Optique Td1 Cor

UE LP 103 – Optique géométrique – TD 1 – Corrigés - 12/10/08 1/6

Université Pierre et Marie Curie - L1 - UE LP 103 - Année 2008-2009 [email protected]

Optique géométrique - Corrigés du TD 1

1) Réflexion totale Soit un rayon provenant de l’extrémité du clou et soit i l’angle que fait ce rayon avec la surface de l’eau (voir Figure 1). Ce rayon subit une réflexion totale lorsque n sin(i) > 1. L’angle de réflexion totale, a, est donc tel que sin(a) = 1/n. Soit l’angle u que forme l’extrémité du clou avec l’extrémité du disque (voir Figure 1). Les rayons tel que i<u ne seront jamais vus quelque soit u et a. Les rayons tels que i>u subiront tous une réflexion totale lorsque u > a. Or tan(u)= R/b, par conséquent l’extrémité du clou ne sera jamais visible lorsque R/b > tan(a). Or tan² (a)= sin² (a)/ (1-sin² a) = 1 / (n² - 1) , le clou sera donc visible lorsque (R/b)² < 1/(n²-1).

R

b

u

i

n

Figure 1

2) Incidence de Brewster

3) Le prisme La relation d’angle dans le triangle MNQ permet d’écrire la relation r+r’=A (voir Figure 2). Par ailleurs la relation d’angle dans le triangle MNP donne D=i-r + i’-r’, d’où ensuite la relation D=i+i’-A. La loi de Descartes donne pour le passage air verre: sin(i) = n sin (r) et pour le passage du verre à l’air : n sin (r’) = sin i’. On a les relations différentielles suivantes : dD=di + di’, cos(i) di = n cos(r) dr et n cos(r’) dr’ = cos(i’) di’ et enfin dr+dr’ =0. Au minimum de déviation dD=0, d’où la relation di’/di= -1. Par ailleurs dr’/dr=-1. Par

conséquent, au minimum de déviation, on a la relation : )cos(')cos(

)cos(')cos(

rr

ii = . Elevons cette

relation au carré, il vient : )²(sin1')²(sin1

)²(sin1')²(sin1

rr

ii

−−=−

−

Utilisons maintenant les relations de Snell-Descartes qui lient i à r et i’ à r’ , on obtient ainsi :

)²(sin1)'²(sin1

)²(sin²1)'²(sin²1

rr

rnrn

−−=−

− . Posons x=sin(r’) et y=sin(r’), on établit alors l’équation :

²1²1

²²1²²1

yx

ynxn

−−=−

− qui se simplifie après calcul comme (1-n²) (x² - y² ) =0. Ceci implique x=y , soit

r=r’ . Puisque r+r’=A, on a r=A/2. Enfin puisque r=r’, nos 2 relations de Snell-Descartes (sin i= n sin r et sin i’ = n sin r’) permettent d’établir que i=i’. Par conséquent : ( Dm + A ) = 2 i . On a alors : sin [ (Dm+A)/2 ] = sin (i) = n sin (r) = n sin(A/2), d’où la relation recherchée :


[ ]]2/sin[

2/)(sinA

ADmn

+=

i

ri'

A

A

r'

D

MN

P

Q

Figure 2

4) Faisceau parallèle et miroir sphérique a) D’après la construction géométrique de la Figure 3, le triangle CMI est isocèle. Soit N le

projeté orthogonal de M sur le segment CI : on a donc CN=NI=R/2. Par ailleurs CN=cos (i) CM , donc CM=R/2/cos(i).

b) On a yi=R sin (i). CM ²= R²/4/(1- sin² i)= R²/4/(1- yi²/R²). Par conséquent CM= R/2/(1- yi²/R²)1/2. Les conditions de Gauss imposent que les rayons soient très peu éloignés de l’axe . L’échelle caractéristique du système optique est ici le rayon R. Par conséquent peu éloigné de l’axe signifie ici : yi<<R. Dans ces conditions l’expression pour CM se simplifie et l’on a CM=R/2. On a dans ces conditions stigmatisme approché puisque M est l’image unique d’un objet, ici placé à l’infini. Ce point M est le foyer image - que l’on note F’ - car il correspond à l’image d’un point à l’infini.

