Planification de Trajectoires pour la Navigation des Dirigeables

Autonomes

Salim HIMA et Yasmina BESTAOUI.Laboratoire des Systèmes Complexes, CEMIF,Université d’Evry Val d’Essonne, FRANCE

E-mail : (hima, Yasmina.Bestaoui)@lsc.univ-evry.fr

20 janvier 2004

Résumé

Dans cet article nous traitons le problème de planification de trajectoire pour les dirige-ables autonomes. Deux techniques sont présentées dans cet article. La première est baséesur le découplage entre le la dynamique latérale et la dynamique longitudinale. Nous avonsfocalisé notre intention sur les trajectoires optimales en temps en utilisant la théorie de lacommande optimale. La deuxième technique consiste à tenir compte de l’ensemble de ladynamique sans découplage pour la caractérisation des trajectoires d’équilibres.

Mots clés : Dirigeable Autonome, planification de trajectoires, systèmes sous-actionnés,commande optimale.

1 Introduction

Ces dernières années, un grand intérêt a été apporté au développement des véhicules d’in-

tervention semi-autonomes ou autonomes dans des sites présentant des risques pour la vie des

êtres humains. La navigation des robots mobiles est un problème, aussi bien dans des terrains

accidentés que dans un environement inconnu. Ce problème peut être résolu en partie par le

biais des systèmes coopératifs entre une platforme terrestre et une platforme aérienne. Cette

dernière alimente la base terrestre par des informations globales telles qu’une vue aérienne de

l’environnement qui facilite la navigation du robot terrestre.

Le développement de la technologie des capteurs et la réduction de leur coût de fabrication

ainsi que le progrés des méthodes de synthèse des lois de commande ont permis la conception des

platformes aériennes autonomes à coût raisonable [1]. Vu leurs avantages, ces systèmes ont fait

leur apparition dans plusieurs champs d’application tel que militaire, surveillance et inspection,

dans le domaine environnemental, station météorologique ou surveillance des forêts,...etc.

1

Les véhicules aériens se divisent en trois grandes classes : les plus légers que l’air (ex. dirige-

able), avions et giravions (ex. hélicoptère) [2]. Une comparaison entre ces trois type de véhicules

est donnée dans le tableau ci dessous. Cette comparaison met à l’évidence les avantages du

dirigeable sur les autres engins volants sutout pour des applications de longue endurance et de

faibles bruits.

Besoin Avions Hélicoptères Dirigeablecoût de l’opération XX X XXXlongue endurence XX X XXXcapacité de vol plané X XXX XXXrapport charge utile / poids XX X XXXmanoeuvrabilité XX XXX Xfaible turbilance et perturbation X X XXXdécolage / attirissage vertical X XXX XXXfaible consommation XX X XXXfaible vibration XX X XXX

Tab. 1 — Comparaison entre les trois type de véhicules volants

Le Laboratoire des Systèmes Complèxes (LSC) est parmi les premiers laboratoires de recherches

en France avec le LAAS-CNRS qui s’intéressent au dirigeable. Les premiers travaux du LSC ont

concerné principalement la recherche d’un modèle dynamique incluant notamment les princi-

paux effets aérodynamiques[3]. Nous nous intéressons aussi aux problèmes de planification de

trajectoires admissibles pour les dirigeables [4], [5], [6]. La troisième problématique que nous

traitons est la synthèse des lois de commande pour le pilotage automatique du dirigeable [7] [8]

[9].

Dans la première partie de cette article nous présentons les caractéristique du dirigeable du

LSC, suivi par une présentation globale du modèle dynamique. Dans la troisième partie nous

présentons les deux techniques latérale et globale

2 Description du dirigeable du LSC

Le dirigeable AS-200 du LSC, Figure 1, est un aéronef sans pilote, composé d’une enveloppe

souple de taille réduite, appelée aussi carène. Sa forme est constituée de trois parties, deux

parties de forme ellipsoïde entre lesquelles est intercalée une partie de forme cylindrique, Figure

2. Il est possible d’approximer la forme de la carène par deux ellipses de révolution [10]. La

longueur de la carène est de L = 6.93m et son diamètre maximal est de D = 1.52m, ce qui

2

donne un coefficient d’allongement de λ = DL = 0.219. Il est démontré expérimentalement que

les efforts de traînée est minimal dans le cas où λ est compris entre 0.2 et 0.25 [10].

