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-4 -3 -2 -1 1 2 3O

-30

-25

-20

-15

-10

-5

5

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Exercice 08

g est dfinie sur [-4 ; 3] par g(x) = 2x3 + 3x2 - 12x

1) g est drivable sur [-4 ; 3] et g'(x) = 6x2 + 6x - 12 donc g'(x) = 6(x2 + x - 2) x2 + x - 2 est un trinme du second degr ayant pour discriminant = 12 - 4 x 1 x (-2) = 1 + 8 = 9 = 32 Le trinme a deux racines : x1 =

-1 - 32 x 1 =

-42 = -2 et x2 =

-1 + 32 x 1 =

22 = 1

La rgle du signe du trinme permet de donner le signe de g'(x). On a : g'(x) 0 pour x [-2 ; 1] et g'(x) > 0 pour x [-2 ; 1] On peut alors dresser le tableau de variations de g en notant que : g(-4) = 2(-4)3 + 3(-4)2 - 12(-4) = -128 + 48 + 48 = -32 g(-2) = 2(-2)3 + 3(-2)2 - 12(-2) = -16 + 12 + 24 = 20 g(1) = 2 x 13 + 3 x 12 - 12 x 1 = 2 + 3 - 12 = -7 et g(3) = 2 x 33 + 3 x 32 - 12 x 3 = 54 + 27 - 36 = 45

On trace alors la reprsentation graphique de g .

2) L'quation 2x3 + 3x2 - 12x + 8 = 0 peut s'crire 2x3 + 3x2 - 12x = -8 c'est--dire g(x) = -8 D'aprs le tableau de variations de g, -8 [-32 ; 20] et g est continue et strictement croissante sur l'intervalle [-4 ; -2], donc l'quation g(x) = -8 a une solution unique dans l'intervalle [-4 ; -2]. -8 ]-7 ; 20[ , donc l'quation g(x) = -8 n'a pas de solution dans l'intervalle ]-2 ; 1[. -8 [-7 ; +[ , donc l'quation g(x) = -8 n'a pas de solution dans l'intervalle [1 ; 3]. Donc l'quation g(x) = -8 a une solution unique et cette solution est dans l'intervalle [-4 ; -2] .

On peut trouver une valeur approche de en utilisant des tableaux de valeurs de la calculatrice :

-11,23 < -8 < -7 donc

-3,6 < < -3,5

-8,231 < -8 < -7,817 donc

-3,53 < < -3,52

On en dduit que : dans l'intervalle [-4 ; 3] l'quation 2x3 + 3x2 - 12x + 8 = 0 a une solution unique et on a -3,52 .

x -4 -2 1 3 g'(x) + 0 - 0 +

20 45 g

-32 -7