Pascal PICART - giana.mmci.uni-saarland.degiana.mmci.uni-saarland.de/website-template/lectures/AdvancedDisplays/... · Pascal PICART École Nationale Supérieure d’Ingénieurs du

Pascal PICARTPascal PICART

École Nationale Supérieure d’Ingénieurs du Mans – ENSIM

Laboratoire d’Acoustique de l’Université du Maine – LAUM UMR CNRS 6613

Tel : 02.43.83.39.58.

email : [email protected]

HolographieHolographie

Fascicule 4 : Holographie numérique

2/79

Sommaire

Introduction

Enregistrement d’un hologramme

Processus de reconstruction d’images

Relation objet-image

Reconstruction numérique des hologrammes

Dispositifs holographiques

Holographie numérique à décalage de phase

Interférométrie holographique numérique

Holographie numérique couleur

Références bibliographiques

3/79

1947 : holographie inventée par Dennis Gabor 1947 (Nobel 1971)

1967 : fondements de l’holographie numérique (Goodman)

1970 : première tentative pour l’holographie numérique (Yarovslavsky, URSS)

1992 : prémices de l’holographie numérique en ligne pour l’étude de particules (Onural)

1994 : « naissance » de l’holographie numérique (Juptner et Schnars, BIAS, Bremen)

1997 : holographie numérique à décalage de phase (Yamaguchi)

1999 : microscopie holographique numérique (Depeursinge, EPFL)

2002 : holographie numérique couleur à décalage de phase (Yamaguchi, Japan)

2013 : caméra holographique couleur avec lumière naturelle (Kim, USA)

1994

Introduction (1)

(Source : ISI Web of Science 2011)

4/79

Depuis 1998 : un grand nombres d’applications spectaculaires

� Microscope holographique et microscope à contraste de phase quantitatif

� Reconnaissance d’objets 3D

� Codage sécurisé d’information

� Imagerie de polarisation

� Mesure de formes et profils de surfaces

� Investigations des propriétés de matériaux

� Analyse de vibrations sous différents régimes d’excitation

� Mesures multidimensionnelles dynamiques

� Démonstration de la possibilité de correction des aberrations

� Holographie en ligne pour l’imagerie et l’extraction de particules

� Holographie numérique couleur

10 ans de recherches

Introduction (2)

5/79

Capteur CCD ou CMOS

pixel ≈ qq mm (min 1,7µm)

sensibilité : env. 6×10-4 J/m2

sensibilité spectrale : 350-1000nm

traitement numérique

basse résolution : 100 à 300mm-1

reconstruction basse résolution

⇒⇒⇒⇒ 100µm à distance de 1m

image complexe (amplitude+phase)

Holographie « analogique »

Halogénures d’argent

grain ≈ 25 nm

sensibilité : 5×10-3 à 5×10-1 J/m2

sensibilité spectrale : 400-700nm

consommables + chimie

haute résolution : 1000 à 10000mm-1

reconstruction haute résolution

⇒⇒⇒⇒ 5µm à distance de 1m

image quadratique

Holographie « numérique »

Comparatif analogique/ numérique

Introduction (3)

6/79

Détecteur matriciel ⇒ intégration spatiale⇒ échantillonnage spatial⇒ N×M pixels de surface active ∆x×∆y de pas px×py

Ex : 1360×1024 pixels de surface active 4,0µm2 et de pas 4,65µm×4,65µm

∆x

∆y

px

py

N

M

Enregistrement d’un hologramme (1)Support photosensible

7/79

Capteur d’images haute cadence

Technologie CMOS Conversion des photo charges en tension au pixelIntégration de fonctions de traitement du signal au pixel

Ex : CMOS avec 1024×1024pixels, pixels 20µm× 20µm, cadence : 13500Hz

CMOS avec 384×256pixels, pixels 20µm× 20µm, cadence : 100000Hz

Enregistrement d’un hologramme (2)

8/79

Onde objet

Objet

A(x,y)

( ) ( ) ( )[ ]yxiyxAyxA ,exp,, 00 ψ=M

H

d0

Champ diffracté par

l’objetO(x’ ,y’,z+d0)

zi

kjy

x

z’i’

k’j’y’

x’

ΣΣΣΣR

fréquences spatiales{u0,v0}

r0 rayon de courbure (<0)

ψ0 ≡ phase aléatoire

Onde de référence lisse et sphérique

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) dxdy+yyxxλd

iy+x

λd

iyx,A

+yxλd

i

λd

λdii=d,y,xO

−

×

∫ ∫ ''2

expexp

''exp/2exp

''

0

22

0

22

00

00

ππ

ππ

( ) ( ) ( )

+−+ ''2''exp'' 00

22

0

yvxuiyxr

ia=y,xR R π

λπ ( )

( ) λθλθ

y

x

v

u

′

′

==

sin

sin

0

0

Enregistrement des interférences-1


( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )0

0

2

0

2

,,,

,,,

,,,,

dyxOyxR

dyxOyxR

dyxOyxRyxH

′′′′+

′′′′+

′′+′′=′′

∗

∗

Hologram

9/79

Effet d’intégration spatiale et d’échantillonnage

Fonction « pixel »

( ) ( )∫ ∫= ∆+∆−

∆+∆−

2/2/

2/2/ 00 '',',',, xx

xx

yy

yy

lplp

kpkpyxD dydxdyxHdkplpH

( ) ( ) ( )[ ]( )yxyxD kplpyxdyxHdkplpHyx

,',',',',, ,00 ∆∆Π∗=

( )

∆≤∆≤=Π ∆∆

ailleurs022

si1,,

yx yxyx

yx

xlpx =' ykpy ='

[ ]1,0 −∈ Mk[ ]1,0 −∈ Nl

fonction pixel ≡filtrage passe bas

Enregistrement des interférences-2


10/79

Nécessité de respecter le critère de Shannon

Angle maximum entre les faisceaux

Exemplepx = py = 4,6µm λ = 0,6328µm ⇒ θθθθmax ≤≤≤≤ 4°

CCD

( H )

( )yx ppi ,max2≥

( )

≤

yx ppθ

,max4arcsin2max

λ

Conditions de Shannon


=

2sin2

θλ

i

Objet

ΣΣΣΣO

θθθθ

i

ΣΣΣΣR

interfrange locale

11/79

A quoi ressemble un hologramme ?

