Optique_Géométrique 75

7/27/2019 Optique_Gomtrique 75

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Module d'Optique Gomtrique

Mme Zeineb BEN AHMED, Mr Habib BOUCHRIHA

Mme Samia KADDOUR

Universit Virtuelle de Tunis

2006


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Ce module porte sur l'optique gomtrique qui est une matire de base dans la formation desphysiciens et des ingnieurs. Le module s'adresse aux tudiants des premiers cycles

scientifiques et aux lves des classes prparatoires aux coles d'ingnieurs. Il est galement

utile aux candidats des concours aux CAPES et l'agrgation de sciences physiques.

Structur en dix (10) chapitres, il prsente, aprs une brve histoire de l'optique, les

principes, les fondements et les lois de l'optique gomtrique et aborde ensuite l'tude des

systmes plans et sphriques, l'association de systmes centrs et l'tude de quelques

instruments d'optique. Il prsente, enfin, des notions d'optique matricielle qui permettent de

rsoudre plus rapidement certains problmes d'optique.

Objectifs du cours

L'objectif de ce module est de prsenter un cours aussi complet que possible de l'optique

gomtrique et de ses applications. L'tudiant sera en mesure :

de connatre le dveloppement de l'optique au cours des sicles depuis l'Antiquit nos

jours et d'acqurir ainsi une culture scientifique;

d'assimiler les fondements de l'optique gomtrique et d'avoir une ide prcise sur la nature

de la lumire et sur les milieux transparents;

de connatre les lois gnrales et les principes fondamentaux qui rgissent l'optique

gomtrique dans les milieux homognes et inhomognes;

de comprendre la notion d'image d'un objet donne par un systme optique ainsi que les

notions de stigmatisme rigoureux et approch;

d'appliquer les notions prcdentes l'tude des systmes optiques faces planes comme le

miroir plan, le dioptre plan et la lame faces parallles;

de matriser la construction de la marche d'un rayon lumineux travers un prisme et de

comprendre le phnomne de dispersion de la lumire;

de dterminer les lments caractristiques des miroirs et dioptres plans et des lentilles et deconstruire les images donnes par ces systmes et par leur association;

de connatre les principaux instruments d'optique et leur domaine d'utilisation dans

l'observation des objets et la mesure de leur dimension, l'obtention et le reproduction desimages, ;

de dcouvrir une nouvelle approche de l'optique gomtrique : l'optique matricielle qui peut

conduire une rsolution rapide de certains problmes d'optique.


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TABLE DES MATIERES

Avant propos 1

CHAPITRE 1UNE BREVE HISTOIRE DE LOPTIQUE 5

1. Loptique pendant lantiquit ........................................................... 72. L'optique chez les Arabes................................................................. 83. L'cart l'optique gomtrique....................................................... 104. Huygens et Newton ........................................................................ 115. Thomas Young et l'cole franaise................................................. 126. La rvolution quantique.................................................................. 137. De loptique physique la photonique ........................................... 16

CHAPITRE 2FONDEMENTS DE L'OPTIQUE GEOMETRIQUE 19

1. Nature de la lumire ....................................................................... 222. Notions sur les ondes...................................................................... 243. Principe de propagation rectiligne de la lumire ............................ 28

4. Principe du retour inverse de la lumire......................................... 305. Indices de rfraction ....................................................................... 316. Chemin optique .............................................................................. 327. Les matriaux optiques................................................................... 34

Exercices et problmes 37EP.2.1 : Chambre noire ................................................................37EP.2.2 : Eclipses de Soleil............................................................38EP.2.3 : Longueurs dondes associes des particules................40EP.2.4 : Energie et quantit de mouvement transportes par la

lumire........................................................................41EP.2.5 : Onde transversale dans une corde ..................................43EP.2.6 : Mesure de c par la mthode de la roue dente

(mthode de Fizeau) ...................................................45EP.2.7 : Mesure de c par la mthode du miroir tournant

(mthode de Foucault)................................................47


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CHAPITRE 3LOIS GENERALES DE L'OPTIQUE GEOMETRIQUE 49

1. Lois de Snell-Descartes .................................................................. 512. Construction de Huygens................................................................ 563. Principe de Fermat.......................................................................... 594. Trajectoire dans un milieu inhomogne ......................................... 65

Exercices et problmes 69EP.3.1. : Rfraction par un dioptre air-eau...................................69EP.3.2. : Prisme rectangle ............................................................70

EP.3.3. : Rfraction par un cube...................................................71EP.3.4. : Association dun dioptre et dun miroir plans...............72EP.3.5. : Association de deux prismes .........................................74EP.3.6. : Principe de Fermat et lois de la rflexion......................76EP.3.7. : Principe de Fermat et lois de la rfraction.....................77 EP.3.8. : Rfraction dans une demi boule de verre ......................79EP.3.9. : Rfraction par une boule argente.................................80EP.3.10. : Arc en ciel....................................................................82EP. 3.11 : Fibre optique................................................................85EP.3.12. : Rfraction de latmosphre..........................................88EP.3.13. : Phnomne de mirage..................................................89

CHAPITRE 4SYSTEMES OPTIQUES ET IMAGES 95

1. Systmes optiques........................................................................... 972. Images donnes par un systme optique......................................... 983. Notions de stigmatisme ................................................................ 1004. Conditions de stigmatisme approch. Approximation de Gauss .. 1035. Proprits des systmes centrs .................................................... 1066. Systmes centrs afocaux ............................................................. 109

Exercices et problmes 111EP.4.1. : Stigmatisme approch dun dioptre plan.....................111

EP.4.2. : Stigmatisme approch du miroir sphrique.................112EP.4.3. : Stigmatisme rigoureux du dioptre sphrique...............113EP.4.4 : Miroir parabolique........................................................114EP.4.5. : Stigmatisme approch dune demi boule de verre.......115


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CHAPITRE 5SYSTMES OPTIQUES SIMPLES FACES PLANES 119

1. Le miroir plan ................................................................................ 1212. Le dioptre plan ............................................................................... 1283. Lames faces parallles ................................................................ 131

Exercices et problmes 135E.P.5.1.: Miroir plan...................................................................135E.P.5.2.: Association de trois miroirs.........................................136EP.5.3.: Miroirs formant un tridre............................................137

EP.5.4. : Dioptre plan.................................................................138EP.5.5. : Association de deux prismes rectangles ......................139EP.5.6. : Association de trois dioptres........................................140EP.5.7. : Mesure de lindice lun liquide 1.................................142EP.5.8. : Mesure de lindice dun liquide 2................................143EP.5.9. : Association dune lame faces parallles et dun

miroir plan ................................................................144EP.5.10. : Vase fond rflchissant...........................................146EP.5.11. : Association de deux lames faces parallles ............147

CHAPITRE 6LE PRISME 149

1. Formules du prisme ........................................................................1522. Etude de la dviation du prisme......................................................1563. Proprits dispersives du prisme. Spectroscopes prismes............161

Exercices et problmes 165EP.6.1. : Prisme de petit angle A................................................165EP.6.2. : Marche dun rayon lumineux dans un prisme .............166EP.6.3. : Prismes accols............................................................167EP.6.4. : Prisme liquide ...........................................................168EP.6.5. : Angle limite dincidence .............................................169EP.6.6. : Dviation minimum.....................................................169

EP.6.7. : Variation de la dviation avec langle dincidence......170EP.6.8. : Association dun prisme et dun miroir.......................172EP.6.9. : Image donne par un prisme........................................172EP.6.10. : Variation de la dviation avec la longueur donde....173 EP.6.11. : Etude de la dispersion dun prisme............................174


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CHAPITRE 7SYSTEMES OPTIQUES SIMPLES A FACES SPHRIQUES 177

1. Le miroir sphrique ...................................................................... 1792. Le dioptre sphrique ..................................................................... 189

Exercices et problmes 203EP.7.1. : Miroir sphrique concave............................................203EP.7.2. : Miroir sphrique convexe............................................204EP.7.3. : Rtroviseur ..................................................................206EP.7.4. : Image donne par un miroir sphrique........................206

EP.7.5. : Association dun dioptre plan et dun miroirsphrique...................................................................208EP.7.6. : Association de deux miroirs sphriques 1 ...................210EP.7.7 : Association de deux miroirs sphriques 2 ....................211EP.7.8. : Association de deux miroirs sphriques 3 ...................212EP.7.9. : Image dun objet dans une cavit ................................213EP.7.10. : Rayon de courbure dun dioptre sphrique................216EP.7.11. : Foyers dun dioptre sphrique ...................................217EP.7.12. : Boule de cristal..........................................................219EP.7.13. : Association dun dioptre et dun miroir sphriques ..220EP.7.14. : Foyers dune boule semi argente .............................222EP.7.15. : Demi boules accoles ................................................224

EP.7.16. : Verre chinois .............................................................225EP.7.17. : Baguette de verre bouts sphriques ........................228EP.7.18. : Distance objetimage dans un ballon rempli de

liquide.......................................................................229

CHAPITRE 8LES LENTILLES 231

1. Dfinitions .................................................................................... 2332. Centre optique .............................................................................. 2343. Marche dun rayon lumineux ....................................................... 2364. Foyers. Distance focale. Vergence ............................................... 2375. Relation de conjugaison................................................................ 2396. Image dun petit objet perpendiculaire laxe ............................. 2407. Grandissement linaire transversal............................................... 2428. Association de lentilles ................................................................. 243

Exercices et problmes 247EP.8.1. : Distances focales de lentilles minces...........................247EP.8.2. : Association dune lentille et dun miroir plan.............248EP.8.3. : Principe de la mthode de Bessel ................................249


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EP.8.4. : Equivalence dun systme de deux miroirs et dunelentille mince ............................................................250

EP.8.5. : Lentille plonge dans un milieu...................................252EP.8.6. : Association de deux lentilles 1....................................254EP.8.7. : Association de deux lentilles 2....................................256EP.8.8. : Lentille concave semi argente....................................257EP.8.9. : Association dune lentille et dun miroir sphrique ....259EP.8.10. : Lentille achromatique................................................262

