PCSI1 Lycée Michelet

L’OSCILLATEUR HARMONIQUE

PlanI. Première observation : mouvement d’une masse accrochée à un ressort 2

1. En classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Tracé direct de x(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II. Rappels mathématiques 41. Fonctions sinusoïdales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Un peu d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

III.Expression mathématique de x(t) 41. Expression générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Facteurs influençant A et ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IV.Étude cinématique du mouvement harmonique 61. Position, vitesse, accélération. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Lien entre mouvement circulaire uniforme et mouvement sinusoïdal . . . . . . 8

V. Équation de l’oscillateur harmonique 81. Force élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. Établissement de l’équation de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . 93. Résolution de l’équation de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . 104. Différentes formes des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115. Retour sur le ressort vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126. Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

VI.Bilan énergétique 141. Intégrale première du mouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142. Évolution temporelle de Ec et Ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153. Interprétation graphique : puits de potentiel harmonique . . . . . . . . . . . . 174. Passage de E = cte à l’équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

PCSI1 Lycée Michelet

Introduction

Lorsqu’une onde se propage (onde acoustique, onde à la surface de l’eau), on observe loca-lement un mouvement oscillant (oscillation des particules fluides pour une onde acoustique,oscillation d’un flotteur à la surface de l’eau), c’est à dire un mouvement périodique borné,autour d’une position correspondant à la position de repos. C’est pourquoi, avant d’aborderl’étude générale des ondes, nous allons nous intéresser au mouvement oscillant et plus parti-culièrement au mouvement harmonique.

Le mouvement harmonique privilégie les fonctions sinus (ou cosinus). Ce n’est en rien res-trictif, car nous verrons que tout mouvement périodique (de période T , de fréquence f = 1/T )peut se décomposer en une superposition (comprendre une somme) de signaux sinusoïdaux defréquence multiple de f . C’est l’analyse de Fourier, que vous avez déjà rencontrée en termi-nale, par exemple lors de la détermination du spectre d’un son.

Il existe une manière très simple de visualiser un mouvement harmonique : il suffit d’accrocherune masse à l’extrémité d’un ressort et de la laisser osciller.

I. Première observation : mouvement d’une masse accro-chée à un ressort

1. En classe

Expérience : si on accroche une masse à un ressort vertical à spires jointives (ce ressort nepeut être qu’étiré et non comprimé), on peut s’arranger pour que la position de cette massese stabilise à une position d’équilibre.

. Quelles sont les forces intervenant dans cet équilibre ?– le poids ~P = m~g

– la force de rappel du ressort ~T. Quelle relation s’applique à l’équilibre ?

Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen la condition d’équilibre s’exprime sousla forme : ~P + ~T = ~0

On écarte la masse de sa position d’équilibre et on la lâche : on observe alors des oscillationsde part et d’autre de sa position d’équilibre.

. Indiquer sur un schéma, le sens de la résultante des forces ~R = ~P + ~T . Vérifier que cetterésultante tend à ramener la masse vers sa position d’équilibre.

2

x=xe

x<xe

O

R→

x>xe

x

R→R→

R=0→ →

Le poids reste constant alors que la tension du ressort augmente quand son étirement aug-mente. Pour x < xe le poids l’emporte sur la tension, pour x > xe la tension l’emporte surle poids. On vérifie que la résultante des forces tend à ramener la masse vers sa positiond’équilibre.

On peut alors tracer l’allure de x(t) au cours du temps :

Indiquer sur le schéma ci-contre :

– la position d’équilibre xe

– la période T des oscillations

– l’amplitude A des oscillations

2. Tracé direct de x(t)

Sur cette vidéo extraite des cours de physique au MIT de Walter Levine : Lien vidéo, on peutsuivre une leçon sur l’oscillateur harmonique. Toute la leçon mérite d’être suivie, mais si ons’intéresse plus particulièrement à ce qui se passe entre 10 min et 12 min 20 s, on observe letracé en direct de x(t) où x représente la position d’une masse accrochée à des ressorts et test la variable temporelle.La courbe obtenue évoque clairement une courbe sinusoïdale (fonction sinus ou cosinus).Au laboratoire, on a filmé les ocillations dans un plan horizontal d’une masse (un paletsur coussin d’air) fixée à l’extrémité de deux ressorts, fait un pointage avec avimeca et unemodélisation de la courbe obtenue avec Regressi... qui renvoie une fonction sinusoïdale ! Nouspourrons le vérifier en TP.Avant d’aller plus loin, il peut être utile de faire quelques rappels sur les fonctions sinus etcosinus

