,φ(x)ε

). (2)

Lesprofils un(x,ω, θ) sont des fonctionsC∞(Ω×Tp×Tq,CN ), périodiques enω etθ. Lesphases rapidesφ= (φ1, . . . , φq) sont régulières etQ-indépendantes, de même que les phases lentes,ψ = (ψ1, . . . , ψp). Laprésence de plusieurs phases rapides donne la possibilité d’interactions résonantes entre différentes ondes ;les phases intermédiaires régissent ladiffraction de ces ondes, dans plusieurs directions (transverses auxrayons de l’optique géométrique) sip > 1. L’amplitudeε correspond au régime de l’optiquefaiblement nonlinéaire.

Notre but est de démontrer l’existence de la (famille de) solution(s) régulière(s)uε sur un intervallede tempsindépendant de ε (bien que la famille de données initiales explose dansHs), d’en donner unedescription asymptotique (2), et d’obtenir la stabilité de ces résultats par perturbation. On va montrer :

THÉORÈME 1. – Sous les hypothèses 1 et 2, avec Ωt := Ω∩ t t :(i) les parties polarisées des profils (voir paragraphe 2) étant données sur Ω0, on construit des profils un

sur Ωt et uεapp satisfaisant (2), avec L(uεapp, ∂)uεapp ∼ 0 ;(ii) pour tout fε ∼ 0 dans C∞(Ω) et tout t < t, il existe ε0 tel que la solution du problème de

Cauchy L(uε, ∂)uε = fε, uε|t=0(y) ∼ uεapp(0, y) existe sur Ωt, pour ε ε0. De plus, elle admet un

développement asymptotique à tout ordre : uε − uεapp ∼ 0.

Ce type de problématique apparaît par exemple lors de la perturbation de données initiales à deuxéchelles, siuε|t=0

= εhε(y, [φ0(y) +√εψ0(y)]/ε), avechε(x, θ) périodique enθ : on se ramène à (2) par

gε(y,ω, θ) := hε(y, θ+ω).L’Ansatz (2) a été proposé par J.K. Hunter [5] pour l’étude (formelle) de frontières ombre/lumière, avec

d’autres dépendances des profils en la variable intermédiaireω. Cette étude est effectuée rigoureusementdans [2], et généralise les résultats en temps long de [1,7], qui ne concernent que des phases planes(φ= β · x), et donc des systèmes, ou équations, à coefficients constants.

La difficulté réside dans la présence de coefficients variables, qui peuvent faire obstacle à l’intégrabilitédes systèmes déterminant les profils (voir paragraphe 2), ainsi que dans le caractère multiphase. En effet,en dimension d’espaced > 1, Joly, Métivier et Rauch ont montré [6] que pour éviter les phénomènes defocalisation, les phases considérées doivent vérifier une propriété decohérence :

Hypothèse 2. – La sommeΦ + Ψ des espaces vectoriels (réels) engendrés par lesφν et lesψµ, estL1-cohérente : il existee elliptique etp indépendant dex, symboles homogènes tels que

detL1

(d(γ ·ψ+ α · φ)

)= p(γ,α)e(x, γ,α).

2. Développements formels Brillouin–Kramers–Wentzels

Afin de construireuεapp, solution approchée de (1) admettant le développement asymptotique (2), onannule le développement deLuεapp. La cohérence permet une analyse de Fourier mode par mode de chacundes termes : pour chaque profil,

un(x,ω, θ) =∑α∈Zq

uαn(x,ω) eiα·θ =∑

(α,γ)∈Zq×Zp

uα,γn (x) ei(α·θ+γ·ω) .

On est alors confronté à des équations matricielles du typeL1(d(α · φ))uα = fα.

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Optique diffractive périodique à phases courbes

DÉFINITION 1. – Siϕ= (ϕ1, . . . , ϕr)⊂ C∞(Ω) et si∇(β ·ϕ) ne s’annule pas, le projecteur spectralπϕβsurkerL1(d(β ·ϕ)) est régulier enx (hypothèse 1), et on noteCϕx l’ensemble caractéristique

β ∈ Rr 0 | detL1

(d(β ·ϕ)

)= 0

.

On définit le projecteurEϕL1par

EϕL1

(∑uβ eiβ·θ

):=

∑β∈Cϕ

x∪0

πϕβuβ eiβ·θ .

L’analyse fait apparaître l’opérateurπϕβL1(∂x)πϕβ , habituel en optique géométrique, et un opérateur

d’ordre deux, propre au cas diffractif ; ils sont scalaires :

PROPOSITION 1. – (i) Sous l’hypothèse 2, Cφ et Cψ sont indépendants de x ∈ Ω.(ii) Sous l’hypothèse 1, si α ∈ Cφ, ∂t(α · φ) + λ(∂y(α · φ)) = 0 (équation eikonale). Alors,

πφαL1(∂x)πφα =(∂t + ∂ηλ(∂y(α · φ)

)· ∂y)πφα,

transportnoté V φα (∂x)πφα, et on note

Dφα(x, ∂ω) :=12∂2ηλ

(∂y(α · φ)

)· (∂ψ · ∂ω , ∂ψ · ∂ω).