La propulsion du dirigeable est assurée par deux moteurs à explosion vectorisés, Figure

3, fonctionnant d’une manière symétrique. Cette configuration ne permet pas une navigation

latérale ou longitudiale plus agile. Pour palier cette limitation le dirigeable dispose de quatre

surfaces mobiles montées sur des ailerons et qui fonctionnent d’une manière symétrique1 par

paires, deux horizontales et deux verticales, Figure 4. La commande générée par ce type d’ac-

tionneur est basée sur le changement de l’écoulement de l’air induit par l’angle de braquage de

la surface mobile en question.

Touts les équipements embarqués, réservoir et système électronique...etc, sont rangés dans

un habitacle appelé nacelle, Figure 3. Cette nacelle est fabriquée par une matière sufisament

rigide pour pouvoir fixer les moteurs de propultion.

Fig. 1 — Plateforme de dirigeable du LSC

Fig. 2 — Composition de l’envelope du dirigeable

1 la symétrie dans ce cas signifie que les surfaces mobiles horizontales ont le même angle de commande

3

Fig. 3 — Nacelle du dirigeable et moteur de propulsion

Fig. 4 — ailerons et surface mobile du dirigeable

3 Modélisation

3.1 Cinématique de dirigeable

La configuration du dirigeable est caractérisée par sa position et son orientation par

rapport à un repère global Rf . Ce qui nécessite la considération d’un repère local Rm fixé à

un point appartenant au dirigeable, généralement il s’agit du centre de gravité ou volumique ,

Figure 5

La position du dirigeable est donnée par la position du centre du repère local obtenu par

intégration des données fournies par un capteur d’accélération appelé accéléromètre. La présence

des perturbations dues aux vibrations engendrées par la rotation des moteurs, affecte les mesures

de ce capteur rendant cette méthode peu fiable, ce qui fait penser à des technique de recalage

à ce type de capteur. L’autre alternative est d’utiliser un capteur GPS 3D qui affiche des prix

plus élevés que ceux du premier capteur.

4

Fig. 5 — définition de repère local du dirigeable

Notons le vecteur position du centre du repère local dans le repère global par

η1 =

x

y

z

(1)

Il existe plusieurs paramétrisations permettant la définition de l’orientation d’un repère par

rapport à un autre. Une parametrisation en Roulis, Tangage et Lacet est utilisée. L’avantage de

cette paramétrisation est que ces paramètres sont directement mesurables par des capteurs d’at-

titude comme les inclinomètres et le compas magnétique [11]. Naturellement, l’angle de tangage

de dirigeable est borné et il ne peut atteindre l’angle de singularité2 de cette paramétrisation

[12]. Ce qui justifie l’utilisation de cette dernière.

Notons le vecteur orientation du repère local par rapport au repère global par

η2 =

φ

θ

ψ

(2)

La matrice de rotation qui décrit la transformation entre le repère local et global est donnée par

Jc1(η2) =

cos θ cosψ sin θ sinφ cosψ − sinψ cosφ sin θ cosφ cosψ + sinψ sinφ

cos θ sinψ sin θ sinφ sinψ + cosφ cosψ sin θ cosφ sinψ − cosψ sinφ− sin θ cos θ sinφ cos θ cosφ

(3)

3.2 Transformation des vitesses

Notons par les vecteurs·η1 =

³ ·x,

·y,

·z´T

et ν1 = (u, v,w)T , les vitesses de translation

du repère local par rapport au repère global exprimée respectivement dans le repère global et2θ = ±π