Hologramme enregistré par capteur CCD

zoom

enregistrement d’un speckle

microfranges

grains de speckle


12/79

reconstruction

Processus optique

Processus numériqueenregistrement

Image ≡ filtrage linéaire de l’objet

diffraction

interférences numériqueimage

reconstruite

objet A(x,y)

échantill.intégration Ar(x,y,dr)

Bloc-diagramme

Processus de reconstruction d’images (1)

13/79

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )yxA

dvyduxdyxW

yxyxWyxWyxAdyxA

n

n

rrrNM

Cabrr yx

,

,,,~

,,~

,~

,,,

00

,

∏+

++∗∗

Π∗∗∗∝∗

∆∆

β

λλδ

Localisation dans champ reconstruit

Aberrations

Erreur de focus Surface des pixels

résolution intrinsèque Réponse impulsionnelle

Rxy(x,y)

Fonction de résolution=

Non linéarité

Relation objet - image


14/79

Processus de reconstruction d’images (3)De l’hologramme au calcul du champ complexe

Champ calculé par diffraction

numérique

d0

CCD

Objet

Champ objet

dr

z

( ) ( )( )yxhHdyxA rr ,,, ∗=

Calcul du champ diffracté

Cas où dr → ∞

( ) [ ]HTFAdidi rrrdr

=−∞→

λπλ /2explim

( ) ( ) ( ) ''''2exp''exp',',, 22 dydxyd

yx

d

xiyx

d

iyxHdyxA

rrrrr

+−

+∝ ∫∫

+∞

∞−

+∞

∞− λλπ

λπ

Le spectre de l’hologramme est aussi la TdeFresnel pour dr → ∞

15/79

OR

RO

O

RH

∗

∗

+

+

+

=

2

2


),]([),]([),(~

0 vuOFTvuOFTvuO ∗∗= ( ) ( )

( ) ( )[ ] 112

12

10100100

101022

0

40

40

2exp,

,exp),(~

dvduvudjudvdududA

vdudAvud

jdvuO

+−−−×

+−=

∗

∫∫

πλλλλλ

λλλ

πλ

( ) ( ) ( ) 1110010001010040

40 ,,,

~dvduudvdududAvdudAdvuO λλλλλλλ −−≤ ∫∫ ( ) ( )vdudCdvuO AA 00

40

40 ,,

~00

λλλ≤

( )( )

( )( ) 100

100

2

2

2exp

2exp

+

−

+++

+−+

+

Oyvxui

Oyvxui

O

aR

π

π

( )

( )

( )

( )001

00*1

220

2

,~

,~

,~

,

00

vvuuO

vvuuO

ududCdO

vua

rrAAr

R

−−

−−−−

≤

+

−

λλλ

δ

TF

Structure du spectre de fréquences spatiales de l’hologramme

Ordre −−−−1

Ordre +1

Ordre 0 du à l’onde objet

majoration

16/79

Structure du champ diffracté numériquementλλ λλd

0 /py

Ordre 0Ordre +1

λλλλd0/px

Ordre −−−−1


11 11/py

Ordre 0Ordre +1

1111/px

Ordre −−−−1

Spectre de l’hologramme Champ diffracté numériquement

Il faut optimiser l’occupation de la bande passante spatiale de l’hologramme

Information spectrale localisée en (u0,v0) Objet localisé en (x0,y0) = (λd0u0, λd0v0)

∆∆∆∆A∆∆∆∆A/λλλλd0

17/79

Extension de ordre 0≡

auto corrélation de l’objet

Distance d’enregistrement optimale et fréquences spatiales de onde de référence dépendent de la

géométrie de l’objet (hauteur & largeur)

( ) ( )x

yx App

d ∆+

=λ2

,max2320

+±=

+±=

226

31

226

31

0

0

y

x

pv

pu

Cas d’un objet à contour circulaire

λλ λλd0 /p

y

0 order

-1 order

λλλλd0/px

+1 order

Objet circulaire ( ∆∆∆∆Ax = ∆∆∆∆Ay = ∆∆∆∆A)

Optimisation spatiale de l’enregistrement de l’hologramme


∆∆∆∆A

18/79

Modèle général incluant la courbure des ondes-1

Relation objet-image (1)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

+−×

+×

+−=

∑ ∑−=

−=

−=

−=

+

''2

exp

exp,,,,

''exp/2exp

),','(

12/

2/

222212/

2/0

*

221

ykpxlpd

i

pmpnd

idkplpOkplpRkplpw

yxd

i

d

diidyxA

yxrc

Kk

Kkyx

rc

Ll

Llyxyxyx

rcrc

crrr

λπ

λπ

λπ

λλπ

⇒⇒⇒⇒ Prise en compte d’une « onde d’éclairage numérique » à la reconstruction

( ) ( )

+−= 22exp,,, yx

R

iRyxw

cccc λ

πλ

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

+−

+

−+−×

×

++= ∑ ∑

−=

−=

−=

−=

+

''2

exp1111

exp

,,''exp//2exp

),','(

2222

00

12/

2/

12/

2/ 00

*22

0

01

ykpxlpd

ipkpl

rdRdi

d

kp

d

lpFkplpRyx

d

i

dd

ddidyxA

yxrc

yxccrc

Kk

Kk

Ll

Ll

yxyx

rcrc

crrr

λπ

λλλλπ

λλλπ

λλλλπ

Rc : rayon de courbure, λc : longueur d’onde

Champ diffracté

( ) ( )

