Page-titre.fm Page i Mercredi, 25. avril 2012 12:12 12 ... · partie v • machines À courant continu 331 Chapitre 22 • Moteur à courant continu en régime permanent 333 Chapitre

PROBLÈMES CORRIGÉSD’ÉLECTROTECHNIQUE

Niveaux de difficulté progressifs

Corrigés détaillés

Pierre MayéProfesseur de physique appliquée à Arras

Page-titre.fm Page i Mercredi, 25. avril 2012 12:12 12

Illustration de couverture : © digitalvision

© Dunod, Paris, 2012ISBN 978-2-10-057895-5

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TABLE DES MATIÈRES

PARTIE I • TRANSFORMATEURS ET LIGNES 1

Chapitre 1 • Transformateur monophasé à plusieurs secondaires 3

Chapitre 2 • Transformateur triphasé – Couplage – Schéma monophasé équivalent 15

Chapitre 3 • Transformateur triphasé – Association en parallèle – Fonctionnementen régime déséquilibré 27

Chapitre 4 • Auto-transformateur 51

Chapitre 5 • Ligne triphasée 65

PARTIE II • GÉNÉRALITÉS SUR LES MACHINES TOURNANTES 83

Chapitre 6 • Dimensionnement mécanique d’un moteur 85

Chapitre 7 • Comportement thermique d’une machine 101

Chapitre 8 • Bobinage d’une machine à courant alternatif 113

Chapitre 9 • Répartition du courant dans un conducteur à l’intérieur d’une encoche 127

Chapitre 10 • Grandeurs complexes spatiales 139

PARTIE III • MACHINES SYNCHRONES 153

Chapitre 11 • Alternateur à entrefer constant – Diagramme de Behn-Eschenburg 155

Chapitre 12 • Turboalternateur – Diagramme de Potier 173

Chapitre 13 • Alternateur à pôles saillants – Diagramme à deux réactances synchrones 187

Chapitre 14 • Moteur synchrone double étoile 201

Chapitre 15 • Groupe électrogène 213

Chapitre 16 • Modélisation de la machine synchrone avec la transformation de Park 223

PARTIE IV • MACHINES ASYNCHRONES 251

Chapitre 17 • Moteur asynchrone – Schéma monophasé équivalent 253

Chapitre 18 • Moteur asynchrone – Effet de la valeur efficace des tensions 269

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Table des matières

IV

Chapitre 19 • Moteur asynchrone – Fonctionnement en régime déséquilibré 283

Chapitre 20 • Machine asynchrone – Auto-amorçage 303

Chapitre 21 • Modélisation de la machine asynchrone dans un repère diphasé tournant 313

PARTIE V • MACHINES À COURANT CONTINU 331

Chapitre 22 • Moteur à courant continu en régime permanent 333

Chapitre 23 • Moteur à courant continu en régime transitoire 347

Maye_57895TDM.fm Page IV Mercredi, 25. avril 2012 12:14 12

Partie I

Transformateurs et lignes

1. Transformateur monophasé à plusieurs secondaires 3

2. Transformateur triphasé – Couplage – Schéma monophasé équivalent 15

3. Transformateur triphasé – Association en parallèle – Fonctionnementen régime déséquilibré 27

4. Autotransformateur 51

5. Ligne triphasée 65

Maye_57895-P1.book Page 1 Jeudi, 10. mai 2012 3:56 15


3

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1TRANSFORMATEUR

MONOPHASÉ

À PLUSIEURS SECONDAIRES

Niveau de difficulté : * Application simple du cours accessible à tous.

Le problème s’intéresse au transformateur d’entrée d’une locomotive électrique roulant souscaténaire 25 kV, 50 Hz (qui équipe la partie du réseau français alimentée en alternatif). La trac-tion ferroviaire est en effet un des rares domaines d’emploi de transformateurs monophasés deforte puissance. L’étude fait appel au modèle du transformateur avec résistances et inductances defuites ramenées au secondaire. On commence par déterminer les éléments du modèle à partir desessais classiques et on étudie ensuite un fonctionnement en charge en traçant un diagramme deFresnel et en procédant à un bilan de puissances.

Le transformateur monophasé étudié comporte un enrou-lement primaire et quatre enroulements secondairesindépendants identiques (figure 1.1). Cette dispositionpermet d’alimenter quatre ponts monophasés à commu-tation forcée dont les commandes sont décalées afin delimiter les harmoniques du courant en ligne.