2

5

local, et notons par·η2 =

µ ·φ,

·θ,

·ψ

¶et ν2 = (p, q, r)

T les vitesses de rotation du repère local par

rapport au repère global exprimées respectivement dans le repère global et local. Les relations

reliant les différentes vitesses sont données par

·η1 = Jc1(η2)ν1 (4)

·η2 = Jc2(η2)ν2 (5)

où,

Jc2(η2) =

1 sin (φ) tan (θ) cos (φ) tan (θ)

0 cos (φ) − sin (φ)0 sin(φ)

cos(θ)cos(φ)cos(θ)

(6)

À partir des équations (4) et (5), l’expression cinématique du dirigeable est donnée par

·η = J(η2)ν (7)

où,·η =

à ·η1·η2

!, ν =

Ãν1

ν2

!et J(η2) =

ÃJc1(η2) 0

0 Jc2(η2)

!.

3.3 Dynamique de dirigeable

Contrairement aux avions qui se basent totalement sur la vitesse relative de leurs ailes

par rapport au vent, les dirigeables utilisent, tout comme les sous marins, la sustentation archimé-

dienne afin développer une grande partie de leur portance. Cette sustentation provient du gaz

enfermé par l’enveloppe et qui doit être plus léger que l’air. En général le gaz utilisé est l’Hélium

qui est très rare. Lors du mouvement du dirigeable, et vu son volume, l’air déplacé par le dirige-

able est important. La masse volumique du dirigeable est très proche de celle du fluide, ce qui

fait apparaître des termes additifs de masses et inerties ajoutées3.

Hypothèses

• Les déformations de l’enveloppe sont négligeables, afin de permettre d’appliquer la théoriede la mécanique des solides.

• L’invariance de la masse de dirigeable par rapport à la consommation du combustible etpar rapport au déplacement des particules de gaz à l’intérieur de l’enveloppe.

• Toutes les perturbations extérieures sont nulles (vent, pression, température. . . etc).• Le centre de flottabilité est supposé confondu avec le centre volumique.3appelées aussi masses et inerties vertuelles

6

3.3.1 Modèle dynamique global

À l’instar du [12] [11] , le modèle dynamique du dirigeable comme étant un corps rigid est

obtenu par l’application du formalisme du Newton-Euler, les terms additifs de masses et inerties

ajoutées sont modélisées par la théorie de Kirchhoff. Cette dynamique est donnée généralement

dans le repère local pour des raison de simplicité de son expression, et qui prend la forme suivante

Md·v +C (v) v + Ta (v) + g (η) = Tp

tel que

• Md est une matrice symétrique 6× 6, formée par les termes de masses, inerties exprimésdans le repère local et des termes de couplage4.

• ·v =

³ ·v1,

·v2

´Tdéfini le vecteur d’accélération du dirigeable par rapport à Rf exprimées

dans Rm.

• C (v) v représente les forces et moments de coriolis et centrifuges.

• Ta (v) est le torseur aérodynamiques, i.e. traînée et portance.

• g (η) est le torseur du poids et de la flottabilité.

• Tp est le vecteur des forces et moments de commandes. i.e. moteurs et surfaces mobiles.

• ·η est le vecteur vitesse de dirigeable par rapport à Rf exprimé dans Rf .

• J(η2) est la matrice de changement de repère entre Rm et Rf

Dans ce cas, la caractérisation de l’état complet du dirigeable est défini par

Md·v +C (v) v + Ta (v) + g (η) = Tp (8)

·η = J(η2)ν (9)

Il est évident d’après les équations (8) et (9) que la dimension de l’espace d’état du dirigeable

est 12, 6 pour la configuration (x, y, z, φ, θ, ψ) et 6 pour les vitesses (u, v, w, p, q, r), dépassant

largement le nombre d’entrées de commande, 5 si nous tenons compte du moteur de queue, ce

qui révèle le caractère de sous actionnement.

