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T A BLE D E S M A TI È R E S

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS PREMIER DEGRÉ ............................................................................... 3

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS SECOND DEGRÉ ................................................................................ 7

FACTORISATION ET DÉVELOPPEMENT ........................................................................................... 10

LES VECTEURS .............................................................................................................................. 10

PARALLÉLISME .............................................................................................................................. 11

LES IDENTITÉS REMARQUABLES .................................................................................................... 13

LE TRIANGLE ................................................................................................................................ 14

LES LONGUEURS ET LES AIRES...................................................................................................... 15

FRACTIONS................................................................................................................................... 15

VITESSE, POURCENTAGE, ÉCHELLE ............................................................................................... 17

PPCM ET PGCD ............................................................................................................................. 18

LES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ......................................................................................... 19

THÉORÈME DE PYTHAGORE .......................................................................................................... 19

LES QUADRILATÈRES .................................................................................................................... 20

LES RACINES CARRÉES ................................................................................................................. 21

ÉQUATIONS A 2 INCONNUES ......................................................................................................... 22

SENS DE VARIATION ..................................................................................................................... 24

THÉORÈME DE THALÈS ................................................................................................................. 25

LES TRIANGLES ............................................................................................................................ 26

TRIGONOMÉTRIE ET RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE ................................................. 28

UNITÉS ET CONVERSIONS ............................................................................................................. 30

STATISTIQUES .............................................................................................................................. 31

STATISTIQUES NIVEAU 2 .............................................................................................................. 33

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Le présent mémento répertorie en majorité les notions de bases à avoir. Cependant, des recherches sup-

plémentaires sont à prévoir pour les domaines spécifiques.

É Q U A TI O NS E T I NÉ Q U A T I O NS PR E M I E R D E G R É

I. Résoudre une équation du premier degré à une inconnue :

Exemple : résoudre l'équation

Solution :

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II. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue :

Exemple : résoudre l'inéquation

Solution :

III. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues :

Exemple : résoudre le système :

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Solution par addition : on multiplie (1) par 2 :

Solution par déterminants :

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Solution graphique :

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É Q U A TI O NS E T I NÉ Q U A T I O NS S E C O N D D E G R É

1. Résoudre une équation du second degré

Exemple : résoudre l'équation

Méthode algébrique :

Solution algébrique :

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Solution graphique :

2. Factoriser le trinôme du second degré

Exemple : factoriser le trinôme

Méthode :

Solution :

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3. Résoudre une inéquation du second degré

Exemple : résoudre l'inéquation :

Méthode :

Solution :

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FA C T O R I S A TI O N E T D É V E L O P PE M E N T

1. Développement :

Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme ou d’une différence.

- k (a + b) = ka + kb

- (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

2. Factorisation :

Factoriser une somme ou une différence, c’est l’écrire sous forme d’un produit.

On a ka + kb = k (a + b). On dit que k est mis en facteur.

Ex : (X + 1) (3X+2) –(X+1) = (X+1) (3X+2-1) = (X+1) (3X+1)

LE S VE C TE UR S

1. Généralités :

A tout couple de points (A, B) est associé un vecteur ABv {AB}.

Lorsque A=B, on pose AAv {AA} = 0v{0} (vecteur nul).

La norme du vecteur ABv {AB} est la longueur AB, elle est notée _ABv {AB}

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2. Egalité de deux vecteurs :

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils sont nuls tous les deux, ou bien lorsqu’ils ont même sens, même d i-

rection, même longueur.

Lorsque les points A, B, C, D ne sont pas alignés, ABv {AB} = CDv {CD} signifie que ABCD est un parallé-

logramme.

3. Addition de vecteurs :

La relation de Chasles : ABv {AB} + BCv {BC} = ACv {AC}

La règle du parallélogramme : ABv {AB} + ACv {AC} = ADv {AD}

4. Vecteurs colinéaires :

Dire que deux vecteurs non nuls ABv {AB} et CDv {CD} sont colinéaires signifie qu’ils ont la même direc-

tion, c’est-à-dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Dire que deux vecteurs non nuls ABv {AB} et CDv {CD} sont colinéaires signifie qu’il existe un nombre k

tel que ABv{AB} = k CDv{CD}.