La valeur efficace nominale de la tension au primaireest U1n = 25,0 kV et la fréquence nominale estfn = 50,0 Hz. La puissance apparente nominale estSn = 5,60 MVA.

Le transformateur est caractérisé par son modèle avecrésistances et inductances de fuites ramenées au secon-daire (figure 1.2).

ÉNONCÉ

Figure 1.1 – Transformateur à quatre secondaires.


Chapitre 1 • Transformateur monophasé à plusieurs secondaires

4

Un essai à vide a été effectué avec une tension au primaire de valeur efficace nominale et defréquence nominale. On a mesuré la valeur efficace de la tension aux bornes d’un enroulementsecondaire, U2v = 1,36 kV, l’intensité efficace du courant appelé au primaire, I1v = 1,25 A et lapuissance active consommée par le transformateur, P1v = 6,80 kW.

Un essai en court-circuit (tous les enroulements secondaires étant court-circuités) a été réalisésous une tension réduite telle que l’intensité efficace I2c du courant dans un enroulement secon-daire soit égale à sa valeur nominale. La tension réduite de court-circuit est de 37,1 % et la puis-sance active mesurée au primaire est P1c = 25,0 kW.

A. DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS DU MODÈLE

Quelle est la signification des points placés à une extrémité de chaque enroulement sur leschéma du transformateur ?

Calculer le rapport de transformation m de l’appareil (pour un enroulement secondaire).

Déterminer l’intensité efficace nominale I2n du courant au secondaire et l’intensité efficacenominale I1n du courant au primaire.

Calculer le facteur de puissance à vide cos φ1v puis le déphasage φ1v du courant au primaireà vide par rapport à la tension au primaire. Tracer le diagramme vectoriel des tensions et descourants à vide en y indiquant l’angle d’avance hystérétique α. Calculer la valeur de α et précisersa signification.

Figure 1.2 – Modèle du transformateur.

A.1

A.2

A.3

A.4


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5

Solution

Calculer la puissance réactive Q1v dans l’essai à vide.

Calculer la résistance Rf et l’inductance Lm du modèle du transformateur. À quoi corres-pondent ces deux paramètres ?

Préciser l’intensité efficace I2c du courant dans un enroulement secondaire lors de l’essaien court-circuit. Quelle est alors la valeur efficace U1c de la tension au primaire ? Calculer larésistance RS et l’inductance LS du modèle du transformateur.

L’inductance LS a une valeur élevée afin de constituer l’inductance de lissage à l’entrée desponts monophasés. Après avoir comparé les valeurs de RS et de XS = LSω (ω étant la pulsation quicorrespond à la fréquence f), proposer une simplification du modèle du transformateur. Cetteapproximation sera utilisée dans la suite du problème.

B. ÉTUDE DU FONCTIONNEMENT NOMINAL

La tension primaire est nominale et la charge connectée à chaque enroulement secondaire appelleun courant d’intensité efficace I2 = 1,03 kA avec un facteur de puissance cos φ2, le courant étanten avance sur la tension. On souhaite que le courant i2k dans le secondaire repéré par l’indice k(k = a, b, c ou d) soit en phase avec la tension à vide u2kv de ce même secondaire.

Construire le diagramme de Fresnel correspondant en y faisant apparaître la tension encharge u2k.

Déterminer le déphasage φ2 du courant i2k par rapport à la tension en charge u2k. Endéduire le facteur de puissance cos φ2 de la charge.

Calculer la valeur efficace U2 de la tension aux bornes d’un secondaire.

Déterminer la puissance réactive Q2 appelée par la charge de chaque secondaire puis lapuissance réactive Q1 appelée au primaire du transformateur.

Déterminer la puissance active P2 appelée par la charge de chaque secondaire puis lapuissance active P1 appelée au primaire du transformateur.

Vérifier que le facteur de puissance cos φ1 du primaire est pratiquement égal à 1.

Calculer le rendement η du transformateur.

A. DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS DU MODÈLE

Les points repèrent les bornes homologues des enroulements. Ce pointage permet deconnaître le sens de bobinage relatif du primaire et des secondaires sans avoir besoin d’une repré-sentation détaillée du circuit magnétique et des enroulements. Pour les différentes bobines, lestensions entre l’extrémité pointée et l’autre extrémité ont même polarité instantanée. Par ailleurs,

A.5

A.6

A.7

A.8

B.1

B.2

B.3

B.4

B.5

B.6

B.7

SOLUTION

A.1



6

dans la relation d’Hopkinson, les forces magnétomotrices sont précédées d’un signe + si la flèched’orientation du courant entre par une extrémité pointée et d’un signe – dans le cas contraire.

Le rapport de transformation m est égal au quotient de la valeur efficace U2v de la tensionaux bornes d’un secondaire à vide de la valeur efficace U1n et de la tension au primaire :

Application numérique :

Il y a plusieurs définitions possibles pour le rapport de transformation. Nous avons choisi la plus couranteet la plus logique, mais certains utilisent l’inverse (quotient de la valeur efficace de la tension au primaireet de la valeur efficace de la tension aux bornes d’un secondaire à vide). Ces deux définitions supposentque le rôle des deux enroulements (primaire et secondaire) a été défini, mais un transformateur peut êtreutilisé dans les deux sens. C’est pourquoi les normes adoptent une définition du rapport de transformationindépendante du rôle des deux enroulements : c’est le rapport de la haute tension à la basse tension. Ils’agit alors d’un nombre supérieur ou égal à 1.

La puissance apparente nominale Sn est égale à quatre fois le produit de la valeur efficaceU2v de la tension aux bornes d’un secondaire à vide et de l’intensité efficace nominale I2n ducourant au secondaire :

Nous en déduisons :


kA

L’intensité efficace nominale I1n du courant au primaire est égale à quatre fois le produit durapport de transformation m et de l’intensité nominale I2n du courant au secondaire car le courantà vide est négligeable devant le courant de travail pour le fonctionnement nominal :


A

A.2

2

1

v

n

Um

U

21,365,44 10

25,0m

A.3

2 24n v nS U I

224n

nv

SI

U

6

2 3

5,60 101,03

4 1,36 10nI

1 24n nI mI

2 31 4 5,44 10 1,03 10 224 nI


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Solution

Dans le fonctionnement à vide, le courant au primaire n’est pas sinusoïdal en raison de lanon-linéarité du circuit magnétique, mais on considère un courant sinusoïdal fictif qui a lesmêmes effets énergétiques que le courant réel et donc la même intensité efficace I1v.

La puissance active P1v dans l’essai à vide s’exprime par :

Nous en déduisons le facteur de puissance cos1v au primaire du transformateur à vide :


Le déphasage à vide 1v vaut alors :


Le facteur de puissance d’un transformateur à vide est faible et le déphasage est un peu infé-rieur à 90° (figure 1.3).

L’angle d’avance hystérétique est le déphasage du flux par rapport au courant sinusoïdalfictif, donc le complémentaire du déphasage du courant par rapport à la force électromotrice. Lachute de tension au primaire étant négligeable, cet angle est pratiquement le complémentaire de1v :


L’angle d’avance hystérétique est lié à la présence des pertes ferromagnétiques.

A.4

1 1 1 1cosv n v vP U I

11

1 1

cos vv

n v

P

U I

3

1 3

6,80 10cos 0,218

25,0 10 1,25v

1 1arccos cosv v

1 arccos0,218 77,4v

Figure 1.3 – Diagramme vectoriel pour le fonctionnement à vide.

190 v

90 77,4 12,6



8

Malgré son nom, l’angle d’avance hystérétique correspond à l’ensemble des pertes ferromagnétiques etpas seulement aux pertes par hystérésis.

Comme nous avons chiffré le déphasage à vide φ1v à la question précédente, nous pouvonscalculer la puissance réactive Q1v dans l’essai à vide par sa définition :


Une autre méthode consiste à calculer la puissance réactive Q1v à partir de la puissance apparente S1v et de

la puissance active P1v : .