4 Planification de trajectoires

Comme tout système autonome, l’architecture globale d’une platforme du dirigeable au-

tonome est composée de trois éléments principaux. Le premier est le dirigeable en lui même.

Le second est le bloc du planificateur. ce dernier a pour but de planifier la tâche demandée. Le

dernier élément est le contrôleur, responsable de la bonne exécution de la tâche planifiée. Nous

consacrons les parties restentes au développement des planificateurs.

4due au couplage entre la dynamique de translation et rotation

7

Un chemin est un ensemble de configurations visitées par un système pour atteindre une

configuration finale Xf à partir de sa configuration initale Xi, i.e. problème géométrique. La

spécification du chemin ne donne pas une description complète du mouvement du système. Une

trajectoire est un chemin plus une loi horaire, spécifiant l’instant où chaque configuration est

atteinte par le système. La faisabilité des trajectoires planifiées, nécessite de tenir compte de

toutes les contraintes imposées telles que les contraintes dynamiques du système, les contraintes

de saturation des actionneurs et les contraintes caractérisant l’environnement, i.e. obstacles...etc.

Dans cette section nous traitons le problème de planification de trajectoires pour deux straté-

gies de vol. La première concerne la navigation latérale et la deuxième concerne la navigation

3D.

4.1 Approache 2D

En aéronautique, il est courant de sélectionner certains comportement canoniques des ap-

pareils volants tels que décollage, atterissage, mouvement longitudinal et mouvement latéral.

Cette stratégie permet de découpler la dynamique latérale de la dynamique longitudinale de

l’appareil, ce qui réduit la dimension de l’espace d’état à 6.

Le décollage peut être effectué par deux manières5, décollage vertical assimilé à un hélicoptère

et décollage par roulage assimilé à un avion. L’atterrissage peut être effectué par une descente

progressive jusqu’à ce que le dirigeable atteigne une altitude suffisamment basse, à partir de

la quelle la vitesse doit être annulée progressivement. Le mouvement longitudinal consiste à

atteindre et maintenir une altitude donnée en utilisant des techniques d’asservissement. Reste le

mouvement latéral qui consiste à suivre une trajectoire planifiée par un dispositif de planification

[13].

Nous présentons en premier le modèle du dirigeable répondant à la dynamique latérale suivi

par une description de la méthode de planification.

4.1.1 Modèle Latéral du dirigeable

Le modèle latéral, Figure6, présenté dans cette section repose sur certaines hypothèses simpli-

ficatrices. nous considérons que le dirigeable est en vol de croisière, vitesse et altitude constantes,

permettant la linéarisation de sa dynamique autour de cette vitesse. Nous considérons également

que l’angle de roulis est suffisament petit quand le dirigeable exécute des chemins avec courbure.

La troisième considération concerne l’angle de dérapage β que nous considérons suffisament

petit.

Le maintien de la vitesse de croisière et de l’altitude se fait par le biais des moteurs et les

5ces deux manières ne sont pas unique

8

surfaces mobiles horizontales. Dans [14], les auteurs ont utilisé la technique de backsteping pour

stabiliser la vitesse et l’altittude autour des valeurs désirées.

À l’instar de toutes ces hypothèses, la dynamique latérale linéarisée autour de la vitesse de

croisière Vc est décrite par

·x = u cos (ψ)− v sin (ψ) = Vc cos (ψ + β)·y = u sin (ψ) + v cos (ψ) = Vc sin (ψ + β)·ψ = r (10)·β = a11β + a12r + b1δr·r = a21β + a22r + b2δr

ces équations sont obtenus en tenant compte de

u = Vc cos (β) ≈ Vc

v = Vc cos (β) ≈ Vcβ

où, x et y sont les positions du centre de repère local Rm dans le repère global Rf , δr est l’angle

de braquage des surfaces mobiles par rapport à l’axe longitudinal du repère mobile xm, ψ est

l’angle de lacet. les coefficiants aij sont des coefficients dépendant des paramètres intrinsèques

et aérodynamiques du dirigeable [4]. D’une manière plus compacte l’équation (10) peut prendre

la forme suivante ·X (t) = f (X) + g (X) δr (11)

où, f (X) = (a11β + a12r, a21β + a22r, r, Vc cos (ψ + β) , Vc sin (ψ + β))T et g (X) = (b1, b2, 0, 0, 0)T .

