EQUAZIONIEQUAZIONI

EQUAZIONIEQUAZIONI Si dice Si dice equazioneequazione un’uguaglianza tra due espressioni un’uguaglianza tra due espressioni

algebriche, contenenti una o più lettere.algebriche, contenenti una o più lettere. Si chiama Si chiama soluzionesoluzione di un’equazione quel numero che di un’equazione quel numero che

sostituito all’incognita la rende un’identità.sostituito all’incognita la rende un’identità. Un’equazione si dice Un’equazione si dice impossibileimpossibile, , determinatadeterminata o o

indeterminataindeterminata se ha rispettivamente nessuna, un numero se ha rispettivamente nessuna, un numero finito o un numero infinito di soluzioni.finito o un numero infinito di soluzioni.

Due equazioni si dicono Due equazioni si dicono equivalentiequivalenti se hanno le stesse se hanno le stesse soluzioni.soluzioni.

Sommando o sottraendo ad ambo i membri di Sommando o sottraendo ad ambo i membri di un’equazione una stessa quantità si ottiene un’equazione un’equazione una stessa quantità si ottiene un’equazione equivalente equivalente (I PRINCIPIO DI EQUIVALENZA)(I PRINCIPIO DI EQUIVALENZA)..

Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione per una stessa quantità non nulla si ottiene un’equazione per una stessa quantità non nulla si ottiene un’equazione equivalente equivalente (II PRINCIPIO DI EQUIVALENZA)(II PRINCIPIO DI EQUIVALENZA)..

EQUAZIONI DI SECONDO EQUAZIONI DI SECONDO GRADOGRADO

Data l’equazione di secondo gradoData l’equazione di secondo gradoaxax22 + bx + c = 0 con a≠0 + bx + c = 0 con a≠0

la sua formula risolutiva è la sua formula risolutiva è xx1/21/2 = -b = -b ± √b± √b22 – 4ac – 4ac

2a2adove dove = b = b22 – 4ac – 4ac è è detto detto discriminantediscriminante.. Se Se > 0 > 0 l’equazione ammettel’equazione ammette due due soluzioni reali soluzioni reali

distinte;distinte; Se Se = 0 = 0 l’equazione ammettel’equazione ammette due due soluzioni reali soluzioni reali

coincidenti;coincidenti; Se Se < 0 < 0 l’equazione non ammette alcuna l’equazione non ammette alcuna

soluzione reale.soluzione reale.

Equazione pura (b=0): Equazione pura (b=0): axax22 + c = 0 + c = 0

Equazione spuria (c=0):Equazione spuria (c=0):axax22 + bx = 0 + bx = 0

Equazione monomia (b=c=0): Equazione monomia (b=c=0): axax22=0 =0

a

cx 2/1

a

bx

x

2

1 0

021 xx

RELAZIONI TRA LE SOLUZIONI E RELAZIONI TRA LE SOLUZIONI E I COEFFICIENTI DI UN’EQUAZIONE DI II I COEFFICIENTI DI UN’EQUAZIONE DI II

GRADOGRADOData l’equazione di II grado:Data l’equazione di II grado:

axax22 + bx + c = 0 con a≠0 + bx + c = 0 con a≠0

a

cpxx

a

bsxx

21

21

In ogni equazione di secondo grado con il In ogni equazione di secondo grado con il primo coefficiente uguale a 1, la somma delle primo coefficiente uguale a 1, la somma delle soluzioni è uguale al coefficiente del soluzioni è uguale al coefficiente del secondo termine cambiato di segno ed il secondo termine cambiato di segno ed il prodotto è uguale al termine noto.prodotto è uguale al termine noto.

02 psxx

REGOLA DI CARTESIOREGOLA DI CARTESIO

In ogni equazione di secondo grado avente In ogni equazione di secondo grado avente ΔΔ positivo o nullo, a ogni positivo o nullo, a ogni variazionevariazione corrisponde una corrisponde una soluzione positivasoluzione positiva e a ogni e a ogni permanenzapermanenza una una soluzione negativasoluzione negativa. Quando le soluzioni sono . Quando le soluzioni sono discordi, è maggiore in valore assoluto quella discordi, è maggiore in valore assoluto quella positiva se la variazione precede la permanenza, positiva se la variazione precede la permanenza, mentre è maggiore in valore assoluto quella mentre è maggiore in valore assoluto quella negativa se la permanenza precede la variazione.negativa se la permanenza precede la variazione.

In un polinomio ordinato si dice In un polinomio ordinato si dice permanenzapermanenza la la successione di due coefficienti di segno uguale, si successione di due coefficienti di segno uguale, si dice dice variazionevariazione la successione di due coefficienti di la successione di due coefficienti di segno opposto.segno opposto.

7) L’equazione 9 = 3x / 4 ha come 7) L’equazione 9 = 3x / 4 ha come soluzione:soluzione:

A) x = 12/9A) x = 12/9B) x = 3B) x = 3C) x = 27/4C) x = 27/4D) x = 12D) x = 12E) x = 108E) x = 108

TESTTEST

8) Relativamente alla soluzione dell’equazione 8) Relativamente alla soluzione dell’equazione algebrica di primo grado Ax – B = 0 quale algebrica di primo grado Ax – B = 0 quale delle seguenti affermazioni è CORRETTA?delle seguenti affermazioni è CORRETTA?