Dans l’essai à vide, la puissance active P1v est consommée par la résistance Rf (avec lemodèle utilisé qui ramène la résistance des enroulements au secondaire) :

Nous en déduisons l’expression de Rf :


La résistance Rf modélise les pertes ferromagnétiques du transformateur.La puissance réactive Q1v est consommée par la bobine d’inductance Lm, soit, en utilisant la

réactance Xm correspondante :


A.5

1 1 1 1sinv n v vQ U I

31 25,0 10 1,25 sin 77,4 30,5 kvarvQ

22 2 2

1 1 1 1 1 1v v v n v vQ S P U I P

A.6

21

1n

vf

UP

R

21

1

nf

v

UR

P

23

3

25,0 1091,9 k

6,80 10fR

21

1n

vm

UQ

X

21

1

nm

v

UX

Q


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Solution


La réactance Xm d’une bobine d’inductance Lm à la pulsation correspondant à la fréquence fs’exprime par :

L’inductance Lm est alors :


La bobine d’inductance Lm modélise la puissance réactive nécessaire à la magnétisation ducircuit magnétique du transformateur.

L’essai en court-circuit a été effectué au courant nominal :

La tension réduite de court-circuit étant de 37,1 %, la valeur efficace U1c de la tension auprimaire dans l’essai en court-circuit vaut :

La puissance active P1c appelée au primaire du transformateur en court-circuit est la somme dela puissance dans la résistance Rf et des puissances dans les quatre résistances RS :

Dans de nombreux cas, le premier terme est négligeable devant le second car la tension decourt-circuit est beaucoup plus faible que la tension nominale. Ce n’est pas vrai ici, la tensionréduite de court-circuit étant de 37,1 %. Il faut donc calculer la résistance RS avec la formulecomplète :

23

3

25,0 1020,5 k

30,5 10mX

2m m mX L L f

2m

mX

Lf

320,5 1065,2 H

2 50,0mL

A.7

2 2c nI I

31 0,371 25,0 10 9,28 kVcU

2

211 24cc S n

f

UP R I

R

21

1

224

cc

fS

n

UP

RR

I



10


La puissance réactive Q1c appelée au primaire du transformateur en court-circuit est la sommede la puissance réactive dans la bobine d’inductance Lm (réactance Xm) et des puissances réactivesdans les quatre bobines d’inductance LS (réactance XS) :

La réactance XS est ainsi donnée par la formule :

La puissance réactive Q1c peut être obtenue à partir de la puissance apparente S1c et de la puis-sance active P1c :


Nous en déduisons la réactance de fuites ramenée au secondaire :

Une autre méthode consiste à exprimer l’impédance à partir du schéma équivalent d’un secon-daire (figure 1.4).

233

3

23

9,28 1025,0 10

91,9 10 5,67 m4 1,03 10

SR

2

211 24cc S n

m

UQ X I

X

21

1

224

cc

mS

n

UQ

XX

I

22 2 2

1 1 1 1 1 1c c c c c cQ S P U I P

2 23 3

1 9,28 10 224 25,0 10 2,08 MvarcQ

236

3

23

9,28 102,08 10

20,5 10 489 m4 1,03 10

SX

Figure 1.4 – Schéma équivalentd’un secondaire court-circuité.


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11

Solution

Le module ZS de l’impédance peut être calculé par :


Le module de l’impédance pour le circuit série formé par RS et XS est :

Cela conduit à l’expression de la réactance :


Les valeurs de ZS et de XS se confondent avec trois chiffres significatifs.

L’inductance de fuites ramenée au secondaire est alors :


La résistance RS est environ 86 fois plus petite que la réactance XS. Il est donc légitime denégliger RS devant XS, c’est-à-dire de considérer que l’impédance ramenée au secondaire estpurement réactive.

B. ÉTUDE DU FONCTIONNEMENT NOMINAL

Le diagramme de Fresnel représente la relation complexe :

1

2

cS

n

mUZ

I

2 3

3

5,44 10 9,28 10490 m

1,03 10SZ

2 2S S SZ R X

2 2S S SX Z R

2 2490 5,67 490 mSX

2

S SS

X XL

f

3490 101,56 mH

2 50,0SL

A.8

B.1

2 2 2jk kv S kU U X I



12

En prenant comme origine des phases, on commence par tracer dans la même direc-

tion puis dans la direction orthogonale (figure 1.5).

Le déphasage φ2 du courant i2k dans la charge connectée à chaque enroulement secondairepar rapport à la tension u2k est :


Le facteur de puissance de la charge vaut alors :

Appliquons le théorème de Pythagore au triangle rectangle des tensions du diagramme deFresnel :

Cela conduit à :


La puissance réactive Q2 consommée par la charge d’un enroulement secondaire est :


2kI 2kvU

2j S kX I

Figure 1.5 – Diagramme de Fresnel.