( )[ ]

=

+−=

∫ ∫

+∞

∞−

+∞

∞−

00

000

,,~

2exp,

~,

d

Y

d

XyxFTF

dxdyyYxXd

iyxF

d

Y

d

XF

λλ

λπ

λλ( ) ( ) ( )

+= 22

0

exp,,~

yxd

iyxAyxF

λπ

avec

Cf cours Holographie-Principe

19/79

Modèle général incluant la courbure des ondes-2


( )[ ]

( )[ ]

−−=

−−=

−−

−

Yd

dX

d

dFd

d

Y

d

XvdudFd

d

Y

d

X

d

y

d

xyxFTFTF

rcrcrcrc

rcrc

λλ

λλλ

λλλλλ

λλλλ

0020

200

20

2

00

1

,~

,,~

,'

,'

,~

( )[ ][ ]

( )rcrcrrc

rcrcr

dvYduXad

d

Y

d

XyvxuiaTF

λλδλ

λλπ

0022

00

,

,''2exp

++=

+ ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )

( ) ( )rcrcrcNM

Crcrc

cr

rcrcrc

rcrcrrrcrr

dvyduxdyxW

yxWd

dy

d

dxAddj

d

dy

d

dx

d

j

d

dy

d

dxrvudjdddyxA

00*

000

0202

00*2200

1

,,,,~

,~

,//2exp

11exp

,exp,,

λλδλ

λλ

λλλλπ

λλ

λλ

λπ

λλ

λλλπλλ

++∗∗

∗

−−×+−×

++

+×

−−+−=+

( ) ( )

( ) ''''2

exp

''1111

exp,~ 22

00

dydxyyxxd

i

yxrRdd

iyxW

rc

ccrcC

+×

+

−−+= ∫∫

λπ

λλλλπ

Propriétés de la TF Champ diffracté numériquement

Fonction de filtrage des « courbures »

0d

drc

λλγ −=

01111

00

=−−+rRdd ccrc λλλλ

c

cc

r Rdrd

11

00

+−=λλ

λλ

Propriétés de grandissement

Propriétés de conjugaison

(image nette)

20/79

Effet de filtrage du pixel-1


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

+−

+×

Π∗

+−×

+=− ∑∑ ∆∆

+

yxyx

k lyxr

ykplpxd

ipkpl

d

i

kplpyxd

y

d

xFyxRyx

d

iyx

d

i

ddyxA

yx

0

2222

0

,00

*22

0

22

020

201

2expexp

,',''

,'

','''expexp1

,,

λπ

λπ

λλλπ

λπ

λ

Champ diffracté avec intégration spatiale par le pixelHyp : ondes de référence et éclairage planes et dr = −d0(focus sur image virtuelle de l’objet, càd ordre +1)

( ) ( ) ( )

( )yxWd

y

d

x

d

Y

d

XFT

d

y

d

x

d

Y

d

Xyx

d

idvyduxFFTFTaddyxA

MNyx

yx

Rr

,~

,sincsinc

,,exp,~

,,

0000

1

0000

22

00000

100

1

∗

∆

∆∆∆∗

−−

+−−=−

−

−+

λλλπ

λπ

λλλλλπλλλ

( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )0000,

*220

20

20

1

,,,~

,

,exp,,

dvyduxyxyxWyxA

yxRvudiddyxA

yxMN

RRr

λλδπλλ

−−∗Π∗∗×

+−=−

∆∆

+

21/79

Fonction de filtrage de la TFD ⇒ intrinsèque au nombre de pixels

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )0

0

0

0

00

/sin

/sin

/sin

/sin

11exp,~

dyp

dyMp

dxp

dxNp

d

ypMi

d

xpNiyxW

y

y

x

x

yxMN

λπλπ

λπλπ

λπ

λπ

××

−−−−=

( )yxWMN ,~



Contributions à l’image

22/79

Résolution transverse dans le plan reconstruit

⇒ largeur de la fonction Rxy dépend de la distance d0

⇒ résolution en « champ lointain »

⇒ résolution intrinsèque latérale

( ) ( ) ( )yxWyxyxR NMxy yx,

~,, , ∗Π= ∆∆

( ) ( )yxWyxR NMxy ,~

, =

( ) ( )yxyxyx

,,, δ≈Π ∆∆

x0

N

Rx

( )0,xRxy



xx Np

d0λρ =y

y Mp

d0λρ =

xρ

23/79

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.080

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

x (mm)

|Rxy

(x,y

)|

Effet de la surface active du pixel, cas où ( ) ( )yxWyx MNyx,

~,,

∆

∆∆ =Π

Exemple pourN = 1024 px = 10µm∆x = 3 à 10 µm d0 = 150 mm

⇒ Baisse du contraste et effet de flou

( )yxRxy ,

( )yxWMN ,~

x (mm)

Largeur pixel ∆x

(µm)



24/79

Paradoxe du pixel⇒ intégration spatiale de l’hologramme par pixel



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )yxyxyx

yxyxyx

yxyxyxD

vukplpRdkplpO

vukplpRdkplpO

kplpRdkplpOdkplpH

∆∆+

∆∆+

+∝

000*

00*

0

22

00

sincsinc,,,

sincsinc,,,

,,,,,

ππ

ππ

⇒ l’ordre +1 est modulé en amplitude par une fonction sinc⇒ l’objet reconstruit également !

