Philippe Dutarte Groupe dexperts des programmes de mathématiques pour le baccalauréat professionnel Variabilité et hasard, réflexions pour le citoyen et

Philippe DutartePhilippe Dutarte

Groupe d’experts des programmes de mathématiques pour le baccalauréat professionnel

Variabilité et Variabilité et hasard, réflexions hasard, réflexions

pour le citoyen et le pour le citoyen et le professionnelprofessionnel

Émile Borel(1871- 1956)

Vers 1910 : « Si la notion de vérité statistique devenait familière à tous ceux qui parlent ou écrivent au sujet de questions où la vérité statistique est la seule vérité, bien des sophismes et bien des paradoxes seraient évités. »

Dans le projet de programme…

« La notion de fluctuation d'échantillonnage, essentielle en statistique, est abordée en étudiant la variabilité d’observation d’une fréquence. Elle favorise une expérimentation de l’aléatoire. L’objectif est de faire comprendre que le « hasard » suit des lois et de préciser l’approche par les fréquences de la notion de chance ou probabilité initiée en classe de troisième. »

Des questions…Des questions…

Des naissances…

Est-ce le fruit du hasard ?

En 2000 à Xicun (Chine) 4 filles 16 garçons

En 2001 à Louvres (Val d’Oise) 70 filles 82 garçons

Entre 1999 et 2003 à Aamjiwnaag (Canada)

86 filles 46 garçons

http://www.dinosoria.com/clipart_bebe/images/1854730_jpg.jpg


Le magazine Le Point du 13/09/2002 écrit : « Une crue de la Seine comparable à celle de 1910 se produit en moyenne tous les cent ans et la probabilité d’une telle catastrophe augmente d’année en année ». Que faut-il en penser ?

Risque ?


Une petite ville des États-Unis a connu 9 cas de leucémies chez de jeunes garçons en l’espace de 10 années. Doit-on en « accuser le hasard » ?


Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type « grains ponctuels sur le capot ». Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20 % de ce type de défauts.Lors du contrôle aléatoire de 50 véhicules, on observe 26 % de défauts. Faut-il s’inquiéter ?


Comment aux États-Unis, la statistique a-t-elle permis de mettre en évidence une discrimination conduisant à casser un jugement ?


Le dernier sondage de 2002 ne prévoyait pas la présence de Jean-Marie Le Pen au second tour.

Peut-on croire un sondage ?


Comment la loi des grands nombres permet-elle d’estimer une probabilité ?

– – Partie 1 – Partie 1 – Fluctuations à taille Fluctuations à taille d’échantillon fixée :d’échantillon fixée :

étude de la « variabilité étude de la « variabilité naturelle »naturelle »

L’urne de BernoulliL’urne de Bernoulli

Parmi les expériences aléatoires « réelles » que l’on peut mener dès la 3ème, celles de l’échantillonnage dans une urne de Bernoulli ont le privilège de pouvoir correspondre à de de nombreuses nombreuses situations de la vie situations de la vie courantecourante.

Expérimentation physiqueExpérimentation physique

L’expérimentation physique « valide » les simulations virtuelles mais surtout laissent des « images images mentalesmentales » essentielles.


« Expérimenter, d’abord à l’aide de pièces, de dés ou d’urnes, [...] la prise d’échantillons aléatoires de taille n fixée, extraits d’une population où la fréquence p relative à un caractère est connue. »

Expérimentation physique : jouer à pile ou

face

Expérimentation physique : prise d’échantillons avec la

boîte à billes

Une autre version :la bouteille à perles


« Expérimenter, d’abord à l’aide de pièces, de dés ou d’urnes, puis à l’aide d’une simulation informatique prête à l’emploi, la prise d’échantillons aléatoires de taille n fixée, extraits d’une population où la fréquence p relative à un caractère est connue. »

10

Simulation avec les TICESimulation avec les TICE

rand + 0.3int(rand + 0.3) donne 00 ou 11dans des proportions 70 % et 30 %.

rand (générateur de nombres aléatoires entre 0 et 1)

Avec une calculatrice : tirage aléatoire d’une boule dans une urne comportant 30 % de «1» et 70 % de « 0 »

Avec un tableur : on entre la formule en cellule A1 puis on recopie vers le bas (pointeur en forme de croix noire), la touche F9 recalcule tout.