On définit

V(∂x)u :=∑α∈Cφ

V φα (∂x)uα eiα·θ, D(∂ω)u :=∑α∈Cφ

Dφα(∂ω)uα eiα·θ .

(iii) Sous l’hypothèse 2, Ψ est V-cohérent (et V φα (∂x)ϕ = 0 signifie : ϕ constante le long des (α · φ)-rayons).

L’annulation du développement asymptotique deLuεapp équivaut alors aux équations de profils pour les

partiespolarisées vn := EψL1u etwn := E

ψVE

φL1u (avecu= 〈u〉 la moyenne deu enθ, u := u− u) :

EψL1v0 = v0 (polarisation en∂ω), (3)

EψVE

φL1w0 =w0 (polarisation en∂ω et∂θ), (4)

EψL1L1(∂x)E

ψL1v0 + E

ψL1

⟨B(v0 +w0, ∂θ)w0

⟩= 0 (transport), (5)

EψVE

φL1

[V(∂x)w0 − iD(∂ω)w0 +

(B(v0 +w0, ∂θ)w0

)] = 0 (NLS), (6)

où

B(u, ∂θ)v :=∑j,ν

∂jφν(x)(∂uAj(x,0) · u

)∂θνv,

et pourn 1, on a des équations semblables pourvn etwn, maislinéaires, à seconds membres fonctionsdes profils précédents.

Les parties non polarisées des profils sont données directement par inversion elliptique (L1(β · ϕ) estinversible siβ /∈ Cϕ), et leurs valeurs initiales ne pourront être choisies librement, pour un problème deCauchy.

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É. Dumas

3. Étapes de la preuve du théorème 1

– La cohérence des espaces de phases assure la commutation des équations (5) et (6), nécessaire àl’intégrabilité du système. Celui-ci, à coefficients variables, est résolu par estimations d’énergie sur desespaces de Sobolevanisotropes (pour prendre en compte les commutateurs entre∂y,ω,θ et les équations) :

u∈ Es(t) si ∂γy,ω,θu∈ C([0, t],L2

), pour[γ] := |γy|+

(|γω |+ |γθ|

)/2 s.

Pour donner un sens aux équations, il faut pouvoir restreindre l’action des opérateursE àEs. Ceci nécessitedes hypothèses d’absence de « petits diviseurs », dont on prouve la généricité dans [3]. On résout leproblème de Cauchy via un schéma itératif, grâce à l’estimation (héritée de l’hyperbolicité de (1)) :

PROPOSITION 2. –Soit v′,w′ ∈ Es(t), s > 2d+p+q4 + 1. On note L(v′,w′)[v,w] le linéarisé de (3)–(6)

en (v′,w′). Il existe C(‖v′,w′‖s) tel que : pour tout v,w ∈ Es(t),

∥∥v(t)∥∥2

s+

∥∥w(t)∥∥2

s eCt

(∥∥v(0)∥∥2

s+

∥∥w(0)∥∥2

s

)+

∫ t

0

eC(t−t′)∥∥L(t′)∥∥2

sdt′.

– On obtientuεapp, solution asymptotique de (1) à tout ordre par construction, par une sommation « à laBorel », ce qui permet de construire la solution exacte du théorème 1 grâce aux méthodes de perturbationd’O. Guès [4].

Références bibliographiques

[1] Donnat P., Joly J.-L., Métivier G., Rauch J., Diffractive nonlinear geometric optics I, Séminaire Équations auxdérivées partielles, XVII1–XVII23, École polytechnique, Palaiseau, 1995.

[2] Dumas É., Nonlinear diffractive optics with curved phases: dispersion of ‘ray packets’ and singular rays (enpréparation).

[3] Dumas É., Periodic diffractive optics with curved phases (en préparation).[4] Guès O., Développement asymptotique de solutions exactes de systèmes hyperboliques quasi linéaires, Asympt.

Anal. (1993) 241–269.[5] Hunter J.K., Transverse diffraction of nonlinear waves and singular rays, SIAM J. Appl. Math. 48 (1988) 1–37.[6] Joly J.-L., Métivier G., Rauch J., Coherent and focusing multidimensional nonlinear geometric optics, Ann. Scient.

Éc. Norm. Sup. 28 (1995) 51–113.[7] Joly J.-L., Métivier G., Rauch J., Diffractive nonlinear geometric optics with rectification, Indiana Univ.

Math. J. 47 (4) (1997) 1167–1241.

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