fx

fy

rδ

βmx

my

cV ψ

Fig. 6 — Description des variables de configuration pour la navigation latéral

9

4.1.2 Planification de trajectoires

Il est parfois possible de considérer seulement les contraintes cinématiques des systèmes pour

planifier des trajectoires [15] [16]. La faisabilité des trajectoires résultantes dépend du degrée

de persistance de la dynamique du système en question [17] et la possibilité de découpler la

dynamique de la cinématique [18]. Dans le cas du dirigeable, l’enchaînement des trajectoires

cinématiques provoque une instabilité en lacet [4]. Cette instabilité provient principalement de

la discontinuité de la courbure de la tarjectoire .

L’outil le plus classique utilisé pour répondre à cette question est la théorie de la commande

optimale. Cette technique permet de sélectionner dans l’ensemble des trajectoires possibles,

i.e. celles qui respectent les contraintes dynamiques ainsi que les contraintes de limitations des

actionneurs ou des contraintes cinématiques limitant la vitesse et l’accélération, la trajectoire

qui minimise un certain critère de sélection tel que le temps ou l’energie ou un critère mixte.

Mathématiquement, ce problème peut être formulé de la manière suivante

minU∈U

J = h (Xf , tf ) +

Z tf

t0

g(X,U)dt

sous les contraintes·X = f (X,U) (12)

U ∈ U

tel que, X est le vecteur d’état, J le critère de sélection, U l’ensemble des contraintes imposées

sur les entrées de commandes appelé aussi domaine de la commande, et f (X,U) la dynamique

du système.

Il existe des méthodes numériques pour la résolution d’un tel problème [19]. L’inconvénient

majeur de ces méthodes est le fait qu’elles ne sont pas adaptées aux appliquations temps réel.

Le Principe de Maximum de Pontryaguin (PMP) [20] offre des solutions mieux adaptées . Il

permet de sélectionner une famille de trajectoires, appelées primitives, résolvant le problème

(12) localement [16]. La solution globale, peut être donnée par une synthèse géométrique de

la trajectoire globale vérifiant les conditions limites par concaténation des primitives. Une telle

tâche devient de plus en plus complexe en fonction du nombre de variable d’état.

Dans le cas du dirgeable, nous avons choisi de minimiser le temps avec la contrainte −1 ≤δr ≤ +1. Ce qui conduit à résoudre le problème suivant :

minδr

Z tf

t0

dt = minδr

Tf

sous contraintes (13)

dynamique du système (10)

δr ∈ U

10

où X ∈ R5, U = [−1, 1].

Le PMP stipule qu’une trajectoire X∗ (t) définie sur l’interval [0, T ], telle que δ∗r (t) la com-mande correspondante, est optimale s’il existe un vecteur λ∗ (t) appelé vecteur adjoint vérifiantles conditions suivantes :

i) λ∗ (t) 6= 0 pour tout t ∈ [0, T ]ii) H (X∗ (t) , λ∗ (t) , δ∗r (t)) = min

δr∈U{H (X∗ (t) , λ∗ (t) , δr (t))} = −λ0 ≤ 0

où H (X (t) , λ (t) , δr (t)) =

¿λ (t) ,

·X (t)

À6 appelé le Hamiltonien.

iii) Le vecteur adjoint satisfait l’équation :·λ∗(t) = −∂H

∂X (X∗ (t) , λ∗ (t) , δ∗r (t))

Dans le cas de dirigeable, le Hamiltonien est donné par :

H (X (t) , λ (t) , δr (t)) = hλ (t) , f(X) + g (X) δri= λT (t) (f(X) + g (X) δr)

= λT (t) f(X) + λT (t) g (X) δr (14)

La forme du Hamiltonien (14) est bien affine7 en la commande. Ce qui conduit à des solutions

triviales de type bang selon le signe de κ(t) = λT (t) g (X) appelée fonction de commutation.