B.2

22

2

arctan S

n

X I

U

3

2 3

0,490 1,03 10arctan 20,4

1,36 10

2cos cos 20,4 0,937

B.3

22 2

2 2 2v SU U X I

22

2 2 2v SU U X I

2 23 3

2 1,36 10 0,490 1,03 10 1,45 kVU

B.4

2 2 2 2sinQ U I

3 32 1,45 10 1,03 10 sin 20,4 521 kvarQ


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13

Solution

Le résultat est négatif puisque la charge fournit en réalité de la puissance réactive.

La puissance réactive Q1 appelée par le primaire du transformateur est la somme de la puis-sance magnétisante Q1v (puissance réactive à vide), de quatre fois la puissance réactive consom-mée par l’inductance de fuites LS d’un secondaire et de quatre fois la puissance réactive Q2consommée par la charge d’un enroulement secondaire :

Les deux derniers termes se compensent puisque i2k est en phase avec u2kv. Il ne reste donc quela puissance magnétisante :

La puissance active P2 consommée par la charge d’un enroulement secondaire est :


La puissance active P1 appelée par le primaire du transformateur est la somme des pertes ferro-magnétiques P1v (puissance active à vide), de quatre fois la puissance active consommée par larésistance RS d’un secondaire et de quatre fois la puissance active P2 consommée par la charged’un enroulement secondaire :


Le facteur de puissance au primaire du transformateur est :


21 1 2 24 4v SQ Q X I Q

1 30,5 kvarQ

B.5

2 2 2 2cosP U I

3 32 1,45 10 1,03 10 0,937 1,40 MWP

21 1 2 24 4v SP P R I P

23 3 3 6

1 6,80 10 4 5,67 10 1,03 10 4 1,40 10 5,63 MWP

B.6

1 11 2 2

1 1 1

cosP P

S P Q

6

1 2 26 3

5,63 10cos 1,00

5,63 10 30,5 10



14

Il ne faut pas calculer la puissance apparente par la formule S1 = U1I1 car la détermination de l’intensité effi-cace du courant a été faite avec une formule approchée et comme S1 et P1 sont très proches l’un de l’autre,la petite erreur commise sur I1 suffit à donner un facteur de puissance légèrement supérieur à 1, ce qui estévidemment absurde.

Le facteur de puissance en ligne est très proche de 1 : c’est l’objectif de la commande du pontmonophasé. Le résultat était attendu : le courant i2k dans chaque secondaire étant en phase avec latension à vide u2kv correspondante, le courant de travail i1t (courant au primaire du transformateuridéal du modèle) est en phase avec la tension u1 et comme le courant à vide i1v est faible, lecourant i1 au primaire est pratiquement en phase avec la tension u1.

Le rendement η du transformateur est le rapport de la puissance totale 4P2 fournie auxcharges des quatre secondaires et de la puissance P1 appelée par le primaire :


Le rendement est excellent, ce qui est normal pour un transformateur de forte puissance.

B.7

2

1

4P

P

6

6

4 1,40 100,995

5,63 10


15

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2TRANSFORMATEUR TRIPHASÉ

– COUPLAGE – SCHÉMA

MONOPHASÉ ÉQUIVALENT

Niveau de difficulté : * Application simple du cours accessible à tous.

Ce problème simple constitue une bonne introduction aux notions de base concernant le transfor-mateur triphasé : représentation normalisée, couplage et indice horaire, schéma monophasé équi-valent.

On considère un transformateur triphasé décrit par sa représentation normalisée (figure 2.1).

On applique au primaire du transformateur un système triphasé équilibré direct de tensionscomposées sinusoïdales uAB, uAC et uCA de valeur efficace U1 et on obtient au secondaire un systèmetriphasé équilibré direct de tensions composées sinusoïdales uab, ubc et uca de valeur efficace U2.

ÉNONCÉ

N1N2

N2

N2

A

B

C

a

nb

c

uAB νa

νb

νc

uBC

uCA

N1

N1

Figure 2.1 – Représentation normalisée du transformateur.


Chapitre 2 • Transformateur triphasé – Couplage – Schéma monophasé équivalent

16

Les intensités efficaces des courants en ligne au primaire et au secondaire sont notées respective-ment I1 et I2.