CHAPITRE 9LES INSTRUMENTS DOPTIQUE 267

1. Grandeurs caractristiques des instruments doptique.................. 2702. Notions sur lil ...........................................................................2723. La loupe ........................................................................................ 2774. Le microscope .............................................................................. 2795. La lunette astronomique ............................................................... 2836. La lunette de Galile.....................................................................2877. Le tlescope .................................................................................. 289

Exercices et problmes 293EP.9.1. :il myope ....................................................................293EP.9.2. : il hypermtrope ........................................................294EP.9.3. : Lentilles de contact......................................................294EP.9.4. : Loupe...........................................................................296EP.9.5. : Oculaire .......................................................................296EP.9.6. : Lunette astronomique ..................................................298EP.9.7. : Lunette de Galile........................................................299EP.9.8. : Jumelles de thtre ......................................................300EP.9.9. : Tlescope.....................................................................302EP.9.10. : Tlobjectif................................................................304EP.9.11 : Photocopieur...............................................................305EP.9.12 : Lappareil photographique .........................................308

CHAPITRE 10

NOTIONS D OPTIQUE MATRICIELLE 3111. Elments de loptique matricielle ................................................. 3132. Principales matrices de transfert ................................................... 3153. Expression gnrale dune matrice de transfert dun systme centr

......................................................................................................3184. Changements dorigine................................................................. 3205. Relations de conjugaison .............................................................. 3246. Association de deux systmes centrs .......................................... 326


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Exercices et problmes 329EP.10.1. : Matrice de transfert dune lentille convexe-planpaisse.......................................................................329

EP.10.2. : Matrice de transfert dune lentille plan-convexepaisse.......................................................................330

EP.10.3. : Cavit forme par deux miroirs plans........................331EP.10.4. : Systme form par deux lentilles demi boules ..........332EP.10.5. : Systme de deux miroirs sphriques .........................334EP.10.6. : Association dun systme afocal et dun systme

focal..........................................................................336 EP.10.7. : Etude dun oculaire....................................................337

Bibliographie 341Index 343


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Avant propos

Bien que ses fondements et ses principes pilotes soient anciens, loptiqueest parmi les diffrentes parties de la physique celle qui a le plus volu eugard ses analogies multiples avec la mcanique, llectromagntisme et la

physique quantique et au potentiel dapplication quelle gnre dans le vcuquotidien et la recherche scientifique. Loptolectronique, loptique nonlinaire, la photonique, les tlcommunications par fibres optiques,lholographie, , ne sont que des exemples de ce que loptique a fournicomme outils aux autres disciplines et lavancement des sciences engnral.

De la vie courante (clairage, lunetterie, photographie, cinma,), lamdecine (ophtalmoscopie, fibroscopie, endoscopie, ) en passant parlindustrie (usinage laser, fours solaires, diodes lectroluminescentes, ) etla communication (liaisons optiques, ) loptique, loin dtre vieillotte, estau cur des mutations que connat la socit moderne.

Curieusement, loptique gomtrique qui est la base de toutes cesmutations continue, malgr son caractre profondment exprimental, treconsidre comme un sous-produit de la gomtrie mathmatique quidsintresse les tudiants par son statut fig et formaliste.

Lobjectif de cet ouvrage, qui rsulte dune exprience denseignement deloptique pendant de nombreuses annes dans les premiers cyclesscientifiques, est de prsenter un cours aussi attrayant que possible alliantlhistoire la modernit et donnant loptique la place qui lui sied dans lecursus de physique, savoir un cadre agrable de comprhension etdinterprtation des phnomnes lumineux. La lumire a, en effet, fascinlesprit humain par ses multiples aspects et son caractre mystrieux : cestgrce la lumire que nous recevons des toiles que nous comprenonsmieux la structure de lunivers et son expansion, cest grce elle et soninteraction avec la matire quon peut manipuler les atomes et sonder leurunivers microscopique.


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Louvrage est structur en dix chapitres dont chacun est suivi par unesrie dexercices et problmes qui permettent de complter le cours et denassimiler le contenu.

Le premier chapitre est ddi une brve histoire de loptique allant delAntiquit aux dveloppements rcents en passant par lcole arabe, laRenaissance et la rvolution quantique.

Le chapitre 2 est consacr la prsentation de la nature de la lumire et la description des ondes lumineuses. On y noncera galement les principesde propagation rectiligne et le principe de retour inverse de la lumire et on

dfinira les milieux transparents et les matriaux optiques.Dans le chapitre 3, on prsentera les lois de Snell-Descartes et le principe

de Fermat en insistant sur leur mutuelle compatibilit et leur caractreuniversel. On abordera ensuite ltude de la propagation dans les milieuxinhomognes quon agrmentera de quelques applications.

Le chapitre 4 est essentiel ltude des systmes optiques, on y dfinit lescaractristiques gnrales de ces systmes (axe optique, centre, lmentscardinaux, ) et la nature des images (relle ou virtuelle) quon peut obteniraussi bien dans le cas dun stigmatisme rigoureux que dun stigmatismeapproch dans les conditions de loptique para axiale ou conditions deGauss.

Dans les chapitres 5 et 6 on abordera les systmes plans qui sont lessystmes optiques les plus simples et on tudiera en dtail quatre dentreeux : le miroir, le dioptre, la lame faces parallles et le prisme.

Les chapitres 7 et 8 sont relatifs aux systmes optiques faces sphriquesqui prsentent galement un grand intrt dans linstrumentation optique. Ontudiera particulirement le miroir et le dioptre sphriques en tablissant lesrelations de conjugaison qui donnent la position de limage par rapport celle de lobjet partir de leurs caractristiques fondamentales qui sont lesfoyers, les distances focales, la vergence, . On tudiera ensuite les lentillesqui sont les lments les plus employs dans les instruments et les montages

optiques et qui sont constitues par lassociation de deux dioptres dont lunau moins est sphrique.

Ltude de quelques instruments optiques fait lobjet du chapitre 9. Cettetude est importante et instructive car il nest point de technique de nos joursqui nutilise les moyens optiques pour la mesure, la reproduction,lobservation ou la transmission des donnes. On y prsente successivementlil, ce systme optique combien complexe et combien merveilleux, laloupe, le microscope, la lunette astronomique et le tlescope.


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Enfin, le chapitre 10 prsente les notions doptique matricielle qui est uneapproche moderne et conomique pour atteindre rapidement la position delimage et le grandissement ou le grossissement donns par un systmecomplexe. Dans cette approche, chaque lment du systme est caractris

par une matrice de transfert et le systme global est dfini par une matricegale au produit des matrices de chacun de ses lments. Ltude de cettematrice donne simplement les relations entre lespace objet et lespaceimage.

Nous tenons remercier tout le personnel du Centre de PublicationUniversitaire ainsi que Dhouha Gamra et Fayal Kouki pour leur aide

prcieuse dans la ralisation du manuscrit.

Enfin, nous remercions davance tous ceux, tudiants et enseignants, quipar leurs remarques et leurs critiques amlioreront cette premire dition qui,loin dtre parfaite, est perfectible.

Les auteurs

Octobre 2004


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CHAPITRE 1

UNE BREVE HISTOIRE DELOPTIQUE


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Une brve histoire de loptique

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Lhistoire de la physique est entirement lie lhistoire delintelligence humaine. Depuis son apparition sur terre, lhomme, poursadapter son environnement et pour survivre, a fait de la physique sans lesavoir. Ses seuls outils de communication taient alors ses sens qui lui ont

permis de voir, de toucher, dentendre, de sentir et qui sont dailleurs labase de la classification des diverses branches de la physique o loptique estlie la vue, la chaleur au toucher, lacoustique louie, .

1. Loptique pendant lantiquit

Depuis lantiquit, la lumire a toujours fascin lesprit humain par sesaspects multiples et son caractre mystrieux. Elle est apparue dans lhistoire4 000 ans avant Jsus-Christ avec les Sumriens qui utilisaient la lumire etles astres pour prdire le quotidien et pour concentrer la lumire afin de crerdu feu. Vers 2 500 avant J.C. les miroirs de mtal polis taient dj connus etlusage du verre commena se rpandre. Les peuples khmers, chinois etmayas se livraient mme des calculs et inventaient des instrumentsdobservation astronomiques des "lumires clestes".

En fait, ce nest qu partir du Ve sicle avant J.C. en Grce quun dbut

de rflexion scientifique est apparu lorsque des penseurs commencrent seposer des questions sur lorigine des objets qui les entouraient, leurclassement, leur constitution, leur production et leur manifestation. Ainsi,Empdocle (-490, -430) a imagin que la nature tait constitue de quatrelments principaux : lair, leau, le feu et le sable dont chacun prsente deuxdes quatre caractristiques fondamentales : le froid, lhumide, le chaud et lesec. Plus tard, Dmocrite (-460, -370) a propos une vision atomiste, o toutest constitu de petits lments inscables appels atomes. A cette poquedj, la classification dEmpdocle a t rduite deux types dobjets, lamatire et la lumire, la matire tant faite de corpuscules parfaitementlocalisables alors que la lumire est sujette de nombreuses tergiversations.Dautres manifestations telles que le son, taient galement apprhendesaussi bien dans la faon de les produire que dans lanalyse de leur nature.

Mais, curieusement, alors que le son fut dabord considr du point devue de sa production, on envisagea la description "physique" de la lumiresous langle de sa propagation. Trs tt la lumire a t assimile unmouvement de fines particules qui sont soit mises par les objets lumineuxsoit mises par lil.


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Chapitre 1

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Pour les pythagoriciens (VIe sicle av. J.C.), chaque individu possde unfeu intrieur et lil met un "quid" qui part vers lobjet et lorsquil letouche, provoque la vision.

Pour les atomistes (Ve sicle av. J.C.), les objets mettent des "eidolas"qui sont des membranes ou corces ayant le mme aspect que les objets etdont les dimensions diminuent lorsquils arrivent lil. Elles sont desimages fidles et rduites des objets matriels et elles entrent en nous parlil.