2λλλλd0/px0

0

1

x (mm)

Mod

ulat

ion

d’am

plitu

de

Fréquencespatiale (u0)

λλλλd0/px

λλλλd0/px 3λλλλd0/px−−−−λλλλd0/px−−−−2λλλλd0/px−−−−3λλλλd0/px

2/px0 1/px 3/px−−−−1/px−−−−2/px−−−−3/px

domaine Shannon

Facteur“sinc”

la périodicité du champ calculé et la modulation influencent les

limites de Shannon

25/79

Effet de la défocalisation-1


( ) ( ) ( ) ''''2

exp''1111

exp,~ 22

00

dydxyyxxd

iyx

rRddiyxW

rcccrcC

+

+

−−+= ∫∫ λ

πλλλλ

π

Fonction de filtrage des « courbures » ≡ fonction d’élargissement

⇒ disparaît si0

1111

00

=−−+rRdd ccrc λλλλ

Fonction de support [−Npx/2,+Npx/2] et [−Mpy/2,+Mpy/2]

Fréquences spatiales locales

−−+=

−−+=

00

00

1111

1111

rRddyv

rRddxu

ccrci

ccrci

λλλλ

λλλλ

−−+=∆=

−−+=∆=

00

00

1

1

r

d

R

d

d

dMpvd

r

d

R

d

d

dNpud

rc

c

rrcyrc

Cy

rc

c

rrcxrc

Cx

λλ

λλλρ

λλ

λλλρ

Ex: dr = −d0, λc = λ, Rc = ∞ et r0 = ∞ car TF[1] = δ(x,y)

contribution du défaut de mise au point à l’élargissement de la tache image

26/79



pour λ = 632,8nm, px = 4,65mm, N = 1024, d0 = 250mm

dr de −350mm à −152mm

d r+

d0

(mm

) po

ur d

0=

250

mm

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

x (mm)

avec λc = λ, Rc = ∞ et r0 = ∞

Fonction d’élargissement due au défaut de mise au point

27/79

Profils en x de la fonction de résolution avec défaut de mise au point



-2.5 -2 -1.5 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x (mm)

|Rxy(x,0)|

dr+d0 = -100 mm

dr+d0 = -27 mm

dr+d0 = 0 mm

dr+d0 = +18 mm

dr+d0 = +98 mm

NMxy WR~=

⇒ Élargissement de chaque point constituant l’image

28/79

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6x (mm)



-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

d r+

d0

(mm

) fo

r d 0

= 2

50 m

m

Fonction d’élargissement en z due au défaut de mise au point

|Rxy|

29/79

f

c

c

c

r drRdd

111

00

=−−+λλ

λλ



Evaluation de la profondeur de champ de l’image reconstruite

fir ddd

111 =−c

cc

i Rdrd

11

00

+−=λλ

λλImage focalisée si

pour dr ≠ di

avec ∆z=|zm−zi|, et drdi ≅ di2

Fréquences spatiales locales maximales de WC

−=

ir

xix dd

Npu

11

2max

λ

∆X=2λdruixmax

i

rxizr

zx d

dNpud −== 12 maxλρ

Critère : mise au point correcte si ρxz ≤ 2ρx

22

222

x

i

pN

dz

λ≅∆

30/79

Reconstruction numérique des hologrammes (1)

1- Transformée de Fresnel Discrète

- effet du zéro-padding de l’hologramme

2- Filtrage par Transformée de Fourier

3- Convolution

- limites des approches classiques de convolution

- zéro-padding de la réponse impulsionnelle

- banc de filtres

- grandissement variable

31/79

Algorithme de Transformée de Fresnel Discrète-1

H(l,k)

( )

+ 2222exp yx

r

pkpld

i

λπ

FFT 2D(K×L)

( ) ( )

∆+∆×− 2222exp

/2exp ηξλ

πλ

λπmn

d

i

d

dii

rr

r

Ar(n,m,dr)

Condition

≥λλ

22

,sup yxr

MpNpd x

r

Kp

dλξ =∆

y

r

Lp

dλη =∆

Discrétisation du plan image

K, L : nombre de points de calculs de la FFT

RQ : le pas d’échantillonnage dépend de la longueur d’onde


32/79

⇒⇒⇒⇒ Calcul de l’image d’amplitude

ou bien

⇒⇒⇒⇒ Calcul de l’image de phase

mod 2ππππ



2

rr AI =

αrr AI =

( )( )

ℜℑ=

re

rmr A

Aarctanψ

33/79

Image virtuelle (+dr)

-1000 -500 0 500 1000

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

n

m



Image « pseudoscopique » (−−−−dr)

mm

mm

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

34/79

K = L = 2048

K = L = 512

K = L = 4096

K = L = 1024

Augmente la définition de l’imagemais pas la résolution

si {K,L} < {M,N}⇒ Baisse de la résolution


Effet du zéro-padding de l’hologramme (K,L ≥ M,N)


35/79

Reconstruction numérique des hologrammes (6)Filtrage par Transformée de Fourier

Filtrage tout-ou-rien dans le plan de Fourier de H autour de la bande utile

Calcul de la TF inverse et obtention de l’ordre +1 au plan capteurPropagation par Transformée de Fresnel vers le plan image

Echantillonnage du plan image

( ) ≤−≤−

=ailleurs0

2/et2/si1,' 00 ryrx dMpvvdNpuuvuG

λλ

H(l,k) FFT-1 2D(N×M)

O+1(l,k,0)FFT-1 2D(N×M)

G’(n,m)

Ar(n,m,dr)TFD(K×L)

x

r

Kp

dλξ =∆y

r

Lp

dλη =∆

RQ : équivalent à spectre angulaire avec dr = 0

36/79

Reconstruction numérique des hologrammes (7)Limite des approches classiques de convolution