A) l’equazione non ha soluzioni reali se: A) l’equazione non ha soluzioni reali se: A>0, B<0 A>0, B<0B) l’equazione non ha soluzioni reali se: B) l’equazione non ha soluzioni reali se: A<0, B<0 A<0, B<0C) l’equazione non ha soluzioni reali se: C) l’equazione non ha soluzioni reali se: A>0, B=0 A>0, B=0D) l’equazione non ha soluzioni reali se: D) l’equazione non ha soluzioni reali se:

A>0, B>0 A>0, B>0E) l’equazione ha soluzioni reali sempre E) l’equazione ha soluzioni reali sempre

(purché A sia diverso da 0) (purché A sia diverso da 0)

9) Per a diverso da 0, l’equazione 9) Per a diverso da 0, l’equazione ax+b=0 ha soluzione:ax+b=0 ha soluzione:

A) x = a-bA) x = a-b

B) x = -b/aB) x = -b/a

C) x = -a/bC) x = -a/b

D) x = a/bD) x = a/b

E) x = b/aE) x = b/a

10) L’equazione di secondo grado ax10) L’equazione di secondo grado ax22+b=0 +b=0 ha radici reali, quando:ha radici reali, quando:

A) a < 0 e qualunque sia il segno di bA) a < 0 e qualunque sia il segno di b

B) b < 0 e qualunque sia il segno di aB) b < 0 e qualunque sia il segno di a

C) a e b sono entrambi positiviC) a e b sono entrambi positivi

D) a e b hanno segni oppostiD) a e b hanno segni opposti

E) a e b sono entrambi negativiE) a e b sono entrambi negativi

11) Nell’equazione completa e ordinata 3x11) Nell’equazione completa e ordinata 3x2 2 --7x +2 = 07x +2 = 0 si hanno:si hanno:

A) due variazioniA) due variazioni

B) due permanenzeB) due permanenze

C) una variazione e una permanenzaC) una variazione e una permanenza

D) una permanenza e una variazioneD) una permanenza e una variazione

E) nessuna variazioneE) nessuna variazione

12) Data l’equazione 2x12) Data l’equazione 2x2 2 + bx + c = 0, qual è + bx + c = 0, qual è la coppia di valori di b e c che produce le la coppia di valori di b e c che produce le soluzioni 11 e 3?soluzioni 11 e 3?

A) b=-28A) b=-28 c=-33 c=-33 B) b=14 B) b=14 c=-66c=-66C) b=-28 C) b=-28 c=66c=66D) b=-7 D) b=-7 c=33/2c=33/2E) b=14E) b=14 c=-33c=-33

13) Le radici dell’equazione 13) Le radici dell’equazione (x - a)(x + b)(x - c) = 0 sono:(x - a)(x + b)(x - c) = 0 sono:

A) –a, b, -cA) –a, b, -cB) a, -b, cB) a, -b, cC) 1/a, 1/b, 1/cC) 1/a, 1/b, 1/cD) aD) a22, b, b22, c, c22

E) a, b, cE) a, b, c

14) Uno studente ha sostenuto N esami. Se 14) Uno studente ha sostenuto N esami. Se ne avesse sostenuti il triplo, ne avrebbe 6 in ne avesse sostenuti il triplo, ne avrebbe 6 in meno del suo amico, che ne ha sostenuti 18. meno del suo amico, che ne ha sostenuti 18. Quanto vale N?Quanto vale N?

A) 2A) 2B) 4B) 4C) 6C) 6D) 8D) 8E) 9E) 9

TESTTEST DI DI AUTOVALUTAZIONEAUTOVALUTAZIONE

4) L’equazione algebrica di secondo grado: 4) L’equazione algebrica di secondo grado: AxAx2 2 + 2Bx + C = 0 in uno dei seguenti casi + 2Bx + C = 0 in uno dei seguenti casi NON ha soluzioni nel campo reale. In quale NON ha soluzioni nel campo reale. In quale caso?caso?

A) A>0,A) A>0, B=0,B=0, C<0C<0B) A>0, B) A>0, B=0, B=0, C>0C>0C) A=0, C) A=0, B>0, B>0, C<0C<0D) (BD) (B2 2 - AC) > 0- AC) > 0E) (BE) (B2 2 - AC) = 0- AC) = 0

5) Un padre ha 50 anni e il figlio 26. Quando 5) Un padre ha 50 anni e il figlio 26. Quando l’età del padre è tripla di quella del figlio?l’età del padre è tripla di quella del figlio?

A) maiA) maiB) 14 anni faB) 14 anni faC) fra 14 anniC) fra 14 anniD) non è possibile stabilirloD) non è possibile stabilirloE) quando il padre avrà 78 anniE) quando il padre avrà 78 anni

7) Un’equazione binomia è:7) Un’equazione binomia è:

A) un’equazione che ammette una duplice A) un’equazione che ammette una duplice soluzione soluzione

B) un’equazione che ammette una doppia B) un’equazione che ammette una doppia denominazionedenominazioneC) un’equazione che può essere risolta C) un’equazione che può essere risolta

secondo due differenti metodi secondo due differenti metodiD) un’equazione che comprende in tutto due D) un’equazione che comprende in tutto due termini, di cui almeno uno contiene termini, di cui almeno uno contiene l’incognital’incognitaE) non esisteE) non esiste

8) Quali fra le seguenti equazioni sono 8) Quali fra le seguenti equazioni sono equivalenti fra loro? equivalenti fra loro?

1) 6x – 4 = 8 1) 6x – 4 = 8 2) 6x – 1 = 2 2) 6x – 1 = 2 3) x (6x – 4) = 8x 3) x (6x – 4) = 8x 4) 3x – 6 = 04) 3x – 6 = 0

A) la 1) e la 4)A) la 1) e la 4)B) la 1) e la 2)B) la 1) e la 2)C) la 1) e la 3)C) la 1) e la 3)D) la 2) e la 4)D) la 2) e la 4)E) la 3) e la 2)E) la 3) e la 2)