Pour Platon (-428, -348), une situation intermdiaire entre lesprcdentes est envisage, elle consiste en la rencontre de deux particules,

lune mise par lil, lautre par lobjet observ. Il en rsulte une substanceunique et homogne qui transmet linformation jusqu "lme".

Dans tous les cas, la trajectoire de ces particules est postule rectiligne etle milieu dans lequel se propage la lumire joue un rle considrable. PourLucrce (-98, -55), ce milieu est constitu d'lments qui s'entrechoquent etse poussent les uns les autres et il en rsulte que la propagation de la lumiredans le vide est impossible.

Les ides se dveloppent ensuite avec le recours au fait exprimental etles progrs raliss par Snque et Galien dans l'tude de l'il ont permis Ptolme (90, 168) d'noncer Alexandrie en 140 aprs J.C. les premireslois de l'optique gomtrique concernant la rflexion ainsi quune bauche

de thorie des lois de la rfraction et aussi la notion d'axe visuel autourduquel la vision se concentre.

2. L'optique chez les Arabes

Le premier millnaire napporta aucune avance sensible et il a falluattendre le XIe sicle o les Arabes, hritiers des savoirs de l'antiquit par la

bibliothque d'Alexandrie, approfondirent ces travaux en matire doptique.Les progrs vinrent d'gypte grce aux travaux du grand savant arabe IbnAl-Haytham dit Alhazen (965-1039). Ibn Al-Haytham est n Bassora en

Irak et cest en Egypte, sous le rgne du calife fatimide Al Hakim quildmarra sa carrire. Surnomm le second Ptolme, Ibn Al-Haytham fut lafois mathmaticien, physicien, philosophe et mdecin et fut, ces titres,lauteur dune centaine douvrages et de plusieurs dcouvertes. Il tudie l'ilet la rfraction et tablit une vritable thorie corpusculaire de la lumire.Pour lui, la lumire est mise par l'objet lumineux indpendamment del'observateur et sa propagation dpend du milieu qu'elle traverse.


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Son explication du phnomne de la rfraction ainsi que les lois de larfraction furent la base des travaux, six sicles plus tard, de Kepler et deRen Descartes. Ibn Al-Haytham est arriv la conclusion que la rfractionde la lumire est due des rayons lumineux qui se propagent des vitessesdiffrentes dans des matriaux diffrents. Ibn Al-haytham affirma que lalumire tait une mission primaire et envisagea une missionsecondaire provenant de ce quil appela une source accidentelle . Lalumire manant dune telle source est mise en forme de sphre . Cestla premire fois que le principe des ondes secondaires fut avanc, principequi sera nonc dune manire plus explicite, six sicles plus tard, par lehollandais Christian Huygens. Ibn Al-Haytham introduisit aussi le concept

de rayon de lumire tout en lui donnant une reprsentation bienphysique. Il dcouvrit le phnomne de la chambre noire comme ilsintressa aux miroirs convexes et concaves ainsi quaux surfaces poliestout en tudiant avec rigueur la rflexion sur ces surfaces, les aberrationssphriques ou encore le phnomne de larc-en-ciel. On lui doit galementnotre faon de rsoudre graphiquement les problmes doptique en traantdes lignes droites pour illustrer la trajectoire de la lumire.

Lensemble de luvre de Ibn Al-Haytham rvla la naissance et lapuissance du physicien moderne. Son uvre, portant son apoge laphysique arabe, fut une rfrence incontournable pour la physique delOccident au sortir des tnbres du Moyen-Age.

Ibn Al-Haytham introduisit galement la mthode empirique qui est labase de tout travail de recherche scientifique o la seule vrit tangible est lapreuve exprimentale. A ce titre, il tait le prcurseur de Roger Bacon(1214-1294).

Dans son ouvrage Kitab Al-Manazir, traduit au XIIe sicle en latin sous letitre de Optical Thesurus AlHazeni Arabi , il crit notamment Le

phnomne de la vision nayant pas t clairci, nous avons dcid de nousproccuper de la question, autant que cela nous est possible, de nous yadonner exclusivement et dy rflchir mrement [] Nous reprenons touteltude, commenant par le commencement, par les principes et les postulats[] Au dbut de notre recherche, nous rassemblons dune manire

exhaustive les faits rels [] Nous levons ensuite notre recherche []critiquant les prmisses et prenant des prcautions dans lenregistrement desconclusions et consquences [] Notre objectif est de faire usage dun

jugement juste [] Peut-tre pourrons-nous finir, de cette faon, paratteindre la vrit qui nous apportera la joie du cur [] Et malgr celanous ne serons pas labri des dfauts inhrents la nature humaine .


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Chapitre 1

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Enfin, l'optique instrumentale fit aussi de grands progrs et on inventa dsle 11me sicle, en gypte, les premiers lorgnons pour presbytes qui rendirentaux vieillards la jeunesse de leur vue.

3. L'cart l'optique gomtrique

Il semble que la nature ondulatoire de la lumire a t affirme pour lapremire fois par le franciscain anglais Robert Grosseteste (1170, 1253), quiest un adepte de la mthode exprimentale en science, et par Roger Baconqui tudia beaucoup la rflexion sur les miroirs sphriques partir de ltudede la formation des images par les lentilles et envisagea plutt le problmede faon ondulatoire en penchant vers l'onde sphrique dans la descriptionde la propagation.

Galile (1564-1642) dcrit pour la premire fois des mthodes de mesurede la vitesse de la lumire. Ses tentatives chouent mais ont le mrite dedonner penser qu'il ne croyait pas trop l'existence d'une vitesse infinie. Lanature de la lumire ne semble pas trop le proccuper.

Descartes (1596-1650) fait connatre les lois de la rfraction tablies parSnell (1591-1626). Mais ses thories de la lumire sont confuses et pleinesde contradictions. Il semble que la notorit de l'crivain philosophe leur ait

donn une importance excessive. Pour Descartes, en effet, la lumire rsultede frottements entre tourbillons qui font natre de la lumire qui se propageavec une vitesse infinie. Mais la rflexion est envisage comme le rebondd'un projectile et la rfraction comme la traverse par ces projectiles d'unetoile tendue qui les acclre si le deuxime milieu est plus rfringent. LeXVIIme sicle aura beaucoup de mal se dbarrasser des tourbillons deDescartes; ce sera l'objet d'un des premiers crits de Newton.

Fermat (1601-1665) retrouve les lois de la rfraction l'aide du principede moindre temps. Mais les difficults qu'ont prouves ses contemporains lier son principe aux autres thories font que Fermat aura moins d'influencequ'en mathmatiques o il fut une vraie notorit.

Grimaldi (1618-1663) et Malebranche (1638-1715) tous deux disciplesde Galile et Descartes croyaient fermement en la nature ondulatoire de lalumire. Le premier a mme essay d'interprter les franges de diffractionainsi que la dcomposition de la lumire blanche.


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4. Huygens et Newton

Christian Huygens (1629-1695) s'affranchit des thories cartsiennes etproposa lide que l'univers est rempli de particules dont les mouvementsoscillatoires se transmettent de proche en proche. L'ensemble des particulesqui vibrent en mme temps constitue une ondelette; l'enveloppe desondelettes forme l'onde lumineuse. Cette onde est longitudinale. Une tellethorie est visiblement inspire par les rides qui se forment la surface del'eau. Elle a permis son auteur d'expliquer les phnomnes de rflexion, derfraction, et mme de double rfraction de la lumire par la calcitedcouverte par Bartholin (1625-1698). Huygens n'avait pas une ide trs

claire des phnomnes d'interfrence et plus gnralement des relations dephase. Cela rendit sa thorie parfois obscure. Mais l'intuition du savanthollandais est rarement prise en dfaut. Il a une bonne ide du principe dit deHuygens-Fresnel qui ne sera dmontr que beaucoup plus tard par Kirchhoff.Curieusement, Huygens envisagea galement l'existence de particules et lesrapports qu'il cherche entre celles-ci et les ondes ont des rsonancestrangement brogliennes.

La thorie de Huygens est impressionnante par la varit des phnomnesinterprts mais la notorit de Newton (1642-1727) allait tout balayer.Pourtant Newton ne parviendra jamais tablir une thorie de la lumire quisoit satisfaisante pour lui comme pour ses contemporains. Mais la renomme

de l'auteur de la thorie de la gravitation et le caractre du personnage vontfaire que les objections seront rapidement cartes. Les travaux de Newtonen optique sont importants et les dates de publication de ses deux traits(1672 pour la Thorie des couleurs, 1709 pour l'Optique) montrent que leurauteur a toujours t proccup par le sujet.

Sur le plan exprimental, Newton ralisa le premier tlescope et tudia ladcomposition de la lumire par un prisme. Il tudia aussi la lumire mise

par les fours, effet connu aujourdhui sous le nom de rayonnement ducorps noir et qui le proccupera fortement. Il pensait aussi que la lumireest constitue de corpuscules qui se propagent plus vite dans un milieutransparent que dans le vide et l'hypothse de la nature ondulatoire lui parat

fantaisiste. Pourtant les expriences qu'il ralisa (anneaux d'interfrences) oula faon dont il les envisagea (rflexions multiples sur des vitres) plaidaientplutt en faveur de cette hypothse. En outre, Newton est l'auteur dunethorie ondulatoire du son mais, pour la lumire, il prfra compliquer sathorie corpusculaire en envisageant des actions instantanes distance entresurfaces rflchissantes et essaya en vain d'interprter des phnomnes denature ondulatoire avec des corpuscules lumineux. Parmi ses contemporainsseuls Hooke et Euler rejetrent cette thorie.


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Chapitre 1

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Rappelons enfin que la premire mesure de la vitesse de la lumire estralise en 1675 par Olaf Romer (1644-1710) qui utilisa l'observation dessatellites de Jupiter dcouverts par Galile. Une deuxime mesure a t faiteen 1728 par James Bradley (1693-1762). Ces deux mesures donnrentcomme valeur respectivement 225000Km/s et 308300 Km/s.