Des naissances à pile ou faceDes naissances à pile ou face

Xicun 4 filles 16 garçons

Louvres 70 filles 82 garçons

Aamjiwnaag 86 filles 46 garçons

Dans un premier temps : brainstorming des élèves

Xicun Louvres Aamjiwnaag

Nombre de naissances 22 152 132

Pourcentage de garçons 80% 53,9% 34,8%

Du jeu de pile ou faceà la simulation

naissances pile ou face.xls

Énoncé élève

1. Lancer 20 fois une pièce demonnaie et noter le nombre de « pile ».2. Recommencer l’expérience une dizaine de fois ou regrouper les résultats obtenus dans la classe.3. Comment peut-on utiliser ces expériences pour commenter les statistiques de Xicun ?4. Pourquoi l’expérimentation avec des pièces ne permet-elle pas de répondre complètement au problème posé ?

Quelles « réponses » ?

Ce ne sont que des réponses « statistiques ». Les résultats observés sur les naissances à Xicun et Aamjiwnaag sont « bizarres » (et préoccupants). On a établi une « preuve statistiquepreuve statistique », rationnelle, qu’il se passe sans doute quelque chose d’inhabituel.

Pour le cas de Xicun, la cause probable est l’acquisition dans ce village (en 1999) d’une machine à ultras-sons bon marché permettant aux médecins de déterminer le sexe du fœtus.(Source : Washington Post du 29 mai 2001.)

Dans le cas d’Aamjiwnaag, une enquête sanitaire est menée. On connaît en effet, depuis Seveso, le rôle de certains polluants sur les déséquilibres du sex-ratio.

(Sources : Science et Vie fév 2006 – Environmenthal Health Perspectives oct 2005.)

Le magazine Le Point du 13/09/2002 écrit : « Une crue de la Seine comparable à celle de 1910 se produit en moyenne tous les cent ans et la probabilité d’une telle catastrophe augmente d’année en année ». Que faut-il en penser ?

Crues Crues centennalescentennales

« Informer les citoyens sur les risques d’inondation par des messages clairs et compréhensibles est un enjeu social et économique fort mais complexe. »

Crues centenales.xls

Leucémies à WoburnLeucémies à Woburn

Une petite ville des États-Unis a connu 9 cas de leucémies chez de jeunes garçons en l’espace de 10 années. Doit-on en accuser le hasard ?

Enfants entre

0 et 14 ans

Population de Woburn

selon le recencement

de 1970

n

Nombre de cas de

leucémie infantile

observés à Woburn

entre 1969 et 1979

Fréquence des

leucémies à Woburn

f

Fréquence des

leucémies aux États-

Unis

p

Garçons 59695969 99 0,151% 0,052%0,052%

Effectifs garcons Woburn.xls

Un peu de « théorie »Un peu de « théorie »

pn tirages avec remise.

X nombre de boules rouges

correspondant à la fréquence des

boules rouges a pour moyenne

et pour écart type

Xn

F 1

pXEn

FE )(1)(

npp

pnpn

Xn

F)1(

)1(1)(1)(

X suit la loi binomiale de moyenneE(X) = np et d’écart type )1( ppn

Pour n « assez grand » la loi binomiale est proche d’une loi normale et F suit approximativement la loi normale de moyenne p et d’écart type

npp )1(

Pour une loi normale, environ 95 % des observations se font dans un intervalle de rayon 2 écarts types autour de la moyenne.

Intervalle de fluctuation de 95 % des observations :

[ p – 2 ; p + 2 ]n

pp )1( n

pp )1(

On peut majorer cet intervalle :

d’où

Intervalle de fluctuation de plus de 95 % des observations :

[ p – ; p + ]

41)1( pp

nnpp 1)1(

2

n1

n1

« Déterminer l’étendue des fréquences de la série d’échantillons de taille n obtenus par expérience ou simulation.Rechercher graphiquement un intervalle centré sur p contenant la « grande majorité » des fréquences relative à un caractère, sur des échantillons de taille n.Calculer le pourcentage des échantillons de taille n simulés, pour lesquels la fréquence relative au caractère étudié appartient à l’intervalle . »


]1,1[n

pn

p

En commentaire :

« Les situations étudiées correspondent aux cas où les nombres n et p vérifient n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1– p) ≥ 5. La connaissance de ces conditions n’est pas exigible. La formule de l’intervalle est donnée. La connaissance de cette « variabilité naturelle » (environ 95 % des échantillons fournissent une fréquence dans l’intervalle )

permet d’exercer un regard critique sur les données statistiques. »


]1,1[n

pn

p

Contrôle en cours Contrôle en cours de fabricationde fabrication

Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type « grains ponctuels sur le capot ». Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20 % de ce type de défauts.Lors du contrôle aléatoire de 50 véhicules, on observe 26 % de défauts. Faut-il s’inquiéter ?

carte de controle.xls

Jurys et discriminationJurys et discrimination

Comment aux États-Unis, la statistique a-t-elle permis de mettre en évidence une discrimination conduisant à casser un jugement ?