δ∗r =

(+1 si κ(t) < 0−1 si κ(t) > 0

(15)

La géométrie de la trajecoire qui correspond à ce type de commande est un cercle à rayon

minimal permetant de tourner à gauche ou à droite selon la commande δ∗r = 1 ou δ∗r = −1,Figure7.

L’équation (15) n’indique pas la valeur que doit prendre la commande si la fonction de

commutation s’annule pour un interval de temps de mesure non nul. Il est évident que dans ce

cas, toute commande δr vérifie la condition 2 du PMP, ce qui fait perdre au PMP son caractère

discriminatif. Pour enlever cette singularité, des conditions suplémentaires sont nécessaires.

La nullité de la fonction de commutation sur un interval de mesure non nul implique la nullité

des dérivées de cette dernière.

κ (t) = ·κ (t) = ··κ (t) = · · · = κ2n (t) (16)

L’ordre n de cette condition est définie par l’apparition de la commande δr.

κ2n (t) = a (λ (t) ,X (t)) + b (λ (t) ,X (t)) δr = 0

6 h, i est l’opérateur de produit scalaire7 linéarité vis-à-vis à la commande

11

δr = −a (λ (t) ,X (t))b (λ (t) ,X (t))

(17)

où, n est appelé l’ordre de singularité de la commande. La minimalité de cette commande est

vérifiée par l’utilisation de la condition de convexité généralisée connue aussi sous le nom de

"Legendre-Clebsh"

(−1)n ∂

∂δr

µ∂2nκ∂t2n

¶≥ 0 (18)

L’application de ce qui précède sur le modèle latéral du dirigeable, et vu la complexité des

équations obtenues, une solution indique que la commande singulière est donnée par[4]

δ∗r (t) = 0 (19)

ce qui correspond géométriquement à une droite.

Le passage instantané d’un cercle vers une droite provoque une instabilité au niveau du

lacet, Figure 8. Ce comportement provient du fait que l’energie angulaire ne peut pas être

absorbée instantanément. La solution la plus naturelle est de trouver des trajectoires transitoires

permettant la dissipation de cette energie en temps minimal. L’energie angulaire est définie par

la vitesse en Lacet r et la vitesse de changement de l’angle de dérapage·β. L’objectif est de

ramener le dirigeable sur la droite, i.e. (r, β) = (0, 0), le plus rapidement possible. Pour cela,

nous appliquons également le PMP pour le système :

·β = a11β + a12r + b1δr (20)·r = a21β + a22r + b2δr

le système (20) est linéaire et commandable [20], la commande optimale est de type bang-bang,

Figure 9. La Figure 10 donne une représentation comportementale du dirigeable en passant d’un

cercle vers une droite, elle illustre la commande de transition optimal [4]

4.2 Approache 3D

Une meilleur exploitation de la manoeuvrabilité du dirigeable nécessite de prendre en con-

sidération sa dynamique complète. Ce qui conduit généralement à des méthodes trés complexes

et trés coûteuses en terme de calcul. Un compromis est fait entre l’exploitation de la dynamique

totale, i.e. trajectoires en 3D, et la simplicité de calcul, conduisant à une quantification de la

dynamique pour certains comportements.