Convolution classique

( ) ( ) ( )rrr dyxhyxHdyxA ,,,,, ∗=

Réponse impulsionnelle de l’espace libre

[ ][ ]GHTFTF ×= −1

[ ] [ ][ ]hTFHTFTFAr ×= −1

Fonction de transfert du spectre angulaireou

Théorème de convolution

Les bandes passantes des fonctions de transfert sont limitées

0kernel d

Npu x

λ=∆

Echantillonnage du plan imagexp=∆ξ yp=∆η

RQ : le pas d’échantillonnage ne dépend pas de la longueur d’onde

Problème avec objets « étendus »⇒ taille > capteur

37/79

(0,0)

∆∆∆∆ukernel

∆∆∆∆vkernel

Spectre de l’hologramme Fonction de transfert G(u,v)

Ordre 0

Ordre +1

Ordre -1

(u0,v0)∆∆∆∆vobjet

∆∆∆∆uobjet

[ ]( ) ( ) ( )( ) ( )00100

*1

02

,~

,~

,~

,,

vvuuOvvuuO

vuOvuavuHTF R

−−+−−−−+

+=

+−

δ

Fréquences spatiales de l’onde de référence

Reconstruction numérique des hologrammes (8)Localisation et extension de la bande passante-1

38/79

∆∆∆∆ukernel

∆∆∆∆vkernel (ur,v

r)


Ordre 0

Ordre +1

Ordre -1


∆∆∆∆uobjet

( ) ( )[ ]( )vuyvxuidyxhTFvvuuG r ,)(2exp(,,, 0000 +=−− π

Réponse impulsionnelle modulée


[ ]( ) ( ) ( )( ) ( )00100

*1

02

,~

,~

,~

,,

vvuuOvvuuO

vuOvuavuHTF R

−−+−−−−+

+=

+−

δ

Fréquences spatiales de l’onde de référence

39/79

∆∆∆∆ukernel

∆∆∆∆vkernel (u0,v0)


Ordre 0

Ordre +1

Ordre -1


∆∆∆∆uobjet

( ) ( )[ ]( )vuyvxuidyxhTFvvuuG r ,)(2exp(,,, 0000 +=−− π

Réponse impulsionnelle modulée


[ ]( ) ( ) ( )( ) ( )00100

*1

02

,~

,~

,~

,,

vvuuOvvuuO

vuOvuavuHTF R

−−+−−−−+

+=

+−

δ

Fréquences spatiales de l’onde de référence + extension de la bande

40/79

Reconstruction numérique des hologrammes (11)Extension de la bande passante par zéro-padding de la réponse impulsionnelle

Calcul de la réponse impulsionnelle sur (K,L) ≥ (M,N)

0kernel d

Lpu x

λ=∆

Nombre de points nécessaires

x

x

p

A

pixeltaille

objettailleL

∆==

Exemple : pour ∆Ax= ∆Ay= 60mm et px= py= 5µm

reconstruction complète de l’objet nécessite (K×L) = (12000×12000) points !!!

⇒ Inflation du nombre de points de calcul

41/79

Couvrir la bande spatiale utile par un balayage avec la bande élémentaire

⇒ largeur spectrale de l’objet > bande passante du filtre

⇒ relation espace métrique-fréquence spatiale

⇒ zone reconstruite dépend de la localisation du filtre

Convolution estimée par D-FFT

⇒ décalage spatial par décalage spectral

⇒ application du théorème de modulation

{ } { }00,, dvduyx iiii λλ={ }ii vu ,

x

xxxx Np

A

d

Np

d

A

u

un

∆=

∆=∆∆

=00kernel

object

λλnombre de scan :

Reconstruction numérique des hologrammes (12)Extension de la bande passante par balayage spectral-1

( ) ( ) ( )[ ]( )vuyvxuidyxhTFvvuuG iirii ,(2exp,,, +=−− π

42/79

Algorithme pour une zone de l’objet localisée en {xi,yi}

H(l,k) FFT 2D(K×L)

Ari(l,k, dr)

h(l,k)

FFT 2D(K×L)

FFT-1 2D(K×L)

(M×N)

(M×N)

(M×N)

(M×N)


{ }

=r

i

r

iii d

x

d

xvu

λλ,,

( )( )yvxui ii +π2exp

43/79

-100 -50 0 50

20

40

60

80

100

-100

-80

-60

-40

-20

0

100

mm

-1

mm-1

Spectre de l’hologramme Objet reconstruit

Illustration : objet de diamètre ∆A=25mmCapteur de taille 6,4mm×4,7mm N×M = 1360×1024 pixels px = py = 4,65µm

Time consuming !6×4 scan


44/79

Utilisation d’une onde sphérique de reconstruction avec rayon de courbure Rc (λc = λ)⇒ choix d’un grandissement γ à appliquer à l’objet

⇒ grandissement transversal

⇒ rayon de courbure

Nombre de points nécessaires à la reconstruction

Respect des conditions de Shannon pour le choix de γ

{ }

∆∆=

y

y

x

x

p

A

p

ALK ,, γ

0d

dr−=γ

( )x

x

x

x

A

Lp

Npud

pNL

∆<<

++ γ

λ 002

Reconstruction numérique des hologrammes (15)Adaptation de la bande passante par grandissement variable-1

00

111

rdRc

−−=γγ

0ddr γ−=

45/79

Fonction de transfert doit être localisée en (u0,v0)

La bande passante de la fonction de transfert doit être limitée à celle de l’objet

⇒ Utilisation de la réponse impulsionnelle (Fresnel par ex)

⇒ Utilisation du spectre angulaire

( )( ) ( )

≤−≤−

−−−−

=

ailleurs0

2/et2/si

1/2exp

,, 00

20

220

2

ryrx

r

r dKpvvdLpuu

vvuudi

dvuG λλ

λλλπ

( )

( )

