Plan d’étude d’un arc paramétré de R2

Essaidi Ali

5 avril 2014

1 Plan d’étude d’un arc paramétré en cartésien :Plan d’étude de l’arc f ∶ t ∈ I ↦ (x(t), y(t)).– Réduction de l’intervalle d’étude :

1. Si x et y sont T -périodique alors on se resreint à un intervalle de longueur T (Ex. [0, T ], [−T2, T2], ...).

2. si x et y sont paires alors on se resreint à la partie positive de I .

3. si x et y sont impaires alors on se resreint à la partie positive de I et la courbe de f est symétrique par rapport à O.

4. si x et paire y impaire alors on se resreint à la partie positive de I et la courbe de f est symétrique par rapport à(x′x).

5. si x et impaire y paire alors on se resreint à la partie positive de I et la courbe de f est symétrique par rapport à(y′y).

6. si ∀t ∈ I, x(−t) = y(t) et y(−t) = x(t) alors on se resreint à la partie positive de I et la courbe de f est symétriquepar rapport à l’axe y = x.

– Etude des variations de x et y : On place dans le même tableau de variation t, x′(t), x(t), y(t), y′(t) et f(t) dans cetordre.

– La tangente à la courbe en un point régulier t0 est dirigée par le vecteur (x′(t0), y′(t0)).– Etude local des points stationnaires et détermination de leurs natures (Points de rebroussement, point ordinaire, point

d’inflexion).– Etude des points limites (Lorsque lim

t→a(x(t), y(t)) existe avec a = sup I ou a = inf I et a ∉ I).

– Branches inifinies : (Les points tels que limt→t0

∣x(t)∣ + ∣y(t)∣ = +∞).

1. Si limt→t0

x(t) = ±∞ et limt→t0

y(t) = y0 ∈ R alors la courbe admet la droite y = y0 comme asymptote horizentale en t0.

2. Si limt→t0

y(t) = ±∞ et limt→t0

x(t) = x0 ∈ R alors la courbe admet la droite x = x0 comme asymptote verticale en t0.

3. Si limt→t0

y(t) = ±∞ et limt→t0

x(t) = ±∞ alors on étudie limt→t0

y(t)x(t) :

(a) Si limt→t0

y(t)x(t) = ±∞ alors la courbe admet une branche parabolique dans la direction de l’axe (yy′).

(b) Si limt→t0

y(t)x(t) = 0 alors la courbe admet une branche parabolique dans la direction de l’axe (xx′).

(c) Si limt→t0

y(t)x(t) = a ∈ R alors on étudie Si lim

t→t0y(t) − ax(t) :

i. Si limt→t0

y(t)−ax(t) = b ∈ R alors la courbe admet une asymptote d’équation y = ax+b. On étudie ensuite le

signe de y(t)−ax(t)−b au voisinage de t0 pour déterminer la position relative de la courbe et l’asymptote.

ii. Si limt→t0

y(t) − ax(t) = ±∞ alors la courbe admet une branche parabolique suivant la direction y = ax.

– Détermination des points multiples et les tangentes en ces points (si nécessaire).– On trace la courbe.

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CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

2 Plan d’étude d’un arc en polaire :Plan d’étude de l’arc ρ ∶ θ ∈ Iρ(θ).– Réduction de l’intervalle d’étude :

1. Si ρ et T -périodique alors on se resreint à un intervalle de longueur T . La courbe se trace en faisant des rotations del’arc obtenu par kT avec k ∈ Z autour du centre O.

2. Si ρ et 2π-périodique alors la courbe est obtenue en l’étudiant et la traçant juste sur un intervalle de longueur 2π.

3. Si ρ et π-périodique alors on se resreint à un intervalle de longueur π. La courbe est symétrique par rapport à O.

4. si ∃a ∈ R,∀t ∈ I, ρ(θ + a) = −ρ(θ) alors on se resreint à un intervalle de longueur a. On complète la courbe enutilisant la rotation de centre O et d’angle π + a.

5. si ρ est impaire alors on se resreint à la partie positive de I et la courbe de est symétrique par rapport à (y′y).

6. si ρ est paire alors on se resreint à la partie positive de I et la courbe de est symétrique par rapport à (x′x).

7. si ∃θ0 ∈ I,∀t ∈ I, ρ(2θ0 − t) = ρ(θ) alors on se resreint à I ∩ [θ0,+∞[ et la courbe de est symétrique par rapport àl’axe θ = θ0(La droite qui passe par O et fait un angle θ0 avec l’axe (x′x)).

– Construction du tableau de de signe de ρ. Son utilité est qu’il permet de donner une idée de la position de la courbe parrapport au repère.

– Etude des variations de ρ.– La pente de la tangente en chaque point M(θ) est θ + V avec tanV = ρ(θ

ρ′(θ) .– Branches inifinies : (Les points tels que lim

θ→θ0ρ(θ) = ±∞ ou lorsque θ → ±∞).

1. Si limθ→±∞

ρ(θ) = 0 alors on dit que la courbe admet un point limite à l’origine.

2. Si limθ→±∞

ρ(θ) = R ∈ R∗ alors on dit que la courbe admet le cercle de centre O et de rayon ∣R∣ comme cercle limite.Dans ce cas :

(a) Si limθ→±∞

ρ(θ) = R− alors la courbe s’approche du cercle C(O,R) en restant à l’intérieur.

(b) Si limθ→±∞

ρ(θ) = R+− alors la courbe s’approche du cercle C(O,R) en restant à l’extérieur.

3. Si limθ→±∞

ρ(θ) = ±∞ on dit que la courbe admet une branche spirale.

4. Si limθ→θ0

ρ(θ) = ±∞ alors la courbe admet la droite θ = θ0 comme direction asymptotique. On étudie ensuite

ρ(θ) sin(θ − θ0).

(a) Si limθ→θ0

ρ(θ) sin(θ − θ0) = a ∈ R alors la translation de la droite θ = θ0 par le vecteur aeθ0 est une asymptote à

la courbe.

(b) Si limθ→θ0

ρ(θ) sin(θ − θ0) = ±∞ alors la courbe admet une branche parabolique suivant la direction θ = θ0.

– Détermination des points multiples et les tangentes en ces points (si nécessaire).– On trace la courbe.

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