Énoncé distribué aux élèves

L’affaire Castaneda contre Partida.L’affaire Castaneda contre Partida.

En Novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida était condamné à huit ans de prison.

Il attaqua ce jugement au motif que la désignation des jurés de ce comté était discriminante à l’égard des Américains d’origine mexicaine.Alors que 79,1%79,1% de la population du comté était d’origine mexicaine, sur les 870 870 personnes convoqués pour être jurés lors des 11 années précédentes, il n’y eût que 339339 personnes d’origine mexicaine.

Produisez votre expertise statistique.Produisez votre expertise statistique.

Devant la Cour Suprême, un expert statisticien produisit des arguments pour convaincre du bien fondé de la requête de l’accusé. En vous situant dans le rôle de cet expertEn vous situant dans le rôle de cet expert, produisez à votre tour des calculs, des raisonnements, des graphiques... pour montrer que le hasard ne peut pas montrer que le hasard ne peut pas « raisonnablement » expliquer à lui seul la sous-« raisonnablement » expliquer à lui seul la sous-représentation des américains d’origine mexicainereprésentation des américains d’origine mexicaine dans les jurys de ce comté.

Vous commencez ce travail en binômes en utilisant les documents disponibles, la calculatrice, le tableur.

Vous terminez la rédaction (arguments en français, calculs, graphiques...) en devoir individuel, à la maison.

Jurys

Mexicains

39%

Autres

61%

Population du comté

Mexicains

79%

Autres

21%

SimulationPlus de 95 % des simulations fournissent une fréquence de personnes d’origine mexicaine comprise dans l’intervalle [76 % , 82 %].

Castaneda.xls

– – Partie 2 – Partie 2 – Estimation d’une Estimation d’une

fréquencefréquence

Situation du problème

p = ?

échantillonf connu

Peut-on croire un sondage ?Peut-on croire un sondage ?

Le dernier sondage de 2002 ne prévoyait pas la présence de Jean-Marie Le Pen au second tour. Peut-on croire un sondage ?

Premier tourPremier tourDernier sondage B.V.A. , effectué sur 1000 électeurs le

vendredi 19/04/02

Jacques Chirac 19 %

Lionel Jospin 18 %

Jean-Marie Le Pen 14 %

Résultats du premier tour 21/04/02Résultats du premier tour 21/04/02

Jacques ChiracJacques Chirac 19,88 %19,88 %

Lionel JospinLionel Jospin 16,18 %16,18 %

Jean-Marie Le PenJean-Marie Le Pen 16,86 %16,86 %

Échantillonnage le jour de Échantillonnage le jour de l’électionl’élection

Chirac20%

Jospin16%

Le Pen17%

Autres47%

]1;1[ 33 nf

nf

p

]1;1[ 22 nf

nf

]1;1[ 11 nf

nf

Fourchettes de sondageFourchettes de sondage

Simulation

Election 2002.xls

– – Partie 3 – Partie 3 – Augmentation de la Augmentation de la

taille de l’échantillon :taille de l’échantillon :approche d’une approche d’une

probabilité inconnueprobabilité inconnue

Comment la loi des grands nombres permet-elle d’estimer une probabilité ?


« Stabilisation relative des fréquences quand la taille n augmente. Notion de probabilité.

Cette propriété, de stabilisation vers la probabilité, est mise en évidence graphiquement à l’aide d’un outil de simulation. »

Le segment aléatoireLe segment aléatoire

Segment aleatoire.xls

7 piles consécutifs7 piles consécutifs

On lance 7 fois une pièce de monnaie équilibrée, quelle est la probabilité d’avoir 7 fois pile ?Application au contrôle de qualité :Si l’on constate une Si l’on constate une série de sept points série de sept points consécutifs du consécutifs du même côté de la même côté de la moyenne, surveiller moyenne, surveiller le processusle processus.

7 piles consecutifs.xls

Merci de votre attention !

Documents

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