Les caractéristiques nominales du transformateur sont les suivantes :

• puissance apparente nominale Sn = 250 kVA ;

• valeur efficace nominale des tensions composées au primaire U1n = 5,20 kV ;

• fréquence nominale fn = 50,0 Hz.

On néglige les pertes ferromagnétiques.

Deux essais ont été réalisés :

• un essai à vide avec des tensions composées au primaire de valeur efficace nominale U1n : lestensions composées au secondaire ont alors une valeur efficace U2v = 400 V ;

• un essai en court-circuit avec des tensions composées au primaire de valeur efficaceU1c = 600 V : les courants en ligne au secondaire ont une intensité efficace I2c = 350 A et lapuissance appelée au primaire est P1c = 7,35 kW.

A. COUPLAGE ET SCHÉMA MONOPHASÉ ÉQUIVALENT

Quelle est la signification des points placés à une extrémité de chaque enroulement sur leschéma du transformateur ?

Calculer le rapport de transformation m du transformateur.

Pour le fonctionnement à vide du transformateur, représenter sur le même diagrammevectoriel le système triphasé direct des tensions composées au primaire (uAB, uAC, uCA), le systèmedes tensions simples au secondaire (va, vb, vc) et le système des tensions composées au secondaire(uab, ubc, uca) sans respecter les échelles (seules l’allure du diagramme et les valeurs des anglesnous intéressent).

En déduire l’indice horaire H du transformateur et donner le symbole normalisé de l’appa-reil.

Exprimer le rapport de transformation m en fonction des nombres de spires N1 de chaqueenroulement primaire et N2 de chaque enroulement secondaire.

En déduire la valeur du rapport de transformation par colonne .

Le transformateur est constitué de trois noyaux ayant chacun une section S = 5,00 dm2

L’amplitude du champ magnétique dans le circuit magnétique est BM = 1,20 T. Calculer lenombre de spires N1 de chaque enroulement primaire. En déduire le nombre de spires N2 dechaque enroulement secondaire.

Le transformateur est décrit par son schéma monophasé équivalent avec résistances etinductances de fuites ramenées au secondaire. Donner le modèle de Thévenin vu du secondaire.

Calculer la résistance des enroulements ramenée au secondaire RS et la réactance de fuitesramenée au secondaire XS.

A.1

A.2

A.3

A.4

A.5

A.6 2

1c

Nm

NA.7

A.8

A.9


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17

Énoncé

B. FONCTIONNEMENT EN CHARGE

Le primaire du transformateur est alimenté par un système de tensions composées de valeur effi-cace nominale U1n. Une charge triphasée symétrique est branchée au secondaire (figure 2.2).Chaque phase comporte une résistance R = 554 m et une bobine d’inductance L = 3,05 mH.

Calculer le facteur de puissance cos φ2 de cette charge.

Tracer le diagramme vectoriel des tensions correspondant au schéma monophasé équiva-lent. En déduire l’intensité efficace I2 des courants en ligne ainsi que la valeur efficace U2 destensions composées au secondaire. On peut utiliser une approximation en la justifiant.

Calculer la puissance P2 fournie par le transformateur à la charge.

Calculer le rendement η du transformateur.

On utilise maintenant une autre charge triphasée symétrique (figure 2.3).

Figure 2.2 – Charge branchée au secondaire du transformateur.

B.1

B.2

B.3

B.4

B.5

Figure 2.3 – Autre charge branchée au secondaire du transformateur.



18

Calculer la résistance R’ et l’inductance L’ pour que cette charge soit équivalente à la précé-dente.

A. COUPLAGE ET SCHÉMA MONOPHASÉ ÉQUIVALENT

Comme pour le transformateur monophasé, les points repèrent les bornes homologues desenroulements. Ce pointage permet de connaître le sens de bobinage relatif des phases du primaireet du secondaire sans avoir besoin d’une représentation détaillée du circuit magnétique et desenroulements. Avec un transformateur triphasé, la différence est que les enroulements sont répar-tis sur trois noyaux. Pour les bobines d’une même colonne, les tensions entre l’extrémité pointéeet l’autre extrémité ont même polarité instantanée. Par ailleurs, dans la relation d’Hopkinson,pour un contour donné, les forces magnétomotrices sont précédées d’un signe + si la flèched’orientation du courant entre par une extrémité pointée et d’un signe – dans le cas contraire.