P AR AL LÉ LI S ME

1. Parallélisme de droites

Définition : Dans l’espace, deux droites distinctes sont parallèles si :

d’une part, elles sont situées dans un même plan ;

d’autre part, elles n’ont pas de point commun.

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Dans l’espace, deux droites qui n’ont pas de point commun ne sont pas nécessairement parallèles.

2. Parallélisme de droites et de plan

Définition : Un droite D est parallèle à un plan P si elle n’a pas de point commun avec P, ou si elle est

contenue dans P.

Propriété : Si une droite D est parallèle à une droite D’ d’un plan P, alors D est parallèle à P.

Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur intersection.

3. Parallélisme de plans

Propriété : Pour qu’un plan Q soit parallèle à un plan P, il faut et il suffit que deux droites sécantes de Q

soient parallèles à P.

Propriété : Un plan sécant à deux plans parallèles les coupe suivant deux droites parallèles.

4. Droites orthogonales

Définition : Deux droites de l’espace sont orthogonales si les parallèles à ces droites menées par un point

quelconque sont perpendiculaires.

5. Droites orthogonales à un plan

Définition : Une droite est orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toutes les droites de ce

plan.

Propriété : Les droites perpendiculaires à une droite donnée D et passant par un point I de D sont situées

dans un même plan : le plan orthogonal à D en I.

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Propriétés :

Si une droite D est orthogonale à deux droites sécantes de P, alors D est orthogonale à P ;

Une droite D est orthogonale à une droite est incluse dans un plan orthogonal à D.

Par un point A, il passe une droite et une seule orthogonale à un plan P.

Par un point A, il passe un plan et un seul orthogonal à une droite D.

Deux droites D et D’ orthogonales à un même plan sont parallèles.

Deux plans P et P’ orthogonaux à une même droite sont parallèles.

LE S I D E N TI TÉ S R E M A R Q UA B LE S

Il y a 3 identités remarquables à connaitre par cœur :

(a +b) ² = a² + b² + 2 ab.

On peut vérifier l’identité en développant (a+b) ² = (a+b) (a+b)

(a - b) ² = a² + b² - 2 ab.

On peut vérifier l’identité également en développant l’expression.

(a + b) (a – b) = a² - b²

On peut de même vérifier l’identité en développant l’expression.

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LE TR I A NG LE

1. Le triangle :

Un triangle ABC est un polygone à 3 côtés.

Les points A, B et C sont les sommets du triangle.

Aire d’un triangle

Définition : L’aire d’un triangle est égale au demi-produit de la base par la hauteur associée.

2

bxh

2. Triangles particuliers :

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.

Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur.

Un triangle rectangle est un triangle qui a deux côtés perpendiculaires

(Soit, qui a un angle droit).

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3. Angles d’un triangle

Propriété : La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.

Cas particuliers :

1) Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60°.

2) Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des angles aigus est égale à 90°.

3) Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.

4) Dans un triangle rectangle isocèle, les angles à la base mesurent chacun 45°.

LE S L O NG UE U R S E T L E S AI R E S

Unité de longueur et d’aire

Unités de longueur Unité d’aire

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

ha

a

ca

unités agraires

correspondantes

FR A C TI O N S

On va vous demander de simplifier des fractions, de les additionner, de les multiplier ou de les diviser

entre elles.

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cb

ca

b

a

' b

' a

6

5

332

53

12

15:Ex

90

37

90

2512

518

55

615

62

18

5

15

2

bd

ac

d

c

b

a

c

d

b

a

d

cb

a

Simplifier :

On applique où a, b et c sont des entiers avec b et c étant non nuls.

Il faut obtenir une fraction irréductible, c’est-à-dire telle que PGCD de a et b = 1.

Pour une fraction , on calcule le PGCD c de a’ et b’ (non nul) et on divise a’ et b’ par c.

Additionner ou soustraire :

Pour additionner ou soustraire 2 fractions entre elles, il faut les réduire au même dénominateur, c’est-à-

dire calculer le PPCM.

Multiplier :

On applique avec a, b, c, d étant des entiers et b et d étant non nuls.

Diviser :

avec b, c et d non nuls.