5. Thomas Young et l'cole franaise

La thorie de Newton va rsister un sicle durant. Puis la thorieondulatoire va revenir. D'abord les mathmaticiens (Euler, Clairvaux,D'Alembert, Bernoulli, Hamilton, Lagrange et Fourier) vont fournir aux

physiciens les outils qui manquaient Huygens pour que sa thorie soittotalement convaincante. Ensuite, les expriences du type diffraction etinterfrences vont livrer leurs secrets.

Thomas Young (1733-1829) est un esprit universel, bien que mdecin, iltait capable d'crire dans l'encyclopdie Britannica des articles sur la vision,l'arc-en-ciel, le mouvement des fluides et les mares, la capillarit, la

pesanteur, l'architecture navale, la mdecine, la rose et les hiroglyphes. Ildcouvre mme que certains mots de la pierre de Rosette sont crits demanire phontique et prpare ainsi les travaux de Champollion. Youngralisa une srie d'expriences dont celle qui porte son nom. Le fait que les

deux rayons lumineux rfracts par un cristal de calcite ne donnent pasd'interfrences lui fait supposer que la lumire est une vibration transversale.Fresnel aura plus tard et indpendamment la mme ide.

Fresnel (1788-1827) est l'auteur d'une thorie complte de la lumirepolarise. Trs jeune, il se plat dire avec irrespect que "Newton radote". Ila t un des premiers physiciens se spcialiser rellement en nes'intressant qu' un seul domaine et sa thorie du vecteur lumineux estimpressionnante. Fresnel a des ides somme toute assez justes sur lacohrence mais il bute sur l'ther, milieu hypothtique considr comme unsupport pour la propagation de la lumire.

Fresnel a galement travaill avec Malus (1775-1812), partisan, lui, d'unethorie corpusculaire de la lumire, chose surprenante si lon songe auxexpriences et aux lois qui portent son nom.

On peut citer Foucault (1819-1868), Fizeau (1819-1896), Cornu (1841-1902) et mme Michelson (1852-1931) comme les disciples de Fresnel. En

particulier Fizeau et Foucault effecturent des expriences de mesure de lavitesse de la lumire. Les rsultats ntaient gure meilleurs que ceuxobtenus par Romer et Bradley mais l'intrt de ces mesures a t de montrer


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que la vitesse de lumire dpend du milieu o elle se propage et de vrifierquelle est plus faible que dans le vide.

Loptique ondulatoire sest affirme avec Fraunhofer (1787-1826) qui estun contemporain de Fresnel et qui a ralis des expriences de diffractionrendues possibles par les progrs techniques raliss dans la fabrication deslampes.

La spectroscopie vit le jour avec les physiciens allemands Bunsen (1811-1899) et Kirchhoff (1825-1887). Ce dernier dmontra galement le principed'Huygens-Fresnel.

L'apoge de la physique classique est atteint avec James Maxwell en1873, qui tablit que la lumire est une onde lectromagntique transversalese dplaant dans le vide la vitesse constante de 3.10 8 m/s et qui rsulted'une vibration du champ lectrique et du champ magntique en chaque

point de l'espace.

La thorie de Maxwell est confirme par les expriences de Hertzrelatives aux antennes en 1888. Toutefois, pour Maxwell l'oscillateur n'est

pas une antenne mais un atome ou une molcule dans lesquels les lectronsexcutent des oscillations de trs haute frquence qui produisent unrayonnement lectromagntique. La thorie lectromagntique constituedsormais la base de l'optique physique mais elle se heurta des difficultsinsurmontables lorsqu'on tenta de l'appliquer l'mission de la lumire par

des corps ports haute temprature ( corps noir).

6. La rvolution quantique

A la fin du 19me sicle les physiciens se sont trouvs confronts desphnomnes nouveaux pour lesquels les prvisions de la thorie classiquesont en dsaccord flagrant avec lexprience et avec le simple bon sens. Ilfallait donc jeter les bases dune nouvelle thorie, susceptible de pallier lesinsuffisances de la conception classique. Les phnomnes qui furent sansdoute historiquement lorigine de la naissance de la nouvelle thorie sont le

rayonnement du corps noir, leffet photolectrique et les spectres atomiques.Il faut cependant signaler que la physique classique nest pas remise enquestion dans tous les domaines dinvestigation. Elle continue expliquer ungrand nombre de phnomnes dans le domaine macroscopique, mais savalidit savre limite en ce qui concerne une description dtaille dans ledomaine microscopique.

Parmi ces phnomnes, cest principalement le rayonnement du corpsnoir qui a jet les bases de la rvolution quantique : un corps noir est un


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corps qui absorbe intgralement tout rayonnement frappant sa surface.Chauff haute temprature, le corps noir met de la lumire toutes leslongueurs dondes: Si lon porte en fonction de la longueur donde, ladensit dnergie radiative, on obtient une courbe rgulire tendant vers zro

pour les grandes et pour les faibles longueurs dondes et prsentant unmaximum pour une longueur donde dpendant simplement de latemprature suivant la loi dite de dplacement de "Wien" dcouverte en1896 et qui stipule que le produit de la temprature parest une constante :cette loi exprimentale est fabuleuse en ce sens quelle nous permet detrouver la temprature connaissant et vice-versa. Ainsi sans poser les piedssur le Soleil, on peut savoir que la temprature sa surface est de 6000C.

Malheureusement, malgr de nombreuses tentatives, ces manifestationsexprimentales nont pu tre reproduites par la thorie classique. Tout au

plus Rayleigh (1842-1919) et Jeans (1877-1946), combinantllectromagntisme et la physique statistique, attriburent lmissionlumineuse un ensemble doscillateurs qui vibrent : chaque oscillateur ayantune nergie moyenne continue proportionnelle la temprature. Le rsultattrouv ne reflte pas lexprience et, sil donne un accord pour les grandeslongueurs dondes, il conduit par sa continuit une nergie rayonne infinie

pour les faibles longueurs dondes, ce qui est inacceptable physiquement etconduit la catastrophe ultraviolette. Les physiciens firent dautrestentatives mais sans succs. Leur chec est d essentiellement leur

attachement au concept de la continuit de lnergie considr alors commefondamental et inattaquable. On rigeait pourtant en principe ladiscontinuit de lespace car les objets sont spars les uns des autres, tout setermine quelque part. Les molcules, les atomes,ne sinterpntrent pas, ily a des limites bien nettes entre eux, seul tait continu le vide dans lequel ilsflottent. Mais on ne disposait daucune notion similaire sur la divisibilit delnergie : une pierre ne tomberait jamais avec un mouvement saccad, leSoleil nclairerait pas par flambes

Lapport de Planck a t dvaluer de faon diffrente lnergie moyennede chaque oscillateur quil postule discrte et valant un multiple entier dunenergie . Pour bien reproduire le spectre exprimental, devra tre unefonction monotone de la frquence . Planck prit alors la fonction la plussimple qui est un monme h, h tant une constante. Laccord sest rvl

parfait et la densit dnergie rayonne calcule par ce modle reproduitlexprience et permit, moyennant quelques manipulations mathmatiquessimples, de retrouver la loi de Wien et de calculer la constante h qui seraappele constante de Planck et qui vaut 6.62 10-34 J.s. Le 14 dcembre 1900Planck nonce alors sa loi dans toute sa gloire : les changes dnergieentre la matire et le rayonnement ne se font pas de faon continue mais parquantits discrtes et indivisibles dnergie h appels "quanta" , quanta


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Chapitre 1

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conduit en 1927 linterprtation connue sous le nom dinterprtation delEcole de Copenhague. Interprtation harmonieuse o lon renonait lidal dune description la fois spatio-temporelle et causale des

phnomnes au profit dun indterminisme rgi par des postulats mais dontles consquences ont multipli les succs dans la qute des lois relatives auxsystmes microscopiques.

La physique quantique issue du monde microscopique et qui se confinaitalors essentiellement latome a conquis le noyau et ses constituants et est lorigine de toutes les thories pertinentes actuelles de la physique.

Entre 1945 et 1950, R. Feymann, S.I. Tomonaga et J. Schwinger

dveloppent la thorie de llectrodynamique quantique qui, mme exposesimplement, permet une interprtation cohrente des phnomnesondulatoires et corpusculaires.

7. De loptique physique la photonique

Depuis 1950, on pensait que loptique tait une science acheve,susceptible uniquement de progrs technologiques. Or, depuis cette date, onassiste un dveloppement continu et mme un renouveau faisant jouer la lumire un rle dterminant dans tous les secteurs dactivit : recherche

scientifique, technologie de linformation et de la communication, sciencesmdicales, environnement, procds industriels, .

En 1960, le physicien Thodore Maiman, utilisant les travaux de Kastler sur lepompage optique, a russi dompter lincohrente lumire naturelle et crer lepremier gnrateur de rayonnement optique cohrent ou laser (Light Amplificationby Stimulated Emission of Radiation). La cohrence spatiale et temporelle et lapuissance du laser ont permis de dvelopper lholographie, les mthodesinterfromtriques, la spectroscopie haute rsolution, loptique intgre etloptique non linaire.

Lapparition des fibres optiques en 1970 a permis la lumire dtre le supportpour la transmission des informations, grce la trs grande frquence desvibrations lumineuses, la quantit dinformations transmises est norme et on dcle

aujourdhui plus de 250 millions de kilomtres de fibres optiques dans le monde,soit lquivalent denviron 300 allers-retours de la Terre la Lune.