∆≤∆≤

+

=

ailleurs0

2/et2/si

exp2

exp

,,

22

yx

r

r

r

r AyAx

yxd

idi

d

i

dyxh γγλ

πλπ

λ

Limitation de la bande

passante

+ théorème de modulation⇒ ( )[ ]yvxui 002exp +× π


46/79


h(l,k,dr)(K××××L) FFT

(K×L)

FFT-1

(K×L)

H(l,k,d0)(M××××N)

w(l,k,Rc)(M××××N)

FFT(K×L)

( )[ ]yvxui 002exp ++ π(K×L)

Ar(l,k,dr)

FFT-1

(K×L)

H(l,k,d0)(M××××N)

w(l,k,Rc)(M××××N)

FFT(K×L)

Ar(l,k,dr)

G(n,m,dr)

Algorithme avec réponse impulsionnelleAlgorithme avec spectre angulaire

47/79


48/79


49/79

CA

PT

EU

R

Cube 50%

Onde Objet

Laser

Onde de référence

OB

JET

Dispositifs holographiques (1)Holographie numérique de Fresnel

Reconstruction par Transformée de Fresnel avec dr = −d0 si onde de référence planeReconstruction par convolution avec grandissement variable et dr ≠ −d0

d0

50/79

CA

PT

EU

R

Cube 50%

Onde Objet

Laser

Onde de référence

Lentille divergente

OB

JET

Objet virtuel

Dispositifs holographiques (2)Holographie numérique de Fresnel avec réduction du spectre de fréquences spatiales

d0

d’0

Reconstruction par Transformée de Fresnel avec dr = −d’0 si onde de référence planeReconstruction par convolution avec grandissement variable et dr ≠ −d’0Avantage : permet de compacter le dispositif d’enregistrement

51/79

CA

PT

EU

RCube 50%

Onde Objet

Laser

Onde de référence

OB

JET

f’ f’

Lentille

Dispositifs holographiques (3)Holographie numérique de Fourier-1

Lentille convergente insérée entre objet et capteur de sorte que objet et capteur sont aux plans focauxAvantage : la reconstruction est simple (T de Fourier)Inconvénients :

- ajuster capteur et objet aux plans focaux- hologramme du contour de la lentille peut être enregistré également

52/79

Champ diffracté entre 2 plans à travers une lentille, distants de L⇒⇒⇒⇒ formule de Collins & formalisme matriciel

Coefficients (a, b, c, d) de la matrice de passage de F à F’

Champ objet au plan capteur

Reconstruction par Transformée de Fourier de l’hologramme

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ''''2''''2

exp,','λ

exp,, 2222 dydxyyxxyxdyxa

b

ikzyxU

bi

ikLLzyxU

+−+++=+ ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

−=

=

0'/1

'0' f

f

dc

baTFF

Dispositifs holographiques (4)Holographie numérique de Fourier-2

( ) ( ) ( )

−=

+−

−= ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

',

'

~'2exp

'

'''''

2exp','

'2exp

''2,,

f

y

f

xA

fi

f

i

dydxyyxxf

iyxA

fi

f

ifyxO

λλλπ

λ

λπ

λπ

λ

[ ]HTFAr ∝

53/79

CA

PT

EU

R

Onde Objet

Laser

Onde de Référence

OB

JET

Dispositifs holographiques (5)Holographie numérique de Fourier sans lentille-1

Onde de référence sphérique avec point source placé dans le pan capteurAvantage : la reconstruction est simple (T de Fourier)Inconvénient : placer le point source à égale distance capteur-objet

d0

54/79

Onde de référence

Ordre +1

Compensation des termes de phase quadratique


( ) ( ) ( )

+−+ yvxuiyx

d

ia=yx,R R 00

22

0

2exp πλ

π

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )( ) ''''exp','

2expexp2

exp,,,

22

0

0022

0

0

00

*

dydxyyxxd

iyxA

yvxuiyxd

idi

d

iadyxOyxR R

−+−×

++

+−

−=

∫∫∞+

∞−

∞+

∞− λπ

πλ

πλπ

λ

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ''''2

exp''exp','

2exp2

exp,,,

0

22

0

000

00

*

dydxyyxxd

iyx

d

iyxA

yvxuidi

d

iadyxOyxR R

+−

+×

++

−=

∫∫∞+

∞−

∞+

∞− λπ

λπ

πλπ

λ

55/79

Transformation de Fourier inverse de l’ordre +1


Reconstruction par Transformée de Fourier de l’hologramme

Phase de l’objet reconstruit inclut une courbure

[ ]HTFAr1−∝

[ ] ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

−+−−−∝

+×+∝ −−

200

200

00000

22

000

1*1

exp,

exp,2exp

udyudxd

iudyudxA

yxd

iyxAFTyvxuiFTORTF

λλλ

πλλ

λππ

( ) ( ) ( )( )200

200

0

, udyudxd

yxC λλλπϕ −+−=

56/79

DOC

AP

TE

UR

Cube 50%

Onde Objet

Laser

Onde de référence

OB

JET

Lentille

Dispositifs holographiques (8)Holographie numérique image-1

⇒⇒⇒⇒ architecture similaire à interféromètre speckle avec onde de référence lisse

Image de l’objet formée sur le capteur (ou à proximité) par une lentillePrise en compte du DO de la lentille

57/79

1<∆

=A

Npxoptγ

RARARAH **22''' +++=

Reconstruction par Transformée de Fresnel Discrète

λ

2x

r

Npd ≥ impossible !!!