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€ 1001000100

10

€ 110 1 , 1 100 icisoit 100

100100

a

VI TE S S E , P O U R C E N TA G E , É C H E L LE

Vitesse

On applique la formule v = d/t avec d pour la distance et t pour le temps. D’où les autres équations,

d = v x t et t = d/v.

Si on demande de convertir des km/h en m/s, il faut multiplier par 1000 et diviser par 3600, c’est-à-dire

diviser par 3,6.

Pourcentage

Le pourcentage (%) est une fraction particulière. 2 cas peuvent se présenter :

Le pourcentage exprime une partie. Par exemple, Donner 10 % de 1000 €. On fait alors :

Le pourcentage est une variation. Par exemple, une action qui vaut 100 € augmente de a =10 %.

On fait alors :

Une baisse de 10 % revient à prendre a = - 10, soit ici 90 €.

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Attention aux successions de variations

Une action de 100 € qui augmente de 50 % puis baisse de 100 % ne baisse pas de 50 %.

On fait : 100 x 1,5 x 0,5 = 100 x 0,75 = 75 €

Échelle

Une échelle au 1/100 000 signifie par exemple que 1 cm sur une carte représente 100 000 cm en distance

réelle.

Il suffit ensuite de convertir les cm en m ou en km.

P P C M E T P G CD

PPCM et PGCD s’utilisent pour les calculs sur les fractions.

PPCM ou Plus Petit Commun Multiple

Soient deux entiers a et b. Le PPCM est le plus petit nombre entier p tel qu’il existe 2 entiers c et d tels

que p = a c et p = b d.

Pour trouver le PPCM de 2 entiers, on décompose ce nombre en facteurs premiers, c’est-à-dire en

nombres qui ne sont divisibles que par 1 ou par eux-mêmes.

Ensuite, pour obtenir le PPCM, on multiplie ensemble tous les facteurs premiers des 2 nombres mais on

ne compte qu’une fois ceux qui sont communs aux deux nombres.

Le PPCM de 45 (3 x 3 x 5) et 18 est de même 2 x 3 x 3 x 5 = 90.

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PGCD ou Plus Grand Commun Diviseur

Pour trouver le PGCD de 2 nombres, on décompose les deux nombres en facteurs premiers (voir PPCM)

mais on ne multiplie que les facteurs communs aux 2 nombres.

Ex : Le PGCD de 15 et 18 est 3. Le PGCD de 45 et 18 est 3 x 3 = 9

LE S PR O B A BI L I TÉ S C O N D I TI O N N E L LE S

TH É OR È M E D E PY T H A G OR E

1. Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore permet e calculer le troisième côté d’un triangle rectangle connaissant les deux

autres.

Énoncé : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux cô-

tés.

Pour la figure ci-dessous : BC2 = AC2 + AB2

On pourra décliner ses formules pour pouvoir calculer les autres côtés :

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AC2 = BC2 – AB2

AB2 = BC2 – AC2

2. Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle (ABC), la propriété BC2 = AB2 + AC2 est vérifiée, alors (ABC) est un triangle rectangle

en A.

LE S Q U AD R I L A TÈ R E S

1. Quadrilatères

Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. La somme des angles d’un quadrilatère est égale à 360°.

On appelle diagonale le segment qui rejoint deux sommets opposés d’un quadrilatère.

2. Quadrilatères particuliers

Trapèze

Un trapèze est un quadrilatère qui possède deux côtés parallèles.

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Parallélogramme

Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Les

diagonales d’un parallélogramme se coupent en leurs milieux.

Rectangle

Le rectangle est un parallélogramme qui possède 1 angle droit. Ses diagonales sont de même longueur et

tous ses angles sont droits.

Losange

Le losange est un parallélogramme dont les deux côtés consécutifs sont égaux. Il en résulte que les 4 cô-

tés sont de même longueur. Ses diagonales sont perpendiculaires.

Carré

Le carré est à la fois un losange et un rectangle et possède toutes leurs propriétés.

LE S R A CI NE S C AR R É E S

1. Définition

Soit a un nombre positif, la racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a. On la note a .