La rvolution des technologies de linformation et de la communication, lesprogrs raliss dans les technologies de linfiniment petit (nanotechnologies) sonten train de paver la voie pour faire du XXI me sicle le sicle de la lumire et dutriomphe de loptique et de suppler le photon llectron.En effet, la microlectronique qui a envahi notre vie de tous les jours se livre une course vers la "miniaturisation" des composants ainsi que vers


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lacclration du transfert de linformation pour satisfaire le dveloppementet la croissance ultra rapide du nouvel ordre numrique. Cependant, ladiminution des dimensions des composants augmente la rsistance de leurscircuits lectriques et par suite leur chauffement ; par ailleurs, la clrit delinformation qui est vhicule par les lectrons est limite par la vitesse deces derniers qui atteint au plus 106 m/s dans la matire. En revanche, lalumire a de grands avantages sur le courant lectrique ; les photonstraversent un milieu dilectrique plus rapidement que les lectrons dans lesmilieux conducteurs et ceci sans freinage ni interaction entre eux. On peutainsi raliser une architecture neuronale, limage de celle du cerveau, qui

permet de conserver lintgrit des signaux vhiculs.

La dcouverte en 1991 des cristaux phoniques permettravraisemblablement de rpondre ces exigences et denvisager la fabricationde circuits intgrs tout optique et de concevoir des liens optiques qui ferontleur entre dans larchitecture des ordinateurs annonant lre desordinateurs optiques et quantiques dans lesquels la lumire remplacera lecourant lectrique et les qbits remplaceront les bits offrant aux lois de lamcanique quantique un vaste champ dapplication. La domestication, lamanipulation et le contrle des photons bouleverseront ainsi la technologielectronique et annonceront lre de la photonique.


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CHAPITRE 2

FONDEMENTS DEL'OPTIQUE GEOMETRIQUE


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Fondements de l'optique gomtrique

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L'optique ( du grec "optikos" signifiant relatif la vue ) a d'abord t,comme on la vu dans le chapitre 1, l'tude de la lumire visible, c'est--diredes phnomnes perus par l'il et de linformation transmise celui-ci.Cette information portant sur la forme de lobjet observ, sa couleur, sa

position, . Mais le mot "optique" a pris aujourdhui un sens beaucoup pluslarge. Dune part il sapplique un large domaine de longueurs donde,allant des rayons cosmiques aux micro-ondes. Dautre part, il implique en

plus de la lumire les ondes associes aux particules en mouvement rapide

tels que les lectrons qui peuvent tre guids ou rfracts suivant des loiscomparables celles qui rgissent les ondes lumineuses.La classification des domaines de loptique est aujourdhui arbitraire et

comporte de nombreux recouvrements. On peut nanmoins dire quelle eststructure en deux blocs : loptique gomtrique et loptique ondulatoire ou

physique, la premire sappliquant lorsque les longueurs mises en jeu dans leproblme sont trs infrieures aux dimensions de lappareil de mesure, ladeuxime se manifestant lorsque les longueurs donde sont de lordre degrandeur de ces derniers.

Le dveloppement de la thorie de la mesure et de divers champsdinvestigations de la connaissance a introduit galement dautresclassifications dont les plus importantes sont :

- loptique nergtique qui tient compte de lintensit de la lumire, de sarpartition et de son action sur les divers rcepteurs ;

- loptique quantique qui envisage laspect corpusculaire de la lumiredans ses changes dnergie avec la matire ;

- loptique lectronique qui tudie les manifestations ondulatoires defaisceaux dlectrons ;

- loptique instrumentale fonde sur les calculs et les raisonnements deloptique gomtrique et de loptique ondulatoire et qui tient compte des

proprits des matriaux et des divers effets physiques qui permettent lagnration ou la mesure dun signal optique ;

- loptique non linaire dont la finalit principale est la grandeconcentration de puissance dans un petit volume, ralise en gnral laide

dun laser. Dans ce cas, la matire rpond lexcitation optique non plussuivant la loi habituelle de proportionnalit qui se traduit par les phnomnesde rfraction mais suivant des lois plus complexes permettant latransformation de la radiation incidente en une autre de frquence double outriple par exemple.

Pour prsenter les fondements de loptique gomtrique, on voqueradabord de faon dtaille la nature de la lumire et la notion dondelumineuse. On noncera ensuite les principes pilotes de loptiquegomtrique qui sont le principe de propagation rectiligne de la lumire et le


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Chapitre 2

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principe de retour inverse de la lumire. On dfinira enfin les milieuxtransparents partir de leur indice de rfraction absolu et relatif et onintroduira le concept de chemin optique.

1. Nature de la lumire

Les premires thories (srieuses) relatives la nature de la lumire furentnonces au cours du XVIIme sicle. Deux thories apparemmentcontradictoires virent le jour, l'une dveloppant l'aspect corpusculaire, l'autres'appuyant sur le mcanisme ondulatoire. Elles soulevrent une controversequi dura jusqu'au dbut de notre sicle. En effet, chacune de ces thories

s'appuyait sur un certain nombre d'expriences mais laissait inexpliqusd'autres phnomnes physiques ou mme semblait tre mise en dfaut parces phnomnes.

La thorie corpusculaire avance par Newton considre la lumirecomme un ensemble de corpuscules (dont il ne prcisait pas la nature) lancs grande vitesse par l'objet lumineux dans un milieu appel " ther ", qui y

produisent des perturbations et qui viennent frapper le fond de l'il (thoriede l'mission). La diversit des couleurs est ainsi explique par desdiffrences de grosseur des corpuscules. Descartes avait galement expliqules lois de l'optique par des images empruntes une cinmatiquecorpusculaire et dcrit la lumire comme tant "une tendance aumouvement" qui, par l'intermdiaire d'un milieu, "se redouble par petitessecousses ".

Cette thorie laisse inexplique les phnomnes d'interfrences (pourtantobservs par Newton), c'est--dire le fait que, dans certains cas, lasuperposition de " lumires " peut produire l'obscurit. Elle n'explique pas,galement, les phnomnes de diffraction, c'est--dire la prsence de lumiredans les zones d'ombre gomtrique.

Il faudra attendre le dbut du vingtime sicle et les travaux d'Einstein(1905) et de Compton (1921) pour que cette thorie corpusculaire prenne saforme dfinitive : la lumire est forme de quanta d'nergie appels photonsqui obissent aux lois de conservation de la mcanique.

La thorie ondulatoire est propose en 1665 par Hooke pour expliquer

des phnomnes d'interfrences. Cette thorie est reprise ensuite parHuygens qui considre que tout point d'une surface lumineuse met uneonde sphrique qui se propage vitesse finie dans l'ther. Young puisFresnel la complteront en expliquant les interfrences des ondes lumineuseset en associant la frquence des ondes leur couleur.

Cette thorie est incapable d'expliquer, entre autres, les changesd'nergie entre rayonnement et matire tel que l'effet photolectrique c'est--dire l'expulsion d'lectrons dans une plaque mtallique soumise unrayonnement lumineux.


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Il faudra attendre, l encore, 1864 et l'introduction des ondeslectromagntiques par Maxwell pour que cette thorie prenne sa formedfinitive : la lumire est une onde lectromagntique. Cette onde estcaractrise par la propagation la vitesse c d'un champ lectrique et d'unchamp magntique coupls qui vibrent une frquence ; c est la clrit de

la lumire dans le vide, elle vaut c =00

1

= 3.108 m/s (o 0 et 0 sont des

constantes universelles reprsentant respectivement la permittivit et lapermabilit du vide).

La thorie lectromagntique de Maxwell n'impose aucune limite lafrquence des ondes lectromagntiques. Le spectre des radiations

lectromagntiques s'tend des "ondes radio" aux "rayons ", la lumirevisible (0,4 m < < 0,8 m) n'occupant qu'une trs faible partie de cespectre.

Chacune de ces thories n'explique qu'une partie des phnomnesphysiques relatifs la lumire. En fait, la lumire est une entit propre qui aun double comportement : un comportement ondulatoire et un comportementcorpusculaire, on parle alors de dualit onde-corpuscules.

En 1924, de Broglie montre, grce la mcanique ondulatoire, que ledouble aspect prsent par le phnomne lumineux n'est qu'un cas particulierd'une proprit gnrale de la matire : toute particule de quantit de

mouvement p est associe une onde de longueur d'onde =||p||

h o

h = 6,63.10-34

J.s est la constante universelle de Planck.Cette thorie a t vrifie pour les lectrons par Davisson et Germer

(1927) dans une exprience de diffraction. Toutefois, pour les particules


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Chapitre 2

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macroscopiques, cette longueur d'onde est trop petite pour tre mise envidence ( pour une particule de masse m = 1 g se dplaant la vitesse

v = 103 m/s on a 6,6.10-34

m !! )On considre actuellement, la lumire comme constitue d'ondes

lectromagntiques de frquences voisines de 1015 Hz auxquelles sontassocies des particules de masse nulle, appeles " photons ", transportant

l'nergie h et de quantit de mouvementc

h .

L'optique doit donc tre considre comme la partie de la physique qui, ausens large actuel, tudie les manifestations et les proprits de la lumire et,

par extension, des ondes lectromagntiques. L'optique gomtrique est lapartie de l'optique qui se fonde sur la notion de rayons lumineux.

2. Notions sur les ondes

2.1. Gnralits

Londe est le dplacement vitesse finie de la variation, dans l'espace etdans le temps, dune grandeur physique. Cette grandeur peut tre scalaire ouvectorielle et la propagation peut se faire le long d'une droite (dformationtransversale le long d'une corde), sur une surface (rides la surface de l'eau)ou dans l'espace (ondes sonores).

En acoustique, l'onde sonore est produite par un corps vibrant qui

perturbe l'atmosphre qui l'entoure. Ces perturbations se traduisent par desvariations de pression de cette atmosphre qui se transmettent d'un point unautre. L'onde sonore est donc caractrise par la variation d'une grandeurscalaire, la pression P(M,t). Le son est donc une onde de pression qui setransmet par les vibrations des milieux matriels qu'il traverse, il ne sepropage pas dans le vide. Dans l'air, 20C et sous une atmosphre, laclrit du son est : v = 343 m/s.

Les ondes lectromagntiques, et par suite les ondes lumineuses,correspondent la propagation du champ lectromagntique, constitu du

champ lectrique ),( tE et du champ magntique ),( t . Les intensits deces champs varient dans l'espace et dans le temps. De plus, ces deux champs

ne sont pas indpendants. L'onde lectromagntique se propage dans levide avec la clrit c = 3.108 m/s.