En aéronautique, il est courant d’utiliser des trajectoires d’équilibres. Ces trajectoires ont la

spécificité d’avoir une dynamique nulle, i.e. vitesses constantes vue par le pilote 8. L’avantage

de l’utilisation de ce type de trajectoires réside dans le fait que la commande résultante est

constante par morçeaux.8autrement dit les vitesses exprimées dans le repère local

12

Fig. 7 — comportement du dirigeable à une commande de type bang correspond à un braquage

à droite

Fig. 8 — comportement du dirigeable vis-à-vis d’un enchaînement directe d’un cercle avec une

droite

13

Fig. 9 — allure de la commande optimale de transition

Fig. 10 — passage optimal entre cercle et droite

14

4.2.1 Dynamique du dirigeable

La dynamqiue du dirigeable dans le cas 3D répond à la forme de l’équation (8) avec

Md =

m+ a11 0 0 0 mzg + a15 0

0 m+ a22 0 −mzg + a24 0 mxg + a26

0 0 m+ a33 0 −mxg + a35 0

0 −mzg + a42 0 Ix + a44 0 −Ixz + a36

mzg + a51 0 −mxg + a53 0 Iy + a55 0

0 mxg + a62 0 −Ixz + a64 0 Iz + a66

où m est la masse du dirigeable Iij est les coefficients d’inertie du dirigeable, aij sont les

coefficients des masses et inerties ajoutées, (xg, yg, zg) sont les coordonnées du centre de gravité

dans le repère local.

C(v) =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

−mzgr (m+ a33)w mzgp− (m+ a22) v

mxgq − (m+ a33)w −m (zgr + xgp) mzgq + (m+ a11)u

mxgr + (m+ a22) v − (m+ a11)u −mxgp

mzg −mxgq + (m+ a33)w −mxgr − (m+ a22) v

− (m+ a33)w m (zgr + xgp) (m+ a11)u

−mzgp+ (m+ a22) v −mzgq − (m+ a11)u mxgp

0 (IZ + a66) r − (Iy + a55) q

− (Iz + a66) r 0 (Ix + a44) p

(Iy + a55) q − (Ix + a44) p 0

Ta (v) =

Du +Duu |u| 0 0 0 0 0

0 Dv +Dvv |v| 0 0 0 0

0 0 Dw +Dww |w| 0 0 0

0 0 0 Dp +Dpp |p| 0 0

0 0 0 0 Dq +Dqq |q| 0

0 0 0 0 0 Dr +Drr |r|

dans le torseur aérodynamique, nous avons considéré que les efforts dues à la traînée Dx et Dxx,

sont respectivement les coefficients linéaire et quadratique de traînée.

g (η) =

0

0

0

mg cos (θ) sin (φ)

mg sin (θ) zg +mg cos (θ) cos (φ)xg

−mg cos (θ) sin (φ)xg

15

Tp =

Fm cos (µ)

Ft

Fm sin (µ)

−FtOqz

FmOz cos (µ) + FOx sin (µ)

FtOqx

où, (Ox, Oy, Oz) et (Ox,−Oy, Oz) sont les coordonnées des moteurs principaux dans le repère

local. (Oqx, Oqy, Oqz) sont les coordonnées du moteur de queue 11.

Dans le cas des trajectoires d’équilibres, i.e.·v = 0, les contraintes dynamiques se réduisent

en les contraintes cinématiques suivantes

C (v) v + Ta (v) + g(η) =

Fx

Fy

Fz

Mx

My

Mz

=

Fm cos (µ)

Ft

Fm sin (µ)

−FtOqz

FmOz cos (µ) + FmOx sin (µ)

FtOqx

(21)

ce qui conduit aux relations suivantes reliant seulement les vitesses.