c) On cherche un stigmatisme à 10% près. Autrement dit on veut que le point M soit à 10%

près confondu avec le foyer image F’ : on veut donc que γ≤−CF

CFCM . avec γ=10%.Ceci

implique que : ²)²/(1

)²/( γ≤− Ry

Ry

i

i soit enfin ²1 γ

γ+

≤ Ryi


C M

Sx

i

i

I

y

yi

Ni

Figure 3

5) Mesure de l’indice d’un liquide Considérons le rayon lumineux partant du point M et arrivant après réflexion au point N. Notons b l’angle d’incidence de ce rayon avec la surface eau-air et soit r l’angle du rayon réfracté (voir Figure 4). Une variation de la hauteur du liquide (h) entraîne une variation de l’angle b et par conséquent de l’angle r. Pour une hauteur quelconque r et i sont différents. Lorsque l’observateur regarde le point N, il voit alors deux points distincts : le point N et le reflet du point M. En revanche pour une position donnée de h, l’angle i et r sont égaux et le reflet de M et le point N sont confondus. Dans ces conditions on a : n sin (b) = sin i. Or tan (b) = a/2/h. Par ailleurs tan² (b)=sin² b / cos² b = sin² i / n² / (1-sin² b)= sin² i / ( n² -sin² i). On obtient alors la relation n = sin (i) (1+ 4 h²/a²)1/2.

i

a

h

r

b

M N

Figure 4


6) Principe de Fermat et loi de Snell-Descartes pou r la réfraction On peut attribuer les coordonnées suivantes aux points A, M et B: A(0,y1), M(x,0), B(x2,y2) Les distances AM et MB peuvent être exprimées avec les coordonnées données en haut:

21² yxAM += et 2

22

2 )( yxxMB +−=

Le temps pour le passage de A à B est égal à :

21 V

MB

V

AMt +=

avec V1et V2 les vitesses de la lumière dans le milieu 1 et 2 respectivement. Le principe de Fermat postule que le temps de parcourt de la lumière doit être minimal. C'est-à-dire le point M (i.e. la coordonnée x) doit être tel que le temps t soit minimal, ce qui revient à demander que :

0=dx

dt

Or 22

22

2

22112

22

22

1

21

)(

1

²

1)(²

yxx

xx

Vyx

x

VV

yxx

V

yx

dx

d

dx

dt

+−

−−

+=

+−+

+=

MB

xx

VAM

x

Vdx

dt −−= 2

21

11

Par conséquent MB

xx

VAM

x

Vdx

dt −=⇒= 2

21

110 (1)

Or AM

xi =sin et

MB

xxr

−= 2sin (2)

En injectant (2) dan (1) on obtient : 21

sinsin

V

r

V

i =

En posant n=c/V, on établit alors la relation de Snell-Descartes pour la réfraction, à savoir : n1 sin i = n2 sin r

7) Dioptre plan-sphérique a) La loi de Descartes s’écrit pour le passage du verre à l’air n sin r= sin i. Introduisons le

point P projeté orthogonal de I sur l’axe optique (voir Figure 5). On a h/PA= tan(i-r). Par ailleurs SA=PA- R + OP = h/tan(i-r) – R + R cos (r).

b) Il n’y a plus de rayon réfracté lorsque n sin r > 1. L’angle de réflexion totale est l’angle b tel que sin b = 1/ n. Or h = R sin (r), donc il n’y a plus de rayon réfracté lorsque h> R/n. (h est bien <R car n>1). Plaçons nous dans les conditions de Gauss : l’angle r est dans ces conditions petit et l’on a SA = h/(i-r). Par ailleurs la relation de Descartes se simplifie en n r = i. Il vient alors SA = SF’= R/(n-1).