2.2. Ondes transversales et ondes longitudinales

Considrons une corde tendue entre deux points A et B et supposons quel'on produise, en A l'instant t0, une dformation y(A,t0)

perpendiculairement la corde. Cette dformation va se dplacer et on la


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retrouvera en M1 l'instant t1 = t0 + vx1

o v reprsente la vitesse depropagation de la dformation.

La dformation qui affectera unpoint M d'abscisse x l'instant t,sera identique celle qui a affect

A l'instant t0 = t - vx :

y(M,t) = y(A, t -vx )

La dformation y(M,t) qui sepropage suivant la direction de lacorde (x'x) est une onde

transversale.

B

B

y

x

xx

x

M

M

A

A

1

1

1t

t

Considrons maintenant un ressort dont les extrmits sont attaches deux points fixes A et B.

Pinons en A, l'instantt0, quelques spires; ladformation va se dplacer la vitesse v et on laretrouvera identique elle-mme au point M,

l'instant t = t0 + vx .

On a :x(M,t) = x(A, t -

vx )

A B

BAx

x

x

x

t

t

1

1M

M

La dformation x(M,t) qui a t effectue suivant la direction du ressort etqui se propage suivant cette mme direction est uneonde longitudinale.

Les champs ),( t et ),( t qui constituent le champ lectromagntiquesont, dans le vide, perpendiculaires entre eux et perpendiculaires ladirection de propagation.

Les ondes lectromagntiques sont doncdes ondes transversales.

2.3. Dfinitions

2.3.1. Ondes progressives unidimensionnelles

2.3.1.1 quation d'onde

Considrons une onde se propageant suivant la direction x'x .Soit F(M,t) la grandeur physique dont on tudie la propagation. Nous

avons vu que lorsque la propagation s'effectue suivant les valeurs croissantes


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Chapitre 2

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de x, la perturbation se trouve identique elle-mme l'instant t, au point M,tel que :

F(x,t) = f(t -vx ) o v est la vitesse de propagation de la perturbation.

Si la perturbation se propageait dans la direction des valeurs dcroissantesde x, on aurait trouv :

F(x,t) = g(t +vx )

f et g sont des fonctions arbitraires respectivement de (t -vx ) et (t +

vx ).

On dmontre que la combinaison linaire F(x,t) = f(t -vx ) + g(t +

vx ) est

la solution gnrale d'une quation aux drives partielles de la forme :

2

2

22

2

tF

v1

xF

= 0

Cette quation est appele "quation donde" ou "quation dAlembert",sa solution la plus gnrale reprsente donc la somme de deux ondes

progressives se propageant en sens inverse sur x'x .On remarquera que les fonctions f ou g , un instant donn t, sont

constantes dans tous les plans x = constante. Ces fonctions dcrivent donc"des ondes planes ".

2.3.1.2 Onde plane progressive sinusodale ou monochromatique

Un cas spcialement intressant est celui o la fonction f ( ou g ) est unefonction sinusodale de x et de t, de pulsation .

Par un choix convenable de l'origine des temps on peut crire :

F(x,t) = A cos

v

xt o A est une constante.

On appelle "phasede l'onde " la quantit : (x,t) =

vx

t

La fonction F(x,t) prsente une double priodicit :

dans le temps : la priode temporelle T reprsente la dure au bout delaquelle l'onde se retrouve identique elle-mme dans le mme plandabscisse x

F(x,t) = F(x,t + nT).

Cette priode est gale : T =2

La pulsation reprsente donc le nombre de priodes T dans l'intervallede temps 2 secondes.


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Le nombre de priodes par unit de temps, appel frquence de l'onde, estdonn par

T

1

2=

=

dans l'espace : la priode spatiale ou longueur d'onde reprsente ladistance entre deux plans dabscisses x et x + o l'onde est identique ellemme au mme instant t:

F(x,t) = F(x + ,t).

Elle est donne par : Tvv2

=

=

On dfinit la pulsation spatiale ou nombre d'onde k de l'onde par lenombre de longueurs d'onde sur une distance de 2 mtres :

k =v

2 =

Le vecteur k = k i =2

i port par la direction de propagation et

orient dans le sens de la propagation est appel " vecteur d'onde ".On peut finalement crire F(x,t) sous les formes quivalentes suivantes :

F(x,t) = A cos

(t -

xv ) = A cos

)

x

T

t(2

F(x,t) = A cos (t - kx )Remarque : comme la direction de propagation est l'axe Ox , la quantit

kx n'est rien d'autre que le produit scalaire k . x et on peut crire :

F(x,t) = A cos (t - x.k )

Lessurfaces quiphases ( (x,t) = constante) sont celles pour lesquelles,

un instant t donn, k . x = constante. Pour une onde unidimensionnelle, de

vecteur d'onde k donn, ce sont les plans x = constante, perpendiculaires

k. On les appelle galement "plans d'onde ".

2.3.2. Ondes progressives de direction quelconque

Rapportons l'espace un systme d'axes orthonorms ( Ox , Oy , Oz ).

Soit u la direction de propagation de l'onde (on a donc k = k u ) et M(x,y,z)

un point repr par son vecteur position = r .Par analogie avec ce qui prcde, l'onde progressive qui atteint M

l'instant t s'exprime simplement par :

F(M,t) = A cos (t - r.k )


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Chapitre 2

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Les surfaces quiphases ou surfacesd'onde correspondant une onde se

propageant dans la direction u , donc de

vecteur d'onde k donn, un instantdonn t, sont les surfaces d'quation

k . r = constante, c'est--dire les plans

perpendiculaires k.

y

z

x

O

r

M

u

k

On dit qu'on a propagation enondes planes.

Nous retiendrons donc que les surfacesd'onde relatives un faisceau de rayons

parallles (de vecteur d'onde k donn)

sont des plans perpendiculaires k .

t t

k

k

1 2

Si des ondes monochromatiques, depulsation et de nombre d'onde k, sontissues d'un point source S, leurs vecteurs

d'onde k auront toutes les directions de

l'espace et les surfaces quiphases ousurfaces d'onde seront des sphrescentres en S. On dit que l'on a desondes sphriques.

S

k

M

t

t

1

2

On dmontre que dans ce cas l'amplitude A de l'onde est une fonctioninversement proportionnelle la distance r du point M considr la sourceS, soit :

F(M,t) =r

Bcos (t - k . r )

3. Principe de propagation rectiligne de la lumire3.1. Le rayon lumineux

De nombreuses observations courantes (lumire du jour pntrant dansune chambre obscure, faisceau laser traversant un nuage de fume de tabac,lumire projete par les phares d'une voiture sur une route poussireuse ouen temps pluvieux, ) suggrent que la lumire issue d'une source sepropage en ligne droite dans un milieu homogne et transparent.


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-29-

Toutefois, les faisceaux lumineux observs ont des sections d'une certainedimension et ne peuvent tre confondus avec un rayon lumineux de section

ponctuelle. On serait tent, pour isoler un rayon lumineux, de diaphragmerces faisceaux. Pour ce faire ralisons l'exprience suivante :

Un laser donne en gnral un faisceau quasi-cylindrique de sectionvoisine de quelques mm2. Sur l'cran d'observation E on observe donc unetache lumineuse circulaire de mme section.

Interposons sur le trajet de ce faisceau un diaphragme iris capable d'enrduire volont la section.

Laser

Laser Diaphragme

E

E

On constate que, au fur et mesure que l'on rtrcit le diaphragme, la

dimension de la tache sur l'cran diminue mais, partir d'une certaineouverture, on obtient sur l'cran un clairement non uniforme constitu d'unetache centrale de dimension suprieure celle de l'iris et d'anneauxd'intensit plus faible : c'est le phnomne de diffraction.

Ce phnomne est caractris par un talement angulaire valant :

=a o est la longueur d'onde du faisceau monochromatique considr

et a le diamtre du diaphragme.

3.2. Limite de validit de l'optique gomtrique

Le principe de propagation rectiligne de la lumire n'est donc qu'unepremire approximation; sa validit est limite par les phnomnes dediffraction qui ont pour effet l'impossibilit d'isoler physiquement un rayonlumineux en limitant les faisceaux par un diaphragme de petite ouverture.

Pour observer la propagation rectiligne, il faudrait utiliser des instrumentsdont l'ouverture est grande devant la longueur d'onde de la lumire utilise.


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Chapitre 2

-30-

3.3. Indpendance des rayons lumineuxOn admet que les faisceaux lumineux sont composs de rayons

lumineux indpendants les uns des autres. Il en rsulte que des rayonsissus de diffrents points d'une source lumineuses ne se perturbent pas lesuns les autres et que l'on peut tudier la marche d'un rayon lumineuxindpendamment de la marche des autres rayons.

Un faisceau lumineux tant constitu de rayons ayant des directionsdonnes, on appellera, en indiquant par une flche le sens de propagation dela lumire :

faisceau "divergent " un faisceaulumineux dont tous les rayons sont issus d'unmme point S,

faisceau "convergent " un faisceaulumineux dont tous les rayons aboutissent un mme point,

faisceau "parallle " ou "cylindrique "un faisceau lumineux dont tous les rayonssont parallles.

faisceau divergent

faisceau convergent

faisceau parallle

4. Principe du retour inverse de la lumire

Considrons un rayon lumineux issu d'un point A, traversant plusieursmilieux et aboutissant un point B, sans subir de rflexion.

Si on inverse le sens de la lumire, en considrant un rayon lumineux issudu point B et aboutissant au point A, on remarque que la lumire suivra lemme trajet entre ces deux points.

On dit que le trajet suivi par la lumire est indpendant du sens de

propagation.