Le rapport de transformation est égal au quotient de la valeur efficace U2v des tensionscomposées au secondaire à vide et de la valeur efficace U1n des tensions composées au primaire :


Comme en monophasé, le rapport de transformation peut être défini de façon différente (voir leproblème n° 1).

Compte tenu du couplage (triangle au primaire et étoile au secondaire) et du pointage desbobines, les tensions simples au secondaire (va, vb, vc) sont en phase avec les tensions composéescorrespondantes au primaire (uAB, uBC, uCA) (figure 2.4).

SOLUTION

A.1

A.2

2

1

v

n

Um

U

23

4007,69 10

5,20 10m

A.3

Figure 2.4 – Diagramme vectoriel des tensions au primaire et au secondaire.


© D

unod

– T

oute

rep

rodu

ctio

n no

n au

tori

sée

est u

n dé

lit.

19

Solution

Les tensions composées au secondaire sont obtenues par les relations :

Comme nous sommes en régime triphasé équilibré, il suffit de construire le vecteur correspondant à latension d’une phase puis de compléter le système équilibré direct pour les autres phases.

Le déphasage d’une tension composée au secondaire (basse tension) par rapport à latension composée homologue au primaire (haute tension) est θ = 330°. L’indice horaire du trans-formateur est :

Le diagramme permet de voir rapidement l’indice horaire. En effet, en considérant le cadrand’une montre à aiguilles et en plaçant le vecteur représentant la haute tension uAB sur le nombre12, le vecteur représentant la basse tension uab pointe l’heure qui correspond à l’indice horaire(figure 2.5).

Le symbole normalisé du transformateur est Dy11 puisque :• l’enroulement haute tension (désigné par une majuscule) est couplé en triangle (lettre D) ;• l’enroulement basse tension (désigné par une minuscule) est couplé en étoile (lettre y) ;• l’indice horaire du transformateur est 11.

ab a bu v v

bc b cu v v

ca c au v v

A.4

330

1130

H

U

1211

10

9

87

65

4

3

21

AB

Uab

Figure 2.5 – Indice horaire.



20

La valeur efficace V2v des tensions simples au secondaire est égale au produit du rapport

des nombres de spires et de la valeur efficace U1 des tensions composées au primaire :

La valeur efficace U2v des tensions composées au secondaire est alors :

Le rapport de transformation m s’exprime donc par :

La formule précédente permet d’obtenir le rapport de transformation par colonne :

mc =


La formule de Boucherot exprime la valeur efficace U1 de la tension aux bornes d’unephase du primaire (tension composée puisque le primaire est couplé en triangle) en fonction del’amplitude BM du champ magnétique, du nombre de spires N1 d’une phase du primaire, de lasection S du noyau et de la fréquence f :

Le nombre de spires N1 d’une phase du primaire est ainsi :


Le rapport de transformation par colonne chiffré à la question précédente permet d’obtenir lenombre de spires N2 d’une phase du secondaire :

A.5

N2

N2------

22 1

1v

NV U

N

22 2 1

1

3 3v vN

U V UN

m 3N2

N2------=

A.6

m

3-------

2

27,69 104,44 10

3cm

A.7

1 12 MU B N Sf

11

2 M

UN

B Sf

3

1 2

5,20 10390

2 1,20 5,00 10 50,0N

2 1cN m N


© D

unod

– T

oute

rep

rodu

ctio

n no

n au

tori

sée

est u

n dé

lit.

21

Solution


La force électromotrice du modèle de Thévenin de la sortie du schéma monophasé équiva-lent est la tension à vide v2v. L’impédance interne comprend la résistance des enroulementsramenée au secondaire RS et l’inductance de fuites ramenée au secondaire LS (figure 2.6).

Dans l’essai en court-circuit, comme les pertes ferromagnétiques sont négligeables, lapuissance active P1c appelée par le transformateur est égale aux pertes par effet Joule qui corres-pondent à trois fois la puissance dissipée dans la résistance RS du schéma monophasé équivalent :

Nous en déduisons la résistance RS :


Nous pouvons ensuite calculer le module ZS de l’impédance de RS et LS :


Ce module s’écrit également :

22 4,44 10 390 17N

A.8

Figure 2.6 – Modèle de Thévenin vu du secondaire.