On a en particulier 00

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La racine carrée équivaut à une puissance ½, a ½ = a

2. Équation

Soit X² = a, avec a positif. On a X = a ou X = a

3. Operations

- ²a = a avec a positif.

- a b = ab avec a et b positifs.

- ba / = b

aavec a positif et b positif et non nul.

É Q U A TI O NS A 2 I N C O N N UE S

1. Définition

Ce sont des systèmes de la forme suivante :

aX +bY

Avec a, b, c et d non nuls.

cX dY

Ces systèmes ont un couple de solutions unique (X ; Y).

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2. Solution rapide pour les qcm

Le plus rapide est souvent de remplacer les valeurs proposées dans le QCM dans les équations.

Sinon, voici les méthodes de résolution.

3. Résolution

Il y a 2 méthodes, par substitution et par addition.

A. Méthode par substitution

On calcule X en fonction de Y grâce à la première équation, puis on remplace X dans la deuxième

équation.

X Y

4X Y

De la première équation, on tire X 2Y. On remplace X dans la deuxième équation, ce qui donne

6

7

3

2.

B. Méthode par addition

Le but est d'éliminer une des 2 inconnues en additionnant ou en soustrayant les 2 équations membre à

membre.

Dans notre exemple, la solution est évidente. En soustrayant membre à membre, on obtient

= 3

2

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Si on avait eu dans la première équation X Y

membre de l'équation par 2 soit 2X Y

S E NS D E V AR I A TI O N

1. Définition

Le sens de variation d’une fonction consiste à se demander si une fonction est croissante (f (X) f ( X’)

pour X > X’), ou décroissante. On peut préciser de même si elle est strictement croissante (f (X) > f ( X’))

ou strictement décroissante.

2. Dérivée et sens de variation

C’est le signe de la dérivée (f’(X)) qui donne le sens de variation de f(X) :

- f’ > 0 f est strictement croissante et bijective.

- f’ < 0 f est strictement décroissante et bijective.

- f’ ≤ 0 f est décroissante.

- f’ ≥ 0 f est croissante.

3. Cas ou la dérivée s’annule

Lorsque f’ s'annule, par exemple pour X = c, la courbe admet alors une tangente horizontale au point

d’abscisse

X = c.

Si la dérivée change de signe en X = c, alors, on a un extremum (minimum ou maximum).

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BC

EF

AC

AF

AB

AE

.parallèles sont (BC) et (EF) droites les alors BC

EF

AC

AF

AB

AE Si

TH É OR È M E D E TH A LÈ S

Rappel de cours

Configuration de Thalès : Un triangle et une droite parallèle mais non confondue à un des côtés du

triangle. Deux cas de figure :

Configuration « triangle » Configuration « sablier »

La droite parallèle coupe le triangle La droite parallèle est extérieure au triangle

Si les droites (EF) et (BC) sont parallèles, la propriété de Thalès permet d’affirmer :

Réciproque de Thalès

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LE S T R I A N G LE S

Rappel de cours :

Un triangle est un polygone à trois côtés.

Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°.

1. Droites particulières d’un triangle

Médiatrice

Droite perpendiculaire à un côté passant par le milieu.

Au point de concours des médiatrices se trouve le centre du cercle circonscrit au triangle.

Médiane

Droite issue d’un sommet d’un triangle passant par le milieu du côté opposé.

Le point de concours des médianes d’un triangle s’appelle le centre de gravité.

Hauteur

Droite issue d’un sommet d’un triangle et perpendiculaire au côté opposé.

Le point de concours des hauteurs d’un triangle s’appelle l’orthocentre.

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Bissectrice

Droite séparant un angle en deux angles égaux.

Le point de concours des bissectrices d’un triangle est le centre inscrit à l’intérieur du triangle.

2. Triangles particuliers

Triangle isocèle

Triangle qui possède deux côtés de même longueur.

Les angles à la base sont égaux.

Triangle équilatéral

Triangle dont les trois côtés sont égaux.

Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux à 60°.

Et les hauteurs sont aussi les médianes, les médiatrices et les bissectrices.

Triangle rectangle

Triangle possédant un angle droit

Dans un triangle rectangle, on appelle hypoténuse le plus grand côté du triangle. Il se situe à l’opposé de

l’angle droit.