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-31-

5. Indices de rfraction

5.1. Les milieux

La lumire peut se propager dans le vide et les milieux autres que le vide.Un milieu est dit :homogne lorsque sa composition est la mme en tous ses points; il est

dit inhomogne dans le cas contraire, isotrope lorsque ses proprits sont les mmes dans toutes les

directions; dans le cas contraire, il estanisotrope ,transparent s'il laisse passer la lumire sans attnuation (l'eau, le verre,

); il est absorbant s'il ne laisse passer qu'une partie de la lumire (verresfums, ). En ralit, tous les milieux matriels sont plus ou moinsabsorbants. A la limite, il est opaque s'il ne laisse pas passer la lumire(pratiquement, tous les mtaux le sont).

La permittivit d'un milieu est diffrente de celle 0 du vide alors que,dans le cas d'un milieu non magntique, sa permabilit est trs peudiffrente de celle 0 du vide. Dans un milieu transparent, homogne etisotrope, est une fonction de la frquence . La vitesse v de propagation de

la lumire dans le milieu s'crit alors : v() =0 )(

1.

5.2. Indices des milieux

Le rapport entre la vitesse de la lumire dans le vide celle dans le milieuconsidr est un nombre sans dimension, not n et appel "indice du milieu"

n() =)(v

c

La dpendance en frquence de l'indice caractrise "le pouvoir dispersif"du milieu :

n = n() ou n = n() ou n = n()En gnral, n est une fonction dcroissante de la longueur d'onde.Soit 0 et les longueurs d'onde d'une mme radiation, de pulsation ,

dans le vide et dans un milieu d'indice n; la priode de la vibration est fixe,

puisque donne par T =2 , donc :

0 = cT et = vT d'o n = vc

=0

Pour une mme radiation, l'indice n d'un milieu dpend galement de latemprature; sa variation est donne, avec une bonne approximation, par la

formule de Gladstone :


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Chapitre 2

-32-

1n = constante

o est la masse volumique du milieu la temprature considre :

=+1

0k

, k tant le coefficient de dilatation cubique moyen entre

0 et C.Soit : (n 1) (1 + k) = constanteL'indice n est donc une fonction dcroissante de la temprature.De par leur dfinition, les indices des milieux transparents usuels, pour

les frquences optiques considres, sont suprieurs 1; mais certainsmilieux (plasmas, par exemple) peuvent avoir un indice infrieur 1 dans

certains domaines de frquences.Les milieux que nous considrerons dans ce cours seront transparents,

homognes, isotropes et d'indice suprieur ou gal 1. Nous indiquerons,toutefois, ce qui se passerait s'ils ne l'taient pas.

5.3. Dioptre

On dsigne par ce terme toute surface de sparation entre deux milieuxhomognes et transparents d'indices diffrents.

Cette surface peut tre plane (le dioptre est alors dit plan), sphrique(dioptre sphrique) ou de forme quelconque.

Elle peut galement tre rendue soit totalement soit partiellementrflchissante par un dpt d'une fine couche mtallique ou par un traitementadquat. On obtient alors un miroir ou une lame partiellement rflchissante.

6. Chemin optique

6.1. Cas gnral - Dfinition

Considrons un milieu transparent, isotrope mais pas ncessairementhomogne, l'indice n du milieu pouvant varier d'un point un autre pour uneradiation monochromatique donne. Soit (C) une courbe continue

quelconque joignant deux points A et B, et ds un lment de longueur decette courbe.On appelle "chemin optique [AB] ", entre les points A et B le long de la

courbe (C), l'intgrale curviligne

L = [ ] =C

dsnAB


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-33-

Remarques :

a/- Comme n =cv et ds = vdt , cette expression s'crit galement :

L = [AB] = B

Acdt = c(tB - tA) = c t

Le chemin optique reprsente donc la distance parcourue par la lumire sielle se propageait dans le vide pendant la mme dure t de parcours dans lemilieu considr. Il est alors gal, une constante multiplicative c prs, autemps mis par la lumire pour aller de A B.

b/- En introduisant la pulsation et le vecteur d'onde kde la radiationconsidre, l'indice de rfraction s'crit :

n =cv =

c

v =

c

|| k||Comme le vecteur d'onde k est colinaire au vecteur dplacement

lmentaire d s , l'intgrale prcdente peut d'crire :

L = [AB] = C nds= C sd..kc

= C sd..kc

Le chemin optique apparat donc comme une grandeur algbrique,positive si le parcours de A vers B s'effectue dans le sens de la lumire,ngative dans le cas contraire.

6.2. Cas d'un milieu homogne

Si le milieu est homogne, son indice de rfraction est constant d'un point un autre et la lumire se propage en ligne droite; le chemin optique s'crira:

L = [AB] = B

Ands= n

B

Ads = n

AB = n

o est la mesure algbrique du segment AB.Exemple : si la lumire parcourt une distance de 30 cm dans l'eau d'indice

n =34

, le chemin optique correspondant est L =34 . 30 = 40 cm. La lumire

parcourrait donc dans le vide pendant le mme temps une longueur de 40cm.

En introduisant le vecteur unitaire u du vecteurABorient dans le sens de

la lumire, le chemin optique peut prendre la forme d'un produit scalaire :L = [ ] AB.unAB =

6.3. Cas d'une succession de milieux homognes :

Dans le cas o l'on a une suite de milieux homognes d'indicesn1, n2, , nk, spars par des dioptres, le trajet du rayon lumineux est formd'une suite de segments de droites limits aux points de rencontre


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Chapitre 2

-34-

I1, I

2, , I

k-1de ce rayon avec les dioptres. Le chemin optique entre deux

points A et B appartenant respectivement au premier et au dernier milieu est:L = [AB] = n1 AI1 + n2 I1I2 + + nkIk-1B

= n11 + n22 + + nkk

L = [ ] =i

iinAB A

soit encore :

L = [AB] = n1 1u . 1AI + + nk ku BI 1k

L = [ ] =i

iii .unAB A

n n n n n

I I

I

u

uu

A

B

1

1

1 2

2 2

3 k

kk-1

k-1

Remarque :

Si au cours de son trajet dans les milieux successifs considrs le rayon

rencontre une surface rflchissante, le chemin optique s'crira de faonanalogue en tenant compte de l'invariance de l'indice du milieu o s'effectuela rflexion.

7. Les matriaux optiques

Loptique utilise divers matriaux dont les proprits physiques doiventrpondre aux exigences que requiert leur utilisation dans les divers systmeset montages.

On peut disposer de verres de composition diverses offrant une largegamme de rfringences et de dispersions avec une transparence suffisante

pour les radiations utilises.Ces verres doivent tre soigneusement homogniss pour avoir des

indices de rfraction uniformes et leur tat de surface doit rsister labrasion et aux altrations chimiques. On les a class suivant desnomenclatures tel que le crown, qui est un silicate de calcium et de sodiumou de potassium, le flint, qui est un silicate de potassium et de plomb. Tousdeux sont ventuellement additionns danhydride borique ou phosphorique,de fluorures, de barytes, . Lintroduction de compositions nouvelles


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(verres dIna vers 1880, verres Kodak vers 1947, ) a entran des progrsintressants et des performances potentielles.

Le quartz cristallin ou fondu (silice amorphe) est prcieux de par sa faibledilatation et surtout en raison de sa transparence pour certaines radiationsultraviolettes ou infrarouges.

Les verres organiques sont des matriaux plastiques transparents, lgers,rsistants aux chocs mais gnralement moins bien rsistants labrasion ; la

possibilit de les reproduire par moulage est avantageuse et leur usage estdvelopp en lunetterie.

On doit encore classer parmi les matriaux optiques certains liquidesdispersifs (cinnamate dthyle, sulfure de carbone) quon enferme dans des

prismes creux pour les besoins de la spectroscopie.

Enfin, on utilise aussi certains matriaux tels que laluminium et lor encouches de trs faible paisseur sur un support de verre ou de silice laforme voulue pour raliser des miroirs ou des rseaux de diffraction.


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Exercices et problmes

- 37 -


EP.2.1 : Chambre noire

Elle est constitue par une caisse parois opaques dans laquelle on a perc unpetit trou sur lune des faces verticales, la partie oppose tant constitue par unverre dpoli.

Un objet AB, reprsent schmatiquement par une flche, est plac une

distance quelconque de la chambre. Chacun de ses points envoie des rayons danstoutes les directions, mais seuls peuvent entrer ceux qui rencontrent le trou en O : lesrayons issus de A, par exemple, viennent dessiner sur le verre dpoli une tracelumineuse A dautant plus petite que le trou a des dimensions plus rduites.Lensemble de ces taches forme une flche renverse quon appelle "image".

A

B

A

H

B

H

A

0

1. La chambre noire ayant une profondeur de 40 cm, on dsire raliser uneimage dun arbre de 10 mtres de hauteur situ 20 mtres du trou.

Calculer la longueur de limage de larbre sur le verre dpoli vertical.2. Le trou tant un cercle de mm de diamtre, quel est le diamtre de la

tache lumineuse considre comme limage dun point de larbre.

Solution

1. La similitude des triangles OAB et OAB permet dcrire :

501

000240

OHOH'

ABB'A' ===

La longueur de limage est donc le 1/50 de lobjet, soit :AB = 0,2 m = 20 cm2. La tache lumineuse correspondant A est un cercle de diamtre AA 1 ; le

diamtre du trou tant 0,5 mm, on a :

AA1 = 0,5 AOAA' = 0,5

50115,0

OH'OH15,0

HO'HH +=+=

Le diamtre AA1 est don gal mm 1/50 prsLa nettet de AB augmente quand le diamtre du trou diminue, mais son

clairement devient de plus en plus faible. On verra plus loin que si lon remplacele trou par une lentille convergente, on peut avoir une image nette et assez claire.


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Chapitre 2

- 38 -

EP.2.2 : Eclipses de Soleil

Elles se produisent quand la Terre passe dans lombre de la Lune. S et Lreprsentent le Soleil et la Lune ; on a dessin sur la figure les cnes dombre etde pnombre.