Convolution avec spectre angulaire

[ ][ ]GHFTFTAr ×= −1 0≅rd


Plan Objet

CC

D

Lentille

DOφφφφD

AA’

αααα’

Plan Capteur

pp’

dD

Hologramme

Grandissement optique

RQ : équivalent à filtrage dans le plan de Fourier

58/79

Si non satisfait ⇒⇒⇒⇒ superposition des 3 ordres de diffraction du diaphr agme⇒⇒⇒⇒ reconstruction de l’objet corrompue par ordre 0 du diaphragme

Rôle du diaphragme d’ouverture

( )D

xD

pd φ

λ2

232+≥ ON imagerie ( ) xD

D

pd 2322'sin

+≤≅ λφα

RQ : ON liée à λ et taille pixel px et pas taille de l’objet !


hologramme image ≡≡≡≡ hologramme de Fresnel du diaphragme

⇒⇒⇒⇒ Optimisation : règle identique à holographie numérique de Fresnel

59/79

Dispositifs holographiques (11)Microscopie holographique numérique-1

DO

CA

PT

EU

R

Cube 50%

Onde Objet

Laser

Onde de référence

MIC

RO

-OB

JET

Objectif de microscope

Vers éclairage

objet

Image de l’objet formée sur le capteur (ou à proximité) par un objectif de microscope à fort grandissementPrise en compte de l’ouverture numérique de l’objectif

60/79

1>>∆

=A

NpxoptγRARARAH **22

''' +++=


λ

2x

r

Npd ≥ Impossible, sauf si forte défocalisation de l’image

Convolution avec spectre angulaire : possibilité de refocalisation automatique

[ ][ ]GHFTFTAr ×= −1

Dispositifs holographiques (12)

Hologramme Grandissement optique

Microscopie holographique numérique-2

ON imagerie

( ) xopt p

n

232

sin'sin

+≤= λ

γαα ( ) x

opt

pn

232sin

+≤

λγα toujours vérifié !

61/79

Illustration refocalisation numérique

Dispositifs holographiques (13)Microscopie holographique numérique-3

62/79

Holographie numérique à décalage de phase (1)Principe-1

Séparation des ordres 0, +1 et −1 est basée sur fréquences spatiales porteuses

⇒⇒⇒⇒ holographie hors-axe

Holographie dans l’axe si (u0,v0) = 0 (ou holographie de Gabor)

⇒⇒⇒⇒ superposition des 3 ordres⇒⇒⇒⇒ séparation impossible⇒⇒⇒⇒ avantage : meilleure occupation de la bande passante spatiale (d0 plus petit)

Solution⇒⇒⇒⇒ introduire un décalage de phase φ connu avec le faisceau référence

⇒⇒⇒⇒ enregistrement séquentiel d’une série d’hologrammes décalés en phase

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

−++−+−= φπ

λπφ 12exp,1exp 00

22

0

piyvxuiyxd

ia=yxRpiyx,R Rp

( )[ ] ( )[ ]φφ 1exp1exp22 −−+−++= ∗∗ piORpiROORH p

(u0,v0) ≠ 0

63/79

Holographie numérique à décalage de phase (2)Principe-2

Algorithme de décalage de phase avec 4 hologrammes déphasé de π/2

( )OROROR aaaaH ϕϕ −++= cos2221

( )2/cos2222 πϕϕ +−++= OROROR aaaaH

( )πϕϕ +−++= OROROR aaaaH cos2223

( )2/3cos2224 πϕϕ +−++= OROROR aaaaH

RO HH

HH ϕϕ +

−−=

31

24arctan

( ) ( )231

2244

1HHHHaa OR −+−=

Reconstruction de l’onde objet- transformée de Fresnel

- convolution

- convolution à grandissement variable

Champ complexe de l’ordre +1 au plan capteur

[ ]OO iaO ϕexp=

λ

2x

r

Npd ≥

( )yx MpNpA ,max≤∆

( )yx MpNpA ,max>∆

RQ : ϕr = cte

64/79

Holographie numérique à décalage de phase (3)Illustration

Capteur493×768 pixels de taille 13µm×11µm

Objetdé 7×7×7 mm3 à d0 = 600mm

Reconstruction par T de Fresnel

I Yamaguchi, T Zang, Optics Letters, Vol. 22, N°16, pp 1268-1270 (1997)

65/79

Méthode permettant d’étudier les déformations ou changements d’états d’un objet

⇒⇒⇒⇒ enregistrer l’hologramme dans l’état 1 de l’objet puis l’hologramme dans l’état 2 de l’objet

⇒⇒⇒⇒ calculer numériquement les 2 champs reconstruits

⇒⇒⇒⇒ calculer l’image de phase de chaque champ reconstruit (ψr1 et ψr2)

⇒⇒⇒⇒ calculer la différence de phase des champs reconstruits

Interférométrie holographique numérique (1)Principe-1

U = uxi+uyj+uzkO

Objet

S

MM1

ke

ko

U

SU.λπψψϕ 2

12 =−=∆ rr

S = ke −−−− ko

vecteurs orthonorméséclairage

et observation

vecteur sensibilité

variation de phase optique

ke

ko

RQ : identique effet Doppler analysé en phase au lieu de

fréquence

66/79

100 200 300 400 500 600

-3

-2

-1

0

1

2

3

100 200 300 400 500 600-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Phase ∆ϕ modulo 2π Unwrapped phase

rad

rad

pixels pixels

Interférométrie holographique numérique (2)Phase unwrapping

Nécessité de dérouler la phase car mod(2π) (valeurs entre −π et +π)