3

II. Rappels mathématiques

1. Fonctions sinusoïdales

cf polycopié

2. Un peu d’entraînement

• Tracer l’allure des fonctions :f(x) = cos(x− π

3)

g(x) = sin(x+ 2π3

)h(x) = 1 + 0, 5 cos(x)

Retenir :cos(x− π

3) décale la courbe de cosx de π

3vers la droite (sens des x croissants)

sin(x+ 2π3

) décale la courbe de sinx de 2π3

vers la gauche (sens des x décroissants)

Dans cette partie, on a gardé les notations habituelles des mathématiciens pour lesquels lavariable est généralement notée x. En physique, les notations sont adaptées à la grandeurphysique décrite.Dans la suite du cours, la variable physique pertinente est le temps. Elle sera notée t alorsque x deviendra une fonction...

• Dériver, puis intégrer les fonctions, ω étant une constante dont on précisera la dimension :f(t) = cos(ωt)g(t) = sin(ωt)

III. Expression mathématique de x(t)

1. Expression générale

On observe un mouvement sinusoïdal autour de la position d’équilibre xe, d’amplitude A etde période T . De manière générale, x(t) pourra s’écrire sous la forme :

x(t) = xe + A cos(ωt+ ϕ)

. xe représente la position d’équilibre autour de laquelle le mouvement se produit. Ellecorrespond également à la valeur moyenne de x(t) notée < x(t) > car la valeur moyenned’un cosinus est nulle (sur une période, on peut toujours associer à une valeur, sa valeur op-posée, décalée d’une demi-période). On reviendra plus tard sur la notion de valeur moyenned’un signal.

. A représente l’amplitude du mouvement (xe − A 6 x 6 xe + A).

. ωt+ ϕ est appelé phase (avec ϕ phase à t = 0). T étant la période du mouvement,

x(t) = x(t+ T )

xe + A cos(ωt+ ϕ) = xe + A cos(ω(t+ T ) + ϕ)

4

cos(ωt+ ϕ) = cos(ωt+ ωT + ϕ)

la fonction cosinus étant périodique de période 2π on en déduit la relation

ωT = 2π

ω =2π

T

ω est appelée pulsation (on rencontre également le terme fréquence angulaire) et est ho-mogène à l’inverse d’un temps. On donne généralement sa valeur en rad.s−1.

On définit également f fréquence du mouvement par f =1

Ton a alors ω = 2πf .

La fréquence est homogène à l’inverse d’un temps. L’unité SI est le Hertz (1 Hz=1 s−1).

2. Facteurs influençant A et ϕ

Pour une masse et un ressort donné, on peut jouer initialement sur deux paramètres lors dela mise en mouvement :– la position initiale x0 = x(0)– la vitesse initiale v0 = (dx

dt)t=0 (autre notation : (dx

dt)t=0 = x(0)).

On peut écarter la masse de sa position initiale et la lâcher sans vitesse, ou bien transmettreune vitesse à la masse alors qu’elle est à sa position d’équilibre, voire les deux, c’est à direécarter la masse de sa position initiale et lui fournir une vitesse.Reconnaître chacune des ces situations sur les courbes suivantes (pour lesquelles xe = 0) etdéterminer dans chaque cas les valeurs de x0 et v0 :

a)

5

b)

c)

IV. Étude cinématique du mouvement harmonique

1. Position, vitesse, accélération.

Choisissons une origine des temps telle que ϕ = 0 et une origine des x telle que xe = 0.

x(t) = A cos(ωt)

On se place dans le référentiel du laboratoire. Le mouvement étant à 1 dimension (mouvementaxial), on peut écrire le vecteur position sous la forme

−−→OM = x~ex, le vecteur vitesse −→v = v~ex

et le vecteur accélération −→a = a~ex avecv(t) = dx

dt= x = −Aω sin(ωt)

a(t) = dvdt

= x = −Aω2 cos(ωt) = −ω2x

On remarque que x = −ω2x

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La vitesse s’annule pour chaque position extrémale : x = 0 pour x = ±A.La vitesse est maximale (en norme) lors de chaque passage à 0 : x = ±ωA pour x = 0.L’accélération est extrémale lorsque la position est extrémale :x = −ω2A pour x = A : décélération maximalex = ω2A pour x = −A : accélération maximale

On peut vérifier sur le schéma ci-dessous (en vert le vecteur vitesse, en rouge le vecteur accé-lération). On note amax = Aω2 et vmax = Aω .