A.9

21 23c S cP R I

1223c

Sc

PR

I

3

2

7,35 1020,0 m

3 350SR

1 1

2 2 3c c

Sc c

mV mUZ

I I

27,69 10 60076,1 m

350 3SZ

2 2S S SZ R X



22

Nous en déduisons la valeur de la réactance XS :


B. FONCTIONNEMENT EN CHARGE

Le facteur de puissance cos φ2 de la charge est le quotient de la résistance R et du moduleZ de l’impédance d’une phase :


Le diagramme vectoriel des tensions (figure 2.7) traduit :• la relation obtenue pour le secondaire du schéma monophasé équivalent qui s’écrit, avec les

grandeurs complexes :

• la relation due à la charge :

2 2S S SX Z R

2 23 376,1 10 20,0 10 73,4 mSX

B.1

2 2 22 2

cos2

R R R

Z R L R L f

3

2 2 23 3

554 10cos 0,501

554 10 3,05 10 2 50,0

B.2

2 2 2 2jv S SV V R I X I

2 2jV R L I

Figure 2.7 – Diagramme vectoriel des tensions.


© D

unod

– T

oute

rep

rodu

ctio

n no

n au

tori

sée

est u

n dé

lit.

23

Solution

Égalons les deux expressions de précédentes :

Nous en déduisons l’intensité complexe du courant au secondaire :

L’intensité efficace I2 des courants en ligne au secondaire est obtenue en prenant le module decette expression :


Pour obtenir la valeur efficace U2 des tensions composées au secondaire, on peut d’abord chif-frer la chute de tension simple définie par :

La chute de tension composée U2 est obtenue à partir de la chute de tension simple V2 :

Si les chutes de tension résistive RSI2 et inductive XSI2 sont suffisamment petites devant lavaleur efficace V2v de la tension à vide, la chute de tension simple peut être calculée par laformule approchée :

Ici, nous avons :

V2

2 2 2 2j jv S SV R I X I R L I

2

2 j j

v

S S

V

IR X R L

2 22 2 2 2 2

3 2

v v

S S S S

V UI

R R X L R R X L f

2 2 23 3 3

400196 A

3 20,0 554 10 73,4 10 3,05 10 2 50,0

I

2 2 2vV V V

2 23U V

2 2 2 2 2cos sinS SV R I X I

32 20,0 10 196 3,92 VSR I

32 73,4 10 196 14,4 VSX I

2400

231 V3

vV



24

Nous pouvons estimer que les conditions de l’approximation sont vérifiées et calculer la chutede tension composée par la formule approchée :

Le déphasage φ2 des courants en ligne par rapport aux tensions simples correspondantes estpositif puisque la charge est inductive. Nous pouvons donc calculer son sinus :

La chute de tension composée U2 vaut ainsi :

La valeur efficace des tensions composées au secondaire est alors :


Il existe une formule plus précise (mais aussi plus compliquée) pour chiffrer la chute de tension, mais sonusage est rarement nécessaire. Dans notre cas, la différence n’apparaît que sur le deuxième chiffre après lavirgule, ce qui est parfaitement négligeable compte tenu de la précision des données.

La puissance P2 fournie par le transformateur à la charge est :


Comme les seules pertes sont dues à l’effet Joule, le rendement η du transformateur est :


Les résistances et les bobines de la nouvelle charge formant deux récepteurs en étoile, ellessont soumises aux tensions simples du secondaire du transformateur.

2 2 2 2 23 cos sinS SU R I X I

2sin sin arccos 0,501 0,865

3 32 3 20,0 10 196 0,501 73,4 10 196 0,865 24,9 VU

2 2 2vU U U

2 400 24,9 375 VU

B.3

2 2 2 23 cosP U I

2 3 375 196 0,501 63,8 kWP

B.4

22

2 23 S

P

P R I

3

3 3 2

63,8 100,965

63,8 10 3 20,0 10 196

B.5


© D

unod

– T

oute

rep

rodu

ctio

n no

n au

tori

sée

est u

n dé

lit.

25

Solution

Les deux charges sont équivalentes si elles consomment la même puissance active et la mêmepuissance réactive :



2

222'

3 3V

RIR

2222'

3 3V

L IL

2 2

' 2 22 22 23

V UR

RI RI

2 2' 2 2

2 2 2 22 23 2

V UL

L I L f I

2'

3 2

3752,20

3 554 10 196R

2'

23 2

3754,05 mH

3 3,05 10 2 50,0 196L



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