3

2

1L

S 2

Pour les points de la Terre situs dans la rgion 1, il y a clipse totale, aucunpoint du Soleil ntant visible ;

Dans la rgion 2, on observe une clipse partielle, une partie seulement dudisque solaire tant visible : on voit un croissant plus ou moins chancr ;

Enfin, pour les points de la rgion 3, il y a clipse annulaire : la partie visibledu Soleil a la forme dun anneau.

En utilisant les donnes numriques suivantes

diamtre de la Terre : dT = 1,28.104

kmdiamtre de la Lune : dL = 3,5.103 km

rapport du diamtre apparent du Soleil celui de la Lune vus de laTerre : = 0,9

distance Terre-Soleil R = 1,5.108 kmdistance Terre-Lune r = 3,8.105 km

valuer :1. Au niveau de la surface de la Terre

1.a. le diamtre de la zone dombre1.b. le diamtre de la zone de pnombre.

2. La dure maximale dune clipse totale.

Solution

1.a. Diamtre de la zone dombre :

Le diamtre apparent du SoleilR

d S est langle sous lequel le Soleil est vu partir

de la Terre .

Le diamtre apparent de la Luner

d L est langle sous lequel la Lune est vue

partir de la Terre.


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- 39 -

Le rapport des diamtres apparents est donn par =d

dRr

LS = 0,9.

d S

d L

H Terre

Zonedombre

R

r

2HdS

Soleil

Lune

On a daprs la figure :

r2

H

)rR(2

Htg

dd LS =

= comme r


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Chapitre 2

- 40 -

Soit : h = ( ) ( )++

=

+

1d1

Rr1

d

d

dRr1

Rr1

dL

L

LSL 7300 km.

2. La dure de lclipse est donne parv

dS= o v est la vitesse dun point sur

la surface de la Terre.

v =86400

dT = 0,47 km /s ( o dT est la diamtre terrestre).

Do : = 12 mn.

EP.2.3 : Longueurs dondes associes des particulesCalculer la longueur donde de De Broglie associe :Une balle de fusil de masse 1 g et de vitesse 500 m/sUn grain de poussire de masse 10-15 kg et de vitesse 1 mm/sUn lectron acclr sous une diffrence de potentiel U = 100 VUn lectron dans latome dhlium ayant une nergie cintique de 24,6 eV

correspondant lnergie dionisation de lhliumUne particule (noyau dhlium) ayant une nergie cintique de 7,7

MeV.

Commenter dans chaque cas le rsultat obtenu.

Solution

La longueur donde de De Broglie est dfinie par : =ph

1. Longueur donde associe la balle de fusil :p = mv = 10-3 x 500 = 0,5 kg.m.s-1

=5,0

10.64,6 34= 1,33.10-33 m

est trop petite pour tre mise en vidence exprimentalement

2. Longueur donde associe un grain de poussire :p = mv = 10-15 x 10-3 = 10-18 kg.m.s-1

= 1834

1010.64,6

= 6,64.10-16 m

est encore trop petite pour tre mesure

3. Longueur donde associe un lectron acclr

=ph


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Comme EC =m2

p 2, on a p = cmE2 et =

cmE2h =

eUm2

h

soit : ( ) =)V(U

3,12

pour U = 100 V, on a : = 1,23 Cette longueur donde se situe dans le domaine des rayons X

4. Longueur donde associe un lectron de latome dhlium :La formule prcdente reste valable avec Ec = 24,6 eV

=cmE2

h =6,24

3,12 = 2,5

Cette longueur donde se situe galement dans le domaine des rayons X

5. Longueur donde associe une particule :On a : Ec = 7,7 MeV = =12,32.10

-13 J et m = 6,67.10-27 Kg

Soit : p = cEm2 = 1,28.10-19 Kg.m.s-1

do =cmE2

h = 5,16.10-15 m

EP.2.4 : Energie et quantit de mouvement transportes par lalumire

Un faisceau lumineux de longueur donde = 0,5 m arriveperpendiculairement sur une surface parfaitement absorbante S = 1 cm2.

1. Lnergie reue par unit de temps par la surface tant de W = 10 watts,dterminer :

le nombre N de photons arrivant sur la surface par unit de temps,le nombre n de photons du faisceau par unit de volume

la quantit de mouvement p dun photon2. On admet que cette quantit de mouvement est transmise la surface

(conservation de la quantit de mouvement) et que la force de radiation Fexerce par le faisceau sur la surface est gale la quantit de mouvementreue par la surface par unit de temps.

Calculer la force de radiation F et la pression de radiation P.

Solution

1.1. Chaque photon apporte la surface son nergie E = h ; les N photonsarrivant sur la surface par unit de temps apportent donc lnergie W = NE. Utilisantla relation entre longueur donde dans le vide et frquence dune onde lumineuse

= c , on obtient :


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Chapitre 2

- 42 -

N = =

=hcW

hW

EW

Soit : N = 19834

6

10.5,210.3x10.6,6

105,0x10=

1.2. Tous les photons arrivant dans lintervalle de temps [t, t + t] sur la surfaceS (photons au nombre de N(t)) sont ceux qui linstant t se trouvaient dans uncylindre de base S et de hauteur c (t) (distance parcourue par un photon danslintervalle t). Le volume de ce cylindre est gal c (t) S ; il contient un nombrede photons gal n c (t) S ; do

N (t) = n c (t) S

n = == 48

19

10x10.3

10.5,2

cSN

8.1014

m-3

S

c t1.3. Lutilisation de la relation de De Broglie conduit :

p = 6

34

10.5,0

10.6,6h

=

= 1,3.10-37 kg.m.s-1

2. La quantit de mouvement des N (t) photons arrivant dans lintervalle de

temps t est N (t) p ; si cette quantit de mouvement est transmise la surface, la

surface acquiert dans lintervalle de temps t la quantit de mouvement :

p = N (t) p

Le rapporttp

reprsente la force exerce (par les photons) sur la surface (si la

surface est maintenue fixe par un dispositif exprimental, ce dispositif doit exercer

sur elle la force -tp

). En module, cette force est :

F = pNtptN

t

p=

=

On peut la calculer partir des valeurs de N et p dj trouves, mais on peut aussiremarquer que :

E = h = h

c = cp ( relation entre lnergie et la quantit de

mouvement dune particule de masse nulle)

F = N p = .N10.3,310.310

cW

cNE 8

8===

La pression est, par dfinition, la force exerce par unit de surface :

P = 4

8

10

10.3,3

SF

= = 3,3.10-4 Pa.

Cette pression est trs faible : environ 10-9 atmosphre.


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EP.2.5 : Onde transversale dans une corde

Soit une corde infiniment fine, homogne, de masse linique constante.Cette corde est sans raideur, cest--dire que, non tendue, elle peut tredforme par une action faible. On la suppose dans la suite tendue, par un

dispositif adquat, avec une tension T .Au repos, la corde se confond avec laxe des x qui correspond donc sa

position dquilibre. On tudie les petits mouvements transversaux de la cordedans le plan xOy, ce qui signifie quun petit lment dl de corde situ au point

M0 dabscisse x lorsque la corde est au repos se trouve au point M de mmeabscisse x et dordonne y(t,x) lorsquelle est en mouvement.La tangente la corde au point M fait avec laxe des x un angle (t,x)

suppos petit.On nglige laction de la pesanteur sur la corde ainsi que toute cause

damortissement des mouvements.1. Montrer que lquation du mouvement dun petit lment de la corde est

donne par :

F 2

2

x

y

= 22ty

Que reprsente cette quation ?2. On suppose que le mouvement du point M est sinusodal de pulsation et

est dcrit par : y(x, t) = A(x) exp (it)Donner la solution gnrale de lquation diffrentielle laquelle satisfait

lamplitude complexe A(x). Ecrire la solution y correspondante sous formedune superposition dondes progressives.

Solution

1- Un petit lment dl de corde scrit, un instant donn, en fonction de dx etdy :

dl =2

22

x

y1dxdydx

+=+

Or tg =xy

. Pour de petits mouvements, on peut confondre langle et sa

tangente. Donc x

y

est petit en valeur absolue devant 1. En ngligeant les

termes du second ordre ou dordre suprieur, on peut en dduire que :dl dx


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- 45 -

2

2

t

y

= T 2

2

x

y

soit encore : 2

2

x

y

-

v

12

2

t

y

= 0

qui est lquation donde, appele "quation de dAlembert", une dimension ettraduisant la propagation dun branlement la vitesse constante:

v =T

2. On : y(x, t) = A(x) exp (it)

En drivant deux fois y par rapport x et t, puis en remplaant dans lquation

de propagation 2

2

x

y

et

2

2

t

y

par les expressions obtenues, on aboutit :

2

2

dx

Ad= - k2 A avec k2 = 2

T

La solution correspondante scrit :)t,x(y = a1 exp(ikx + t) + a2 exp(ikx - t)

)t,x(y est la superposition de deux ondes progressives se propageant en sensinverse lune de lautre avec la vitesse

v =

T

EP.2.6 : Mesure de c par la mthode de la roue dente (mthodede Fizeau)

Une source ponctuelle S met de la lumire dans la direction SI. La lumireest rflchie en I par un miroir plan M perpendiculaire la direction SI. Elleest ensuite dvie angle droit par une lame semi-transparente P et reue surune cellule photolectrique en C.

RA

R

S

C

P

I

M

Une roue dente munie sa priphrie de p dents identiques rgulirementrparties est dispose normalement laxe du faisceau deque, pendant quelletourne autour de son axe parallle SI, le rayon lumineux SI rencontre


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EP.2.7 : Mesure de c par la mthode du miroir tournant(mthode de Foucault)

La lumire issue dune fente F est rflchie par un miroir plan R tournantautour dun axe de son plan, dont la trace est en O sur la figure. Une lentilleconvergente L forme de la source F une image F sur un miroir sphrique M.Le centre du miroir est en O. Enfin, P est une lame semi-argente, oriente 45 de laxe FO.

O

R

R

F

M

A

F

P

LB

1. Si lon fait tourner le miroir plan dun petit angle, limage F de F balaieM.Montrer que, quelle que soit la position de R, limage de retour est toujours

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Optique_Géométrique 75