Mz = FyOqx

My = FxOz + FzOx (22)

Mx = −FyOqz

Fig. 11 — coordonnées des moteurs par rapport au repère local

16

4.2.2 Caractérisation des trajectoires d’équilibres

Comme il a été introduit dans le paragraphe précédent, les trajectoires d’équilibre sont

définies par des accélérations nulles et des commandes constantes. Partant de ces constatations

et utilisant l’équation (7), nous avons [5] [6] :

p =·φ−

·ψ sin (θ)

q =·θ cos (φ) +

·ψ sin (φ) cos (θ) (23)

r = −·θ sin (φ) +

·ψ cos (φ) cos (θ)

nous dérivons le système d’équations (23) et nous le résolvons par rapport à (φ, θ, ψ) en

tenant compte, du fait que les commandes sont constantes, nous obtenons

·φ = 0·θ = 0 (24)·ψ = cst =

·ψ0

alors,

φ = cst = φ0

θ = cst = θ0 (25)

ψ =·ψ0t

donc,

p0 = −·ψ0 sin (θ0)

q0 =·ψ0 sin (φ0) cos (θ0) (26)

r0 =·ψ0 cos (φ0) cos (θ0)

d’où les équations de la cinématique de translation

x (t) =ax·ψ0

sin

µ ·ψ0t

¶− bx

·ψ0

cos

µ ·ψ0t

¶y (t) = − bx

·ψ0

sin

µ ·ψ0t

¶− ax

·ψ0

cos

µ ·ψ0t

¶(27)

z (t) =·z0t

17

où

ax = u0 cos (θ0) + v0 sin (φ0) sin (θ0) +w0 cos (φ0) sin (θ0)

bx = −ayay = −v0 cos (φ0) + w0 sin (φ0)

by = ax·z0 = −u0 sin (θ0) + cos (θ0) sin (φ0) v0 + cos (θ0) cos (φ0)w0

La forme géométrique de la trajectoire correspondant au système d’équations (27) est une

hélice à axe vertical, cercle ou droite, selon les valeurs de φ0, θ0 et·ψ0. La définition complète

de cette trajectoire nécessite la caractérisation du mouvement,µu0, v0, w0,

·ψ0

¶, avec lequel le

dirigeable parcourt cette trajectoire. Ce mouvement peut être donné par la solution du problème

d’optimisation avec contraintes suivant :

minµu0,v0,w0,

·ψ0

¶(Tf =

1·z0=

1

−u0 sin (θ0) + cos (θ0) sin (φ0) v0 + cos (θ0) cos (φ0)w0

)

sous contrainte

équations (22)

limitation des actionneurs

Il est évident qu’une seule trajectoire d’équilibre ne garantit pas l’atteignabilité du dirigeable

pour n’importe quelle configuration à partir de sa configuration initiale. Ce qui impose sur

la base de trajectoires de contenir un ensemble optimal de trajectoires qui garantisse cette

propriété. De plus, la concaténation de deux trajectoires d’équilibre n’est pas possible à cause

de la continuité de la dynamique du dirigeable. Comme dans le cas de la navigation latérale, cette

base doit contenir des trajectoires de transition entre chaque couple de trajectoires d’équilibres.

Ces trajectoires de transition sont données en interpolant le mouvement et (φ, θ) entre chaque

couple de trajectoires d’équilibres par un polynôme d’ordre 5 pour assurer la nullité de la dérivée

deuxième de la commande aux extrémités de la trajectoire transitoire.

Toute cette procédure doit être effectuée hors ligne. Ce qui permet de réduire la complexité

de calcul de la trajectoire pour les application temps réel.

5 Conclusion et perspectives

Dans cet article, nous avons présenté quelques techniques utilisées pour la planification de

trajectoires dans le cadre du développement d’une plateforme de dirigeable autonome. Pour

18

-2-1

01

23

4

-2

0

2

4

60

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

xy

-z

Fig. 12 — Trajectoire d’équilibre correspondant à une hélice

contourner la complexité de calcul de ces trajectoires, nous avons quantifié la dynamique du

dirigeable pour quelques comportements. Ce qui réduit la complexité du planificateur. Dans

les travaux futurs, nous allons nous interesser au développement de la couche haut niveau du

planificateur, qui permet de planifier la trajectoire globale reliant deux configurations données,

à partir de la base de primitives calculées hors ligne. Nous nous intéressons également à une

autre approche basée sur le découplage entre la planification de chemin et le mouvement.

19

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