Parallelogrammi e trapezi Definizione e proprietà del parallelogramma

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Si dice parallelogramma un quadrilatero convesso che ha un centro di simmetria.

Proprietà dei parallelogrammi

• I lati opposti sono paralleli: AB // DC e AD // BC

• I lati opposti sono congruenti: AB ≅ DC e AD ≅ BC

• Gli angoli adiacenti sono supplementari: ADC supplementare di DCB

Parallelogrammi e trapezi Definizione e proprietà del parallelogramma

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• Le diagonali si incontrano nel punto medio

• Gli angoli opposti sono congruenti DAB ≅ DCB e ADC ≅ ABC

Criteri per stabilire se un quadrilatero è un parallelogramma

Teorema. Un quadrilatero è un parallelogramma se:

ha i lati opposti paralleli oppure

ha i lati opposti congruenti oppure

ha gli angoli adiacenti supplementari oppure

ha le diagonali che si incontrano nel punto medio oppure

ha una coppia di lati opposti congruenti e paralleli.

Parallelogrammi e trapezi Parallelogrammi particolari

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Si chiama rettangolo un quadrilatero che ha tutti gli angoli congruenti.

Un rettangolo ha le diagonali congruenti

Per stabilire se un quadrilatero è un rettangolo basta verificare che sia un parallelogramma e procedere in uno dei seguenti modi:

verificare che ci sia almeno un angolo retto

verificare che le diagonali siano congruenti

Parallelogrammi e trapezi Parallelogrammi particolari

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Si chiama rombo un parallelogramma con tutti i lati congruenti.

Un rombo ha le diagonali che sono tra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti.

Per stabilire se un quadrilatero è un rombo basta verificare che sia un parallelogramma e procedere in uno dei seguenti modi:

verificare che abbia due lati consecutivi congruenti.

verificare che le diagonali siano tra loro perpendicolari.

verificare che una diagonale sia bisettrice degli angoli cui si riferisce.

Parallelogrammi e trapezi Parallelogrammi particolari

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Si chiama quadrato un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti.

Un quadrato possiede tutte le proprietà dei parallelogrammi e quelle dei rettangoli e dei rombi, perciò:

Per stabilire se un quadrilatero è un quadrato basta verificare che sia un parallelogramma e procedere in uno dei seguenti modi:

verificare che ci siano due lati consecutivi congruenti e che ci sia un angolo retto.

verificare che le diagonali siano congruenti e perpendicolari.

verificare che le diagonali siano congruenti e che una di esse sia bisettrice degli angoli cui si riferisce.

Le diagonali sono congruenti, sono perpendicolari, sono bisettrici degli angoli cui si riferiscono.

Parallelogrammi e trapezi Parallelogrammi e isometrie

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Per definizione tutti i parallelogrammi hanno un centro di simmetria.

il rettangolo che ha per assi le rette perpendicolari a due lati opposti passanti per il loro punto medio.

I parallelogrammi che possiedono assi di simmetria sono

il rombo, che ha come assi le rette delle diagonali.

il quadrato, che ha come assi quelli del rombo e quelli del rettangolo.

Parallelogrammi e trapezi Definizione e proprietà del trapezio

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• se i lati obliqui sono diseguali il trapezio si dice scaleno.

Classificazione dei trapezi in base ai lati obliqui:

Un trapezio è un quadrilatero che ha due lati paralleli.

• se i lati obliqui sono congruenti il trapezio si dice isoscele.

• se uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi il trapezio si dice rettangolo.

In un trapezio gli angoli adiacenti a ciascuno dei lati obliqui sono supplementari.

BAD + ADC = π e ABC + BCD = π

Parallelogrammi e trapezi Proprietà del trapezio isoscele

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gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti.

In un trapezio isoscele:

le diagonali sono congruenti.

la retta che passa per i punti medi delle basi è asse di simmetria.

Per riconoscere se un trapezio è isoscele basta verificare che:

• i lati obliqui siano congruenti (definizione);

• gli angoli adiacenti a una base siano congruenti;

• le diagonali siano congruenti;

• la retta che passa per i punti medi delle basi sia asse di simmetria

Parallelogrammi e trapezi Corrispondenza di Talete

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Teorema della corrispondenza di Talete

Se un fascio di rette parallele interseca una trasversale r nei punti A, B, C, ….. e una trasversale s nei punti A’, B’, C’, ….., fra i due insiemi di punti si stabilisce una corrispondenza biunivoca che si chiama corrispondenza di Talete.

In tale corrispondenza, a segmenti congruenti sulla prima trasversale corrispondono segmenti congruenti sulla seconda trasversale.

Parallelogrammi e trapezi Corrispondenza di Talete

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Conseguenze del teorema di Talete nel caso dei triangoli

Se per il punto medio di un lato di un triangolo si traccia la parallela ad un altro lato, questa taglia il terzo lato nel suo punto medio.

Il segmento che unisce i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.