Le centre de ce cercle circonscrit se situe au milieu de l’hypoténuse.

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TR I G O N O M É TR I E E T R E L A TI O NS M É T R I QU E S

D A NS LE TR I A N G LE

1. Les formules d’addition :

Théorème :

Pour tout a et b réels,

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b

sin ( a – b) = sin a cos b + sin b cos a

sin ( a + b) = sin a cos b - sin b cos a

Corollaire :

Pour tout réel a,

cos 2a = cos 2 a - sin 2 a

sin 2a = 2 sin a cos a

cos 2a = 1 - 2 sin 2 a

cos 2a = 2 cos 2 - 1

2. Relations métriques dans le triangle :

Théorème :

Soit ABC un triangle quelconque.

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L’usage est de noter :

BC = a, AC = b, AB = c;

S l’aire du triangle;

A = BAC, B = CBA, C = BCA.

Théorème d’Al-Kashi : (Avec les notations précédentes)

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Théorème : (Avec les notations précédentes)

S =2

1bc sin Â

S =2

1ac sin Bˆ

S = 2

1 ab sin C

Théorème : (Avec les notations précédentes)

A

a

sin =

B

a

sin =

C

c

sin

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U NI TÉ S E T C O N VE R S I O NS

1. Unités

La plupart des unités ont le même mode de fonctionnement : le même préfixe est utilisé pour désigner

par exemple 10 unités ou par exemple un centième d’unité :

1000 unités = 1 kilo (k). Ex : 1 km = 1000 m.

100 unités = 1 hecto (h). Ex : 1 hg = 100 g.

10 unités = 1 déca (da). Ex : 1dam = 10 m.

1/10 d’unité = 1 déci (d). Ex : 1dm = 0,1 m.

1/100 d’unité = 1 centi (c). Ex : 1 cl = 0,01 l.

1/1000 d’unité = 1 milli (m). Ex : 1ml = 0,001 l.

2. Conversions

Dans le cas où il faut additionner des hectomètres et des décamètres par exemple, le mieux est de mettre

tout en mètres.

Pour les grands ou les très petits nombres, on peut utiliser les puissances de 10.

Attention aux unités de surface ou de volume

1 km2 = 1 000 x 1 000 m2 = 1 000 000 m2 = 106 ml

1 m3 = 100 x 100 x 100 = 1 000 000 = 106 cm3

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S T A TI S TI Q UE S

1. Tracer l’histogramme représentant une série statistique :

Exemple : répartition suivant leur âge des employés d’une entreprise

Méthode : on construit des rectangles dont les aires sont proportionnelles aux effectifs des classes cor-

respondantes. La première classe ayant une amplitude double de celle des autres sera représentée par un

rectangle de hauteur 2 fois plus petite. De même la dernière classe est représentée par un rectangle de

hauteur 3 fois plus petite.

Solution :

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2. Établir le tableau permettant d’obtenir les caractéristiques de la série

3. Déterminer la moyenne pondérée de la série :

4. Déterminer la médiane à l’aide des polygones des effectifs cumulés :

Solution :

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5. Calculer la médiane de la série :

Calculer l’écart-type de la série :

S T A TI S TI Q UE S NI VE A U 2

1. Rappel : série statistique à une variable

La moyenne X est X = N

1 i ni X i

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La variance est V (X) = N

1(i

n i (X i - X ) ²) = N

1(i

n i X i ²) – ( X ) ²

L’écart type est (X) = )(XV

2. Ajustement d’une série statistique a 2 variables par une droite affine

Le but est de trouver un lien entre les caractères X i et les caractères Y i d’une série statistique

à 2 variables.

On essaie ici de voir si on peut modéliser la relation entre X et Y par une droite, dite :

"Droite de régression".

Le coefficient de corrélation r mesurera la pertinence de la modélisation, c’est-à-dire si les points X i et

Y i sont proches de la droite.

Il est compris entre –1 et 1.

La corrélation est forte si r est proche de –1 ou de 1.

Soit Y = a X + b la droite de régression,

a =

i i

i ii

² =

V

;cov

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Cette droite passe par le point moyen G ; et a pour équation Y = a +

r =

;cov

Auteur : M. Yann BOROT

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