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2. Lien entre mouvement circulaire uniforme et mouvement sinu-soïdal

Le mouvement sinusoïdal peut être produit parla projection d’un mouvement circulaire uni-forme sur un diamètre quelquonque.

On a représenté sur la figure ci-contre un mou-vement circulaire uniforme de rayon A, de vi-tesse angulaire ω = 2π

T, avec T période de ro-

tation. La projection du mouvement sur l’axeOx donne s(t) = A cos(ωt+ ϕ).ϕ correspond à l’angle que fait OM avec l’axeOx à t = 0.

Exemple : scie sauteuse.Dans une scie sauteuse, un dispositif trans-forme le mouvemement circulaire uniformeen un mouvement d’oscillations harmo-niques : quand A fait un tour, B fait un aller-retour.

V. Équation de l’oscillateur harmoniquePour l’instant, nous avons décrit les propriétés du mouvement harmonique. Nous allons àprésent établir l’équation du mouvement d’un oscillateur harmonique et montrer qu’une masseaccrochée à un ressort décrit nécessairement ce type de mouvement.

1. Force élastique

On considère un ressort, caractérisé par– sa longueur à vide `0– sa constante de raideur k (homogène à une force par unité de longueur)

Lorsqu’on étire ou que l’on comprime un ressort celui-ci exerce à chacune de ses extrémités,des forces qui tendent à le ramener vers sa longueur à vide

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la tension du ressort au niveau de l’extrémité B s’exprime sous la forme :

~TB = −~TA = −k(`− `0)~uBext

avec ` longueur du ressort~uBext vecteur unitaire sortant du ressort au point B considéré

(~uBext = ~uA→B =

−→AB

‖−→AB‖

)Remarque : quand on étire trop un ressort, on sort du domaine d’élasticité et cette loi n’estplus applicable. Le ressort se déforme et ne revient pas à sa longueur à vide quand on cessed’exercer une force : on dit qu’il y a de l’hystérésis.Par ailleurs, un ressort à spires jointives ne peut être utilisé qu’en détente.

2. Établissement de l’équation de l’oscillateur harmonique

Système : masse mRéférentiel : référentiel du labo supposé galiléenBilan des forces : – poids ~P = m~g

– réaction normale du support ~R avec ~R ⊥ ~ux– tension du ressort : ~T = −k(`− `0)~ux = −kx~ux

L’équation du mouvement se déduit du principe fondamental de la dynamique (ou deuxièmeloi de Newton) appliqué à la masse m :

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m~a = md~v

dt= ~P + ~R + ~T

mx ~ux = ~P + ~R− kx~uxLe mouvement de la masse étant horizontal on projette cette équation sur ~ux on obtientl’équation du mouvement :

mx = −kx

car ~P ⊥ ~ux et ~R ⊥ ~ux donc ~P .~ux = 0 et ~R.~ux = 0.

Remarque : suivant la direction perpendiculaire à ~ux on a ~P + ~R = ~0 : la réaction normale dusupport compense le poids.

Équilibre : on remarque que x = 0 correspond à une position d’équilibre (~T = ~0 pour x = 0).Si on place la masse en O sans vitesse elle y demeure.

On peut faire passer tous les termes à gauche de l’égalité et s’arranger pour que le coefficientmultiplicatif de x soit égal à 1. On obtient :

x+k

mx = 0

Déterminons la dimension de km

:x est homogène à une accélération [x] = L.T−2 donc, les termes d’une somme ayant tousmême dimension, [ k

mx] = L.T−2 également. On en déduit, x étant homogène à une longueur,

[ km

] = T−2.

On pose alors km

= ω20 avec ω0 homogène à l’inverse d’un temps, soit ω0 =

√k

m

x+ ω20x = 0 (OH)

C’est une équation différentielle d’ordre 2 car elle fait intervenir la dérivée seconde x. Elle estlinéaire : si x1(t) est une solution vérifiant x1 + ω2

0x1 = 0, si x2(t) est une solution vérifiantx2 + ω2

0x2 = 0, alors X(t) = x1(t) + x2(t) vérifie X + ω20X = 0.

3. Résolution de l’équation de l’oscillateur harmonique

L’équation (OH) peut s’écrirex = −ω2

0x.