h

R

AS

r

i

O

I

Figure 5

8) Fibre optique a) La loi de Descartes appliquée à l’interface coeur-gaine s’écrit : n2 sin(π/2- θ) = n1 sin(r) où r est l’angle que fait le rayon réfracté avec la normale à la surface. Il y’a donc réflexion totale lorsque n1 sin(π/2- θ) > n2, i.e. lorsque cos(θ) > n1/n2.Définissons alors l’angle β tel que cos(β)=n1/n2. Un faisceau est donc piégé dans la fibre lorsque θ<β. b) Le temps de parcourt minimal est réalisé par le rayon passant par l’axe de la fibre. Celui-ci met pour parcourir la distance L un temps L/v où v=c/n2 est la vitesse de parcourt de la lumière dans le milieu n2. Le rayon qui effectue le trajet le plus long est celui dont l’angle θ est le plus grand, i.e. à la limite l’angle θ=β . On voit aisément d’après la figure que ce rayon parcourt, avant d’arriver à l’extrémité de la fibre, un nombre p de segments de longueurs égales à la distance OM (voir figure). Le nombre P de segments est égal à p= L/ON. Or cos(β)=ON/OM, donc la distance parcourue par ce rayon est p OM=L/cos(β) et le temps mis par celui-ci est donc égal à Ln2/cos(β)/c. La différence de temps de parcourt entre le second et le premier rayon est alors égal à Dt = L n2/c (n2/n1 – 1 ).

gaine

coeurn2

n1

θθ

L

M

N

O

c) pour déterminer la trajectoire du faisceau on s’inspirera de l’exercice #6).

9) Dioptre sphérique On a a = SI/AS, c= - SI/SC et a’ = - SI/SA’. Soit i et r les angles que font respectivement le rayon incident et le rayon réfracté avec la normale à la tangente à la surface du dioptre au point I. Les relations d’angles dans les triangles ASI et A’SI donnent permettent d’établir les relations : a-i=c et r-a’ = -c. La relation de Descartes appliqué au point I donne : n1 sin i = n2 sin r.qui devient pour des angles petits : n1 i = n2 r. Multiplions la relation a-i=c par n1 et la


relation r+a’ = -c par n2 et ajoutons membre à membre, il vient : n1 a – n2 a’ = (n1-n2) c,

d’où la relation de conjugaison du dioptre sphérique : R

nnSC

nnSAn

SAn )()(

'121212 −=−=−

Soir i l’angle que fait le rayon BS avec l’axe optique et r l’angle que fait le rayon SB’ avec celui-ci. On a r=-B’A’ /SA’ i=-AB/AS et par ailleurs n1 i = n2 r , d’où la relation :

SAn

SAn

AB

BA

2

'1'' ==Γ

On en déduit alors la relation de Lagrange-Helmholtz : n1 a AB = n2 a’ A’B’ . Pour un objet situé à l’infini, i.e. en pratique tel que |SA|>>R, on a :

Rnn

SAn )(

'122 −= soit R

nnnSFSA

)(''

12

2

−=≡ , le point image (A’) correspond alors au foyer image

(F’) du dioptre sphérique.

10) Stigmatisme d’un miroir plan Un miroir réfléchi totalement la lumière. Pour construire l’image de A considérons le rayon orthogonal au miroir. Ce rayon est réfléchi dans la même direction et dans le sens opposé. Considérons maintenant un autre rayon issu de A et faisant un angle i avec la normale au miroir (voir figure ci-dessous). Ce rayon est réfléchi selon une direction faisant un angle i avec la normale (voir figure ci-dessous). L’intersection du premier rayon réfléchi avec le second définit A’ l’image de A. Cette image est virtuelle correspond à l’intersection de rayons virtuels (voir figure). Cette image est unique car le miroir vérifié un stigmatisme rigoureux. En effet quelque soit l’angle i, l’intersection entre le premier rayon et le second s’effectue toujours au point A’, le point symétrique orthogonal de A par rapport au miroir plan. Pour construire l’image d’un objet il suffit de considérer son symétrique orthogonal par rapport au miroir (voir figure ci-dessous).

A

B

i

i

A’

B’

i'

i'

i'

i

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