67/79

2rψ

1rψ

( )πψψ 2mod12 rr − Unwrapped phase

Interférométrie holographique numérique (3)Illustration

Membrane de haut parleur en vibration

RQ : sensibilité nanométrique

68/79

2002 : Yamaguchi et al (Opt. Lett., Vol.27, N°13, 2002)« Phase shifting digital color holography »

laser HeCd : 636nm 537,8nm 441,6nm

mosaïque de Bayer : 1636×1238 pixels, pas 3,9×3,9µm2

base résolution : 818×619 pixels, pas 7,8µm×7,8µm2

2003 : Demoli et al (Opt. Exp., Vol.11, N°7, 2003)« Dynamic digital holographic interferometry with 3 wavelengths »

lasers Kr, NdYAG 2ω, Ar : 647nm 532nm 476nm

CCD monochrome : 1008×1018 pixels, pas 9×9µm2

enregistrement séquentiel d’hologrammes de Fourier

Holographie numérique couleur (1)Historique

69/79

+1

+1

+1

−−−−1

−−−−1

−−−−1

Ordre0

Enregistrement par multiplexage spatio-chromatique⇒ 1 capteur monochrome⇒ 3 ondes de référence avec (u0,v0) ajustées séparément⇒ sélectivité spectrale par multiplexage spatial⇒ complexité acceptable pour 2 couleurs⇒ set-up prohibitif pour 3 couleurs

Enregistrement avec mosaïque de Bayer⇒ résolution spatiale basse⇒ sélectivité spectrale medium ⇒ qualité basse pour la métrologie optique

Holographie numérique couleur (2)Enregistrement des hologrammes 3 couleurs-1

70/79

Foveon FO18-50-F19 X3 CMOS1414×1024 pixels 5×5µm2

B B B

Enregistrement avec un stack de photodiodes⇒ résolution spatiale est maximale⇒ sandwich de photodiodes⇒ filtrage spectral par sélection des photons en profondeur⇒ étalonnage nécessaire car cross-mixing entre couleurs


RQ : bonne sélectivité

spectrale avecλλλλR = 671 nmλλλλG = 532 nmλλλλB = 457 nm

71/79

B G

R

B

G

Enregistrement avec un triple-CCD (3CCD)⇒ 3 matrices de pixels⇒ bonne sélectivité spectrale⇒ sélectivité spectrale par un prisme dichroïque⇒ ajustement spatial relatif des 3 CCD

Hamamatsu Orca C7780-10 9.1 images / s1344×1024 pixels

6,45×6,45µm2

Filtres spectraux


72/79

OK : pas d’échantillonnage de l’image ne dépend pas de la longueur d’onde !

Holographie numérique couleur (5)Reconstruction des hologrammes couleurs

PB : pas d’échantillonnage de l’image dépend de la longueur d’onde !


Reconstruction par convolution

Solution : zéro-padding dépendant de la longueur d’onde

⇒⇒⇒⇒ trouver KR, KG, KB et drR, dr

G, drB tels que

( )yx MpNpA ,max≤∆

( )yx MpNpA ,max>∆

x

r

Kp

dλξ =∆y

r

Lp

dλη =∆

ctepK

d

pK

d

pK

d

xB

BrB

xG

GrG

xR

RrR === λλλ

xp=∆ξ yp=∆η

- convolution simple

- convolution à grandissement variable

rBr

Gr

Rr dddd ≅≅≅avec

73/79

MK Kim, Optics Express, Vol. 21, N°8, pp 9636-9642 (2013)

Holographie numérique couleur (6)Illustration-1

The input optics is a pair of lenses, with 25 cm and 10 cm focal lengths, to form a telescope. The interferometerconsists of a beam-splitting cube and two mirrors. One is aplane mirror mounted on a piezo-actuator, which is drivenby a function generator for phase shifting. The other is a curved mirror, of 60 cm focal length, to generate differentialcurvature. For imaging optics, a 10 cm lens is placed in front of the camera, for flexibility in magnification and physical dimensions of the apparatus. Approximately, the relevant distances are z2 ≈ 35 cm, and z3 ≈ z4 ≈ z5 ≈ 20 cm. A color CCD camera, Thorlabs CDU223C, with 1024 x 768 pixels, 4.76 x 3.57 mm sensor area and 8-bit pixel depth, is usedfor hologram capture. The three color channels have sensitivity peaks near 620 nm, 540 nm, and 460 nm for the red, green, and blue channels, respectively.

74/79


75/79


76/79

P Tankam et al, Optics Letters, Vol. 35, N°12, pp 2055-2057 (2010)

Holographie numérique couleur (9)Application à la mesure de champs des déplacements 3D-1

Capteur Foveon493×768 pixels de taille 13µm×11µmLasers 371nm, 532nm, 457nmObjetplaque en aluminium 25×35 mm2

à d0 = 1630mmOndes de référence planesReconstruction par convolution àgrandissement variable

γ = 0,23Rc = −486,8mmdr = −374,9mm

77/79

Holographie numérique couleur (10)Application à la mesure de champs des déplacements 3D-2

78/79

1. U. Schnars, W. Jüptner, Digital Holography: Digital Hologram Recording, Numerical Reconstruction, and Related Techniques, Springer-Verlag, Berlin and Heidelberg, ISBN 978-3540219347 (2004)

2. L. Yaroslavsky, Digital Holography and Digital Image Processing: Principles, Methods, Algorithms, Kluwer Academic Publishers, ISBN 1441953973 (2004)

3. T.-C. Poon, Digital Holography and Three-Dimensional Display: Principles and Applications, Editions Springer, ISBN 9780387313405 (2006)

4. M.K. Kim, Digital Holographic Microscopy: Principles, Techniques, and Applications, Editions Springer-Verlag New York, ISBN 978-1441977922 (2011)

5. A. Asundi, Digital Holography for MEMS and Microsystem Metrology, Editions Wiley, ISBN: 978-0-470-97869-6 (2011)

6. P. Picart, J.C. Li, Digital holography, Editions ISTE-Wiley, London, ISBN: 9781848213449 (2012)

Références bibliographiques (1)

Livres

79/79

Références bibliographiques (2)Publications scientifiques

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Pascal PICART - giana.mmci.uni-saarland.degiana.mmci.uni-saarland.de/website-template/lectures/AdvancedDisplays/... · Pascal PICART École Nationale Supérieure d’Ingénieurs du