D’après notre étude du mouvement harmonique, on constate que x(t) = A cos(ω0t + ϕ) estsolution de l’équation.Les mathématiciens se posent toujours la question de l’unicité de la solution : est-ce la seulesolution possible ?...et bien Mr Cauchy, que l’on remercie au passage, a montré que si l’onconnaît :x0 = x(t0) la position à un instant t0 (en général on choisit t0 = 0)x0 = x(t0) la vitesse à un instant t0

alors la solution existe et est unique.

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Ce sont ces deux conditions initiales qui vont fixer les valeurs de A et ϕ.

• Prenons les conditions initiales suivantes :À t = 0 on écarte la masse de sa position d’équilibre et on la lâche sans vitesse :

x(0) = x0 > 0 et x(0) = 0

on cherche une solution sous la forme : x(t) = A cos(ω0t+ϕ), de dérivée x(t) = −Aω0 sin(ω0t+ ϕ)(avec A > 0 et ϕ ∈]− π, π]).À t=0 x(0) = A cosϕ = x0

x(0) = −Aω0 sinϕ = 0.Puisque A 6= 0 (la solution nulle n’a que peu d’intérêt) et ω 6= 0 on a sinϕ = 0 d’où ϕ = 0 ouπComme on prend A > 0 et A cosϕ = x0 > 0 alors ϕ = 0 et donc A = x0.La solution est donc de la forme

x(t) = x0 cos(ω0t)

• Prenons d’autres conditions initiales :À t = 0 la masse est en O et on la lance avec une vitesse v0 > 0.

x = 0 et x(0) = v0 > 0

On cherche toujours une solution sous la forme : x(t) = A cos(ω0t+ ϕ), de dérivéex(t) = −Aω0 sin(ω0t+ ϕ) (avec A > 0).À t=0 x(0) = A cosϕ = 0

x(0) = −Aω0 sinϕ = v0A 6= 0 d’où cosϕ = 0. On en déduit ϕ = ±π

2.

A = − v0ω0 sinϕ

> 0 on en déduit sinϕ < 0, ϕ = −π2.

d’où A = v0ω0

et x(t) = v0ω0

cos(ω0t− π2) qui se simplifie en

x(t) =v0ω0

sin(ω0t)

On vérifie que v0ω0

est bien homogène à une longueur.

Remarque : La période des oscillations T0 = 2πω0

= 2π√

mkest indépendante de l’amplitude

des oscillations. Par exemple, même si on double l’amplitude, la période desoscillations reste inchangée. On dit qu’il y a isochronisme des oscillations.

4. Différentes formes des solutions

Une même fonction trigonométrique peut s’exprimer sous des formes différentes. Ainsi

x(t) = A cos(ω0t+ ϕ)

peut s’écrire avec une fonction sinus.En effet sin(α+ π

2) = cos(α) d’où x(t) = A cos(ω0t+ϕ) = A sin(ω0t+ϕ+ π

2) = A sin(ω0t+ψ).

On peut donc chercher une solution sous la forme

x(t) = A sin(ω0t+ ψ)

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Enfin, x(t) = A cos(ω0t+ ϕ) = A cosω0 t cosϕ− A sinω0 t sinϕqui peut s’écrire sous la forme générale :

x(t) = a cosω0 t+ b sinω0 t

avec a = A cosϕ et b = −A sinϕ (on a donc A2 = a2 + b2 d’où A =√a2 + b2 car A > 0).

Bilan :

On peut chercher les solutions de l’équation de l’oscillateur harmonique x+ ω20x = 0 sous

les formes équivalentes :x(t) = A cos(ω0t+ ϕ)

x(t) = A sin(ω0t+ ψ)

x(t) = a cosω0 t+ b sinω0 t

les couples de valeurs (A,ϕ), (A,ψ) ou (a, b) étant déterminés par les conditions initialesx0 et x0.

la dernière forme est souvent pratique à utiliser.Considérons le cas général où les conditions initiales sont :– à t = 0 la masse est en x = x0 et on la lance avec une vitesse ~v0 = v0~ux :

x(0) = x0 et x(0) = v0

On cherche une solution sous la forme : x(t) = a cosω0 t + b sinω0 t, de dérivée x(t) =−aω0 sinω0 t+ bω0 cosω0 t.

À t=0{x(0) = a = x0x(0) = bω0 = v0

on en déduit a = x0 et b = v0ω0

et donc :

x(t) = x0 cosω0 t+v0ω0

sin(ω0t)

5. Retour sur le ressort vertical

Idée : on peut toujours se ramener à l’équation (OH) lorsqu’on étudie le mouvement autourde la position d’équilibre.On reprend le cas très simple d’une masse m accrochée à un ressort.

Système : masse m

Référentiel : référentiel du labo supposégaliléen

Bilan des forces :– poids ~P = m~g– tension du ressort :

~T = −k(`− `0)~ux= −k(x− `0)~ux

– on suppose les frottements négligeables

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On a choisi l’origine des x au point de fixation du ressort.

Condition d’équilibreSoit xe la position d’équilibre de la masse m.À l’équilibre ~P + ~T = ~0 qui donne, après projection sur ~ux

mg − k(xe − `0) = 0 (E0)

On en déduit la position d’équilibre : xe = `0 +mg

kÉquation du mouvementL’équation du mouvement se déduit du principe fondamental de la dynamique (ou deuxièmeloi de Newton) appliqué à la masse m :

m~a = md~v

dt= ~P + ~T = mx~ux

après projection sur ~ux

mg − k(x− `0) = mx (E)

On s’intéresse à l’équation du mouvement autour de la position d’équilibre. On pose

ε = x− xeen calculant (E)-(E0) on obtient

−k(x− xe) = mx

or ε = x− xe et ε = x, on retrouve alors l’équation (OH) de l’oscillateur harmonique.

ε+ ω20 ε = 0

ε suit l’équation de l’oscillateur harmonique. x(t) = xe + ε(t) = xe + A cos(ω0t+ ϕ).

Ainsi, lorsque l’origine est choisie au niveau de la position d’équilibre, on retrouvel’équation de l’oscillateur harmonique.

6. Généralisation

Si l’équation du mouvement s’exprime sous la forme :

x+ ω20 x = K

où K est une constante homogène à une accélération.À l’équilibre x = xe, x = 0, x = 0. On en déduit la relation ω2

0 xe = K et on réécrit l’équationsous la forme

x+ ω20 x = ω2

0 xe

x+ ω20 (x− xe) = 0

En posant ε = x− xe, ε = x, on retrouve l’équation (OH) ε+ ω20 ε = 0. On en déduit

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x(t) = xe + ε(t) = xe + A cos(ω0t+ ϕ) = xe + a cos(ω0t) + b sin(ω0t) avec xe =K

ω20

VI. Bilan énergétiqueQuelques rappels de terminale :Travail d’une force constante : WAB(~F ) = ~F .

−→AB

Force conservative (dont le travail est indépendant du chemin suivi), force non conservative(force de frottement)Travail d’une force conservative WAB(~F ) = Ep(A)− Ep(B).Exemple de travail de forces conservatives :– travail du poids WAB(~P ) = mg(zA − zB) (axe Oz orienté vers le haut)– travail de la force électrique WAB(q ~E) = qUAB

Pour un mouvement conservatif : les seules forces qui travaillent au cours du mouvement sontconservatives, donc en l’ absence de frottement, Em = Ec + Ep = Cte.En présence de frottement l’énergie mécanique diminue ∆Em = Wfrottements < 0.

1. Intégrale première du mouvement.

Le mouvement étudié s’effectue sans frottement. On est tenté de croire qu’il est conserva-tif. Reste à déterminer l’expression de l’énergie mécanique associée. Pour cela, on part del’équation du mouvement. Les termes contenus dans cette équation sont homogènes à desforces.Une énergie se mesure en joule (force×longueur), une puissance en watt (énergie/temps=force×vitesse). On peut donc faire apparaître une puissance en multipliant les termes del’équation du mouvement par une vitesse.On a établi, pour le mouvement horizontal sans frottement :

mx = −kx

On multiplie chaque terme par xmxx = −kxx

mxx+ kxx = 0

d

dt

(1

2mx2 +

1

2kx2)

= 0

1

2mx2 +

1

2kx2 = Cte

Cette Cte étant homogène à une énergie.On reconnaît Ec = 1

2mx2 l’énergie cinétique de la masse m.

On identifie le terme 12kx2 à l’énergie potentielle du ressort. Elle est définie à une constante

additive près. On choisit en général Ep = 0 pour x = 0. On a alors Ep = 12kx2.

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De manière générale l’énergie potentielle d’un ressort, également appelée énergie potentielleélastique, s’écrit sous la forme

Ep =1

2k(`− `0)2 si on choisit Ep = 0 pour ` = `0.

On pose Em = Ec +Ep l’énergie mécanique : elle se conserve au cours du mouvement étudié.

Em = Ec + Ep =1

2mx2 +

1

2kx2 = Cte

2. Évolution temporelle de Ec et Ep

x(t) = A cos(ω0t+ ϕ)

x(t) = −Aω0 sin(ω0t+ ϕ)

Ep = 12kx2 = 1

2kA2 cos2(ω0t+ ϕ)

Ec = 12mx2 = 1

2mω2

0A2 sin2(ω0t+ ϕ) = 1

2��mk

�mA2 sin2(ω0t+ ϕ) = 1

2kA2 sin2(ω0t+ ϕ)

Em = Ec + Ep = 12kA2(cos2(ω0t+ ϕ) + sin2(ω0t+ ϕ)︸ ︷︷ ︸

=1

) = 12kA2

Em = Ec + Ep =1

2kA2 = cte

On vérifie que l’énergie mécanique est constante au cours du mouvement. Sa valeur se retrouvefacilement en considérant une des positions extrémales de la masse (où x = ±A et x = 0).On a alors Ec = 0 et donc Em = Ep = 1

2kA2.

Au cours du mouvement il y a passage de l’énergie cinétique à l’énergie potentielle et récipro-quement.L’énergie potentielle est maximum, lorsque la masse occupe les positions extrémales (Ec = 0)L’énergie cinétique est maximale lorsque la masse par O (Ep = 0).

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On a représenté dans la partie supérieure du graphe ci-dessous l’évolution temporelle de Epet Ec dans le cas où ϕ = 0, ainsi que la valeur de l’énergie mécanique Em = 1

2kA2. La partie

inférieure du graphe indique l’allure de x(t).

On visualise ainsi l’échange permanent entre les deux formes d’énergie (cinétique et poten-tielle).

Question : que pourrait-on dire de l’évolution de Em s’il y avait des frottements ? Quelle enserait la conséquence sur l’amplitude du mouvement ?

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3. Interprétation graphique : puits de potentiel harmonique

On trace le profil parabolique de l’énergie potentielle Ep = 12kx2

Em = Ec + Ep =1

2mx2︸ ︷︷ ︸>0

+Ep

Em > Ep

Le mouvement n’est possible que pour des valeurs de x où l’inégalité Em > Ep est vérifiée :la zone indiquée en pointillée n’est donc pas accessible, le mouvement est borné à l’intervalle[−A,A].

Ec se lit graphiquement comme l’écart entre Em la courbe Ep(x).Ec = 0 lorsque Em = Ep, ce qui se produit aux deux valeurs extrémales du mouvement ±A.

4. Passage de E = cte à l’équation du mouvement

Si l’expression de l’énergie potentielle est connue et si au cours du mouvement Em = cte alorsla dérivée de Em par rapport au temps permet de retrouver l’équation du mouvement.

Em = Ec + Ep =1

2mx2 +

1

2kx2 = Cte

dEmdt

=1

�2m�2xx+

1

�2k�2xx = x (mx+ kx) = 0

qui permet de retrouver mx+ kx = 0.

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Correction II.2

• Tracé de f(x) = cos(x− π3) :

On peut poser cos(x− π3) = cos(x′) avec x′ = x− π

3: on retrouve donc la courbe du cosinus

dans un repère d’origine O′. En O′, x′ = 0, x− π3

= 0, x = π3.

La courbe est décalée vers la droite de π3

• Tracé de g(x) = sin(x+ 2π3

)

De même on peut poser sin(x + 2π3

) = sin(x′) avec x′ = x + 2π3. x′ = 0 pour x = −2π

3. On

retrouve la courbe du sinus dans un repère d’origine O′ situé en x = −2π3.

La courbe est décalée vers la gauche de 2π3

Remarque : les fonctions sinus et cosinus étant périodiques de période 2π, on peut écriref(x) = cos(x− π

3) = cos(x− π

3+ 2π) = cos(x+ 5π

3).

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• Tracé de h(x) = 1 + 0.5 cos(x)

−1 6 cosx 6 1,−0, 5 6 0.5 cosx 6 0, 50, 5 6 h(x) 6 1, 5La fonction h(x) oscille autour de la valeur 1 avec une amplitude de 0.5.

Calculs de dérivés et de primitives :ωt est sans dimension (angle en radian), ω homogène à l’inverse d’un temps (rad.s−1).f(t) = cos(ωt)f ′(t) = −ω sin(ωt)

g(t) = sin(ωt)g′(t) = ω cos(ωt)∫f(t)dt =

1

ωsin(ωt) + cte∫

g(t)dt = − 1

ωcos(ωt) + cte

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